C 14 산술 제곱근. 숫자의 제곱근을 수동으로 찾는 방법

수학은 사람이 자신을 인식하고 세계의 자율적인 단위로 자리 잡기 시작할 때 태어났습니다. 당신을 둘러싼 것을 측정하고, 비교하고, 계산하려는 욕망은 우리 시대의 기초 과학 중 하나의 기초가 되는 것입니다. 처음에 이것들은 숫자를 물리적 표현과 연관시키는 것을 가능하게 한 초등 수학의 조각이었고, 나중에 결론이 이론적으로만 제시되기 시작했습니다(추상성으로 인해), 그러나 잠시 후, 한 과학자가 말했듯이, " 수학은 모든 숫자가 복잡성의 한계에 도달했습니다." 개념 " 제곱근"계산의 차원을 넘어 경험적인 데이터로 쉽게 백업할 수 있는 시기에 나타났습니다.

모든 것이 어떻게 시작되었는지

루트에 대한 첫 번째 언급은 이 순간√로 표시된 것은 현대 산술의 토대를 마련한 바빌로니아 수학자들의 저서에 기록되어 있다. 물론, 그들은 현재 형태와 조금 비슷해 보였습니다. 그 해의 과학자들은 처음으로 부피가 큰 정제를 사용했습니다. 그러나 기원전 두 번째 천년기에. 이자형. 그들은 제곱근을 취하는 방법을 보여주는 대략적인 계산 공식을 생각해 냈습니다. 아래 사진은 바빌로니아 과학자들이 출력과정 √2를 조각한 돌을 나타낸 것으로, 정답의 불일치가 소수점 이하 10자리까지만 발견될 정도로 정확한 것으로 밝혀졌다.

또한 다른 두 변을 알고 있는 경우 삼각형의 한 변을 찾아야 할 경우 근을 사용했습니다. 글쎄, 이차 방정식을 풀 때 근을 추출하는 것에서 벗어날 수 없습니다.

바빌로니아 작품과 함께 중국 작품 '구경수학'에서도 논문의 대상을 연구했는데, 고대 그리스에서는 나머지 없이 뿌리를 뽑지 않는 숫자는 모두 불합리한 결과를 낳는다는 결론에 이르렀다. .

이 용어의 기원은 숫자의 아랍어 표현과 관련이 있습니다. 고대 과학자들은 임의의 숫자의 제곱이 식물처럼 뿌리에서 자랍니다. 라틴어에서 이 단어는 기수처럼 들립니다(패턴을 추적할 수 있습니다. "루트" 의미 로드가 있는 모든 것은 자음입니다. 무우나 좌골 신경통).

다음 세대의 과학자들은 이 아이디어를 Rx라고 명명했습니다. 예를 들어, 15세기에는 제곱근이 임의의 수 a에서 취해진 것임을 나타내기 위해 R 2 a를 썼습니다. 습관적 현대적인 모습"틱"√는 르네 데카르트 덕분에 17세기에만 나타났습니다.

우리의 날들

수학적으로 y의 제곱근은 제곱이 y인 숫자 z입니다. 즉, z 2 =y는 √y=z와 같습니다. 그러나 이 정의는 식의 음수가 아닌 값을 의미하기 때문에 산술 루트에만 관련이 있습니다. 즉, √y=z, 여기서 z는 0보다 크거나 같습니다.

일반적으로 대수근을 결정하는 데 유효한 식의 값은 양수 또는 음수일 수 있습니다. 따라서 z 2 =y 및 (-z) 2 =y라는 사실 때문에 √y=±z 또는 √y=|z|가 됩니다.

수학에 대한 사랑은 과학의 발달과 함께 높아졌기 때문에 건식 계산으로 표현되지 않는 다양한 애정 표현이 있습니다. 예를 들어 Pi의 날과 같은 흥미로운 이벤트와 함께 제곱근의 휴일도 축하됩니다. 그들은 100년 동안 아홉 번 경축되며 다음 원칙에 따라 결정됩니다. 일과 월을 순서대로 나타내는 숫자는 연도의 제곱근이어야 합니다. 예, 에 다음번이 휴일은 2016년 4월 4일에 축하될 것입니다.

필드 R의 제곱근 속성

거의 모든 수학적 표현은 기하학적 기초를 가지고 있으며, 이 운명은 통과하지 않았고 √y는 면적이 y인 정사각형의 한 변으로 정의됩니다.

숫자의 근을 찾는 방법?

여러 계산 알고리즘이 있습니다. 가장 간단하지만 동시에 매우 번거로운 것은 다음과 같은 일반적인 산술 계산입니다.

1) 루트가 필요한 숫자에서 홀수를 차례로 뺍니다. 출력의 나머지가 빼거나 짝수보다 작을 때까지 영. 이동 횟수는 결국 원하는 수가 됩니다. 예를 들어 25의 제곱근을 계산하면 다음과 같습니다.

수행원 홀수 11이면 다음과 같은 나머지가 있습니다. 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

이러한 경우 Taylor 급수 전개가 있습니다.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , 여기서 n은 0에서 까지의 값을 취합니다.

+∞ 및 |y|≤1.

함수 z=√y의 그래픽 표현

실수 R의 필드에서 기본 함수 z=√y를 고려하십시오. 여기서 y는 0보다 크거나 같습니다. 그녀의 차트는 다음과 같습니다.

곡선은 원점에서 자라며 반드시 점(1, 1)과 교차합니다.

실수 R 필드에서 z=√y 함수의 속성

1. 고려되는 기능의 정의 영역은 0에서 더하기 무한대(0이 포함됨)까지의 간격입니다.

2. 고려되는 함수의 값 범위는 0에서 더하기 무한대까지의 간격입니다(0이 다시 포함됨).

3. 이 함수는 지점(0, 0)에서만 최소값(0)을 취합니다. 최대값은 없습니다.

4. z=√y 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

5. z=√y 함수는 주기적이지 않습니다.

6. 함수 z=√y의 그래프와 좌표축(0, 0)이 교차하는 지점은 단 하나뿐입니다.

7. z=√y 함수 그래프의 교점은 이 함수의 0이기도 합니다.

8. z=√y 함수는 계속해서 증가합니다.

9. z=√y 함수는 양수 값만 취하므로 그래프가 첫 번째 좌표 각도를 차지합니다.

함수 z=√y 표시 옵션

수학에서 복잡한 표현식의 계산을 용이하게 하기 위해 제곱근을 쓰는 거듭제곱 형식이 때때로 사용됩니다. √y=y 1/2. 이 옵션은 예를 들어 함수를 거듭제곱할 때 편리합니다. (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . 이 방법은 또한 제곱근이 일반 거듭제곱 함수로 표시되기 때문에 적분을 통한 미분에 대한 좋은 표현입니다.

그리고 프로그래밍에서 √ 기호의 대체는 문자 sqrt의 조합입니다.

이 영역에서 제곱근은 계산에 필요한 대부분의 기하학적 공식의 일부이기 때문에 큰 수요가 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 카운팅 알고리즘 자체는 매우 복잡하며 재귀(자신을 호출하는 함수)를 기반으로 합니다.

복소수 필드 C의 제곱근

대체로 이 기사의 주제는 복소수 C 분야의 발견을 자극했습니다. 수학자들은 음수에서 짝수 차수를 구하는 문제에 골머리를 앓았기 때문입니다. 이것은 매우 흥미로운 속성이 특징인 허수 단위 i가 나타난 방법입니다. 제곱은 -1입니다. 덕분에 이차 방정식과 음의 판별식에서 해를 얻었습니다. C에서는 제곱근에 대해 R과 동일한 속성이 관련되어 있지만 루트 표현식에 대한 제한이 제거된다는 점만 있습니다.

이 기사에서 우리는 소개합니다 숫자의 근 개념. 우리는 순차적으로 행동할 것입니다: 제곱근으로 시작하여 설명으로 넘어갈 것입니다. 큐브 루트, 그 후 우리는 n차의 근을 정의하여 근의 개념을 일반화합니다. 동시에 정의, 표기법을 소개하고 어근의 예를 제공하고 필요한 설명과 주석을 제공합니다.

제곱근, 산술 제곱근

숫자의 근, 특히 제곱근의 정의를 이해하려면 . 이 시점에서 우리는 종종 숫자의 두 번째 거듭제곱인 숫자의 제곱을 접하게 됩니다.

시작하자 제곱근 정의.

정의

a의 제곱근제곱이 a인 숫자입니다.

가져오기 위해 예 제곱근 , 여러 숫자(예: 5 , −0.3 , 0.3 , 0 )를 선택하고 제곱하면 각각 숫자 25 , 0.09 , 0.09 및 0을 얻습니다(5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 및 0 2 =0 0=0 ). 그런 다음 위의 정의에 따라 5는 25의 제곱근, -0.3 및 0.3은 0.09의 제곱근, 0은 0의 제곱근입니다.

제곱이 와 같은 어떤 숫자도 존재하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 즉, 모든 음수에 대해 실수 b , 제곱은 와 같습니다. 실제로, a=b 2 는 음수 a 에 대해 불가능합니다. b 2 는 모든 b 에 대해 음이 아닌 숫자이기 때문입니다. 이런 식으로, 실수 집합에는 음수의 제곱근이 없습니다.. 즉, 실수 집합에서 음수의 제곱근은 정의되지 않고 의미가 없습니다.

이것은 논리적인 질문으로 이어집니다. "음이 아닌 a에 대한 제곱근이 있습니까?" 대답은 예입니다. 이 사실에 대한 근거는 제곱근 값을 찾는 데 사용되는 건설적인 방법으로 간주될 수 있습니다.

그런 다음 다음과 같은 논리적 질문이 발생합니다. "주어진 음수가 아닌 숫자 a의 모든 제곱근의 수는 얼마입니까 - 1, 2, 3 또는 그 이상"? 이에 대한 답은 다음과 같습니다. 가 0이면 0의 유일한 제곱근은 0입니다. a가 양수이면 숫자 a에서 제곱근의 수는 2이고 근은 입니다. 이것을 입증합시다.

a=0 의 경우부터 시작하겠습니다. 먼저 0이 실제로 0의 제곱근임을 보여줍시다. 이것은 명백한 동등성 0 2 =0·0=0 및 제곱근의 정의에서 따릅니다.

이제 0이 0의 유일한 제곱근임을 증명합시다. 반대의 방법을 사용합시다. 0의 제곱근인 0이 아닌 숫자 b가 있다고 가정해 보겠습니다. 그러면 조건 b 2 =0이 충족되어야 합니다. 이는 0이 아닌 b에 대해 표현식 b 2의 값이 양수이기 때문에 불가능합니다. 우리는 모순에 이르렀습니다. 이것은 0이 0의 유일한 제곱근임을 증명합니다.

가 양수인 경우로 넘어갑시다. 위에서 우리는 음수가 아닌 숫자의 제곱근이 항상 있다고 말했습니다. b를 a의 제곱근이라고 합니다. 의 제곱근이기도 한 숫자 c 가 있다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 제곱근의 정의에 의해 등식 b 2 =a 및 c 2 =a가 유효하며, 이로부터 b 2 −c 2 =a−a=0이지만 b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , 그러면 (b−c) (b+c)=0 . 결과적으로 평등이 시행됨 실수가 있는 동작의 속성 b−c=0 또는 b+c=0 일 때만 가능합니다. 따라서 숫자 b와 c는 같거나 반대입니다.

그 수의 또 다른 제곱근인 수 d가 있다고 가정하면 이미 주어진 것과 유사한 추론에 의해 d가 수 b 또는 수 c와 같다는 것이 증명됩니다. 따라서 양수의 제곱근의 수는 2이고 제곱근은 반대 수입니다.

제곱근 작업의 편의를 위해 음수근은 양수에서 "분리"됩니다. 이를 위해 도입 산술 제곱근의 정의.

정의

음수가 아닌 숫자의 산술 제곱근제곱이 a 와 같은 음이 아닌 숫자입니다.

숫자 a의 산술 제곱근의 경우 표기법이 허용됩니다. 기호를 산술 제곱근 기호라고 합니다. 그것은 또한 급진적 인 기호라고도합니다. 따라서 동일한 대상을 의미하는 "근본"과 "근본"을 부분적으로 모두 들을 수 있습니다.

산술 제곱근 기호 아래의 숫자를 루트 번호, 그리고 루트 기호 아래의 표현식 - 급진적 표현, "기수"라는 용어는 종종 "급수 표현"으로 대체됩니다. 예를 들어, 표기법에서 숫자 151은 부수이고, 표기법에서 a라는 표현은 부수적 표현입니다.

읽을 때 "산술"이라는 단어가 생략되는 경우가 많습니다. 예를 들어 항목은 "7.29/100의 제곱근"으로 읽힙니다. "산술"이라는 단어는 우리가 숫자의 양의 제곱근에 대해 이야기하고 있음을 강조하고 싶을 때만 발음됩니다.

도입된 표기법에 비추어, 산술 제곱근의 정의에 따르면 음수가 아닌 숫자에 대해 a .

양수 a의 제곱근은 산술 제곱근 기호를 및 로 사용하여 작성됩니다. 예를 들어, 13의 제곱근은 및 입니다. 0의 산술 제곱근은 0입니다. 음수의 경우 공부할 때까지 항목에 의미를 부여하지 않습니다. 복소수. 예를 들어 및 표현식은 의미가 없습니다.

제곱근의 정의를 바탕으로 실생활에서 많이 사용되는 제곱근의 성질을 증명합니다.

이 하위 섹션을 마치기 위해 숫자의 제곱근은 변수 x 에 대한 x 2 =a 형식의 솔루션이라는 점에 주목합니다.

큐브 루트

큐브 루트의 정의숫자 a의 제곱근 정의와 유사한 방식으로 제공됩니다. 제곱이 아닌 숫자의 세제곱 개념에 기반을 두고 있을 뿐입니다.

정의

의 세제곱근큐브가 와 같은 숫자가 호출됩니다.

가지고 가자 큐브 루트의 예. 이렇게 하려면 여러 숫자(예: 7 , 0 , −2/3 )를 가져와 세제곱합니다. 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . 그런 다음 세제곱근의 정의에 따라 숫자 7은 343의 세제곱근, 0은 0의 세제곱근, -2/3은 -8/27의 세제곱근이라고 말할 수 있습니다.

숫자의 세제곱근은 제곱근과 달리 음수가 아닌 경우뿐만 아니라 모든 실수 a에 대해서도 항상 존재함을 알 수 있습니다. 이를 위해 제곱근을 연구할 때 언급한 것과 동일한 방법을 사용할 수 있습니다.

또한 주어진 숫자 a의 세제곱근은 하나만 있습니다. 마지막 주장을 증명해 보자. 이렇게 하려면 세 가지 경우를 별도로 고려하십시오. a는 양수, a=0 및 는 음수입니다.

양수에 대해 의 세제곱근은 음수이거나 0일 수 없음을 쉽게 보여줍니다. 실제로 b를 의 세제곱근이라고 하면 정의에 따라 등식 b 3 =a 를 쓸 수 있습니다. 이 평등은 음수 b와 b=0에 대해 참일 수 없다는 것이 분명합니다. 이 경우 b 3 =b·b·b는 각각 음수 또는 0이 되기 때문입니다. 따라서 양수의 세제곱근은 양수입니다.

이제 숫자 b 외에도 숫자에서 세제곱근이 하나 더 있다고 가정합니다. c로 표시합시다. 그런 다음 c 3 =a. 따라서 b 3 −c 3 =a−a=0 이지만 b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(약식 곱셈 공식입니다. 큐브의 차이), 여기서 (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . 결과 평등은 b−c=0 또는 b 2 +b c+c 2 =0 일 때만 가능합니다. 첫 번째 항등에서 우리는 b=c 를 갖고 두 번째 항등은 해가 없습니다. 그 좌변은 세 개의 양수 항 b 2 , b c 및 c 2 의 합으로 임의의 양수 b 및 c에 대한 양수이기 때문입니다. 이것은 양수의 세제곱근의 고유성을 증명합니다.

a=0의 경우 의 유일한 세제곱근은 0입니다. 실제로, 0이 아닌 0의 세제곱근인 숫자 b가 있다고 가정하면 b 3 =0이 유지되어야 하며 이는 b=0일 때만 가능합니다.

음수 a 의 경우 양수 a 의 경우와 유사하게 주장할 수 있습니다. 첫째, 음수의 세제곱근은 양수 또는 0과 같을 수 없음을 보여줍니다. 둘째, 음수의 두 번째 세제곱근이 있다고 가정하고 첫 번째 세제곱근과 반드시 ​​일치할 것임을 보여줍니다.

따라서 주어진 실수의 세제곱근은 항상 하나뿐입니다.

주자 산술 세제곱근의 정의.

정의

음수가 아닌 숫자의 산술 세제곱근 a큐브가 와 같은 음수가 아닌 숫자가 호출됩니다.

음수가 아닌 숫자 a의 산술 세제곱근은 로 표시되며, 기호는 산술 세제곱근의 부호라고 하며, 이 표기법에서 숫자 3은 루트 표시기. 루트 기호 아래의 숫자는 루트 번호, 루트 기호 아래의 표현식은 급진적 표현.

산술 세제곱근은 음수가 아닌 숫자 a에 대해서만 정의되지만 음수가 산술 세제곱근 기호 아래에 있는 항목을 사용하는 것도 편리합니다. 우리는 그것들을 다음과 같이 이해할 것입니다: , 여기서 는 양수입니다. 예를 들어, .

우리는 루트의 일반 기사 속성에서 큐브 루트의 속성에 대해 이야기할 것입니다.

큐브 루트의 값을 계산하는 것을 큐브 루트 추출이라고 합니다. 이 작업은 방법, 예제, 솔루션과 같은 루트 추출 문서에서 설명합니다.

이 소절을 끝내기 위해 우리는 a의 세제곱근이 x 3 =a 형식의 해라고 말합니다.

N번째 루트, n의 산술 루트

우리는 숫자에서 루트의 개념을 일반화합니다 - 우리는 소개합니다 n번째 루트의 결정 n을 위해.

정의

a의 n번째 루트 n승이 a인 숫자입니다.

이 정의에서 자연 지표로 학위를 연구할 때 1 = a를 취했기 때문에 숫자 a에서 첫 번째 학위의 루트는 숫자 자체라는 것이 분명합니다.

위에서, 우리는 n=2 및 n=3에 대한 n차 근의 특수한 경우를 고려했습니다 - 제곱근과 세제곱근. 즉, 제곱근은 2차의 근이고 세제곱근은 3차의 근입니다. n=4, 5, 6, ...에 대한 n차 근을 연구하려면 두 그룹으로 나누는 것이 편리합니다. 첫 번째 그룹 - 짝수 차수의 근(즉, n=4, 6의 경우) , 8, ...), 두 번째 그룹 - 루트 홀수 차수(즉, n=5, 7, 9, ...의 경우). 이는 짝수 차수의 근은 제곱근과 유사하고 홀수 차수의 근은 3차 근과 유사하기 때문입니다. 차례대로 처리합시다.

뿌리부터 시작합시다. 그 힘은 짝수 4, 6, 8, ... 우리가 이미 말했듯이 숫자 a의 제곱근과 비슷합니다. 즉, 숫자에서 짝수 차수의 근은 음수가 아닌 경우에만 존재합니다. 또한, a=0이면 의 근은 고유하고 0과 같으며, >0이면 숫자 a에서 짝수 차수의 근이 두 개 있으며 반대 숫자입니다.

마지막 주장을 정당화하자. b를 짝수 차수의 근이라고 하자(2m로 표시하며, 여기서 m은 일부 자연수) 번호 a . 숫자 c가 있다고 가정합니다. a의 또 다른 2m 루트입니다. 그러면 b 2 m −c 2 m =a−a=0 입니다. 그러나 우리는 b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) 형식을 알고 있습니다. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), 다음 (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. 이 등식으로부터 b−c=0 , 또는 b+c=0 , 또는 b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. 처음 두 개의 평등은 숫자 b와 c가 같거나 b와 c가 반대임을 의미합니다. 그리고 마지막 항등은 b=c=0 에 대해서만 유효합니다. 그 왼쪽에는 음수가 아닌 숫자의 합으로 모든 b 및 c에 대해 음수가 아닌 표현식이 포함되어 있기 때문입니다.

홀수 n에 대한 n차 근은 세제곱근과 유사합니다. 즉, 숫자에서 홀수 차수의 근은 실수에 대해 존재하고 주어진 숫자에 대해 고유합니다.

수 a에서 홀수 차수 2·m+1의 근의 고유성은 a에서 세제곱근의 고유성의 증명과 유추에 의해 증명됩니다. 평등 대신 여기에서만 a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)형식 b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). 마지막 괄호의 표현식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). 예를 들어, m=2인 경우 b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). a와 b가 모두 양수이거나 모두 음수일 때 그들의 곱은 양수이고 가장 높은 중첩 정도의 괄호에 있는 표현식 b 2 +c 2 +b·c 는 양수 합으로 양수입니다. 번호. 이제 이전 중첩 정도의 괄호 안의 표현식으로 계속 이동하여 양수의 합으로도 양수인지 확인합니다. 결과적으로 평등 b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 b−c=0 , 즉 숫자 b 가 숫자 c 와 같을 때만 가능합니다.

이제 n차 근의 표기법을 다룰 차례입니다. 이를 위해 주어진 n차 산술 근의 결정.

정의

산술 루트음수가 아닌 숫자의 n번째 거듭제곱음수가 아닌 숫자가 호출되며 n번째 거듭제곱은 다음과 같습니다.

제곱근이란 무엇입니까?

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

이 개념은 매우 간단합니다. 당연하죠. 수학자들은 모든 행동에 대한 반응을 찾으려고 노력합니다. 덧셈이 있고 뺄셈이 있습니다. 곱셈이 있고 나눗셈이 있습니다. 제곱이 있습니다 ... 그래서도 있습니다 제곱근 추출!그게 다야. 이 동작( 제곱근을 취하는 것)는 수학에서 다음 아이콘으로 표시됩니다.

아이콘 자체가 호출됩니다. 아름다운 말 "근본적인".

뿌리를 추출하는 방법?고려하는 것이 좋다 예.

9의 제곱근은 얼마입니까? 그리고 어떤 수의 제곱이 9를 줄까요? 3의 제곱은 9를 줍니다! 저것들:

0의 제곱근은 무엇입니까? 괜찮아요! 0의 제곱은 무엇을 제공합니까? 예, 그는 자신이 0을 제공합니다! 수단:

잡았다 제곱근이란 무엇입니까?그런 다음 우리는 고려 예:

답변(무질서): 6; 하나; 네; 9; 5.

결정했다? 정말, 훨씬 쉽습니다!

하지만... 사람은 뿌리가 있는 작업을 볼 때 무엇을 합니까?

사람은 갈망하기 시작합니다 ... 그는 뿌리의 단순함과 가벼움을 믿지 않습니다. 그가 아는 ​​것 같으면서도 제곱근이란 무엇입니까...

뿌리를 연구할 때 몇 가지 중요한 점을 간과했기 때문입니다. 그런 다음이 유행은 시험과 시험에 잔인하게 복수합니다 ...

포인트 1. 뿌리는 육안으로 확인해야 합니다!

49의 제곱근은 얼마입니까? 일곱? 오른쪽! 7개가 있다는 것을 어떻게 알았습니까? 7을 제곱해서 49가 나왔나요? 바르게! 점에 유의하시기 바랍니다 뿌리를 추출하다 49개 중에서 우리는 반대 작업을 수행해야 했습니다. 정사각형 7! 그리고 놓치지 마세요. 아니면 그들이 놓칠 수 있습니다 ...

거기에 어려움이 있다 뿌리 추출. 제곱아무 문제 없이 모든 숫자가 가능합니다. 열에서 숫자 자체를 곱하면 됩니다. 이 아니라면 뿌리 추출이렇게 간단하고 문제가 없는 기술은 없습니다. 계정 찾다답하고 제곱에 의한 적중 여부를 확인하십시오.

이 복잡한 창작 과정(답을 선택하는 것)은 다음과 같은 경우 크게 단순화됩니다. 기억하다인기있는 숫자의 사각형. 구구단처럼요. 예를 들어, 4에 6을 곱해야 하는 경우 - 4를 6으로 더하지 않습니까? 대답은 즉시 24로 나타납니다. 모든 사람이 가지고 있는 것은 아니지만 예 ...

뿌리를 사용하여 자유롭고 성공적인 작업을 위해서는 1에서 20까지의 숫자의 제곱을 아는 것으로 충분합니다. 또한, 거기그리고 뒤.저것들. 예를 들어 11의 제곱과 121의 제곱근과 같이 둘 다 쉽게 이름을 지정할 수 있어야 합니다. 이 암기를 달성하기 위해 두 가지 방법이 있습니다. 첫 번째는 정사각형의 표를 배우는 것입니다. 이것은 예제와 함께 많은 도움이 될 것입니다. 둘째, 결정 더 많은 예. 정사각형의 표를 기억하는 것이 좋습니다.

그리고 계산기가 없습니다! 확인용입니다. 그렇지 않으면 시험 중에 무자비하게 느려질 것입니다 ...

그래서, 제곱근이란 무엇입니까그리고 어떻게 뿌리를 뽑다- 이해할 수 있을 것 같아요. 이제 무엇에서 추출할 수 있는지 알아보겠습니다.

포인트 2. 루트, 난 당신을 몰라!

어떤 숫자에서 제곱근을 취할 수 있습니까? 예, 거의 모든. 무엇인지 이해하기가 더 쉽습니다 그것은 금지되어 있습니다그것들을 추출하십시오.

이 루트를 계산해 보겠습니다.

이렇게 하려면 제곱이 -4를 줄 수 있는 숫자를 선택해야 합니다. 우리는 선택합니다.

선택되지 않은 것은? 2 2는 +4를 제공합니다. (-2) 2는 다시 +4를 제공합니다! 그게 다야 ... 제곱하면 음수가 나오는 숫자는 없습니다! 숫자를 알고 있음에도 불구하고. 하지만 말하지 않겠습니다.) 대학에 가서 스스로 알아내십시오.

모든 음수와 동일한 이야기가 발생합니다. 따라서 결론:

음수가 제곱근 기호 아래에 있는 식 - 말이 안 된다! 이것은 금지된 작업입니다. 0으로 나누는 것과 같이 금지됩니다. 이 사실을 명심하십시오!또는 다른 말로:

음수에서 제곱근을 추출할 수 없습니다!

그러나 나머지 모든 것 중에서 - 당신은 할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

언뜻보기에 이것은 매우 어렵습니다. 분수를 선택하지만 제곱은 ... 걱정하지 마십시오. 근의 속성을 다룰 때 그러한 예는 동일한 제곱표로 축소됩니다. 삶이 더 쉬워질 것입니다!

좋아 분수. 그러나 우리는 여전히 다음과 같은 표현을 접합니다.

괜찮아. 모두 같은. 2의 제곱근은 제곱했을 때 우리에게 듀스를 줄 수 있는 숫자입니다. 숫자 만 완전히 고르지 않습니다 ... 여기 있습니다 :

흥미롭게도 이 분수는 끝이 없습니다... 이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 제곱근에서 이것은 가장 일반적인 것입니다. 그건 그렇고, 이것이 뿌리가있는 표현을 호출하는 이유입니다 비합리적인. 그런 무한 분수를 항상 쓰는 것이 불편하다는 것은 분명합니다. 따라서 무한 분수 대신 다음과 같이 둡니다.

예제를 풀 때 다음과 같이 추출할 수 없는 것을 얻는다면:

그런 다음 우리는 그대로 둡니다. 이것이 답이 될 것입니다.

아이콘 아래에 있는 내용을 명확하게 이해해야 합니다.

물론 그 수의 근을 취하면 매끄러운, 그렇게 해야 합니다. 예를 들어 형식의 작업에 대한 답변

아주 완전한 대답.

물론 메모리에서 대략적인 값을 알아야합니다.

이 지식은 복잡한 작업의 상황을 평가하는 데 많은 도움이 됩니다.

포인트 3. 가장 교활합니다.

뿌리에 대한 작업의 주요 혼란은 바로 이 유행에 의해 초래됩니다. 자신감을 주는 사람이다. 자신의 힘... 이 유행에 제대로 대처하자!

우선, 우리는 다시 4의 제곱근을 추출합니다. 뭐, 이미 이 루트를 가지고 있었나요?) 아무것도 아닙니다. 이제 흥미로울 것입니다!

4의 제곱에 들어갈 숫자는? 글쎄, 둘, 둘-불만족스러운 대답을 들었습니다 ...

오른쪽. 둘. 그러나 또한 빼기 2 4 제곱을 줄 것입니다 ... 한편, 대답

정답과 정답

가장 큰 실수. 이와 같이.

그래서 무슨 거래?

실제로, (-2) 2 = 4. 그리고 4의 제곱근의 정의에 따라 빼기 2아주 적합합니다 ... 이것은 또한 4의 제곱근입니다.

하지만! 학교 수학 과정에서 제곱근을 고려하는 것이 일반적입니다. 음수가 아닌 숫자만!즉, 0이고 모두 양수입니다. 특별한 용어도 만들어졌습니다. 번호에서 ㅏ- 이것은 음이 아닌제곱이 인 숫자 ㅏ. 산술 제곱근을 추출할 때 음수 결과는 단순히 폐기됩니다. 학교에서 모든 제곱근 - 산수. 구체적으로 언급되지는 않았지만.

알겠습니다. 부정적인 결과를 가지고 장난치지 않는 것이 더 낫습니다. 아직은 혼란스럽지 않습니다.

혼란은 이차 방정식을 풀 때 시작됩니다. 예를 들어 다음 방정식을 풀어야 합니다.

방정식은 간단합니다. 답을 씁니다(가르친 대로).

이 답변(아주 정확하지만)은 축약된 표기법일 뿐입니다. 둘답변:

그만 그만! 조금 더 높이 제곱근은 숫자라고 썼습니다 언제나비음성! 그리고 여기에 답 중 하나가 있습니다. 부정적인! 무질서. 이것은 뿌리에 대한 불신을 일으키는 첫 번째(마지막이 아닌) 문제입니다... 이 문제를 해결합시다. 다음과 같이 (순전히 이해를 위해!) 답을 적어 보겠습니다.

괄호는 답의 본질을 바꾸지 않습니다. 그냥 대괄호로 구분했어요 표지판~에서 뿌리. 이제 루트 자체(괄호 안)가 여전히 음수가 아님을 분명히 알 수 있습니다! 그리고 징후는 방정식을 푼 결과. 결국, 방정식을 풀 때 다음과 같이 써야 합니다. 모두 x는 원래 방정식에 대입할 때 올바른 결과를 제공합니다. 5의 근(양수!)은 더하기와 빼기가 모두 있는 방정식에 적합합니다.

이와 같이. 만약 너라면 그냥 제곱근을 가져 가라.당신이 무엇이든에서 언제나가져 오기 하나의 음수가 아닌결과. 예를 들어:

그것 때문에 - 산술 제곱근.

하지만 결정한다면 이차 방정식, 유형:

그 다음에 언제나그것은 밝혀 둘답(더하기 및 빼기 포함):

방정식의 해이기 때문입니다.

희망, 제곱근이란 무엇입니까당신은 당신의 포인트와 함께 맞습니다. 이제 뿌리로 무엇을 할 수 있는지, 그 속성은 무엇인지 알아내는 것이 남아 있습니다. 그리고 유행과 수중 상자는 무엇입니까 ... 실례합니다, 돌!)

이 모든 것 - 다음 수업에서.

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예제를 푸는 연습을 하고 레벨을 알 수 있습니다. 즉각적인 검증으로 테스트합니다. 학습 - 관심을 가지고!)

함수와 파생어에 대해 알 수 있습니다.

문해력의 표시인 많은 지식 중에서 알파벳이 1위입니다. 다음으로 동일한 "기호" 요소는 덧셈-곱셈의 기술이며 이에 인접하지만 의미가 반대인 뺄셈-나눗셈의 산술 연산입니다. 원격 학교 어린 시절에서 배운 기술은 TV, 신문, SMS, 그리고 우리가 읽고, 쓰고, 세고, 더하고, 빼고, 곱하는 등 밤낮으로 충실하게 봉사합니다. 그리고 말해보세요. 시골을 제외하고는 삶에 뿌리를 내려야 했던 적이 자주 있었나요? 예를 들어, 숫자 12345의 제곱근과 같은 재미있는 문제는 ... 분말 플라스크에 화약이 여전히 있습니까? 우리가 할 수 있습니까? 예, 더 쉬운 것은 없습니다! 내 계산기는 어디에 있습니까 ... 그리고 그것 없이는 손에서 손을 맞대고 약합니까?

먼저 숫자의 제곱근이 무엇인지 명확히 합시다. 일반적으로 말해서, "수에서 근을 추출하다"는 거듭제곱에 반대되는 산술 연산을 수행하는 것을 의미합니다. 제곱이 그 자체로 숫자의 곱셈이라고 가정해 봅시다. 즉, 학교에서 가르쳤던 것처럼 X * X = A 또는 다른 표기법으로 X2 = A, 즉 "X 제곱은 A와 같습니다". 그러면 역 문제는 다음과 같이 들립니다. 숫자 A의 제곱근은 제곱했을 때 A와 동일한 숫자 X입니다.

제곱근 추출

학교 산술 과정에서 "열에서"계산 방법이 알려져 있으며 처음 4 개를 사용하여 계산을 수행하는 데 도움이됩니다. 산술 연산. 아아 ... 제곱뿐만 아니라 제곱의 경우 그러한 알고리즘의 근은 존재하지 않습니다. 그리고 이 경우 계산기 없이 제곱근을 추출하는 방법은 무엇입니까? 제곱근의 정의에 따라 단 하나의 결론이 있습니다. 제곱근이 루트 표현식의 값에 접근하는 순차적인 숫자 열거로 결과 값을 선택해야 합니다. 오직 그리고 모든 것! 제곱근인 "열"에 곱하는 잘 알려진 방법을 사용하여 계산할 수 있으므로 한 두 시간은 경과할 시간이 없습니다. 기술이 있다면 몇 분이면 충분합니다. 고급 계산기나 PC 사용자가 아니더라도 한 번에 진행됩니다.

그러나 진지하게, 제곱근 계산은 종종 "포병 포크" 기술을 사용하여 수행됩니다. 먼저 제곱근이 대략 루트 표현식에 해당하는 숫자를 사용합니다. "our square"가 이 표현보다 약간 작으면 더 좋습니다. 그런 다음 그들은 자신의 기술 이해에 따라 숫자를 수정합니다. 예를 들어 2를 곱하고 ... 다시 제곱합니다. 결과가 더 많은 숫자루트 아래에서 원래 번호를 순차적으로 조정하고 점차 루트 아래의 "동료"에 접근합니다. 보시다시피 - 계산기가 없으며 "열에서"계산하는 기능만 있습니다. 물론 제곱근을 계산하기 위해 과학적으로 합리적이고 최적화된 알고리즘이 많이 있지만 "가정용"의 경우 위 기술은 결과에 100% 신뢰를 줍니다.

예, 문맹률 증가를 확인하기 위해 이전에 표시된 숫자 12345의 제곱근을 계산하는 것을 거의 잊었습니다. 단계별로 수행합니다.

1. 순전히 직관적으로 X=100을 취하십시오. 계산해 봅시다: X * X = 10000. 직관이 맨 위에 있으며 결과는 12345보다 작습니다.

2. 순전히 직관적으로 X = 120을 시도해 보겠습니다. 그러면 X * X = 14400입니다. 그리고 다시 직관으로 주문하면 결과가 12345보다 큽니다.

3. 위에서 100과 120의 "포크"가 얻어졌습니다. 새로운 숫자(110과 115)를 선택합시다. 각각 12100과 13225를 얻습니다. 포크가 좁아집니다.

4. "아마도" X = 111을 시도합니다. 우리는 X * X = 12321을 얻습니다. 이 숫자는 이미 12345에 매우 가깝습니다. 필요한 정확도에 따라 얻은 결과에서 "맞춤"을 계속하거나 중지할 수 있습니다. 그게 다야. 약속대로 모든 것이 매우 간단하고 계산기가 없습니다.

약간의 역사...

학교의 학생이자 피타고라스의 추종자인 피타고라스 학파조차도 기원전 800년에 제곱근을 사용할 생각을 했습니다. 그리고 바로 그곳에서 숫자 분야에서 새로운 발견을 "발견"했습니다. 그리고 그것은 어디에서 왔습니까?

1. 루트 추출 문제의 솔루션은 결과를 새로운 클래스의 숫자 형태로 제공합니다. 그들은 비합리적, 즉 "비합리적"이라고 불렀습니다. 그들은 완전한 숫자로 기록되지 않습니다. 이러한 종류의 가장 고전적인 예는 2의 제곱근입니다. 이 경우는 한 변이 1인 정사각형의 대각선 계산에 해당합니다. 여기가 피타고라스 학파의 영향입니다. 매우 구체적인 변의 단위 크기를 가진 삼각형에서 빗변은 "끝이 없는" 숫자로 표현되는 크기를 가지고 있음이 밝혀졌습니다. 그래서 수학에 등장한

2. 이 사실이 밝혀졌다. 수학 연산다른 캐치를 포함합니다 - 루트 추출, 양수 또는 음수의 제곱이 루트 표현식인지 모릅니다. 이 불확실성, 한 번의 작업으로 인한 이중 결과가 기록됩니다.

이 현상과 관련된 문제에 대한 연구는 수학에서 복잡한 변수 이론이라는 방향이 되었으며, 이는 수리 물리학에서 매우 실용적입니다.

근원 명칭인 급진적(radical)이 같은 유비쿼터스 I. Newton에 의해 그의 "Universal Arithmetic"에서 사용되었지만 정확히 현대적인 모습루트 레코드는 1690년부터 Frenchman Roll "Guide to Algebra" 책에서 알려졌습니다.