제곱근이라고 합니다. 숫자의 제곱근을 수동으로 찾는 방법

수학은 사람이 자신을 인식하고 세계의 자율적인 단위로 자리 잡기 시작할 때 태어났습니다. 당신을 둘러싼 것을 측정하고, 비교하고, 계산하려는 욕망 - 이것이 우리 시대의 기초 과학 중 하나의 기초가 되는 것입니다. 처음에는 숫자를 물리적 표현과 연관시킬 수 있는 초등 수학의 일부였으며 나중에 결론이 이론적으로만 제시되기 시작했지만(추상으로 인해) 잠시 후 한 과학자가 말했듯이 " 수학은 모든 숫자가 복잡할 때 복잡성의 한계에 도달했습니다." 제곱근의 개념은 계산의 평면을 넘어 실증적인 데이터로 쉽게 뒷받침될 수 있는 시기에 등장했습니다.

모든 것이 어떻게 시작되었는지

루트에 대한 첫 번째 언급은 이 순간√로 표시된 것은 현대 산술의 토대를 마련한 바빌로니아 수학자들의 저서에 기록되어 있다. 물론, 그들은 현재 형태와 조금 비슷해 보였습니다. 그 해의 과학자들은 처음으로 부피가 큰 정제를 사용했습니다. 그러나 기원전 두 번째 천년기에. 이자형. 그들은 제곱근을 취하는 방법을 보여주는 대략적인 계산 공식을 생각해 냈습니다. 아래 사진은 바빌로니아 과학자들이 출력과정 √2를 새긴 돌을 나타낸 것으로, 정답의 불일치가 소수점 이하 10자리까지만 발견될 정도로 정확했다.

또한 다른 두 변을 알고 있는 경우 삼각형의 한 변을 찾아야 할 경우 근을 사용했습니다. 글쎄, 이차 방정식을 풀 때 근을 추출에서 벗어날 수 없습니다.

바빌로니아 작품과 함께 중국 작품 '구경수학'에서도 그 논문의 대상이 연구되었는데, 고대 그리스에서는 잉여 없이 뿌리를 뽑지 않는 수는 모두 불합리한 결과를 낳는다는 결론에 이르렀다. .

이 용어의 기원은 숫자의 아랍어 표현과 관련이 있습니다. 고대 과학자들은 임의의 숫자의 제곱이 식물처럼 뿌리에서 자랍니다. 라틴어에서 이 단어는 기수처럼 들립니다(패턴을 추적할 수 있습니다. "루트" 의미론적 부하가 있는 모든 것은 자음입니다. 무우나 좌골신경통).

다음 세대의 과학자들은 이 아이디어를 Rx라고 명명했습니다. 예를 들어, 15세기에는 제곱근이 임의의 숫자 a에서 취해진 것임을 나타내기 위해 R 2 a를 썼습니다. 습관적인 현대적인 모습"틱"√는 르네 데카르트 덕분에 17세기에만 나타났습니다.

우리의 날들

수학적으로 y의 제곱근은 제곱이 y인 숫자 z입니다. 즉, z 2 =y는 √y=z와 같습니다. 그러나 이 정의는 식의 음수가 아닌 값을 의미하기 때문에 산술 루트에만 관련이 있습니다. 즉, √y=z, 여기서 z는 0보다 크거나 같습니다.

일반적으로 대수근을 결정하는 데 유효한 식의 값은 양수 또는 음수일 수 있습니다. 따라서 z 2 =y 및 (-z) 2 =y라는 사실 때문에 √y=±z 또는 √y=|z|가 됩니다.

수학에 대한 사랑은 과학의 발전과 함께 증가했기 때문에 건식 계산으로 표현되지 않는 다양한 애착 표현이 있습니다. 예를 들어 Pi의 날과 같은 흥미로운 이벤트와 함께 제곱근의 휴일도 축하됩니다. 그들은 100년 동안 아홉 번 경축되며 다음 원칙에 따라 결정됩니다. 일과 월을 순서대로 나타내는 숫자는 연도의 제곱근이어야 합니다. 예, 에 다음번이 휴일은 2016년 4월 4일에 축하될 것입니다.

필드 R의 제곱근 속성

거의 모든 수학적 표현은 기하학적 기반을 가지고 있습니다. 이 운명은 통과하지 않았고 √y는 면적이 y인 정사각형의 한 변으로 정의됩니다.

숫자의 근을 찾는 방법?

여러 계산 알고리즘이 있습니다. 가장 간단하지만 동시에 매우 번거로운 것은 다음과 같은 일반적인 산술 계산입니다.

1) 루트가 필요한 숫자에서 홀수를 차례로 뺍니다-출력의 나머지가 뺀 것 또는 짝수보다 작을 때까지 영. 이동 횟수는 결국 원하는 수가 됩니다. 예를 들어, 계산 제곱근 25개 중:

다음 홀수는 11이고 나머지는 1입니다.<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

이러한 경우에는 Taylor 급수 전개가 있습니다.

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , 여기서 n은 0에서 까지의 값을 취합니다

+∞ 및 |y|≤1.

함수 z=√y의 그래픽 표현

실수 R의 필드에서 기본 함수 z=√y를 고려하십시오. 여기서 y는 0보다 크거나 같습니다. 그녀의 차트는 다음과 같습니다.

곡선은 원점에서 자라며 반드시 점(1; 1)과 교차합니다.

실수 R 필드에 대한 함수 z=√y의 속성

1. 고려되는 기능의 정의 영역은 0에서 플러스 무한대(0이 포함됨)까지의 간격입니다.

2. 고려되는 함수의 값 범위는 0에서 더하기 무한대까지의 간격입니다(0이 다시 포함됨).

3. 이 함수는 지점(0, 0)에서만 최소값(0)을 취합니다. 최대값은 없습니다.

4. z=√y 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

5. z=√y 함수는 주기적이지 않습니다.

6. 함수 z=√y의 그래프와 좌표축(0, 0)이 교차하는 지점은 단 하나뿐입니다.

7. z=√y 함수 그래프의 교점은 이 함수의 0이기도 합니다.

8. z=√y 함수는 계속해서 증가합니다.

9. z=√y 함수는 양수 값만 취하므로 그래프가 첫 번째 좌표 각도를 차지합니다.

함수 z=√y 표시 옵션

수학에서는 복잡한 표현의 계산을 용이하게 하기 위해 제곱근을 쓰는 거듭제곱 형식을 사용합니다. √y=y 1/2. 이 옵션은 예를 들어 함수를 거듭제곱할 때 편리합니다. (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . 이 방법은 또한 제곱근이 일반 거듭제곱 함수로 표시되기 때문에 적분을 통한 미분에 대한 좋은 표현입니다.

그리고 프로그래밍에서 √ 기호의 대체는 문자 sqrt의 조합입니다.

이 영역에서 제곱근은 계산에 필요한 대부분의 기하 공식의 일부이기 때문에 큰 수요가 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 카운팅 알고리즘 자체는 상당히 복잡하며 재귀(자신을 호출하는 함수)를 기반으로 합니다.

복소수 필드 C의 제곱근

대체로 이 기사의 주제는 복소수 C 분야의 발견을 자극했습니다. 수학자들은 음수에서 짝수 차수를 구하는 문제에 골머리를 앓았기 때문입니다. 이것은 매우 흥미로운 속성이 특징인 허수 단위 i가 나타난 방법입니다. 제곱은 -1입니다. 덕분에 이차 방정식과 음의 판별식을 사용하여 솔루션을 얻었습니다. C에서 제곱근에 대해 동일한 속성이 R과 관련이 있지만 유일한 것은 루트 표현식에 대한 제한이 제거된다는 것입니다.

토지의 평방 플롯의 면적은 81 dm²입니다. 그의 편을 찾아라. 정사각형의 한 변의 길이가 다음과 같다고 가정합니다. 엑스데시미터. 그런 다음 음모의 면적은 엑스² 제곱 데시미터. 조건에 따라이 면적은 81dm²이므로 엑스² = 81. 정사각형의 한 변의 길이는 양수입니다. 제곱이 81인 양수는 숫자 9입니다. 문제를 풀 때 제곱이 81인 숫자 x를 찾아야 했습니다. 즉, 방정식을 풉니다. 엑스² = 81. 이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 엑스 1 = 9 및 엑스 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 및 (- 9)² \u003d 81 이후. 숫자 9와 - 9는 숫자 81의 제곱근이라고 합니다.

제곱근 중 하나에 유의하십시오. 엑스= 9는 양수입니다. 81의 산술 제곱근이라고 하며 √81로 표시되므로 √81 = 9입니다.

숫자의 산술 제곱근 ㅏ제곱이 다음과 같은 음수가 아닌 숫자입니다. ㅏ.

예를 들어, 숫자 6과 -6은 숫자 36의 제곱근입니다. 이 경우 숫자 6은 음수가 아닌 숫자이고 6² \u003d 36이기 때문에 숫자 6은 36의 산술 제곱근입니다. 숫자 - 6은 아니다 산술 루트.

숫자의 산술 제곱근 ㅏ√ ㅏ.

기호를 산술 제곱근 기호라고 합니다. ㅏ루트 표현식이라고 합니다. 식 √ ㅏ읽다 이와 같이: 숫자의 산술 제곱근 ㅏ.예를 들어, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7입니다. 우리가 산술 근에 대해 이야기하고 있는 것이 분명한 경우에는 간단히 다음과 같이 말합니다. ㅏ«.

어떤 수의 제곱근을 구하는 행위를 제곱근이라고 합니다. 이 동작은 제곱의 역순입니다.

모든 숫자를 제곱할 수 있지만 모든 숫자가 제곱근이 될 수는 없습니다. 예를 들어, 숫자의 제곱근 - 4를 추출하는 것은 불가능합니다. 그러한 루트가 존재하면 문자로 표시합니다. 엑스, 왼쪽에 음수가 아닌 숫자가 있고 오른쪽에 음수가 있기 때문에 잘못된 평등 x² \u003d - 4를 얻을 수 있습니다.

식 √ ㅏ때만 의미가 있습니다. ≥ 0. 제곱근의 정의는 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다. √ ≥ 0, (√ㅏ)² = ㅏ. 평등(√ ㅏ)² = ㅏ유효한 ≥ 0. 따라서 음수가 아닌 숫자의 제곱근이 ㅏ같음 비, 즉, √ ㅏ =비, 다음 두 가지 조건이 충족되는지 확인해야 합니다. b ≥ 0, 비² = ㅏ.

분수의 제곱근

계산해 봅시다. √25 = 5, √36 = 6에 유의하고 같음이 유지되는지 확인합니다.

처럼 그리고 , 평등은 참입니다. 그래서, .

정리:만약 ㅏ≥ 0 및 비> 0, 즉 분수의 근 루트와 동일분자에서 분모의 근으로 나눈 값. 다음을 증명해야 합니다. .

√ 이후 ㅏ≥0 및 √ 비> 0, 그러면 .

분수를 거듭제곱하여 제곱근을 구하는 성질로 정리가 증명되었습니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

입증된 정리에 따라 계산 .

두 번째 예: 증명 , 만약 ㅏ ≤ 0, 비 < 0. .

다른 예: 계산 .

.

제곱근 변환

루트의 부호 아래에서 승수를 가져옵니다. 표현을 해보자. 만약 ㅏ≥ 0 및 비≥ 0이면 곱의 근에 대한 정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이러한 변환을 루트 기호 빼기라고 합니다. 예를 고려하십시오.

계산 엑스= 2. 직접 대체 엑스급진적 표현에서 = 2는 복잡한 계산을 초래합니다. 루트 기호 아래에서 요소를 먼저 제거하면 이러한 계산을 단순화할 수 있습니다. 이제 x = 2를 대입하면 다음을 얻습니다.

따라서 근 기호 아래에서 인수를 빼면 하나 이상의 인수가 음이 아닌 숫자의 제곱인 곱으로 급진적 표현이 나타납니다. 그런 다음 근 곱 정리가 적용되고 각 요인의 근이 사용됩니다. 예를 고려하십시오. 처음 두 항의 루트 기호 아래에서 인수를 제거하여 식 A = √8 + √18 - 4√2를 단순화하면 다음을 얻습니다. 우리는 평등을 강조합니다 경우에만 유효 ㅏ≥ 0 및 비≥ 0. 만약 ㅏ < 0, то .

지수화는 주어진 숫자에 특정 횟수만큼 곱해야 함을 의미합니다. 예를 들어 숫자 2를 5제곱하면 다음과 같습니다.

자신을 곱해야 하는 수를 차수의 밑이라고 하고, 곱한 횟수가 지수입니다. 거듭제곱하는 것은 지수 찾기와 밑수 찾기라는 두 가지 반대 작업에 해당합니다.

뿌리 추출

지수의 밑을 찾는 것을 근추출이라고 합니다. 이것은 주어진 숫자를 얻기 위해 n의 거듭제곱으로 올려야 하는 숫자를 찾아야 함을 의미합니다.

예를 들어 숫자 16의 4번째 근을 추출해야 합니다. 결정하려면 최종적으로 16을 얻으려면 자신을 4번 곱해야 합니다. 이 숫자는 2입니다.

그런 산술 연산특수 기호를 사용하여 작성됩니다 - 급진적: √, 그 위에 지수가 왼쪽에 표시됩니다.

산술 루트

지수가 우수, 루트는 동일한 계수를 가진 두 개의 숫자가 될 수 있지만 양수와 음수입니다. 따라서 주어진 예에서 숫자 2와 -2가 될 수 있습니다.

표현식은 모호하지 않아야 합니다. 하나의 결과가 있습니다. 이를 위해 양수만 가능한 산술 근의 개념이 도입되었습니다. 산술 근은 0보다 작을 수 없습니다.

따라서 위에서 논의한 예에서 숫자 2만 산술 루트가 되고 두 번째 답인 -2는 정의에 의해 제외됩니다.

제곱근

다른 학위보다 더 자주 사용되는 일부 학위에는 원래 기하학과 관련된 특수 이름이 있습니다. 그것은 관하여두 번째 및 세 번째 권력으로 끌어 올리는 것에 대해.

두 번째 거듭제곱으로, 면적을 계산해야 할 때 정사각형의 한 변의 길이입니다. 정육면체의 부피를 구해야 하는 경우 모서리의 길이는 3승입니다. 따라서 수의 제곱이라고 하고 세 번째를 입방체라고 합니다.

따라서 2차의 근을 제곱이라고 하고, 3차의 근을 3차라고 합니다. 제곱근은 다음과 같이 쓸 때 근수 위에 지수가 없는 유일한 근입니다.

따라서 주어진 숫자의 산술 제곱근은 주어진 숫자를 얻기 위해 두 번째 거듭제곱으로 올려야 하는 양수입니다.

분해할 시간입니다 뿌리 추출 방법. 그들은 근의 속성, 특히 음수가 아닌 숫자에 대해 참인 평등에 기반합니다. b.

아래에서 우리는 뿌리를 추출하는 주요 방법을 차례로 고려할 것입니다.

정사각형 테이블, 큐브 테이블 등을 사용하여 자연수에서 근을 추출하는 가장 간단한 경우부터 시작하겠습니다.

정사각형, 큐브 등의 테이블의 경우 가까이에 있지 않은 경우 루트 번호를 간단한 요소로 분해하는 루트 추출 방법을 사용하는 것이 논리적입니다.

이와는 별도로 지수가 홀수인 뿌리에 대해 거주할 가치가 있습니다.

마지막으로 루트 값의 자릿수를 순차적으로 찾을 수 있는 방법을 고려하십시오.

시작하자.

정사각형 테이블, 큐브 테이블 등을 사용합니다.

가장 간단한 경우정사각형, 정육면체 등의 테이블은 뿌리 추출을 허용합니다. 이 테이블은 무엇입니까?

0에서 99까지의 정수 제곱 표(아래 참조)는 두 개의 영역으로 구성됩니다. 테이블의 첫 번째 영역은 회색 배경에 있으며 선택 영역을 사용하고 있습니다. 특정 문자열특정 열을 사용하면 0에서 99까지의 숫자를 만들 수 있습니다. 예를 들어 8개의 10개 행과 3개 단위의 열을 선택하고 이를 통해 숫자 83을 고정했습니다. 두 번째 영역은 테이블의 나머지 부분을 차지합니다. 각 셀은 특정 행과 특정 열의 교차점에 위치하며 0에서 99까지 해당 숫자의 제곱을 포함합니다. 우리가 선택한 8개의 10 행과 1의 3열이 교차하는 지점에 숫자 83의 제곱인 숫자 6889가 있는 셀이 있습니다.

정육면체 표, 0에서 99까지의 숫자의 4승 표 등은 사각형 표와 유사하지만 두 번째 영역에 정육면체, 4승 등이 포함되어 있을 뿐입니다. 해당 숫자.

정사각형, 정육면체, 4승 등의 표 제곱근을 추출할 수 있습니다. 큐브 루트, 네 번째 뿌리 등 이 표의 숫자에서 각각. 뿌리 추출에 적용하는 원리를 설명하겠습니다.

숫자 a에서 n차의 근을 추출해야 하고 숫자 a는 n차 테이블에 포함되어 있다고 가정해 보겠습니다. 이 표에 따르면 a=b n 인 숫자 b를 찾습니다. 그 다음에 따라서 숫자 b는 원하는 n차 근이 됩니다.

예를 들어 큐브 테이블을 사용하여 19683의 큐브 루트를 추출하는 방법을 보여 드리겠습니다. 우리는 큐브 테이블에서 숫자 19 683을 찾았습니다. 이 숫자는 숫자 27의 큐브임을 알 수 있습니다. 따라서, .

근을 추출할 때 n차 테이블이 매우 편리하다는 것은 분명합니다. 그러나 그들은 종종 손에 있지 않으며 편집에는 일정 시간이 필요합니다. 또한 해당 테이블에 포함되지 않은 숫자에서 근을 추출해야 하는 경우가 많습니다. 이러한 경우 뿌리를 추출하는 다른 방법에 의존해야 합니다.

근수를 소인수로 분해

충분한 편리한 방법, 자연수에서 근을 추출할 수 있는(물론 근이 추출되는 경우) 근수를 소인수로 분해하는 것입니다. 그의 본질은 다음과 같다: 루트 값을 얻을 수 있도록 원하는 지표를 사용하여 각도로 표현하는 것이 매우 쉽습니다. 이 점을 설명합시다.

자연수 a에서 n차의 근을 추출하고 그 값은 b와 같습니다. 이 경우 등식 a=b n은 참입니다. 숫자 b 자연수는 모든 소인수 p 1 , p 2 , ..., p m 의 곱으로 p 1 p 2 ... p m 형식으로 나타낼 수 있으며 이 경우 근수 a는 (p 1 p 2 ... 오후) n. 수를 소인수로 분해하는 것은 고유하기 때문에 근수 a를 소인수로 분해하면 (p 1 ·p 2 ·...·p m) n 과 같이 될 것이며, 이를 통해 근의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다. .

근수 a 의 인수분해가 (p 1 ·p 2 ·...·p m) n 형식으로 표현될 수 없는 경우, 그러한 수 a에서 n차 근이 완전히 추출되지 않는다는 점에 유의하십시오.

예제를 풀 때 이것을 다루도록 합시다.

예시.

144의 제곱근을 취하십시오.

결정.

이전 단락에서 주어진 제곱표로 돌아가면 144=12 2 임을 분명히 알 수 있으며, 여기서 144의 제곱근은 12임이 분명합니다.

그러나 이 점에 비추어 우리는 근수 144를 소인수로 분해하여 근을 추출하는 방법에 관심이 있습니다. 이 솔루션을 살펴보겠습니다.

분해하자 144에서 소인수:

즉, 144=2 2 2 2 3 3 입니다. 결과 분해를 기반으로 다음 변환을 수행할 수 있습니다. 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. 따라서, .

차수의 속성과 뿌리의 속성을 사용하여 솔루션은 약간 다르게 공식화될 수 있습니다.

답변:

자료를 통합하려면 두 가지 예의 솔루션을 더 고려하십시오.

예시.

루트 값을 계산합니다.

결정.

근수 243의 소인수분해는 243=3 5 입니다. 따라서, .

답변:

예시.

루트 값이 정수입니까?

결정.

이 질문에 답하기 위해 근수를 소인수로 분해하여 정수의 세제곱으로 나타낼 수 있는지 살펴보겠습니다.

285 768=2 3 3 6 7 2 가 있습니다. 소인수 7의 차수가 3의 배수가 아니기 때문에 결과 분해는 정수의 세제곱으로 표시되지 않습니다. 따라서 285,768의 세제곱근은 완전히 취하지 않습니다.

답변:

아니요.

분수에서 근 추출하기

뿌리가 어떻게 추출되는지 알아낼 때입니다. 분수. 분수 근수를 p/q 로 작성합니다. 몫의 근의 속성에 따르면 다음 등식은 참입니다. 이 평등으로부터 다음과 같다. 분수 루트 규칙: 분수의 근은 분자의 근을 분모의 근으로 나눈 몫과 같습니다.

분수에서 근을 추출하는 예를 살펴보겠습니다.

예시.

의 제곱근은 무엇입니까 공통 분수 25/169 .

결정.

제곱표에 따르면 원래 분수의 분자 제곱근은 5이고 분모의 제곱근은 13입니다. 그 다음에 . 이렇게 하면 일반 분수 25/169에서 근 추출이 완료됩니다.

답변:

소수 또는 대분수의 근은 근수를 일반 분수로 대체한 후 추출됩니다.

예시.

십진수 474.552의 세제곱근을 취하십시오.

결정.

474.552=474552/1000 과 같이 원래 소수를 공통 분수로 표현해 보겠습니다. 그 다음에 . 결과 분수의 분자와 분모에 있는 세제곱근을 추출해야 합니다. 처럼 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 및 1 000=10 3 , 다음 그리고 . 계산을 완료하는 것만 남아 있습니다. .

답변:

.

음수의 근 추출

이와는 별도로 음수에서 근을 추출하는 데 집중할 가치가 있습니다. 근을 연구할 때 근의 지수가 홀수이면 음수가 근의 부호 아래에 있을 수 있다고 말했습니다. 이러한 표기법에 다음과 같은 의미를 부여했습니다. 음수 −a와 근 2 n−1의 홀수 지수에 대해 . 이 평등은 음수에서 홀수 근을 추출하는 규칙: 음수의 근을 추출하려면 반대 양수의 근을 추출하고 결과 앞에 빼기 기호를 넣어야 합니다.

예제 솔루션을 고려해 보겠습니다.

예시.

루트 값을 찾으십시오.

결정.

루트 기호 아래에 양수가 나타나도록 원래 표현식을 변환해 보겠습니다. . 이제 대분수를 일반 분수로 바꿉니다. . 일반 분수에서 근을 추출하는 규칙을 적용합니다. . 결과 분수의 분자와 분모에서 근을 계산하는 것이 남아 있습니다. .

솔루션 요약은 다음과 같습니다. .

답변:

.

비트 단위로 루트 값 찾기

일반적으로 루트 아래에는 위에서 설명한 기술을 사용하여 어떤 숫자의 n제곱으로 나타낼 수 없는 숫자가 있습니다. 그러나 동시에 적어도 특정 부호까지는 주어진 근의 값을 알아야 할 필요가 있습니다. 이 경우 루트를 추출하기 위해 원하는 숫자의 자릿수에 대해 충분한 수의 값을 일관되게 얻을 수 있는 알고리즘을 사용할 수 있습니다.

첫 번째 단계에서 이 알고리즘루트 값의 가장 중요한 비트가 무엇인지 알아야 합니다. 이를 위해 0, 10, 100, ... 숫자를 루트 숫자를 초과하는 숫자가 얻어질 때까지 n의 거듭제곱으로 연속적으로 올립니다. 그런 다음 이전 단계에서 n의 거듭제곱으로 올린 숫자는 해당하는 상위 차수를 나타냅니다.

예를 들어, 5의 제곱근을 추출할 때 알고리즘의 이 단계를 고려하십시오. 숫자 0, 10, 100, ...을 가져와서 5보다 큰 숫자가 나올 때까지 제곱합니다. 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , 이는 최상위 숫자가 단위 숫자가 됨을 의미합니다. 이 비트의 값과 낮은 값은 루트 추출 알고리즘의 다음 단계에서 찾을 수 있습니다.

알고리즘의 다음 단계는 모두 원하는 루트 값의 다음 자릿수 값이 가장 높은 것부터 시작하여 가장 낮은 것으로 이동한다는 사실로 인해 루트 값의 연속적인 개선을 목표로 합니다. . 예를 들어, 첫 번째 단계에서 루트 값은 2, 두 번째 단계에서 2.2, 세 번째 단계에서 2.23, 이런 식으로 2.236067977 ... 입니다. 비트 값을 찾는 방법을 설명하겠습니다.

숫자 찾기는 숫자를 열거하여 수행됩니다. 가능한 값 0, 1, 2, ..., 9 . 이 경우 해당 숫자의 n번째 거듭제곱을 병렬로 계산하여 근수와 비교합니다. 어떤 단계에서 차수의 값이 근수를 초과하면 이전 값에 해당하는 자릿수 값을 찾은 것으로 간주하고 루트 추출 알고리즘의 다음 단계로 전환합니다. 이것이 발생하지 않으면 이 숫자의 값은 9입니다.

5의 제곱근을 추출하는 동일한 예를 사용하여 이 모든 점을 설명하겠습니다.

먼저 단위 자릿수의 값을 찾으십시오. 우리는 0, 1, 2, …, 9 값을 반복하고, 근수 5 보다 큰 값을 얻을 때까지 각각 0 2 , 1 2 , … , 9 2 를 계산합니다. 이러한 모든 계산은 테이블 형식으로 편리하게 표시됩니다.

따라서 단위 자릿수의 값은 2입니다(2 2<5 , а 2 3 >5). 10번째 자리의 값을 찾는 방법으로 넘어갑시다. 이 경우 얻은 값을 루트 번호 5와 비교하여 숫자 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9를 제곱합니다.

2.2 이후 2<5 , а 2,3 2 >5에서 열 번째 자리의 값은 2입니다. 다음과 같이 100분의 1의 값을 찾을 수 있습니다.

그래서 발견 다음 값 5의 루트는 2.23과 같습니다. 따라서 계속해서 값을 더 찾을 수 있습니다. 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

재료를 통합하기 위해 고려된 알고리즘을 사용하여 100분의 1의 정확도로 루트 추출을 분석합니다.

먼저 상위 숫자를 정의합니다. 이를 위해 숫자 0, 10, 100 등을 세제곱합니다. 2,151.186보다 큰 숫자를 얻을 때까지. 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 이므로 가장 중요한 숫자는 10자리입니다.

그 가치를 정의합시다.

10 3 이후<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186이면 십진수의 값은 1입니다. 유닛으로 넘어갑시다.

따라서 1의 자리 값은 2입니다. 10으로 이동합시다.

12.9 3 도 근수 2 151.186 보다 작으므로 10번째 자리의 값은 9 입니다. 알고리즘의 마지막 단계를 수행하는 것이 남아 있으며 필요한 정확도로 루트 값을 제공합니다.

이 단계에서 루트 값은 최대 1/100까지 발견됩니다. .

이 기사의 결론으로 ​​나는 뿌리를 추출하는 다른 많은 방법이 있다고 말하고 싶습니다. 그러나 대부분의 작업에서는 위에서 연구한 작업으로 충분합니다.

서지.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 8개의 셀에 대한 교과서. 교육 기관.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 대수와 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10-11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(기술 학교 지원자를 위한 매뉴얼).