부정적인 뿌리를 추가합니다. 제곱근이란 무엇이며 어떻게 더합니까?
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그리고 "매우 균일합니다. "")
이전 수업에서 제곱근이 무엇인지 알아냈습니다. 무엇인지 알아볼 시간입니다 뿌리 공식, 무엇인가 루트 속성그리고 그것에 대해 무엇을 할 수 있는지.
루트 공식, 루트 속성 및 루트가 있는 작업에 대한 규칙본질적으로 같은 것입니다. 제곱근에 대한 공식은 놀랍게도 거의 없습니다. 물론 기쁘게 생각합니다! 오히려 모든 종류의 수식을 많이 작성할 수 있지만 근에 대한 실용적이고 자신감 있는 작업에는 3개만 있으면 충분합니다. 다른 모든 것은 이 세 가지에서 나옵니다. 많은 사람들이 뿌리의 세 가지 공식에서 벗어나 있지만 그렇습니다.
가장 간단한 것부터 시작합시다. 여기 그녀가 있습니다:
나는 당신에게 (이전 수업에서) 상기시켜줍니다. 및 b는 음수가 아닌 숫자입니다.! 그렇지 않으면 공식이 의미가 없습니다.
이것은 뿌리의 속성 , 보시다시피, 간단하고 짧고 무해합니다. 그러나 이 루트 공식을 사용하면 많은 유용한 일을 할 수 있습니다! 살펴보자 예이 모든 유용한 것들.
유용한 것첫 번째. 이 공식은 우리에게 뿌리를 곱하다.
뿌리를 번식하는 방법?
예, 매우 간단합니다. 공식으로 바로 이동합니다. 예를 들어:
그들은 배가 된 것처럼 보일 것입니다. 그래서 무엇입니까? 기쁨이 많습니까? 동의합니다, 조금. 근데 이걸 어떻게 좋아해 예시?
뿌리는 요인에서 정확히 추출되지 않습니다. 그리고 결과는 훌륭합니다! 이미 좋아졌죠? 만일을 대비하여 원하는 만큼 승수가 있을 수 있음을 알려드립니다. 루트 곱셈 공식은 여전히 작동합니다. 예를 들어:
따라서 곱셈을 사용하면 이것이 필요한 이유가 모두 명확해집니다. 뿌리의 속성- 역시 이해할 수 있다.
두 번째로 유용한 것. 루트 기호 아래에 숫자를 입력합니다.
루트 아래에 숫자를 입력하는 방법은 무엇입니까?
다음과 같은 표현식이 있다고 가정해 보겠습니다.
뿌리 안에 듀스를 숨길 수 있습니까? 용이하게! 2에서 근을 만들면 근을 곱하는 공식이 작동합니다. 그리고 듀스에서 뿌리를 만드는 방법? 예, 그것도 질문이 아닙니다! 더블은 4의 제곱근!
그런데 루트는 음수가 아닌 숫자로 만들 수 있습니다! 이것은 이 숫자의 제곱의 제곱근이 됩니다. 3은 9의 근입니다. 8은 64의 근입니다. 11은 121의 근입니다. 음, 등등.
물론 그렇게 디테일하게 칠할 필요는 없다. 단, 초보자용. 음수가 아닌 모든 수에 근을 곱한 값이 근 아래에 올 수 있다는 것을 깨닫는 것으로 충분합니다. 하지만 잊지 마세요! - 루트 아래에서 이 숫자는 정사각형그 자신. 루트 아래에 숫자를 입력하는 이 작업은 숫자에 루트를 곱하는 것이라고 할 수도 있습니다. 일반적으로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
과정은 보시다시피 간단합니다. 그녀가 필요한 이유는 무엇입니까?
모든 변형과 마찬가지로 이 절차는 가능성을 확장합니다. 잔인하고 불편한 표정을 부드럽고 푹신한 표정으로 바꿀 기회). 여기 당신을 위한 간단한 것이 있습니다 예시:
보시다시피 루트 속성,근의 부호 아래에 요인을 도입하는 것을 가능하게 하는 것은 단순화에 매우 적합합니다.
또한 근 아래에 승수를 추가하면 서로 다른 근의 값을 쉽고 간단하게 비교할 수 있습니다. 계산과 계산기 없이! 세 번째 유용한 것.
뿌리를 비교하는 방법?
이 기술은 견고한 임무, 모듈 잠금 해제 및 기타 멋진 일에서 매우 중요합니다.
이 표현들을 비교해보세요. 어느 것이 더 많습니까? 계산기 없이! 각각 계산기와 함께. 어-어. 한마디로 누구나 할 수 있다!)
당신은 즉시 그렇게 말하지 않습니다. 그리고 루트 기호 아래에 숫자를 입력하면?
기억하십시오 (갑자기, 몰랐습니까?) : 루트 기호 아래의 숫자가 더 크면 루트 자체가 더 큽니다! 따라서 복잡한 계산과 계산 없이 즉시 정답을 맞춥니다.
대단해, 그렇지? 하지만 그게 다가 아닙니다! 모든 공식은 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 작동합니다. 우리는 지금까지 왼쪽에서 오른쪽으로 근을 곱하는 공식을 사용했습니다. 이 루트 속성을 오른쪽에서 왼쪽으로 거꾸로 실행해 보겠습니다. 이와 같이:
그리고 차이점은 무엇입니까? 그것은 당신에게 뭔가를 제공합니까!? 틀림없이! 이제 직접 보게 될 것입니다.
(계산기 없이!) 숫자 6561의 제곱근을 추출해야 한다고 가정합니다. 이 단계에서 일부 사람들은 이 작업에 대해 불평등한 투쟁에 빠질 것입니다. 그러나 우리는 완고합니다, 우리는 포기하지 않습니다! 유용한 것 네 번째.
큰 숫자에서 뿌리를 추출하는 방법은 무엇입니까?
우리는 제품에서 뿌리를 추출하는 공식을 기억합니다. 제가 위에 올렸던 글입니다. 그러나 우리의 일은 어디에 있습니까? 우리는 엄청난 숫자 6561을 가지고 있고 그게 다야. 예, 예술은 없습니다. 하지만 필요하다면 우리는 하자! 이 숫자를 인수분해 합시다. 우리는 권리가 있습니다.
먼저, 이 숫자가 정확히 무엇으로 나누어 떨어지는지 알아볼까요? 뭐야, 몰라!? 나눗셈의 신호를 잊었습니까!? 헛되이. 이동 특별 섹션 555, 주제는 "분수"입니다. 거기에 있습니다. 이 숫자는 3과 9로 나눌 수 있습니다. 숫자의 합(6+5+6+1=18)은 이 숫자로 나눌 수 있기 때문입니다. 이것은 분할의 징후 중 하나입니다. 우리는 3으로 나눌 필요가 없지만(이제 그 이유를 알게 될 것입니다), 9로 나눌 것입니다. 적어도 구석에서. 우리는 729를 얻었습니다. 그래서 우리는 두 가지 요소를 찾았습니다! 첫 번째는 9(우리가 직접 선택)이고 두 번째는 729(그렇게 나타남)입니다. 이미 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
아이디어를 얻으셨나요? 숫자 729도 똑같이 해봅시다. 그것은 또한 3과 9로 나눌 수 있습니다. 다시, 우리는 3으로 나누지 않고 9로 나눕니다. 우리는 81을 얻습니다. 그리고 우리는 이 숫자를 압니다! 우리는 다음과 같이 기록합니다.
모든 것이 쉽고 우아하게 밝혀졌습니다! 뿌리는 한 조각씩 제거해야 했습니다. 글쎄요. 이것은 어떤 것으로도 할 수 있습니다 큰 숫자. 곱하고 가십시오!
그건 그렇고, 왜 3으로 나눌 필요가 없었습니까? 3의 근이 정확히 추출되지 않기 때문에 그렇습니다! 적어도 하나의 뿌리를 잘 추출할 수 있는 요소로 분해하는 것이 합리적입니다. 4, 9, 16 등입니다. 엄청난 수를 이 숫자로 차례로 나누면 운이 좋은 것입니다!
그러나 반드시 그런 것은 아닙니다. 운이 좋지 않을 수도 있습니다. 숫자 432를 인수분해하고 제품에 대한 루트 공식을 사용하면 다음과 같은 결과가 나온다고 가정해 보겠습니다.
글쎄, 알았어. 어쨌든 우리는 표현을 단순화했습니다. 수학에서는 가장 많이 남기는 것이 관례입니다. 작은 수가능한 것. 해결하는 과정에서 모든 것이 예제에 의존하지만(어쩌면 모든 것이 단순화 없이 축소될 수도 있음) 대답에서는 더 이상 단순화할 수 없는 결과를 제공해야 합니다.
그건 그렇고, 지금 우리가 432의 루트로 무엇을했는지 아십니까?
우리 뿌리의 부호 아래에서 요소를 제거했습니다. ! 그것이 바로 이 수술이라고 불리는 것입니다. 그리고 나서 작업이 떨어질 것입니다-" 루트의 부호 아래에서 인수를 빼다"하지만 남자들은 알지도 못합니다.) 여기에 또 다른 용도가 있습니다. 루트 속성.유용한 것 다섯 번째.
루트 아래에서 승수를 제거하는 방법은 무엇입니까?
용이하게. 루트 표현식을 인수분해하고 추출된 루트를 추출합니다. 우리는 본다:
초자연적인 것은 없습니다. 올바른 승수를 선택하는 것이 중요합니다. 여기에서 우리는 72를 36 2로 분해했습니다. 그리고 모든 것이 잘되었습니다. 또는 다르게 분해했을 수도 있습니다: 72 = 6 12. 그래서 뭐!? 6이나 12에서 루트가 추출되지 않습니다. 어떻게 할까요?!
괜찮아. 또는 다른 분해 옵션을 찾거나 모든 것을 계속해서 끝까지 배치하십시오! 이와 같이:
보시다시피 모든 것이 잘되었습니다. 그건 그렇고, 이것은 가장 빠른 것은 아니지만 가장 신뢰할 수 있는 방법. 숫자를 가장 작은 요소로 분해한 다음 같은 요소를 더미로 수집합니다. 이 방법은 불편한 근을 곱할 때도 성공적으로 적용됩니다. 예를 들어 다음을 계산해야 합니다.
모든 것을 곱하십시오 - 당신은 미친 숫자를 얻습니다! 그런 다음 루트를 추출하는 방법?! 다시 곱하기? 아니요, 추가 작업이 필요하지 않습니다. 우리는 즉시 요소로 분해하고 같은 것을 더미로 수집합니다.
그게 다야. 물론 스톱까지 레이아웃할 필요는 없습니다. 모든 것은 개인의 능력에 따라 결정됩니다. 예제를 다음 상태로 가져왔습니다. 모든 것이 당신에게 분명합니다그래서 당신은 이미 셀 수 있습니다. 중요한 것은 실수하지 않는 것입니다. 수학을 위한 남자가 아니라 남자를 위한 수학!)
지식을 실전에 적용해 볼까요? 간단한 것부터 시작하겠습니다.
제곱근 추가 규칙
제곱근의 속성
지금까지 덧셈, 뺄셈, 뺄셈의 다섯 가지 산술 연산을 수행했습니다. 곱셈, 나눗셈과 지수, 이러한 연산의 다양한 속성이 계산에 적극적으로 사용되었습니다(예: a + b = b + a 및 n -b n = (ab) n 등).
이 장에서는 음수가 아닌 숫자의 제곱근을 취하는 새로운 연산을 소개합니다. 성공적으로 사용하려면 이 섹션에서 수행할 이 작업의 속성에 대해 알아야 합니다.
증거. 다음 표기법을 소개하겠습니다.
음수가 아닌 숫자 x, y, z에 대해 x = yz가 참임을 증명해야 합니다.
따라서 x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b입니다. 그런 다음 x 2 \u003d y 2 z 2, 즉 x 2 \u003d (yz) 2입니다.
만약 사각형두 개의 음수가 아닌 숫자가 같으면 숫자 자체가 동일합니다. 즉, 평등 x 2 \u003d (yz) 2에서 x \u003d yz가 따르고 이것은 증명되어야 했습니다.
정리의 증명에 대한 간략한 기록을 제공합니다.
비고 1. 이 정리는 급진적 표현이 두 개 이상의 음이 아닌 요인의 곱인 경우에 유효합니다.
비고 2.
정리 1은 "if. , 그러면”(수학 정리의 관례에 따라). 우리는 해당 공식을 제공합니다. 및 b가 음수가 아닌 경우 평등 
.
이것이 우리가 다음 정리를 공식화하는 방법입니다.
(실제로 사용하기 더 편리한 짧은 공식: 분수의 근 분수와 같음근 또는 몫의 근은 근의 몫과 같습니다.)
이번에는 증명에 대한 간략한 기록만 드리고, 정리 1의 증명의 요지를 구성한 것들과 비슷한 적절한 논평을 해볼 수 있습니다.
예 1. 계산 .
결정. 첫 번째 속성 사용 제곱근(정리 1), 우리는
비고 3. 물론 이 예는 다른 방법으로 해결할 수 있습니다. 특히 계산기가 있는 경우에는 숫자 36, 64, 9를 곱한 다음 결과 제품의 제곱근을 취합니다. 그러나 위에서 제안한 솔루션이 더 문화적으로 보인다는 데 동의할 것입니다.
비고 4.
첫 번째 방법에서는 정면 계산을 수행했습니다. 두 번째 방법은 더 우아합니다.
우리는 신청했다 공식 a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) 제곱근의 속성을 사용했습니다.
비고 5. 일부 "핫헤드"는 때때로 예 3에 다음과 같은 "해결책"을 제공합니다.
이것은 물론 사실이 아닙니다. 알다시피 결과는 예제 3과 동일하지 않습니다. 사실은 속성이 없다는 것입니다. 
아니 속성으로 
제곱근의 곱셈과 나눗셈에 관한 속성만 있습니다. 조심하고 조심하고 희망적인 생각을하지 마십시오.
실시예 4. 계산: a) 
결정. 대수학의 모든 공식은 "오른쪽에서 왼쪽으로"뿐만 아니라 "왼쪽에서 오른쪽으로"도 사용됩니다. 따라서 제곱근의 첫 번째 속성은 필요에 따라 로 나타낼 수 있으며 그 반대의 경우에도 제곱근의 두 번째 속성에 동일하게 적용되는 표현으로 대체할 수 있음을 의미합니다. 이를 염두에 두고 제안된 예를 해결해 봅시다.
섹션을 마치면서 우리는 다소 간단하고 동시에 하나 더 주목합니다. 중요한 재산:
a > 0 및 n인 경우 - 자연수
, 그 다음에
실시예 5계산하다 , 숫자 제곱표와 계산기를 사용하지 않고.
결정. 근수를 소인수로 분해해 보겠습니다.
비고 6.
이 예는 § 15의 유사한 예와 같은 방식으로 풀 수 있습니다. 답은 80 2 2 이후 "꼬리를 가진 80"일 것이라고 쉽게 추측할 수 있습니다. "꼬리", 즉 원하는 숫자의 마지막 숫자를 찾자. 지금까지 우리는 루트가 추출되면 답이 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 또는 89가 될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 84와 86의 두 가지 숫자만 확인하면 됩니다. 제곱하면 결과적으로 제공됩니다. 네 자리 6으로 끝나는 숫자, 즉 숫자 7056으로 끝나는 동일한 숫자. 우리는 84 2 \u003d 7056을 가지고 있습니다. 이것이 우리가 필요한 것입니다. 수단,
모르드코비치 A.G., 대수학. 8학년: Proc. 일반 교육용 기관 - 3판, 완성. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: 아프다.
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제곱근을 추가하는 방법
숫자의 제곱근 엑스전화번호 ㅏ, 자신을 증식시키는 과정에서 ( A*A) 숫자를 줄 수 있습니다 엑스.
저것들. A * A = A 2 = X, 그리고 √X = A.
제곱근 이상( √x), 다른 숫자와 마찬가지로 빼기 및 더하기와 같은 산술 연산을 수행할 수 있습니다. 근을 빼거나 추가하려면 이러한 작업에 해당하는 기호를 사용하여 연결해야 합니다(예: √x - √y
).
그런 다음 그들에게 뿌리를 가져옵니다. 가장 단순한 형태- 그들 사이에 유사한 것이 있으면 캐스트를해야합니다. 해당 항의 부호가 있는 유사한 항의 계수를 취한 다음 대괄호로 묶고 공통 근이 승수 대괄호 외부에 표시된다는 사실로 구성됩니다. 우리가 얻은 계수는 일반적인 규칙에 따라 단순화됩니다.
1단계. 제곱근 추출
먼저 제곱근을 추가하려면 먼저 이 근을 추출해야 합니다. 이것은 근 기호 아래의 숫자가 완전제곱수인 경우 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 주어진 표현을 취하십시오 √4 + √9
. 첫 번째 숫자 4
숫자의 제곱이다 2
. 두 번째 숫자 9
숫자의 제곱이다 3
. 따라서 다음과 같은 평등을 얻을 수 있습니다. √4 + √9 = 2 + 3 = 5
.
모든 것, 예제가 해결되었습니다. 그러나 항상 그런 것은 아닙니다.
2단계. 루트 아래에서 숫자의 승수 빼기
루트 기호 아래에 완전한 사각형이 없으면 루트 기호 아래에서 숫자의 승수를 빼려고 할 수 있습니다. 예를 들어, √24 + √54 .
숫자를 인수분해해 보겠습니다.
24 = 2 * 2 * 2 * 3
,
54 = 2 * 3 * 3 * 3
.
목록에 있음 24 우리는 승수가 있습니다 4 , 제곱근 기호 아래에서 꺼낼 수 있습니다. 목록에 있음 54 우리는 승수가 있습니다 9 .
우리는 평등을 얻습니다.
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6
.
이 예를 고려하여 루트 기호 아래에서 요소를 제거하여 주어진 표현식을 단순화합니다.
3단계. 분모 줄이기
다음 상황을 고려하십시오. 두 제곱근의 합은 분수의 분모입니다. 예를 들어, A / (√a + √b).
이제 우리는 "분모의 불합리성을 제거"하는 작업에 직면 해 있습니다.
다음 방법을 사용합시다. 분수의 분자와 분모에 표현식을 곱합니다. √a - √b.
이제 분모에서 약식 곱셈 공식을 얻습니다.
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.
유사하게, 분모에 근의 차이가 포함된 경우: √a - √b, 분수의 분자와 분모에 식을 곱합니다. √a + √b.
분수를 예로 들어 보겠습니다.
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3)
.
복소분모 축소의 예
이제 충분히 고려해보자 복잡한 예분모의 불합리성을 제거합니다.
분수를 예로 들어 보겠습니다. 12 / (√2 + √3 + √5)
.
분자와 분모를 취하여 식을 곱해야 합니다. √2 + √3 — √5
.
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
4단계. 계산기에서 대략적인 값 계산
근사값만 필요한 경우 계산기에서 제곱근 값을 계산하여 수행할 수 있습니다. 별도로 각 숫자에 대해 소수점 이하 자릿수로 결정되는 필요한 정확도로 값을 계산하고 기록합니다. 또한 일반 번호와 마찬가지로 필요한 모든 작업이 수행됩니다.
추정 계산 예
이 식의 대략적인 값을 계산할 필요가 있습니다. √7 + √5 .
결과적으로 다음을 얻습니다.
√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .
참고: 어떤 경우에도 제곱근을 소수로 추가하면 안 됩니다. 이는 완전히 허용되지 않습니다. 즉, 5와 3의 제곱근을 더하면 8의 제곱근을 얻을 수 없습니다.
유용한 조언: 숫자를 인수분해하기로 결정한 경우 루트 기호 아래에서 제곱을 유도하려면 역 확인을 수행해야 합니다. 수학적 계산은 원래 주어진 숫자여야 합니다.
근이 있는 동작: 더하기 및 빼기
숫자의 제곱근을 추출하는 것은 이 수학적 현상으로 수행할 수 있는 유일한 작업이 아닙니다. 일반 숫자처럼 제곱근더하기와 빼기.
제곱근의 덧셈과 뺄셈 규칙
제곱근의 덧셈과 뺄셈과 같은 동작은 루트 표현식이 동일한 경우에만 가능합니다.
표현식을 더하거나 뺄 수 있습니다 2 3 그리고 6 3, 하지만 5 6 그리고 9 4 . 식을 단순화하여 같은 근수를 가진 근으로 가져오는 것이 가능하면 단순화한 다음 더하거나 빼십시오.
루트 작업: 기본 사항
6 50 — 2 8 + 5 12
- 루트 표현식 단순화. 이렇게하려면 루트 표현식을 2 개의 요소로 분해해야하며 그 중 하나는 제곱수 (전체 제곱근이 추출되는 숫자, 예를 들어 25 또는 9)입니다.
- 그런 다음에서 루트를 추출해야합니다. 제곱수 루트 기호 앞에 결과 값을 씁니다. 두 번째 요소는 루트 기호 아래에 입력됩니다.
- 단순화 과정 후에 동일한 급진적 표현으로 뿌리에 밑줄을 긋는 것이 필요합니다. 뿌리는 더하고 빼기만 하면 됩니다.
- 근수 표현이 같은 근의 경우 근 기호 앞에 오는 요소를 더하거나 빼야 합니다. 루트 표현식은 변경되지 않습니다. 루트 번호를 더하거나 빼지 마십시오!
당신이 가진 예가 있다면 많은 분량동일한 급진적 표현은 계산 과정을 용이하게 하기 위해 단일, 이중 및 삼중 선으로 이러한 표현에 밑줄을 긋습니다.
다음 예를 시도해 보겠습니다.
6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . 먼저 50을 2개의 인수 25와 2로 분해한 다음 25의 근, 즉 5를 취하여 근 아래에서 5를 빼야 합니다. 그 후, 5를 6(루트의 승수)으로 곱하고 30 2 를 얻어야 합니다.
2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . 먼저 8을 4와 2의 2개의 인수로 분해해야 합니다. 그런 다음 4에서 2에 해당하는 루트를 추출하고 루트 아래에서 2를 꺼냅니다. 그런 다음 2에 2(근의 인수)를 곱하고 4 2 를 얻어야 합니다.
5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . 먼저 12를 2개의 인수인 4와 3으로 분해해야 합니다. 그런 다음 4에서 루트를 추출(2 즉 2)하고 루트 아래에서 꺼냅니다. 그런 다음 2에 5(근의 인수)를 곱하고 10 3 을 얻어야 합니다.
단순화 결과: 30 2 — 4 2 + 10 3
30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .
그 결과 동일한 급진적 표현이 얼마나 많이 포함되어 있는지 확인했습니다. 이 예. 이제 다른 예제로 연습해 봅시다.
- 단순화(45) . 우리는 45를 인수분해합니다: (45) = (9 × 5) ;
- 우리는 루트 (9 \u003d 3)에서 3을 꺼냅니다. 45 \u003d 3 5;
- 루트에 인수를 추가합니다. 3 5 + 4 5 = 7 5 .
- 단순화 6 40 . 우리는 40을 인수분해합니다: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
- 우리는 루트 (4 \u003d 2) 아래에서 2를 꺼냅니다. 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
- 루트 앞에 있는 인수를 곱합니다. 12 10;
- 우리는 표현식을 단순화 된 형태로 씁니다. 12 10 - 3 10 + 5;
- 처음 두 항의 근수는 같으므로 (12 - 3) 10 = 9 10 + 5로 뺄 수 있습니다.
- 더하거나 빼기 전에 급진적 표현을 (가능한 경우) 단순화하는 것이 필수적입니다.
- 루트 표현식이 다른 루트를 더하거나 빼는 것은 엄격히 금지됩니다.
- 정수 또는 제곱근을 더하거나 빼지 마십시오: 3 + (2 x) 1 / 2 .
- 분수로 작업을 수행할 때 각 분모로 완전히 나눌 수 있는 숫자를 찾은 다음 분수를 공통 분모로 가져온 다음 분자를 더하고 분모를 변경하지 않은 상태로 두어야 합니다.
보시다시피, 기수를 단순화하는 것은 불가능합니다. 따라서 이 예에서는 동일한 기수를 가진 멤버를 찾고 수학 연산(더하기, 빼기 등)을 수행하고 결과를 씁니다.
(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .
조언:
산술 제곱근의 속성입니다. 산술 제곱근의 거듭제곱
산술 제곱근 변환. 산술 제곱근의 변환
추출하다 다항식의 제곱근, 다항식을 계산하고 결과 숫자에서 근을 추출해야 합니다.
주목!각 항(감소 및 감산)에서 개별적으로 근을 추출하는 것은 불가능합니다.
Shchob 승리 다항식의 제곱근, 요구 사항은 풍부한 용어를 계산하고 뺀 숫자에서 루트를 취하는 것입니다.
존경!피부 보충제 (변경 및 가시) OKremo에서 뿌리를 추출하는 것은 불가능합니다.
곱(몫)의 제곱근을 추출하려면, 각 요인(나누기 및 제수)의 제곱근을 계산하고 결과 값을 곱(몫)으로 취할 수 있습니다.
dobutka (parts)의 제곱근을 얻으려면, 피부 승수의 제곱근(나누기 및 딜닉)을 계산하고 보조(자주)를 취하여 값을 제거할 수 있습니다.
분수의 제곱근을 취하려면, 분자와 분모의 제곱근을 별도로 추출하고 결과 값을 분수로 남겨두거나 몫으로 계산해야 합니다(가능한 경우 조건에 따라).
분수의 제곱근을 얻으려면, 그것은 숫자 책의 제곱근과 okremo의 배너를 가져 와서 분수와 함께 분수의 가치를 빼거나 부분으로 계산해야합니다 (마음에 가능한 한).
루트 기호 아래에서 요인을 제거하고 루트 기호 아래에 요인을 도입할 수 있습니다. 요인을 빼면 그 뿌리를 뽑아내고, 도입하면 그에 상응하는 거듭제곱으로 올립니다.
세 번째 루트 기호는 곱할 수 있고 루트 기호는 곱할 수 있습니다. 승수 오류로 뿌리가 꼬이고 도입으로 뿌리가 더 높은 발에 세워집니다.
예. 적용하다
제곱근의 합(차)을 변환하려면 근식을 차수의 한 밑으로 가져와야 합니다. 가능하면 차수에서 근을 추출하여 근의 부호 앞에 쓰고 나머지 제곱근은 부호근 앞에 계수를 추가하고 동일한 제곱근을 추가하는 동일한 근 표현식을 추가할 수 있습니다.
제곱근의 합(비용)을 다시 만들려면 가능한 한 계단의 밑수 중 하나에 루트 루트를 가져와서 단계의 루트를 취하여 기호 앞에 적어 놓는 것이 필요합니다. 루트, 그리고 같은 루트 단어를 가진 제곱근의 솔루션, 내가 같은 제곱근을 추가하고 추가할 수 있는 것을 위해 조합할 수 있습니다.
우리는 모든 급진적 표현을 2진법으로 가져옵니다.
짝수 차수에서 루트가 완전히 추출되고 홀수 차수에서 차수 1의 밑근이 루트 부호 아래에 남습니다.
유사한 정수를 제공하고 동일한 근을 가진 계수를 추가합니다. 우리는 이항식을 숫자와 합계의 이항식의 곱으로 씁니다.
virazi의 모든 하위 루트를 기본 2로 가져옵니다.
짝을 이루는 단계에서 뿌리가 일렬로 그려지고 짝이없는 단계에서 1 단계의베이스 뿌리가 뿌리의 부호 아래 채워집니다.
동일한 근에 유사한 숫자와 계수를 추가하는 것이 좋습니다. 우리는 수미 이항의 숫자 i의 보충으로 이항을 씁니다.
우리는 급진적 표현을 가장 작은 밑수로 가져오거나 가장 작은 밑을 가진 거듭제곱의 곱을 가져옵니다. 우리는 급진적 표현의 짝수 정도에서 루트를 추출하고 나머지는 표시기가 1인 정도의 밑수 형태로 남겨두거나 루트 기호 아래에 그러한 염기의 곱을 남깁니다. 유사한 항을 제공합니다(동일한 근의 계수 추가).
우리는 virazi의 뿌리를 가장 작은 염기로 이끌거나 가장 작은 염기로 단계를 추가합니다. viraz의 뿌리 아래에있는 쌍둥이 단계에서 뿌리가 취해지며 지표 1이있는 단계의 기저부에서 초과분을 얻거나 그러한 기저부를 추가하면 뿌리의 표시 아래에 채워집니다. 유사한 항을 제안합니다(같은 근의 계수를 더함).
분수의 나눗셈을 곱셈으로 교체합시다(두 번째 분수를 역수로 교체). 분자와 분모를 따로 곱합니다. 루트의 각 표시 아래에서 정도를 강조 표시합니다. 분자와 분모의 동일한 인수를 취소합시다. 우리는 짝수 힘에서 뿌리를 추출합니다.
우리는 분수의 나눗셈을 곱셈으로 바꿉니다(다른 분수를 반환값으로 대체). okremo 숫자와 분수 배너를 곱하십시오. 뿌리의 피부 표시 아래에 단계가 표시됩니다. 우리는 숫자 책과 배너에서 동일한 승수를 가속화할 것입니다. 쌍둥이 단계의 뿌리를 비난하십시오.
두 개의 제곱근을 비교하려면, 그들의 급진적 표현은 같은 밑을 가진 도까지 줄여야 하고, 그 다음 급진적 표현의 정도를 더 많이 보여줄수록 제곱근의 값이 커집니다.
이 예에서 기본 표현은 첫 번째에서 3이고 두 번째에서 3과 7이기 때문에 하나의 밑수로 축소될 수 없습니다.
두 번째 비교 방법은 근수식에 근의 계수를 입력하고 근수식의 수치값을 비교하는 것입니다. 제곱근의 경우 루트 표현식이 클수록 루트 값이 커집니다.
두 개의 제곱근을 일치시키려면, 그들의 하위 루트는 동일한 기준으로 수준으로 가져와야하지만 바이러스의 하위 루트 정도의 지표가 클수록 제곱근의 값이 커집니다.
이 경우 첫 번째 기초는 3이고 다른 기초는 3과 7이기 때문에 하나의 기초에 virazi의 루트 뿌리를 가져올 수 없습니다.
균등화하는 또 다른 방법은 root virase에 root 계수를 추가하고 root virase의 수치 값을 균등화하는 것입니다. 제곱근에는 하위 루트 viraz가 많을수록 루트 값이 더 커집니다.
곱셈의 분배 법칙과 동일한 지수(우리의 경우 제곱근)를 가진 근을 곱하는 규칙을 사용하여 두 제곱근의 합과 근 기호 아래의 곱을 구했습니다. 우리는 91을 소인수로 분해하고 공통 소인수(13 * 5)를 사용하여 대괄호에서 근을 제거합니다.
우리는 단항식 중 하나가 정수(1)인 근과 이항식의 곱을 얻었습니다.
Vikoristovuyuchi rozpodilny 곱셈 법칙과 동일한 지표(우리의 경우 - 제곱근)를 사용하여 근을 곱하는 규칙은 루트 기호 아래에 추가 루트가 있는 두 개의 제곱근의 합을 취했습니다. 간단한 용어로 91개의 승수를 배치하고 루트 승수(13 * 5)에서 아치의 루트를 가져올 수 있습니다.
우리는 루트와 이진법을 더했습니다. 이 바이너리는 정수(1)에서 단항식 중 하나를 가지고 있습니다.
예 9:
급진적 표현에서 우리는 전체 제곱근을 추출할 수 있는 숫자를 요인별로 선택합니다. 거듭제곱에서 제곱근을 추출하고 제곱근의 계수로 숫자를 넣습니다.
이 다항식의 항은 대괄호에서 빼낼 수 있는 공통 인수 √3을 갖습니다. 유사한 용어를 제시해 보겠습니다.
하위 루트 virases에서 제곱근을 취할 수 있는 숫자의 승수로 표시됩니다. 우리는 계단의 제곱근을 비난하고 제곱근의 계수로 숫자를 넣습니다.
이 다항식의 항은 공통 승수 √3을 가지며, 이는 팔에 대해 비난받을 수 있습니다. 우리는 유사한 추가를 제안합니다.
둘의 합과 차의 곱 같은 기지(3과 √5)는 약식 곱셈 공식을 사용하여 밑의 제곱의 차이로 쓸 수 있습니다.
제곱근 제곱은 항상 급진적 표현과 같으므로 식에서 급진적(근 기호)를 제거합니다.
도부톡 합과 2진법의 차이(3 і √5)는 제곱근의 차이로 쓸 수 있다.
제곱 zavzhd의 제곱근은 하위 루트 virase와 같으므로 virase의 라디칼(루트 기호)이라고 합니다.
학교로 돌아가다. 뿌리의 추가
우리 시대에는 현대 전자 컴퓨터에서 숫자의 근 계산이 표시되지 않습니다. 도전적인 과제. 예를 들어, √2704=52이면 모든 계산기가 이를 계산합니다. 다행스럽게도 계산기는 Windows뿐만 아니라 가장 단순한 일반 전화기에도 있습니다. 사실, 갑자기 (작은 확률로 계산에 뿌리의 추가가 포함됨) 사용 가능한 자금, 그렇다면, 슬프게도, 당신은 당신의 두뇌에만 의존해야 할 것입니다.
마인드 트레이닝은 결코 실패하지 않습니다. 특히 숫자 작업을 자주 하지 않는 사람들에게는 더욱 그렇습니다. 근을 더하고 빼는 것은 지루한 마음을 위한 좋은 운동입니다. 그리고 루트 추가를 차근차근 보여드리겠습니다. 식의 예는 다음과 같습니다.
단순화할 방정식은 다음과 같습니다.
이것은 비합리적인 표현입니다. 그것을 단순화하려면 모든 급진적 표현을 다음으로 줄여야 합니다. 일반보기. 단계적으로 수행합니다.
첫 번째 숫자는 더 이상 단순화할 수 없습니다. 두 번째 항으로 넘어갑시다.
3√48 우리는 48을 인수분해합니다: 48=2×24 또는 48=3×16. 24의 제곱근은 정수가 아닙니다. 분수 나머지가 있습니다. 우리가 필요하기 때문에 정확한 값, 대략적인 뿌리는 우리에게 적합하지 않습니다. 16의 제곱근은 4입니다. 루트 기호 아래에서 빼십시오. 우리는 다음을 얻습니다: 3×4×√3=12×√3
다음 표현은 부정입니다. 빼기 기호로 작성 -4×√(27.) 인수분해 27. 우리는 27=3×9를 얻습니다. 분수에서 제곱근을 계산하는 것이 더 어렵기 때문에 분수 인수를 사용하지 않습니다. 우리는 표지판 아래에서 9를 꺼냅니다. 제곱근을 계산합니다. 다음 식을 얻습니다. -4×3×√3 = -12×√3
다음 항 √128은 근 아래에서 빼낼 수 있는 부분을 계산합니다. 128=64×2 여기서 √64=8. 이 표현이 더 쉬우면 다음과 같이 표현할 수 있습니다. √128=√(8^2×2)
단순화된 용어로 표현식을 다시 작성합니다.
이제 동일한 급진적 표현으로 숫자를 추가합니다. 급수가 다른 표현식은 더하거나 뺄 수 없습니다. 루트를 추가하려면 이 규칙을 준수해야 합니다.
우리는 다음과 같은 답을 얻습니다.
√2=1×√2 - 대수학에서는 이러한 요소를 생략하는 것이 일반적이기 때문에 뉴스가 되지 않습니다.
식은 제곱근뿐만 아니라 세제곱근이나 n차근으로도 표현할 수 있습니다.
지수는 다르지만 근 표현식이 동일한 근의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같이 발생합니다.
√a+∛b+∜b와 같은 표현식이 있으면 이 표현식을 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.
12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3
두 개의 유사한 항을 근의 공통 지수로 줄였습니다. 여기에 근의 속성이 사용되었습니다. 즉, 급진적 표현의 정도와 근 지수의 수에 같은 수를 곱하면 계산이 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.
참고: 지수는 곱할 때만 추가됩니다.
표현식에 분수가 있는 예를 고려하십시오.
단계별로 해결해 보겠습니다.
5√8=5*2√2 - 뿌리 아래에서 추출한 부분을 꺼냅니다.
근의 본문이 분수로 표시되는 경우 피제수와 제수의 제곱근을 취하면 이 분수가 변경되지 않는 경우가 많습니다. 결과적으로 위에서 설명한 동등성을 얻었습니다.
여기에 답이 있습니다.
기억해야 할 주요 사항은 지수가 짝수인 근은 음수에서 추출되지 않는다는 것입니다. 짝수 급진적 표현이 음수이면 그 표현은 풀 수 없습니다.
어근의 추가는 급진적 표현이 유사한 용어이기 때문에 일치하는 경우에만 가능합니다. 차이도 마찬가지입니다.
다른 수치 지수를 가진 근의 추가는 두 항을 공통 근도로 줄여서 수행됩니다. 이 법칙은 분수를 더하거나 뺄 때 공통 분모로 환원하는 것과 같은 방식으로 작동합니다.
급진적 표현이 거듭제곱된 숫자를 포함하는 경우 루트와 지수 사이에 공통 분모가 있는 경우 이 표현을 단순화할 수 있습니다.
곱과 분수의 제곱근
a의 제곱근은 제곱이 a인 숫자입니다. 예를 들어, 숫자 -5와 5는 숫자 25의 제곱근입니다. 즉, 방정식 x^2=25의 근은 숫자 25의 제곱근입니다. 이제 숫자 25의 제곱근을 사용해야 합니다. 제곱근 연산: 기본 속성을 연구합니다.
곱의 제곱근
√(a*b)=√a*√b
음이 아닌 두 수의 곱의 제곱근은 이 숫자의 제곱근의 곱과 같습니다. 예를 들어, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;
이 속성은 급진적 표현이 3, 4 등의 곱인 경우에도 적용된다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 음수가 아닌 승수.
때때로 이 속성의 다른 공식이 있습니다. a와 b가 음수가 아닌 경우 √(a*b) =√a*√b가 성립합니다. 그들 사이에는 절대적인 차이가 없으며, 둘 중 하나를 사용할 수 있습니다(기억하기 더 편리한 단어).
분수의 제곱근
>=0이고 b>0이면 다음 같음이 참입니다.
√(a/b)=√a/√b.
예를 들어, √(9/25) = √9/√25 =3/5;
이 속성은 내 생각에 기억하기 더 편리한 다른 공식도 있습니다.
몫의 제곱근은 근의 몫과 같습니다.
이 공식은 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 작동한다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 즉, 필요한 경우 근의 곱을 곱의 근으로 나타낼 수 있습니다. 두 번째 속성도 마찬가지입니다.
보시다시피 이러한 속성은 매우 편리하며 덧셈과 뺄셈에 대해 동일한 속성을 갖고 싶습니다.
√(a+b)=√a+√b;
√(a-b)=√a-√b;
그러나 불행히도 그러한 속성은 정사각형입니다. 뿌리가 없다, 등등 계산에서 할 수 없습니다..
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안녕 고양이들! 지난 시간에 우리는 뿌리가 무엇인지 자세히 분석했습니다(기억이 나지 않는다면 읽는 것을 추천합니다). 그 수업의 주요 결론은 뿌리에 대한 보편적인 정의는 단 하나뿐입니다. 당신이 알아야 합니다. 나머지는 말도 안되고 시간 낭비입니다.
오늘 우리는 더 나아갑니다. 우리는 근을 곱하는 법을 배우고 곱셈과 관련된 몇 가지 문제를 공부하고(이 문제가 해결되지 않으면 시험에서 치명적일 수 있음) 제대로 연습할 것입니다. 그러니 팝콘을 비축하고 몸을 편안하게 만드세요. 그럼 시작하겠습니다. :)
당신은 아직 담배를 피우지 않았습니까?
수업이 꽤 커서 두 부분으로 나눴습니다.
- 먼저 곱셈 규칙을 살펴보겠습니다. 모자는 힌트를 주는 것 같습니다. 이것은 두 개의 루트가 있을 때, 그들 사이에 "곱하기" 기호가 있는 것입니다. 그리고 우리는 그것으로 무언가를 하고 싶습니다.
- 그런 다음 우리는 반대 상황을 분석할 것입니다. 하나의 큰 뿌리가 있고 우리는 그것을 더 간단한 방법으로 두 뿌리의 곱으로 제시하기를 참을성이 없었습니다. 어떤 두려움이 필요한지는 별개의 질문입니다. 우리는 알고리즘만 분석할 것입니다.
2부로 바로 넘어가기를 손꼽아 기다리시는 분들을 위해 환영합니다. 나머지부터 순서대로 시작하겠습니다.
기본 곱셈 규칙
가장 단순한 고전적 제곱근부터 시작하겠습니다. $\sqrt(a)$ 및 $\sqrt(b)$로 표시된 것들. 그들에게는 모든 것이 일반적으로 명확합니다.
곱셈 규칙. 하나의 제곱근을 다른 제곱근으로 곱하려면 해당 근수 표현을 곱하고 공통 근수 아래에 결과를 쓰면 됩니다.
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
오른쪽 또는 왼쪽에 있는 숫자에 대한 추가 제한은 없습니다. 승수 근이 있으면 곱도 존재합니다.
예. 한 번에 숫자가 있는 네 가지 예를 고려하십시오.
\[\begin(정렬) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \끝(정렬)\]
보시다시피 이 규칙의 주요 의미는 비합리적인 표현을 단순화하는 것입니다. 첫 번째 예에서 새로운 규칙 없이 25와 4에서 근을 추출했다면 주석이 시작됩니다. $\sqrt(32)$ 및 $\sqrt(2)$는 자체적으로 계산되지 않지만 그들의 곱은 정확한 제곱으로 판명되었으므로 그것의 근은 유리수와 같습니다..
이와 별도로 마지막 줄에 주목하고 싶습니다. 거기에서 두 급진적 표현은 모두 분수입니다. 제품 덕분에 많은 요소가 상쇄되고 전체 표현이 적절한 숫자로 바뀝니다.
물론 모든 것이 항상 그렇게 아름다운 것은 아닙니다. 때로는 뿌리 아래에 완전한 쓰레기가있을 것입니다. 무엇을해야할지, 곱셈 후 변환 방법이 명확하지 않습니다. 조금 있다가 공부를 시작하면 무리한 방정식그리고 불평등, 일반적으로 모든 종류의 변수와 기능이 있을 것입니다. 그리고 매우 자주 문제의 컴파일러는 계약 조건이나 요소를 찾을 수 있다는 사실에 의존하고 그 후에 작업이 크게 단순화됩니다.
또한 정확히 두 개의 근을 곱할 필요는 없습니다. 한 번에 3, 4, 10을 곱할 수 있습니다! 이것은 규칙을 변경하지 않습니다. 구경하다:
\[\begin(정렬) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \끝(정렬)\]
그리고 다시 두 번째 예에 대한 작은 언급. 보시다시피, 세 번째 승수에는 루트 아래에 소수가 있습니다. 계산 과정에서 일반 분수로 대체 한 후 모든 것이 쉽게 줄어 듭니다. 그래서: 나는 모든 비합리적인 표현(즉, 최소한 하나의 급진적 아이콘을 포함하는)에서 소수를 제거하는 것이 좋습니다. 이렇게 하면 앞으로 많은 시간과 신경을 절약할 수 있습니다.
그러나 그것은 서정적인 탈선이었다. 이제 루트 지수에 "고전적인" 2가 아니라 임의의 숫자 $n$이 포함된 경우보다 일반적인 경우를 살펴보겠습니다.
임의 지표의 경우
그래서 우리는 제곱근을 알아냈습니다. 그리고 큐브로 무엇을해야합니까? 또는 일반적으로 임의의 차수 $n$의 근을 사용합니까? 예, 모든 것이 동일합니다. 규칙은 동일하게 유지됩니다.
차수 $n$의 두 근을 곱하려면 급진적 표현을 곱하면 충분하며 그 후에 결과는 하나의 급진적으로 작성됩니다.
일반적으로 복잡한 것은 없습니다. 계산의 양이 더 많을 수 없다면. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예. 제품 계산:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \끝(정렬)\]
그리고 다시 두 번째 표현에 주목하세요. 우리는 세제곱근을 곱하고 소수를 제거하고 결과적으로 분모에서 숫자 625와 25의 곱을 얻습니다. 큰 숫자- 개인적으로, 나는 그것이 무엇과 같은지 즉시 고려하지 않습니다.
따라서 분자와 분모에서 정확한 정육면체를 선택한 다음 $n$th 차수의 근에 대한 주요 속성(또는 원하는 경우 정의) 중 하나를 사용했습니다.
\[\begin(정렬) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| 맞아|. \\ \끝(정렬)\]
이러한 "사기"는 시험이나 제어 작업그래서 기억하십시오:
급진적 인 표현에서 숫자를 곱하기 위해 서두르지 마십시오. 먼저 확인하십시오. 표현식의 정확한 정도가 "암호화"되어 있으면 어떻게 될까요?
이 말의 모든 명백한 사실과 함께, 나는 대부분의 준비되지 않은 학생들이 정확한 학위를 보지 못한다는 것을 인정하지 않을 수 없습니다. 대신, 그들은 모든 것을 앞서서 곱한 다음 궁금해합니다. 왜 그들이 그렇게 잔인한 숫자를 얻었습니까? :)
그러나 이 모든 것은 우리가 지금 공부할 것에 비하면 어린아이의 장난에 불과합니다.
지수가 다른 근의 곱하기
자, 이제 같은 지수로 근을 곱할 수 있습니다. 점수가 다르다면? 일반적인 $\sqrt(2)$에 $\sqrt(23)$와 같은 쓰레기를 어떻게 곱합니까? 이 작업을 수행하는 것이 가능합니까?
예, 물론 할 수 있습니다. 모든 것은 다음 공식에 따라 수행됩니다.
루트 곱셈 규칙. $\sqrt[n](a)$에 $\sqrt[p](b)$를 곱하려면 다음 변환을 수행하십시오.
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
그러나 이 공식은 다음과 같은 경우에만 작동합니다. 급진적 표현은 음수가 아닙니다.. 이것은 매우 중요한 언급이며, 이에 대해서는 잠시 후에 다시 설명하겠습니다.
지금은 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \끝(정렬)\]
보시다시피 복잡한 것은 없습니다. 이제 비음성 요구 사항이 어디에서 왔으며 이를 위반하면 어떻게 되는지 알아보겠습니다. :)
뿌리를 키우는 것은 쉽습니다. 급진적 표현은 왜 음수가 아니어야 합니까?
물론, 당신은 처럼 될 수 있습니다 학교 교사그리고 교묘하게 교과서를 인용:
비음성의 요구 사항은 짝수 및 홀수 차수의 근에 대한 서로 다른 정의와 관련이 있습니다(각각 정의 영역도 다릅니다).
글쎄, 그것은 명확 해졌다? 개인적으로 8학년 때 이 말도 안되는 소리를 읽었을 때 나는 다음과 같은 것을 스스로 이해했습니다. 그 당시에는 똥을 이해하지 못했습니다. :)
그럼 이제 일반적인 방법으로 모든 것을 설명하겠습니다.
먼저 위의 곱셈 공식이 어디에서 왔는지 알아 보겠습니다. 이렇게하려면 루트의 중요한 속성 중 하나를 상기시켜 드리겠습니다.
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
다시 말해, 루트 표현식을 자연 거듭제곱 $k$로 안전하게 올릴 수 있습니다. 이 경우 루트 인덱스에 동일한 거듭제곱을 곱해야 합니다. 따라서 우리는 모든 뿌리를 공통 지표로 쉽게 줄일 수 있으며 그 후에 곱합니다. 곱셈 공식은 다음과 같습니다.
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
그러나 이러한 모든 공식의 적용을 심각하게 제한하는 한 가지 문제가 있습니다. 이 숫자를 고려하십시오.
방금 주어진 공식에 따라 우리는 어떤 정도를 더할 수 있습니다. $k=2$를 추가해 보겠습니다.
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
정사각형이 마이너스를 태우기 때문에 정확히 마이너스를 제거했습니다(다른 짝수 각도와 마찬가지로). 이제 역변환을 수행해 보겠습니다. 지수와 차수에서 둘을 "축소"합니다. 결국 모든 평등은 왼쪽에서 오른쪽 및 오른쪽에서 왼쪽으로 읽을 수 있습니다.
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ㅏ); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\오른쪽 화살표 \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \끝(정렬)\]
그러나 다음과 같은 미친 일이 발생합니다.
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
$\sqrt(-5) \lt 0$ 및 $\sqrt(5) \gt 0$ 때문일 수 없습니다. 이것은 짝수 거듭제곱과 음수에 대해 공식이 더 이상 작동하지 않음을 의미합니다. 그 후 두 가지 옵션이 있습니다.
- 수학은 "몇 가지 규칙이 있지만 이것은 정확하지 않은" 어리석은 과학이라고 주장하기 위해 벽에 맞서 싸우는 것입니다.
- 공식이 100% 작동할 수 있는 추가 제한 사항을 도입하십시오.
첫 번째 옵션에서는 "비작동" 사례를 지속적으로 포착해야 합니다. 이는 어렵고 길고 일반적으로 fu입니다. 따라서 수학자들은 두 번째 옵션을 선호했습니다. :)
하지만 걱정하지 마세요! 실제로이 제한은 설명 된 모든 문제가 홀수 차수의 근에만 관련되고 빼기를 제거 할 수 있기 때문에 어떤 식 으로든 계산에 영향을 미치지 않습니다.
따라서 루트가 있는 모든 작업에 일반적으로 적용되는 또 다른 규칙을 공식화합니다.
근을 곱하기 전에 급진적 표현이 음수가 아닌지 확인하십시오.
예시. $\sqrt(-5)$ 숫자에서 루트 기호 아래에서 빼기를 제거할 수 있습니다. 그러면 모든 것이 정상입니다.
\[\begin(정렬) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\오른쪽 화살표 \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(정렬)\]
차이를 느껴봐? 루트 아래에 마이너스를 남기면 급진적 인 표현이 제곱되면 사라지고 쓰레기가 시작됩니다. 그리고 먼저 마이너스를 빼면 얼굴이 파랗게 질 때까지 사각형을 올리거나 제거할 수도 있습니다. 숫자는 음수로 유지됩니다. :)
따라서 근을 곱하는 가장 정확하고 신뢰할 수 있는 방법은 다음과 같습니다.
- 급진파 아래에서 모든 마이너스를 제거하십시오. 빼기는 홀수 다중성의 루트에만 있습니다. 루트 앞에 배치하고 필요한 경우 줄일 수 있습니다(예: 이러한 빼기 중 2개가 있는 경우).
- 오늘 수업에서 위에서 설명한 규칙에 따라 곱셈을 수행하십시오. 루트의 인덱스가 동일하면 루트 표현식을 곱하면 됩니다. 그리고 그것들이 다르다면 우리는 사악한 공식 \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. 우리는 결과와 좋은 성적에 만족합니다. :)
잘? 연습할까요?
예 1. 식을 단순화합니다.
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ 제곱근(64)=-4; \끝(정렬)\]
이것은 가장 간단한 옵션입니다. 뿌리의 표시기는 동일하고 홀수이며 문제는 두 번째 승수의 빼기에만 있습니다. 우리는이 마이너스 nafig를 견뎌내고 모든 것이 쉽게 고려됩니다.
예 2. 식을 단순화합니다.
\[\begin(정렬) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( 맞추다)\]
여기서 많은 사람들이 출력 결과에 혼란스러워 할 것입니다. 무리수. 예, 발생합니다. 루트를 완전히 제거할 수는 없었지만 적어도 표현을 상당히 단순화했습니다.
예 3. 식을 단순화합니다.
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(정렬)\]
이것이 제가 여러분의 관심을 끌고자 하는 것입니다. 여기에는 두 가지 사항이 있습니다.
- 루트 아래에는 특정 숫자나 정도가 아니라 변수 $a$가 있습니다. 얼핏 보기에는 다소 생소하지만 실제로는 수학 문제를 풀 때 변수를 다루어야 하는 경우가 대부분입니다.
- 결국, 우리는 급진적 표현에서 루트 지수와 차수를 "축소"했습니다. 이것은 꽤 자주 발생합니다. 그리고 이것은 주요 공식을 사용하지 않으면 계산을 크게 단순화 할 수 있음을 의미합니다.
예를 들어 다음과 같이 할 수 있습니다.
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \끝(정렬)\]
실제로 모든 변환은 두 번째 라디칼로만 수행되었습니다. 그리고 모든 중간 단계를 자세히 그리지 않으면 결국 계산량이 크게 줄어 듭니다.
사실, 우리는 $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ 예제를 풀 때 이미 위와 유사한 작업을 만났습니다. 이제 훨씬 쉽게 작성할 수 있습니다.
\[\begin(정렬) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \끝(정렬)\]
글쎄, 우리는 뿌리의 곱셈을 알아 냈습니다. 이제 역 연산을 고려하십시오. 루트 아래에 작업이 있을 때 수행할 작업은 무엇입니까?
수학에서 근은 제곱, 입방 또는 다른 지수(승수)를 가질 수 있으며 이는 근 기호 위의 왼쪽에 기록됩니다. 루트 기호 아래의 표현식을 루트 표현식이라고 합니다. 루트 추가는 항 추가와 유사합니다. 대수식즉, 유사한 루트의 정의가 필요합니다.
단계
1/2부: 뿌리 찾기루트 지정.어근() 아래의 표현은 이 표현에서 어느 정도의 어근을 추출할 필요가 있음을 의미합니다.
- 루트는 기호로 표시됩니다.
- 루트의 인덱스(도)는 루트 기호 위 왼쪽에 기록됩니다. 예를 들어, 27의 세제곱근은 다음과 같이 작성됩니다. (27)
- 루트의 지수(차수)가 없으면 지수는 2와 같은 것으로 간주됩니다. 즉, 제곱근(또는 두 번째 차수의 루트)입니다.
- 루트 기호 앞에 쓰여진 숫자를 승수(즉, 이 숫자에 루트를 곱함)라고 합니다(예: 5(2)).
- 근 앞에 인수가 없으면 1과 같습니다(1을 곱한 숫자는 자기 자신과 같음).
- 근을 처음 사용하는 경우 혼동되지 않고 목적을 더 잘 이해할 수 있도록 근의 승수와 지수에 대해 적절한 메모를 하십시오.
접힐 수 있는 뿌리와 접을 수 없는 뿌리를 기억하십시오. 2a + 2b 4ab와 같이 표현식의 다른 항을 추가할 수 없는 것처럼 다른 근을 추가할 수 없습니다.
유사한 뿌리를 식별하고 그룹화하십시오.유사한 루트는 동일한 지수와 동일한 루트 표현식을 갖는 루트입니다. 예를 들어 다음 표현식을 고려하십시오.
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)
- 먼저 지수가 같은 근이 직렬이 되도록 식을 다시 작성합니다.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81) - 그런 다음 같은 지수와 같은 루트 표현식을 가진 루트가 직렬이 되도록 표현식을 다시 작성하십시오.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
뿌리를 단순화하십시오.이렇게 하려면 급진적 표현을 (가능한 경우) 두 가지 요소로 분해하고 그 중 하나는 루트 아래에서 가져옵니다. 이 경우 렌더링된 수와 루트 요소가 곱해집니다.
유사한 뿌리의 요인을 추가하십시오.이 예에는 2의 유사한 제곱근(추가 가능)과 3의 유사한 제곱근(추가 가능)이 있습니다. ~에 큐브 루트 3개 중 그런 뿌리는 없습니다.
- 식에서 어근을 쓰는 순서에 대해 일반적으로 허용되는 규칙은 없습니다. 따라서 지수의 오름차순과 급진적 표현의 오름차순으로 근을 쓸 수 있습니다.
주의, 오늘만!
모든 흥미로운
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숫자 x의 제곱근은 숫자 a이며, 이를 곱하면 숫자 x가 됩니다. a * a = a^2 = x, √x = a. 모든 숫자와 마찬가지로 제곱근에 대해 더하기 및 빼기의 산술 연산을 수행할 수 있습니다.
지침
- 먼저 제곱근을 추가할 때 해당 근을 추출하려고 합니다. 이것은 루트 기호 아래의 숫자가 완전 제곱이면 가능합니다. 예를 들어 √4 + √9라는 표현이 주어집니다. 첫 번째 숫자 4는 숫자 2의 제곱입니다. 두 번째 숫자 9는 숫자 3의 제곱입니다. 따라서 √4 + √9 = 2 + 3 = 5가 됩니다.
- 루트 기호 아래에 완전한 사각형이 없으면 루트 기호 아래에서 숫자의 승수를 빼십시오. 예를 들어, √24 + √54가 주어진다고 합시다. 숫자를 인수분해하십시오: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. 숫자 24는 제곱근 부호에서 빼낼 수 있는 4의 인수를 갖습니다. 숫자 54의 인수는 9입니다. 따라서 다음과 같이 나타납니다. √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . 이 예에서는 루트 기호에서 승수를 빼서 주어진 표현식을 단순화한 것으로 나타났습니다.
- 두 제곱근의 합을 분수의 분모로 둡니다(예: A / (√a + √b)). 그리고 당신의 임무는 "분모의 비합리성을 제거"하는 것입니다. 그런 다음 다음 방법을 사용할 수 있습니다. 분수의 분자와 분모에 √a - √b 식을 곱합니다. 따라서 분모에서 약식 곱셈 공식을 얻습니다. (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. 유추하여, 근의 차이가 분모(√a - √b)에 주어지면 분수의 분자와 분모에 √a + √b 식을 곱해야 합니다. 예를 들어 분수 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
- 분모에서 비합리성을 제거하는 더 복잡한 예를 고려하십시오. 분수 12 / (√2 + √3 + √5)가 주어집니다. 분수의 분자와 분모에 √2 + √3 - √5 식을 곱해야 합니다.
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30. - 마지막으로 근사값만 필요한 경우 계산기에서 제곱근을 계산할 수 있습니다. 각 숫자에 대해 값을 별도로 계산하고 필요한 정밀도(예: 소수점 이하 두 자리)로 기록합니다. 그런 다음 일반 숫자와 마찬가지로 필요한 산술 연산을 수행합니다. 예를 들어 식 √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89의 근사값을 알고 싶다고 가정해 보겠습니다.
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