밑이 같은 로그의 차이. 로그의 속성 및 솔루션의 예
아시다시피 표현식에 거듭제곱을 곱할 때 지수는 항상 더합니다(a b * a c = a b + c). 이 수학 법칙은 아르키메데스에 의해 파생되었으며 나중에 8세기에 수학자 Virasen이 정수 표시기 테이블을 만들었습니다. 로그의 추가 발견에 기여한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 번거로운 곱셈을 단순한 덧셈으로 단순화해야 하는 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 기사를 읽는 데 10분을 할애하면 로그가 무엇인지, 로그를 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 간단하고 접근 가능한 언어.
수학에서의 정의
로그는 다음 형식의 표현입니다. log a b=c, 즉, 밑수 "a"에 의한 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 로그는 "c"의 거듭제곱으로 간주됩니다. , 기본 "a"를 올려야 하므로 결국 "b" 값을 얻습니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 보겠습니다. log 2 8이라는 표현식이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 그것은 매우 간단합니다. 2에서 필요한 정도까지 8이 되는 정도를 찾아야 합니다. 마음속으로 몇 가지 계산을 하고 나면 숫자 3이 나옵니다! 그리고 옳습니다. 왜냐하면 2의 3승은 답에 숫자 8을 주기 때문입니다.
로그의 종류
많은 학생과 학생들에게 이 주제는 복잡하고 이해할 수 없는 것처럼 보이지만 사실 로그는 그렇게 무섭지 않습니다. 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 로그 표현식에는 세 가지 다른 종류가 있습니다.
- 자연 로그 ln a, 여기서 밑은 오일러 수(e = 2.7)입니다.
- 10진수 a, 밑수는 10입니다.
- 밑수 a>1에 대한 임의의 숫자 b의 로그.
각각은 단순화, 축소 및 로그 정리를 사용하여 하나의 로그로의 후속 축소를 포함하는 표준 방식으로 해결됩니다. 로그의 올바른 값을 얻으려면 결정의 속성과 작업 순서를 기억해야 합니다.
규칙 및 일부 제한 사항
수학에는 공리로 받아 들여지는 몇 가지 규칙 제한이 있습니다. 즉, 토론의 대상이 아니며 사실입니다. 예를 들어, 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며, 음수에서 짝수의 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 로그에도 고유한 규칙이 있으므로 길고 방대한 로그 표현식을 사용하여 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.
- 밑수 "a"는 항상 0보다 커야 하고 동시에 1이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 어느 정도 항상 값과 같기 때문에 표현식은 의미를 잃습니다.
- a > 0, b > 0이면 "c"가 0보다 커야 합니다.
로그를 푸는 방법?
예를 들어, 방정식 10 x \u003d 100에 대한 답을 찾는 작업이 주어지면 매우 쉽습니다. 100이 되는 숫자 10을 올려서 그러한 거듭제곱을 선택해야 합니다. 물론 이것은 10 2입니다. \u003d 100.
이제 이 식을 로그 식으로 표현해 보겠습니다. 로그 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 작업은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑이 입력되어야 하는 정도를 찾는 데 수렴합니다.
미지수의 값을 정확하게 결정하려면 도 표로 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다.
보시다시피 일부 지수는 구구단에 대한 기술적 마인드와 지식이 있으면 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 더 큰 값은 검정력 테이블이 필요합니다. 복잡한 수학 주제에 대해 전혀 이해하지 못하는 사람들도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(밑수 a)가 포함되어 있고 숫자의 맨 위 행은 숫자 a가 올라간 c의 거듭제곱 값입니다. 셀의 교차점에서 답인 숫자 값이 결정됩니다(a c = b). 예를 들어 숫자가 10인 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시된 값 100을 얻습니다. 모든 것이 너무 간단하고 쉬워서 가장 진정한 인본주의자라도 이해할 수 있습니다!
방정식과 부등식
특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 밑이 3인 4(log 3 81 = 4)에 대한 81의 로그로 작성할 수 있습니다. 음의 거듭제곱에 대한 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 로그로 작성하면 로그 2(1/32) = -5가 됩니다. 수학에서 가장 흥미로운 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구한 직후에 방정식의 예와 솔루션을 조금 더 낮게 고려할 것입니다. 이제 부등식이 어떻게 생겼는지 방정식과 구별하는 방법을 살펴보겠습니다.
다음 형식의 표현식이 제공됩니다. log 2(x-1) > 3 - 알 수 없는 값 "x"가 로그 부호 아래 있으므로 로그 부등식입니다. 그리고 또한 표현식에서 두 개의 양이 비교됩니다. 밑수 2에서 원하는 숫자의 로그는 숫자 3보다 큽니다.
대수 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 대수가 있는 방정식(예: 2 x = √9의 대수)은 답에 하나 이상의 특정 숫자 값을 의미하는 반면 부등식을 풀 때 두 범위 모두 허용 가능한 값과 이 기능을 깨는 점. 결과적으로 답은 방정식의 답에서와 같이 개별 숫자의 단순한 집합이 아니라 연속적인 일련 또는 숫자 집합입니다.
로그에 대한 기본 정리
로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 해당 속성을 알 수 없을 수 있습니다. 그러나 대수 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 대수의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용할 필요가 있습니다. 방정식의 예는 나중에 알게 될 것이므로 먼저 각 속성을 더 자세히 분석해 보겠습니다.
- 기본 ID는 logaB =B와 같습니다. 0보다 크고 1이 아니며 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
- 제품의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 이 경우 전제 조건은 d, s 1 및 s 2 > 0입니다. ≠1. 예제와 솔루션을 사용하여 이 로그 공식에 대한 증명을 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 이고 log a s 2 = f 2 라고 하면 a f1 = s 1 , a f2 = s 2가 됩니다. s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(차수 속성 ), 그리고 더 나아가 정의에 의해: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, 이것은 증명되어야 했습니다.
- 몫의 로그는 다음과 같습니다. log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- 공식 형태의 정리는 다음과 같은 형식을 취합니다. log a q b n = n/q log a b.
이 공식을 "로그 차수의 속성"이라고 합니다. 그것은 일반 학위의 속성과 유사하며 모든 수학이 규칙적인 가정에 기초하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 봅시다.
a b \u003d t를 기록하면 a t \u003d b가 됩니다. 두 부분을 모두 m 거듭제곱하면: a tn = b n ;
그러나 a tn = (a q) nt/q = b n 이므로 log a q b n = (n*t)/t이므로 log a q b n = n/q log a b입니다. 정리가 증명되었습니다.
문제와 불평등의 예
로그 문제의 가장 일반적인 유형은 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에서 찾을 수 있으며 수학 시험의 필수 부분에도 포함되어 있습니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 그러한 과제를 올바르게 푸는 방법을 알아야 합니다.
불행히도 로그의 미지의 값을 풀고 결정하기 위한 단일 계획이나 계획은 없지만 특정 규칙은 각 수학적 부등식 또는 로그 방정식에 적용될 수 있습니다. 먼저 그 표현을 일반형으로 단순화할 수 있는지 축소할 수 있는지 알아보아야 합니다. 속성을 올바르게 사용하면 긴 대수 표현식을 단순화할 수 있습니다. 빨리 그들을 알아봅시다.
로그 방정식을 풀 때 어떤 종류의 로그가 우리 앞에 있는지 결정하는 것이 필요합니다. 식의 예에는 자연 로그 또는 소수가 포함될 수 있습니다.
다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 솔루션은 밑수 10이 각각 100 및 1026이 되는 정도를 결정해야 한다는 사실로 요약됩니다. 자연 로그 솔루션의 경우 로그 항등식 또는 해당 속성을 적용해야 합니다. 다양한 유형의 로그 문제를 푸는 예를 살펴보겠습니다.
로그 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함
따라서 대수에 대한 주요 정리를 사용하는 예를 살펴 보겠습니다.
- 곱의 로그 속성은 숫자 b의 큰 값을 더 간단한 요소로 분해해야 하는 작업에서 사용할 수 있습니다. 예를 들어, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512입니다. 답은 9입니다.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 로그 차수의 네 번째 속성을 사용하여 복잡하고 풀 수 없는 표현식을 언뜻 보기에 풀 수 있었습니다. 밑을 인수분해한 다음 로그 부호에서 지수 값을 취하기만 하면 됩니다.
시험의 과제
대수는 입학 시험, 특히 통합 국가 시험(모든 학교 졸업생을 위한 국가 시험)에서 많은 대수 문제에서 자주 발견됩니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(시험의 가장 쉬운 테스트 부분)뿐만 아니라 파트 C(가장 어렵고 방대한 작업)에도 있습니다. 이 시험은 "자연 로그"라는 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식을 의미합니다.
예제와 문제 해결은 시험의 공식 버전에서 가져옵니다. 그러한 작업이 어떻게 해결되는지 봅시다.
주어진 로그 2(2x-1) = 4. 솔루션:
식을 다시 작성하여 log 2 (2x-1) = 2 2 , 로그 정의에 따라 2x-1 = 2 4 , 따라서 2x = 17을 얻습니다. x = 8.5.
- 솔루션이 번거롭거나 혼동되지 않도록 모든 로그는 동일한 밑수로 줄이는 것이 가장 좋습니다.
- 대수 부호 아래의 식은 모두 양수로 나타내므로 대수 부호 아래에 있는 식의 지수를 밑수로 뺄 때 대수 아래에 남아 있는 식은 양수여야 합니다.
오늘 우리는에 대해 이야기 할 것입니다 로그 공식시연을 하고 솔루션 예.
그 자체로 로그의 기본 속성에 따른 솔루션 패턴을 암시합니다. 로그 공식을 솔루션에 적용하기 전에 먼저 모든 속성을 기억합니다.
이제 이러한 공식(속성)을 기반으로 다음을 표시합니다. 로그 풀이의 예.
공식을 기반으로 로그를 푸는 예.
로그밑수 a의 양수 b(log a b로 표시됨)는 b > 0, a > 0 및 1인 b를 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수입니다.
정의에 따르면 log a b = x는 a x = b와 동일하므로 log a a x = x입니다.
로그, 예:
log 2 8 = 3, 왜냐하면 2 3 = 8
로그 7 49 = 2 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, 왜냐하면 5 -1 = 1/5
십진 로그는 밑이 10인 일반 로그입니다. lg로 표시됩니다.
로그 10 100 = 2 10 2 = 100
자연 로그- 또한 일반적인 로그 로그이지만 밑은 e입니다(e \u003d 2.71828 ... - 무리수). ln이라고 합니다.
로그, 로그 방정식 및 부등식을 풀 때 나중에 필요하기 때문에 로그의 공식이나 속성을 기억하는 것이 바람직합니다. 예를 들어 각 공식을 다시 살펴보겠습니다.
- 기본 로그 항등
a 로그 b = b8 2로그 8 3 = (8 2로그 8 3) 2 = 3 2 = 9
- 곱의 로그는 로그의 합과 같습니다.
log a (bc) = log a b + log a c로그 3 8.1 + 로그 3 10 = 로그 3(8.1*10) = 로그 3 81 = 4
- 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.
log a (b/c) = log a b - log a c9 로그 5 50 /9 로그 5 2 = 9 로그 5 50- 로그 5 2 = 9 로그 5 25 = 9 2 = 81
- 로그 가능한 숫자의 차수와 로그의 밑의 속성
로그 수의 지수 log a b m = mlog a b
로그의 밑의 지수 log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
m = n이면 log a n b n = log a b를 얻습니다.
로그 4 9 = 로그 2 2 3 2 = 로그 2 3
- 새로운 재단으로의 전환
로그 a b = 로그 c b / 로그 c a,c = b이면 log b b = 1을 얻습니다.
그런 다음 log a b = 1/log b a
로그 0.8 3*로그 3 1.25 = 로그 0.8 3*로그 0.8 1.25/로그 0.8 3 = 로그 0.8 1.25 = 로그 4/5 5/4 = -1
보시다시피, 로그 공식은 보이는 것만큼 복잡하지 않습니다. 이제 대수를 푸는 예를 고려했으므로 대수 방정식으로 넘어갈 수 있습니다. 기사 ""에서 대수 방정식을 푸는 예를 더 자세히 고려할 것입니다. 놓치지 마세요!
솔루션에 대해 여전히 질문이 있는 경우 기사에 대한 의견에 작성하십시오.
참고: 옵션으로 다른 수업의 해외 유학 교육을 받기로 결정했습니다.
숫자의 로그 N 이유에 의해 ㅏ 지수라고 한다 엑스 , 당신이 올려야 하는 ㅏ 번호를 얻기 위해 N
제공 
,
,
다음은 로그의 정의에서 비롯됩니다. 
, 즉.
- 이 등식은 기본 로그 항등식입니다.
밑이 10인 로그를 십진 로그라고 합니다. 대신에 
쓰다 
.
기본 로그 이자형
자연이라고 하고 표기한다. 
.
로그의 기본 속성.
모든 밑수에 대한 단위 로그는 0입니다.
곱의 로그는 요인의 로그의 합과 같습니다.
3) 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.
요인 
밑에서 로그로부터의 천이 계수라고 합니다. ㅏ
밑의 로그에 비
.
속성 2-5를 사용하여 복잡한 표현식의 로그를 로그에 대한 간단한 산술 연산의 결과로 줄이는 것이 종종 가능합니다.
예를 들어, 
이러한 로그 변환을 로그라고 합니다. 로그의 역수 변환을 강화라고 합니다.
2장. 고등 수학의 요소.
1. 한계
기능 제한 
노력할 때 유한한 수 A인 경우 xx
0
미리 정해진 각각에 대해 
, 숫자가 있습니다 
그 즉시 
, 그 다음에 
.
극한이 있는 함수는 극미량만큼 다릅니다. 
, 여기서 - b.m.w., 즉 
.
예시. 기능을 고려하십시오 
.
노력할 때 
, 기능 와이
0으로 간다: 
1.1. 극한에 대한 기본 정리.
상수 값의 한계는 이 상수 값과 같습니다.
.
유한한 수의 함수의 합(차)의 극한은 이러한 함수의 극한의 합(차)과 같습니다.
유한한 수의 함수의 곱의 극한은 이러한 함수의 극한의 곱과 같습니다.
분모의 극한이 0이 아닌 경우 두 함수의 몫의 극한은 이러한 함수의 극한의 몫과 같습니다.
놀라운 한계
,
, 어디 
1.2. 한계 계산 예
그러나 모든 한계가 그렇게 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 더 자주, 한계 계산은 유형 불확실성의 공개로 축소됩니다. 
또는 .
.
2. 함수의 미분
함수를 만들자 
, 세그먼트에서 연속 
.
논쟁 
약간의 부스트를 얻었다 
. 그러면 함수가 증가합니다. 
.
인수 값 
함수의 값에 해당 
.
인수 값 
함수의 값에 해당합니다.
따라서, .
이 관계의 극한을 찾자 
. 이 극한이 존재하면 주어진 함수의 도함수라고 합니다.
주어진 함수의 3도함수 정의 
인수로 
인수의 증가가 임의로 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계라고 합니다.
함수 도함수 
다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
;
;
;
.
정의 4함수의 도함수를 찾는 작업을 분화.
2.1. 파생 상품의 기계적 의미.
일부 강체 또는 재료 점의 직선 운동을 고려하십시오.
어느 시점에서 보자 
움직이는 포인트 
거리에 있었다 
시작 위치에서 
.
일정 시간이 지나면 
그녀는 거리를 옮겼다 
. 태도 
=
- 머티리얼 포인트의 평균 속도 
. 다음을 고려하여 이 비율의 한계를 찾아봅시다. 
.
결과적으로, 물질 점의 순간 속도의 결정은 시간에 대한 경로의 미분을 찾는 것으로 축소됩니다.
2.2. 도함수의 기하학적 값
그래픽으로 정의된 일부 기능이 있다고 가정합니다. 
.
쌀. 1. 도함수의 기하학적 의미
만약 
, 다음 요점 
, 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다. 
.
따라서 
, 즉. 인수의 값이 주어진 도함수의 값 
수치적으로는 축의 양의 방향과 함께 주어진 점에서 접선에 의해 형성된 각도의 접선과 같습니다. 
.
2.3. 기본 미분 공식 표.
전원 기능
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지수 함수
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로그 함수
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삼각함수
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역삼각함수
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2.4. 차별화 규칙.
의 파생어 
함수의 합(차)의 도함수
두 함수의 곱의 도함수
두 함수의 몫의 도함수
2.5. 복잡한 함수의 파생물.
기능을 보자 
로 나타낼 수 있도록
그리고 
, 여기서 변수 
는 중간 인수이며, 
복소수 함수의 도함수는 x에 대한 중간 인수의 도함수에 의한 중간 인수에 대한 주어진 함수의 도함수의 곱과 같습니다.
예1. 
예2. 
3. 기능 미분.
있게 하다 
, 어떤 간격으로 미분 가능 
놔줘 ~에
이 함수에는 도함수가 있습니다.
,
그러면 쓸 수 있습니다
(1),
어디 
- 극소량,
때문에 
모든 평등 항(1)에 곱하기 
우리는:
어디에 
- b.m.v. 더 높은 순서.
값 
함수의 미분이라고 합니다. 
그리고 표시 
.
3.1. 미분의 기하학적 값입니다.
기능을 보자 
.
그림 2. 미분의 기하학적 의미.
.
분명히 기능의 미분 
주어진 점에서 접선의 세로좌표의 증분과 같습니다.
3.2. 다양한 주문의 파생 상품 및 미분.
만약 거기에 
, 그 다음에 
1차 도함수라고 합니다.
1차 도함수의 도함수를 2차 도함수라고 하며 다음과 같이 쓰여집니다. 
.
함수의 n차 도함수 
(n-1) 차수의 도함수라고 하며 다음과 같이 작성됩니다.
.
함수의 미분의 미분을 2차 미분 또는 2차 미분이라고 합니다.
.
.
3.3 미분을 이용한 생물학적 문제 해결.
작업1. 연구에 따르면 미생물 군집의 성장은 법칙을 준수합니다 
, 어디 N
– 미생물의 수(천 단위), 티
– 시간(일).
b) 이 기간 동안 식민지의 인구가 증가하거나 감소합니까?
답변. 식민지의 크기가 커질 것입니다.
작업 2. 호수의 물은 병원성 박테리아의 함량을 제어하기 위해 주기적으로 테스트됩니다. 을 통해 티 테스트 후 일, 박테리아의 농도는 비율에 의해 결정됩니다
.
박테리아의 최소 농도는 언제 호수에 와서 수영이 가능합니까?
솔루션 도함수가 0일 때 함수는 최대값 또는 최소값에 도달합니다.
,
최대 또는 최소가 6일 이내에 결정되도록 합시다. 이를 위해 2차 도함수를 취합니다.
답변: 6일 후 박테리아의 최소 농도가 나타납니다.
시작하자 단위 로그의 속성. 공식은 다음과 같습니다. 단위 로그는 0과 같습니다. 즉, 1=0을 기록 a>0 , a≠1 에 대해 증명은 간단합니다. 위의 조건 a>0 및 a≠1 을 충족하는 임의의 a에 대해 a 0 =1 이므로 증명된 등식 로그 a 1=0 은 로그 정의에서 즉시 따릅니다.
고려된 속성의 적용 예를 들어보겠습니다. log 3 1=0 , lg1=0 및 .
다음 속성으로 이동해 보겠습니다. 밑과 같은 숫자의 로그는 1과 같습니다., 즉, 로그 a = 1>0 , a≠1 . 실제로, a 1 =a for any a 이므로 로그 정의에 따라 log a a=1 입니다.
이 로그 속성을 사용하는 예는 log 5 5=1 , log 5.6 5.6 및 lne=1 입니다.
예를 들어, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 및 
.
두 양수의 곱의 로그 x 및 y는 다음 숫자의 로그 곱과 같습니다. log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . 곱의 대수의 성질을 증명해 보자. 학위의 특성으로 인해 a log a x+log a y =a log a x a log a y, 그리고 주요 로그 항등에 의해 log a x =x 및 a log a y =y 이므로 a log a x a log a y =x y . 따라서 a log a x+log a y =x y , 여기서 필요한 평등은 로그의 정의에 따릅니다.
제품의 로그 속성을 사용하는 예를 보여 드리겠습니다. log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 및 
.
제품 로그 속성은 다음과 같이 유한 수 n의 양수 x 1 , x 2 , … , x n의 곱으로 일반화할 수 있습니다. 로그 a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . 이 평등은 쉽게 증명됩니다.
예를 들어, 제품의 자연 로그는 숫자 4, e 및 .의 세 자연 로그의 합으로 대체될 수 있습니다.
두 양수 몫의 로그 x와 y는 이 숫자의 로그 차이와 같습니다. 몫 로그 속성은 a>0 , a≠1 , x 및 y 가 일부 양수인 경우 형식의 공식에 해당합니다. 이 공식의 유효성은 제품의 로그 공식처럼 증명됩니다. 
, 다음 대수의 정의에 의해.
다음은 로그의 이 속성을 사용하는 예입니다. 
.
로 넘어가자 차수의 로그 속성. 차수의 로그는 지수의 곱과 이 차수의 밑의 계수의 로그와 같습니다. 우리는 수식의 형태로 정도의 로그 속성을 씁니다. 로그 a b p =p 로그 a |b|, 여기서 a>0 , a≠1 , b 및 p 는 b p 의 정도가 의미가 있고 b p >0 인 숫자입니다.
우리는 먼저 양의 b 에 대해 이 속성을 증명합니다. 기본 대수 항등식을 사용하면 숫자 b를 log a b , b p =(a log a b) p 로 나타낼 수 있으며, 거듭제곱 속성으로 인해 결과 표현식은 p log a b 와 같습니다. 따라서 우리는 등식 b p =a p log a b 에 도달합니다. 여기서 로그의 정의에 따라 log b p =p log a b 라는 결론을 내립니다.
음수 b 에 대해 이 속성을 증명해야 합니다. 여기서 음수 b에 대한 표현 log b p는 짝수 지수 p에 대해서만 의미가 있습니다(차수 b p의 값은 0보다 커야 하므로, 그렇지 않으면 로그가 의미가 없음). 이 경우 b p =|b| 피 . 그 다음에 피 =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, log a b p =p log a |b| .
예를 들어, 
및 ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 입니다.
이전 속성에서 이어집니다. 루트에서 로그의 속성: n차 루트의 로그는 분수 1/n과 루트 표현식의 로그의 곱과 같습니다. 즉, 
여기서 a>0 , a≠1 , n 은 1보다 큰 자연수 b>0 입니다.
증명은 모든 양의 b 에 대해 유효한 등식( 참조)과 차수의 로그 속성을 기반으로 합니다. 
.
다음은 이 속성을 사용하는 예입니다. 
.
이제 증명하자 로그의 새 밑으로의 변환 공식친절한 
. 이렇게 하려면 등식 log c b=log a b log c a 의 유효성을 증명하는 것으로 충분합니다. 기본 로그 항등식을 통해 숫자 b를 log a b 로 표시한 다음 log c b=log c a log a b 를 나타낼 수 있습니다. 정도의 로그 속성을 사용하는 것이 남아 있습니다. 로그 c a 로그 a b = 로그 b 로그 c a. 따라서 등식 log c b=log b log c a가 증명되며, 이는 로그의 새로운 밑으로의 전환 공식도 증명됨을 의미합니다.
이 로그 속성을 적용하는 몇 가지 예를 보여 드리겠습니다. 
.
새 밑수로 이동하는 공식을 사용하면 "편리한" 밑이 있는 로그 작업으로 이동할 수 있습니다. 예를 들어, 로그 테이블에서 로그 값을 계산할 수 있도록 자연 또는 십진 로그로 이동하는 데 사용할 수 있습니다. 로그의 새로운 밑으로의 전환 공식을 사용하면 경우에 따라 다른 밑이 있는 일부 로그의 값을 알 때 주어진 로그의 값을 찾을 수 있습니다.
종종 사용되는 형식의 c=b에 대한 로그의 새 밑으로 전환하는 공식의 특별한 경우입니다. 
. 이것은 log b 및 log b - 를 보여줍니다. 예를 들어, 
.
또한 자주 사용되는 공식은 
, 로그 값을 찾는 데 유용합니다. 우리의 말을 확인하기 위해 그것을 사용하여 형식의 로그 값을 계산하는 방법을 보여줍니다. 우리는 
. 공식을 증명하기 위해 
로그 a의 새 밑으로 전환 공식을 사용하는 것으로 충분합니다. 
.
로그의 비교 속성을 증명하는 것은 남아 있습니다.
임의의 양수에 대해 b 1 및 b 2 , b 1 log a b 2 , >1인 경우 부등식 log a b 1 마지막으로 나열된 로그 속성 중 마지막 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 우리는 첫 번째 부분을 증명하는 것으로 자신을 제한합니다. 즉, a 1 >1 , a 2 >1 및 a 1 1은 참 log a 1 b>log a 2 b 입니다. 이 로그 속성의 나머지 설명은 유사한 원리로 증명됩니다. 반대의 방법을 사용합시다. a 1 >1 , a 2 >1 및 a 1에 대해 1 log a 1 b≤log a 2 b는 참입니다. 로그의 속성에 의해 이러한 부등식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 
그리고 
각각 log b a 1 ≤log b a 2 및 log b a 1 ≥log b a 2를 따릅니다. 그러면 밑이 같은 거듭제곱의 속성에 의해 등식 b log b a 1 ≥b log b a 2 와 b log b a 1 ≥b log b a 2 가 충족되어야 합니다. 즉, a 1 ≥a 2 입니다. 따라서 우리는 조건 a 1에 대한 모순에 도달했습니다.
서지.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 대수와 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10-11학년을 위한 교과서.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(기술 학교 지원자를 위한 매뉴얼).
관련하여
주어진 다른 두 숫자에서 세 숫자 중 하나를 찾는 작업을 설정할 수 있습니다. 주어진 다음 N은 지수에 의해 발견됩니다. N이 주어지면 거듭제곱 x(또는 지수)의 근을 추출하여 구합니다. 이제 및 N이 주어졌을 때 x를 찾아야 하는 경우를 고려하십시오.
숫자 N이 양수라고 합시다. 숫자 a는 양수이고 1이 아닙니다: .
정의. 밑수 a에 대한 숫자 N의 로그는 숫자 N을 얻기 위해 올려야 하는 지수입니다. 로그는 다음과 같이 표시됩니다.
따라서 등식(26.1)에서 지수는 밑수 a에 대한 N의 로그로 발견됩니다. 엔트리
같은 의미를 가지고 있습니다. 평등(26.1)은 때때로 로그 이론의 기본 동일성이라고 합니다. 사실, 그것은 대수 개념의 정의를 표현합니다. 이 정의에 따르면 로그 a의 밑은 항상 양수이고 1과 다릅니다. 로그 가능 숫자 N은 양수입니다. 음수와 0에는 로그가 없습니다. 주어진 밑수가 있는 모든 숫자에는 잘 정의된 로그가 있음을 증명할 수 있습니다. 그러므로 평등에는 . 조건은 여기에서 필수적입니다. 그렇지 않으면 평등이 x와 y의 모든 값에 대해 참이기 때문에 결론이 정당화되지 않습니다.
예 1. 찾기
결정. 숫자를 얻으려면 밑수 2를 따라서 거듭제곱해야 합니다.
다음 형식으로 이러한 예를 해결할 때 기록할 수 있습니다.
예 2. 찾기 .
결정. 우리는
예제 1과 2에서 우리는 로그 가능한 숫자를 유리수 지수로 밑의 차수로 나타내어 원하는 로그를 쉽게 찾았습니다. 예를 들어 등의 일반적인 경우에는 로그가 비합리적인 값을 가지므로 수행할 수 없습니다. 이 진술과 관련된 한 가지 질문에 주목합시다. § 12에서 우리는 주어진 양수의 실승을 결정할 가능성의 개념을 제공했습니다. 이것은 일반적으로 무리수일 수 있는 로그를 도입하는 데 필요했습니다.
로그의 몇 가지 속성을 고려하십시오.
속성 1. 숫자와 밑이 같으면 로그는 1과 같고, 반대로 로그가 1과 같으면 숫자와 밑은 같습니다.
증거. 로그의 정의에 의해 하자
반대로, 정의에 의해
속성 2. 모든 밑수에 대한 1의 로그는 0과 같습니다.
증거. 로그의 정의에 따라(양수 밑의 0승은 1과 같습니다. (10.1) 참조). 여기에서
Q.E.D.
반대 진술도 참입니다. if , then N = 1. 실제로 .
로그의 다음 속성을 설명하기 전에 두 숫자와 b가 모두 c보다 크거나 c보다 작으면 세 번째 숫자 c의 같은 변에 있다는 데 동의합니다. 이 숫자 중 하나가 c보다 크고 다른 하나가 c보다 작으면 c의 반대쪽에 있다고 말합니다.
속성 3. 숫자와 밑이 같은 1면에 있으면 로그는 양수입니다. 숫자와 밑이 1의 반대쪽에 있으면 로그는 음수입니다.
속성 3의 증명은 밑이 1보다 크고 지수가 양수이거나 밑이 1보다 작고 지수가 음이면 의 차수가 1보다 크다는 사실에 기반합니다. 밑이 1보다 크고 지수가 음수이거나 밑이 1보다 작고 지수가 양수인 경우 차수는 1보다 작습니다.
고려해야 할 네 가지 경우가 있습니다.
우리는 그들 중 첫 번째 분석에 자신을 국한시키고 독자는 나머지를 스스로 고려할 것입니다.
평등 지수는 음수도 0도 아니므로 양수, 즉 증명해야 하는 지수입니다.
예 3. 다음 로그 중 양수와 음수를 찾으십시오.
솔루션, a) 숫자 15와 베이스 12가 유닛의 같은 쪽에 있기 때문에;
b) , 1000과 2가 유닛의 같은 쪽에 있기 때문에; 동시에 밑이 로그 수보다 클 필요는 없습니다.
c) 3.1과 0.8은 일치의 반대편에 있기 때문에;
G) ; 왜요?
e) ; 왜요?
다음 속성 4-6은 종종 로그 규칙이라고 합니다. 일부 숫자의 로그를 알면 제품의 로그, 몫, 각 차수를 찾을 수 있습니다.
속성 4(곱의 로그 규칙). 주어진 밑에서 여러 양수의 곱의 로그는 같은 밑에서 이러한 숫자의 로그의 합과 같습니다.
증거. 양수가 주어집니다.
제품의 로그에 대해 로그를 정의하는 등식(26.1)을 씁니다.
여기에서 우리는
첫 번째 표현식과 마지막 표현식의 지수를 비교하여 필요한 평등을 얻습니다.
조건은 필수입니다. 두 음수의 곱의 로그는 의미가 있지만 이 경우에는 다음을 얻습니다.
일반적으로 여러 요소의 곱이 양수이면 로그는 이러한 요소 모듈의 로그 합계와 같습니다.
속성 5(몫 로그 규칙). 양수 몫의 로그는 동일한 밑에서 취한 피제수와 제수의 로그 차이와 같습니다. 증거. 지속적으로 찾기
Q.E.D.
속성 6(도의 로그 규칙). 임의의 양수 거듭제곱의 로그는 해당 숫자의 로그 곱하기 지수와 같습니다.
증거. 우리는 번호에 대한 주 ID(26.1)를 다시 씁니다.
Q.E.D.
결과. 양수 근의 로그는 근의 지수로 나눈 근 수의 로그와 같습니다.
우리는 속성 6을 어떻게 사용하는지 제시함으로써 이 추론의 타당성을 증명할 수 있습니다.
예 4. a를 밑으로 하는 로그:
a) (모든 값 b, c, d, e는 양수라고 가정);
b) (가정).
솔루션, a) 이 표현식을 분수 거듭제곱으로 전달하는 것이 편리합니다.
평등(26.5)-(26.7)을 기반으로 이제 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
숫자 자체보다 숫자의 로그에 대해 더 간단한 연산이 수행됨을 알 수 있습니다. 숫자를 곱할 때 로그가 더해지고 나눌 때 빼는 식입니다.
이것이 계산 실습에서 로그가 사용된 이유입니다(29절 참조).
대수에 반대되는 동작을 potentiation이라고 합니다. 즉, potentiation은 이 숫자 자체가 숫자의 주어진 로그에 의해 발견되는 동작입니다. 본질적으로, 강화는 특별한 행동이 아닙니다. 그것은 밑을 거듭제곱으로 올리는 것입니다(숫자의 로그와 같음). "증가"라는 용어는 "지수"라는 용어와 동의어로 간주될 수 있습니다.
강화할 때 로그 규칙에 반대되는 규칙을 사용할 필요가 있습니다. 로그의 합을 곱의 로그로, 로그의 차이를 몫의 로그로 바꾸는 등입니다. 특히 다음이 있는 경우 대수 부호 앞에 있는 모든 요인, 강화하는 동안 대수 부호 아래의 지시계 각도로 옮겨야 합니다.
예 5. 알고 있는 경우 N을 찾으십시오.
결정. 방금 언급한 강화 규칙과 관련하여 이 등식의 오른쪽에 있는 로그 기호 앞에 있는 인수 2/3 및 1/3은 이 로그 기호 아래에 있는 지수로 전송됩니다. 우리는 얻는다
이제 로그의 차이를 몫의 로그로 바꿉니다.
이 등식 사슬의 마지막 분수를 얻기 위해 분모의 비합리성에서 이전 분수를 해방했습니다(섹션 25).
속성 7. 밑이 1보다 크면 큰 숫자가 더 큰 로그를 가지며(작은 숫자가 더 작은 로그를 가짐), 밑이 1보다 작으면 큰 숫자가 더 작은 로그를 갖습니다(작은 하나는 더 큰 것).
이 속성은 부등식의 로그에 대한 규칙으로도 공식화되며, 두 부분 모두 양수입니다.
밑이 1보다 큰 부등식의 로그를 취하면 부등호가 유지되고 밑이 1보다 작은 로그를 취하면 부등식의 부호가 반대로 됩니다(항목 80 참조).
증명은 속성 5와 3을 기반으로 합니다. If , then 그리고 로그를 취하면 다음을 얻습니다.
(a 및 N/M은 단일성의 같은 쪽에 놓여 있습니다). 여기에서
사례가 뒤따르면 독자가 스스로 알아낼 것입니다.
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