세 숫자의 최소 공배수 예. 최소 공배수 찾기: 방법, LCM을 찾는 예

LCM을 계산하는 방법을 이해하려면 먼저 "다수"라는 용어의 의미를 파악해야 합니다.

A의 배수는 A로 나누어 나머지가 없는 자연수이므로 15, 20, 25 등은 5의 배수로 간주할 수 있습니다.

특정 수의 제수는 제한적일 수 있지만 배수는 무한합니다.

자연수의 공배수는 나머지 없이 나누어지는 수입니다.

숫자의 최소 공배수를 찾는 방법

숫자(2, 3 또는 그 이상)의 최소공배수(LCM)는 이러한 모든 숫자로 균등하게 나누어지는 가장 작은 자연수입니다.

NOC를 찾으려면 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다.

작은 수의 경우 공통된 수를 찾을 때까지 이러한 수의 모든 배수를 한 줄에 쓰는 것이 편리합니다. 배수는 레코드에 대문자 K로 표시됩니다.

예를 들어 4의 배수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

따라서 숫자 4와 6의 최소 공배수는 숫자 24라는 것을 알 수 있습니다. 이 입력은 다음과 같이 수행됩니다.

LCM(4, 6) = 24

숫자가 크면 세 개 이상의 숫자의 공배수를 찾으면 다른 방법을 사용하여 LCM을 계산하는 것이 좋습니다.

작업을 완료하려면 제안된 숫자를 소인수로 분해해야 합니다.

먼저 줄에서 가장 큰 숫자의 확장과 그 아래의 나머지를 작성해야합니다.

각 숫자의 확장에는 요인의 수가 다를 수 있습니다.

예를 들어, 숫자 50과 20을 소인수로 분해해 봅시다.

작은 수의 분해에서 첫 번째로 큰 수의 분해에 없는 요소에 밑줄을 긋고 추가해야 합니다. 제시된 예에서는 듀스가 누락되었습니다.

이제 20과 50의 최소공배수를 계산할 수 있습니다.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

따라서 더 큰 수의 분해에 포함되지 않은 더 큰 수의 소인수와 두 번째 수의 인수의 곱은 최소 공배수가 됩니다.

세 개 이상의 숫자의 LCM을 찾으려면 앞의 경우와 같이 모든 숫자를 소인수로 분해해야 합니다.

예를 들어 숫자 16, 24, 36의 최소 공배수를 찾을 수 있습니다.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

따라서 16의 분해에서 2개의 듀스(하나는 24의 분해에 있음)만이 더 큰 수의 분해에 들어가지 않았습니다.

따라서 더 큰 수의 분해에 추가해야 합니다.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

최소 공배수를 결정하는 특별한 경우가 있습니다. 따라서 숫자 중 하나를 나머지 없이 나눌 수 있는 경우 이러한 숫자 중 큰 숫자가 최소 공배수가 됩니다.

예를 들어, 12와 24의 NOC는 24가 됩니다.

동일한 제수를 갖지 않는 공소수의 최소 공배수를 찾아야 하는 경우 LCM은 해당 제품과 같습니다.

예를 들어, LCM(10, 11) = 110입니다.

최소 공배수를 찾는 세 가지 방법을 고려하십시오.

인수분해로 찾기

첫 번째 방법은 주어진 숫자를 소인수로 분해하여 최소 공배수를 찾는 것입니다.

99, 30, 28의 LCM을 찾아야 한다고 가정합니다. 이를 위해 각 숫자를 소인수로 분해합니다.

원하는 숫자가 99, 30, 28로 나누어 떨어지려면 이 약수의 모든 소인수를 포함하는 것이 필요하고 충분합니다. 이렇게 하려면 이 숫자의 모든 소인수를 가장 높은 발생 거듭제곱으로 가져와 함께 곱해야 합니다.

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

따라서 LCM(99, 30, 28) = 13,860입니다. 13,860보다 작은 다른 수는 99, 30 또는 28로 균등하게 나눌 수 없습니다.

주어진 숫자의 최소공배수를 찾으려면, 그것들을 소인수로 분해한 다음, 가장 큰 지수를 가진 각 소인수를 취하여 이들 인수를 곱해야 합니다.

공소수에는 공통 소인수가 없으므로 최소 공배수는 이 수의 곱과 같습니다. 예를 들어 20, 49, 33의 세 숫자는 공소수입니다. 그렇기 때문에

LCM(20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340

다양한 소수의 최소 공배수를 찾을 때도 마찬가지입니다. 예를 들어, LCM(3, 7, 11) = 3 7 11 = 231입니다.

선택으로 찾기

두 번째 방법은 피팅을 통해 최소 공배수를 찾는 것입니다.

예 1. 주어진 숫자 중 가장 큰 숫자가 다른 주어진 숫자로 균등하게 나눌 수 있는 경우 이 숫자의 최소공배수는 그 중 큰 숫자와 같습니다. 예를 들어, 60, 30, 10, 6이라는 네 개의 숫자가 있다고 가정합니다. 각각은 60으로 나누어 떨어지므로 다음과 같습니다.

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

다른 경우에는 최소 공배수를 찾기 위해 다음 절차가 사용됩니다.

주어진 수에서 가장 큰 수를 구하십시오.
다음으로, 가장 큰 수의 배수인 수를 찾아 자연수를 오름차순으로 곱하고 주어진 나머지 수를 결과 곱으로 나눌 수 있는지 확인합니다.

예 2. 3개의 숫자 24, 3, 18이 있다고 가정합니다. 그 중 가장 큰 숫자를 결정합니다. 이것은 숫자 24입니다. 다음으로 24의 배수를 찾고 각각이 18과 3으로 나누어 떨어지는지 확인합니다.

24 1 = 24는 3으로 나누어 떨어지지만 18로 나누어 떨어지지 않습니다.

24 2 = 48 - 3으로 나눌 수 있지만 18로 나눌 수 없습니다.

24 3 \u003d 72 - 3과 18로 나눌 수 있습니다.

따라서 LCM(24, 3, 18) = 72입니다.

순차적 찾기 LCM으로 찾기

세 번째 방법은 LCM을 연속적으로 구하여 최소공배수를 구하는 것입니다.

주어진 두 숫자의 LCM은 이러한 숫자의 곱을 최대 공약수로 나눈 값과 같습니다.

예 1. 주어진 두 숫자의 LCM을 구합니다: 12와 8. 최대 공약수를 결정합니다. GCD (12, 8) = 4. 다음 숫자를 곱합니다.

제품을 GCD로 나눕니다.

따라서 LCM(12, 8) = 24입니다.

세 개 이상의 숫자의 LCM을 찾으려면 다음 절차가 사용됩니다.

먼저, 주어진 숫자 중 임의의 두 개의 LCM을 찾습니다.
그런 다음, 찾은 최소 공배수와 세 번째 주어진 수의 최소공배수.
그런 다음 결과로 나온 최소 공배수와 네 번째 숫자의 최소공배수 등입니다.
따라서 LCM 검색은 숫자가 있는 동안 계속됩니다.

예제 2. 12, 8, 9라는 세 개의 주어진 숫자의 최소공배수를 구해봅시다. 우리는 이전 예에서 숫자 12와 8의 최소공배수를 이미 찾았습니다(이것은 숫자 24입니다). 24의 최소 공배수와 세 번째 주어진 숫자 - 9를 찾는 것이 남아 있습니다. 최대 공약수를 결정합니다. gcd (24, 9) = 3. LCM에 숫자 9를 곱합니다.

제품을 GCD로 나눕니다.

따라서 LCM(12, 8, 9) = 72입니다.

다음 문제의 솔루션을 고려하십시오. 남자의 걸음은 75cm, 여자의 걸음은 60cm로 두 사람이 정수의 걸음을 걸을 수 있는 가장 작은 거리를 찾아야 합니다.

해결책.사람들이 통과할 전체 경로는 각각 정수 단계를 거쳐야 하므로 나머지 없이 60과 70으로 나눌 수 있어야 합니다. 즉, 답은 75와 60의 배수여야 합니다.

먼저 숫자 75에 대한 모든 배수를 작성합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

이제 60의 배수가 되는 숫자를 작성해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

이제 두 행에 있는 숫자를 찾습니다.

숫자의 공배수는 숫자, 300, 600 등입니다.

그 중 가장 작은 것이 300입니다. 이 경우 75와 60의 최소공배수라고 합니다.

문제의 조건으로 돌아가서 남자가 정수 단계를 밟는 가장 작은 거리는 300cm가 될 것이며 남자는 4 걸음, 여자는 5 걸음을 걸어야합니다.

최소공배수 구하기

두 자연수와 b의 최소공배수는 와 b의 배수인 가장 작은 자연수입니다.

두 숫자의 최소 공배수를 찾기 위해 이 숫자의 모든 배수를 연속으로 기록할 필요는 없습니다.

다음 방법을 사용할 수 있습니다.

최소공배수 구하는 방법

먼저 이 숫자를 소인수로 분해해야 합니다.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

이제 첫 번째 숫자(2,2,3,5)의 확장에 있는 모든 요소를 기록하고 두 번째 숫자(5)의 확장에서 누락된 모든 요소를 추가해 보겠습니다.

결과적으로 일련의 소수(2,2,3,5,5)를 얻습니다. 이 숫자의 곱은 이 숫자에 대한 최소 공약수가 됩니다. 2*2*3*5*5 = 300.

최소 공배수를 찾기 위한 일반 체계

1. 숫자를 소인수로 분해합니다.
2. 그 중 하나의 일부인 소인수를 적으십시오.
3. 나머지 요소의 분해에는 포함되지만 선택된 요소에는 포함되지 않는 모든 요소를 이 요소에 추가합니다.
4. 작성된 모든 요인의 곱을 찾으십시오.

이 방법은 보편적입니다. 임의의 수의 자연수의 최소 공배수를 찾는 데 사용할 수 있습니다.

정의.숫자와 b가 나머지 없이 나누어지는 가장 큰 자연수를 최대공약수(gcd)이 숫자.

24와 35의 최대공약수를 구해봅시다.
24의 제수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이고, 35의 제수는 1, 5, 7, 35입니다.
숫자 24와 35에는 공약수가 하나뿐인 것을 알 수 있습니다. 숫자 1입니다. 이러한 숫자를 코프라임.

정의.자연수라고 합니다. 코프라임최대공약수(gcd)가 1인 경우.

최대공약수(GCD)주어진 숫자의 모든 제수를 쓰지 않고 찾을 수 있습니다.

숫자 48과 36을 인수분해하면 다음을 얻습니다.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
첫 번째 숫자의 확장에 포함된 요소에서 두 번째 숫자의 확장에 포함되지 않은 요소(즉, 두 개의 듀스)를 삭제합니다.
약수 2 * 2 * 3이 남습니다. 그들의 곱은 12입니다. 이 숫자는 숫자 48과 36의 최대공약수입니다. 세 개 이상의 숫자의 최대공약수도 구합니다.

찾다 최대 공약수

2) 이 숫자 중 하나의 확장에 포함된 요소에서 다른 숫자의 확장에 포함되지 않은 요소를 지웁니다.
3) 나머지 요인의 곱을 찾습니다.

주어진 모든 숫자가 그 중 하나로 나누어지면이 숫자는 최대 공약수주어진 숫자.
예를 들어, 15, 45, 75 및 180의 최대 공약수는 15입니다. 45, 75 및 180의 다른 모든 숫자를 나누기 때문입니다.

최소공배수(LCM)

정의. 최소공배수(LCM)자연수와 b는 둘 다의 배수인 가장 작은 자연수입니다. 숫자 75와 60의 최소 공배수(LCM)는 이러한 숫자의 배수를 연속으로 쓰지 않고도 찾을 수 있습니다. 이를 위해 75와 60을 75 \u003d 3 * 5 * 5 및 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5와 같은 간단한 인수로 분해합니다.
이 숫자 중 첫 번째 숫자의 확장에 포함된 요소를 작성하고 두 번째 숫자의 확장에서 누락된 요소 2와 2를 추가합니다(즉, 요소를 결합).
우리는 5개의 인수 2 * 2 * 3 * 5 * 5를 얻습니다. 그 곱은 300입니다. 이 숫자는 숫자 75와 60의 최소 공배수입니다.

또한 세 개 이상의 숫자의 최소 공배수를 찾으십시오.

에게 최소공배수 구하기여러 자연수에는 다음이 필요합니다.
1) 그것들을 소인수로 분해한다.
2) 숫자 중 하나의 확장에 포함된 요소를 작성합니다.
3) 나머지 숫자의 확장에서 누락된 요소를 추가합니다.
4) 결과 요인의 곱을 찾습니다.

이 숫자 중 하나가 다른 모든 숫자로 나눌 수 있는 경우 이 숫자는 이 숫자의 최소 공배수입니다.
예를 들어, 12, 15, 20 및 60의 최소 공배수는 주어진 모든 숫자로 나눌 수 있으므로 60이 됩니다.

피타고라스(기원전 6세기)와 그의 학생들은 숫자의 나눌 수 있는 문제를 연구했습니다. 모든 약수의 합과 같은 숫자(숫자 자체 제외)를 완전수라고 합니다. 예를 들어 숫자 6(6 = 1 + 2 + 3), 28(28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)은 완벽합니다. 다음 완전수는 496, 8128, 33,550,336입니다. 피타고라스 학파는 처음 세 개의 완전수만 알고 있었습니다. 네 번째 - 8128 -은 1 세기에 알려졌습니다. N. 이자형. 다섯 번째 - 33 550 336 -은 15세기에 발견되었습니다. 1983년까지 27개의 완전수가 이미 알려졌습니다. 그러나 지금까지 과학자들은 홀수의 완전수가 있는지, 가장 큰 완전수가 있는지 알지 못합니다.
소수에 대한 고대 수학자들의 관심은 모든 숫자가 소수이거나 소수의 곱으로 표현될 수 있다는 사실에 기인합니다. 즉, 소수는 나머지 자연수를 구성하는 벽돌과 같습니다.
일련의 자연수에서 소수가 고르지 않게 발생한다는 것을 눈치 챘을 것입니다. 계열의 일부에는 더 많고 다른 부분에는 적습니다. 그러나 숫자 시리즈를 따라갈수록 소수는 더 희귀해집니다. 질문이 생깁니다. 마지막(가장 큰) 소수가 존재합니까? 고대 그리스 수학자 유클리드(기원전 3세기)는 2000년 동안 수학의 주요 교과서였던 그의 책 "기초"에서 소수가 무한히 많다는 것을 증명했습니다. 즉, 각 소수 뒤에는 짝수가 있습니다. 더 큰 소수.
소수를 찾기 위해 같은 시간의 또 다른 그리스 수학자 에라토스테네스가 그러한 방법을 생각해 냈습니다. 그는 1에서 어떤 숫자까지의 모든 숫자를 적고 소수도 합성수도 아닌 단위에 줄을 긋고 2 이후의 모든 숫자(2의 배수인 숫자, 즉 4, 6, 8 등). 2 다음의 첫 번째 남은 숫자는 3이었습니다. 그런 다음 2 이후에는 3 이후의 모든 숫자에 줄을 그었습니다(3의 배수인 숫자, 즉 6, 9, 12 등). 결국, 소수만이 크로싱되지 않은 채로 남았습니다.

학생들에게 많은 수학 과제가 주어집니다. 그 중 매우 자주 다음 공식을 사용하는 작업이 있습니다. 두 가지 값이 있습니다. 주어진 숫자의 최소 공배수를 찾는 방법은 무엇입니까? 획득한 기술은 분모가 다른 분수 작업에 사용되기 때문에 이러한 작업을 수행할 수 있어야 합니다. 이 기사에서는 LCM을 찾는 방법과 기본 개념을 분석합니다.

LCM을 찾는 방법에 대한 질문에 대한 답을 찾기 전에 다중 용어를 정의해야 합니다.. 대부분의 경우 이 개념의 표현은 다음과 같습니다: 어떤 값 A의 배수는 나머지 없이 A로 나눌 수 있는 자연수입니다. 따라서 4, 8, 12, 16, 20 등의 경우 최대 필요한 한계.

이 경우 특정 값에 대한 제수의 개수가 제한될 수 있으며 배수가 무한히 많습니다. 자연적 가치에도 동일한 가치가 있습니다. 나머지 없이 그들로 나눈 지표입니다. 특정 지표에 대한 가장 작은 값의 개념을 다루었으므로 그것을 찾는 방법으로 넘어 갑시다.

NOC 찾기

둘 이상의 지수의 최소 배수는 주어진 모든 숫자로 완전히 나눌 수 있는 가장 작은 자연수입니다.

이러한 값을 찾는 방법에는 여러 가지가 있습니다.다음 방법을 고려해 보겠습니다.

숫자가 작으면 모두 나누어지는 줄에 쓰십시오. 그들 사이에서 공통점을 찾을 때까지 이것을 계속하십시오. 기록에서 그들은 문자 K로 표시됩니다. 예를 들어 4와 3의 경우 가장 작은 배수는 12입니다.
이것이 크거나 3개 이상의 값에 대한 배수를 찾아야 하는 경우 여기에서 숫자를 소인수로 분해하는 것과 관련된 다른 기술을 사용해야 합니다. 먼저 표시된 것 중 가장 큰 것을 배치한 다음 나머지를 모두 배치하십시오. 그들 각각에는 고유 한 승수가 있습니다. 예를 들어 20(2*2*5)과 50(5*5*2)을 분해해 보겠습니다. 그 중 작은 것에는 밑줄을 긋고 가장 큰 것에 더하세요. 결과는 위 숫자의 최소 공배수가 되는 100이 됩니다.
3개의 숫자(16, 24, 36)를 찾을 때 원리는 다른 두 개와 동일합니다. 각각을 확장해 보겠습니다: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. 숫자 16의 확장에서 두 개의 듀스만 가장 큰 분해에 포함되지 않았으므로 더하여 이전에 표시된 숫자 값에 대한 가장 작은 결과인 144를 얻습니다.

이제 우리는 두 개, 세 개 또는 그 이상의 값에 대해 가장 작은 값을 찾는 일반적인 기술이 무엇인지 압니다. 그러나 사적인 방법도 있습니다, 이전 항목이 도움이 되지 않는 경우 NOC를 검색하는 데 도움이 됩니다.

GCD 및 NOC를 찾는 방법.

개인적으로 찾는 방법

다른 수학 섹션과 마찬가지로 특정 상황에 도움이 되는 LCM을 찾는 특별한 경우가 있습니다.

숫자 중 하나가 나머지 없이 다른 것으로 나눌 수 있는 경우 이러한 숫자의 가장 작은 배수는 해당 숫자와 같습니다(NOC 60 및 15는 15와 같습니다).
공소수에는 공약수가 없습니다. 가장 작은 값은 이 숫자의 곱과 같습니다. 따라서 숫자 7과 8의 경우 이것은 56이 됩니다.
전문 문헌에서 읽을 수 있는 특별한 경우를 포함하여 다른 경우에도 동일한 규칙이 적용됩니다. 여기에는 별도의 기사와 심지어 박사 학위 논문의 주제인 합성수 분해의 경우도 포함되어야 합니다.

특별한 경우는 표준 사례보다 덜 일반적입니다. 그러나 그들 덕분에 다양한 정도의 복잡성으로 작업하는 방법을 배울 수 있습니다. 이것은 특히 분수에 해당됩니다., 다른 분모가 있는 곳.

몇 가지 예

가장 작은 배수를 찾는 원리를 이해할 수 있는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

LCM(35, 40)을 찾습니다. 먼저 35 = 5*7을 배치한 다음 40 = 5*8을 배치합니다. 가장 작은 수에 8을 더하고 NOC 280을 얻습니다.
NOC(45, 54). 우리는 각각을 45 = 3*3*5 및 54 = 3*3*6으로 배치합니다. 숫자 6을 45에 더합니다. NOC는 270과 같습니다.
자, 마지막 예입니다. 5와 4가 있습니다. 이들에 대한 단순 배수가 없으므로 이 경우 최소 공배수는 20과 같은 곱이 됩니다.

예제 덕분에 NOC의 위치, 뉘앙스가 무엇인지, 그러한 조작의 의미가 무엇인지 이해할 수 있습니다.