분수의 미분이란 무엇입니까? 분수의 도함수를 찾는 방법
도함수와 계산 방법에 대한 지식 없이 수학의 물리적 문제나 예제를 푸는 것은 절대 불가능합니다. 도함수는 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 수학적 분석. 우리는 오늘의 기사를 이 근본적인 주제에 할애하기로 결정했습니다. 파생 상품이란 무엇이며 물리적 및 기하학적 감각함수의 도함수를 계산하는 방법? 이 모든 질문은 하나로 결합될 수 있습니다. 파생 상품을 이해하는 방법은 무엇입니까?
도함수의 기하학적, 물리적 의미
기능이 있게 하라 f(x) , 일정 간격으로 주어진 (a,b) . 점 x와 x0은 이 구간에 속합니다. x가 변경되면 함수 자체가 변경됩니다. 인수 변경 - 값의 차이 x-x0 . 이 차이는 다음과 같이 작성됩니다. 델타 x 인수 증분이라고 합니다. 함수의 변경 또는 증가는 두 지점에서 함수 값의 차이입니다. 파생 정의:
한 지점에서 함수의 도함수는 주어진 지점에서 함수의 증분에 대한 인수의 증가가 0이 되는 경향이 있을 때의 비율의 한계입니다.
그렇지 않으면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
그러한 한계를 찾는 요점이 무엇입니까? 그러나 어느 것:
한 점에서 함수의 도함수는 주어진 점에서 함수 그래프에 대한 접선과 OX 축 사이 각도의 접선과 같습니다.
물리적 의미유도체: 경로의 시간 도함수는 직선 운동의 속도와 같습니다.
사실 학창시절부터 속도는 사적인 길이라는 것을 누구나 알고 있습니다. x=f(t) 그리고 시간 티 . 평균 속도일정 기간 동안:
한 번에 이동 속도를 알아보려면 t0 한계를 계산해야 합니다.
규칙 1: 상수 빼기
상수는 도함수의 부호에서 빼낼 수 있습니다. 더욱이 그것은 이루어져야 합니다. 수학의 예를 해결할 때 원칙적으로 - 표현을 단순화할 수 있다면 반드시 단순화하십시오. .
예시. 도함수를 계산해 보겠습니다.
규칙 2: 함수 합계의 미분
두 함수의 도함수의 도함수는 이 함수의 도함수의 합과 같습니다. 함수의 차이의 미분에 대해서도 마찬가지입니다.
우리는 이 정리에 대한 증명을 제공하지 않고 오히려 실제 예를 고려할 것입니다.
함수의 도함수 찾기:
규칙 3: 함수 곱의 미분
두 미분 가능한 함수의 곱의 도함수는 다음 공식으로 계산됩니다.
예: 함수의 도함수 찾기:
결정: 
여기서 복잡한 함수의 도함수 계산에 대해 말하는 것이 중요합니다. 복소수 함수의 도함수는 독립 변수에 대한 중간 인수의 도함수에 의한 중간 인수에 대한 이 함수의 도함수의 곱과 같습니다.
위의 예에서 다음과 같은 표현이 나옵니다.
이 경우 중간 인수는 8x의 5승입니다. 이러한 식의 도함수를 계산하기 위해 먼저 중간 인수에 대한 외부 함수의 도함수를 고려한 다음 독립 변수에 대해 중간 인수 자체의 도함수를 곱합니다.
규칙 4: 두 함수의 몫의 도함수
두 함수의 몫의 도함수를 결정하는 공식:
우리는 처음부터 인형을 위한 파생 상품에 대해 이야기하려고 했습니다. 이 주제는 보이는 것만큼 간단하지 않으므로 경고합니다. 예제에는 종종 함정이 있으므로 도함수를 계산할 때 주의하십시오.
이 주제 및 기타 주제에 대한 질문이 있는 경우 학생 서비스에 문의할 수 있습니다. 이전에 파생 상품 계산을 다루지 않았더라도 짧은 시간 내에 가장 어려운 제어 및 작업을 해결하는 데 도움이 될 것입니다.
정의.함수 \(y = f(x) \)가 내부에 점 \(x_0 \)를 포함하는 일부 간격으로 정의되도록 하십시오. 이 간격을 벗어나지 않도록 인수에 \(\Delta x \)를 증가시키자. 함수 \(\Delta y \)의 해당 증분을 찾고(점 \(x_0 \)에서 점 \(x_0 + \Delta x \)로 전달할 때) 관계식 \(\frac(\Delta y )(\델타 x) \). 이 관계의 한계가 \(\Delta x \rightarrow 0 \)이면 표시된 한계를 호출합니다. 미분 함수점 \(x_0 \)에서 \(y=f(x) \)이고 \(f"(x_0) \)를 나타냅니다.
$$ \lim_(\델타 x \to 0) \frac(\델타 y)(\델타 x) = f"(x_0) $$
기호 y는 종종 도함수를 나타내는 데 사용됩니다. y" = f(x)는 새로운 특성, 그러나 위의 한계가 존재하는 모든 점 x에서 정의된 함수 y = f(x)와 자연스럽게 연관됩니다. 이 함수는 다음과 같이 호출됩니다. 함수 y \u003d f (x)의 미분.
도함수의 기하학적 의미다음으로 구성됩니다. y 축에 평행하지 않은 접선을 가로 좌표 x \u003d a가 있는 점에서 함수 y \u003d f(x)의 그래프에 그릴 수 있으면 f(a)는 접선의 기울기를 나타냅니다.
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \)이므로 등식 \(f"(a) = tg(a) \)은 참입니다.
그리고 이제 우리는 도함수의 정의를 근사 평등의 관점에서 해석합니다. 함수 \(y = f(x) \)가 특정 점 \(x \)에서 도함수를 갖도록 하십시오.
$$ \lim_(\델타 x \to 0) \frac(\델타 y)(\델타 x) = f"(x) $$
이것은 점 x 근처에서 근사 평등 \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), 즉 \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \델탁스\). 얻어진 근사 평등의 의미는 다음과 같습니다. 함수의 증분은 인수의 증분에 "거의 비례"하고 비례 계수는 도함수의 값입니다. 주어진 포인트엑스. 예를 들어, \(y = x^2 \) 함수의 경우 근사 동등 \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \)가 유효합니다. 도함수의 정의를 주의 깊게 분석하면 도함수를 찾는 알고리즘이 포함되어 있음을 알 수 있습니다.
공식화하자.
함수 y \u003d f (x)의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?
1. 고정 값 \(x \), 찾기 \(f(x) \)
2. \(x \) 인수 \(\Delta x \) 증가, 새 점 \(x+ \Delta x \)으로 이동, 찾기 \(f(x+ \Delta x) \)
3. 함수 증분을 찾습니다. \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. 관계식 구성 \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$를 계산합니다.
이 극한은 x에서의 함수의 도함수입니다.
함수 y = f(x)가 점 x에서 도함수를 가지면 점 x에서 미분 가능이라고 합니다. 함수 y \u003d f (x)의 도함수를 찾는 절차가 호출됩니다. 분화함수 y = f(x).
다음 질문에 대해 논의해 보겠습니다. 한 지점에서 함수의 연속성과 미분성은 어떻게 관련되어 있습니까?
함수 y = f(x)가 점 x에서 미분 가능하다고 하자. 그런 다음 점 M(x; f(x))에서 함수 그래프에 접선을 그릴 수 있으며 접선의 기울기는 f "(x)와 같습니다. 이러한 그래프는 점 M, 즉 함수는 x에서 연속적이어야 합니다.
그것은 "손가락에" 추론이었다. 좀 더 엄격한 논거를 제시해 보자. 함수 y = f(x)가 점 x에서 미분 가능하면 근사 동등성 \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \)이 유지됩니다. 0이면 \(\Delta y \ ) 또한 0이 되는 경향이 있으며 이것은 한 지점에서 함수의 연속성을 위한 조건입니다.
그래서, 함수가 점 x에서 미분 가능하면 해당 점에서도 연속적입니다..
그 반대는 사실이 아닙니다. 예: 함수 y = |x| 특히 점 x = 0에서 모든 곳에서 연속적이지만 "접합점"(0, 0)에서 함수 그래프에 대한 접선은 존재하지 않습니다. 어떤 지점에서 함수 그래프에 접선을 그리는 것이 불가능하면 이 지점에서 도함수가 없습니다.
예를 하나 더. 함수 \(y=\sqrt(x) \)는 점 x = 0을 포함하여 전체 숫자 선에서 연속적입니다. 그리고 함수의 그래프에 대한 접선은 점 x = 0을 포함하여 임의의 점에 존재합니다. 그러나 이 지점에서 접선은 y축과 일치합니다. 즉, 가로축에 수직이며 방정식은 x \u003d 0 형식을 갖습니다. 이러한 직선에는 기울기가 없으므로 \ ( f "(0) \)도 존재하지 않습니다
그래서 우리는 함수의 새로운 속성인 미분성에 대해 알게 되었습니다. 함수가 함수의 그래프와 구별할 수 있는지 어떻게 알 수 있습니까?
답변은 실제로 위에 나와 있습니다. 어떤 지점에서 x축에 수직이 아닌 함수의 그래프에 접선을 그릴 수 있다면 이 지점에서 함수는 미분 가능합니다. 어떤 지점에서 함수의 그래프에 대한 접선이 존재하지 않거나 x축에 수직이면 이 지점에서 함수는 미분할 수 없습니다.
차별화 규칙
도함수를 찾는 작업을 분화. 이 연산을 수행할 때 몫, 합, 함수의 곱뿐만 아니라 "함수의 함수", 즉 복잡한 함수로 작업해야 하는 경우가 많습니다. 도함수의 정의에 따라 이 작업을 용이하게 하는 미분 규칙을 도출할 수 있습니다. C가 상수이고 f=f(x), g=g(x)가 일부 미분 가능한 함수인 경우 다음은 참입니다. 차별화 규칙:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
일부 함수의 도함수 표
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ 도함수 계산미적분학에서 가장 중요한 연산 중 하나입니다. 아래는 파생상품을 찾기 위한 표입니다. 간단한 기능. 더 복잡한 미분 규칙은 다른 강의를 참조하세요. 주어진 공식을 참조 값으로 사용하십시오. 그들은 미분 방정식과 문제를 푸는 데 도움이 될 것입니다. 그림 속 단순함수의 도함수 표에는 도함수를 사용하기 쉽게 이해할 수 있는 형태로 찾는 주요 사례의 "치트 시트"가 있고, 그 옆에는 각 사례에 대한 설명이 있다.단순 함수의 파생물
1. 숫자의 도함수영с' = 0
예시:
5' = 0
설명:
도함수는 인수가 변경될 때 함수 값이 변경되는 비율을 보여줍니다. 숫자는 어떤 조건에서도 어떤 식으로든 변하지 않기 때문에 그 변화율은 항상 0입니다.
2. 변수의 도함수하나와 같은
x' = 1
설명:
인수(x)가 1씩 증가할 때마다 함수(계산 결과)의 값도 같은 양만큼 증가합니다. 따라서 함수 y = x 값의 변화율은 인수 값의 변화율과 정확히 같습니다.
3. 변수와 인자의 미분은 이 인자와 같다
сx' = с
예시:
(3x)′ = 3
(2x)' = 2
설명:
이 경우 함수 인수( 엑스) 값(y)이 증가합니다. ~와 함께한번. 따라서 인수의 변화율에 대한 함수 값의 변화율은 값과 정확히 같습니다. ~와 함께.
언제부터
(cx + b)" = c
즉, 선형 함수 y=kx+b의 미분은 다음과 같습니다. 각도 계수직선의 기울기(k).
4. 변수의 모듈로 도함수이 변수의 계수에 대한 몫과 같습니다.
|x|"= x / |x| 단 x ≠ 0
설명:
변수의 미분(수식 2 참조)이 1과 같기 때문에 모듈의 미분은 원점을 교차할 때 함수의 변화율 값이 반대로 변경된다는 점만 다릅니다(그래프를 그려보십시오 함수 y = |x|에 대해 알고 직접 확인하십시오. 이것은 정확히 값이며 x / |x| 식을 반환합니다. x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - 하나. 즉, 에 음수 값변수 x, 인수의 변경이 증가할 때마다 함수의 값은 정확히 같은 값만큼 감소하고 양수인 경우 반대로 증가하지만 정확히 같은 값만큼 증가합니다.
5. 변수의 거듭제곱 도함수는 이 거듭제곱의 수와 거듭제곱의 변수를 곱한 값과 같으며 1만큼 감소합니다.
(x c)"= cx c-1단, x c 및 cx c-1이 정의되고 c ≠ 0
예시:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
공식을 외우려면:
"down" 변수의 지수를 승수로 취한 다음 지수 자체를 1만큼 줄입니다. 예를 들어, x 2 - 2는 x보다 앞서 있었고 감소된 거듭제곱(2-1 = 1)은 우리에게 2x를 제공했습니다. x 3에서도 같은 일이 발생했습니다. 트리플을 낮추고 1로 줄이고 큐브 대신 정사각형, 즉 3x2 를 사용합니다. 약간 "비과학적"이지만 기억하기 매우 쉽습니다.
6.분수 도함수 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
예시:
분수는 음의 거듭 제곱으로 표현 될 수 있기 때문에
(1/x)" = (x -1)" 이면 도함수 테이블의 규칙 5에 있는 공식을 적용할 수 있습니다.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. 분수 도함수 임의의 정도의 변수로분모에
(1/x c)" = - c / x c+1
예시:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. 뿌리 파생물(아래 변수의 도함수 제곱근)
(√x)" = 1 / (2√x)또는 1/2 x -1/2
예시:
(√x)" = (x 1/2)" 이므로 규칙 5의 공식을 적용할 수 있습니다.
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. 임의 차수의 근 아래에 있는 변수의 도함수
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
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