Esempi di equazioni e disequazioni esponenziali. disuguaglianze esponenziali

Università statale di Belgorod

SEDIA algebra, teoria dei numeri e geometria

Tema di lavoro: Equazioni e disequazioni di potenza esponenziale.

Lavoro di laurea studente della Facoltà di Fisica e Matematica

Supervisore:

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Revisore: ___________________________

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Belgorod. 2006

introduzione			3
Soggetto IO.	Analisi della letteratura sul tema di ricerca.
Soggetto II.	Funzioni e loro proprietà utilizzate nella risoluzione di equazioni e disequazioni di potenza esponenziale.
	I.1.	Funzione di alimentazione e le sue proprietà.
	I.2.	Funzione esponenziale e le sue proprietà.
Soggetto III.	Soluzione di equazioni di potenza esponenziale, algoritmi ed esempi.
Soggetto IV.	Risoluzione delle disuguaglianze di potenza esponenziale, piano di soluzione ed esempi.
Soggetto v.	Esperienza nella conduzione di lezioni con scolari sull'argomento: "Soluzione di equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziale".
v. 1.	Materiale per l'insegnamento.
v. 2.	Compiti per soluzione indipendente.
Conclusione.	Conclusioni e offerte.
Bibliografia.
Applicazioni

Introduzione.

"...la gioia di vedere e capire..."

A. Einstein.

In questo lavoro ho cercato di trasmettere la mia esperienza di insegnante di matematica, di trasmettere, almeno in una certa misura, il mio atteggiamento nei confronti dell'insegnamento - una materia umana in cui la scienza matematica, la pedagogia, la didattica, la psicologia e persino la filosofia sono sorprendentemente intrecciate.

Ho avuto l'opportunità di lavorare con ragazzi e laureati, con bambini ai poli dello sviluppo intellettuale: quelli che erano iscritti a uno psichiatra e che erano veramente interessati alla matematica

Ho dovuto risolvere molti problemi metodologici. Proverò a parlare di quelli che sono riuscito a risolvere. Ma ancora di più: non era possibile e in quelle che sembrano risolte compaiono nuove domande.

Ma ancor più importanti dell'esperienza stessa sono le riflessioni ei dubbi dell'insegnante: perché è esattamente così, questa esperienza?

E l'estate è diversa ora, e la svolta dell'istruzione è diventata più interessante. “Sotto i gioviani” oggi non è la ricerca di un mitico sistema ottimale di insegnamento “tutti e tutti”, ma il bambino stesso. Ma poi - con necessità - e il maestro.

Nel corso scolastico di algebra e ha iniziato l'analisi, classi 10 - 11, con superare l'esame per corso Scuola superiore e agli esami di ammissione alle università ci sono equazioni e disuguaglianze contenenti l'incognita alla base e gli esponenti: si tratta di equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziale.

Viene prestata poca attenzione a loro a scuola, non ci sono praticamente compiti su questo argomento nei libri di testo. Tuttavia, padroneggiare la tecnica per risolverli, mi sembra, è molto utile: aumenta mentale e Abilità creative studenti, davanti a noi si aprono orizzonti completamente nuovi. Quando risolvono i problemi, gli studenti acquisiscono le prime abilità lavoro di ricerca, la loro cultura matematica si arricchisce, la loro capacità di farlo pensiero logico. Gli scolari sviluppano tratti della personalità come intenzionalità, definizione degli obiettivi, indipendenza, che saranno loro utili in età avanzata. E c'è anche una ripetizione, un'espansione e una profonda assimilazione del materiale educativo.

Ho iniziato a lavorare su questo argomento della mia ricerca di tesi scrivendo una tesina. Nel corso del quale ho studiato e approfondito la letteratura matematica su questo argomento, ho individuato il metodo più appropriato per risolvere equazioni e disequazioni di potenza esponenziale.

Sta nel fatto che oltre all'approccio generalmente accettato quando si risolvono equazioni di potenza esponenziale (la base viene presa maggiore di 0) e quando si risolvono le stesse disuguaglianze (la base viene presa maggiore di 1 o maggiore di 0, ma minore di 1), si considerano anche i casi quando le basi sono negative, sono 0 e 1.

Analisi scritta prove d'esame gli studenti mostrano che la mancanza di copertura della questione del valore negativo dell'argomento della funzione di potenza esponenziale nei libri di testo scolastici causa loro una serie di difficoltà e porta a errori. E hanno anche problemi nella fase di sistematizzazione dei risultati ottenuti, dove, a causa del passaggio all'equazione - una conseguenza o una disuguaglianza - una conseguenza, possono apparire radici estranee. Per eliminare gli errori, utilizziamo un controllo sull'equazione o disuguaglianza originale e un algoritmo per risolvere le equazioni di potenza esponenziale, o un piano per risolvere le disequazioni di potenza esponenziale.

Affinché gli studenti superino con successo gli esami finali e di ammissione, penso sia necessario prestare maggiore attenzione alla risoluzione di equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziale in classe, o in aggiunta in elettivi e circoli.

così soggetto , mio tesiè definito come segue: "Equazioni e disequazioni di potenza esponenziale".

Obiettivi di questo lavoro sono:

1. Analizzare la letteratura su questo argomento.

2. Dai analisi completa soluzioni di equazioni e disequazioni di potenza esponenziale.

3. Fornire un numero sufficiente di esempi su questo argomento di vario tipo.

4. Verifica a lezione, classi facoltative e circolari come verranno percepiti i metodi proposti per risolvere le equazioni di potenza esponenziale e le disuguaglianze. Fornire raccomandazioni appropriate per lo studio di questo argomento.

Soggetto la nostra ricerca è di sviluppare una tecnica per risolvere equazioni e disequazioni di potenza esponenziale.

Lo scopo e l'oggetto dello studio hanno richiesto la soluzione dei seguenti compiti:

1. Studiare la letteratura sull'argomento: "Equazioni e disequazioni di potenza esponenziale".

2. Padroneggia i metodi per risolvere le equazioni e le disuguaglianze di potenza esponenziale.

3. Selezionare il materiale didattico e sviluppare un sistema di esercizi a diversi livelli sull'argomento: "Risoluzione di equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziale".

Nel corso della ricerca di tesi, più di 20 articoli dedicati all'applicazione di vari metodi soluzioni di equazioni e disequazioni di potenza esponenziale. Da qui arriviamo.

Piano di tesi:

Introduzione.

Capitolo I. Analisi della letteratura sul tema di ricerca.

Capitolo II. Funzioni e loro proprietà utilizzate nella risoluzione di equazioni e disequazioni di potenza esponenziale.

II.1. Funzione di potenza e sue proprietà.

II.2. La funzione esponenziale e le sue proprietà.

Capitolo III. Soluzione di equazioni di potenza esponenziale, algoritmi ed esempi.

Capitolo IV. Risoluzione delle disuguaglianze di potenza esponenziale, piano di soluzione ed esempi.

Capitolo V. Esperienza nella conduzione di classi con scolari su questo argomento.

1. Materiale didattico.

2. Compiti per una soluzione indipendente.

Conclusione. Conclusioni e offerte.

Elenco della letteratura usata.

Letteratura analizzata nel capitolo I

In questa lezione considereremo varie disuguaglianze esponenziali e impareremo come risolverle in base al metodo per risolvere le disuguaglianze esponenziali più semplici

1. Definizione e proprietà della funzione esponenziale

Richiama la definizione e le proprietà principali di una funzione esponenziale. È sulle proprietà che si basa la soluzione di tutte le equazioni e disequazioni esponenziali.

Funzione esponenzialeè una funzione del form , dove la base è il grado e Qui x è una variabile indipendente, un argomento; y - variabile dipendente, funzione.

Riso. 1. Grafico della funzione esponenziale

Il grafico mostra un esponente crescente e decrescente, illustrando la funzione esponenziale in base rispettivamente maggiore di uno e minore di uno, ma maggiore di zero.

Entrambe le curve passano per il punto (0;1)

Proprietà della funzione esponenziale:

Dominio: ;

Intervallo di valori: ;

La funzione è monotona, aumenta come , diminuisce come .

Una funzione monotona prende ciascuno dei suoi valori con un singolo valore dell'argomento.

Quando , quando l'argomento aumenta da meno a più infinito, la funzione aumenta da zero, non inclusivo, a più infinito, cioè, per dati valori dell'argomento, abbiamo una funzione monotonicamente crescente (). Quando, al contrario, quando l'argomento aumenta da meno a più infinito, la funzione diminuisce da infinito a zero, compreso, cioè, per dati valori dell'argomento, abbiamo una funzione monotonicamente decrescente ().

2. Le disuguaglianze esponenziali più semplici, tecnica risolutiva, esempio

Sulla base di quanto sopra, presentiamo un metodo per risolvere le disuguaglianze esponenziali più semplici:

Metodo per risolvere le disuguaglianze:

Equalizzare le basi dei gradi;

Confronta gli indicatori, mantenendo o cambiando il segno opposto della disuguaglianza.

La soluzione delle disuguaglianze esponenziali complesse consiste, di regola, nella loro riduzione alle disuguaglianze esponenziali più semplici.

La base del grado è maggiore di uno, il che significa che il segno di disuguaglianza è preservato:

Trasformiamo il lato destro secondo le proprietà del grado:

La base del grado è minore di uno, il segno di disuguaglianza deve essere invertito:

Per risolvere una disuguaglianza quadratica, risolviamo la corrispondente equazione quadratica:

Per il teorema di Vieta troviamo le radici:

I rami della parabola sono diretti verso l'alto.

Quindi, abbiamo una soluzione alla disuguaglianza:

È facile intuire che il membro destro può essere rappresentato come una potenza con esponente zero:

La base del grado è maggiore di uno, il segno di disuguaglianza non cambia, otteniamo:

Richiama la procedura per risolvere tali disuguaglianze.

Consideriamo una funzione razionale frazionaria:

Trovare il dominio di definizione:

Troviamo le radici della funzione:

La funzione ha una sola radice,

Individuiamo gli intervalli di costanza del segno e determiniamo i segni della funzione su ciascun intervallo:

Riso. 2. Intervalli di costanza del segno

Quindi abbiamo la risposta.

Risposta:

3. Soluzione delle disuguaglianze esponenziali tipiche

Considera le disuguaglianze con gli stessi esponenti ma basi diverse.

Una delle proprietà di una funzione esponenziale è che assume valori rigorosamente positivi per qualsiasi valore dell'argomento, il che significa che può essere divisa in una funzione esponenziale. Dividiamo la disuguaglianza data per il suo lato destro:

La base del grado è maggiore di uno, il segno di disuguaglianza è preservato.

Illustriamo la soluzione:

La Figura 6.3 mostra i grafici delle funzioni e . Ovviamente, quando l'argomento è maggiore di zero, il grafico della funzione si trova più in alto, questa funzione è più grande. Quando i valori dell'argomento sono negativi, la funzione passa sotto, è minore. Se il valore dell'argomento è uguale, il punto dato è anche una soluzione alla disuguaglianza data.

Riso. 3. Illustrazione per esempio 4

Trasformiamo la disuguaglianza data secondo le proprietà del grado:

Ecco membri simili:

Dividiamo entrambe le parti in:

Ora continuiamo a risolvere in modo simile all'esempio 4, dividiamo entrambe le parti per:

La base del grado è maggiore di uno, si conserva il segno di disuguaglianza:

4. Soluzione grafica delle disuguaglianze esponenziali

Esempio 6: risolvi graficamente la disuguaglianza:

Considera le funzioni sui lati sinistro e destro e traccia ciascuna di esse.

La funzione è un esponente, aumenta su tutto il suo dominio di definizione, cioè per tutti i valori reali dell'argomento.

La funzione è lineare, decrescente su tutto il suo dominio di definizione, cioè per tutti i valori reali dell'argomento.

Se queste funzioni si intersecano, cioè il sistema ha una soluzione, allora tale soluzione è unica e può essere facilmente indovinata. Per fare ciò, scorrere su interi ()

È facile vedere che la radice di questo sistema è:

Pertanto, i grafici delle funzioni si intersecano in un punto con un argomento uguale a uno.

Ora dobbiamo ottenere una risposta. Il significato della disuguaglianza data è che l'esponente deve essere maggiore o uguale alla funzione lineare, cioè deve essere maggiore o uguale ad essa. La risposta è ovvia: (Figura 6.4)

Riso. 4. Illustrazione per esempio 6

Quindi, abbiamo considerato la soluzione di varie disuguaglianze esponenziali tipiche. Successivamente, passiamo alla considerazione di disuguaglianze esponenziali più complesse.

Bibliografia

Mordkovich A. G. Algebra e inizi analisi matematica. - M.: Mnemosine. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra e gli inizi dell'analisi matematica. - M.: Otarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra e gli inizi dell'analisi matematica. - M.: Illuminismo.

Matematica. md. Ripetizione matematica. com. Diff. kemsu. ru.

Compiti a casa

1. Algebra e inizi dell'analisi, voti 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, n. 472, 473;

2. Risolvi la disuguaglianza:

3. Risolvi la disuguaglianza.

Molte persone pensano che le disuguaglianze esponenziali siano qualcosa di così complicato e incomprensibile. E che imparare a risolverli è quasi una grande arte, che solo i Prescelti sono in grado di comprendere...

Assurdità assoluta! Le disuguaglianze esponenziali sono facili. E sono sempre facili da risolvere. Beh, quasi sempre. :)

Oggi analizzeremo questo argomento in lungo e in largo. Questa lezione sarà molto utile per coloro che stanno appena iniziando a capire questa sezione della matematica scolastica. Iniziamo con compiti semplici e passiamo a altro domande difficili. Non ci sarà metallo oggi, ma quello che leggerete ora basterà a risolvere la maggior parte delle disuguaglianze su ogni tipo di controllo e lavoro indipendente. E su questo anche il tuo esame.

Come sempre, partiamo da una definizione. Una disuguaglianza esponenziale è qualsiasi disuguaglianza che contiene una funzione esponenziale. In altre parole, si può sempre ridurre a una disuguaglianza della forma

\[((a)^(x)) \gt b\]

Dove il ruolo di $b$ può essere un numero normale, o forse qualcosa di più difficile. Esempi? Sì grazie:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\fine(allineamento)\]

Penso che il significato sia chiaro: esiste una funzione esponenziale $((a)^(x))$, viene confrontata con qualcosa e quindi viene chiesto di trovare $x$. In casi particolarmente clinici, invece della variabile $x$, possono inserire qualche funzione $f\left(x \right)$ e quindi complicare un po' la disuguaglianza. :)

Naturalmente, in alcuni casi, la disuguaglianza può sembrare più grave. Per esempio:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2)))\]

O anche questo:

In generale, la complessità di tali disuguaglianze può essere molto diversa, ma alla fine si riducono ancora a una semplice costruzione $((a)^(x)) \gt b$. E in qualche modo ci occuperemo di un tale disegno (soprattutto nei casi clinici, quando non viene in mente nulla, i logaritmi ci aiuteranno). Pertanto, ora impareremo come risolvere costruzioni così semplici.

Soluzione delle disuguaglianze esponenziali più semplici

Diamo un'occhiata a qualcosa di molto semplice. Ad esempio, eccolo qui:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Ovviamente, il numero a destra può essere riscritto come una potenza di due: $4=((2)^(2))$. Pertanto, la disuguaglianza originale viene riscritta in una forma molto conveniente:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

E ora le mani non vedono l'ora di "cancellare" i due, in piedi alla base dei gradi, per ottenere la risposta $x \gt 2$. Ma prima di cancellare qualsiasi cosa, ricordiamo i poteri di due:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Come vediamo cosa di più sta nell'esponente, maggiore è il numero di output. "Grazie, Cap!" esclamerà uno degli studenti. Succede diversamente? Sfortunatamente, succede. Per esempio:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ destra))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\sinistra(\frac(1)(2) \destra))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Anche qui tutto è logico: maggiore è il grado, più volte il numero 0,5 viene moltiplicato per se stesso (cioè diviso a metà). Pertanto, la sequenza di numeri risultante è decrescente e la differenza tra la prima e la seconda sequenza è solo nella base:

• Se la base di grado $a \gt 1$, all'aumentare dell'esponente $n$, crescerà anche il numero $((a)^(n))$;
• Al contrario, se $0 \lt a \lt 1$, all'aumentare dell'esponente $n$, il numero $((a)^(n))$ diminuirà.

Riassumendo questi fatti, otteniamo l'affermazione più importante, su cui si basa l'intera soluzione delle disuguaglianze esponenziali:

Se $a \gt 1$, la disuguaglianza $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ è equivalente alla disuguaglianza $x \gt n$. Se $0 \lt a \lt 1$, la disuguaglianza $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ equivale alla disuguaglianza $x \lt n$.

In altre parole, se la base è maggiore di uno, puoi semplicemente rimuoverla: il segno di disuguaglianza non cambierà. E se la base è inferiore a uno, allora può anche essere rimossa, ma anche il segno della disuguaglianza dovrà essere cambiato.

Nota che non abbiamo considerato le opzioni $a=1$ e $a\le 0$. Perché in questi casi c'è incertezza. Supponiamo come risolvere una disuguaglianza della forma $((1)^(x)) \gt 3$? Uno a qualsiasi potere darà di nuovo uno - non otterremo mai tre o più. Quelli. non ci sono soluzioni.

Con basi negative, è ancora più interessante. Si consideri, ad esempio, la seguente disuguaglianza:

\[((\sinistra(-2 \destra))^(x)) \gt 4\]

A prima vista, tutto è semplice:

Correttamente? Ma no! È sufficiente sostituire al posto di $x$ un paio di numeri pari e una coppia numeri dispari per assicurarsi che la soluzione sia sbagliata. Guarda:

\[\begin(align) & x=4\Freccia destra ((\sinistra(-2 \destra))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Freccia destra ((\sinistra(-2 \destra))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Freccia destra ((\sinistra(-2 \destra))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Freccia destra ((\sinistra(-2 \destra))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Come puoi vedere, i segni si alternano. Ma ci sono ancora gradi frazionari e altro stagno. Come, ad esempio, ordineresti di contare $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (meno due elevati alla radice di sette)? Non c'è modo!

Pertanto, per certezza, assumiamo che in tutte le disuguaglianze esponenziali (e anche nelle equazioni) $1\ne a \gt 0$. E poi tutto si risolve molto semplicemente:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\fine(allineamento) \destra.\]

In generale, ricorda ancora una volta la regola principale: se la base nell'equazione esponenziale è maggiore di uno, puoi semplicemente rimuoverla; e se la base è minore di uno, può anche essere rimossa, ma questo cambierà il segno di disuguaglianza.

Esempi di soluzioni

Quindi, considera alcune semplici disuguaglianze esponenziali:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fine(allineamento)\]

Il compito principale è lo stesso in tutti i casi: ridurre le disuguaglianze alla forma più semplice $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Questo è ciò che faremo ora con ogni disuguaglianza, e allo stesso tempo ripeteremo le proprietà delle potenze e la funzione esponenziale. Quindi andiamo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Cosa si può fare qui? Bene, a sinistra abbiamo già un'espressione dimostrativa: non è necessario modificare nulla. Ma a destra c'è una specie di merda: una frazione, e anche una radice al denominatore!

Ricorda però le regole per lavorare con frazioni e potenze:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fine(allineamento)\]

Cosa significa? Innanzitutto, possiamo facilmente sbarazzarci della frazione trasformandola in un esponente negativo. E in secondo luogo, poiché il denominatore è la radice, sarebbe bello trasformarlo in un grado, questa volta con un esponente frazionario.

Applichiamo queste azioni in sequenza sul lato destro della disuguaglianza e vediamo cosa succede:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \destra))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \sinistra(-1 \destra)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Non dimenticare che quando si eleva un grado a una potenza, vengono aggiunti gli esponenti di questi gradi. E in generale, quando si lavora con equazioni e disequazioni esponenziali, è assolutamente necessario conoscere almeno le regole più semplici per lavorare con le potenze:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fine(allineamento)\]

In realtà, ultima regola abbiamo appena presentato domanda. Pertanto, la nostra disuguaglianza originale verrà riscritta come segue:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Freccia destra ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Ora ci liberiamo del diavolo alla base. Poiché 2 > 1, il segno di disuguaglianza rimane lo stesso:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Freccia destra x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Questa è l'intera soluzione! La difficoltà principale non è affatto nella funzione esponenziale, ma nella trasformazione competente dell'espressione originale: è necessario portarla con cura e il più rapidamente possibile nella sua forma più semplice.

Considera la seconda disuguaglianza:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Così così. Qui stiamo aspettando le frazioni decimali. Come ho detto molte volte, in qualsiasi espressione con poteri, dovresti eliminare le frazioni decimali: spesso questo è l'unico modo per vedere una soluzione rapida e semplice. Ecco di cosa ci libereremo:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ a destra))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Freccia destra ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\sinistra(\frac(1)(10) \destra))^(2)). \\\fine(allineamento)\]

Davanti a noi c'è di nuovo la disuguaglianza più semplice, e anche con la base 1/10, cioè meno di uno. Bene, rimuoviamo le basi, cambiando contemporaneamente il segno da "meno" a "maggiore", e otteniamo:

\[\begin(allineamento) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fine(allineamento)\]

Abbiamo la risposta finale: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Si noti che la risposta è esattamente l'insieme e in nessun caso è la costruzione della forma $x \lt -1$. Perché formalmente tale costruzione non è affatto un insieme, ma una disuguaglianza rispetto alla variabile $x$. Sì, è molto semplice, ma non è la risposta!

Nota importante. Questa disuguaglianza potrebbe essere risolta in un altro modo, riducendo entrambe le parti a una potenza con base maggiore di uno. Guarda:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Freccia destra ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cpunto 2))\]

Dopo questa trasformazione, otteniamo di nuovo disuguaglianza esponenziale, ma con base 10 > 1. E questo significa che puoi semplicemente cancellare i dieci: il segno di disuguaglianza non cambierà. Noi abbiamo:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\fine(allineamento)\]

Come puoi vedere, la risposta è esattamente la stessa. Allo stesso tempo, ci siamo risparmiati dalla necessità di cambiare il segno e in generale ricordare alcune regole lì. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Tuttavia, non lasciare che questo ti spaventi. Qualunque cosa sia negli indicatori, la tecnologia per risolvere la disuguaglianza stessa rimane la stessa. Pertanto, notiamo prima che 16 = 2 4 . Riscriviamo la disuguaglianza originale tenendo conto di questo fatto:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Evviva! Abbiamo il solito disuguaglianza quadrata! Il segno non è cambiato da nessuna parte, poiché la base è un due, un numero maggiore di uno.

La funzione zeri sulla linea dei numeri

Disponiamo i segni della funzione $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - ovviamente, il suo grafico sarà una parabola con i rami in alto, quindi ci saranno dei “plus " ai lati. Siamo interessati alla regione in cui la funzione è minore di zero, cioè $x\in \left(2;5 \right)$ è la risposta al problema originale.

Infine, considera un'altra disuguaglianza:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Di nuovo vediamo una funzione esponenziale con una frazione decimale in base. Convertiamo questa frazione in una frazione comune:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Freccia destra \\ & \Freccia destra ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\sinistra(((5)^(-1)) \destra))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

In questo caso, abbiamo sfruttato l'osservazione fatta in precedenza: abbiamo ridotto la base al numero 5\u003e 1 per semplificare la nostra ulteriore decisione. Facciamo lo stesso con il lato destro:

\[\frac(1)(25)=((\sinistra(\frac(1)(5) \destra))^(2))=((\sinistra(((5)^(-1)) \ destra))^(2))=((5)^(-1\cpunto 2))=((5)^(-2))\]

Riscriviamo la disuguaglianza originale, tenendo conto di entrambe le trasformazioni:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Freccia destra ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \destra)))\ge ((5)^(-2))\]

Le basi su entrambi i lati sono uguali e maggiori di una. Non ci sono altri termini a destra e a sinistra, quindi "cancelliamo" semplicemente i cinque e otteniamo un'espressione molto semplice:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \sinistra| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Qui è dove devi stare attento. A molti studenti piace semplicemente estrarre Radice quadrata entrambe le parti della disuguaglianza e scrivi qualcosa come $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Non dovresti mai farlo, poiché la radice di un quadrato esatto è modulo, e in nessun caso la variabile originale:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\sinistra| x\destra|\]

Tuttavia, lavorare con i moduli non è l'esperienza più piacevole, giusto? Quindi non lavoreremo. Invece, spostiamo semplicemente tutti i termini a sinistra e risolviamo la consueta disuguaglianza usando il metodo dell'intervallo:

$\begin(allineamento) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\fine(allineamento)$

Ancora una volta, segniamo i punti ottenuti sulla linea dei numeri e osserviamo i segni:

Nota: i punti sono ombreggiati.

Poiché stavamo risolvendo una disuguaglianza non rigorosa, tutti i punti sul grafico sono ombreggiati. Pertanto, la risposta sarà: $x\in \left[ -1;1 \right]$ non è un intervallo, ma un segmento.

In generale, vorrei notare che non c'è nulla di complicato nelle disuguaglianze esponenziali. Il significato di tutte le trasformazioni che abbiamo eseguito oggi si riduce a un semplice algoritmo:

• Trova la base a cui ridurremo tutti i gradi;
• Eseguire con attenzione le trasformazioni per ottenere una disuguaglianza della forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Ovviamente al posto delle variabili $x$ e $n$ possono esserci funzioni molto più complesse, ma questo non cambia il significato;
• Cancella le basi dei gradi. In questo caso, il segno di disuguaglianza può cambiare se la base $a \lt 1$.

In effetti, questo è un algoritmo universale per risolvere tutte queste disuguaglianze. E tutto il resto che ti verrà detto su questo argomento sono solo trucchi e trucchi specifici per semplificare e accelerare la trasformazione. Ecco uno di quei trucchi di cui parleremo ora. :)

metodo di razionalizzazione

Considera un altro lotto di disuguaglianze:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\testo( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \destra))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-(x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Ebbene, cosa hanno di così speciale? Sono anche leggeri. Anche se, basta! pi è elevato a potenza? Che tipo di sciocchezze?

E come elevare il numero $2\sqrt(3)-3$ a una potenza? O $3-2\sqrt(2)$? I compilatori dei problemi ovviamente hanno bevuto troppo "biancospino" prima di sedersi al lavoro. :)

In realtà, non c'è niente di sbagliato in questi compiti. Lascia che te lo ricordi: una funzione esponenziale è un'espressione della forma $((a)^(x))$, dove la base $a$ è qualsiasi numero positivo, tranne uno. Il numero π è positivo - lo sappiamo già. Anche i numeri $2\sqrt(3)-3$ e $3-2\sqrt(2)$ sono positivi - questo è facile da vedere se li confrontiamo con zero.

Si scopre che tutte queste disuguaglianze "terrificanti" non sono diverse da quelle semplici discusse sopra? E lo fanno allo stesso modo? Sì, assolutamente giusto. Tuttavia, usando il loro esempio, vorrei prendere in considerazione un trucco che consente di risparmiare molto tempo sul lavoro indipendente e sugli esami. Parleremo del metodo di razionalizzazione. Quindi attenzione:

Qualsiasi disuguaglianza esponenziale della forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ equivale alla disuguaglianza $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ a destra) \gt 0 $.

Questo è l'intero metodo. :) Pensavi che ci sarebbe stata una specie di prossimo gioco? Niente del genere! Ma questo semplice fatto, scritto letteralmente in una riga, semplificherà enormemente il nostro lavoro. Guarda:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Freccia in basso \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Qui non ci sono più funzioni esponenziali! E non devi ricordare se il segno cambia o meno. Ma sorge un nuovo problema: cosa fare con il fottuto moltiplicatore \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Non sappiamo come sia valore esatto numeri π. Tuttavia, il capitano sembra accennare all'ovvio:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\circa 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

In generale, il valore esatto di π non ci disturba molto - per noi è importante solo capire che in ogni caso $\text( )\!\!\pi\!\!\text()-1 \gt 2 $, t.e. è una costante positiva e possiamo dividere entrambi i lati della disuguaglianza per essa:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Come puoi vedere, a un certo punto, abbiamo dovuto dividere per meno uno e il segno di disuguaglianza è cambiato. Alla fine, ho ampliato il trinomio quadrato secondo il teorema di Vieta: è ovvio che le radici sono uguali a $((x)_(1))=5$ e $((x)_(2))=- 1$. Quindi tutto viene risolto con il metodo classico degli intervalli:

Risolviamo la disuguaglianza con il metodo degli intervalli

Tutti i punti sono forati perché la disuguaglianza originale è rigorosa. Siamo interessati all'area con valori negativi, quindi la risposta è $x\in \left(-1;5 \right)$. Questa è la soluzione. :)

Passiamo al prossimo compito:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tutto è semplice qui, perché c'è un'unità sulla destra. E ricordiamo che un'unità è un qualsiasi numero elevato alla potenza di zero. Anche se questo numero è un'espressione irrazionale, stando alla base a sinistra:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\destra))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \destra))^(0)); \\\fine(allineamento)\]

Quindi razionalizziamo:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Resta solo da affrontare i segni. Il moltiplicatore $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ non contiene la variabile $x$ - è solo una costante e dobbiamo scoprirne il segno. Per fare ciò, notare quanto segue:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Freccia in basso \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \destra)=0 \\\fine(matrice)\]

Si scopre che il secondo fattore non è solo una costante, ma una costante negativa! E quando si divide per esso, il segno della disuguaglianza originale cambierà nel contrario:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Ora tutto diventa abbastanza ovvio. Radici trinomio quadrato a destra: $((x)_(1))=0$ e $((x)_(2))=2$. Segnaliamoli sulla linea dei numeri e osserviamo i segni della funzione $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Il caso in cui siamo interessati agli intervalli laterali

Ci interessano gli intervalli contrassegnati dal segno più. Non resta che scrivere la risposta:

Passiamo al prossimo esempio:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ a destra))^(16-x))\]

Bene, qui tutto è abbastanza ovvio: le basi sono potenze dello stesso numero. Pertanto, scriverò tutto brevemente:

\[\begin(matrice) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Freccia giù \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ sinistra(16-x\destra))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Come puoi vedere, nel processo di trasformazione, abbiamo dovuto moltiplicare per un numero negativo, quindi il segno di disuguaglianza è cambiato. Alla fine, ho applicato nuovamente il teorema di Vieta per fattorizzare un trinomio quadrato. Di conseguenza, la risposta sarà la seguente: $x\in \left(-8;4 \right)$ - chi lo desidera può verificarlo tracciando una linea numerica, segnando punti e contando i segni. Nel frattempo, passiamo all'ultima disuguaglianza del nostro "set":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-(x)^(2)))) \lt 1\]

Come puoi vedere, alla base c'è di nuovo numero irrazionale, e l'unità è di nuovo sulla destra. Pertanto, riscriviamo la nostra disuguaglianza esponenziale come segue:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ a destra))^(0))\]

Razionalizziamo:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tuttavia, è abbastanza ovvio che $1-\sqrt(2) \lt 0$, poiché $\sqrt(2)\circa 1.4... \gt 1$. Pertanto, il secondo fattore è di nuovo una costante negativa, per la quale entrambe le parti della disuguaglianza possono essere divise:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\fine(matrice)\]

\[\begin(allineamento) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Passa a un'altra base

Un problema separato nella risoluzione delle disuguaglianze esponenziali è la ricerca della base "corretta". Sfortunatamente, a prima vista del compito, è tutt'altro che ovvio cosa prendere come base e cosa fare come livello di questa base.

Ma non preoccuparti: qui non ci sono tecnologie magiche e "segrete". In matematica, qualsiasi abilità che non può essere algoritmizzata può essere facilmente sviluppata attraverso la pratica. Ma per questo devi risolvere i problemi diversi livelli le difficoltà. Ad esempio, questi sono:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fine(allineamento)\]

Complicato? Allarmante? Sì, è più facile di un pollo sull'asfalto! Proviamo. Prima disuguaglianza:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Bene, penso che tutto sia chiaro qui:

Riscriviamo la disuguaglianza originaria, riducendo tutto alla base "due":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \destra)\cdot \sinistra(2-1 \destra) \lt 0\]

Sì, sì, avete capito bene: ho appena applicato il metodo di razionalizzazione sopra descritto. Ora dobbiamo lavorare con attenzione: abbiamo una disuguaglianza frazionario-razionale (questa è una variabile che ha una variabile al denominatore), quindi prima di equiparare qualcosa a zero, devi ridurre tutto a un denominatore comune e liberarti del fattore costante .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Ora utilizziamo il metodo dell'intervallo standard. Zero del numeratore: $x=\pm 4$. Il denominatore va a zero solo quando $x=0$. In totale, ci sono tre punti che dovrebbero essere segnati sulla linea dei numeri (tutti i punti sono cancellati, perché il segno di disuguaglianza è rigoroso). Noi abbiamo:

Di più caso difficile: tre radici

Come puoi immaginare, il tratteggio segna gli intervalli in cui l'espressione a sinistra prende valori negativi. Pertanto, due intervalli andranno contemporaneamente nella risposta finale:

Le estremità degli intervalli non sono incluse nella risposta perché la disuguaglianza originale era rigorosa. Non è richiesta un'ulteriore convalida di questa risposta. A questo proposito, le disuguaglianze esponenziali sono molto più semplici di quelle logaritmiche: nessun DPV, nessuna restrizione, ecc.

Passiamo al prossimo compito:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Anche qui non ci sono problemi, poiché sappiamo già che $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, quindi l'intera disuguaglianza può essere riscritta in questo modo:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Freccia destra ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\sinistra(-2\destra)\destra. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Nota: nella terza riga, ho deciso di non perdere tempo in sciocchezze e di dividere immediatamente tutto per (-2). Minul è entrato nella prima parentesi (ora ci sono vantaggi ovunque) e il due è stato ridotto con un moltiplicatore costante. Questo è esattamente ciò che dovresti fare quando fai calcoli reali su indipendenti e lavoro di controllo- non c'è bisogno di dipingere direttamente ogni azione e trasformazione.

Successivamente, entra in gioco il noto metodo degli intervalli. Zeri del numeratore: ma non ce ne sono. Perché il discriminante sarà negativo. A sua volta, il denominatore viene impostato a zero solo quando $x=0$, proprio come l'ultima volta. Bene, è chiaro che la frazione assumerà valori positivi a destra di $x=0$ e negativi a sinistra. Poiché siamo interessati solo ai valori negativi, la risposta finale è $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

E cosa si dovrebbe fare con le frazioni decimali nelle disuguaglianze esponenziali? Esatto: sbarazzatene convertendoli in normali. Qui stiamo traducendo:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Freccia destra ((\sinistra(0,16 \destra))^(1+2x)) =((\sinistra(\frac(4)(25) \destra))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Freccia destra ((\sinistra(6,25 \destra))^(x))=((\sinistra(\ frac(25)(4) \destra))^(x)). \\\fine(allineamento)\]

Ebbene, cosa abbiamo ottenuto nelle basi delle funzioni esponenziali? E abbiamo due numeri reciprocamente reciproci:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ destra))^(x))=((\sinistra(((\sinistra(\frac(4)(25) \destra))^(-1)) \destra))^(x))=((\ sinistra(\frac(4)(25) \destra))^(-x))\]

Pertanto, la disuguaglianza originaria può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right))))\ge ((\left(\frac(4)(25) \destra))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\fine(allineamento)\]

Naturalmente, quando si moltiplicano i poteri con la stessa base, i loro indicatori si sommano, cosa che è accaduta nella seconda riga. Inoltre, abbiamo rappresentato l'unità a destra, anche come potenza in base 4/25. Resta solo da razionalizzare:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Freccia destra \sinistra(x+1-0 \destra)\cdot \sinistra(\frac(4)(25)-1 \destra)\ge 0\]

Nota che $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, cioè il secondo fattore è una costante negativa e, quando divisa per essa, il segno di disuguaglianza cambierà:

\[\begin(allineamento) & x+1-0\le 0\Freccia destra x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Infine, l'ultima disuguaglianza dall'attuale "set":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

In linea di principio, anche qui l'idea di una soluzione è chiara: tutte le funzioni esponenziali che compongono la disuguaglianza devono essere ridotte alla base "3". Ma per questo devi armeggiare un po 'con radici e gradi:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fine(allineamento)\]

Dati questi fatti, la disuguaglianza originaria può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \destra))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fine(allineamento)\]

Presta attenzione alla 2a e 3a riga di calcolo: prima di fare qualcosa con disuguaglianza, assicurati di portarla nella forma di cui abbiamo parlato dall'inizio della lezione: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Finché hai moltiplicatori sinistro o destro sinistro, costanti extra, ecc., non è possibile effettuare alcuna razionalizzazione e "cancellazione" dei terreni! Innumerevoli compiti sono stati eseguiti male a causa di un malinteso di questo semplice fatto. Io stesso osservo costantemente questo problema con i miei studenti quando stiamo appena iniziando ad analizzare le disuguaglianze esponenziali e logaritmiche.

Ma torniamo al nostro compito. Proviamo questa volta a fare a meno della razionalizzazione. Ricordiamo: la base del grado è maggiore di uno, quindi le triple possono essere semplicemente cancellate: il segno di disuguaglianza non cambierà. Noi abbiamo:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

È tutto. Risposta finale: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Evidenziazione di un'espressione stabile e sostituzione di una variabile

In conclusione, propongo di risolvere altre quattro disuguaglianze esponenziali, che sono già abbastanza difficili per gli studenti impreparati. Per affrontarli, devi ricordare le regole per lavorare con i diplomi. In particolare, mettendo fuori parentesi i fattori comuni.

Ma la cosa più importante è imparare a capire: cosa esattamente si può mettere tra parentesi. Tale espressione è chiamata stabile: può essere indicata da una nuova variabile e quindi eliminare la funzione esponenziale. Quindi, diamo un'occhiata ai compiti:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Cominciamo con la prima riga. Scriviamo questa disuguaglianza separatamente:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Nota che $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, quindi il lato destro può essere riscritto:

Nota che non ci sono altre funzioni esponenziali tranne $((5)^(x+1))$ nella disuguaglianza. E in generale, la variabile $x$ non ricorre da nessun'altra parte, quindi introduciamo una nuova variabile: $((5)^(x+1))=t$. Otteniamo la seguente costruzione:

\[\begin(allineamento) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(allineamento)\]

Torniamo alla variabile originale ($t=((5)^(x+1))$), e allo stesso tempo ricordiamo che 1=5 0 . Abbiamo:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\fine(allineamento)\]

Questa è l'intera soluzione! Risposta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Passiamo alla seconda disuguaglianza:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tutto è uguale qui. Nota che $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Quindi il lato sinistro può essere riscritto:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \destra. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Freccia destra ((3)^(x))\ge 9\Freccia destra ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Freccia destra x\in \sinistra[ 2;+\infty \destra). \\\fine(allineamento)\]

Questo è approssimativamente il modo in cui è necessario elaborare una decisione sul controllo reale e sul lavoro indipendente.

Bene, proviamo qualcosa di più difficile. Ad esempio, ecco una disuguaglianza:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Qual è il problema qui? Prima di tutto, le basi delle funzioni esponenziali a sinistra sono diverse: 5 e 25. Tuttavia, 25 \u003d 5 2, quindi il primo termine può essere trasformato:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Come puoi vedere, all'inizio abbiamo portato tutto alla stessa base, quindi abbiamo notato che il primo termine si riduce facilmente al secondo: basta espandere l'esponente. Ora possiamo tranquillamente introdurre una nuova variabile: $((5)^(2x+2))=t$, e l'intera disuguaglianza verrà riscritta in questo modo:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(allineamento)\]

Ancora una volta, nessun problema! Risposta finale: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Passando alla disuguaglianza finale nella lezione di oggi:

\[((\sinistra(0,5 \destra))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

La prima cosa a cui dovresti prestare attenzione è, ovviamente, la frazione decimale in base al primo grado. È necessario liberarsene e allo stesso tempo portare tutte le funzioni esponenziali sulla stessa base: il numero "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Freccia destra ((\sinistra(0,5 \destra))^(-4x- 8))=((\sinistra(((2)^(-1)) \destra))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Freccia destra ((16)^(x+1,5))=((\sinistra(((2)^(4)) \destra))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Ottimo, abbiamo fatto il primo passo: tutto ha portato alle stesse basi. Ora dobbiamo evidenziare impostare l'espressione. Nota che $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Se introduciamo una nuova variabile $((2)^(4x+6))=t$, la disuguaglianza originale può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\fine(allineamento)\]

Naturalmente può sorgere la domanda: come abbiamo scoperto che 256 = 2 8 ? Sfortunatamente, qui devi solo conoscere i poteri del due (e allo stesso tempo i poteri del tre e del cinque). Bene, o dividi 256 per 2 (puoi dividere, poiché 256 è un numero pari) finché non otteniamo il risultato. Sembrerà qualcosa del genere:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Lo stesso vale per il tre (i numeri 9, 27, 81 e 243 sono i suoi poteri), e per il sette (sarebbe bello ricordare anche i numeri 49 e 343). Ebbene, i cinque hanno anche dei “bellissimi” titoli di studio che devi conoscere:

\[\begin(allineamento) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fine(allineamento)\]

Naturalmente, tutti questi numeri, se lo si desidera, possono essere ripristinati nella mente, semplicemente moltiplicandoli successivamente l'uno per l'altro. Tuttavia, quando devi risolvere diverse disuguaglianze esponenziali, e ciascuna successiva è più difficile della precedente, l'ultima cosa a cui vuoi pensare sono le potenze di alcuni numeri lì. E in questo senso, questi problemi sono più complessi delle disuguaglianze "classiche", che vengono risolte con il metodo dell'intervallo.

Lezione e presentazione sul tema: "Equazioni esponenziali e disequazioni esponenziali"

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Definizione di equazioni esponenziali

Ragazzi, abbiamo studiato le funzioni esponenziali, ne abbiamo appreso le proprietà e costruito grafici, analizzato esempi di equazioni in cui si sono incontrate funzioni esponenziali. Oggi studieremo equazioni e disuguaglianze esponenziali.

Definizione. Equazioni della forma: $a^(f(x))=a^(g(x))$, dove $a>0$, $a≠1$ sono dette equazioni esponenziali.

Ricordando i teoremi che abbiamo studiato nell'argomento "Funzione esponenziale", possiamo introdurre un nuovo teorema:
Teorema. L'equazione esponenziale $a^(f(x))=a^(g(x))$, dove $a>0$, $a≠1$ è equivalente all'equazione $f(x)=g(x) $.

Esempi di equazioni esponenziali

Esempio.
Risolvi equazioni:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Decisione.
a) Sappiamo bene che $27=3^3$.
Riscriviamo la nostra equazione: $3^(3x-3)=3^3$.
Usando il teorema sopra, otteniamo che la nostra equazione si riduce all'equazione $3x-3=3$, risolvendo questa equazione, otteniamo $x=2$.
Risposta: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Quindi la nostra equazione può essere riscritta: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Risposta: $x=0$.

C) L'equazione originale è equivalente all'equazione: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ e $x_2=-3$.
Risposta: $x_1=6$ e $x_2=-3$.

Esempio.
Risolvi l'equazione: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Decisione:
Eseguiremo in sequenza una serie di azioni e porteremo entrambe le parti della nostra equazione alle stesse basi.
Eseguiamo una serie di operazioni sul lato sinistro:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Passiamo alla parte destra:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
L'equazione originale è equivalente all'equazione:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Risposta: $x=0$.

Esempio.
Risolvi l'equazione: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Decisione:
Riscriviamo la nostra equazione: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Facciamo un cambio di variabili, sia $a=3^x$.
Nelle nuove variabili, l'equazione assumerà la forma: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ e $a_2=3$.
Eseguiamo il cambio inverso delle variabili: $3^x=-12$ e $3^x=3$.
Nell'ultima lezione, abbiamo imparato che le espressioni esponenziali possono assumere solo valori positivi, ricorda il grafico. Ciò significa che la prima equazione non ha soluzioni, la seconda equazione ha una soluzione: $x=1$.
Risposta: $x=1$.

Facciamo un promemoria dei modi per risolvere le equazioni esponenziali:
1. Metodo grafico. Rappresentiamo entrambe le parti dell'equazione come funzioni e costruiamo i loro grafici, troviamo i punti di intersezione dei grafici. (Abbiamo usato questo metodo nell'ultima lezione).
2. Il principio di uguaglianza degli indicatori. Il principio si basa sul fatto che due espressioni con gli stessi motivi sono uguali se e solo se i gradi (esponenti) di queste basi sono uguali. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metodo di modifica delle variabili. Questo metodo dovrebbe essere utilizzato se l'equazione, quando si cambiano le variabili, ne semplifica la forma ed è molto più facile da risolvere.

Esempio.
Risolvi il sistema di equazioni: $\begin (casi) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \fine(casi)$.
Decisione.
Considera entrambe le equazioni del sistema separatamente:
$27^y*3^x=1$.
$ 3^(3 anni)*3^x=3^0$.
$3^(3anni+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Considera la seconda equazione:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Usiamo il metodo del cambio di variabili, sia $y=2^(x+y)$.
Quindi l'equazione assumerà la forma:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ e $y_2=-3$.
Passiamo alle variabili iniziali, dalla prima equazione otteniamo $x+y=2$. La seconda equazione non ha soluzioni. Allora il nostro sistema iniziale di equazioni è equivalente al sistema: $\begin (casi) x+3y=0, \\ x+y=2. \fine(casi)$.
Sottraendo la seconda equazione dalla prima, otteniamo: $\begin (casi) 2y=-2, \\ x+y=2. \fine(casi)$.
$\begin (casi) y=-1, \\ x=3. \fine(casi)$.
Risposta: $(3;-1)$.

disuguaglianze esponenziali

Passiamo alle disuguaglianze. Quando si risolvono le disuguaglianze, è necessario prestare attenzione alla base del grado. Ci sono due possibili scenari per lo sviluppo di eventi quando si risolvono le disuguaglianze.

Teorema. Se $a>1$, la disuguaglianza esponenziale $a^(f(x))>a^(g(x))$ è equivalente alla disuguaglianza $f(x)>g(x)$.
Se $ 0 a^(g(x))$ equivale a $f(x)

Esempio.
Risolvi le disuguaglianze:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Decisione.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
La nostra disuguaglianza è equivalente alla disuguaglianza:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Nella nostra equazione, la base con un grado in meno di 1, quindi quando si sostituisce una disuguaglianza con una equivalente, è necessario cambiare il segno.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) La nostra disuguaglianza è equivalente alla disuguaglianza:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Usiamo metodo dell'intervallo soluzioni:
Risposta: $(-∞;-5]U)