Calcolatore di disuguaglianza con soluzione online. Disuguaglianze lineari

La disuguaglianza è un rapporto numerico che illustra la grandezza dei numeri l'uno rispetto all'altro. Le disuguaglianze sono ampiamente utilizzate nella ricerca di quantità nelle scienze applicate. Il nostro calcolatore ti aiuterà ad affrontare un argomento così difficile come risolvere le disuguaglianze lineari.

Cos'è la disuguaglianza

Rapporti disuguali nella vita reale corrispondono al confronto costante di oggetti diversi: più alti o più bassi, più lontani o più vicini, più pesanti o più leggeri. Intuitivamente o visivamente possiamo capire che un oggetto è più grande, più alto o più pesante di un altro, ma in realtà si tratta sempre di confrontare i numeri che caratterizzano le quantità corrispondenti. Puoi confrontare oggetti su qualsiasi base e, in ogni caso, possiamo creare una disuguaglianza numerica.

Se le incognite in condizioni specifiche sono uguali, per la loro determinazione numerica facciamo un'equazione. In caso contrario, al posto del segno "uguale", possiamo indicare qualsiasi altro rapporto tra queste quantità. Due numeri o oggetti matematici possono essere maggiori di ">", minori di "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

I segni di disuguaglianza nella loro forma moderna furono inventati dal matematico britannico Thomas Harriot, che nel 1631 pubblicò un libro sui rapporti disuguali. Maggiore di ">" e minore di "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Risolvere le disuguaglianze

Le disuguaglianze, come le equazioni, sono di diversi tipi. Rapporti disuguali lineari, quadrati, logaritmici o esponenziali sono liberati con vari metodi. Tuttavia, indipendentemente dal metodo, qualsiasi disuguaglianza deve essere prima ridotta a una forma standard. Per questo vengono utilizzate trasformazioni identiche, che sono identiche alle modifiche delle uguaglianze.

Trasformazioni identitarie delle disuguaglianze

Tali trasformazioni di espressioni sono molto simili al fantasma delle equazioni, ma hanno sfumature che è importante considerare quando si sciolgono le disuguaglianze.

La prima trasformazione dell'identità è identica all'operazione analoga con le uguaglianze. Ad entrambi i lati del rapporto disuguale, puoi aggiungere o sottrarre lo stesso numero o espressione con una x sconosciuta, mentre il segno di disuguaglianza rimane lo stesso. Molto spesso, questo metodo viene utilizzato in forma semplificata come trasferimento dei termini dell'espressione attraverso il segno di disuguaglianza con il cambio del segno del numero nell'opposto. Questo si riferisce al cambiamento del segno del termine stesso, ovvero + R quando trasferito attraverso qualsiasi segno di disuguaglianza cambierà in - R e viceversa.

La seconda trasformazione ha due punti:

Entrambi i membri di un rapporto disuguale possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero positivo. Il segno stesso della disuguaglianza non cambierà.
Entrambi i lati della disuguaglianza possono essere divisi o moltiplicati per lo stesso numero negativo. Il segno stesso della disuguaglianza cambierà nell'opposto.

La seconda identica trasformazione delle disuguaglianze presenta gravi differenze con la modifica delle equazioni. Innanzitutto, quando si moltiplica/divide per un numero negativo, il segno di un'espressione disuguale si inverte sempre. In secondo luogo, dividere o moltiplicare parti di una relazione è consentito solo per un numero e non per qualsiasi espressione contenente un'incognita. Il fatto è che non possiamo sapere con certezza se dietro l'ignoto si nasconda un numero maggiore o minore di zero, quindi la seconda trasformazione identica viene applicata alle disuguaglianze esclusivamente con numeri. Diamo un'occhiata a queste regole con esempi.

Esempi di sciogliere le disuguaglianze

Nei compiti di algebra, ci sono una varietà di compiti sul tema delle disuguaglianze. Diamoci un'espressione:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Innanzitutto, apri le parentesi e sposta tutte le incognite a sinistra e tutti i numeri a destra.

6x − 12x > 6 + 3

Dobbiamo dividere entrambe le parti dell'espressione per −6, quindi quando si trova una x sconosciuta, il segno di disuguaglianza cambierà nell'opposto.

Per risolvere questa disuguaglianza, abbiamo utilizzato entrambe le trasformazioni identiche: abbiamo spostato tutti i numeri a destra del segno e diviso entrambi i lati del rapporto per un numero negativo.

Il nostro programma è un calcolatore per la risoluzione di disuguaglianze numeriche che non contengono incognite. Il programma contiene i seguenti teoremi per i rapporti di tre numeri:

se un< B то A–C< B–C;
se A > B, allora A–C > B–C.

Invece di sottrarre i termini A-C, puoi specificare qualsiasi operazione aritmetica: addizione, moltiplicazione o divisione. Pertanto, il calcolatore presenterà automaticamente le disuguaglianze di somme, differenze, prodotti o frazioni.

Conclusione

Nella vita reale, le disuguaglianze sono comuni come le equazioni. Naturalmente, nella vita di tutti i giorni, potrebbe non essere necessaria la conoscenza della risoluzione delle disuguaglianze. Tuttavia, nelle scienze applicate, le disuguaglianze e i loro sistemi sono ampiamente utilizzati. Ad esempio, vari studi sui problemi dell'economia globale si riducono alla compilazione e al rilascio di sistemi di disuguaglianze lineari o quadrate, e alcune relazioni disuguali servono come un modo inequivocabile di provare l'esistenza di determinati oggetti. Usa i nostri programmi per risolvere le disuguaglianze lineari o controllare i tuoi calcoli.

La forma ax 2 + bx + 0 0, dove (invece del segno > può, ovviamente, esserci qualsiasi altro segno di disuguaglianza). Abbiamo tutti i fatti della teoria necessari per risolvere tali disuguaglianze, che verificheremo ora.

Esempio 1. Risolvi la disuguaglianza:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Decisione,

a) Considera la parabola y \u003d x 2 - 2x - 3 mostrata in fig. 117.

Risolvere la disuguaglianza x 2 - 2x - 3 > 0 - significa rispondere alla domanda, per cui i valori di x le ordinate dei punti della parabola sono positivi.

Notiamo che y > 0, cioè il grafico della funzione si trova sopra l'asse x, in x< -1 или при х > 3.

Quindi, le soluzioni della disuguaglianza sono tutti punti aperti trave(- 00 , - 1), così come tutti i punti della trave aperta (3, +00).

Usando il segno U (il segno dell'unione degli insiemi), la risposta può essere scritta come segue: (-00 , - 1) U (3, +00). Tuttavia, la risposta può anche essere scritta in questo modo:< - 1; х > 3.

b) Disuguaglianza x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: orario situato sotto l'asse x se -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) La disuguaglianza x 2 - 2x - 3 > 0 differisce dalla disuguaglianza x 2 - 2x - 3 > 0 in quanto la risposta deve includere anche le radici dell'equazione x 2 - 2x - 3 = 0, ovvero punti x = - 1

e x \u003d 3. Pertanto, le soluzioni di questa disuguaglianza non rigorosa sono tutti i punti della trave (-00, - 1], nonché tutti i punti della trave.

I matematici pratici di solito dicono questo: perché noi, risolvendo la disuguaglianza ax 2 + bx + c > 0, costruiamo con cura un grafico a parabola di una funzione quadratica

y \u003d ax 2 + bx + c (come è stato fatto nell'esempio 1)? Basta fare uno schizzo schematico del grafico, per il quale devi solo trovare radici trinomio quadrato (il punto di intersezione della parabola con l'asse x) e determinare dove sono diretti i rami della parabola - verso l'alto o verso il basso. Questo schizzo schematico darà un'interpretazione visiva della soluzione della disuguaglianza.

Esempio 2 Risolvi la disuguaglianza - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Decisione.

1) Trova le radici del trinomio quadrato - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1.5.

2) La parabola, che funge da grafico della funzione y \u003d -2x 2 + Zx + 9, interseca l'asse x nei punti 3 e - 1,5 e i rami della parabola sono diretti verso il basso, poiché il più vecchio coefficiente- numero negativo - 2. In fig. 118 è uno schizzo di un grafico.

3) Utilizzando la fig. 118, concludiamo:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Risposta: x< -1,5; х > 3.

Esempio 3 Risolvi la disuguaglianza 4x 2 - 4x + 1< 0.
Decisione.

1) Dall'equazione 4x 2 - 4x + 1 = 0 troviamo.

2) Il trinomio quadrato ha una radice; ciò significa che la parabola che funge da grafico di un trinomio quadrato non interseca l'asse x, ma lo tocca nel punto. I rami della parabola sono diretti verso l'alto (Fig. 119.)

3) Utilizzando il modello geometrico mostrato in fig. 119, stabiliamo che la disuguaglianza specificata è soddisfatta solo nel punto, poiché per tutti gli altri valori di x le ordinate del grafico sono positive.
Risposta: .
Probabilmente avrai notato che in effetti, negli esempi 1, 2, 3, è ben definito algoritmo risolvendo le disuguaglianze quadratiche, lo formalizziamo.

L'algoritmo per risolvere la disuguaglianza quadratica ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Il primo passo di questo algoritmo è trovare le radici di un trinomio quadrato. Ma le radici potrebbero non esistere, quindi cosa fare? Quindi l'algoritmo è inapplicabile, il che significa che è necessario ragionare diversamente. La chiave di queste argomentazioni è data dai seguenti teoremi.

In altre parole, se D< 0, а >0, allora la disuguaglianza ax 2 + bx + c > 0 è soddisfatta per ogni x; al contrario, la disuguaglianza ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Prova. orario funzioni y \u003d ax 2 + bx + c è una parabola i cui rami sono diretti verso l'alto (poiché a > 0) e che non interseca l'asse x, poiché il trinomio quadrato non ha radici per condizione. Il grafico è mostrato in fig. 120. Vediamo che per ogni x il grafico si trova sopra l'asse x, il che significa che per ogni x è soddisfatta la disuguaglianza ax 2 + bx + c > 0, che doveva essere dimostrata.

In altre parole, se D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 non ha soluzioni.

Prova. Il grafico della funzione y \u003d ax 2 + bx + c è una parabola, i cui rami sono diretti verso il basso (poiché a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Esempio 4. Risolvi la disuguaglianza:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Trova il discriminante del trinomio quadrato 2x 2 - x + 4. Abbiamo D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Il coefficiente senior del trinomio (numero 2) è positivo.

Quindi, per il Teorema 1, per ogni x, la disuguaglianza 2x 2 - x + 4 > 0 è soddisfatta, cioè la soluzione della disuguaglianza data è l'intero (-00, + 00).

b) Trova il discriminante del trinomio quadrato - x 2 + Zx - 8. Abbiamo D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Risposta: a) (-00, + 00); b) non ci sono soluzioni.

Nell'esempio seguente, conosceremo un altro modo di ragionare, che viene utilizzato per risolvere le disuguaglianze quadratiche.

Esempio 5 Risolvi la disuguaglianza 3x 2 - 10x + 3< 0.
Decisione. Fattorizziamo il trinomio quadrato 3x 2 - 10x + 3. Le radici del trinomio sono i numeri 3 e, quindi, usando ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), otteniamo Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Notiamo sulla linea dei numeri le radici del trinomio: 3 e (Fig. 122).

Sia x > 3; allora x-3>0 e x->0, e quindi il prodotto 3(x - 3)(x - ) è positivo. Avanti, lascia< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Pertanto, il prodotto 3(x-3)(x-) è negativo. Infine, sia x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) è positivo.

Riassumendo il ragionamento, arriviamo alla conclusione: i segni del trinomio quadrato Zx 2 - 10x + 3 cambiano come mostrato in Fig. 122. Ci interessa per cosa x il trinomio quadrato assume valori negativi. Dalla fig. 122 concludiamo: il trinomio quadrato 3x 2 - 10x + 3 assume valori negativi per qualsiasi valore di x dall'intervallo (, 3)
Risposta (, 3) o< х < 3.

Commento. Il metodo di ragionamento che abbiamo applicato nell'Esempio 5 è solitamente chiamato metodo degli intervalli (o metodo degli intervalli). Viene utilizzato attivamente in matematica per risolvere razionale disuguaglianze. In 9a elementare, studieremo il metodo dell'intervallo in modo più dettagliato.

Esempio 6. A quali valori del parametro p è l'equazione quadratica x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ha due radici diverse;

b) ha una radice;

c) non ha radici?

Decisione. Il numero di radici di un'equazione quadratica dipende dal segno del suo discriminante D. In questo caso troviamo D \u003d 25 - 4p 2.

a) Un'equazione quadratica ha due radici diverse, se D> 0, allora il problema si riduce a risolvere la disuguaglianza 25 - 4p 2 > 0. Moltiplichiamo entrambe le parti di questa disuguaglianza per -1 (ricordando di cambiare il segno di disuguaglianza). Otteniamo una disuguaglianza equivalente 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

I segni dell'espressione 4(p - 2.5) (p + 2.5) sono mostrati in fig. 123.

Concludiamo che la disuguaglianza 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) equazione quadrata ha una radice se D è 0.
Come abbiamo detto sopra, D = 0 a p = 2,5 o p = -2,5.

È per questi valori del parametro p che questa equazione quadratica ha solo una radice.

c) Un'equazione quadratica non ha radici se D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Otteniamo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0, da cui (vedi Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Per questi valori del parametro p, questa equazione quadratica non ha radici.

Risposta: a) in p (-2,5, 2,5);

b) a p = 2,5 o p = -2,5;
c) alla r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Algebra. Grado 8: Proc. per l'istruzione generale istituzioni - 3a ed., finalizzata. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

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vedere anche Risolvere graficamente un problema di programmazione lineare, Forma canonica di problemi di programmazione lineare

Il sistema di vincoli per un tale problema consiste in disuguaglianze in due variabili:
e la funzione obiettivo ha la forma F = C 1 X + C 2 y, che deve essere massimizzato.

Rispondiamo alla domanda: quali coppie di numeri ( X; y) sono soluzioni al sistema delle disuguaglianze, cioè soddisfano ciascuna delle disuguaglianze simultaneamente? In altre parole, cosa significa risolvere graficamente un sistema?
Per prima cosa devi capire qual è la soluzione di una disuguaglianza lineare con due incognite.
Risolvere una disuguaglianza lineare con due incognite significa determinare tutte le coppie di valori delle incognite per le quali la disuguaglianza è soddisfatta.
Ad esempio, disuguaglianza 3 X – 5y≥ 42 soddisfano le coppie ( X , y) : (100, 2); (3, –10), ecc. Il problema è trovare tutte queste coppie.
Considera due disuguaglianze: ascia + di≤ c, ascia + di≥ c. Dritto ascia + di = c divide il piano in due semipiani in modo che le coordinate dei punti di uno di essi soddisfino la disuguaglianza ascia + di >c, e l'altra disuguaglianza ascia + +di <c.
In effetti, prendi un punto con coordinate X = X 0; poi un punto che giace su una linea retta e che ha un'ascissa X 0 , ha un'ordinata

Lascia per la certezza un<0, b>0, c>0. Tutti i punti con l'ascissa X 0 sopra P(es. punto M), avere e M>y 0 e tutti i punti sotto il punto P, con ascisse X 0, avere yN<y 0. Nella misura in cui X 0 è un punto arbitrario, quindi ci saranno sempre punti su un lato della linea per cui ascia+ di > c, formando un semipiano e, d'altra parte, punti per i quali ascia + di< c.

Immagine 1

Il segno di disuguaglianza nel semipiano dipende dai numeri un, b , c.
Ciò implica il seguente metodo per la soluzione grafica di sistemi di disequazioni lineari in due variabili. Per risolvere il sistema sono necessari:

Per ogni disuguaglianza, scrivi l'equazione corrispondente alla disuguaglianza data.
Costruisci linee che sono grafici di funzioni date da equazioni.
Per ogni retta determinare il semipiano, dato dalla disuguaglianza. Per fare ciò, prendi un punto arbitrario che non giace su una linea retta, sostituisci le sue coordinate nella disuguaglianza. se la disuguaglianza è vera, allora il semipiano contenente il punto scelto è la soluzione alla disuguaglianza originale. Se la disuguaglianza è falsa, allora il semipiano sull'altro lato della linea è l'insieme delle soluzioni a questa disuguaglianza.
Per risolvere un sistema di disuguaglianze, è necessario trovare l'area di intersezione di tutti i semipiani che sono la soluzione di ogni disuguaglianza nel sistema.

Quest'area può risultare vuota, quindi il sistema delle disuguaglianze non ha soluzioni, è incoerente. In caso contrario, il sistema si dice compatibile.
Le soluzioni possono essere un numero finito e un insieme infinito. L'area può essere un poligono chiuso o può essere illimitata.

Diamo un'occhiata a tre esempi rilevanti.

Esempio 1. Risolvi graficamente il sistema:
X + si- 1 ≤ 0;
–2X- 2y + 5 ≤ 0.

si considerino le equazioni x+y–1=0 e –2x–2y+5=0 corrispondenti alle disuguaglianze;
costruiamo le rette date da queste equazioni.

figura 2

Definiamo i semipiani dati dalle disuguaglianze. Prendi un punto arbitrario, sia (0; 0). Tenere conto X+ si– 1 0, sostituiamo il punto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. quindi, nel semipiano in cui giace il punto (0; 0), X + y – 1 ≤ 0, cioè il semipiano che giace sotto la retta è la soluzione alla prima disuguaglianza. Sostituendo questo punto (0; 0) nel secondo, otteniamo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, cioè nel semipiano in cui giace il punto (0; 0), -2 X – 2y+ 5≥ 0, e ci è stato chiesto dove -2 X – 2y+ 5 ≤ 0, quindi, in un altro semipiano - in quello sopra la retta.
Trova l'intersezione di questi due semipiani. Le linee sono parallele, quindi i piani non si intersecano da nessuna parte, il che significa che il sistema di queste disuguaglianze non ha soluzioni, è incoerente.

Esempio 2. Trova graficamente soluzioni al sistema delle disuguaglianze:

Figura 3
1. Annotare le equazioni corrispondenti alle disuguaglianze e costruire rette.
X + 2y– 2 = 0

X	2	0
y	0	1

y – X – 1 = 0

X	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Scegliendo il punto (0; 0), determiniamo i segni delle disuguaglianze nei semipiani:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, cioè X + 2y– 2 ≤ 0 nel semipiano sotto la retta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, cioè y –X– 1 ≤ 0 nel semipiano sotto la retta;
0 + 2 =2 ≥ 0, cioè y+ 2 ≥ 0 nel semipiano sopra la linea.
3. L'intersezione di questi tre semipiani sarà un'area che è un triangolo. Non è difficile trovare i vertici della regione come punti di intersezione delle rette corrispondenti

Così, MA(–3; –2), A(0; 1), Insieme a(6; –2).

Consideriamo un altro esempio, in cui il dominio risultante della soluzione del sistema non è limitato.

Risolvere le disuguaglianze online

Prima di risolvere le disuguaglianze, è necessario capire bene come si risolvono le equazioni.

Non importa se la disuguaglianza è rigorosa () o non rigorosa (≤, ≥), il primo passo è risolvere l'equazione sostituendo il segno di disuguaglianza con l'uguaglianza (=).

Spiega cosa significa risolvere una disuguaglianza?

Dopo aver studiato le equazioni, lo studente ha in testa la seguente immagine: è necessario trovare tali valori della variabile per cui entrambe le parti dell'equazione assumono gli stessi valori. In altre parole, trova tutti i punti in cui vale l'uguaglianza. Tutto è corretto!

Quando si parla di disuguaglianze, si intende trovare gli intervalli (segmenti) su cui vale la disuguaglianza. Se ci sono due variabili nella disuguaglianza, la soluzione non saranno più gli intervalli, ma alcune aree del piano. Indovina quale sarà la soluzione della disuguaglianza in tre variabili?

Come risolvere le disuguaglianze?

Il metodo degli intervalli (noto anche come metodo degli intervalli) è considerato un modo universale per risolvere le disuguaglianze, che consiste nel determinare tutti gli intervalli entro i quali verrà soddisfatta la disuguaglianza data.

Senza entrare nel tipo di disuguaglianza, in questo caso non è l'essenza, è necessario risolvere l'equazione corrispondente e determinarne le radici, seguita dalla designazione di queste soluzioni sull'asse numerico.

Qual è il modo corretto per scrivere la soluzione di una disuguaglianza?

Dopo aver determinato gli intervalli per risolvere la disuguaglianza, è necessario scrivere correttamente la soluzione stessa. C'è una sfumatura importante: i limiti degli intervalli sono inclusi nella soluzione?

Tutto è semplice qui. Se la soluzione dell'equazione soddisfa l'ODZ e la disuguaglianza non è rigorosa, il limite dell'intervallo è incluso nella soluzione della disuguaglianza. Altrimenti no.

Considerando ogni intervallo, la soluzione alla disuguaglianza può essere l'intervallo stesso, o un semiintervallo (quando uno dei suoi limiti soddisfa la disuguaglianza), o un segmento - un intervallo insieme ai suoi confini.

Punto importante

Non pensare che solo intervalli, semiintervalli e segmenti possano essere la soluzione a una disuguaglianza. No, nella soluzione possono essere inseriti anche singoli punti.

Ad esempio, la disuguaglianza |x|≤0 ha una sola soluzione: il punto 0.

E la disuguaglianza |x|

A cosa serve il calcolatore di disuguaglianza?

Il calcolatore della disuguaglianza fornisce la risposta finale corretta. In questo caso, nella maggior parte dei casi, viene fornita un'illustrazione di un asse o piano numerico. Puoi vedere se i limiti degli intervalli sono inclusi nella soluzione o meno: i punti vengono visualizzati pieni o perforati.

Grazie al calcolatore di disuguaglianza online, puoi verificare di aver trovato correttamente le radici dell'equazione, contrassegnarle sulla linea dei numeri e verificare le condizioni di disuguaglianza sugli intervalli (e sui limiti)?

Se la tua risposta è diversa dalla risposta della calcolatrice, devi assolutamente ricontrollare la tua soluzione e identificare l'errore commesso.

Disuguaglianzaè un'espressione con, ≤ o ≥. Ad esempio, 3x - 5 Risolvere una disuguaglianza significa trovare tutti i valori delle variabili per le quali questa disuguaglianza è vera. Ognuno di questi numeri è una soluzione alla disuguaglianza e l'insieme di tutte queste soluzioni è il suo tante soluzioni. Si chiamano disuguaglianze che hanno lo stesso insieme di soluzioni disuguaglianze equivalenti.

Disuguaglianze lineari

I principi per risolvere le disuguaglianze sono simili ai principi per risolvere le equazioni.

Principi per risolvere le disuguaglianze
Per qualsiasi numero reale a, b e c:
Il principio della somma delle disuguaglianze: Se un Principio di moltiplicazione per le disuguaglianze: Se a 0 è vero, allora ac Se è vero anche a bc.
Dichiarazioni simili valgono anche per a ≤ b.

Quando entrambi i lati di una disuguaglianza vengono moltiplicati per un numero negativo, il segno della disuguaglianza deve essere invertito.
Vengono chiamate le disuguaglianze di primo livello, come nell'Esempio 1 (sotto). disuguaglianze lineari.

Esempio 1 Risolvi ciascuna delle seguenti disuguaglianze. Quindi disegna una serie di soluzioni.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Decisione
Qualsiasi numero inferiore a 11/5 è una soluzione.
L'insieme delle soluzioni è (x|x
Per fare un controllo, possiamo tracciare y 1 = 3x - 5 e y 2 = 6 - 2x. Allora si può vedere da qui che per x
L'insieme di soluzioni è (x|x ≤ 1) o (-∞, 1).Il grafico dell'insieme di soluzioni è mostrato di seguito.

Doppie disuguaglianze

Quando due disuguaglianze sono collegate da una parola e, o, quindi si forma doppia disuguaglianza. Doppia disuguaglianza come
-3 e 2x + 5 ≤ 7
chiamata collegato perché usa e. Record -3 Le doppie disuguaglianze possono essere risolte usando i principi dell'addizione e della moltiplicazione delle disuguaglianze.

Esempio 2 Risolvi -3 Decisione abbiamo

Insieme di soluzioni (x|x ≤ -1 o x > 3). Possiamo anche scrivere la soluzione usando la notazione di spaziatura e il simbolo per associazioni o inclusioni di entrambi gli insiemi: (-∞ -1] (3, ∞). Il grafico dell'insieme delle soluzioni è mostrato di seguito.

Per verificare, disegna y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 e y 3 = 1. Nota che per (x|x ≤ -1 o x > 3), y 1 ≤ y 2 o y 1 > y 3 .

Disuguaglianze con valore assoluto (modulo)

Le disuguaglianze a volte contengono moduli. Le seguenti proprietà vengono utilizzate per risolverli.
Per a > 0 e un'espressione algebrica x:
|x| |x| > a è equivalente a x o x > a.
Dichiarazioni simili per |x| ≤ ae |x| ≥ a.

Per esempio,
|x| |y| ≥ 1 è equivalente a y ≤ -1 o y ≥ 1;
e |2x + 3| ≤ 4 equivale a -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Esempio 4 Risolvi ciascuna delle seguenti disuguaglianze. Traccia l'insieme delle soluzioni.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Decisione
a) |3x + 2|

L'insieme di soluzioni è (x|-7/3