Alzare una frazione a cubo. Elevare a potenza una frazione algebrica

È tempo di familiarizzare con te stesso erezione frazione algebrica ad un grado. Questa azione con le frazioni algebriche, in termini di grado, si riduce a moltiplicazione frazioni identiche. In questo articolo, daremo la regola corrispondente e considereremo esempi di elevazione di frazioni algebriche a potenze naturali.

Navigazione della pagina.

La regola di elevare a potenza una frazione algebrica, la sua dimostrazione

Prima di parlare di elevare a potenza una frazione algebrica, non fa male ricordare quale sia il prodotto degli stessi fattori che stanno alla base del grado, e il loro numero è determinato dall'indicatore. Ad esempio, 2 3 =2 2 2=8 .

E ora ricordiamo la regola di aumentare alla potenza di una frazione ordinaria: per questo è necessario aumentare separatamente il numeratore alla potenza indicata e separatamente il denominatore. Per esempio, . Questa regola vale per elevare una frazione algebrica a potenza naturale.

Elevare una frazione algebrica a potenza naturale dà una nuova frazione, al numeratore di cui è il grado specificato del numeratore della frazione originale, e al denominatore - il grado del denominatore. In forma letterale, questa regola corrisponde all'uguaglianza , dove a e b sono polinomi arbitrari (in casi particolari, monomi o numeri), e b è un polinomio diverso da zero, e n è .

La dimostrazione della regola sonora per elevare a potenza una frazione algebrica si basa sulla definizione di un grado con esponente naturale e su come abbiamo definito la moltiplicazione delle frazioni algebriche: .

Esempi, Soluzioni

La regola ottenuta nel paragrafo precedente riduce l'elevazione di una frazione algebrica a potenza per elevare a tale potenza il numeratore e denominatore della frazione originaria. E poiché numeratore e denominatore della frazione algebrica originaria sono polinomi (nel caso particolare, monomi o numeri), il compito originario si riduce a elevare i polinomi a potenza. Dopo aver eseguito questa azione, si otterrà una nuova frazione algebrica, identicamente uguale al grado specificato della frazione algebrica originale.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio.

Al quadrato una frazione algebrica.

Decisione.

Scriviamo la laurea. Ora passiamo alla regola per elevare una frazione algebrica a potenza, ci dà l'uguaglianza . Resta da convertire la frazione risultante nella forma di una frazione algebrica elevando i monomi a potenza. Così .

Di solito, elevando una frazione algebrica a potenza, il corso della soluzione non viene spiegato e la soluzione viene scritta brevemente. Il nostro esempio corrisponde al record .

Risposta:

.

Quando i polinomi, in particolare i binomi, sono al numeratore e/o al denominatore di una frazione algebrica, quindi elevandola a potenza, è consigliabile utilizzare le corrispondenti formule abbreviate di moltiplicazione.

Esempio.

Alza una frazione algebrica al secondo grado.

Decisione.

Con la regola di elevare una frazione a potenza, abbiamo .

Per trasformare l'espressione risultante nel numeratore, utilizziamo formula della differenza al quadrato e al denominatore - la formula del quadrato della somma di tre termini:

Risposta:

In conclusione, notiamo che se eleviamo una frazione algebrica irriducibile a potenza naturale, anche il risultato sarà una frazione irriducibile. Se la frazione originaria è cancellabile, allora prima di elevarla a potenza è opportuno ridurre la frazione algebrica in modo da non effettuare la riduzione dopo l'elevazione a potenza.

Bibliografia.

• Algebra: manuale per 8 celle. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. SA Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Istruzione, 2008. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. Alle 14:00 Parte 1. Libro di testo dello studente istituzioni educative/ AG Mordkovich. - 11a ed., cancellato. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche): Proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., ill.

Copyright di studenti intelligenti

Tutti i diritti riservati.
Protetto dalla legge sul diritto d'autore. Nessuna parte di www.website, incluso materiali interni e disegno esterno, non può essere riprodotto in alcuna forma o utilizzato senza la preventiva autorizzazione scritta del titolare del copyright.

Nella continuazione della conversazione sul grado di un numero, è logico occuparsi di trovare il valore del grado. Questo processo è stato nominato esponenziazione. In questo articolo, studieremo solo come viene eseguita l'esponenziazione, mentre toccheremo tutti i possibili esponenti: naturale, intero, razionale e irrazionale. E per tradizione, considereremo in dettaglio le soluzioni agli esempi di aumento dei numeri a vari livelli.

Navigazione della pagina.

Cosa significa "esponenziale"?

Iniziamo spiegando ciò che viene chiamato esponenziazione. Ecco la definizione pertinente.

Definizione.

Esponenzialeè trovare il valore della potenza di un numero.

Quindi, trovare il valore della potenza di a con l'esponente r e aumentare il numero a alla potenza di r è la stessa cosa. Ad esempio, se il compito è "calcolare il valore della potenza (0,5) 5", può essere riformulato come segue: "Alza il numero 0,5 alla potenza di 5".

Ora puoi passare direttamente alle regole con cui viene eseguita l'esponenziazione.

Elevare un numero a una potenza naturale

In pratica, l'uguaglianza basata su viene solitamente applicata nella forma . Cioè, quando si eleva il numero a a una potenza frazionaria m / n, viene prima estratta la radice dell'ennesimo grado dal numero a, dopodiché il risultato viene elevato a una potenza intera m.

Considera soluzioni per esempi di elevazione a una potenza frazionaria.

Esempio.

Calcola il valore della laurea.

Decisione.

Mostriamo due soluzioni.

Primo modo. Per definizione di grado con esponente frazionario. Calcoliamo il valore del grado sotto il segno della radice, dopodiché estraiamo radice cubica: .

Il secondo modo. Per definizione di grado con esponente frazionario e in base alle proprietà delle radici, le uguaglianze sono vere . Ora estrai la radice Infine, eleviamo a una potenza intera .

Ovviamente i risultati ottenuti dall'elevazione a potenza frazionaria coincidono.

Risposta:

Si noti che l'esponente frazionario può essere scritto come una frazione decimale o un numero misto, in questi casi dovrebbe essere sostituito dalla frazione ordinaria corrispondente e quindi dovrebbe essere eseguita l'esponenziazione.

Esempio.

Calcola (44.89) 2.5 .

Decisione.

Scriviamo l'esponente sotto forma di frazione ordinaria (se necessario, vedere l'articolo): . Ora eseguiamo l'innalzamento a una potenza frazionaria:

Risposta:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Va anche detto che elevare i numeri a potenze razionali è un processo piuttosto laborioso (soprattutto quando il numeratore e il denominatore dell'esponente frazionario contengono abbastanza grandi numeri), che di norma viene effettuato con l'ausilio di tecnologie informatiche.

In conclusione di questo paragrafo, ci soffermeremo sulla costruzione del numero zero ad una potenza frazionaria. Abbiamo dato il seguente significato al grado frazionario di zero della forma: perché abbiamo , mentre zero alla potenza m/n non è definito. Quindi zero a una potenza frazionaria positiva zero, Per esempio, . E zero in una potenza negativa frazionaria non ha senso, ad esempio le espressioni e 0 -4,3 non hanno senso.

Elevarsi a un potere irrazionale

A volte diventa necessario scoprire il valore del grado di un numero con un esponente irrazionale. In questo caso, ai fini pratici, di solito è sufficiente ottenere il valore della laurea fino a un certo segno. Notiamo subito che questo valore è calcolato in pratica utilizzando la tecnologia informatica elettronica, poiché elevato a ir grado razionale richiede manualmente un largo numero calcoli ingombranti. Tuttavia, descriveremo in termini generali essenza dell'azione.

Per ottenere un valore approssimativo della potenza di un with indicatore irrazionale, viene presa un'approssimazione decimale dell'esponente e viene calcolato il valore dell'esponente. Questo valore è il valore approssimativo del grado del numero a con esponente irrazionale. Quanto più accurata è l'approssimazione decimale di un numero, tanto più valore esatto alla fine si conseguirà la laurea.

A titolo di esempio, calcoliamo il valore approssimativo della potenza di 2 1.174367... . Prendiamo la seguente approssimazione decimale di un indicatore irrazionale: . Ora eleviamo 2 a una potenza razionale di 1,17 (abbiamo descritto l'essenza di questo processo nel paragrafo precedente), otteniamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Così, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se prendiamo un'approssimazione decimale più accurata di un esponente irrazionale, ad esempio, , otteniamo un valore più accurato del grado originale: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov AS, Shvartburd S.I. Manuale di matematica Zh per 5 celle. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk NG, Neshkov KI, Suvorova SB Algebra: un libro di testo per 7 celle. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk NG, Neshkov KI, Suvorova SB Algebra: libro di testo per 8 celle. istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk NG, Neshkov KI, Suvorova SB Algebra: un libro di testo per 9 celle. istituzioni educative.
• Kolmogorov AN, Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. e altri Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per i gradi 10-11 delle istituzioni educative generali.
• Gusev VA, Mordkovich AG Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche).

La lezione prenderà in considerazione una versione più generalizzata della moltiplicazione delle frazioni: questa è l'esponenziazione. Prima di tutto, parleremo del grado naturale di una frazione e di esempi che dimostrano azioni simili con frazioni. All'inizio della lezione, ripeteremo anche l'elevazione a potenza naturale delle espressioni intere e vedremo come ciò sia utile per risolvere ulteriori esempi.

Argomento: Frazioni algebriche. Operazioni aritmetiche su frazioni algebriche

Lezione: elevare una frazione algebrica a potenza

1. Regole per elevare frazioni ed espressioni intere a potenze naturali con esempi elementari

La regola per elevare a poteri naturali le frazioni ordinarie e algebriche:

Puoi tracciare un'analogia con il grado di un'espressione intera e ricordare cosa si intende elevandola a potenza:

Esempio 1 .

Come puoi vedere dall'esempio, elevare una frazione a potenza lo è caso speciale moltiplicazione delle frazioni, che è stata studiata nella lezione precedente.

Esempio 2. a), b) - il meno va via, perché abbiamo elevato l'espressione a una potenza uniforme.

Per comodità di lavorare con le lauree, ricordiamo le regole base per elevare a potenza naturale:

- prodotto di gradi;

- divisione dei gradi;

Elevare un grado a un potere;

Il grado del lavoro.

Esempio 3. - questo ci è noto dall'argomento "Alzare al potere delle espressioni intere", ad eccezione di un caso: non esiste.

2. Gli esempi più semplici per elevare le frazioni algebriche a potenze naturali

Esempio 4. Elevare una frazione a potenza.

Decisione. Quando viene elevato a una potenza pari, il meno scompare:

Esempio 5. Elevare una frazione a potenza.

Decisione. Ora usiamo le regole per elevare un grado a una potenza immediatamente senza un programma separato:

.

Consideriamo ora i compiti combinati in cui dovremo elevare le frazioni a potenza, moltiplicarle e dividere.

Esempio 6: eseguire azioni.

Decisione. . Successivamente, è necessario effettuare una riduzione. Descriveremo una volta in dettaglio come lo faremo, quindi indicheremo immediatamente il risultato per analogia:. Allo stesso modo (o secondo la regola della divisione dei gradi). Abbiamo: .

Esempio 7: eseguire azioni.

Decisione. . La riduzione avviene per analogia con l'esempio discusso in precedenza.

Esempio 8: eseguire azioni.

Decisione. . A questo esempio abbiamo ancora una volta descritto più in dettaglio il processo di riduzione delle potenze in frazioni al fine di consolidare questo metodo.

3. Esempi più complessi per elevare le frazioni algebriche a potenze naturali (tenendo conto dei segni e con i termini tra parentesi)

Esempio 9: eseguire azioni .

Decisione. In questo esempio, salteremo già la moltiplicazione separata delle frazioni e useremo immediatamente la regola per la loro moltiplicazione e la scriveremo sotto un denominatore. Allo stesso tempo, seguiamo i segni: in questo caso, le frazioni vengono portate a potenze pari, quindi gli svantaggi scompaiono. Facciamo una riduzione alla fine.

Esempio 10: eseguire azioni .

Decisione. In questo esempio c'è una divisione di frazioni, ricorda che in questo caso la prima frazione viene moltiplicata per la seconda, ma invertita.

L'argomento si riduce al fatto che dobbiamo moltiplicare frazioni identiche. Questo articolo ti dirà quale regola devi usare per elevare correttamente le frazioni algebriche a poteri naturali.

Yandex.RTB R-A-339285-1

La regola per elevare a potenza una frazione algebrica, la sua dimostrazione

Prima di iniziare a salire a una potenza, devi approfondire le tue conoscenze con l'aiuto di un articolo su una laurea con un indicatore naturale, dove c'è un prodotto di fattori identici che sono alla base del grado e il loro numero è determinato dall'indicatore. Ad esempio, il numero 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Quando saliamo a una potenza, usiamo molto spesso la regola. Per fare ciò, alza separatamente il numeratore e il denominatore. Considera l'esempio 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . La regola vale per elevare una frazione a potenza naturale.

In elevare una frazione algebrica a potenza naturale ne otteniamo uno nuovo, dove il numeratore ha il grado della frazione originale e il denominatore ha il grado del denominatore. Questa è tutta la forma a b n = a n b n , dove a e b sono polinomi arbitrari, b è diverso da zero e n è un numero naturale.

La dimostrazione di questa regola si scrive come una frazione, che deve essere elevata a potenza, in base alla definizione stessa con un indicatore naturale. Quindi otteniamo la moltiplicazione per frazioni della forma a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = un n b n

Esempi, Soluzioni

La regola per elevare a potenza una frazione algebrica si esegue in sequenza: prima il numeratore, poi il denominatore. Quando c'è un polinomio nel numeratore e nel denominatore, il compito stesso sarà ridotto a elevare il polinomio dato a una potenza. Successivamente, verrà indicata una nuova frazione, che è uguale a quella originale.

Esempio 1

Al quadrato della frazione x 2 3 y z 3

Decisione

È necessario fissare il grado x 2 3 · y · z 3 2 . Secondo la regola di elevare a potenza una frazione algebrica, otteniamo un'uguaglianza della forma x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Ora è necessario convertire la frazione risultante in una forma algebrica mediante esponenziazione. Quindi otteniamo un'espressione della forma

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Tutti i casi di esponenziazione non richiedono una spiegazione dettagliata, quindi la soluzione stessa ha un breve record. Cioè, lo capiamo

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Risposta: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .

Se numeratore e denominatore hanno polinomi, allora è necessario elevare l'intera frazione a potenza, quindi applicare le formule di moltiplicazione abbreviate per semplificarla.

Esempio 2

Al quadrato la frazione 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Decisione

Dalla regola abbiamo quello

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Per convertire l'espressione, devi usare la formula per il quadrato della somma di tre termini al denominatore e al numeratore - il quadrato della differenza, che semplificherà l'espressione. Noi abbiamo:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Risposta: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Si noti che elevando una frazione che non possiamo ridurre a potenza naturale, otteniamo anche una frazione irriducibile. Questo non rende più facile risolvere ulteriormente. Quando una data frazione può essere ridotta, allora esponenziale, troviamo che è necessario eseguire la riduzione della frazione algebrica, per evitare di eseguire la riduzione dopo l'elevazione alla potenza.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Abbiamo capito qual è il grado di un numero in generale. Ora dobbiamo capire come calcolarlo correttamente, ad es. aumentare i numeri ai poteri. In questo materiale analizzeremo le regole di base per il calcolo del grado nel caso di esponente intero, naturale, frazionario, razionale e irrazionale. Tutte le definizioni saranno illustrate con esempi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Il concetto di esponenziazione

Cominciamo con la formulazione delle definizioni di base.

Definizione 1

Esponenzialeè il calcolo del valore della potenza di un numero.

Cioè, le parole "calcolo del valore della laurea" e "esponenziale" significano la stessa cosa. Quindi, se il compito è "Alza il numero 0 , 5 alla quinta potenza", questo dovrebbe essere inteso come "calcola il valore della potenza (0 , 5) 5 .

Ora diamo le regole di base che devono essere seguite in tali calcoli.

Ricordiamo cos'è la potenza di un numero con esponente naturale. Per una potenza di base a ed esponente n, questo sarà il prodotto dell'ennesimo numero di fattori, ciascuno dei quali è uguale ad a. Questo può essere scritto così:

Per calcolare il valore del grado, è necessario eseguire l'operazione di moltiplicazione, ovvero moltiplicare le basi del grado per il numero di volte specificato. Il concetto stesso di laurea con indicatore naturale si basa sulla capacità di moltiplicarsi rapidamente. Diamo esempi.

Esempio 1

Condizione: Alza - 2 alla potenza di 4 .

Decisione

Usando la definizione sopra, scriviamo: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Successivamente, dobbiamo solo seguire questi passaggi e ottenere 16 .

Facciamo un esempio più complicato.

Esempio 2

Calcola il valore 3 2 7 2

Decisione

Questa voce può essere riscritta come 3 2 7 · 3 2 7 . In precedenza abbiamo visto come moltiplicare correttamente i numeri misti menzionati nella condizione.

Esegui questi passaggi e ottieni la risposta: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Se il compito indica la necessità di elevare i numeri irrazionali a una potenza naturale, dovremo prima arrotondare le loro basi a una cifra che ci consentirà di ottenere una risposta dell'accuratezza desiderata. Facciamo un esempio.

Esempio 3

Eseguire la quadratura del numero π .

Decisione

Arrotondiamo prima ai centesimi. Allora π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Se π ≈ 3 . 14159, allora otterremo un risultato più accurato: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Si noti che la necessità di calcolare le potenze dei numeri irrazionali in pratica si presenta relativamente raramente. Possiamo quindi scrivere la risposta come potenza stessa (ln 6) 3 o convertire se possibile: 5 7 = 125 5 .

Separatamente, dovrebbe essere indicato qual è la prima potenza di un numero. Qui puoi solo ricordare che qualsiasi numero elevato alla prima potenza rimarrà se stesso:

Questo è chiaro dal verbale. .

Non dipende dalla base del titolo.

Esempio 4

Quindi, (− 9) 1 = − 9 , e 7 3 elevato alla prima potenza rimane uguale a 7 3 .

Per comodità analizzeremo tre casi separatamente: se l'esponente è un intero positivo, se è zero, e se è un intero negativo.

Nel primo caso equivale a elevare a potenza naturale: dopo tutto, gli interi positivi appartengono all'insieme dei numeri naturali. Abbiamo già descritto come lavorare con tali gradi sopra.

Ora vediamo come alzare correttamente a potenza zero. Con una base diversa da zero, questo calcolo produce sempre un output di 1 . Abbiamo spiegato in precedenza che la potenza 0 di a può essere definita per qualsiasi numero reale, diverso da 0 , e a 0 = 1 .

Esempio 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - non definito.

Rimane solo il caso di un grado con esponente intero negativo. Abbiamo già discusso che tali gradi possono essere scritti come una frazione 1 az, dove a è un numero qualsiasi e z è un numero intero negativo. Vediamo che il denominatore di questa frazione non è altro che laurea ordinaria con un intero positivo e abbiamo già imparato a calcolarlo. Diamo esempi di compiti.

Esempio 6

Alza 3 alla potenza -2.

Decisione

Usando la definizione sopra, scriviamo: 2 - 3 = 1 2 3

Calcoliamo il denominatore di questa frazione e otteniamo 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Allora la risposta è: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Esempio 7

Alza 1, 43 alla potenza -2.

Decisione

Riformulare: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calcoliamo il quadrato al denominatore: 1,43 1,43. I decimali possono essere moltiplicati in questo modo:

Di conseguenza, abbiamo (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Resta a noi scrivere questo risultato sotto forma di una frazione ordinaria, per la quale è necessario moltiplicarlo per 10 mila (vedi il materiale sulla conversione delle frazioni).

Risposta: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caso separato è aumentare un numero alla prima potenza meno. Il valore di tale grado è uguale al numero opposto al valore originale della base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Esempio 8

Esempio: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Come elevare un numero a potenza frazionaria

Per eseguire tale operazione, dobbiamo ricordare la definizione di base di un grado con esponente frazionario: a m n \u003d a m n per qualsiasi a positivo, intero m e n naturale.

Definizione 2

Pertanto, il calcolo di un grado frazionario deve essere eseguito in due passaggi: elevare a potenza intera e trovare la radice dell'ennesimo grado.

Abbiamo l'uguaglianza a m n = a m n , che, date le proprietà delle radici, viene solitamente utilizzata per risolvere problemi nella forma a m n = a n m . Ciò significa che se innalziamo il numero a ad una potenza frazionaria m / n, allora prima estraiamo la radice dell'ennesimo grado da a, quindi eleviamo il risultato ad una potenza con esponente intero m.

Illustriamo con un esempio.

Esempio 9

Calcola 8 - 2 3 .

Decisione

Metodo 1. Secondo la definizione di base, possiamo rappresentarlo come: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Ora calcoliamo il grado sotto la radice ed estraiamo la terza radice dal risultato: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metodo 2. Trasformiamo l'uguaglianza di base: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Dopodiché, estraiamo la radice 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 e al quadrato il risultato: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vediamo che le soluzioni sono identiche. Puoi usare come preferisci.

Ci sono casi in cui il grado ha un indicatore espresso come numero misto o frazione decimale. Per facilità di calcolo, è meglio sostituirlo con una frazione ordinaria e contare come sopra indicato.

Esempio 10

Alza 44,89 alla potenza di 2,5.

Decisione

Converti il ​​valore dell'indicatore in frazione comune - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

E ora eseguiamo tutte le azioni sopra indicate nell'ordine: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Risposta: 13501, 25107.

Se ci sono numeri grandi nel numeratore e nel denominatore di un esponente frazionario, calcolare tali esponenti con esponenti razionali è un lavoro piuttosto difficile. Di solito richiede la tecnologia informatica.

Separatamente, ci soffermiamo sul grado con base zero ed esponente frazionario. Un'espressione della forma 0 m n può avere il seguente significato: se m n > 0, allora 0 m n = 0 m n = 0 ; se m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Come elevare un numero a un potere irrazionale

La necessità di calcolare il valore del grado, nell'indicatore di cui esiste un numero irrazionale, non si presenta così spesso. In pratica, il compito è solitamente limitato al calcolo di un valore approssimativo (fino a un certo numero di cifre decimali). Questo di solito viene calcolato su un computer a causa della complessità di tali calcoli, quindi non ci soffermeremo su questo in dettaglio, indicheremo solo le disposizioni principali.

Se dobbiamo calcolare il valore del grado a con un esponente irrazionale a , prendiamo l'approssimazione decimale dell'esponente e contiamo da essa. Il risultato sarà una risposta approssimativa. Più accurata è l'approssimazione decimale presa, più accurata sarà la risposta. Mostriamo con un esempio:

Esempio 11

Calcola un valore approssimativo di 21 , 174367 ....

Decisione

Ci limitiamo all'approssimazione decimale a n = 1, 17. Facciamo i calcoli usando questo numero: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Se prendiamo, ad esempio, l'approssimazione a n = 1 , 1743 , la risposta sarà un po' più precisa: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio