Da cosa dipendono le proprietà di una funzione di potenza? Funzione di alimentazione

In questa lezione continueremo lo studio delle funzioni di potenza con indicatore razionale, considera le funzioni con esponente razionale negativo.

1. Concetti e definizioni di base

Richiama le proprietà e i grafici delle funzioni di potenza con un esponente intero negativo.

Per anche n, :

Esempio di funzione:

Tutti i grafici di tali funzioni passano per due punti fissi: (1;1), (-1;1). Una caratteristica delle funzioni di questo tipo è la loro parità, i grafici sono simmetrici rispetto all'asse op-y.

Riso. 1. Grafico di una funzione

Per n dispari, :

Esempio di funzione:

Tutti i grafici di tali funzioni passano per due punti fissi: (1;1), (-1;-1). Una caratteristica delle funzioni di questo tipo è la loro stranezza, i grafici sono simmetrici rispetto all'origine.

Riso. 2. Grafico delle funzioni

2. Funzione con esponente razionale negativo, grafici, proprietà

Ricordiamo la definizione principale.

Si dice numero il grado di un numero non negativo a con esponente razionale positivo.

Si dice numero il grado di un numero positivo a con esponente razionale negativo.

Per la seguente uguaglianza vale:

Per esempio: ; - l'espressione non esiste per definizione di grado con esponente razionale negativo; esiste, poiché l'esponente è un intero,

Passiamo alla considerazione delle funzioni di potenza con esponente razionale negativo.

Per esempio:

Per tracciare questa funzione, puoi creare una tabella. Faremo diversamente: in primo luogo, costruiremo e studieremo il grafico del denominatore - lo sappiamo (Figura 3).

Riso. 3. Grafico di una funzione

Il grafico della funzione denominatore passa per un punto fisso (1;1). Quando si costruisce un grafico della funzione originale, questo punto rimane, quando anche la radice tende a zero, la funzione tende all'infinito. E, al contrario, poiché x tende all'infinito, la funzione tende a zero (Figura 4).

Riso. 4. Grafico delle funzioni

Considera un'altra funzione dalla famiglia di funzioni in studio.

È importante che per definizione

Consideriamo il grafico della funzione al denominatore: , conosciamo il grafico di questa funzione, esso cresce nel suo dominio di definizione e passa per il punto (1; 1) (Figura 5).

Riso. 5. Grafico delle funzioni

Quando si costruisce un grafico della funzione originale, il punto (1; 1) rimane, quando anche la radice tende a zero, la funzione tende all'infinito. E, al contrario, poiché x tende all'infinito, la funzione tende a zero (Figura 6).

Riso. 6. Grafico delle funzioni

Gli esempi considerati aiutano a capire come va il grafico e quali sono le proprietà della funzione in studio, una funzione con esponente razionale negativo.

I grafici delle funzioni di questa famiglia passano per il punto (1;1), la funzione decresce sull'intero dominio di definizione.

Ambito della funzione:

La funzione non è delimitata dall'alto, ma delimitata dal basso. La funzione non ha né un massimo né il valore più piccolo.

La funzione è continua, prende tutti i valori positivi da zero a più infinito.

Funzione convessa verso il basso (Figura 15.7)

I punti A e B vengono presi sulla curva, viene disegnato un segmento attraverso di essi, l'intera curva è al di sotto del segmento, questa condizione è soddisfatta per due punti arbitrari sulla curva, quindi la funzione è convessa verso il basso. Riso. 7.

Riso. 7. Convessità di una funzione

3. Soluzione di problemi tipici

È importante capire che le funzioni di questa famiglia sono delimitate dal basso da zero, ma non hanno il valore più piccolo.

Esempio 1: trova il massimo e il minimo di una funzione nell'intervallo \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafico (Fig. 2).

Figura 2. Grafico della funzione $f\left(x\right)=x^(2n)$

Proprietà di una funzione di potenza con esponente dispari naturale

Il dominio di definizione sono tutti i numeri reali.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ è una funzione dispari.

$f(x)$ è continuo sull'intero dominio di definizione.

L'intervallo è tutti numeri reali.

$f"\sinistra(x\destra)=\sinistra(x^(2n-1)\destra)"=(2n-1)\cpunto x^(2(n-1))\ge 0$

La funzione aumenta nell'intero dominio di definizione.

$f\sinistra(x\destra)0$, per $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\sinistra(x\destra))=(\sinistra(\sinistra(2n-1\destra)\cdot x^(2\sinistra(n-1\destra))\destra))"=2 \sinistra(2n-1\destra)(n-1)\cpunto x^(2n-3)$

\ \

La funzione è concava per $x\in (-\infty ,0)$ e convessa per $x\in (0,+\infty)$.

Grafico (Fig. 3).

Figura 3. Grafico della funzione $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funzione di potenza con esponente intero

Per cominciare, introduciamo il concetto di grado con esponente intero.

Definizione 3

Livello numero reale$a$ con indice intero $n$ è determinato dalla formula:

Figura 4

Consideriamo ora una funzione di potenza con un esponente intero, le sue proprietà e il grafico.

Definizione 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ è chiamata funzione di potenza con esponente intero.

Se il grado è maggiore di zero, veniamo al caso di una funzione di potenza con esponente naturale. Ne abbiamo già discusso sopra. Per $n=0$ otteniamo una funzione lineare $y=1$. Lasciamo la sua considerazione al lettore. Resta da considerare le proprietà di una funzione di potenza con esponente intero negativo

Proprietà di una funzione di potenza con esponente intero negativo

L'ambito è $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Se l'esponente è pari, la funzione è pari; se è dispari, la funzione è dispari.

$f(x)$ è continuo sull'intero dominio di definizione.

Intervallo di valori:

Se l'esponente è pari, allora $(0,+\infty)$, se dispari, allora $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Se l'esponente è dispari, la funzione diminuisce come $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Per un esponente pari, la funzione diminuisce di $x\in (0,+\infty)$. e aumenta come $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ sull'intero dominio

Lezione e presentazione sull'argomento: "Funzioni di potenza. Proprietà. Grafici"

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Funzioni di potenza, dominio di definizione.

Ragazzi, nell'ultima lezione abbiamo imparato a lavorare con i numeri con esponente razionale. In questa lezione considereremo le funzioni di potenza e ci limiteremo al caso in cui l'esponente è razionale.
Considereremo funzioni della forma: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Consideriamo prima le funzioni il cui esponente è $\frac(m)(n)>1$.
Ci diamo una funzione specifica $y=x^2*5$.
Secondo la definizione data nell'ultima lezione: se $x≥0$, allora il dominio della nostra funzione è il raggio $(x)$. Descriviamo schematicamente il nostro grafico delle funzioni.

Proprietà della funzione $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Non è né pari né dispari.
3. Aumenti di $ $,
b) $(2,10)$,
c) sul raggio $$.
Soluzione.
Ragazzi, vi ricordate come abbiamo trovato il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento di grado 10?
Esatto, abbiamo usato la derivata. Risolviamo il nostro esempio e ripetiamo l'algoritmo per trovare il valore più piccolo e quello più grande.
1. Trova la derivata della funzione data:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. La derivata esiste sull'intero dominio della funzione originale, quindi non ci sono punti critici. Troviamo punti stazionari:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ e $x_2=\sqrt(64)=4$.
Una sola soluzione $x_2=4$ appartiene al segmento dato.
Costruiamo una tabella di valori della nostra funzione alle estremità del segmento e nel punto estremo:
Risposta: $y_(nome)=-862,65$ con $x=9$; $y_(max)=38,4$ per $x=4$.

Esempio. Risolvi l'equazione: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Soluzione. Il grafico della funzione $y=x^(\frac(4)(3))$ è in aumento, mentre il grafico della funzione $y=24-x$ è in diminuzione. Ragazzi, io e te lo sappiamo: se una funzione aumenta e l'altra diminuisce, si intersecano solo in un punto, cioè abbiamo una sola soluzione.
Nota:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Cioè, per $х=8$ abbiamo l'uguaglianza corretta $16=16$, questa è la soluzione della nostra equazione.
Risposta: $x=8$.

Esempio.
Traccia la funzione: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Soluzione.
Il grafico della nostra funzione è ottenuto dal grafico della funzione $y=x^(\frac(3)(4))$, spostandolo di 3 unità a destra e 2 unità in alto.

Esempio. Scrivi l'equazione della tangente alla retta $y=x^(-\frac(4)(5))$ nel punto $x=1$.
Soluzione. L'equazione della tangente è determinata dalla formula a noi nota:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Nel nostro caso $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Troviamo la derivata:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Calcoliamo:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Trova l'equazione tangente:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Risposta: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Compiti per soluzione indipendente

1. Trova il valore più grande e più piccolo della funzione: $y=x^\frac(4)(3)$ sul segmento:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) sul raggio $$.
3. Risolvi l'equazione: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Rappresentare graficamente la funzione: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Scrivi l'equazione della tangente alla retta $y=x^(-\frac(3)(7))$ nel punto $x=1$.

Richiama le proprietà e i grafici delle funzioni di potenza con un esponente intero negativo.

Per anche n, :

Esempio di funzione:

Tutti i grafici di tali funzioni passano per due punti fissi: (1;1), (-1;1). Una caratteristica delle funzioni di questo tipo è la loro parità, i grafici sono simmetrici rispetto all'asse op-y.

Riso. 1. Grafico di una funzione

Per n dispari, :

Esempio di funzione:

Tutti i grafici di tali funzioni passano per due punti fissi: (1;1), (-1;-1). Una caratteristica delle funzioni di questo tipo è la loro stranezza, i grafici sono simmetrici rispetto all'origine.

Riso. 2. Grafico delle funzioni

Ricordiamo la definizione principale.

Si dice numero il grado di un numero non negativo a con esponente razionale positivo.

Si dice numero il grado di un numero positivo a con esponente razionale negativo.

Per la seguente uguaglianza vale:

Per esempio: ; - l'espressione non esiste per definizione di grado con esponente razionale negativo; esiste, poiché l'esponente è un intero,

Passiamo alla considerazione delle funzioni di potenza con esponente razionale negativo.

Per esempio:

Per tracciare questa funzione, puoi creare una tabella. Faremo diversamente: in primo luogo, costruiremo e studieremo il grafico del denominatore - lo sappiamo (Figura 3).

Riso. 3. Grafico di una funzione

Il grafico della funzione denominatore passa per un punto fisso (1;1). Quando si costruisce un grafico della funzione originale, questo punto rimane, quando anche la radice tende a zero, la funzione tende all'infinito. E, al contrario, poiché x tende all'infinito, la funzione tende a zero (Figura 4).

Riso. 4. Grafico delle funzioni

Considera un'altra funzione dalla famiglia di funzioni in studio.

È importante che per definizione

Consideriamo il grafico della funzione al denominatore: , conosciamo il grafico di questa funzione, esso cresce nel suo dominio di definizione e passa per il punto (1; 1) (Figura 5).

Riso. 5. Grafico delle funzioni

Quando si costruisce un grafico della funzione originale, il punto (1; 1) rimane, quando anche la radice tende a zero, la funzione tende all'infinito. E, al contrario, poiché x tende all'infinito, la funzione tende a zero (Figura 6).

Riso. 6. Grafico delle funzioni

Gli esempi considerati aiutano a capire come va il grafico e quali sono le proprietà della funzione in studio, una funzione con esponente razionale negativo.

I grafici delle funzioni di questa famiglia passano per il punto (1;1), la funzione decresce sull'intero dominio di definizione.

Ambito della funzione:

La funzione non è delimitata dall'alto, ma delimitata dal basso. La funzione non ha né un valore massimo né un valore minimo.

La funzione è continua, prende tutti i valori positivi da zero a più infinito.

Funzione convessa verso il basso (Figura 15.7)

I punti A e B vengono presi sulla curva, viene disegnato un segmento attraverso di essi, l'intera curva è al di sotto del segmento, questa condizione è soddisfatta per due punti arbitrari sulla curva, quindi la funzione è convessa verso il basso. Riso. 7.

Riso. 7. Convessità di una funzione

È importante capire che le funzioni di questa famiglia sono delimitate dal basso da zero, ma non hanno il valore più piccolo.

Esempio 1: trova il massimo e il minimo della funzione sull'intervallo)