Determinazione della funzione inversa delle sue proprietà e grafico. Funzioni reciprocamente inverse

Si includano gli insiemi $X$ e $Y$ nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il concetto di funzione invertibile.

Definizione 1

Una funzione $f:X\to Y$ che mappa un insieme $X$ in un insieme $Y$ è chiamata invertibile se per qualsiasi elemento $x_1,x_2\in X$ segue dal fatto che $x_1\ne x_2$ che $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Possiamo ora introdurre la nozione di funzione inversa.

Definizione 2

Sia invertibile la funzione $f:X\to Y$ che mappa l'insieme $X$ nell'insieme $Y$. Quindi la funzione $f^(-1):Y\to X$ mappa l'insieme $Y$ nell'insieme $X$ e definito dalla condizione $f^(-1)\left(y\right)=x$ è chiamato l'inverso di $f(x)$.

Formuliamo il teorema:

Teorema 1

Sia definita la funzione $y=f(x)$, monotonicamente crescente (decrescente) e continua in un certo intervallo $X$. Quindi, nel corrispondente intervallo $Y$ di valori di questa funzione, ha una funzione inversa, anch'essa monotonicamente crescente (decrescente) e continua sull'intervallo $Y$.

Introduciamo ora direttamente il concetto di funzioni mutuamente inverse.

Definizione 3

Nell'ambito della Definizione 2, le funzioni $f(x)$ e $f^(-1)\left(y\right)$ sono chiamate funzioni mutuamente inverse.

Proprietà di funzioni mutuamente inverse

Siano allora le funzioni $y=f(x)$ e $x=g(y)$ reciprocamente inverse

$y=f(g\sinistra(y\destra))$ e $x=g(f(x))$

Il dominio della funzione $y=f(x)$ è uguale al dominio del valore della funzione $\ x=g(y)$. E il dominio della funzione $x=g(y)$ è uguale al dominio del valore della funzione $\ y=f(x)$.

I grafici delle funzioni $y=f(x)$ e $x=g(y)$ sono simmetrici rispetto alla retta $y=x$.

Se una delle funzioni aumenta (diminuisce), anche l'altra funzione aumenta (diminuisce).

Trovare la funzione inversa

L'equazione $y=f(x)$ rispetto alla variabile $x$ è risolta.

Dalle radici ottenute si trovano quelle che appartengono all'intervallo $X$.

I $x$ trovati vengono assegnati al numero $y$.

Esempio 1

Trova la funzione inversa, per la funzione $y=x^2$ sull'intervallo $X=[-1,0]$

Poiché questa funzione è decrescente e continua sull'intervallo $X$, quindi sull'intervallo $Y=$, anch'esso decrescente e continuo su questo intervallo (Teorema 1).

Calcola $x$:

\ \

Scegli l'appropriato $x$:

Risposta: funzione inversa $y=-\sqrt(x)$.

Problemi per trovare funzioni inverse

In questa parte consideriamo le funzioni inverse per alcune funzioni elementari. I compiti saranno risolti secondo lo schema sopra indicato.

Esempio 2

Trova la funzione inversa per la funzione $y=x+4$

Trova $x$ dall'equazione $y=x+4$:

Esempio 3

Trova la funzione inversa per la funzione $y=x^3$

Decisione.

Poiché la funzione è crescente e continua sull'intero dominio di definizione, allora, per il Teorema 1, ha una funzione inversa continua e crescente su di essa.

Trova $x$ dall'equazione $y=x^3$:

Trovare valori adatti di $x$

Il valore nel nostro caso è adatto (poiché l'ambito è di tutti i numeri)

Ridefinendo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma

Esempio 4

Trova la funzione inversa per la funzione $y=cosx$ sull'intervallo $$

Decisione.

Considera la funzione $y=cosx$ sull'insieme $X=\left$. È continuo e decrescente sull'insieme $X$ e mappa l'insieme $X=\left$ sull'insieme $Y=[-1,1]$, quindi, per il teorema sull'esistenza di una funzione monotona continua inversa, la funzione $y=cosx$ nell'insieme $ Y$ c'è una funzione inversa, che è anche continua e aumenta nell'insieme $Y=[-1,1]$ e mappa l'insieme $[-1,1]$ all'insieme $\sinistra$.

Trova $x$ dall'equazione $y=cosx$:

Trovare valori adatti di $x$

Ridefinendo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma

Esempio 5

Trova la funzione inversa per la funzione $y=tgx$ nell'intervallo $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Decisione.

Considera la funzione $y=tgx$ sull'insieme $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. È continuo e crescente sull'insieme $X$ e mappa l'insieme $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ sull'insieme $Y =R$, quindi, per il teorema sull'esistenza di una funzione monotona continua inversa, la funzione $y=tgx$ nell'insieme $Y$ ha una funzione inversa, anch'essa continua e crescente nell'insieme $Y=R $ e mappa l'insieme $R$ sull'insieme $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Trova $x$ dall'equazione $y=tgx$:

Trovare valori adatti di $x$

Ridefinendo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma

Cos'è una funzione inversa? Come trovare la funzione inversa di un dato?

Definizione.

Sia definita la funzione y=f(x) sull'insieme D ed E sia l'insieme dei suoi valori. Funzione inversa rispetto a la funzione y=f(x) è una funzione x=g(y), che è definita sull'insieme E e assegna ad ogni y∈E un valore x∈D tale che f(x)=y.

Pertanto, il dominio della funzione y=f(x) è il dominio della funzione inversa e il dominio di y=f(x) è il dominio della funzione inversa.

Per trovare la funzione inversa della funzione data y=f(x), si deve :

1) Nella formula della funzione, invece di y, sostituisci x, invece di x - y:

2) Dall'uguaglianza risultante, esprimi y in termini di x:

Trova la funzione inversa della funzione y=2x-6.

Le funzioni y=2x-6 e y=0,5x+3 sono reciprocamente inverse.

I grafici delle funzioni dirette e inverse sono simmetrici rispetto alla retta y=x(bisettrici di I e III coordinate quarti).

y=2x-6 e y=0,5x+3 - . Il grafico di una funzione lineare è . Per disegnare una linea retta, prendiamo due punti.



È possibile esprimere in modo univoco y in termini di x quando l'equazione x=f(y) ha una soluzione univoca. Questo può essere fatto se la funzione y=f(x) assume ciascuno dei suoi valori in un singolo punto del suo dominio di definizione (tale funzione è chiamata reversibile).

Teorema (condizione necessaria e sufficiente perché una funzione sia invertibile)

Se la funzione y=f(x) è definita e continua su un intervallo numerico, allora perché la funzione sia invertibile è necessario e sufficiente che f(x) sia strettamente monotona.

Inoltre, se y=f(x) aumenta sull'intervallo, allora aumenta anche la funzione inversa ad esso su questo intervallo; se y=f(x) è decrescente, anche la funzione inversa è decrescente.

Se la condizione di reversibilità non è soddisfatta sull'intero dominio di definizione, si può individuare un intervallo in cui la funzione aumenta o solo decresce, e su questo intervallo si trova una funzione inversa a quella data.

L'esempio classico è . Nel mezzo

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - funzione dispari, il grafico è simmetrico rispetto al punto O (0; 0).

arcosin x = 0 a x = 0.

arcsin x > 0 a x є (0; 1]

arcoseno x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x aumenta per qualsiasi x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcosin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Arco coseno

La funzione coseno decresce sul segmento e assume tutti i valori da -1 a 1. Pertanto, per ogni numero a tale che |a|1, c'è una sola radice nell'equazione cosx=a sul segmento. Questo numero in è chiamato arcoseno del numero a ed è indicato con arcos a.

Definizione . L'arcocoseno del numero a, dove -1 a 1, è un numero del segmento il cui coseno è uguale ad a.

Proprietà.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - la funzione non è né pari né dispari.

   arccos x = 0 a x = 1

   arccos x > 0 a x є [-1; 1)

archi x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x diminuisce per qualsiasi x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - decrescente.

Arctangente

La funzione tangente aumenta sul segmento -
, quindi, secondo il teorema della radice, l'equazione tgx \u003d a, dove a è un numero reale, ha una radice univoca x sull'intervallo -. Questa radice è chiamata arcotangente del numero a ed è indicata con arctga.

Definizione. Arcotangente di un numero unR questo numero si chiama x , la cui tangente è a.

Proprietà.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - la funzione è dispari, il grafico è simmetrico rispetto al punto O (0; 0).

arctg x = 0 a x = 0

La funzione aumenta per ogni x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arco x 1< arctg х 2

Arco tangente

La funzione cotangente sull'intervallo (0;) diminuisce e prende tutti i valori da R. Pertanto, per qualsiasi numero a nell'intervallo (0;) esiste un'unica radice dell'equazione ctg x = a. Questo numero a è chiamato arcotangente del numero a ed è indicato con arcctg a.

Definizione. L'arcotangente di un numero a, dove a R, è un tale numero dall'intervallo (0;) , la cui cotangente è a.

Proprietà.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - la funzione non è né pari né dispari.

arcctg x = 0- non esiste.

Funzione y = arcoctg x diminuzioni per qualsiasi х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arco x 1 > arcctg x 2

La funzione è continua per ogni x є R.

2.3 Trasformazioni di identità di espressioni contenenti funzioni trigonometriche inverse

Esempio 1 . Semplifica l'espressione:

un)
dove

Decisione. Mettiamo
. Quindi
e
Trovare
, usiamo la relazione
Noi abbiamo
Ma . Su questo segmento, il coseno assume solo valori positivi. Così,
, cioè
dove
.

b)

Decisione.

in)

Decisione. Mettiamo
. Quindi
e
Cerchiamo prima di tutto, per il quale utilizziamo la formula
, dove
Poiché il coseno assume solo valori positivi su questo intervallo, quindi
.

Obiettivi della lezione:

Educativo:

• formare conoscenze su un nuovo argomento in conformità con il materiale del programma;
• studiare la proprietà dell'invertibilità di una funzione e insegnare a trovare una funzione inversa a una data;

Sviluppando:

• sviluppare capacità di autocontrollo, discorso soggetto;
• padroneggia il concetto di funzione inversa e impara i metodi per trovare una funzione inversa;

Educativo: formare la competenza comunicativa.

Attrezzatura: computer, proiettore, schermo, lavagna interattiva SMART Board, dispense (lavoro indipendente) per lavori di gruppo.

Durante le lezioni.

1. Momento organizzativo.

Bersaglio – preparare gli studenti al lavoro in classe:

Definizione di assente,

Atteggiamento degli studenti al lavoro, organizzazione dell'attenzione;

Messaggio sull'argomento e lo scopo della lezione.

2. Aggiornare le conoscenze di base degli studenti. sondaggio frontale.

Bersaglio - stabilire la correttezza e consapevolezza del materiale teorico studiato, la ripetizione del materiale trattato.<Приложение 1 >

Un grafico della funzione viene visualizzato sulla lavagna interattiva per gli studenti. L'insegnante formula il compito: considerare il grafico della funzione ed elencare le proprietà studiate della funzione. Gli studenti elencano le proprietà di una funzione secondo il progetto di ricerca. L'insegnante, a destra del grafico della funzione, annota le proprietà nominate con un pennarello sulla lavagna interattiva.

Proprietà della funzione:

Alla fine dello studio, l'insegnante riferisce che oggi durante la lezione conosceranno un'altra proprietà di una funzione: la reversibilità. Per uno studio significativo del nuovo materiale, l'insegnante invita i bambini a familiarizzare con le principali domande a cui gli studenti devono rispondere alla fine della lezione. Le domande sono scritte su una normale lavagna e ogni studente ha un volantino (distribuito prima della lezione)

1. Che cos'è una funzione reversibile?
2. Ogni funzione è reversibile?
3. Qual è la funzione data inversa?
4. Come sono correlati il ​​dominio di definizione e l'insieme dei valori di una funzione e la sua funzione inversa?
5. Se la funzione è data analiticamente, come si definisce la funzione inversa con una formula?
6. Se una funzione è data graficamente, come tracciare la sua funzione inversa?

3. Spiegazione del nuovo materiale.

Bersaglio - formare conoscenze su un nuovo argomento in conformità con il materiale del programma; studiare la proprietà dell'invertibilità di una funzione e insegnare a trovare una funzione inversa a una data; sviluppare la materia.

L'insegnante conduce una presentazione del materiale in conformità con il materiale del paragrafo. Sulla lavagna interattiva, l'insegnante confronta i grafici di due funzioni i cui domini di definizione e insiemi di valori sono gli stessi, ma una delle funzioni è monotona e l'altra no, portando così gli studenti sotto il concetto di funzione invertibile .

L'insegnante formula quindi la definizione di funzione invertibile e conduce una dimostrazione del teorema della funzione invertibile utilizzando il grafico della funzione monotona sulla lavagna interattiva.

Definizione 1: Viene chiamata la funzione y=f(x), x X reversibile, se prende uno qualsiasi dei suoi valori solo in un punto dell'insieme X.

Teorema: se la funzione y=f(x) è monotona sull'insieme X , allora è invertibile.

Prova:

1. Lascia che la funzione y=f(x) aumenta di X Lasciarlo andare x 1 ≠ x 2- due punti del set X.
2. Per certezza, lascia x 1< x 2.
   Poi da cosa x 1< x 2 segue quello f(x 1) < f(x 2).
3. Pertanto, diversi valori dell'argomento corrispondono a diversi valori della funzione, ad es. la funzione è reversibile.

(Durante la dimostrazione del teorema, l'insegnante fa tutte le spiegazioni necessarie sul disegno con un pennarello)

Prima di formulare la definizione di funzione inversa, il docente chiede agli studenti di determinare quale delle funzioni proposte è reversibile? La lavagna interattiva mostra i grafici delle funzioni e vengono scritte diverse funzioni definite analiticamente:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

L'insegnante introduce la definizione di funzione inversa.

Definizione 2: Sia una funzione invertibile y=f(x) definito sul set X e E(f)=Y. Abbiniamo ciascuno y a partire dal Y allora l'unico significato X, al quale f(x)=y. Quindi otteniamo una funzione definita su Y, un Xè l'intervallo della funzione

Questa funzione è indicata x=f -1 (y) ed è chiamato l'inverso della funzione y=f(x).

Gli studenti sono invitati a trarre una conclusione sulla relazione tra il dominio di definizione e l'insieme dei valori delle funzioni inverse.

Per considerare la questione di come trovare la funzione inversa di un dato, l'insegnante ha coinvolto due studenti. Il giorno prima, i bambini hanno ricevuto dall'insegnante il compito di analizzare autonomamente i metodi analitici e grafici per trovare la funzione data inversa. L'insegnante ha agito come consulente nella preparazione degli studenti per la lezione.

Messaggio del primo studente.

Nota: la monotonia di una funzione è sufficiente condizione per l'esistenza di una funzione inversa. Ma ciò non è condizione necessaria.

Lo studente ha fornito esempi di varie situazioni in cui la funzione non è monotona, ma reversibile, quando la funzione non è monotona e non reversibile, quando è monotona e reversibile

Quindi lo studente introduce gli studenti al metodo per trovare la funzione inversa data analiticamente.

Algoritmo di ricerca

1. Assicurati che la funzione sia monotona.
2. Esprimi x in termini di y.
3. Rinominare le variabili. Invece di x \u003d f -1 (y) scrivono y \u003d f -1 (x)

Quindi risolve due esempi per trovare la funzione dell'inverso del dato.

Esempio 1: Mostra che esiste una funzione inversa per la funzione y=5x-3 e trova la sua espressione analitica.

Decisione. La funzione lineare y=5x-3 è definita su R, aumenta su R e il suo intervallo è R. Quindi, la funzione inversa esiste su R. Per trovare la sua espressione analitica, risolviamo l'equazione y=5x-3 rispetto a X; otteniamo Questa è la funzione inversa desiderata. È definito e accresciuto da R.

Esempio 2: Mostra che esiste una funzione inversa per la funzione y=x 2 , x≤0 e trova la sua espressione analitica.

La funzione è continua, monotona nel suo dominio di definizione, quindi è invertibile. Dopo aver analizzato i domini di definizione e l'insieme dei valori della funzione, si trae una conclusione corrispondente sull'espressione analitica per la funzione inversa.

Il secondo studente fa una presentazione su grafico come trovare la funzione inversa. Nel corso della sua spiegazione, lo studente utilizza le capacità della lavagna interattiva.

Per ottenere il grafico della funzione y=f -1 (x), inverso alla funzione y=f(x), è necessario trasformare il grafico della funzione y=f(x) simmetricamente rispetto alla retta y=x.

Durante la spiegazione sulla lavagna interattiva, viene eseguita la seguente attività:

Costruisci un grafico di una funzione e un grafico della sua funzione inversa nello stesso sistema di coordinate. Scrivi un'espressione analitica per la funzione inversa.

4. Fissaggio primario del nuovo materiale.

Bersaglio - stabilire la correttezza e la consapevolezza della comprensione del materiale studiato, identificare le lacune nella comprensione primaria del materiale, correggerle.

Gli studenti sono divisi in coppie. Vengono forniti fogli con compiti in cui lavorano in coppia. Il tempo per completare il lavoro è limitato (5-7 minuti). Una coppia di studenti lavora al computer, il proiettore è spento per questo periodo e il resto dei bambini non può vedere come lavorano gli studenti al computer.

Al termine del tempo (si presume che la maggior parte degli studenti abbia completato il lavoro), la lavagna interattiva (il proiettore si riaccende) mostra il lavoro degli studenti, dove viene chiarito durante la prova che il compito è stato completato in coppie. Se necessario, l'insegnante svolge un lavoro correttivo ed esplicativo.

Lavoro autonomo in coppia<Appendice 2 >

5. Il risultato della lezione. Sulle domande che sono state poste prima della lezione. Annuncio dei voti per la lezione.

Compiti a casa §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

L'algebra e gli inizi dell'analisi. Grado 10 In 2 parti per istituzioni educative (livello di profilo) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova e altri; ed. AG Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Funzioni reciprocamente inverse.

Sia la funzione rigorosamente monotona (crescente o decrescente) e continua sul dominio di definizione, l'intervallo di questa funzione, quindi sull'intervallo viene definita una funzione continua rigorosamente monotona con un intervallo di valori, che è inverso per .

In altre parole, ha senso parlare della funzione inversa per una funzione su un intervallo specifico se aumenta o diminuisce su questo intervallo.

Funzioni f e g sono chiamati reciproci.

Perché considerare il concetto di funzioni inverse?

Ciò è causato dal problema della risoluzione delle equazioni. Le soluzioni sono scritte solo in termini di funzioni inverse.

Tenere conto alcuni esempi di ricerca di funzioni inverse .

Cominciamo con le funzioni lineari mutuamente inverse.

Trova la funzione inversa per.

Questa funzione è lineare, il suo grafico è una retta. Quindi, la funzione è monotona sull'intero dominio di definizione. Pertanto, cercheremo la funzione inversa ad essa sull'intero dominio di definizione.

.

Esprimere X attraverso y (in altre parole, risolvi l'equazione per X ).

- questa è la funzione inversa, la verità è qui y è un argomento, e X è la funzione di questo argomento. Per non rompere le abitudini nella notazione (questo non è di fondamentale importanza), riordinare le lettere X e y , scriverò .

Quindi, e sono funzioni reciprocamente inverse.

Diamo un'illustrazione grafica di funzioni lineari reciprocamente inverse.

Ovviamente i grafici sono simmetrici rispetto alla retta. (bisettrici del primo e del terzo trimestre). Questa è una delle proprietà delle funzioni reciprocamente inverse, che sarà discussa di seguito.

Trova la funzione inversa.

Questa funzione è quadrata, il grafico è una parabola con apice in un punto.

.

La funzione aumenta come e diminuisce come . Ciò significa che si può cercare la funzione inversa per un dato uno su uno dei due intervalli.

Sia, quindi, e, scambiando x e y, otteniamo una funzione inversa su un dato intervallo: .

Trova la funzione inversa.

Questa funzione è cubica, il grafico è una parabola cubica con vertice in un punto.

.

La funzione aumenta a. Ciò significa che è possibile cercare una funzione inversa per una data sull'intero dominio di definizione.

, e scambiando x e y, otteniamo la funzione inversa.

Illustriamo questo su un grafico.

Elenchiamo proprietà di funzioni reciprocamente inverse e.

e.

Si può vedere dalla prima proprietà che l'ambito di una funzione coincide con l'ambito della funzione e viceversa.

I grafici di funzioni mutuamente inverse sono simmetrici rispetto a una retta.

Se aumenta, aumenta, se diminuisce, diminuisce.

Per una data funzione, trova la funzione inversa:

Per una data funzione, trova l'inversa e traccia le funzioni date e inverse: Scopri se esiste una funzione inversa per la funzione data. Se sì, allora definisci analiticamente la funzione inversa, traccia la funzione data e inversa: Trova il dominio e l'intervallo della funzione inversa alla funzione se:

1. Trova l'intervallo di ciascuna delle funzioni mutuamente inverse e, se sono forniti i loro intervalli:

Le funzioni sono mutuamente inverse se:

1. Trova la funzione inversa a quella data. Traccia sullo stesso sistema di coordinate i grafici di queste funzioni reciprocamente inverse:

   Questa funzione è inversa a se stessa: Definisci una funzione inversa a quella data e traccia il suo grafico: