Quale delle funzioni è esemplare. Una funzione esponenziale, le sue proprietà e il grafico - Ipermercato della conoscenza

FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE VIII

§ 179 Proprietà di base della funzione esponenziale

In questa sezione studieremo le principali proprietà della funzione esponenziale

y = a X (1)

Ricordiamolo sotto un nella formula (1) si intende qualsiasi numero positivo fisso diverso da 1.

Proprietà 1. Il dominio della funzione esponenziale è l'insieme di tutti i numeri reali.

Anzi, per un positivo un espressione un X definito per qualsiasi numero reale X .

Proprietà 2. Funzione esponenziale assume solo valori positivi.

Infatti, se X > 0, quindi, come si è dimostrato nel § 176,

un X > 0.

Se X <. 0, то

un X =

dove - X già maggiore di zero. Così un - X > 0. Ma poi

un X = > 0.

Infine, a X = 0

un X = 1.

La 2a proprietà della funzione esponenziale ha una semplice interpretazione grafica. Sta nel fatto che il grafico di questa funzione (vedi Fig. 246 e 247) si trova interamente al di sopra dell'asse x.

Proprietà 3. Se un un >1, poi a X > 0 un X > 1, e a X < 0 un X < 1. Se un < 1, тeh, al contrario, X > 0 un X < 1, e a X < 0 un X > 1.

Questa proprietà della funzione esponenziale consente anche una semplice interpretazione geometrica. In un > 1 (fig. 246) curve y = a X situato sopra la linea A = 1 a X > 0 e al di sotto della retta A = 1 a X < 0.

Se un < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a X situato sotto la linea A = 1 a X > 0 e al di sopra di questa retta a X < 0.

Diamo una dimostrazione rigorosa della terza proprietà. Lascia stare un > 1 e X è un numero positivo arbitrario. Mostriamolo

un X > 1.

Se numero X razionale ( X = m / n ) , poi un X = un m / n = n √un m .

Nella misura in cui un > 1, quindi un m > 1, ma la radice di un numero maggiore di uno è ovviamente anche maggiore di 1.

Se un X irrazionale, allora ci sono numeri razionali positivi X" e X" , che servono come approssimazioni decimali del numero X :

X"< х < х" .

Ma poi, per definizione di grado c indicatore irrazionale

un X" < un X < un X"" .

Come mostrato sopra, il numero un X" più di una. Pertanto, il numero un X , più di un X" , deve anche essere maggiore di 1,

Quindi, lo abbiamo dimostrato un >1 e arbitrariamente positivo X

un X > 1.

Se il numero X era negativo, allora l'avremmo fatto

un X =

dove è il numero X sarebbe positivo. Così un - X > 1. Pertanto,

un X = < 1.

Così, a un > 1 e arbitrariamente negativo X

un X < 1.

Caso quando 0< un < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Proprietà 4. Se x = 0, quindi indipendentemente da a un X =1.

Ciò deriva dalla definizione di grado zero; la potenza zero di qualsiasi numero diverso da zero è uguale a 1. Graficamente, questa proprietà è espressa dal fatto che per ogni un curva A = un X (vedi fig. 246 e 247) incrocia l'asse A nel punto con l'ordinata 1.

Proprietà 5. In un >1 funzione esponenziale = un X è monotonicamente crescente, e per a < 1 - monotonicamente decrescente.

Questa proprietà consente anche una semplice interpretazione geometrica.

In un > 1 (Fig. 246) curva A = un X con crescita X sale sempre più in alto, e un < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Diamo una dimostrazione rigorosa della quinta proprietà.

Lascia stare un > 1 e X 2 > X uno . Mostriamolo

un X 2 > un X 1

Nella misura in cui X 2 > X 1., quindi X 2 = X 1 + d , dove d è un numero positivo. Così

un X 2 - un X 1 = un X 1 + d - un X 1 = un X 1 (un d - 1)

Secondo la 2a proprietà della funzione esponenziale un X 1 > 0. Dal d > 0, quindi dalla 3a proprietà della funzione esponenziale un d > 1. Entrambi i fattori nel prodotto un X 1 (un d - 1) sono positivi, quindi questo prodotto stesso è positivo. Si intende, un X 2 - un X 1 > 0, o un X 2 > un X 1, che doveva essere dimostrato.

Quindi, a un > 1 funzione A = un X è monotonicamente crescente. Allo stesso modo, è dimostrato che un < 1 функция A = un X è monotonicamente decrescente.

Conseguenza. Se due potenze dello stesso numero positivo diverse da 1 sono uguali, anche i loro esponenti sono uguali.

In altre parole, se

un b = un c (un > 0 e un =/= 1),

b = c .

Infatti, se i numeri b e insieme a non erano uguali, quindi per la monotonia della funzione A = un X la maggior parte di essi corrisponderebbe a un >1 è maggiore e at un < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или un b > un c , o un b < un c . Entrambi contraddicono la condizione un b = un c . Resta da riconoscere che b = c .

Proprietà 6. Se un > 1, quindi con un aumento illimitato dell'argomento X (X -> ∞ ) valori di funzione A = un X anche crescere indefinitamente (A -> ∞ ). Con una diminuzione illimitata dell'argomento X (X -> -∞ ) i valori di questa funzione tendono a zero, pur rimanendo positivi (A->0; A > 0).

Tenendo conto della suddetta monotonia della funzione A = un X , possiamo dire che nel caso in esame, la funzione A = un X aumenta in modo monotono da 0 a ∞ .

Se un 0 <un < 1, quindi con un aumento illimitato dell'argomento x (x -> ∞), i valori della funzione y \u003d a x tendono a zero, pur rimanendo positivi (A->0; A > 0). Con una diminuzione illimitata dell'argomento x (X -> -∞ ) i valori di questa funzione crescono all'infinito (A -> ∞ ).

A causa della monotonia della funzione y = una x possiamo dire che in questo caso la funzione A = un X decresce monotonicamente da ∞ a 0.

La sesta proprietà della funzione esponenziale si riflette chiaramente nelle figure 246 e 247. Non la dimostreremo rigorosamente.

Abbiamo solo bisogno di stabilire l'intervallo della funzione esponenziale y = una x (un > 0, un =/= 1).

Sopra abbiamo dimostrato che la funzione y = una x prende solo valori positivi e aumenta in modo monotono da 0 a ∞ (A un > 1), o diminuisce in modo monotono da ∞ a 0 (a 0< un <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = una x quando cambi qualche salto? Ci vogliono valori positivi? Questa domanda ha una risposta positiva. Se un > 0 e un =/= 1, quindi qualunque sia il numero positivo A 0 deve essere trovato X 0 , tale che

un X 0 = A 0 .

(A causa della monotonia della funzione y = una x valore specificato X 0 sarebbe l'unico, ovviamente.)

La prova di questo fatto va oltre lo scopo del nostro programma. La sua interpretazione geometrica è quella per qualsiasi valore positivo A 0 grafico della funzione y = una x deve intersecare la linea A = A 0 e, inoltre, solo in un punto (Fig. 248).

Da ciò possiamo trarre la seguente conclusione, che formuliamo nella forma della proprietà 7.

Proprietà 7. L'area di variazione della funzione esponenziale y \u003d a x (un > 0, un =/= 1)è l'insieme di tutti i numeri positivi.

Esercizi

1368. Trova i domini delle seguenti funzioni:

1369. Quale dei numeri dati è maggiore di 1 e quale è minore di 1:

1370. Sulla base di quale proprietà della funzione esponenziale si può affermare che

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1.3 > (4/3) 1.2

1371. Quale numero è maggiore:

un) π - √3 o (1 / π ) - √3; c) (2 / 3) 1 + √6 o (2 / 3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 o ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 o (√3) √3 - 2 ?

1372. Le disuguaglianze sono equivalenti:

1373. Che dire dei numeri X e A , Se ascia = e y , dove un è un dato numero positivo?

1374. 1) È possibile tra tutti i valori di una funzione A = 2X evidenziare:

2) È possibile tra tutti i valori di funzione A = 2 | x| evidenziare:

un) valore più alto; b) il valore più piccolo?

Funzione esponenzialeè una generalizzazione del prodotto di n numeri uguali a a :
y (n) = a n = a a a a,
all'insieme dei numeri reali x :
y (x) = x.
Qui a è fisso numero reale, che è chiamato la base della funzione esponenziale.
Viene anche chiamata una funzione esponenziale con base a esponenziale in base a.

La generalizzazione si effettua come segue.
Per x naturale = 1, 2, 3,... , la funzione esponenziale è il prodotto di x fattori:
.
Inoltre, ha le proprietà (1.5-8) (), che seguono dalle regole per la moltiplicazione dei numeri. A zero e valori negativi interi , la funzione esponenziale è determinata dalle formule (1.9-10). Per valori frazionari x = m/n numeri razionali, , è determinato dalla formula (1.11). Per real , la funzione esponenziale è definita come limite di sequenza:
,
dove è una sequenza arbitraria di numeri razionali convergenti in x : .
Con questa definizione, la funzione esponenziale è definita per all , e soddisfa le proprietà (1.5-8), così come per x naturale.

Una rigorosa formulazione matematica della definizione di una funzione esponenziale e una dimostrazione delle sue proprietà è data alla pagina "Definizione e dimostrazione delle proprietà di una funzione esponenziale".

Proprietà della funzione esponenziale

La funzione esponenziale y = a x ha le seguenti proprietà sull'insieme dei numeri reali () :
(1.1) è definito e continuo, per, per tutti;
(1.2) quando a ≠ 1 ha molti significati;
(1.3) aumenta rigorosamente a , diminuisce rigorosamente a ,
è costante a ;
(1.4) A ;
A ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Altre formule utili
.
La formula per la conversione in una funzione esponenziale con una diversa base di potenza:

Per b = e , otteniamo l'espressione della funzione esponenziale in termini di esponente:

Valori privati

, , , , .

La figura mostra i grafici della funzione esponenziale
y (x) = x
per quattro valori basi di laurea:a= 2 , un = 8 , un = 1/2 e un = 1/8 . Si può vedere che per un > 1 la funzione esponenziale è monotonicamente crescente. Maggiore è la base del grado a, maggiore è la crescita. In 0 < a < 1 la funzione esponenziale è monotonicamente decrescente. Come meno indicatore grado a , maggiore è la diminuzione.

Ascendente, discendente

La funzione esponenziale at è strettamente monotona, quindi non ha estremi. Le sue proprietà principali sono presentate nella tabella.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Dominio	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Intervallo di valori	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotono	aumenta in modo monotono	diminuisce in modo monotono
Zero, y= 0	No	No
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funzione inversa

Il reciproco di una funzione esponenziale con base di grado a è il logaritmo in base a.

Se poi
.
Se poi
.

Differenziazione della funzione esponenziale

Per differenziare una funzione esponenziale, la sua base deve essere ridotta al numero e, applicare la tabella delle derivate e la regola per differenziare una funzione complessa.

Per fare ciò, è necessario utilizzare la proprietà dei logaritmi
e la formula dalla tabella delle derivate:
.

Sia data una funzione esponenziale:
.
Lo portiamo alla base e:

Applichiamo la regola di differenziazione di una funzione complessa. Per fare ciò, introduciamo una variabile

Quindi

Dalla tabella delle derivate abbiamo (sostituisci la variabile x con z ):
.
Poiché è una costante, la derivata di z rispetto a x è
.
Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa:
.

Derivata di funzione esponenziale

.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Derivazione di formule > > >

Un esempio di differenziazione di una funzione esponenziale

Trova la derivata di una funzione
y= 35x

Decisione

Esprimiamo la base della funzione esponenziale in termini di numero e.
3 = e log 3
Quindi
.
Introduciamo una variabile
.
Quindi

Dalla tabella delle derivate troviamo:
.
Nella misura in cui 5ln 3è una costante, allora la derivata di z rispetto a x è:
.
Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa, abbiamo:
.

Risposta

Integrante

Espressioni in termini di numeri complessi

Considera la funzione dei numeri complessi z:
f (z) = az
dove z = x + iy ; io 2 = - 1 .
Esprimiamo la costante complessa a in termini di modulo r e l'argomento φ :
a = r e io φ
Quindi


.
L'argomento φ non è definito in modo univoco. A vista generale
φ = φ 0 + 2 pag,
dove n è un numero intero. Pertanto, la funzione f (z)è anche ambiguo. Spesso considerata la sua importanza principale
.

Espansione in serie

.

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

La soluzione della maggior parte dei problemi matematici è in qualche modo connessa con la trasformazione di espressioni numeriche, algebriche o funzionali. Questo vale soprattutto per la soluzione. Nelle varianti USE in matematica, questo tipo di attività include, in particolare, l'attività C3. Imparare a risolvere i compiti C3 è importante non solo per lo scopo consegna riuscita Esame di Stato unificato, ma anche perché questa competenza è utile quando si studia un corso di matematica nell'istruzione superiore.

Eseguendo compiti C3, devi decidere diversi tipi equazioni e disuguaglianze. Tra questi ci sono moduli razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmici, trigonometrici, contenenti (valori assoluti) e combinati. Questo articolo discute i principali tipi di equazioni e disequazioni esponenziali, nonché vari metodi le loro decisioni. Leggi come risolvere altri tipi di equazioni e disuguaglianze sotto il titolo "" negli articoli dedicati ai metodi per risolvere i problemi C3 da UTILIZZA le opzioni matematica.

Prima di procedere all'analisi delle specifiche Equazioni e disuguaglianze esponenziali, come insegnante di matematica, ti suggerisco di rispolverarne un po' materiale teorico di cui avremo bisogno.

Funzione esponenziale

Che cos'è una funzione esponenziale?

Visualizza la funzione y = ascia, dove un> 0 e un≠ 1, chiamato funzione esponenziale.

Principale proprietà della funzione esponenziale y = ascia:

Grafico di una funzione esponenziale

Il grafico della funzione esponenziale è espositore:

Grafici di funzioni esponenziali (esponenti)

Soluzione di equazioni esponenziali

indicativo dette equazioni in cui l'incognita si trova solo negli esponenti di qualsiasi potenza.

Per soluzioni equazioni esponenziali devi conoscere ed essere in grado di utilizzare il seguente semplice teorema:

Teorema 1. equazione esponenziale un f(X) = un g(X) (dove un > 0, un≠ 1) è equivalente all'equazione f(X) = g(X).

Inoltre, è utile ricordare le formule di base e le azioni con i gradi:

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Esempio 1 Risolvi l'equazione:

Decisione: utilizzare le formule di cui sopra e la sostituzione:

L'equazione diventa quindi:

Ricevuto discriminante equazione quadrata positivo:

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Ciò significa che questa equazione ha due radici. Li troviamo:

Tornando alla sostituzione, otteniamo:

La seconda equazione non ha radici, poiché la funzione esponenziale è strettamente positiva sull'intero dominio di definizione. Risolviamo il secondo:

Tenendo conto di quanto detto nel Teorema 1, si passa all'equazione equivalente: X= 3. Questa sarà la risposta al compito.

Risposta: X = 3.

Esempio 2 Risolvi l'equazione:

Decisione: l'equazione non ha restrizioni sull'area dei valori ammissibili, poiché l'espressione radicale ha senso per qualsiasi valore X(funzione esponenziale y = 9 4 -X positivo e diverso da zero).

Risolviamo l'equazione per trasformazioni equivalenti usando le regole di moltiplicazione e divisione delle potenze:

L'ultima transizione è stata eseguita secondo il Teorema 1.

Risposta:X= 6.

Esempio 3 Risolvi l'equazione:

Decisione: entrambi i lati dell'equazione originale possono essere divisi per 0,2 X. Questa transizione sarà equivalente, poiché questa espressione è maggiore di zero per qualsiasi valore X(la funzione esponenziale è strettamente positiva nel suo dominio). Allora l'equazione assume la forma:

Risposta: X = 0.

Esempio 4 Risolvi l'equazione:

Decisione: semplifichiamo l'equazione a una elementare per trasformazioni equivalenti usando le regole di divisione e moltiplicazione delle potenze fornite all'inizio dell'articolo:

Dividendo entrambi i membri dell'equazione per 4 X, come nell'esempio precedente, è una trasformazione equivalente, poiché questa espressione non è uguale a zero per nessun valore X.

Risposta: X = 0.

Esempio 5 Risolvi l'equazione:

Decisione: funzione y = 3X, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, è in aumento. Funzione y = —X-2/3, in piedi sul lato destro dell'equazione, è in diminuzione. Ciò significa che se i grafici di queste funzioni si intersecano, al massimo in un punto. In questo caso, è facile intuire che i grafici si intersecano nel punto X= -1. Non ci saranno altre radici.

Risposta: X = -1.

Esempio 6 Risolvi l'equazione:

Decisione: semplifichiamo l'equazione per trasformazioni equivalenti, tenendo presente ovunque che la funzione esponenziale è strettamente maggiore di zero per qualsiasi valore X e utilizzando le regole per il calcolo del prodotto e delle potenze parziali date all'inizio dell'articolo:

Risposta: X = 2.

Risolvere le disuguaglianze esponenziali

indicativo dette disuguaglianze in cui l'incognita è contenuta solo negli esponenti di alcune potenze.

Per soluzioni disuguaglianze esponenzialiè richiesta la conoscenza del seguente teorema:

Teorema 2. Se un un> 1, quindi la disuguaglianza un f(X) > un g(X) è equivalente a una disuguaglianza dello stesso significato: f(X) > g(X). Se 0< un < 1, то disuguaglianza esponenziale un f(X) > un g(X) equivale a una disuguaglianza di significato opposto: f(X) < g(X).

Esempio 7 Risolvi la disuguaglianza:

Decisione: rappresentare la disuguaglianza originaria nella forma:

Dividi entrambe le parti di questa disuguaglianza per 3 2 X, e (a causa della positività della funzione y= 3 2X) il segno di disuguaglianza non cambierà:

Usiamo una sostituzione:

Allora la disuguaglianza assume la forma:

Quindi, la soluzione alla disuguaglianza è l'intervallo:

passando alla sostituzione inversa, otteniamo:

La disuguaglianza di sinistra, dovuta alla positività della funzione esponenziale, viene soddisfatta automaticamente. Approfittando proprietà nota logaritmo, si passa alla disuguaglianza equivalente:

Poiché la base del grado è un numero maggiore di uno, equivalente (per il Teorema 2) sarà il passaggio alla seguente disuguaglianza:

Quindi finalmente arriviamo Rispondere:

Esempio 8 Risolvi la disuguaglianza:

Decisione: usando le proprietà di moltiplicazione e divisione delle potenze, riscriviamo la disuguaglianza nella forma:

Introduciamo una nuova variabile:

Con questa sostituzione, la disuguaglianza assume la forma:

Moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione per 7, otteniamo la seguente disuguaglianza equivalente:

Quindi la disuguaglianza è soddisfatta i seguenti valori variabile t:

Quindi, tornando alla sostituzione, otteniamo:

Poiché la base del grado qui è maggiore di uno, è equivalente (per il Teorema 2) passare alla disuguaglianza:

Finalmente arriviamo Rispondere:

Esempio 9 Risolvi la disuguaglianza:

Decisione:

Dividiamo entrambi i lati della disuguaglianza per l'espressione:

È sempre maggiore di zero (perché la funzione esponenziale è positiva), quindi non è necessario modificare il segno di disuguaglianza. Noi abbiamo:

t , che sono nell'intervallo:

Passando alla sostituzione inversa, troviamo che la disuguaglianza originaria si divide in due casi:

La prima disuguaglianza non ha soluzioni per la positività della funzione esponenziale. Risolviamo il secondo:

Esempio 10 Risolvi la disuguaglianza:

Decisione:

Rami di parabola y = 2X+2-X 2 sono diretti verso il basso, quindi è delimitata dall'alto dal valore che raggiunge al suo apice:

Rami di parabola y = X 2 -2X+2, che si trova nell'indicatore, sono diretti verso l'alto, il che significa che è limitato dal basso dal valore che raggiunge nella sua parte superiore:

Allo stesso tempo, la funzione risulta essere delimitata dal basso y = 3 X 2 -2X+2 sul lato destro dell'equazione. Lei la raggiunge il valore più piccolo nello stesso punto della parabola nell'esponente, e questo valore è 3 1 = 3. Quindi, la disuguaglianza originale può essere vera solo se la funzione a sinistra e la funzione a destra assumono il valore 3 in un punto (per l'intersezione degli intervalli di queste funzioni è solo questo numero). Questa condizione è soddisfatta in un solo punto X = 1.

Risposta: X= 1.

Per imparare a risolvere equazioni e disequazioni esponenziali,è necessario allenarsi costantemente nella loro soluzione. In questa difficile materia, vari aiuti per l'insegnamento, libri di problemi di matematica elementare, raccolte di problemi competitivi, lezioni di matematica a scuola, così come sessioni individuali con un tutor professionista. Vi auguro sinceramente successo nei vostri preparativi e risultati brillanti sull'esame.

Sergey Valerievich

P.S. Cari ospiti! Per favore non scrivere richieste per risolvere le tue equazioni nei commenti. Purtroppo non ho proprio tempo per questo. Tali messaggi verranno eliminati. Si prega di leggere l'articolo. Forse in esso troverai le risposte a domande che non ti hanno permesso di risolvere il tuo compito da solo.

Trova il valore dell'espressione per vari valori razionali della variabile x=2; 0; -3; -

Nota, indipendentemente dal numero che sostituiamo al posto della variabile x, puoi sempre trovare il valore di questa espressione. Quindi, stiamo considerando una funzione esponenziale (y uguale a tre alla potenza x), definita sull'insieme dei numeri razionali: .

Costruiamo un grafico di questa funzione creando una tabella dei suoi valori.

Tracciamo una linea liscia passante per questi punti (Fig. 1)

Usando il grafico di questa funzione, considera le sue proprietà:

3. Incrementi su tutta l'area di definizione.

1. va da zero a più infinito.

8. La funzione è convessa verso il basso.

Se in un sistema di coordinate per costruire grafici di funzioni; y=(y è uguale a due per la potenza x, y è uguale a cinque per la potenza x, y è uguale a sette per la potenza x), puoi vedere che hanno le stesse proprietà di y=(y è uguale a tre per la potenza x) ( Fig. .2), ovvero tutte le funzioni della forma y = (y è uguale a a alla potenza di x, con maggiore di uno) avranno tali proprietà

Tracciamo la funzione:

1. Compilazione di una tabella dei suoi valori.

Segniamo i punti ottenuti sul piano delle coordinate.

Tracciamo una linea liscia passante per questi punti (Fig. 3).

Utilizzando il grafico di questa funzione, indichiamo le sue proprietà:

1. Il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali.

2. Non è né pari né dispari.

3. Diminuzioni nell'intero dominio di definizione.

4. Non ha né il valore più grande né quello più piccolo.

5. Limitato dal basso, ma non limitato dall'alto.

6. Continuo sull'intero dominio di definizione.

7. campo di valori da zero a più infinito.

8. La funzione è convessa verso il basso.

Allo stesso modo, se in un sistema di coordinate per costruire grafici di funzioni; y=(y è uguale a un secondo alla potenza x, y è uguale a un quinto alla potenza x, y è uguale a un settimo alla potenza x), puoi vedere che hanno le stesse proprietà di y=(y è uguale a un terzo alla potenza di x). x) (Fig. 4), ovvero tutte le funzioni della forma y \u003d (y è uguale a uno diviso per a per la potenza di x, con un maggiore di zero ma minore di uno) avere tali proprietà

Costruiamo grafici di funzioni in un sistema di coordinate

questo significa che anche i grafici delle funzioni y=y= saranno simmetrici (y è uguale a a alla potenza di x e y uguale a uno diviso per a per la potenza x) per lo stesso valore di a.

Riassumiamo quanto detto dando una definizione di funzione esponenziale e indicando le sue principali proprietà:

Definizione: Una funzione della forma y \u003d, dove (y è uguale a a alla potenza di x, dove a è positivo e diverso da uno), è chiamata funzione esponenziale.

È necessario ricordare le differenze tra la funzione esponenziale y= e la funzione di potenza y=, a=2,3,4,…. sia uditivamente che visivamente. La funzione esponenziale Xè una laurea, e funzione di potenza Xè la base.

Esempio 1: Risolvi l'equazione (tre alla potenza di x è uguale a nove)

(y è uguale a tre alla potenza di x e y è uguale a nove) fig.7

Si noti che hanno un punto in comune M (2; 9) (em con coordinate due; nove), il che significa che l'ascissa del punto sarà la radice data equazione. Cioè, l'equazione ha un'unica radice x = 2.

Esempio 2: Risolvi l'equazione

In un sistema di coordinate, costruiremo due grafici della funzione y \u003d (y è uguale a cinque alla potenza di x e y è uguale a un venticinquesimo) Fig.8. I grafici si intersecano in un punto T (-2; (te con coordinate meno due; uno venticinque). Quindi, la radice dell'equazione è x \u003d -2 (numero meno due).

Esempio 3: Risolvi la disuguaglianza

In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d

(y è uguale a tre alla potenza di x e y è uguale a ventisette).

Fig.9 Il grafico della funzione si trova sopra il grafico della funzione y=quando

x Pertanto, la soluzione della disuguaglianza è l'intervallo (da meno infinito a tre)

Esempio 4: Risolvi la disuguaglianza

In un sistema di coordinate, costruiremo due grafici della funzione y \u003d (y è uguale a un quarto della potenza di x e y è uguale a sedici). (Fig. 10). I grafici si intersecano in un punto K (-2;16). Ciò significa che la soluzione alla disuguaglianza è l'intervallo (-2; (da meno due a più infinito), perché il grafico della funzione y \u003d si trova sotto il grafico della funzione in x

Il nostro ragionamento ci permette di verificare la validità dei seguenti teoremi:

Terem 1: Se è vero se e solo se m=n.

Teorema 2: Se è vero se e solo se, allora la disuguaglianza è vera se e solo se (Fig. *)

Teorema 4: Se è vero se e solo se (Fig.**), la disuguaglianza è vera se e solo se Teorema 3: Se è vero se e solo se m=n.

Esempio 5: traccia la funzione y=

Modifichiamo la funzione applicando la proprietà del grado y=

Costruiamo sistema aggiuntivo coordinate e in nuovo sistema coordinate, tracciamo la funzione y \u003d (y è uguale a due alla potenza di x) Fig.11.

Esempio 6: Risolvi l'equazione

In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d

(Y è uguale a sette alla potenza di x e Y è uguale a otto meno x) Fig.12.

I grafici si intersecano in un punto E (1; (e con coordinate uno; sette). Quindi, la radice dell'equazione è x = 1 (x uguale a uno).

Esempio 7: Risolvi la disuguaglianza

In un sistema di coordinate, costruiamo due grafici della funzione y \u003d

(Y è uguale a un quarto della potenza di x e Y è uguale a x più cinque). Il grafico della funzione y= si trova sotto il grafico della funzione y=x+5 at, la soluzione della disuguaglianza è l'intervallo x (da meno uno a più infinito).