Funzione del form , dove viene chiamato funzione quadratica.

Grafico della funzione quadratica − parabola.

Considera i casi:

CASO I, PARABOLA CLASSICA

Cioè , ,

Per costruire, compila la tabella sostituendo x valori nella formula:

Segna punti (0;0); (1;1); (-1;1) ecc. sul piano delle coordinate (minore è il passo che prendiamo x valori (in questo caso, passaggio 1), e più x valori prendiamo, più liscia è la curva), otteniamo una parabola:

È facile vedere che se prendiamo il caso , , , cioè otteniamo una parabola simmetrica rispetto all'asse (bue). È facile verificarlo compilando una tabella simile:

II CASO, "a" DIVERSO DA UNO

Cosa accadrà se prendiamo , , ? Come cambierà il comportamento della parabola? Con title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

La prima figura (vedi sopra) mostra chiaramente che i punti della tabella per la parabola (1;1), (-1;1) sono stati trasformati in punti (1;4), (1;-4), cioè a parità di valori, l'ordinata di ogni punto viene moltiplicata per 4. Questo accadrà a tutti i punti chiave della tabella originale. Parliamo in modo simile nei casi delle figure 2 e 3.

E quando la parabola "si allarga" parabola:

Ricapitoliamo:

1)Il segno del coefficiente è responsabile della direzione dei rami. Con title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valore assoluto coefficiente (modulo) è responsabile della "espansione", "compressione" della parabola. Più grande , più stretta è la parabola, più piccola |a|, più larga è la parabola.

CASO III, APPARE "C".

Ora mettiamo in gioco (cioè consideriamo il caso quando ), considereremo parabole della forma . È facile intuire (puoi sempre fare riferimento alla tabella) che la parabola si sposterà in alto o in basso lungo l'asse, a seconda del segno:

IV CASO, APPARE "b".

Quando la parabola "si staccherà" dall'asse e finalmente "camminerà" lungo l'intero piano delle coordinate? Quando smette di essere uguale.

Ecco, per costruire una parabola, abbiamo bisogno formula per il calcolo del vertice: , .

Quindi a questo punto (come al punto (0; 0) nuovo sistema coordinate) costruiremo una parabola, che è già in nostro potere. Se abbiamo a che fare con il caso, dall'alto mettiamo da parte un solo segmento a destra, uno in alto, - il punto risultante è nostro (allo stesso modo, un passo a sinistra, un passo in alto è il nostro punto); se abbiamo a che fare con, ad esempio, dall'alto mettiamo da parte un solo segmento a destra, due in alto, ecc.

Ad esempio, il vertice di una parabola:

Ora la cosa principale da capire è che in questo vertice costruiremo una parabola secondo il modello di parabola, perché nel nostro caso.

Quando si costruisce una parabola dopo aver trovato le coordinate del vertice è moltoÈ conveniente considerare i seguenti punti:

1) parabola deve passare per il punto . Infatti, sostituendo x=0 nella formula, otteniamo che . Cioè, l'ordinata del punto di intersezione della parabola con l'asse (oy), questa è. Nel nostro esempio (sopra), la parabola interseca l'asse y in , poiché .

2) Asse di simmetria parabole è una retta, quindi tutti i punti della parabola saranno simmetrici rispetto ad essa. Nel nostro esempio prendiamo subito il punto (0; -2) e costruiamo una parabola simmetrica rispetto all'asse di simmetria, otteniamo il punto (4; -2), attraverso il quale passerà la parabola.

3) Uguagliando a , troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse (bue). Per fare questo, risolviamo l'equazione. A seconda del discriminante, otterremo uno (, ), due ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Nell'esempio precedente, abbiamo una radice dal discriminante - non un intero, quando lo costruiamo, ha poco senso per noi trovare le radici, ma possiamo vedere chiaramente che avremo due punti di intersezione con (oh) asse (dal titolo = "(!LANG: reso da QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Quindi cerchiamo di lavorare

Algoritmo per costruire una parabola se è data nella forma

1) determinare la direzione dei rami (a>0 - su, a<0 – вниз)

2) trova le coordinate del vertice della parabola con la formula , .

3) troviamo il punto di intersezione della parabola con l'asse (oy) con il termine libero, costruiamo un punto simmetrico a quello dato rispetto all'asse di simmetria della parabola (si noti che capita che sia non redditizio segnare questo punto, ad esempio, perché il valore è grande ... saltiamo questo punto ...)

4) Nel punto trovato - la parte superiore della parabola (come nel punto (0; 0) del nuovo sistema di coordinate), costruiamo una parabola. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse (oy) (se essi stessi non sono ancora “affiorati”), risolvendo l'equazione

Esempio 1

Esempio 2

Nota 1. Se la parabola ci viene inizialmente data nella forma , dove ci sono alcuni numeri (ad esempio, ), allora sarà ancora più semplice costruirla, perché ci sono già state fornite le coordinate del vertice . Come mai?

Prendiamo un trinomio quadrato e selezioniamo un quadrato intero al suo interno: Guarda, qui abbiamo quello , . In precedenza abbiamo chiamato la parte superiore della parabola, cioè ora.

Per esempio, . Segniamo la parte superiore della parabola sul piano, capiamo che i rami sono diretti verso il basso, la parabola è espansa (relativamente). Cioè, eseguiamo i passaggi 1; 3; 4; 5 dall'algoritmo per la costruzione di una parabola (vedi sopra).

Nota 2. Se la parabola è data in una forma simile a questa (rappresentata cioè come prodotto di due fattori lineari), allora vediamo subito i punti di intersezione della parabola con l'asse (x). In questo caso - (0;0) e (4;0). Per il resto agiamo secondo l'algoritmo, aprendo le parentesi.

Tutti sanno cos'è una parabola. Ma come usarlo correttamente, con competenza nel risolvere vari problemi pratici, lo capiremo di seguito.

Innanzitutto, indichiamo i concetti di base che l'algebra e la geometria danno a questo termine. Considera tutto tipi possibili questo grafico.

Impariamo tutte le caratteristiche principali di questa funzione. Comprendiamo le basi della costruzione di una curva (geometria). Impariamo come trovare i primi, altri valori di base del grafico di questo tipo.

Scopriremo: come viene costruita correttamente la curva richiesta secondo l'equazione, a cosa devi prestare attenzione. Vediamo il principale uso pratico questo valore unico nella vita umana.

Cos'è una parabola e che aspetto ha

Algebra: questo termine si riferisce al grafico di una funzione quadratica.

Geometria: questa è una curva del secondo ordine che ha una serie di caratteristiche specifiche:

Equazione della parabola canonica

La figura mostra un sistema di coordinate rettangolare (XOY), un estremo, la direzione della funzione disegnando rami lungo l'asse delle ascisse.

L'equazione canonica è:

y 2 \u003d 2 * p * x,

dove il coefficiente p è il parametro focale della parabola (AF).

In algebra si scrive diversamente:

y = a x 2 + b x + c (modello riconoscibile: y = x 2).

Proprietà e grafico di una funzione quadratica

La funzione ha un asse di simmetria e un centro (estremo). Il dominio di definizione è tutti i valori dell'asse x.

L'intervallo di valori della funzione - (-∞, M) o (M, +∞) dipende dalla direzione dei rami della curva. Il parametro M qui indica il valore della funzione in cima alla riga.

Come determinare dove sono diretti i rami di una parabola

Per trovare la direzione di questo tipo di curva da un'espressione, è necessario specificare il segno davanti al primo parametro espressione algebrica. Se a ˃ 0, allora sono diretti verso l'alto. Altrimenti, giù.

Come trovare il vertice di una parabola usando la formula

Trovare l'estremo è il passo principale per risolvere molti problemi pratici. Certo, puoi aprire speciale calcolatrici online ma è meglio essere in grado di farlo da soli.

Come definirlo? C'è una formula speciale. Quando b non è uguale a 0, dobbiamo cercare le coordinate di questo punto.

Formule per trovare il top:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Esempio.

Esiste una funzione y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Troviamo i vertici di questa funzione.

Per una tale linea:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Otteniamo le coordinate del vertice (-2, -41).

Spostamento della parabola

Il caso classico è quando in una funzione quadratica y = a x 2 + b x + c, il secondo e il terzo parametro sono 0 e = 1 - il vertice è nel punto (0; 0).

Il movimento lungo l'asse delle ascisse o delle ordinate è dovuto a una modifica dei parametri b e c, rispettivamente. Lo spostamento della linea sul piano verrà eseguito esattamente del numero di unità, che è uguale al valore del parametro.

Esempio.

Abbiamo: b = 2, c = 3.

Ciò significa che la vista classica della curva si sposterà di 2 segmenti unitari lungo l'asse delle ascisse e di 3 lungo l'asse delle ordinate.

Come costruire una parabola usando un'equazione di secondo grado

È importante che gli scolari imparino a disegnare correttamente una parabola secondo i parametri indicati.

Analizzando espressioni ed equazioni, puoi vedere quanto segue:

1. Il punto di intersezione della retta desiderata con il vettore delle ordinate avrà un valore pari a c.
2. Tutti i punti del grafico (lungo l'asse x) saranno simmetrici rispetto all'estremo principale della funzione.

Inoltre, le intersezioni con OX si possono trovare conoscendo il discriminante (D) di tale funzione:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Per fare ciò, è necessario equiparare l'espressione a zero.

La presenza di radici di parabola dipende dal risultato:

• D ˃ 0, quindi x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, quindi x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, allora non ci sono punti di intersezione con il vettore OX.

Otteniamo l'algoritmo per costruire una parabola:

• determinare la direzione dei rami;
• trova le coordinate del vertice;
• trova l'intersezione con l'asse y;
• trova l'intersezione con l'asse x.

Esempio 1

Data una funzione y \u003d x 2 - 5 * x + 4. È necessario costruire una parabola. Agiamo secondo l'algoritmo:

1. a \u003d 1, quindi, i rami sono diretti verso l'alto;
2. coordinate estreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. si interseca con l'asse y al valore y = 4;
4. trova il discriminante: D = 25 - 16 = 9;
5. in cerca di radici

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (dieci).

Esempio 2

Per la funzione y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, devi costruire una parabola. Agiamo secondo l'algoritmo di cui sopra:

1. a \u003d 3, quindi, i rami sono diretti verso l'alto;
2. coordinate estreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. con l'asse y si intersecherà al valore y \u003d -1;
4. trova il discriminante: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Quindi le radici:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Dai punti ottenuti, puoi costruire una parabola.

Direttrice, eccentricità, fuoco di una parabola

Sulla base dell'equazione canonica, il fuoco F ha coordinate (p/2, 0).

La retta AB è una direttrice (una specie di corda di parabola di una certa lunghezza). La sua equazione è x = -p/2.

Eccentricità (costante) = 1.

Conclusione

Abbiamo considerato l'argomento in cui studiano gli studenti Scuola superiore. Ora sai, guardando la funzione quadratica di una parabola, come trovarne il vertice, in quale direzione saranno diretti i rami, se c'è un offset lungo gli assi e, avendo un algoritmo di costruzione, puoi tracciarne il grafico.

Il materiale metodicoè a scopo di riferimento e copre un'ampia gamma di argomenti. L'articolo fornisce una panoramica dei grafici delle principali funzioni elementari e considera la questione più importante: come costruire correttamente e VELOCEMENTE un grafico. Durante lo studio matematica superiore senza conoscere i grafici delle funzioni elementari di base, sarà difficile, quindi è molto importante ricordare che aspetto hanno i grafici di una parabola, iperbole, seno, coseno, ecc., ricordare alcuni valori di funzione. Parleremo anche di alcune proprietà delle funzioni principali.

Non pretendo di completezza e completezza scientifica dei materiali, l'accento sarà posto, prima di tutto, sulla pratica - quelle cose con cui bisogna affrontare letteralmente ogni passo, in qualsiasi argomento di matematica superiore. Grafici per manichini? Puoi dirlo.

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Seriamente, sei, anche io stesso sono rimasto sorpreso. Questo abstract contiene una grafica migliorata ed è disponibile a un costo nominale, è possibile visualizzare una versione demo. È conveniente stampare il file in modo che i grafici siano sempre a portata di mano. Grazie per aver sostenuto il progetto!

E iniziamo subito:

Come costruire correttamente gli assi delle coordinate?

In pratica, le prove vengono quasi sempre redatte dagli studenti in quaderni separati, allineati in una gabbia. Perché hai bisogno di segni a scacchi? Dopotutto, il lavoro, in linea di principio, può essere eseguito su fogli A4. E la gabbia è necessaria solo per la progettazione accurata e di alta qualità dei disegni.

Qualsiasi disegno di un grafico di funzione inizia con gli assi delle coordinate.

I disegni sono bidimensionali e tridimensionali.

Consideriamo prima il caso bidimensionale Sistema di coordinate cartesiano:

1) Disegniamo gli assi delle coordinate. L'asse viene chiamato asse x , e l'asse asse y . Cerchiamo sempre di disegnarli pulito e non storto. Anche le frecce non dovrebbero assomigliare alla barba di papa Carlo.

2) Firmiamo gli assi lettere maiuscole"x" e "y". Non dimenticare di firmare gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi: disegna zero e due uno. Quando si esegue un disegno, la scala più comoda e comune è: 1 unità = 2 celle (disegno a sinistra) - attenersi ad essa se possibile. Tuttavia, di tanto in tanto capita che il disegno non si adatti a un foglio di quaderno, quindi riduciamo la scala: 1 unità = 1 cella (disegno a destra). Raramente, ma capita che la scala del disegno debba essere ulteriormente ridotta (o aumentata).

NON scarabocchiare da una mitragliatrice ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Perché il piano delle coordinate non è un monumento a Cartesio e lo studente non è una colomba. Mettiamo zero e due unità lungo gli assi. Qualche volta invece di unità, è conveniente "rilevare" altri valori, ad esempio "due" sull'asse delle ascisse e "tre" sull'asse delle ordinate - e questo sistema (0, 2 e 3) imposterà anche in modo univoco la griglia delle coordinate.

È meglio stimare le dimensioni stimate del disegno PRIMA che il disegno venga disegnato.. Quindi, ad esempio, se l'attività richiede il disegno di un triangolo con vertici , , , è abbastanza chiaro che la popolare scala 1 unità = 2 celle non funzionerà. Come mai? Diamo un'occhiata al punto: qui devi misurare quindici centimetri in basso e, ovviamente, il disegno non si adatta (o si adatta a malapena) su un foglio di quaderno. Pertanto, selezioniamo immediatamente una scala più piccola 1 unità = 1 cella.

A proposito, circa centimetri e celle del notebook. È vero che ci sono 15 centimetri in 30 celle di notebook? Misura su un quaderno per interesse 15 centimetri con un righello. In URSS, forse questo era vero ... È interessante notare che se si misurano questi stessi centimetri orizzontalmente e verticalmente, i risultati (nelle celle) saranno diversi! A rigor di termini, i notebook moderni non sono a scacchi, ma rettangolari. Può sembrare una sciocchezza, ma disegnare, ad esempio, un cerchio con una bussola in tali situazioni è molto scomodo. Ad essere onesti, in questi momenti inizi a pensare alla correttezza del compagno Stalin, che è stato mandato nei campi per lavori di hackeraggio nella produzione, per non parlare dell'industria automobilistica nazionale, degli aerei che cadono o delle centrali elettriche che esplodono.

Parlando di qualità, o breve raccomandazione dalla cancelleria. Ad oggi la maggior parte dei quaderni in vendita, senza dire parolacce, sono dei completi goblin. Per il motivo che si bagnano, e non solo dalle penne gel, ma anche dalle penne a sfera! Risparmia sulla carta. Per sdoganamento opere di controllo Consiglio di usare i taccuini di Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 fogli, gabbia) o Pyaterochka, anche se è più costoso. Si consiglia di scegliere una penna gel, anche la ricarica gel cinese più economica è molto meglio di una penna a sfera, che macchia o strappa la carta. L'unica penna a sfera "competitiva" che ho in memoria è la Erich Krause. Scrive in modo chiaro, bello e stabile - con uno stelo pieno o con uno quasi vuoto.

Inoltre: la visione di un sistema di coordinate rettangolare attraverso gli occhi della geometria analitica è trattata nell'articolo Lineare (non)dipendenza dei vettori. Base vettoriale, informazioni dettagliate sui quarti di coordinate si trovano nel secondo paragrafo della lezione Disuguaglianze lineari.

Caso 3D

È quasi lo stesso qui.

1) Disegniamo gli assi delle coordinate. Standard: asse applicato – diretto verso l'alto, asse – diretto a destra, asse – verso il basso a sinistra rigorosamente ad un angolo di 45 gradi.

2) Firmiamo gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi. Scala lungo l'asse: due volte più piccola della scala lungo gli altri assi. Nota anche che nel disegno a destra ho usato un "serif" non standard lungo l'asse (questa possibilità è già stata menzionata sopra). Dal mio punto di vista, è più preciso, più veloce ed esteticamente più gradevole: non è necessario cercare il centro della cellula al microscopio e "scolpire" l'unità fino all'origine.

Quando si esegue di nuovo un disegno 3D, dare priorità alla scala
1 unità = 2 celle (disegno a sinistra).

A cosa servono tutte queste regole? Le regole sono lì per essere infrante. Cosa farò adesso. Il fatto è che i successivi disegni dell'articolo verranno realizzati da me in Excel e gli assi delle coordinate sembreranno errati dal punto di vista disegno corretto. Potrei disegnare tutti i grafici a mano, ma è davvero spaventoso disegnarli, poiché Excel è riluttante a disegnarli in modo molto più accurato.

Grafici e proprietà di base delle funzioni elementari

La funzione lineare è data dall'equazione . Il grafico della funzione lineare è diretto. Per costruire una retta basta conoscere due punti.

Esempio 1

Traccia la funzione. Troviamo due punti. È vantaggioso scegliere zero come uno dei punti.

Se poi

Prendiamo qualche altro punto, per esempio, 1.

Se poi

Quando si preparano le attività, le coordinate dei punti sono generalmente riassunte in una tabella:

E i valori stessi sono calcolati oralmente o su una bozza, calcolatrice.

Si trovano due punti, disegniamo:

Quando si redige un disegno, firmiamo sempre la grafica.

Non sarà superfluo ricordare casi speciali di una funzione lineare:

Nota come ho posizionato le didascalie, le firme non dovrebbero essere ambigue quando si studia il disegno. In questo caso, era altamente indesiderabile apporre una firma vicino al punto di intersezione delle linee, o in basso a destra tra i grafici.

1) Una funzione lineare della forma () è chiamata proporzionalità diretta. Per esempio, . Il grafico della proporzionalità diretta passa sempre per l'origine. Pertanto, la costruzione di una retta è semplificata: è sufficiente trovare un solo punto.

2) Un'equazione della forma definisce una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Il grafico della funzione viene costruito immediatamente, senza trovare punti. Cioè, la voce dovrebbe essere intesa come segue: "y è sempre uguale a -4, per qualsiasi valore di x".

3) Un'equazione della forma definisce una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Anche il grafico della funzione viene costruito immediatamente. La voce deve essere intesa come segue: "x è sempre, per qualsiasi valore di y, uguale a 1."

Qualcuno chiederà, beh, perché ricordi la prima media?! È così, forse è così, solo durante gli anni di pratica ho incontrato una buona dozzina di studenti che erano sconcertati dal compito di costruire un grafico come o .

Disegnare una linea retta è l'azione più comune quando si creano disegni.

La retta è discussa in dettaglio nel corso della geometria analitica e chi lo desidera può fare riferimento all'articolo Equazione di una retta su un piano.

Grafico delle funzioni quadratiche, grafico delle funzioni cubiche, grafico dei polinomi

Parabola. Grafico di una funzione quadratica () è una parabola. Consideriamo il famoso caso:

Ricordiamo alcune proprietà della funzione.

Quindi, la soluzione della nostra equazione: - è a questo punto che si trova il vertice della parabola. Perché è così può essere appreso dall'articolo teorico sulla derivata e dalla lezione sugli estremi della funzione. Nel frattempo, calcoliamo il valore corrispondente di "y":

Quindi il vertice è al punto

Ora troviamo altri punti, usando sfacciatamente la simmetria della parabola. Va notato che la funzione – non è pari, ma, tuttavia, nessuno ha cancellato la simmetria della parabola.

In che ordine trovare i punti rimanenti, penso che sarà chiaro dal tavolo finale:

Questo algoritmo la costruzione può essere definita figurativamente una "navetta" o il principio di "avanti e indietro" con Anfisa Chekhova.

Facciamo un disegno:

Dai grafici considerati, viene in mente un'altra caratteristica utile:

Per una funzione quadratica () vale quanto segue:

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto.

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso il basso.

Una conoscenza approfondita della curva può essere ottenuta nella lezione Iperbole e parabola.

La parabola cubica è data dalla funzione . Ecco un disegno familiare da scuola:

Elenchiamo le principali proprietà della funzione

Grafico delle funzioni

Rappresenta uno dei rami della parabola. Facciamo un disegno:

Le principali proprietà della funzione:

In questo caso, l'asse è asintoto verticale per il grafico dell'iperbole in .

Sarà un GRANDE errore se, quando si redige un disegno, per negligenza, si consente al grafico di intersecare l'asintoto.

Anche i limiti unilaterali, ci dicono che è un'iperbole non limitato dall'alto e non limitato dal basso.

Esploriamo la funzione all'infinito: , cioè se iniziamo a spostarci lungo l'asse a sinistra (oa destra) verso l'infinito, allora i "giochi" saranno un passo snello infinitamente vicino avvicinano allo zero e, di conseguenza, i rami dell'iperbole infinitamente vicino avvicinarsi all'asse.

Quindi l'asse è asintoto orizzontale per il grafico della funzione, se "x" tende a più o meno infinito.

La funzione è strano, il che significa che l'iperbole è simmetrica rispetto all'origine. Questo fattoè evidente dal disegno, inoltre, si può facilmente verificare analiticamente: .

Il grafico di una funzione della forma () rappresenta due rami di un'iperbole.

Se , l'iperbole si trova nel primo e nel terzo quadrante delle coordinate(vedi foto sopra).

Se , l'iperbole si trova nel secondo e nel quarto quadrante delle coordinate.

Non è difficile analizzare la regolarità specificata del luogo di residenza dell'iperbole dal punto di vista delle trasformazioni geometriche dei grafici.

Esempio 3

Costruisci il ramo destro dell'iperbole

Utilizziamo il metodo di costruzione puntuale, mentre è vantaggioso selezionare i valori in modo che si dividano completamente:

Facciamo un disegno:

Non sarà difficile costruire il ramo sinistro dell'iperbole, qui la stranezza della funzione aiuterà solo. In parole povere, nella tabella di costruzione puntuale, aggiungi mentalmente un meno a ciascun numero, metti i punti corrispondenti e disegna il secondo ramo.

Informazioni geometriche dettagliate sulla retta considerata possono essere trovate nell'articolo Iperbole e parabola.

Grafico di una funzione esponenziale

In questo paragrafo considererò subito la funzione esponenziale, poiché nei problemi di matematica superiore nel 95% dei casi è l'esponente che si verifica.

Ti ricordo che questo è numero irrazionale: , questo sarà richiesto durante la costruzione di un grafico, che, infatti, costruirò senza cerimonie. Probabilmente sono sufficienti tre punti:

Lasciamo perdere il grafico della funzione per ora, a riguardo più avanti.

Le principali proprietà della funzione:

Fondamentalmente, i grafici delle funzioni hanno lo stesso aspetto, ecc.

Devo dire che il secondo caso è meno comune nella pratica, ma si verifica, quindi ho ritenuto necessario includerlo in questo articolo.

Grafico di una funzione logaritmica

Considera una funzione con logaritmo naturale.
Facciamo un disegno a tratteggio:

Se hai dimenticato cos'è un logaritmo, fai riferimento ai libri di testo della scuola.

Le principali proprietà della funzione:

Dominio:

Intervallo di valori: .

La funzione non è limitata dall'alto: , anche se lentamente, ma il ramo del logaritmo sale all'infinito.
Esaminiamo il comportamento della funzione vicino allo zero a destra: . Quindi l'asse è asintoto verticale per il grafico della funzione con "x" tendente a zero a destra.

Assicurati di conoscere e ricordare il valore tipico del logaritmo: .

Fondamentalmente, la trama del logaritmo alla base ha lo stesso aspetto: , , (logaritmo decimale in base 10), ecc. Allo stesso tempo, più grande è la base, più piatto sarà il grafico.

Non considereremo il caso, cosa che non ricordo quando l'ultima volta che ho costruito un grafico con una tale base. Sì, e il logaritmo sembra essere un ospite molto raro nei problemi di matematica superiore.

In conclusione del paragrafo, dirò un altro fatto: Funzione esponenziale e funzione logaritmicasono due reciproci funzioni inverse . Se guardi da vicino il grafico del logaritmo, puoi vedere che questo è lo stesso esponente, solo che si trova in modo leggermente diverso.

Grafici delle funzioni trigonometriche

Come inizia il tormento trigonometrico a scuola? Correttamente. Dal seno

Tracciamo la funzione

Questa linea è chiamata sinusoide.

Ti ricordo che “pi” è un numero irrazionale:, e in trigonometria abbaglia negli occhi.

Le principali proprietà della funzione:

Questa funzione è periodico con un periodo. Cosa significa? Diamo un'occhiata al taglio. A sinistra ea destra di esso, esattamente lo stesso pezzo del grafico si ripete all'infinito.

Dominio: , ovvero per ogni valore di "x" esiste un valore seno.

Intervallo di valori: . La funzione è limitato: , cioè tutti i "giochi" si trovano rigorosamente nel segmento .
Questo non succede: o, più precisamente, succede, ma queste equazioni non hanno soluzione.

Note importanti!
1. Se al posto delle formule vedi abracadabra, svuota la cache. Come farlo nel tuo browser è scritto qui:
2. Prima di iniziare a leggere l'articolo, presta maggiormente attenzione al nostro navigatore risorsa utile per

Per capire cosa verrà scritto qui, devi sapere bene cos'è una funzione quadratica e con cosa viene mangiata. Se ti consideri un professionista delle funzioni quadratiche, benvenuto. Ma in caso contrario, dovresti leggere il thread.

Cominciamo con un piccolo controlli:

1. Che aspetto ha una funzione quadratica in forma generale (formula)?
2. Qual è il nome del grafico di una funzione quadratica?
3. In che modo il coefficiente principale influisce sul grafico di una funzione quadratica?

Se riesci a rispondere subito a queste domande, continua a leggere. Se almeno una domanda ha causato difficoltà, vai a.

Quindi, sai già come gestire una funzione quadratica, analizzare il suo grafico e costruire un grafico per punti.

Bene, eccolo qui: .

Diamo una rapida occhiata a cosa fanno. probabilità.

1. Il coefficiente senior è responsabile della "ripidezza" della parabola, o, in altre parole, della sua larghezza: più grande è la parabola più stretta (ripida) e più piccola è la parabola più ampia (piatta).
2. Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse y.
3. E il coefficiente è in qualche modo responsabile dello spostamento della parabola dal centro delle coordinate. Eccone di più ora.

Perché iniziamo sempre a costruire una parabola? Qual è il suo punto distintivo?

Questo è vertice. E come trovare le coordinate del vertice, ricordi?

L'ascissa si cerca con la seguente formula:

Così: cosa di più, temi A sinistra la parte superiore della parabola si muove.

L'ordinata di un vertice può essere trovata sostituendo nella funzione:

Sostituiti e conta. Cosa è successo?

Se fai tutto bene e semplifichi il più possibile l'espressione risultante, ottieni:

Si scopre che più modulo, temi più alto volere vertice parabole.

Infine, passiamo alla trama.
Il modo più semplice è costruire una parabola partendo dall'alto.

Esempio:

Traccia la funzione.

Decisione:

Per prima cosa, definiamo i coefficienti: .

Ora calcoliamo le coordinate del vertice:

E ora ricorda: tutte le parabole con lo stesso coefficiente guida hanno lo stesso aspetto. Quindi, se costruiamo una parabola e spostiamo il suo vertice in un punto, otteniamo il grafico di cui abbiamo bisogno:

Semplice, vero?

Rimane solo una domanda: come disegnare rapidamente una parabola? Anche se disegniamo una parabola con un vertice all'origine, dobbiamo comunque costruirla punto per punto, che è lunga e scomoda. Ma tutte le parabole sembrano uguali, forse c'è un modo per velocizzare il loro disegno?

Quando ero a scuola, il mio insegnante di matematica ha detto a tutti di ritagliare uno stencil a forma di parabola dal cartone in modo che potessero disegnarlo velocemente. Ma non sarai in grado di camminare ovunque con uno stencil e non potranno portarlo all'esame. Quindi, non useremo oggetti estranei, ma cercheremo uno schema.

Considera la parabola più semplice. Costruiamolo per punti:

La regola qui è questa. Se ci spostiamo dall'alto a destra (lungo l'asse) e verso l'alto (lungo l'asse), arriveremo al punto della parabola. Inoltre: se da questo punto ci spostiamo a destra e in su, torneremo al punto della parabola. Avanti: avanti e indietro. Qual è il prossimo? Avanti e avanti. E così via: spostati a destra e al successivo numero dispari su. Quindi facciamo lo stesso con il ramo sinistro (dopotutto, la parabola è simmetrica, cioè i suoi rami hanno lo stesso aspetto):

Ottimo, questo aiuterà a costruire qualsiasi parabola dal vertice con il coefficiente più alto uguale a. Ad esempio, abbiamo imparato che il vertice di una parabola è in un punto. Costruisci (da solo, su carta) questa parabola.

Costruito?

Dovrebbe risultare così:

Ora colleghiamo i punti ottenuti:

È tutto.

OK, bene, ora costruisci solo parabole con?

Ovviamente no. Ora scopriamo cosa fare con loro, se.

Consideriamo alcuni casi tipici.

Ottimo, abbiamo imparato a disegnare una parabola, ora facciamo pratica sulle funzioni reali.

Quindi, disegna grafici di tali funzioni:

Risposte:

3. In alto: .

Ti ricordi cosa fare se il coefficiente senior è inferiore?

Osserviamo il denominatore della frazione: è uguale. Quindi ci sposteremo in questo modo:

• proprio sopra
• proprio sopra
• proprio sopra

e anche a sinistra:

4. In alto: .

Oh, cosa farne? Come misurare le celle se il vertice è da qualche parte tra le linee?...

E noi imbrogliamo. Per prima cosa, disegniamo una parabola e solo allora spostiamo il suo vertice in un punto. Nemmeno, facciamolo ancora più complicato: disegniamo una parabola, e poi muovere gli assi:- sul giù, un - su giusto:

Questa tecnica è molto comoda nel caso di qualsiasi parabola, ricordalo.

Lascia che ti ricordi che possiamo rappresentare la funzione in questa forma:

Per esempio: .

Cosa ci dà questo?

Il fatto è che il numero tra parentesi () è l'ascissa del vertice della parabola, e il termine fuori parentesi () è l'ordinata del vertice.

Ciò significa che, dopo aver costruito una parabola, non ti resta che farlo spostare l'asse a sinistra e l'asse in basso.

Esempio: tracciamo un grafico di funzione.

Selezioniamo un quadrato intero:

Che numero sottratto tra parentesi? Questo (e non come puoi decidere senza pensare).

Quindi, costruiamo una parabola:

Ora spostiamo l'asse verso il basso, cioè verso l'alto:

E ora - a sinistra, cioè a destra:

È tutto. Questo equivale a spostare una parabola con il suo vertice dall'origine a un punto, solo l'asse rettilineo è molto più facile da spostare rispetto a una parabola storta.

Ora, come al solito, io stesso:

E non dimenticare di cancellare i vecchi assi con una gomma!

Io sono come risposte per verifica, ti scriverò le ordinate dei vertici di queste parabole:

Tutto andava bene?

Se sì, allora sei grande! Saper gestire una parabola è molto importante e utile, e qui abbiamo scoperto che non è affatto difficile.

GRAFICA DI UNA FUNZIONE QUADRATICA. IN BREVE SUL PRINCIPALE

funzione quadratica è una funzione della forma, dove, e sono tutti i numeri (coefficienti), è un membro libero.

Il grafico di una funzione quadratica è una parabola.

Parte superiore della parabola:
, cioè. più \displaystyle b è grande, più a sinistra si sposta la parte superiore della parabola.
Sostituisci nella funzione e ottieni:
, cioè. maggiore è \displaystyle b modulo , maggiore sarà la sommità della parabola

Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse y.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe, allora sei molto bravo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se hai letto fino alla fine, allora sei nel 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, è... è semplicemente super! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non bastare...

Per quello?

Per il successo superare l'esame, per l'ammissione all'istituto a bilancio e, SOPRATTUTTO, a vita.

Non ti convincerò di niente, dirò solo una cosa...

Persone che hanno ricevuto una buona educazione, guadagna molto di più di chi non lo ha ricevuto. Questa è la statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (ci sono studi del genere). Forse perché molte più opportunità si aprono davanti a loro e la vita diventa più luminosa? Non so...

Ma pensa a te stesso...

Cosa serve per essere sicuri di essere migliori degli altri durante l'esame e alla fine essere... più felici?

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