Menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan online. Ekspresi literal

Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami terlebih dahulu sumber daya yang berguna untuk

Seringkali kita mendengar ungkapan yang tidak menyenangkan ini: "sederhanakan ekspresi." Biasanya, dalam hal ini, kami memiliki beberapa jenis monster seperti ini:

"Ya, jauh lebih mudah," kata kami, tetapi jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.

Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut dengan tugas seperti itu.

Selain itu, di akhir pelajaran, Anda sendiri akan menyederhanakan contoh ini menjadi angka biasa (hanya!) (ya, persetan dengan huruf-huruf ini).

Tetapi sebelum Anda memulai pelajaran ini, Anda harus mampu berurusan dengan pecahan dan memfaktorkan polinomial.

Karena itu, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik "" dan "".

Membaca? Jika ya, maka Anda siap.

Ayo ayo!)

Operasi Penyederhanaan Ekspresi Dasar

Sekarang kita akan menganalisis teknik utama yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.

Yang paling sederhana adalah

1. Membawa yang serupa

Apa yang mirip? Anda mengalami ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka.

Serupa adalah suku-suku (monomial) dengan bagian huruf yang sama.

Misalnya, dalam penjumlahan, suku-suku sejenis adalah dan.

Ingat?

Bawa yang serupa- berarti menambahkan beberapa istilah serupa satu sama lain dan mendapatkan satu istilah.

Tapi bagaimana kita bisa menyatukan huruf? - Anda bertanya.

Ini sangat mudah dipahami jika Anda membayangkan bahwa huruf-huruf itu adalah semacam benda.

Misalnya, surat itu adalah kursi. Lalu apa ekspresinya?

Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa harganya? Betul, kursi: .

Sekarang coba ekspresi ini:

Agar tidak bingung, yuk huruf yang berbeda mewakili hal yang berbeda.

Misalnya, - ini (seperti biasa) kursi, dan - ini meja.

kursi meja kursi meja kursi kursi meja

Angka-angka dengan mana huruf-huruf dalam istilah tersebut dikalikan disebut koefisien.

Misalnya, dalam monomial koefisiennya sama. Dan dia setara.

Jadi, aturan untuk membawa yang serupa:

Contoh:

Bawa yang serupa:

Jawaban:

2. (dan serupa, karena, oleh karena itu, istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).

2. Faktorisasi

Ini biasanya bagian terpenting dalam menyederhanakan ekspresi.

Setelah Anda memberikan yang serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan diperlukan menguraikan pd pengali, yaitu mewakili sebagai produk.

Terutama ini penting dalam pecahan: karena untuk mengurangi pecahan, pembilang dan penyebut harus dinyatakan sebagai produk.

Anda telah mempelajari metode terperinci dari ekspresi pemfaktoran dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari.

Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh (Anda perlu memfaktorkan)

Contoh:

Solusi:

3. Pengurangan pecahan.

Nah, apa yang bisa lebih baik daripada mencoret bagian dari pembilang dan penyebut, dan membuangnya dari hidup Anda?

Itulah indahnya singkatan.

Itu mudah:

Jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama, mereka dapat direduksi, yaitu dikeluarkan dari pecahan.

Aturan ini mengikuti dari sifat dasar pecahan:

Artinya, inti dari operasi reduksi adalah bahwa Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu:

1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali

2) jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor umum, mereka dapat dihapus.

Contoh:

Prinsipnya, saya pikir, sudah jelas?

Saya ingin menarik perhatian pada satu kesalahan tipikal saat mengurangi. Meskipun topik ini sederhana, tetapi banyak orang melakukan kesalahan, tidak menyadarinya memotong- itu berarti membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya adalah jumlah.

Misalnya: Anda perlu menyederhanakan.

Beberapa melakukan ini: yang benar-benar salah.

Contoh lain: mengurangi.

Yang "paling pintar" akan melakukan ini:

Katakan apa yang salah di sini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, sehingga Anda dapat mengurangi.

Tapi tidak: - ini adalah faktor dari hanya satu istilah dalam pembilang, tetapi pembilang itu sendiri secara keseluruhan tidak didekomposisi menjadi faktor.

Ini contoh lain: .

Ekspresi ini diuraikan menjadi faktor-faktor, yang berarti Anda dapat mengurangi, yaitu, membagi pembilang dan penyebut dengan, dan kemudian dengan:

Anda dapat langsung membagi dengan:

Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah jalan mudah cara menentukan apakah ekspresi difaktorkan:

Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai ekspresi adalah "utama".

Artinya, jika Anda mengganti beberapa (apa saja) angka alih-alih huruf, dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir adalah perkalian, maka kami memiliki produk (ekspresi didekomposisi menjadi faktor).

Jika tindakan terakhir adalah penambahan atau pengurangan, ini berarti bahwa ekspresi tidak difaktorkan (dan karena itu tidak dapat direduksi).

Untuk memperbaikinya sendiri, beberapa contoh:

Contoh:

Solusi:

4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa adalah operasi yang terkenal: kami mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambah / mengurangi pembilangnya.

Mari kita ingat:

Jawaban:

1. Penyebut dan koprima, yaitu tidak memiliki faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari angka-angka ini sama dengan produk mereka. Ini akan menjadi penyebut umum:

2. Di sini penyebutnya adalah:

3. Di sini, pertama-tama, kami mengubah pecahan campuran menjadi pecahan yang tidak tepat, dan kemudian - sesuai dengan skema yang biasa:

Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:

Mari kita mulai dengan sederhana:

a) Penyebut tidak mengandung huruf

Di sini semuanya sama dengan pecahan numerik biasa: kami menemukan penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambahkan / mengurangi pembilangnya:

sekarang di pembilang Anda dapat membawa yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cobalah sendiri:

Jawaban:

b) Penyebutnya mengandung huruf

Mari kita ingat prinsip menemukan penyebut yang sama tanpa huruf:

Pertama-tama, kita tentukan faktor persekutuannya;

Kemudian kami menulis semua faktor umum satu kali;

dan kalikan dengan semua faktor lain, bukan faktor umum.

Untuk menentukan faktor persekutuan penyebut, pertama-tama kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana:

Kami menekankan faktor umum:

Sekarang kami menulis faktor umum satu kali dan menambahkan semua faktor non-umum (tidak digarisbawahi):

Ini adalah penyebut umum.

Mari kita kembali ke surat-surat. Penyebut diberikan dengan cara yang persis sama:

Kami menguraikan penyebut menjadi faktor;

menentukan pengganda umum (identik);

tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

Kami mengalikannya dengan semua faktor lain, bukan yang umum.

Jadi, secara berurutan:

1) uraikan penyebutnya menjadi faktor-faktor:

2) menentukan faktor-faktor umum (identik):

3) tuliskan semua faktor persekutuan satu kali dan kalikan dengan semua faktor lainnya (tidak digarisbawahi):

Jadi penyebut umum ada di sini. Pecahan pertama harus dikalikan dengan, yang kedua - dengan:

Omong-omong, ada satu trik:

Sebagai contoh: .

Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semua dengan indikator yang berbeda. Penyebut yang sama akan menjadi:

sejauh

dalam derajat.

Mari kita memperumit tugas:

Bagaimana cara membuat pecahan memiliki penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat dasar pecahan:

Tidak ada tempat yang mengatakan bahwa bilangan yang sama dapat dikurangkan (atau dijumlahkan) dari pembilang dan penyebut suatu pecahan. Karena itu tidak benar!

Lihat sendiri: ambil pecahan apa saja, misalnya, dan tambahkan beberapa angka ke pembilang dan penyebut, misalnya, . Apa yang telah dipelajari?

Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:

Ketika Anda membawa pecahan ke penyebut yang sama, gunakan hanya operasi perkalian!

Tapi apa yang Anda perlukan untuk mendapatkan?

Di sini dan berkembang biak. Dan kalikan dengan:

Ekspresi yang tidak dapat difaktorkan akan disebut "faktor elementer".

Misalnya, adalah faktor dasar. - juga. Tapi - tidak: itu didekomposisi menjadi faktor-faktor.

Bagaimana dengan ekspresi? Apakah itu dasar?

Tidak, karena dapat difaktorkan:

(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik "").

Jadi, faktor dasar di mana Anda menguraikan ekspresi dengan huruf adalah analog dari faktor sederhana yang menjadi tempat Anda menguraikan angka. Dan kami akan melakukan hal yang sama dengan mereka.

Kita melihat bahwa kedua penyebut memiliki faktor. Ini akan menjadi penyebut yang sama dalam kekuasaan (ingat mengapa?).

Penggandanya bersifat elementer, dan mereka tidak memiliki kesamaan, yang berarti bahwa pecahan pertama harus dikalikan dengannya:

Contoh lain:

Keputusan:

Sebelum mengalikan penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:

Bagus! Kemudian:

Contoh lain:

Keputusan:

Seperti biasa, kita memfaktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama, kita cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di kedua - perbedaan kotak:

Tampaknya tidak ada faktor umum. Tetapi jika Anda melihat lebih dekat, mereka sudah sangat mirip ... Dan kenyataannya adalah:

Jadi mari kita menulis:

Artinya, ternyata seperti ini: di dalam tanda kurung, kami menukar istilah, dan pada saat yang sama, tanda di depan pecahan berubah menjadi kebalikannya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.

Sekarang kita bawa ke penyebut yang sama:

Mengerti? Sekarang mari kita periksa.

Tugas untuk solusi independen:

Jawaban:

5. Perkalian dan pembagian pecahan.

Nah, bagian tersulit sekarang sudah berakhir. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama yang paling penting:

Prosedur

Bagaimana prosedur untuk menghitung ekspresi numerik? Ingat, dengan mempertimbangkan nilai ekspresi seperti itu:

Apakah Anda menghitung?

Ini harus bekerja.

Jadi, saya mengingatkan Anda.

Langkah pertama adalah menghitung derajat.

Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika ada beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, Anda dapat melakukannya dalam urutan apa pun.

Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.

Tapi: ekspresi dalam kurung dievaluasi rusak!

Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita mengevaluasi ekspresi di setiap tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.

Bagaimana jika ada tanda kurung lain di dalam tanda kurung? Nah, mari kita pikirkan: beberapa ekspresi ditulis di dalam tanda kurung. Apa hal pertama yang harus dilakukan ketika mengevaluasi ekspresi? Itu benar, hitung kurung. Yah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung dalam, lalu yang lainnya.

Jadi, urutan tindakan untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):

Oke, semuanya sederhana.

Tapi itu tidak sama dengan ekspresi dengan huruf, bukan?

Tidak, itu sama! Hanya sebagai gantinya operasi aritmatika Anda perlu melakukan aljabar, yaitu, tindakan yang dijelaskan dalam bagian sebelumnya: membawa serupa, menjumlahkan pecahan, mengurangi pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah tindakan memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat bekerja dengan pecahan). Paling sering, untuk faktorisasi, Anda perlu menggunakan i atau cukup keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Biasanya tujuan kami adalah untuk mewakili ekspresi sebagai produk atau hasil bagi.

Sebagai contoh:

Mari kita sederhanakan ekspresinya.

1) Pertama kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kami memiliki perbedaan pecahan, dan tujuan kami adalah untuk mewakilinya sebagai produk atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:

Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih lanjut, semua faktor di sini adalah dasar (apakah Anda masih ingat apa artinya ini?).

2) Kami mendapatkan:

Perkalian pecahan: apa yang bisa lebih mudah.

3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:

Itu dia. Tidak ada yang rumit, kan?

Contoh lain:

Sederhanakan ekspresi.

Pertama, coba selesaikan sendiri, dan baru kemudian lihat solusinya.

Keputusan:

Pertama-tama, mari kita tentukan prosedurnya.

Pertama, mari kita tambahkan pecahan dalam tanda kurung, alih-alih dua pecahan, satu akan menjadi.

Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Nah, kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir.

Saya akan memberi nomor skema langkah-langkahnya:

Akhirnya, saya akan memberi Anda dua tips berguna:

1. Jika ada yang serupa harus segera dibawa. Pada saat apa pun kita memiliki yang serupa, disarankan untuk segera membawanya.

2. Hal yang sama berlaku untuk pengurangan pecahan: segera setelah ada peluang untuk mengurangi, itu harus digunakan. Pengecualiannya adalah pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika ada penyebut yang sama, maka pengurangan harus dibiarkan untuk nanti.

Berikut adalah beberapa tugas untuk Anda selesaikan sendiri:

Dan berjanji di awal:

Jawaban:

Solusi (singkat):

Jika Anda mengatasi setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda, pertimbangkan, telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

KONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Operasi penyederhanaan dasar:

Membawa serupa: untuk menambah (mengurangi) suku-suku sejenis, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
Faktorisasi: mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkan, dll.
Pengurangan pecahan: pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, yang nilai pecahannya tidak berubah.
1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
2) jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan, dapat dicoret.
PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!
Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
;
Perkalian dan pembagian pecahan:
;

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus ujian, untuk masuk ke institut dengan anggaran dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, mendapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (belum tentu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Nyaman dan sederhana kalkulator online pecahan dengan solusi rinci mungkin:

Menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi pecahan online,
Menerima solusi turnkey pecahan dengan gambar dan akan lebih mudah untuk mentransfernya.

Hasil pemecahan pecahan akan ada di sini ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tanda pecahan "/" + - * :
_hapus Hapus
Kalkulator pecahan online kami memiliki input cepat. Untuk mendapatkan solusi pecahan, misalnya, tulis saja 1/2+2/7 ke dalam kalkulator dan tekan tombol " menyelesaikan pecahan". Kalkulator akan menulis Anda solusi rinci dari pecahan dan masalah gambar ramah salinan.

Karakter yang digunakan untuk menulis di kalkulator

Anda dapat mengetikkan contoh untuk solusi baik dari keyboard maupun menggunakan tombol.

Fitur kalkulator pecahan online

Kalkulator pecahan hanya dapat melakukan operasi dengan 2 pecahan sederhana. Mereka bisa benar (pembilang lebih kecil dari penyebut) atau salah (pembilang lebih besar dari penyebut). Bilangan dalam pembilang dan penyebut tidak boleh negatif dan lebih besar dari 999.
Kalkulator online kami memecahkan pecahan dan memberikan jawabannya bentuk yang benar- mengurangi fraksi dan menyoroti seluruh bagian, jika perlu.

Jika Anda perlu menyelesaikan pecahan negatif, cukup gunakan sifat minus. Saat mengalikan dan membagi pecahan negatif, minus dengan minus memberi plus. Artinya, produk dan pembagian pecahan negatif sama dengan produk dan pembagian pecahan positif yang sama. Jika satu pecahan negatif saat dikalikan atau dibagi, maka cukup hilangkan minusnya, lalu tambahkan ke jawabannya. Saat menambahkan pecahan negatif, hasilnya akan sama seperti jika Anda menambahkan pecahan positif yang sama. Jika Anda menambahkan satu pecahan negatif, maka ini sama dengan mengurangkan pecahan positif yang sama.
Saat mengurangkan pecahan negatif, hasilnya akan sama seperti jika dibalik dan dijadikan positif. Artinya, minus dengan minus dalam hal ini memberikan nilai tambah, dan jumlahnya tidak berubah dari penataan ulang istilah. Kami menggunakan aturan yang sama saat mengurangkan pecahan, salah satunya adalah negatif.

Untuk menyelesaikan pecahan campuran (pecahan di mana seluruh bagian disorot), cukup ubah seluruh bagian menjadi pecahan. Untuk melakukan ini, kalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut dan tambahkan ke pembilangnya.

Jika Anda perlu menyelesaikan 3 pecahan atau lebih secara online, Anda harus menyelesaikannya satu per satu. Pertama, hitung 2 pecahan pertama, lalu selesaikan pecahan berikutnya dengan jawaban yang diterima, dan seterusnya. Lakukan operasi secara bergiliran untuk 2 pecahan, dan pada akhirnya Anda akan mendapatkan jawaban yang benar.

Di antara berbagai ekspresi yang dipertimbangkan dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Mononomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Kami mewakili semua istilah dalam bentuk monomial tampilan standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.

Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.

Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel disusun dalam urutan menurun dari eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan kurung:

Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial

Menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) produk dari monomial dan polinomial menjadi polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.

Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.

Biasanya menggunakan aturan berikut.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih

Beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar harus ditangani lebih sering daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda telah memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat jumlah sama dengan jumlah kuadrat dan hasil ganda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasil kali.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kirinya dengan yang kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan yang kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Penyederhanaan ekspresi aljabar adalah salah satu dari poin kunci belajar aljabar dan keterampilan yang sangat berguna untuk semua matematikawan. Penyederhanaan memungkinkan Anda untuk mengurangi ekspresi kompleks atau panjang menjadi ekspresi sederhana yang mudah digunakan. Keterampilan penyederhanaan dasar baik bahkan bagi mereka yang tidak antusias dengan matematika. Menyimpan beberapa aturan sederhana, Anda dapat menyederhanakan banyak jenis ekspresi aljabar yang paling umum tanpa pengetahuan matematika khusus.

Langkah

Definisi penting

Anggota serupa. Ini adalah anggota dengan variabel dengan urutan yang sama, anggota dengan variabel yang sama, atau anggota bebas (anggota yang tidak mengandung variabel). Dengan kata lain, suku-suku sejenis mencakup satu variabel pada tingkat yang sama, mencakup beberapa variabel yang identik, atau tidak memasukkan variabel sama sekali. Urutan istilah dalam ekspresi tidak masalah.
- Misalnya, 3x 2 dan 4x 2 adalah suku sejenis karena mengandung variabel "x" dari orde kedua (dalam pangkat kedua). Namun, x dan x 2 bukanlah anggota yang serupa, karena mengandung variabel "x" dengan ordo yang berbeda (pertama dan kedua). Demikian pula, -3yx dan 5xz bukan anggota yang sama karena mengandung variabel yang berbeda.
Faktorisasi. Ini adalah menemukan nomor tersebut, produk yang mengarah ke nomor asli. Setiap nomor asli dapat memiliki beberapa faktor. Misalnya, bilangan 12 dapat diuraikan menjadi barisan faktor berikut: 1 × 12, 2 × 6 dan 3 × 4, sehingga dapat dikatakan bahwa bilangan 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 adalah faktor dari bilangan 12. Faktor-faktornya sama dengan pembagi , yaitu bilangan-bilangan yang habis dibagi bilangan asli.
- Misalnya, jika Anda ingin memfaktorkan angka 20, tuliskan seperti ini: 4×5.
- Perhatikan bahwa ketika memfaktorkan, variabel diperhitungkan. Misalnya, 20x = 4(5x).
- Bilangan prima tidak dapat difaktorkan karena hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1.
Ingat dan ikuti urutan operasi untuk menghindari kesalahan.
- Tanda kurung
- Derajat
- Perkalian
- Divisi
- Tambahan
- Pengurangan
Casting Seperti Anggota
1. Tuliskan ekspresinya. Ekspresi aljabar paling sederhana (yang tidak mengandung pecahan, akar, dan sebagainya) dapat diselesaikan (disederhanakan) hanya dalam beberapa langkah.
  - Misalnya, sederhanakan ekspresi 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Tentukan anggota serupa (anggota dengan variabel dengan ordo yang sama, anggota dengan variabel yang sama, atau anggota bebas).
  - Temukan istilah serupa dalam ungkapan ini. Suku 2x dan 4x mengandung variabel dengan ordo yang sama (pertama). Juga, 1 dan -3 adalah anggota bebas (tidak mengandung variabel). Jadi, dalam ungkapan ini, istilah 2x dan 4x serupa, dan anggotanya 1 dan -3 juga mirip.
3. Berikan anggota yang serupa. Ini berarti menambah atau menguranginya dan menyederhanakan ekspresinya.
  - 2x+4x= 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Tulis ulang ekspresi dengan mempertimbangkan istilah yang diberikan. Anda akan mendapatkan ekspresi sederhana dengan istilah yang lebih sedikit. Ekspresi baru sama dengan aslinya.
  - Dalam contoh kita: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, yaitu, ekspresi asli disederhanakan dan lebih mudah digunakan.
5. Amati urutan operasi yang dilakukan saat casting istilah yang sama. Dalam contoh kami, mudah untuk membawa istilah serupa. Namun, dalam kasus ekspresi kompleks di mana anggota diapit dalam tanda kurung dan ada pecahan dan akar, tidak mudah untuk membawa istilah seperti itu. Dalam kasus ini, ikuti urutan operasi.
  - Misalnya, perhatikan ekspresi 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Di sini akan menjadi kesalahan untuk segera mendefinisikan 3x dan 2x sebagai istilah yang sama dan mengutipnya, karena tanda kurung harus diperluas terlebih dahulu. Oleh karena itu, lakukan operasi sesuai urutannya.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sekarang, ketika ekspresi hanya berisi operasi penjumlahan dan pengurangan, Anda dapat mentransmisikan suku-suku serupa.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x2 + 12x + 3
Mengkurung pengali
1. Temukan pembagi persekutuan terbesar (gcd) dari semua koefisien ekspresi. NOD adalah nomor terbesar, dimana semua koefisien ekspresi dibagi.
  - Sebagai contoh, perhatikan persamaan 9x 2 + 27x - 3. Dalam kasus ini, gcd=3, karena setiap koefisien dari ekspresi ini habis dibagi 3.
2. Bagilah setiap suku ekspresi dengan gcd. Istilah yang dihasilkan akan berisi koefisien yang lebih kecil daripada ekspresi aslinya.
  - Dalam contoh kita, bagi setiap suku ekspresi dengan 3.
    - 9x2/3=3x2
    - 27x/3=9x
    - -3/3 = -1
    - Ternyata ekspresinya 3x2 + 9x-1. Itu tidak sama dengan ekspresi aslinya.
3. Tulis ekspresi asli sama dengan produk dari gcd kali ekspresi yang dihasilkan. Yaitu, lampirkan ekspresi yang dihasilkan dalam tanda kurung, dan keluarkan GCD dari tanda kurung.
  - Dalam contoh kita: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)
4. Menyederhanakan ekspresi pecahan dengan menghilangkan pengali dari tanda kurung. Mengapa hanya mengambil pengali dari tanda kurung, seperti yang dilakukan sebelumnya? Kemudian, untuk mempelajari cara menyederhanakan ekspresi kompleks, seperti ekspresi pecahan. Dalam hal ini, mengeluarkan faktor dari kurung dapat membantu menghilangkan pecahan (dari penyebut).
  - Misalnya, pertimbangkan ekspresi pecahan(9x 2 + 27x - 3)/3. Gunakan tanda kurung untuk menyederhanakan ekspresi ini.
    - Faktorkan faktor 3 (seperti yang Anda lakukan sebelumnya): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut sekarang memiliki angka 3. Ini dapat dikurangi, dan Anda mendapatkan ekspresi: (3x 2 + 9x - 1) / 1
    - Karena setiap pecahan yang memiliki angka 1 penyebut sama dengan pembilangnya, ekspresi pecahan asli disederhanakan menjadi: 3x2 + 9x-1.
Teknik Penyederhanaan Tambahan
Pertimbangkan contoh sederhana: (90). Angka 90 dapat diuraikan menjadi faktor-faktor berikut: 9 dan 10, dan dari 9 ekstrak Akar pangkat dua(3) dan keluarkan 3 dari bawah akar.
- √(90)
- (9×10)
- (9)×√(10)
- 3×√(10)
- 3√(10)
Menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan. Dalam beberapa ekspresi, ada operasi perkalian atau pembagian istilah dengan gelar. Dalam kasus perkalian suku dengan satu basis, derajatnya ditambahkan; dalam hal pembagian suku dengan alas yang sama, derajatnya dikurangi.
- Misalnya, perhatikan ekspresi 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Dalam kasus perkalian, tambahkan eksponen, dan dalam kasus pembagian, kurangi.
  - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
  - (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
  - 48x7+x2
- Berikut ini adalah penjelasan tentang aturan perkalian dan pembagian suku dengan derajat.
  - Mengalikan suku dengan pangkat sama dengan mengalikan suku dengan sendirinya. Misalnya, karena x 3 = x × x × x dan x 5 = x × x × x × x × x, maka x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), atau x8 .
  - Demikian pula, membagi istilah dengan kekuatan sama dengan membagi istilah itu sendiri. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Karena suku-suku serupa yang ada di pembilang dan penyebutnya dapat direduksi, hasil kali dua "x", atau x 2, tetap di pembilangnya.

Selalu waspadai tanda (plus atau minus) di depan istilah ekspresi, karena banyak orang kesulitan memilih tanda yang tepat.
Mintalah bantuan jika diperlukan!
Menyederhanakan ekspresi aljabar tidak mudah, tetapi jika Anda menguasainya, Anda dapat menggunakan keterampilan ini seumur hidup.

Ekspresi aljabar dalam catatan yang, bersama dengan operasi penambahan, pengurangan dan perkalian, juga menggunakan pembagian menjadi ekspresi literal, disebut ekspresi aljabar pecahan. Seperti itu, misalnya, ekspresi

Kami menyebut pecahan aljabar sebagai ekspresi aljabar yang berbentuk hasil bagi dari dua ekspresi aljabar bilangan bulat (misalnya, monomial atau polinomial). Seperti itu, misalnya, ekspresi

ketiga dari ekspresi).

Transformasi identitas ekspresi aljabar pecahan sebagian besar dimaksudkan untuk mewakili mereka dalam bentuk pecahan aljabar. Untuk menemukan penyebut yang sama, faktorisasi penyebut pecahan - istilah digunakan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecilnya. Saat mereduksi pecahan aljabar, identitas ekspresi yang ketat dapat dilanggar: perlu untuk mengecualikan nilai-nilai kuantitas di mana faktor pengurangan dilakukan menghilang.

Berikut beberapa contohnya transformasi identik ekspresi aljabar pecahan.

Contoh 1: Sederhanakan ekspresi