Akar persamaannya adalah pecahan. Persamaan rasional paling sederhana
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan mari kita lihat contoh. Contohnya sederhana dan ilustratif. Dengan bantuan mereka, Anda dapat memahami dengan cara yang paling mudah dipahami.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan sederhana x/b + c = d.
Persamaan jenis ini disebut linier, karena penyebut hanya berisi angka.
Penyelesaian dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan b, maka persamaan tersebut berbentuk x = b*(d – c), yaitu penyebut pecahan di ruas kiri dikurangi.
Misalnya, bagaimana menyelesaikan persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kami mengalikan kedua bagian dengan 5. Kami mendapatkan:
x+20=45
x=45-20=25
Contoh lain di mana yang tidak diketahui ada di penyebut:
Persamaan jenis ini disebut pecahan rasional atau sederhananya pecahan.
Kami akan memecahkan persamaan pecahan dengan menghilangkan pecahan, setelah itu persamaan ini, paling sering, berubah menjadi persamaan linier atau kuadrat, yang diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya harus mempertimbangkan poin-poin berikut:
- nilai variabel yang mengubah penyebut menjadi 0 tidak bisa menjadi akar;
- Anda tidak dapat membagi atau mengalikan persamaan dengan ekspresi =0.
Di sinilah konsep seperti wilayah nilai yang diizinkan (ODZ) mulai berlaku - ini adalah nilai dari akar persamaan yang persamaannya masuk akal.
Dengan demikian, memecahkan persamaan, perlu untuk menemukan akarnya, dan kemudian memeriksanya untuk memenuhi ODZ. Akar yang tidak sesuai dengan DHS kami dikeluarkan dari jawaban.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:
Berdasarkan aturan di atas, x tidak bisa = 0, yaitu. ODZ dalam hal ini: x - nilai apa pun selain nol.
Kami menghilangkan penyebut dengan mengalikan semua suku persamaan dengan x
Dan selesaikan persamaan biasa
5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3
Jawaban: x = 1/3
Mari kita selesaikan persamaan yang lebih rumit:
ODZ juga hadir di sini: x -2.
Memecahkan persamaan ini, kami tidak akan mentransfer semuanya dalam satu arah dan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Kami segera mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi yang akan mengurangi semua penyebut sekaligus.
Untuk mengurangi penyebut, Anda perlu mengalikan ruas kiri dengan x + 2, dan ruas kanan dengan 2. Jadi, kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan 2 (x + 2):
Ini adalah perkalian pecahan yang paling umum, yang telah kita bahas di atas.
Kami menulis persamaan yang sama, tetapi dengan cara yang sedikit berbeda.
Ruas kiri dikurangi (x + 2), dan ruas kanan dikurangi 2. Setelah pengurangan, kita mendapatkan persamaan linier biasa:
x \u003d 4 - 2 \u003d 2, yang sesuai dengan ODZ kami
Jawab: x = 2.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesulit kelihatannya. Dalam artikel ini, kami telah menunjukkan ini dengan contoh. Jika Anda mengalami kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, lalu berhenti berlangganan di komentar.
Presentasi dan pelajaran dengan topik: "Persamaan rasional. Algoritma dan contoh untuk menyelesaikan persamaan rasional"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 8
Manual untuk buku teks Makarychev Yu.N. Manual untuk buku teks Mordkovich A.G.
Pengantar persamaan irasional
Teman-teman, kami belajar cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Tetapi matematika tidak terbatas pada mereka. Hari ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan persamaan rasional. konsep persamaan rasional mirip banget sama konsepnya angka rasional. Hanya selain angka, sekarang kami telah memperkenalkan beberapa variabel $x$. Dan dengan demikian kita mendapatkan ekspresi di mana ada operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan peningkatan ke bilangan bulat.Misalkan $r(x)$ menjadi ekspresi rasional
. Ekspresi seperti itu dapat berupa polinomial sederhana dalam variabel $x$ atau rasio polinomial (operasi pembagian diperkenalkan, seperti untuk bilangan rasional).
Persamaan $r(x)=0$ disebut persamaan rasional.
Persamaan apapun dari bentuk $p(x)=q(x)$, di mana $p(x)$ dan $q(x)$ adalah ekspresi rasional, juga akan menjadi persamaan rasional.
Perhatikan contoh penyelesaian persamaan rasional.
Contoh 1Selesaikan persamaan: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Larutan.
Mari pindahkan semua ekspresi ke sisi kiri: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jika bilangan biasa diwakili di sisi kiri persamaan, maka kita akan membawa dua pecahan ke penyebut yang sama.
Mari lakukan ini: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Kami mendapatkan persamaan: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Pecahan sama dengan nol jika dan hanya jika pembilangnya nol, dan penyebutnya berbeda dengan nol. Kemudian secara terpisah samakan pembilangnya dengan nol dan temukan akar-akar pembilangnya.
$3(x^2+2x-3)=0$ atau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sekarang mari kita periksa penyebut pecahan: $(x-3)*x≠0$.
Hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika paling sedikit salah satu bilangan tersebut sama dengan nol. Kemudian: $x≠0$ atau $x-3≠0$.
$x≠0$ atau $x≠3$.
Akar yang diperoleh dari pembilang dan penyebut tidak sama. Jadi sebagai tanggapan kami menuliskan kedua akar pembilang.
Jawaban: $x=1$ atau $x=-3$.
Jika tiba-tiba salah satu akar pembilang bertepatan dengan akar penyebut, maka itu harus dikecualikan. Akar seperti itu disebut asing!
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:
1. Semua ekspresi yang terkandung dalam persamaan harus ditransfer ke sisi kiri dari tanda sama dengan.2. Ubah bagian persamaan ini menjadi pecahan aljabar: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Samakan pembilang yang dihasilkan dengan nol, yaitu, selesaikan persamaan $p(x)=0$.
4. Samakan penyebutnya dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan. Jika akar penyebut bertepatan dengan akar pembilang, maka mereka harus dikeluarkan dari jawaban.
Contoh 2
Selesaikan persamaan: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Larutan.
Kami akan memecahkan sesuai dengan poin dari algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Samakan pembilangnya dengan nol: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Samakan penyebutnya dengan nol:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dan $x=-1$.
Salah satu akar $x=1$ bertepatan dengan akar pembilang, maka kita tidak menuliskannya sebagai jawaban.
Jawaban: $x=-1$.
Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional menggunakan metode perubahan variabel. Mari kita tunjukkan.
Contoh 3
Selesaikan persamaan: $x^4+12x^2-64=0$.
Larutan.
Kami memperkenalkan pengganti: $t=x^2$.
Maka persamaan kita akan berbentuk:
$t^2+12t-64=0$ adalah persamaan kuadrat biasa.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Mari kita perkenalkan pengganti terbalik: $x^2=4$ atau $x^2=-16$.
Akar persamaan pertama adalah sepasang angka $x=±2$. Yang kedua tidak memiliki akar.
Jawaban: $x=±2$.
Contoh 4
Selesaikan persamaan: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Larutan.
Mari kita perkenalkan variabel baru: $t=x^2+x+1$.
Maka persamaannya akan berbentuk: $t=\frac(15)(t+2)$.
Selanjutnya, kita akan bertindak sesuai dengan algoritma.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - akarnya tidak cocok.
Kami memperkenalkan substitusi terbalik.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Mari kita selesaikan setiap persamaan secara terpisah:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - tidak akar.
Dan persamaan kedua: $x^2+x-2=0$.
Berakar persamaan yang diberikan akan ada angka $x=-2$ dan $x=1$.
Jawaban: $x=-2$ dan $x=1$.
Contoh 5
Selesaikan persamaan: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Larutan.
Kami memperkenalkan pengganti: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kemudian:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ atau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Kami mendapatkan persamaan: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Akar persamaan ini adalah pasangan:
$t=-3$ dan $t=2$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Kami akan memutuskan secara terpisah.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Selesaikan persamaan kedua:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Akar persamaan ini adalah bilangan $x=1$.
Jawaban: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Tugas untuk solusi independen
Selesaikan Persamaan:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
Kami memperkenalkan persamaan di atas dalam 7. Pertama, kami mengingat apa itu ekspresi rasional. Dia - ekspresi aljabar, terdiri dari angka dan variabel x menggunakan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponen dengan eksponen alami.
Jika r(x) adalah ekspresi rasional, maka persamaan r(x) = 0 disebut persamaan rasional.
Namun, dalam praktiknya, lebih nyaman menggunakan sedikit lebih banyak interpretasi luas istilah "persamaan rasional": ini adalah persamaan dalam bentuk h(x) = q(x), di mana h(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional.
Sampai sekarang, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan rasional apa pun, tetapi hanya satu yang, sebagai hasil dari berbagai transformasi dan penalaran, direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang kemungkinan kita jauh lebih besar: kita akan dapat memecahkan persamaan rasional, yang tidak hanya tereduksi menjadi linier
mu, tetapi juga untuk persamaan kuadrat.
Ingat bagaimana kita memecahkan persamaan rasional sebelumnya dan mencoba merumuskan algoritma solusi.
Contoh 1 selesaikan persamaannya
Larutan. Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk
Dalam hal ini, seperti biasa, kami menggunakan fakta bahwa persamaan A \u003d B dan A - B \u003d 0 menyatakan hubungan yang sama antara A dan B. Ini memungkinkan kami untuk mentransfer suku ke sisi kiri persamaan dengan tanda yang berlawanan.
Mari kita lakukan transformasi ruas kiri persamaan. Kita punya
Ingat kondisi kesetaraan pecahan nol: jika, dan hanya jika, dua hubungan terpenuhi secara bersamaan:
1) pembilang pecahan adalah nol (a = 0); 2) penyebut pecahan berbeda dengan nol).
Menyamakan dengan nol pembilang pecahan di ruas kiri persamaan (1), kita peroleh
Tinggal memeriksa pemenuhan syarat kedua yang disebutkan di atas. Rasio berarti untuk persamaan (1) bahwa . Nilai x 1 = 2 dan x 2 = 0,6 memenuhi hubungan yang ditunjukkan dan oleh karena itu berfungsi sebagai akar persamaan (1), dan pada saat yang sama akar persamaan yang diberikan.
1) Ubah persamaan menjadi bentuk
2) Mari kita lakukan transformasi ruas kiri persamaan ini:
(bersamaan mengubah tanda di pembilang dan
pecahan).
Lewat sini, persamaan yang diberikan mengambil bentuk
3) Selesaikan persamaan x 2 - 6x + 8 = 0. Temukan
4) Untuk nilai yang ditemukan, periksa kondisinya 
. Angka 4 memenuhi syarat ini, tetapi angka 2 tidak. Jadi 4 adalah akar dari persamaan yang diberikan, dan 2 adalah akar asing.
Jawaban: 4.
2. Penyelesaian persamaan rasional dengan memasukkan variabel baru
Metode memperkenalkan variabel baru sudah tidak asing lagi bagi Anda, kami telah menggunakannya lebih dari sekali. Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana digunakan dalam memecahkan persamaan rasional.
Contoh 3 Selesaikan persamaan x 4 + x 2 - 20 = 0.
Larutan. Kami memperkenalkan variabel baru y \u003d x 2. Karena x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, maka persamaan yang diberikan dapat ditulis ulang dalam bentuk
y 2 + y - 20 = 0.
Ini adalah persamaan kuadrat, yang akar-akarnya akan kita temukan menggunakan persamaan yang diketahui rumus; kita dapatkan y 1 = 4, y 2 = - 5.
Tetapi y \u003d x 2, yang berarti bahwa masalahnya telah direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Dari persamaan pertama kita menemukan persamaan kedua tidak memiliki akar.
Menjawab: .
Persamaan bentuk ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 disebut persamaan biquadratic ("bi" - dua, yaitu, seolah-olah, persamaan "dua kali persegi"). Persamaan yang baru saja diselesaikan benar-benar biquadratic. Persamaan biquadratic apa pun diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan dari contoh 3: variabel baru y \u003d x 2 diperkenalkan, persamaan kuadrat yang dihasilkan diselesaikan sehubungan dengan variabel y, dan kemudian dikembalikan ke variabel x.
Contoh 4 selesaikan persamaannya
Larutan. Perhatikan bahwa ekspresi yang sama x 2 + 3x muncul dua kali di sini. Oleh karena itu, masuk akal untuk memperkenalkan variabel baru y = x 2 + Zx. Ini akan memungkinkan kita untuk menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih sederhana dan lebih menyenangkan (yang sebenarnya adalah tujuan untuk memperkenalkan persamaan baru. variabel- dan merekam lebih mudah
, dan struktur persamaan menjadi lebih jelas):
Dan sekarang kita akan menggunakan algoritma untuk memecahkan persamaan rasional.
1) Mari kita pindahkan semua suku persamaan menjadi satu bagian:
= 0
2) Mari kita ubah ruas kiri persamaan
Jadi, kami telah mengubah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk
3) Dari persamaan - 7y 2 + 29y -4 = 0 kami menemukan (kami telah memecahkan cukup banyak persamaan kuadrat, jadi mungkin tidak layak untuk selalu memberikan perhitungan terperinci di buku teks).
4) Mari kita periksa akar yang ditemukan menggunakan kondisi 5 (y - 3) (y + 1). Kedua akar memenuhi kondisi ini.
Jadi, persamaan kuadrat untuk variabel baru y diselesaikan: 
Karena y \u003d x 2 + Zx, dan y, seperti yang telah kita tetapkan, mengambil dua nilai: 4 dan, - kita masih harus menyelesaikan dua persamaan: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Akar persamaan pertama adalah angka 1 dan - 4, akar persamaan kedua adalah angka
Dalam contoh-contoh yang dipertimbangkan, metode memperkenalkan variabel baru, seperti yang sering dikatakan oleh para matematikawan, memadai untuk situasi itu, yaitu, cocok dengannya. Mengapa? Ya, karena ekspresi yang sama jelas ditemui dalam persamaan beberapa kali dan masuk akal untuk menunjuk ekspresi ini dengan huruf baru. Tetapi ini tidak selalu terjadi, terkadang variabel baru "muncul" hanya dalam proses transformasi. Inilah yang akan terjadi pada contoh berikutnya.
Contoh 5 selesaikan persamaannya
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Larutan. Kita punya
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Jadi persamaan yang diberikan dapat ditulis ulang sebagai
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Sekarang variabel baru telah "muncul": y = x 2 - Zx.
Dengan bantuannya, persamaan dapat ditulis ulang dalam bentuk y (y + 2) \u003d 24 dan kemudian y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Akar persamaan ini adalah angka 4 dan -6.
Kembali ke variabel asli x, kami memperoleh dua persamaan x 2 - Zx \u003d 4 dan x 2 - Zx \u003d - 6. Dari persamaan pertama kami menemukan x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; persamaan kedua tidak memiliki akar.
Jawaban: 4, - 1.
Mari berkenalan dengan persamaan rasional rasional dan fraksional, memberikan definisinya, memberikan contoh, dan juga menganalisis jenis masalah yang paling umum.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Persamaan Rasional: Pengertian dan Contoh
Berkenalan dengan ekspresi rasional dimulai di kelas 8 sekolah. Pada saat ini, dalam pelajaran aljabar, siswa semakin mulai memenuhi tugas dengan persamaan yang mengandung ekspresi rasional dalam catatan mereka. Mari kita segarkan ingatan kita tentang apa itu.
Definisi 1
persamaan rasional adalah persamaan di mana kedua sisi mengandung ekspresi rasional.
Dalam berbagai manual, Anda dapat menemukan kata-kata lain.
Definisi 2
persamaan rasional- ini adalah persamaan, catatan sisi kiri yang berisi ekspresi rasional, dan yang kanan berisi nol.
Definisi yang telah kami berikan untuk persamaan rasional adalah ekuivalen, karena keduanya memiliki arti yang sama. Kebenaran kata-kata kami dikonfirmasi oleh fakta bahwa untuk ekspresi rasional apa pun P dan Q persamaan P=Q dan P Q = 0 akan menjadi ekspresi yang setara.
Sekarang mari kita beralih ke contoh.
Contoh 1
Persamaan rasional:
x = 1 , 2 x 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Persamaan rasional, seperti persamaan jenis lainnya, dapat berisi sejumlah variabel dari 1 hingga beberapa. Untuk memulainya, kami akan mempertimbangkan contoh sederhana, di mana persamaan hanya akan berisi satu variabel. Dan kemudian kita mulai secara bertahap memperumit tugas.
Persamaan rasional dibagi menjadi dua kelompok besar: bilangan bulat dan pecahan. Mari kita lihat persamaan mana yang akan berlaku untuk masing-masing grup.
Definisi 3
Persamaan rasional akan menjadi bilangan bulat jika catatan bagian kiri dan kanannya berisi seluruh ekspresi rasional.
Definisi 4
Persamaan rasional akan menjadi pecahan jika salah satu atau kedua bagiannya mengandung pecahan.
Persamaan rasional pecahan harus mengandung pembagian oleh variabel, atau variabel hadir dalam penyebut. Tidak ada pembagian seperti itu dalam menulis persamaan bilangan bulat.
Contoh 2
3 x + 2 = 0 dan (x + y) (3 x 2 1) + x = y + 0 , 5 adalah seluruh persamaan rasional. Di sini kedua bagian persamaan diwakili oleh ekspresi bilangan bulat.
1 x - 1 = x 3 dan x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x 1) : 5 adalah persamaan rasional fraksional.
Seluruh persamaan rasional termasuk persamaan linier dan kuadrat.
Memecahkan seluruh persamaan
Solusi dari persamaan tersebut biasanya direduksi menjadi transformasinya menjadi persamaan aljabar yang setara. Hal ini dapat dicapai dengan melakukan transformasi setara dari persamaan sesuai dengan algoritma berikut:
- pertama kita mendapatkan nol di sisi kanan persamaan, untuk ini perlu untuk mentransfer ekspresi yang ada di sisi kanan persamaan ke sisi kirinya dan mengubah tanda;
- kemudian kita ubah ekspresi di ruas kiri persamaan menjadi polinomial tampilan standar.
Kita harus mendapatkan persamaan aljabar. Persamaan ini akan setara dengan persamaan aslinya. Kasus mudah memungkinkan kita untuk menyelesaikan masalah dengan mereduksi seluruh persamaan menjadi persamaan linier atau kuadrat. Dalam kasus umum, kami memecahkan persamaan aljabar derajat n.
Contoh 3
Hal ini diperlukan untuk menemukan akar dari seluruh persamaan 3 (x + 1) (x 3) = x (2 x 1) 3.
Larutan
Mari kita mengubah ekspresi asli untuk mendapatkan persamaan aljabar yang setara dengannya. Untuk melakukan ini, kita akan memindahkan ekspresi yang terdapat di ruas kanan persamaan ke ruas kiri dan mengubah tandanya menjadi kebalikannya. Hasilnya, kita mendapatkan: 3 (x + 1) (x 3) x (2 x 1) + 3 = 0.
Sekarang kita akan mengubah ekspresi, yang ada di sisi kiri, menjadi polinomial dari bentuk standar dan perform tindakan yang diperlukan dengan polinomial ini:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
Kami berhasil mengurangi solusi dari persamaan asli menjadi solusi persamaan kuadrat jenis x 2 5 x 6 = 0. Diskriminan persamaan ini positif: D = (− 5) 2 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ini berarti akan ada dua akar real. Mari kita temukan mereka menggunakan rumus akar persamaan kuadrat:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 atau x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 atau x 2 = - 1
Mari kita periksa kebenaran akar persamaan yang kita temukan dalam penyelesaian. Untuk nomor ini, yang kami terima, kami mensubstitusikan ke dalam persamaan asli: 3 (6 + 1) (6 3) = 6 (2 6 1) 3 dan 3 (− 1 + 1) (− 1 3) = (− 1) (2 (− 1) 1) 3. Dalam kasus pertama 63 = 63 , di detik 0 = 0 . Akar x=6 dan x = 1 memang akar persamaan yang diberikan dalam kondisi contoh.
Menjawab: 6 , − 1 .
Mari kita lihat apa yang dimaksud dengan "kekuatan seluruh persamaan". Kita akan sering menemukan istilah ini dalam kasus-kasus ketika kita perlu merepresentasikan seluruh persamaan dalam bentuk aljabar. Mari kita definisikan konsepnya.
Definisi 5
Derajat persamaan bilangan bulat adalah gelar persamaan aljabar, yang setara dengan seluruh persamaan asli.
Jika Anda melihat persamaan dari contoh di atas, Anda dapat menetapkan: derajat seluruh persamaan ini adalah yang kedua.
Jika kursus kami terbatas pada penyelesaian persamaan tingkat kedua, maka pembahasan topik dapat diselesaikan di sini. Tapi semuanya tidak begitu sederhana. Memecahkan persamaan tingkat ketiga penuh dengan kesulitan. Dan untuk persamaan di atas derajat keempat, itu tidak ada sama sekali rumus umum akar. Dalam hal ini, penyelesaian seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan derajat lainnya mengharuskan kita menggunakan sejumlah teknik dan metode lain.
Pendekatan yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Algoritma tindakan dalam hal ini adalah sebagai berikut:
- kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke sisi kiri sehingga nol tetap berada di sisi kanan catatan;
- kami mewakili ekspresi di sisi kiri sebagai produk faktor, dan kemudian kami beralih ke satu set beberapa persamaan yang lebih sederhana.
Temukan solusi dari persamaan (x 2 1) (x 2 10 x + 13) = 2 x (x 2 10 x + 13) .
Larutan
Kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan catatan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan: (x 2 1) (x 2 10 x + 13) 2 x (x 2 10 x + 13) = 0. Mengonversi ruas kiri ke polinomial bentuk standar tidak praktis karena fakta bahwa ini akan memberi kita persamaan aljabar derajat keempat: x 4 12 x 3 + 32 x 2 16 x 13 = 0. Kemudahan transformasi tidak membenarkan semua kesulitan dengan memecahkan persamaan seperti itu.
Jauh lebih mudah untuk pergi ke arah lain: kita menghilangkan faktor umum x 2 10 x + 13 . Jadi kita sampai pada persamaan bentuk (x 2 10 x + 13) (x 2 2 x 1) = 0. Sekarang kita ganti persamaan yang dihasilkan dengan satu set dua persamaan kuadrat x 2 10 x + 13 = 0 dan x 2 2 x 1 = 0 dan cari akarnya melalui diskriminan: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Menjawab: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Demikian pula, kita dapat menggunakan metode memperkenalkan variabel baru. Metode ini memungkinkan kita untuk melewati persamaan setara dengan kekuatan lebih rendah daripada yang ada di seluruh persamaan asli.
Contoh 5
Apakah persamaan memiliki akar? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = 2 (x 2 + 3 x 4)?
Larutan
Jika sekarang kita mencoba mereduksi seluruh persamaan rasional menjadi persamaan aljabar, kita akan mendapatkan persamaan derajat 4, yang tidak memiliki akar rasional. Oleh karena itu, akan lebih mudah bagi kita untuk pergi ke arah lain: perkenalkan variabel baru y, yang akan menggantikan ekspresi dalam persamaan x2 + 3x.
Sekarang kita akan bekerja dengan seluruh persamaan (y + 1) 2 + 10 = 2 (y 4). Kami mentransfer sisi kanan persamaan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan dan melakukan transformasi yang diperlukan. Kita mendapatkan: y 2 + 4 y + 3 = 0. Mari kita cari akar persamaan kuadrat: y = 1 dan y = 3.
Sekarang mari kita lakukan substitusi terbalik. Kami mendapatkan dua persamaan x 2 + 3 x = 1 dan x 2 + 3 x = - 3 . Mari kita tulis ulang menjadi x 2 + 3 x + 1 = 0 dan x 2 + 3 x + 3 = 0. Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akar persamaan pertama yang diperoleh: - 3 ± 5 2 . Diskriminan persamaan kedua adalah negatif. Ini berarti persamaan kedua tidak memiliki akar real.
Menjawab:- 3 ± 5 2
Persamaan bilangan bulat derajat tinggi cukup sering ditemukan dalam masalah. Tidak perlu takut pada mereka. Anda harus siap untuk menerapkan metode non-standar untuk menyelesaikannya, termasuk sejumlah transformasi buatan.
Penyelesaian persamaan rasional fraksional
Kami memulai pembahasan subtopik ini dengan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional dalam bentuk p (x) q (x) = 0 , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional bilangan bulat. Solusi persamaan rasional fraksional lainnya selalu dapat direduksi menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.
Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan p (x) q (x) = 0 didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik kamu v, di mana v adalah bilangan yang berbeda dengan nol, sama dengan nol hanya dalam hal pembilang pecahan sama dengan nol. Mengikuti logika pernyataan di atas, kita dapat menyatakan bahwa solusi dari persamaan p (x) q (x) = 0 dapat direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi: p(x)=0 dan q(x) 0. Pada ini, sebuah algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional dalam bentuk p (x) q (x) = 0 dibangun:
- kami menemukan solusi dari seluruh persamaan rasional p(x)=0;
- kami memeriksa apakah kondisinya terpenuhi untuk akar yang ditemukan selama penyelesaian q(x) 0.
Jika kondisi ini terpenuhi, maka root ditemukan, jika tidak, maka root bukanlah solusi dari masalah.
Contoh 6
Cari akar persamaan 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Larutan
Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan dalam bentuk p (x) q (x) = 0 , di mana p (x) = 3 · x 2 , q (x) = 5 · x 2 2 = 0 . Mari kita mulai memecahkan persamaan linear 3 x - 2 = 0. Akar persamaan ini adalah x = 2 3.
Mari kita periksa root yang ditemukan, apakah memenuhi kondisi 5 x 2 - 2 0. Untuk melakukan ini, substitusikan nilai numerik ke dalam ekspresi. Kami mendapatkan: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 0.
Kondisi terpenuhi. Ini berarti bahwa x = 2 3 adalah akar dari persamaan awal.
Menjawab: 2 3 .
Ada pilihan lain untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan p (x) q (x) = 0 . Ingatlah bahwa persamaan ini setara dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dari persamaan asli. Hal ini memungkinkan kita untuk menggunakan algoritma berikut dalam menyelesaikan persamaan p(x) q(x) = 0:
- selesaikan persamaannya p(x)=0;
- temukan kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x ;
- kami mengambil akar yang terletak di wilayah nilai yang dapat diterima dari variabel x sebagai akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.
Selesaikan persamaan x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .
Larutan
Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratnya x 2 2 x 11 = 0. Untuk menghitung akarnya, kami menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap. Kita mendapatkan D 1 = (− 1) 2 1 (− 11) = 12, dan x = 1 ± 2 3 .
Sekarang kita dapat menemukan ODV dari x untuk persamaan asli. Ini semua adalah nomor yang x 2 + 3 x 0. Ini sama dengan x (x + 3) 0, dari mana x 0, x 3 .
Sekarang mari kita periksa apakah akar x = 1 ± 2 3 yang diperoleh pada tahap pertama dari solusi berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x . Kami melihat apa yang masuk. Ini berarti bahwa persamaan rasional pecahan asli memiliki dua akar x = 1 ± 2 3 .
Menjawab: x = 1 ± 2 3
Metode solusi kedua dijelaskan lebih mudah dari yang pertama dalam kasus di mana mudah untuk menemukan luas nilai yang dapat diterima dari variabel x, dan akar persamaan p(x)=0 irasional. Misalnya, 7 ± 4 26 9 . Akar bisa rasional, tetapi dengan pembilang atau penyebut yang besar. Sebagai contoh, 127 1101 dan − 31 59 . Ini menghemat waktu untuk memeriksa kondisi. q(x) 0: jauh lebih mudah untuk mengecualikan akar yang tidak sesuai, menurut ODZ.
Ketika akar-akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, lebih bijaksana untuk menggunakan yang pertama dari algoritma yang dijelaskan untuk memecahkan persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 . Menemukan akar seluruh persamaan lebih cepat p(x)=0, dan kemudian periksa apakah kondisinya terpenuhi untuk mereka q(x) 0, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian memecahkan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Ini disebabkan oleh fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.
Contoh 8
Cari akar persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .
Larutan
Kita mulai dengan mempertimbangkan seluruh persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 dan menemukan akarnya. Untuk melakukan ini, kami menerapkan metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi. Ternyata persamaan awal ekuivalen dengan himpunan empat persamaan 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, yang tiga di antaranya linier dan satu persegi. Kami menemukan akarnya: dari persamaan pertama x = 1 2, dari yang kedua x=6, dari yang ketiga - x \u003d 7, x \u003d - 2, dari yang keempat - x = 1.
Mari kita periksa akar yang diperoleh. Sulit bagi kita untuk menentukan ODZ dalam kasus ini, karena untuk ini kita harus menyelesaikan persamaan aljabar derajat kelima. Akan lebih mudah untuk memeriksa kondisi di mana penyebut pecahan, yang ada di sisi kiri persamaan, tidak boleh hilang.
Pada gilirannya, gantikan akar di tempat variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 + 57 x 3 13 x 2 + 26 x + 112 dan hitung nilainya:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 0;
6 5 15 6 4 + 57 6 3 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0 ;
7 5 15 7 4 + 57 7 3 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = 720 0 ;
(− 1) 5 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
Verifikasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk menetapkan bahwa akar dari persamaan rasional pecahan asli adalah 1 2 , 6 dan − 2 .
Menjawab: 1 2 , 6 , - 2
Contoh 9
Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .
Larutan
Mari kita mulai dengan persamaan (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Mari kita temukan akarnya. Lebih mudah bagi kita untuk merepresentasikan persamaan ini sebagai kombinasi persamaan kuadrat dan linier 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 dan x 2 = 0.
Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya. Kami mendapatkan dua akar x = 7 ± 69 10 dari persamaan pertama, dan dari yang kedua x=2.
Mengganti nilai akar ke dalam persamaan asli untuk memeriksa kondisinya akan cukup sulit bagi kita. Akan lebih mudah untuk menentukan LPV dari variabel x . Dalam hal ini, DPV dari variabel x adalah semua bilangan, kecuali yang memenuhi syarat x 2 + 5 x 14 = 0. Didapatkan: x - , - 7 - 7 , 2 2 , + .
Sekarang mari kita periksa apakah akar yang kita temukan termasuk dalam rentang nilai yang dapat diterima untuk variabel x.
Akar x = 7 ± 69 10 - termasuk, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2- bukan milik, oleh karena itu, ini adalah akar asing.
Menjawab: x = 7 ± 69 10 .
Mari kita periksa secara terpisah kasus-kasus ketika pembilang dari persamaan rasional pecahan bentuk p (x) q (x) = 0 berisi angka. Dalam kasus seperti itu, jika pembilangnya berisi angka selain nol, maka persamaan tidak akan memiliki akar. Jika angka ini sama dengan nol, maka akar persamaan akan berupa angka apa pun dari ODZ.
Contoh 10
Selesaikan persamaan rasional pecahan - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .
Larutan
Persamaan ini tidak akan memiliki akar, karena pembilang pecahan dari ruas kiri persamaan berisi bilangan bukan nol. Ini berarti bahwa untuk setiap nilai x, nilai pecahan yang diberikan dalam kondisi masalah tidak akan sama dengan nol.
Menjawab: tidak ada akar.
Contoh 11
Selesaikan persamaan 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Larutan
Karena pembilang pecahan adalah nol, solusi persamaan akan berupa nilai x dari variabel ODZ x.
Sekarang mari kita definisikan ODZ. Ini akan mencakup semua nilai x yang untuknya x 4 + 5 x 3 0. Solusi persamaan x 4 + 5 x 3 = 0 adalah 0 dan − 5 , karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) = 0, dan itu, pada gilirannya, setara dengan himpunan dua persamaan x 3 = 0 dan x + 5 = 0 di mana akar ini terlihat. Kami sampai pada kesimpulan bahwa rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali x=0 dan x = -5.
Ternyata persamaan rasional pecahan 0 x 4 + 5 x 3 = 0 memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan - 5.
Menjawab: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Sekarang mari kita bicara tentang persamaan rasional fraksional dari bentuk arbitrer dan metode untuk menyelesaikannya. Mereka dapat ditulis sebagai r(x) = s(x), di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Solusi persamaan tersebut direduksi menjadi solusi persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 .
Kita sudah tahu bahwa kita bisa mendapatkan persamaan setara dengan mentransfer ekspresi dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan. Ini berarti persamaan r(x) = s(x) setara dengan persamaan r (x) s (x) = 0. Kami juga telah membahas bagaimana mengubah ekspresi rasional menjadi pecahan rasional. Berkat ini, kita dapat dengan mudah mengubah persamaan r (x) s (x) = 0 ke dalam pecahan rasional identik dari bentuk p (x) q (x) .
Jadi kita pindah dari persamaan rasional pecahan asli r(x) = s(x) ke persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 , yang telah kita pelajari cara menyelesaikannya.
Perlu dicatat bahwa ketika membuat transisi dari r (x) s (x) = 0 ke p (x) q (x) = 0 dan kemudian ke p(x)=0 kami mungkin tidak memperhitungkan perluasan rentang nilai valid dari variabel x .
Cukup realistis bahwa persamaan aslinya r(x) = s(x) dan persamaan p(x)=0 sebagai hasil dari transformasi, mereka akan berhenti menjadi setara. Maka solusi persamaan p(x)=0 dapat memberi kita akar yang akan asing bagi r(x) = s(x). Dalam hal ini, dalam setiap kasus perlu dilakukan pemeriksaan dengan salah satu metode yang dijelaskan di atas.
Untuk memudahkan Anda mempelajari topik, kami telah menggeneralisasi semua informasi ke dalam algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dalam bentuk r(x) = s(x):
- kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan dan mendapatkan nol di sebelah kanan;
- kami mengubah ekspresi asli menjadi pecahan rasional p (x) q (x) dengan melakukan tindakan secara berurutan dengan pecahan dan polinomial;
- selesaikan persamaannya p(x)=0;
- kami mengungkapkan akar asing dengan memeriksa milik mereka ke ODZ atau dengan mengganti ke persamaan asli.
Secara visual, rangkaian tindakan akan terlihat seperti ini:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → putus sekolah r o n d e r o n s
Contoh 12
Memecahkan persamaan rasional pecahan x x + 1 = 1 x + 1 .
Larutan
Mari kita beralih ke persamaan x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Mari kita ubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan ke bentuk p (x) q (x) .
Untuk melakukan ini, kita harus mengurangi pecahan rasional menjadi penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
Untuk mencari akar persamaan - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan 2 x 1 = 0. Kami mendapatkan satu root x = - 1 2.
Tetap bagi kami untuk melakukan pemeriksaan dengan salah satu metode. Mari kita pertimbangkan keduanya.
Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan awal. Kami mendapatkan - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Kami telah sampai pada persamaan numerik yang benar − 1 = − 1 . Ini berarti bahwa x = 1 2 adalah akar dari persamaan awal.
Sekarang kita akan memeriksa melalui ODZ. Mari kita tentukan rentang nilai yang dapat diterima untuk variabel x . Ini akan menjadi seluruh himpunan angka, kecuali untuk 1 dan 0 (bila x = 1 dan x = 0, penyebut pecahan hilang). Akar yang kita dapatkan x = 1 2 milik ODZ. Ini berarti bahwa itu adalah akar dari persamaan asli.
Menjawab: − 1 2 .
Contoh 13
Temukan akar-akar persamaan x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .
Larutan
Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan. Karena itu, kami akan bertindak sesuai dengan algoritma.
Mari kita pindahkan ekspresi dari sisi kanan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Mari kita lakukan transformasi yang diperlukan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
Kami sampai pada persamaan x=0. Akar persamaan ini adalah nol.
Mari kita periksa apakah akar ini adalah akar asing untuk persamaan aslinya. Substitusikan nilai dalam persamaan awal: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Seperti yang Anda lihat, persamaan yang dihasilkan tidak masuk akal. Ini berarti bahwa 0 adalah akar asing, dan persamaan rasional pecahan asli tidak memiliki akar.
Menjawab: tidak ada akar.
Jika kita belum memasukkan transformasi ekuivalen lainnya dalam algoritme, ini tidak berarti sama sekali bahwa transformasi tersebut tidak dapat digunakan. Algoritme bersifat universal, tetapi dirancang untuk membantu, bukan membatasi.
Contoh 14
Selesaikan persamaan 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Larutan
Cara termudah adalah dengan menyelesaikan persamaan rasional fraksional yang diberikan sesuai dengan algoritma. Tetapi ada cara lain. Mari kita pertimbangkan.
Kurangi dari bagian kanan dan kiri 7, kita mendapatkan: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan kebalikan bilangan dari ruas kanan, yaitu 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .
Kurangi dari kedua bagian 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Dengan analogi 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, dari mana 1 5 - x 2 \u003d 1 3, dan selanjutnya 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
Mari kita periksa untuk menentukan apakah akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan aslinya.
Menjawab: x = ± 2
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Pada artikel ini saya akan menunjukkan kepada Anda algoritma untuk memecahkan tujuh jenis persamaan rasional, yang direduksi menjadi kuadrat melalui perubahan variabel. Dalam kebanyakan kasus, transformasi yang mengarah pada penggantian sangat tidak sepele, dan cukup sulit untuk menebaknya sendiri.
Untuk setiap jenis persamaan, saya akan menjelaskan cara membuat perubahan variabel di dalamnya, dan kemudian dalam tutorial video yang sesuai, saya akan menunjukkan solusi terperinci.
Anda memiliki kesempatan untuk melanjutkan menyelesaikan persamaan sendiri, dan kemudian memeriksa solusi Anda dengan tutorial video.
Jadi, mari kita mulai.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Perhatikan bahwa hasil kali empat kurung ada di ruas kiri persamaan, dan bilangan di ruas kanan.
1. Mari kelompokkan tanda kurung menjadi dua sehingga jumlah suku bebasnya sama.
2. Kalikan mereka.
3. Mari kita perkenalkan perubahan variabel.
Dalam persamaan kami, kami mengelompokkan braket pertama dengan yang ketiga, dan yang kedua dengan yang keempat, karena (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:
Pada titik ini, perubahan variabel menjadi jelas:
Kami mendapatkan persamaan 
Menjawab: 
2 .
Persamaan jenis ini mirip dengan yang sebelumnya dengan satu perbedaan: di sisi kanan persamaan adalah produk dari angka dengan. Dan itu diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeda:
1. Kami mengelompokkan tanda kurung menjadi dua sehingga produk dari istilah bebasnya sama.
2. Kami mengalikan setiap pasangan tanda kurung.
3. Dari setiap faktor, kami mengambil x dari braket.
4. Bagi kedua ruas persamaan dengan .
5. Kami memperkenalkan perubahan variabel.
Dalam persamaan ini, kami mengelompokkan braket pertama dengan braket keempat, dan braket kedua dengan braket ketiga, karena:
Perhatikan bahwa di setiap kurung koefisien di dan suku bebasnya sama. Mari kita keluarkan pengganda dari setiap braket:
Karena x=0 bukan akar persamaan awal, kita bagi kedua ruas persamaan dengan . Kita mendapatkan:
Kami mendapatkan persamaan: 
Menjawab: 
3
. 
Perhatikan bahwa penyebut kedua pecahan mengandung trinomial persegi, yang koefisien terdepan dan suku bebasnya sama. Kami mengeluarkan, seperti dalam persamaan tipe kedua, x dari braket. Kita mendapatkan:
Bagilah pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan x:
Sekarang kita dapat memperkenalkan perubahan variabel:
Kami mendapatkan persamaan untuk variabel t:
4 .
Perhatikan bahwa koefisien persamaan adalah simetris terhadap yang pusat. Persamaan seperti itu disebut dapat dikembalikan .
Untuk mengatasinya
1. Bagi kedua ruas persamaan dengan (Kita dapat melakukannya karena x=0 bukan akar persamaan.) Kita mendapatkan:
2. Kelompokkan istilah dengan cara ini:
3. Di setiap grup, kami mengambil faktor persekutuan:
4. Mari kita perkenalkan penggantinya:
5. Nyatakan ekspresi dalam bentuk t:
Dari sini 
Kami mendapatkan persamaan untuk t:
Menjawab:
5. Persamaan homogen.
Persamaan yang memiliki struktur homogen dapat ditemukan ketika menyelesaikan eksponensial, logaritma dan persamaan trigonometri, sehingga perlu dikenali.
Persamaan homogen memiliki struktur sebagai berikut:
Dalam persamaan ini, A, B dan C adalah angka, dan ekspresi yang sama ditunjukkan oleh persegi dan lingkaran. Artinya, di sisi kiri persamaan homogen adalah jumlah monomial yang memiliki derajat yang sama (dalam hal ini, derajat monomial adalah 2), dan tidak ada istilah bebas.
Untuk menyelesaikan persamaan homogen, kita membagi kedua ruas dengan
Perhatian! Saat membagi sisi kanan dan kiri persamaan dengan ekspresi yang mengandung yang tidak diketahui, Anda bisa kehilangan akarnya. Oleh karena itu, perlu untuk memeriksa apakah akar-akar persamaan yang digunakan untuk membagi kedua bagian persamaan tersebut adalah akar-akar persamaan aslinya.
Mari kita pergi dengan cara pertama. Kami mendapatkan persamaan:
Sekarang kami memperkenalkan substitusi variabel:
Sederhanakan ekspresi dan dapatkan persamaan biquadratic untuk t:
Menjawab: atau
7
. 
Persamaan ini memiliki struktur sebagai berikut:
Untuk menyelesaikannya, Anda harus memilih persegi penuh di sisi kiri persamaan.
Untuk memilih persegi penuh, Anda perlu menambah atau mengurangi produk ganda. Kemudian kita mendapatkan kuadrat dari jumlah atau selisihnya. Ini sangat penting untuk substitusi variabel yang berhasil.
Mari kita mulai dengan mencari produk ganda. Ini akan menjadi kunci untuk mengganti variabel. Dalam persamaan kami, produk ganda adalah
Sekarang mari kita cari tahu apa yang lebih nyaman untuk kita miliki - kuadrat dari jumlah atau perbedaan. Pertimbangkan, sebagai permulaan, jumlah ekspresi:
Bagus sekali! ekspresi ini persis sama dengan dua kali produk. Kemudian, untuk mendapatkan kuadrat dari jumlah dalam tanda kurung, Anda perlu menambahkan dan mengurangi produk ganda:
Kami juga merekomendasikan
Apa nama jumlah uang yang dipertaruhkan dalam permainan Sistem moneter modern adalah piramida keuangan
Cara memberi nama kuda: kami memilih nama panggilan yang cocok
Cara memberi nama kuda: kami memilih nama panggilan yang cocok
Titik bola langit di atas kepala pengamat
Merak biasa (India)
Siapa nama laki-laki dan perempuan?
Memuat...