Mengangkat pecahan menjadi kubus. Menaikkan pecahan aljabar ke pangkat

Saatnya membiasakan diri dengan pemasangan pecahan aljabar sampai tingkat tertentu. Tindakan dengan pecahan aljabar ini, dalam hal derajat, direduksi menjadi perkalian pecahan identik. Dalam artikel ini, kami akan memberikan aturan yang sesuai, dan mempertimbangkan contoh menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami.

Navigasi halaman.

Aturan menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, buktinya

Sebelum berbicara tentang menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, tidak ada salahnya untuk mengingat apa produk dari faktor-faktor yang sama yang berdiri di dasar derajat, dan jumlahnya ditentukan oleh indikator. Misalnya, 2 3 =2 2 2=8 .

Dan sekarang mari kita ingat aturan menaikkan pangkat pecahan biasa - untuk ini Anda perlu menaikkan pembilang secara terpisah ke pangkat yang ditunjukkan, dan secara terpisah penyebutnya. Sebagai contoh, . Aturan ini berlaku untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami.

Menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami memberikan pecahan baru, di mana pembilangnya adalah tingkat pembilang dari pecahan asli yang ditentukan, dan dalam penyebutnya - derajat penyebutnya. Dalam bentuk literal, aturan ini sesuai dengan persamaan , di mana a dan b adalah polinomial arbitrer (dalam kasus tertentu, monomial atau angka), dan b adalah polinomial bukan nol, dan n adalah .

Bukti aturan bersuara untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat didasarkan pada definisi derajat dengan eksponen alami dan pada bagaimana kita mendefinisikan perkalian pecahan aljabar: .

Contoh, Solusi

Aturan yang diperoleh pada paragraf sebelumnya mengurangi kenaikan pecahan aljabar menjadi pangkat menjadi pangkat ini. Dan karena pembilang dan penyebut pecahan aljabar asli adalah polinomial (dalam kasus tertentu, monomial atau angka), tugas aslinya dikurangi menjadi menaikkan polinomial ke pangkat. Setelah melakukan tindakan ini, pecahan aljabar baru akan diperoleh, sama persis dengan pangkat yang ditentukan dari pecahan aljabar asli.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Kuadratkan pecahan aljabar.

Keputusan.

Mari kita menulis gelar. Sekarang kita beralih ke aturan untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, itu memberi kita kesetaraan . Tetap mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi bentuk pecahan aljabar dengan menaikkan monomial menjadi pangkat. Jadi .

Biasanya, ketika menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, jalannya penyelesaian tidak dijelaskan, dan penyelesaiannya ditulis secara singkat. Contoh kami sesuai dengan catatan .

Menjawab:

.

Ketika polinomial, terutama binomial, berada dalam pembilang dan / atau penyebut dari pecahan aljabar, maka saat menaikkannya ke pangkat, disarankan untuk menggunakan rumus perkalian singkatan yang sesuai.

Contoh.

Naikkan pecahan aljabar ke derajat kedua.

Keputusan.

Dengan aturan menaikkan pecahan menjadi pangkat, kita memiliki .

Untuk mengubah ekspresi yang dihasilkan dalam pembilang, kami menggunakan rumus kuadrat selisih, dan dalam penyebut - rumus kuadrat dari jumlah tiga suku:

Menjawab:

Sebagai kesimpulan, kita mencatat bahwa jika kita menaikkan pecahan aljabar tak tereduksi ke pangkat alami, maka hasilnya juga akan menjadi pecahan tak tereduksi. Jika pecahan asli dapat dibatalkan, maka sebelum dipangkatkan, disarankan untuk mengurangi pecahan aljabar agar tidak melakukan pengurangan setelah dipangkatkan.

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku siswa institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.website, termasuk bahan internal dan desain eksternal tidak boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Sebagai kelanjutan dari percakapan tentang derajat suatu bilangan, adalah logis untuk berurusan dengan mencari nilai derajat. Proses ini diberi nama eksponensial. Pada artikel ini, kita hanya akan mempelajari bagaimana eksponensial dilakukan, sementara kita akan menyentuh semua eksponen yang mungkin - natural, integer, rasional, dan irasional. Dan menurut tradisi, kami akan mempertimbangkan secara rinci solusi untuk contoh peningkatan angka ke berbagai kekuatan.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan "eksponensial"?

Mari kita mulai dengan menjelaskan apa yang disebut eksponensial. Berikut adalah definisi yang relevan.

Definisi.

Eksponen adalah mencari nilai pangkat suatu bilangan.

Jadi, mencari nilai pangkat a dengan pangkat r dan menaikkan angka a ke pangkat r adalah hal yang sama. Misalnya, jika tugasnya adalah "menghitung nilai pangkat (0,5) 5", maka dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: "Naikkan angka 0,5 ke pangkat 5".

Sekarang Anda dapat langsung menuju ke aturan yang digunakan untuk melakukan eksponensial.

Menaikkan angka menjadi kekuatan alami

Dalam praktiknya, kesetaraan berdasarkan biasanya diterapkan dalam bentuk . Artinya, ketika menaikkan angka a menjadi pangkat pecahan m / n, akar derajat ke-n dari angka a pertama kali diekstraksi, setelah itu hasilnya dinaikkan menjadi pangkat bilangan bulat m.

Pertimbangkan solusi untuk contoh menaikkan ke pangkat pecahan.

Contoh.

Hitung nilai derajatnya.

Keputusan.

Kami menunjukkan dua solusi.

Cara pertama. Menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan. Kami menghitung nilai derajat di bawah tanda akar, setelah itu kami mengekstrak akar pangkat tiga: .

Cara kedua. Menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan dan berdasarkan sifat-sifat akar, persamaan berikut berlaku: . Sekarang ekstrak root Akhirnya, kita naikkan ke pangkat integer .

Jelas, hasil yang diperoleh dari peningkatan ke kekuatan fraksional bertepatan.

Menjawab:

Perhatikan bahwa eksponen pecahan dapat ditulis sebagai pecahan desimal atau bilangan campuran, dalam kasus ini harus diganti dengan pecahan biasa yang sesuai, dan kemudian eksponen harus dilakukan.

Contoh.

Hitung (44,89) 2.5 .

Keputusan.

Mari kita tulis eksponen dalam bentuk pecahan biasa (jika perlu, lihat artikel): . Sekarang kami melakukan peningkatan ke kekuatan fraksional:

Menjawab:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Juga harus dikatakan bahwa menaikkan angka ke pangkat rasional adalah proses yang agak melelahkan (terutama ketika pembilang dan penyebut dari eksponen pecahan mengandung cukup banyak angka besar), yang biasanya dilakukan dengan menggunakan teknologi komputer.

Sebagai penutup paragraf ini, kita akan membahas konstruksi angka nol menjadi pangkat pecahan. Kami memberikan arti berikut ke tingkat pecahan nol dari bentuk: karena kami memiliki , sedangkan nol pangkat m/n tidak ditentukan. Jadi nol untuk pangkat pecahan positif nol, Sebagai contoh, . Dan nol dalam derajat negatif fraksional tidak masuk akal, misalnya, ekspresi dan 0 -4,3 tidak masuk akal.

Mengangkat ke kekuatan irasional

Terkadang menjadi perlu untuk mengetahui nilai derajat suatu bilangan dengan eksponen irasional. Dalam hal ini, untuk keperluan praktis, biasanya cukup diperoleh nilai derajat sampai suatu tanda tertentu. Kami segera mencatat bahwa nilai ini dihitung dalam praktik menggunakan teknologi komputasi elektronik, sejak dinaikkan menjadi ir derajat rasional secara manual membutuhkan jumlah yang besar perhitungan yang rumit. Namun, kami akan menjelaskan umumnya esensi tindakan.

Untuk mendapatkan nilai perkiraan kekuatan a dengan indikator irasional, beberapa pendekatan desimal dari eksponen diambil, dan nilai eksponen dihitung. Nilai ini adalah nilai perkiraan derajat dari bilangan a dengan eksponen irasional. Perkiraan desimal yang lebih akurat dari suatu angka diambil pada awalnya, semakin banyak nilai yang tepat gelar akan diperoleh pada akhirnya.

Sebagai contoh, mari kita hitung perkiraan nilai pangkat 2 1.174367... . Mari kita ambil pendekatan desimal berikut dari indikator irasional: . Sekarang kita naikkan 2 ke pangkat rasional 1,17 (kami menggambarkan esensi dari proses ini di paragraf sebelumnya), kita mendapatkan 2 1,17 2,250116. Dengan demikian, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jika kita mengambil pendekatan desimal yang lebih akurat dari eksponen irasional, misalnya, , maka kita mendapatkan nilai derajat aslinya yang lebih akurat: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika Zh untuk 5 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 7 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 9 sel. institusi pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Pelajaran akan mempertimbangkan versi perkalian pecahan yang lebih umum - ini adalah eksponensial. Pertama-tama, kita akan berbicara tentang derajat alami pecahan dan contoh yang menunjukkan tindakan serupa dengan pecahan. Di awal pelajaran, juga, kita akan mengulangi peningkatan ke pangkat alami dari ekspresi bilangan bulat dan melihat bagaimana ini berguna untuk memecahkan contoh lebih lanjut.

Topik: Pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran: Menaikkan Pecahan Aljabar ke Pangkat

1. Aturan untuk menaikkan pecahan dan ekspresi bilangan bulat ke kekuatan alami dengan contoh dasar

Aturan untuk menaikkan pecahan biasa dan aljabar ke pangkat alami:

Anda dapat menggambar analogi dengan derajat ekspresi bilangan bulat dan mengingat apa yang dimaksud dengan menaikkannya ke pangkat:

Contoh 1 .

Seperti yang Anda lihat dari contoh, menaikkan pecahan menjadi pangkat adalah kasus spesial perkalian pecahan yang telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya.

Contoh 2. a), b) - minus hilang, karena kami menaikkan ekspresi ke kekuatan yang sama.

Untuk kenyamanan bekerja dengan gelar, kami mengingat aturan dasar untuk menaikkan ke kekuatan alami:

- produk derajat;

- pembagian derajat;

Menaikkan gelar ke kekuasaan;

Derajat pekerjaan.

Contoh 3. - ini kita ketahui sejak topik "Meningkatkan pangkat ekspresi bilangan bulat", kecuali untuk satu kasus: tidak ada.

2. Contoh paling sederhana untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami

Contoh 4. Naikkan pecahan ke pangkat.

Keputusan. Saat dinaikkan ke kekuatan genap, minus hilang:

Contoh 5. Naikkan pecahan ke pangkat.

Keputusan. Sekarang kami menggunakan aturan untuk menaikkan derajat ke pangkat segera tanpa jadwal terpisah:

.

Sekarang pertimbangkan tugas gabungan di mana kita perlu menaikkan pecahan menjadi pangkat, dan mengalikannya, dan membaginya.

Contoh 6: Lakukan tindakan.

Keputusan. . Selanjutnya, Anda perlu melakukan pengurangan. Kami akan menjelaskan sekali secara rinci bagaimana kami akan melakukan ini, dan kemudian kami akan menunjukkan hasilnya segera dengan analogi :. Demikian pula (atau menurut aturan pembagian derajat). Kita punya: .

Contoh 7: Melakukan tindakan.

Keputusan. . Pengurangan dilakukan dengan analogi dengan contoh yang dibahas sebelumnya.

Contoh 8: Lakukan tindakan.

Keputusan. . PADA contoh ini kami sekali lagi menjelaskan secara lebih rinci proses pengurangan pangkat dalam pecahan untuk mengkonsolidasikan metode ini.

3. Contoh yang lebih kompleks untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami (dengan mempertimbangkan tanda dan dengan istilah dalam tanda kurung)

Contoh 9: Lakukan tindakan .

Keputusan. Dalam contoh ini, kita akan melewatkan perkalian pecahan yang terpisah, dan segera menggunakan aturan perkaliannya dan menuliskannya di bawah satu penyebut. Pada saat yang sama, kami mengikuti tanda - dalam hal ini, pecahan dinaikkan menjadi pangkat genap, sehingga minusnya hilang. Mari kita lakukan pengurangan di akhir.

Contoh 10: Lakukan tindakan .

Keputusan. Dalam contoh ini, ada pembagian pecahan, ingat bahwa dalam hal ini pecahan pertama dikalikan dengan yang kedua, tetapi dibalik.

Topiknya bermuara pada fakta bahwa kita perlu mengalikan pecahan yang identik. Artikel ini akan memberi tahu Anda aturan apa yang perlu Anda gunakan untuk menaikkan pecahan aljabar dengan benar ke pangkat alami.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aturan untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, buktinya

Sebelum Anda mulai menaikkan pangkat, Anda perlu memperdalam pengetahuan Anda dengan bantuan artikel tentang gelar dengan indikator alami, di mana ada produk dari faktor yang sama yang berada di dasar derajat, dan jumlahnya adalah ditentukan oleh indikator. Misalnya, angka 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Saat menaikkan pangkat, kita paling sering menggunakan aturan. Untuk melakukan ini, naikkan pembilang dan penyebut secara terpisah. Perhatikan contoh 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Aturan ini berlaku untuk menaikkan pecahan menjadi kekuatan alami.

Pada menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami kita mendapatkan yang baru, di mana pembilangnya memiliki derajat pecahan asli, dan penyebutnya memiliki derajat penyebutnya. Ini semua dalam bentuk a b n = a n b n , di mana a dan b adalah polinomial arbitrer, b bukan nol, dan n adalah bilangan asli.

Bukti dari aturan ini ditulis dalam bentuk pecahan, yang harus dipangkatkan, berdasarkan definisi itu sendiri dengan indikator alami. Kemudian kita mendapatkan perkalian pecahan dengan bentuk a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Contoh, Solusi

Aturan untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat dilakukan secara berurutan: pertama pembilangnya, lalu penyebutnya. Ketika ada polinomial di pembilang dan penyebut, maka tugas itu sendiri akan dikurangi menjadi menaikkan polinomial yang diberikan ke pangkat. Setelah itu, pecahan baru akan ditunjukkan, yang sama dengan yang asli.

Contoh 1

Mengkuadratkan pecahan x 2 3 y z 3

Keputusan

Hal ini diperlukan untuk memperbaiki derajat x 2 3 · y · z 3 2 . Menurut aturan menaikkan pecahan aljabar ke pangkat, kita memperoleh persamaan dalam bentuk x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Sekarang perlu untuk mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi bentuk aljabar dengan eksponensial. Kemudian kita mendapatkan ekspresi bentuk

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Semua kasus eksponensial tidak memerlukan penjelasan rinci, sehingga solusinya sendiri memiliki catatan singkat. Artinya, kita mendapatkan itu

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Menjawab: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .

Jika pembilang dan penyebutnya memiliki polinomial, maka perlu untuk menaikkan seluruh pecahan menjadi pangkat, dan kemudian menerapkan rumus perkalian yang disingkat untuk menyederhanakannya.

Contoh 2

Kuadratkan pecahan 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Keputusan

Dari aturan kita memiliki itu

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Untuk mengonversi ekspresi, Anda harus menggunakan rumus kuadrat dari jumlah tiga suku dalam penyebut, dan dalam pembilang - kuadrat selisihnya, yang akan menyederhanakan ekspresi. Kita mendapatkan:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Menjawab: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Perhatikan bahwa ketika menaikkan pecahan yang tidak dapat kita perkecil menjadi pangkat alami, kita juga memperoleh pecahan yang tidak dapat direduksi. Ini tidak membuatnya lebih mudah untuk dipecahkan lebih lanjut. Ketika suatu pecahan tertentu dapat direduksi, maka ketika dieksponenkan, kita menemukan bahwa pengurangan pecahan aljabar perlu dilakukan, untuk menghindari pengurangan setelah dipangkatkan.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Kami menemukan apa tingkat angka secara umum. Sekarang kita perlu memahami cara menghitungnya dengan benar, mis. menaikkan angka menjadi kekuatan. Dalam materi ini, kita akan menganalisis aturan dasar untuk menghitung derajat dalam kasus bilangan bulat, alami, pecahan, eksponen rasional dan irasional. Semua definisi akan diilustrasikan dengan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konsep eksponensial

Mari kita mulai dengan perumusan definisi dasar.

Definisi 1

Eksponen adalah perhitungan nilai pangkat beberapa bilangan.

Artinya, kata "perhitungan nilai derajat" dan "perpangkatan" memiliki arti yang sama. Jadi, jika tugasnya adalah "Naikkan angka 0 , 5 ke pangkat lima", ini harus dipahami sebagai "hitung nilai pangkat (0 , 5) 5 .

Sekarang kami memberikan aturan dasar yang harus diikuti dalam perhitungan tersebut.

Ingat kembali apa itu pangkat dari bilangan dengan eksponen alami. Untuk pangkat dengan basis a dan eksponen n, ini akan menjadi produk dari jumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Ini dapat ditulis seperti ini:

Untuk menghitung nilai derajat, Anda perlu melakukan operasi perkalian, yaitu mengalikan basis derajat beberapa kali. Konsep gelar dengan indikator alami didasarkan pada kemampuan untuk mengalikan dengan cepat. Mari kita beri contoh.

Contoh 1

Kondisi: Naikkan - 2 pangkat 4 .

Keputusan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: (− 2) 4 = (− 2) ( 2) (− 2) (− 2) . Selanjutnya, kita hanya perlu mengikuti langkah-langkah ini dan mendapatkan 16 .

Mari kita ambil contoh yang lebih rumit.

Contoh 2

Hitung nilainya 3 2 7 2

Keputusan

Entri ini dapat ditulis ulang menjadi 3 2 7 · 3 2 7 . Sebelumnya kita telah melihat cara mengalikan bilangan campuran yang disebutkan dalam kondisi dengan benar.

Lakukan langkah-langkah ini dan dapatkan jawabannya: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jika tugas menunjukkan perlunya menaikkan bilangan irasional ke pangkat alami, pertama-tama kita harus membulatkan basisnya ke angka yang memungkinkan kita mendapatkan jawaban dengan akurasi yang diinginkan. Mari kita ambil contoh.

Contoh 3

Lakukan kuadrat dari bilangan .

Keputusan

Mari kita bulatkan ke ratusan dulu. Maka 2 (3, 14) 2 = 9, 8596. Jika 3 . 14159, maka kita akan mendapatkan hasil yang lebih akurat: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Perhatikan bahwa kebutuhan untuk menghitung pangkat bilangan irasional dalam praktik relatif jarang muncul. Kita kemudian dapat menulis jawabannya sebagai pangkat itu sendiri (ln 6) 3 atau jika mungkin mengubah: 5 7 = 125 5 .

Secara terpisah, itu harus ditunjukkan apa kekuatan pertama dari suatu angka. Di sini Anda hanya dapat mengingat bahwa angka apa pun yang dipangkatkan pertama akan tetap menjadi dirinya sendiri:

Ini jelas dari catatan. .

Itu tidak tergantung pada dasar gelar.

Contoh 4

Jadi, (− 9) 1 = 9 , dan 7 3 dipangkatkan pertama tetap sama dengan 7 3 .

Untuk memudahkan, kami akan menganalisis tiga kasus secara terpisah: jika eksponen adalah bilangan bulat positif, jika nol, dan jika bilangan bulat negatif.

Dalam kasus pertama, ini sama dengan menaikkan ke kekuatan alami: setelah semua, bilangan bulat positif termasuk dalam himpunan bilangan asli. Kami telah menjelaskan cara bekerja dengan gelar seperti itu di atas.

Sekarang mari kita lihat cara menaikkan pangkat nol dengan benar. Dengan basis yang bukan nol, perhitungan ini selalu menghasilkan keluaran 1 . Kami sebelumnya telah menjelaskan bahwa pangkat 0 dari a dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan asli, tidak sama dengan 0 , dan a 0 = 1 .

Contoh 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - tidak ditentukan.

Kami hanya memiliki kasus gelar dengan eksponen bilangan bulat negatif. Kita telah membahas bahwa derajat tersebut dapat ditulis sebagai pecahan 1 a z, di mana a adalah bilangan apa saja, dan z adalah bilangan bulat negatif. Kita lihat bahwa penyebut pecahan ini tidak lain adalah gelar biasa dengan bilangan bulat positif, dan kita telah mempelajari cara menghitungnya. Mari kita beri contoh tugas.

Contoh 6

Naikkan 3 ke pangkat -2.

Keputusan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: 2 - 3 = 1 2 3

Kami menghitung penyebut pecahan ini dan mendapatkan 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Maka jawabannya adalah: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Contoh 7

Naikkan 1, 43 ke pangkat -2.

Keputusan

Rumuskan ulang: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kami menghitung kuadrat dalam penyebut: 1,43 1,43. Desimal dapat dikalikan dengan cara ini:

Hasilnya, kami mendapatkan (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Tetap bagi kita untuk menulis hasil ini dalam bentuk pecahan biasa, yang perlu dikalikan dengan 10 ribu (lihat materi tentang konversi pecahan).

Jawaban: (1, 43) - 2 = 10.000 20449

Kasus terpisah adalah menaikkan angka ke pangkat pertama minus. Nilai derajat seperti itu sama dengan angka yang berlawanan dengan nilai asli pangkalan: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Contoh 8

Contoh: 3 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cara menaikkan angka ke kekuatan pecahan

Untuk melakukan operasi seperti itu, kita perlu mengingat definisi dasar derajat dengan eksponen pecahan: a m n \u003d a m n untuk setiap positif a, bilangan bulat m dan n alami.

Definisi 2

Dengan demikian, perhitungan derajat pecahan harus dilakukan dalam dua langkah: menaikkan pangkat bilangan bulat dan menemukan akar derajat ke-n.

Kami memiliki persamaan a m n = a m n , yang, mengingat sifat-sifat akar, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk a m ​​n = a n m . Ini berarti bahwa jika kita menaikkan angka a ke pangkat pecahan m / n, maka pertama-tama kita mengekstrak akar derajat ke-n dari a, kemudian kita menaikkan hasilnya ke pangkat dengan eksponen bilangan bulat m.

Mari kita ilustrasikan dengan sebuah contoh.

Contoh 9

Hitung 8 - 2 3 .

Keputusan

Metode 1. Menurut definisi dasar, kita dapat menyatakan ini sebagai: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Sekarang mari kita hitung derajat di bawah akar dan ekstrak akar ketiga dari hasilnya: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metode 2. Mari kita ubah persamaan dasar: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Setelah itu kita ekstrak akar 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dan kuadratkan hasilnya : 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Kami melihat bahwa solusinya identik. Anda dapat menggunakan cara apa pun yang Anda suka.

Ada kasus ketika derajat memiliki indikator yang dinyatakan sebagai angka campuran atau pecahan desimal. Untuk memudahkan perhitungan, lebih baik menggantinya dengan pecahan biasa dan menghitung seperti yang ditunjukkan di atas.

Contoh 10

Naikkan 44,89 ke pangkat 2,5.

Keputusan

Ubah nilai indikator menjadi pecahan biasa - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Dan sekarang kita melakukan semua tindakan yang ditunjukkan di atas secara berurutan: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Jawaban: 13501, 25107.

Jika ada bilangan besar dalam pembilang dan penyebut dari eksponen pecahan, maka menghitung eksponen tersebut dengan eksponen rasional adalah pekerjaan yang agak sulit. Biasanya membutuhkan teknologi komputer.

Secara terpisah, kita membahas derajat dengan basis nol dan eksponen pecahan. Ekspresi bentuk 0 m n dapat diberikan arti sebagai berikut: jika m n > 0, maka 0 m n = 0 m n = 0 ; jika m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cara menaikkan angka menjadi kekuatan irasional

Kebutuhan untuk menghitung nilai derajat, dalam indikator yang ada bilangan irasional, tidak sering muncul. Dalam praktiknya, tugas biasanya terbatas pada menghitung nilai perkiraan (hingga sejumlah tempat desimal tertentu). Ini biasanya dihitung di komputer karena rumitnya perhitungan seperti itu, jadi kami tidak akan membahas ini secara rinci, kami hanya akan menunjukkan ketentuan utama.

Jika kita perlu menghitung nilai derajat a dengan eksponen irasional a , maka kita mengambil pendekatan desimal dari eksponen dan menghitungnya. Hasilnya akan menjadi jawaban perkiraan. Semakin akurat pendekatan desimal yang diambil, semakin akurat jawabannya. Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh:

Contoh 11

Hitung nilai perkiraan 21 , 174367 ....

Keputusan

Kami membatasi diri pada pendekatan desimal a n = 1 , 17 . Mari kita lakukan perhitungan menggunakan angka ini: 2 1 , 17 2 , 250116 . Jika kita ambil, misalnya, aproksimasi a n = 1 , 1743 , maka jawabannya akan sedikit lebih tepat: 2 1 , 174367 . . . 2 1. 1743 2. 256833 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter