Topik pelajaran: Operasi aritmatika dalam sistem bilangan posisional.

Kelas 9

Tujuan pelajaran:

Bersifat mendidik: memperkenalkan siswa pada penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dalam sistem biner dan melakukan praktik utama keterampilan melakukan tindakan ini.

Pendidikan: untuk mengembangkan minat siswa dalam mempelajari hal-hal baru, untuk menunjukkan kemungkinan pendekatan perhitungan yang tidak standar.

Mengembangkan: mengembangkan perhatian, ketelitian berpikir, kemampuan untuk bernalar.

Struktur pelajaran.

Orgmoment -1 menit.

Memeriksa pekerjaan rumah dengan tes lisan -15 menit.

Pekerjaan rumah -2 menit.

Memecahkan masalah dengan analisis simultan dan pengembangan materi secara mandiri -25 menit

Menyimpulkan pelajaran -2 menit.

SELAMA KELAS

Momen organisasi.

Memeriksa pekerjaan rumah (tes lisan) .

Guru membacakan soal secara berurutan. Siswa mendengarkan dengan seksama pertanyaan tanpa menuliskannya. Hanya jawabannya yang dicatat, dan sangat singkat. (Jika mungkin untuk menjawab dengan satu kata, maka hanya kata ini yang dicatat).

Apa itu sistem bilangan? (-ini adalah sistem tanda di mana angka ditulis menurut aturan tertentu menggunakan karakter beberapa alfabet yang disebut angka )

Sistem bilangan apa yang kamu ketahui?( non-posisi dan posisional )

Sistem apa yang disebut non-posisi? (SCH disebut non-posisi jika padanan kuantitatif (nilai kuantitatif) suatu angka dalam suatu bilangan tidak bergantung pada posisinya dalam notasi bilangan tersebut. ).

Apa dasar dari posisi SSC. (sama dengan jumlah angka yang menyusun alfabetnya )

Operasi matematika apa yang harus digunakan untuk mengonversi bilangan bulat dari NSC desimal ke NSC lainnya? (divisi )

Apa yang perlu dilakukan untuk mengubah angka dari desimal ke biner? (Secara konsisten dibagi 2 )

Berapa kali angka 11.1 akan berkurang? 2 saat memindahkan koma satu karakter ke kiri? (2 kali )

Sekarang mari kita dengarkan sebuah syair tentang seorang gadis yang luar biasa dan jawab pertanyaannya. (Kedengarannya seperti sebuah ayat )

GADIS LUAR BIASA

Dia berumur seribu seratus tahun
Dia pergi ke kelas seratus satu,
Saya membawa seratus buku dalam portofolio saya.
Semua ini benar, bukan omong kosong.

Ketika, membersihkan dengan belasan kaki,
Dia berjalan di sepanjang jalan.
Dia selalu diikuti oleh anak anjing
Dengan satu ekor, tetapi berkaki seratus.

Dia menangkap setiap suara
Dengan sepuluh telinga
Dan sepuluh tangan kecokelatan
Mereka memegang tas kerja dan tali.

Dan sepuluh mata biru tua
Dianggap dunia biasa,
Tapi semuanya akan menjadi sangat normal,
Saat kau mengerti ceritaku.

/ N. Starikov /

Dan berapa umur gadis itu? (12 tahun ) Dia pergi ke kelas apa? (kelas 5 ) Berapa banyak lengan dan kaki yang dia miliki? (2 tangan, 2 kaki ) Bagaimana anak anjing memiliki 100 kaki? (4 cakar )

Setelah menyelesaikan tes, jawaban diucapkan oleh siswa sendiri, pemeriksaan diri dilakukan dan siswa memberi nilai pada diri mereka sendiri.

Kriteria:

10 jawaban yang benar (mungkin kesalahan kecil) - "5";

9 atau 8 - "4";

7, 6 – “3”;

sisanya adalah "2".

II. Pekerjaan rumah (2 menit)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

AKU AKU AKU. Bekerja dengan materi baru

Operasi aritmatika dalam sistem biner.

Aritmatika sistem bilangan biner didasarkan pada penggunaan tabel penjumlahan, pengurangan dan perkalian angka. Operan aritmatika terletak di baris atas dan di kolom pertama tabel, dan hasilnya berada di persimpangan kolom dan baris:

0

1

1

1

Tambahan.

Tabel penjumlahan biner sangat sederhana. Hanya dalam satu kasus, ketika penambahan 1 + 1 dilakukan, transfer ke bit yang paling signifikan terjadi.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Pengurangan.

Saat melakukan operasi pengurangan, angka yang lebih kecil selalu dikurangkan dari angka yang lebih besar dalam nilai absolut, dan tanda yang sesuai diletakkan. Dalam tabel pengurangan, angka 1 dengan batang berarti pinjaman tingkat tinggi. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Perkalian

Operasi perkalian dilakukan dengan menggunakan tabel perkalian sesuai dengan skema yang biasa digunakan dalam sistem bilangan desimal dengan perkalian berturut-turut dari pengali dengan digit pengali berikutnya. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Perkalian direduksi menjadi pergeseran perkalian dan penjumlahan.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Menyimpulkan pelajaran

Kartu untuk tugas tambahan siswa.

Lakukan operasi aritmatika:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Tambahan. Penjumlahan bilangan dalam sistem bilangan biner didasarkan pada tabel penjumlahan bilangan biner satu digit (Tabel 6).

Penting untuk memperhatikan fakta bahwa ketika menambahkan dua unit, transfer dilakukan ke digit tertinggi. Ini terjadi ketika nilai suatu bilangan menjadi sama atau lebih besar dari basis sistem bilangan.

Penambahan bilangan biner multi-digit dilakukan sesuai dengan tabel penambahan di atas, dengan mempertimbangkan kemungkinan transfer dari digit yang lebih rendah ke digit yang lebih tinggi. Sebagai contoh, mari kita tambahkan bilangan biner di kolom:

Mari kita periksa kebenaran perhitungan dengan penambahan dalam sistem bilangan desimal. Mari kita ubah bilangan biner ke sistem bilangan desimal dan tambahkan:

Pengurangan. Pengurangan bilangan biner didasarkan pada tabel pengurangan bilangan biner satu digit (Tabel 7).

Saat mengurangkan dari angka yang lebih kecil (0) dengan angka yang lebih besar (1), pinjaman dibuat dari urutan tertinggi. Dalam tabel, pinjaman ditunjukkan oleh 1 dengan bar.

Pengurangan angka biner multi-digit diimplementasikan sesuai dengan tabel ini, dengan mempertimbangkan kemungkinan pinjaman dalam digit orde tinggi.

Misalnya, mari kita kurangi bilangan biner:

Perkalian. Perkalian didasarkan pada tabel perkalian bilangan biner satu digit (Tabel 8).

Perkalian bilangan biner multi-digit dilakukan sesuai dengan tabel perkalian ini sesuai dengan skema yang biasa digunakan dalam sistem bilangan desimal, dengan perkalian berturut-turut dari pengali dengan digit pengali berikutnya. Perhatikan contoh perkalian biner

Catatan: Saat menambahkan dua angka yang sama dengan 1, 0 diperoleh dalam digit ini, dan yang pertama ditransfer ke digit yang paling signifikan.

Contoh_21: Diberikan nomor 101 (2) dan 11 (2). Temukan jumlah dari angka-angka ini.

dimana 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Periksa: 5+3=8.

Saat mengurangkan satu dari 0, sebuah unit diambil dari angka terdekat yang paling tinggi, yang berbeda dari 0. Pada saat yang sama, sebuah unit yang ditempati oleh angka tertinggi memberikan 2 unit pada angka paling penting dan satu dari semua angka di antara angka tertinggi dan terendah.

Contoh_22: Diberikan nomor 101 (2) dan 11 (2). Temukan perbedaan antara angka-angka ini.

dimana 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Periksa: 5-3=2.

Operasi perkalian direduksi menjadi shift dan penjumlahan berulang.

Contoh_23: Diberikan nomor 11 (2) dan 10 (2). Temukan produk dari angka-angka ini.

dimana 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Periksa: 3*2=6.

Operasi aritmatika dalam sistem bilangan oktal

Saat menambahkan dua angka, yang jumlahnya sama dengan 8, dalam kategori ini, 0 diperoleh, dan yang pertama ditransfer ke urutan tertinggi.

Contoh_24: Diberikan nomor 165 (8) dan 13 (8). Temukan jumlah dari angka-angka ini.

dimana 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Saat mengurangkan angka yang lebih besar dari angka yang lebih kecil, sebuah unit diambil dari angka terdekat tertinggi yang berbeda dari 0. Pada saat yang sama, unit yang ditempati oleh angka tertinggi menghasilkan 8 pada angka paling signifikan.

Contoh_25: Diberikan nomor 114 (8) dan 15 (8). Temukan perbedaan antara angka-angka ini.

dimana 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Operasi aritmatika dalam sistem bilangan heksadesimal

Saat menambahkan dua angka, total 16, 0 ditulis dalam kategori ini, dan 1 dipindahkan ke urutan tertinggi.

Contoh_26: Diberikan nomor 1B5 (16) dan 53 (16). Temukan jumlah dari angka-angka ini.

dimana 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Saat mengurangkan angka yang lebih besar dari angka yang lebih kecil, sebuah unit diambil dari angka terdekat tertinggi selain 0. Pada saat yang sama, unit yang ditempati oleh angka tertinggi menghasilkan 16 pada angka paling signifikan.

Contoh_27: Diberikan bilangan 11A (16) dan 2C (16). Temukan perbedaan antara angka-angka ini.

dimana 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Pengkodean data komputer

Data dalam komputer direpresentasikan sebagai kode, yang terdiri dari satu dan nol dalam urutan yang berbeda.

Kode– seperangkat simbol untuk menyajikan informasi. Encoding adalah proses penyajian informasi dalam bentuk kode.

Kode angka

Saat melakukan operasi aritmatika di komputer, mereka menggunakan: langsung, terbalik Dan tambahan kode angka.

Kode langsung

Lurus kode (representasi berupa nilai mutlak dengan tanda) bilangan biner adalah bilangan biner itu sendiri, yang semua angka yang mewakili nilainya ditulis dalam notasi matematika, dan tanda bilangan ditulis sebagai angka biner.

Bilangan bulat dapat direpresentasikan dalam komputer dengan atau tanpa tanda.

Bilangan bulat yang tidak ditandatangani biasanya menempati satu atau dua byte memori. Untuk menyimpan bilangan bulat bertanda, satu, dua, atau empat byte dialokasikan, sedangkan bit paling signifikan (paling kiri) dialokasikan di bawah tanda angka. Jika angkanya positif, maka 0 ditulis ke bit ini, jika negatif, maka 1.

Contoh_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Angka positif di komputer selalu direpresentasikan menggunakan kode langsung. Kode langsung dari nomor tersebut sepenuhnya bertepatan dengan entri nomor itu sendiri di sel mesin. Kode langsung dari angka negatif berbeda dari kode langsung dari angka positif yang sesuai hanya dalam isi bit tanda.

Kode langsung digunakan saat menyimpan angka dalam memori komputer, serta saat melakukan operasi perkalian dan pembagian, tetapi format untuk mewakili angka dalam kode langsung tidak nyaman untuk digunakan dalam perhitungan, karena penambahan dan pengurangan angka positif dan negatif dilakukan berbeda, dan oleh karena itu perlu untuk menganalisis bit operan tanda. Oleh karena itu, kode langsung praktis tidak digunakan saat mengimplementasikan operasi aritmatika pada bilangan bulat di ALU. Tetapi bilangan bulat negatif tidak direpresentasikan di komputer dengan kode langsung. Alih-alih format ini, format untuk mewakili angka secara terbalik dan kode tambahan telah tersebar luas.

Kode terbalik

Kode terbalik dari angka positif bertepatan dengan angka langsung, dan ketika menulis angka negatif, semua digitnya, kecuali digit yang mewakili tanda angka, diganti dengan yang berlawanan (0 diganti dengan 1, dan 1 diganti dengan 0 ).

Contoh_29:

Contoh_30:

Untuk mengembalikan kode langsung bilangan negatif dari kode terbalik, semua digit, kecuali digit yang mewakili tanda nomor, harus diganti dengan yang berlawanan.

Kode tambahan

Kode tambahan dari angka positif bertepatan dengan yang langsung, dan kode angka negatif dibentuk dengan menambahkan 1 ke kode terbalik.

Contoh_31:

Contoh_32:

Contoh_33:

Untuk bilangan bulat -32 (10) tulis kode tambahan.

1. Setelah mengubah bilangan 32 (10) ke dalam sistem bilangan biner, kita peroleh:

32 (10) =100000 (2) .

2. Kode langsung untuk bilangan positif 32 (10) adalah 0010 0000.

3. Untuk bilangan negatif -32 (10), kode langsungnya adalah 1010 0000.

4. Kode kebalikan dari angka -32 (10) adalah 1101 1111.

5. Kode tambahan angka -32 (10) adalah 1110 0000.

Contoh_34:

Kode tambahan bilangan tersebut adalah 0011 1011. Tentukan nilai bilangan tersebut dalam notasi desimal.

1. Digit (tanda) pertama dari angka 0 011 1011 adalah 0, jadi angkanya positif.

2. Untuk bilangan positif, kode tambahan, invers, dan langsungnya sama.

3. Angka dalam sistem biner diperoleh dari catatan kode langsung - 111011 (2) (kami membuang angka nol dari angka tertinggi).

4. Bilangan 111011 (2) setelah diubah ke sistem bilangan desimal adalah 59 (10).

Contoh_35:

Kode tambahan dari bilangan tersebut adalah 1011 1011. Tentukan nilai bilangan tersebut dalam notasi desimal.

1. Menandatangani digit angka 1 011 1011 adalah 1, jadi angkanya negatif.

2. Untuk menentukan kode kebalikan dari nomor tersebut, kurangi satu dari kode tambahan. Kode sebaliknya adalah 1 011 1010.

3. Kode langsung diperoleh dari kebalikannya dengan mengganti semua digit biner dari bilangan tersebut dengan lawannya (1 untuk 0, 0 untuk 1). Kode langsung dari nomor tersebut adalah 1 100 0101 (dalam tanda bit kita tulis 1).

4. Angka dalam sistem biner diperoleh dari catatan kode langsung - -100 0101 (2).

4. Bilangan -1000101 (2) setelah dikonversi ke desimal sama dengan -69 (10).

Informasi serupa.

rumah \ Dokumen-dokumen \ Untuk guru ilmu komputer

Saat menggunakan bahan dari situs ini - dan penempatan banner WAJIB!!!

Aritmatika biner

Angka yang biasa kita gunakan disebut desimal dan aritmatika yang kita gunakan juga disebut desimal. Ini karena setiap angka dapat terdiri dari kumpulan angka yang berisi 10 karakter - angka - "0123456789".

Matematika berkembang sedemikian rupa sehingga himpunan inilah yang menjadi yang utama, tetapi aritmatika desimal bukan satu-satunya. Jika kita hanya mengambil lima digit, maka atas dasar mereka kita dapat membangun aritmatika lima kali lipat, dari tujuh digit - tujuh kali lipat. Dalam bidang pengetahuan yang berhubungan dengan teknologi komputer, aritmatika sering digunakan di mana angka terdiri dari enam belas digit, aritmatika ini disebut heksadesimal. Untuk memahami apa itu bilangan dalam aritmatika non-desimal, pertama-tama kita cari tahu apa itu bilangan dalam aritmatika desimal.

Ambil contoh, angka 246. Entri ini berarti ada dua ratus, empat puluhan dan enam angka dalam angka tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menulis persamaan berikut:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Di sini, tanda sama dengan memisahkan tiga cara penulisan angka yang sama. Yang paling menarik bagi kita sekarang adalah bentuk penulisan ketiga: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Ini diatur sebagai berikut:

Kami memiliki tiga nomor. Angka tertinggi "2" memiliki angka 3. Jadi dikalikan dengan 10 pangkat kedua. Digit berikutnya "4" memiliki nomor seri 2 dan dikalikan dengan 10 pada yang pertama. Sudah dapat dilihat bahwa angka-angka dikalikan dengan sepuluh pangkat satu kurang dari jumlah urut angka tersebut. Setelah memahami apa yang telah dikatakan, kita dapat menuliskan rumus umum untuk menyatakan bilangan desimal. Misalkan ada bilangan dengan N angka. Kami akan menyatakan digit ke-i dengan a i. Maka bilangan tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Ini adalah formulir pertama, dan formulir entri ketiga akan terlihat seperti ini:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

di mana a i adalah karakter dari himpunan "0123456789"

Dalam entri ini, peran sepuluh sangat jelas terlihat. Sepuluh adalah dasar pembentukan bilangan. Dan omong-omong, itu disebut "basis sistem bilangan", dan sistem bilangan itu sendiri, itulah sebabnya disebut "desimal". Tentu saja, angka sepuluh tidak memiliki sifat khusus. Kita dapat dengan mudah mengganti sepuluh dengan nomor lain. Misalnya, suatu bilangan dalam sistem bilangan lima angka dapat ditulis seperti ini:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

di mana a i adalah karakter dari himpunan "01234"

Secara umum, kami mengganti 10 dengan angka lain dan mendapatkan sistem angka yang sama sekali berbeda dan aritmatika yang berbeda. Aritmatika paling sederhana diperoleh jika 10 diganti dengan 2. Sistem bilangan yang dihasilkan disebut biner dan bilangan di dalamnya didefinisikan sebagai berikut:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

di mana a i adalah karakter dari himpunan "01"

Sistem ini adalah yang paling sederhana dari semua yang mungkin, karena di dalamnya bilangan apa pun hanya terbentuk dari dua digit 0 dan 1. Jelas bahwa tidak ada tempat yang lebih sederhana. Contoh bilangan biner: 10, 111, 101.

Pertanyaan yang sangat penting. Dapatkah bilangan biner direpresentasikan sebagai bilangan desimal dan sebaliknya, dapatkah bilangan desimal direpresentasikan sebagai bilangan biner.

Biner ke desimal. Ini sangat sederhana. Metode terjemahan semacam itu memberikan cara kita menulis angka. Ambil contoh, bilangan biner berikut 1011. Mari kita kembangkan menjadi pangkat dua. Kami mendapatkan yang berikut:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Kami melakukan semua tindakan yang direkam dan mendapatkan:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Jadi, diperoleh 1011 (biner) = 11 (desimal). Anda dapat segera melihat sedikit ketidaknyamanan dari sistem biner. Angka yang sama, yang dalam sistem desimal, ditulis dengan satu karakter dalam sistem biner, membutuhkan empat karakter untuk pencatatannya. Tapi ini adalah harga untuk kesederhanaan (tidak ada yang gratis). Tetapi sistem biner memberikan keuntungan besar dalam operasi aritmatika. Dan kemudian kita akan melihatnya.

Nyatakan bilangan biner berikut sebagai bilangan desimal.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Penjumlahan bilangan biner.

Cara penjumlahan kolom pada umumnya sama dengan bilangan desimal. Artinya, penambahan dilakukan sedikit demi sedikit, dimulai dengan angka paling signifikan. Jika penjumlahan dua angka menghasilkan SUM lebih besar dari sembilan, maka ditulis angka = SUM-10, dan SELURUH BAGIAN (SUM / 10) ditambahkan ke angka tertinggi. (Tambahkan beberapa angka dalam kolom, ingat bagaimana ini dilakukan.) Begitu juga dengan angka biner. Jumlahkan sedikit demi sedikit, dimulai dengan angka terendah. Jika ternyata lebih dari 1, maka 1 ditulis dan 1 ditambahkan ke angka paling signifikan (mereka mengatakan "gila").

Mari kita jalankan sebuah contoh: 10011 + 10001.

peringkat pertama: 1+1 = 2. Kami menuliskan 0 dan 1 muncul di pikiran.

peringkat kedua: 1+0+1(unit yang dihafal) =2. Kami menuliskan 0 dan 1 pergi ke pikiran.

peringkat ketiga: 0+0+1(satuan yang diingat) = 1. Tulis 1.

peringkat keempat 0+0=0. Kami menulis 0.

peringkat kelima 1+1=2. Kami menulis 0 dan menambahkan 1 ke bit keenam.

Mari kita ubah ketiga bilangan ke sistem desimal dan periksa kebenaran penjumlahannya.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 persamaan yang benar

Contoh untuk solusi independen:

a) 11001+101 =

b) 11001 +11001 =

c) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

f) 11011 + 1111 =

e) 11111 + 10011 =

Bagaimana mengkonversi desimal ke biner. Operasi selanjutnya adalah pengurangan. Tetapi kita akan membahas operasi ini nanti, dan sekarang kita akan mempertimbangkan metode untuk mengubah bilangan desimal ke biner.

Untuk mengubah bilangan desimal ke biner, bilangan tersebut harus diekspansi dalam pangkat dua. Tetapi jika pemuaian pangkat puluhan diperoleh dengan segera, maka cara memperbesar pangkat dua membutuhkan sedikit pemikiran. Pertama, mari kita lihat bagaimana melakukan ini dengan metode seleksi. Mari kita ambil angka desimal 12.

Langkah pertama. 2 2 \u003d 4, ini tidak cukup. Itu juga kecil dan 2 3 \u003d 8, dan 2 4 \u003d 16 sudah banyak. Jadi mari kita tinggalkan 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Sekarang Anda perlu merepresentasikan 4 sebagai pangkat dua.

Langkah dua. 4 = 2 2 .

Maka bilangan kita 12 = 2 3 + 2 2 . Digit tertinggi memiliki angka 4, derajat tertinggi = 3, oleh karena itu, harus ada istilah dengan kekuatan dua 1 dan 0. Tapi kita tidak membutuhkannya, jadi untuk menghilangkan derajat yang tidak perlu, dan tinggalkan yang diperlukan satu, kami menulis angka seperti ini: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - ini adalah representasi biner dari angka 12. Sangat mudah untuk melihat bahwa setiap kekuatan berikutnya adalah kekuatan terbesar dari dua, yang kurang dari jumlah yang akan diperluas. Untuk memperbaiki metode, mari kita lihat contoh lain. Nomor 23.

Langkah 1. Pangkat dua terdekat adalah 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Langkah 2. Pangkat dua terdekat adalah 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Langkah 3. Kekuatan terdekat dari dua adalah 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Langkah 4. Pangkat terdekat dari dua 2 0 =1 1 - 1 =0

Kami mendapatkan dekomposisi berikut: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Dan bilangan biner yang kita inginkan adalah 10111

Metode yang dipertimbangkan di atas memecahkan masalah yang ditetapkan sebelumnya dengan baik, tetapi ada metode yang dialgoritme jauh lebih baik. Algoritma untuk metode ini ditulis di bawah ini:

Selama NUMBER lebih besar dari nol do

DIGIT BERIKUTNYA \u003d sisa pembagian NUMBER dengan 2

NUMBER = bagian bilangan bulat dari NUMBER dibagi 2

Ketika algoritma ini menyelesaikan pekerjaannya, urutan DIGIT REGULER yang dihitung akan mewakili bilangan biner. Misalnya, mari kita bekerja dengan angka 19.

Algoritma mulai NUMBER = 19

DIGIT BERIKUTNYA = 1

DIGIT BERIKUTNYA = 1

DIGIT BERIKUTNYA = 0

DIGIT BERIKUTNYA = 0

DIGIT BERIKUTNYA = 1

Jadi, sebagai hasilnya, kami memiliki nomor berikut 10011. Perhatikan bahwa kedua metode yang dipertimbangkan berbeda dalam urutan digit berikutnya yang diperoleh. Pada metode pertama, digit pertama yang diterima adalah digit tertinggi dari bilangan biner, dan pada metode kedua, digit pertama yang diterima, sebaliknya, adalah yang terendah.

Ubah desimal ke biner dengan dua cara

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 f) 1190 g) 2019

Cara mengubah bagian pecahan ke desimal.

Diketahui bahwa bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal dan biasa. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang berbentuk A / B, dapat beraturan dan tidak wajar. Pecahan disebut wajar jika A<В и неправильной если А>DI DALAM.

Jika bilangan rasional diwakili oleh pecahan yang tidak tepat, dan pada saat yang sama pembilang pecahan dibagi dengan penyebut sepenuhnya, maka bilangan rasional ini adalah bilangan bulat, dalam semua kasus lain bagian pecahan muncul. Bagian pecahan sering kali merupakan bilangan yang sangat panjang dan bahkan tak hingga (pecahan periodik tak hingga, misalnya, 20/6), jadi dalam kasus bagian pecahan, kita tidak hanya memiliki tugas menerjemahkan satu representasi ke representasi lain, tetapi menerjemahkan dengan ketelitian tertentu.

Aturan akurasi. Misalkan Anda diberi angka desimal yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal hingga N digit. Agar bilangan biner yang sesuai memiliki presisi yang sama, perlu untuk menulis karakter M - di dalamnya, sehingga

Dan sekarang mari kita coba untuk mendapatkan aturan terjemahan, dan perhatikan dulu contoh 5.401

Larutan:

Kami akan mendapatkan bagian bilangan bulat sesuai dengan aturan yang sudah kami ketahui, dan itu sama dengan bilangan biner 101. Dan kami memperluas bagian pecahan dalam pangkat 2.

Langkah 1: 2 -2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. adalah sisa.

Langkah 2: Sekarang kita perlu merepresentasikan 0,151 sebagai pangkat dua. Mari kita lakukan ini: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Jadi, bagian pecahan asli dapat direpresentasikan sebagai 2 -2 +2 -3 . Hal yang sama dapat ditulis dalam bilangan biner seperti itu: 0,011. Digit pecahan pertama adalah nol, ini karena derajat 2 -1 tidak ada dalam ekspansi kami.

Jelas dari langkah pertama dan kedua bahwa representasi ini tidak tepat dan mungkin diinginkan untuk melanjutkan ekspansi. Mari kita kembali ke aturan. Dikatakan bahwa kita membutuhkan begitu banyak tanda M sehingga 10 3 kurang dari 2 M. Artinya, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Langkah 3: Sekarang kita bekerja dengan angka 0,026. Kekuatan terdekat dari dua ke nomor ini adalah 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 sekarang bilangan biner kita yang lebih tepat adalah 0,011001. Sudah ada enam tempat desimal setelah titik desimal, tetapi ini belum cukup, jadi kami melakukan satu langkah lagi.

Langkah 4: Sekarang kita bekerja dengan angka 0,010375. Kekuatan terdekat dari dua ke nomor ini adalah 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Langkah 5: Sekarang kita bekerja dengan angka 0,0025625. Kekuatan terdekat dari dua ke nomor ini adalah 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Sisa yang dihasilkan terakhir kurang dari 2 -10 dan jika kita ingin terus mendekati bilangan asli, maka kita membutuhkan 2 -11 , tetapi ini sudah melebihi akurasi yang diperlukan, dan oleh karena itu kalkulasi dapat dihentikan dan representasi biner terakhir dari bagian pecahan dapat dituliskan.

0,401 = 0,011001101

Seperti yang Anda lihat, mengubah bagian pecahan dari bilangan desimal menjadi representasi biner sedikit lebih rumit daripada mengonversi bagian bilangan bulat. Tabel pangkat dua di akhir kuliah.

Dan sekarang kita menulis algoritma transformasi:

Data awal dari algoritme: Melalui A kami akan menunjukkan pecahan desimal asli asli yang ditulis dalam bentuk desimal. Biarkan pecahan ini mengandung tanda N.

algoritma

Tindakan 1. Tentukan jumlah karakter biner yang diperlukan M dari pertidaksamaan 10 N< 2 M

Langkah 2: Hitung digit representasi biner (digit setelah nol). Jumlah digit akan dilambangkan dengan simbol K.

1. Angka angka = 1
2. Jika 2 -K > A

Kemudian kita tambahkan nol pada notasi bilangan biner

• tambahkan 1 ke bilangan biner
• A \u003d A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Jika K > M

• maka algoritma selesai.
• Jika tidak, lanjutkan ke langkah 2.

Ubah desimal ke biner

a) 3,6 b) 12,0112 c) 0,231 d) 0,121 e) 23.0091

Pengurangan bilangan biner. Kami juga akan mengurangi angka, kami juga akan menggunakan kolom dan aturan umumnya sama dengan angka desimal, pengurangan dilakukan sedikit demi sedikit dan jika tidak ada cukup unit dalam bit, maka itu terlibat dalam yang lebih tua. Mari kita selesaikan contoh berikut:

peringkat pertama. 1 - 0 = 1. Kami menuliskan 1.

peringkat kedua 0-1. Unit hilang. Kami mengambilnya di kategori senior. Satu dari digit tertinggi menuju ke yang terendah, sebagai dua unit (karena digit tertinggi diwakili oleh dua derajat yang lebih besar) 2-1 \u003d 1. Kami menuliskan 1.

peringkat ketiga. Kami menempati unit dari angka ini, jadi sekarang di angka 0 ada kebutuhan untuk menempati unit dari angka yang paling signifikan. 2-1=1. Kami menuliskan 1.

Mari kita periksa hasilnya dalam sistem desimal

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Kesetaraan sejati.

Cara lain yang menarik untuk melakukan pengurangan adalah terkait dengan konsep komplemen dua, yang memungkinkan Anda untuk mengurangi pengurangan menjadi penjumlahan. Ternyata angka dalam kode tambahan sangat sederhana, kami mengambil angka, mengganti nol dengan satu, sebaliknya, kami mengganti satu dengan nol dan menambahkan satu ke digit paling tidak signifikan. Misalnya, 10010 akan menjadi 011011 dalam kode pelengkap keduanya.

Aturan pengurangan komplemen dua menyatakan bahwa pengurangan dapat diganti dengan penambahan jika pengurangan diganti dengan angka dalam kode komplemen keduanya.

Contoh: 34 - 22 = 12

Mari kita tulis contoh ini dalam bentuk biner. 100010 - 10110 = 1100

Kode tambahan untuk nomor 10110 akan seperti ini

01001 + 00001 = 01010. Kemudian contoh aslinya bisa diganti dengan penjumlahan seperti ini 100010 + 01010 = 101100 Selanjutnya, Anda harus membuang satu unit dengan urutan tertinggi. Jika kami melakukan ini, kami mendapatkan 001100. Kami membuang nol yang tidak signifikan dan mendapatkan 1100, yaitu, contoh diselesaikan dengan benar

Lakukan pengurangan Anda. Dengan cara biasa dan dalam kode tambahan, setelah sebelumnya mengonversi angka desimal ke biner:

Periksa dengan mengubah hasil biner ke desimal.

Perkalian dalam sistem bilangan biner.

Mari kita mulai dengan fakta menarik berikut ini. Untuk mengalikan bilangan biner dengan 2 (dua desimal adalah 10 dalam biner), cukup dengan menambahkan satu nol ke bilangan yang dikalikan di sebelah kiri.

Contoh. 10101 * 10 = 101010

Penyelidikan.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Jika kita ingat bahwa bilangan biner apa pun dapat diekspansi dalam pangkat dua, maka menjadi jelas bahwa perkalian dalam sistem bilangan biner dikurangi menjadi perkalian dengan 10 (yaitu dengan desimal 2), dan oleh karena itu, perkalian adalah deret yang berurutan bergeser. Aturan umumnya adalah, seperti halnya bilangan desimal, perkalian biner dilakukan sedikit demi sedikit. Dan untuk setiap digit pengali kedua, satu nol ditambahkan di sebelah kanan pengali pertama. Contoh (belum kolom):

1011 * 101 Perkalian ini dapat direduksi menjadi jumlah dari tiga perkalian bitwise:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Hal yang sama dapat ditulis dalam kolom seperti ini:

Penyelidikan:

101 = 5 (desimal)

1011 = 11 (desimal)

110111 = 55 (desimal)

5*11 = 55 persamaan yang benar

Putuskan sendiri

a) 1101 * 1110 =

b) 1010 * 110 =

e) 101011 * 1101 =

f) 10010 * 1001 =

Catatan: Omong-omong, tabel perkalian dalam sistem biner hanya terdiri dari satu item 1 * 1 = 1

Pembagian dalam sistem biner.

Kami telah mempertimbangkan tiga tindakan dan saya pikir sudah jelas bahwa, secara umum, tindakan pada bilangan biner sedikit berbeda dari tindakan pada angka desimal. Perbedaannya hanya muncul pada kenyataan bahwa ada dua digit dan bukan sepuluh, tetapi ini hanya menyederhanakan operasi aritmatika. Hal yang sama berlaku untuk pembagian, tetapi untuk pemahaman yang lebih baik tentang algoritma pembagian, kami akan menganalisis lebih detail. Misalkan kita perlu membagi dua bilangan desimal, misalnya 234 dibagi 7. Bagaimana kita melakukannya.

Kami mengalokasikan ke kanan (dari digit paling signifikan) sejumlah digit sehingga jumlah yang dihasilkan sekecil mungkin dan pada saat yang sama lebih dari pembagi. 2 lebih kecil dari pembagi, oleh karena itu, angka yang kita butuhkan adalah 23. Kemudian kita membagi angka yang dihasilkan dengan pembagi dengan sisa. Kami mendapatkan hasil berikut:

Operasi yang dijelaskan diulang sampai sisa yang dihasilkan kurang dari pembagi. Ketika ini terjadi, angka yang diperoleh di bawah bilah adalah hasil bagi, dan sisa terakhir adalah sisa operasi. Jadi operasi pembagian bilangan biner dilakukan dengan cara yang persis sama. Mari mencoba

Contoh: 10010111 / 101

Kami mencari nomor, dari urutan tertinggi yang pertama akan lebih besar dari pembagi. Ini adalah empat digit angka 1001. Ditampilkan dalam huruf tebal. Sekarang Anda perlu menemukan pembagi untuk nomor yang dipilih. Dan di sini kita kembali menang dibandingkan dalam sistem desimal. Faktanya adalah bahwa pembagi yang dipilih harus berupa digit, dan kami hanya memiliki dua digit. Karena 1001 jelas lebih besar dari 101, semuanya jelas dengan pembagi, ini adalah 1. Mari kita lakukan langkah operasi.

Jadi, sisa operasinya adalah 100. Ini kurang dari 101, jadi untuk melakukan langkah pembagian kedua, Anda perlu menambahkan digit berikutnya ke 100, ini adalah angka 0. Sekarang kita memiliki angka berikut:

1000 lebih besar dari 101, jadi pada langkah kedua kita tambahkan lagi 1 ke private digit dan mendapatkan hasil sebagai berikut (untuk menghemat tempat, kita langsung menghilangkan digit berikutnya).

Langkah ketiga. Angka yang dihasilkan 110 lebih besar dari 101, jadi pada langkah ini kita akan menuliskannya ke dalam hasil bagi 1. Akan menjadi seperti ini:

Angka 11 yang dihasilkan kurang dari 101, jadi kami menuliskannya dalam angka pribadi 0 dan menurunkan angka berikutnya ke bawah. Ternyata seperti ini:

Angka yang dihasilkan lebih besar dari 101, jadi kami menulis angka 1 ke dalam hasil bagi dan melakukan tindakan lagi. Ternyata gambar ini:

1

0

Sisa 10 yang dihasilkan kurang dari 101, tetapi kami kehabisan angka dalam pembagian, jadi 10 adalah sisa akhir, dan 1110 adalah hasil bagi yang diinginkan.

Periksa dalam desimal

Ini menyimpulkan deskripsi operasi aritmatika paling sederhana yang perlu Anda ketahui untuk menggunakan aritmatika biner, dan sekarang kami akan mencoba menjawab pertanyaan "Mengapa kita membutuhkan aritmatika biner." Tentu saja, telah ditunjukkan di atas bahwa menulis angka dalam sistem biner sangat menyederhanakan operasi aritmatika, tetapi pada saat yang sama, catatan itu sendiri menjadi lebih lama, yang mengurangi nilai penyederhanaan yang diperoleh, sehingga perlu untuk melihat untuk masalah seperti itu, solusinya jauh lebih sederhana dalam bilangan biner.

Tugas 1: Mendapatkan Semua Sampel

Sangat sering ada tugas di mana Anda harus mampu membangun semua kemungkinan kombinasi dari satu set item tertentu. Misalnya, tugas seperti itu:

Diberikan tumpukan batu yang besar, susunlah batu-batu tersebut dalam dua tumpukan sedemikian rupa sehingga massa kedua tumpukan ini sebanyak mungkin sama.

Tugas ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

Temukan sampel batu dari tumpukan besar sehingga massa totalnya sedikit berbeda dari setengah massa tumpukan besar.

Ada beberapa tugas semacam ini. Dan semuanya turun, seperti yang telah disebutkan, ke kemampuan untuk mendapatkan semua kemungkinan kombinasi (kami akan menyebutnya pilihan di bawah) dari serangkaian elemen tertentu. Dan sekarang kita akan mempertimbangkan metode umum untuk mendapatkan semua sampel yang mungkin menggunakan operasi penjumlahan biner. Mari kita mulai dengan sebuah contoh. Biarkan ada satu set tiga item. Kami membangun semua sampel yang mungkin. Item akan dilambangkan dengan nomor seri. Artinya, ada item berikut: 1, 2, 3.

Sampel: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (seratus); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Jika ada satu di posisi dengan nomor berikutnya, maka ini berarti bahwa elemen dengan nomor yang sama dengan posisi ini hadir dalam pemilihan, dan jika ada nol, maka elemen tersebut tidak ada. Misalnya, sampel(0, 1, 0); terdiri dari satu unsur dengan angka 2, dan sampelnya adalah (1, 1, 0); terdiri dari dua unsur dengan angka 1 dan 2.

Contoh ini dengan jelas menunjukkan bahwa sampel dapat direpresentasikan sebagai bilangan biner. Selain itu, mudah untuk melihat bahwa semua kemungkinan bilangan biner satu, dua dan tiga digit ditulis di atas. Mari kita tulis ulang sebagai berikut:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Kami telah menerima serangkaian bilangan biner berurutan, yang masing-masing diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan satu. Anda dapat memeriksanya. Dengan menggunakan pola yang diamati ini, kita dapat membuat algoritma berikut untuk mendapatkan sampel.

Data awal dari algoritma

Diberikan satu set item N - buah. Berikut ini, kita akan mengacu pada himpunan ini sebagai himpunan elemen awal. Mari kita beri nomor semua elemen himpunan asli dari 1 sampai N. Mari kita buat bilangan biner dari N nol yang tidak signifikan. 0000… 0 N Angka biner nol ini akan menunjukkan sampel nol dari mana proses pengambilan sampel akan dimulai. Digit angka dianggap dari kanan ke kiri, yaitu angka paling kiri adalah yang paling signifikan.

Mari kita setuju untuk menunjukkan bilangan biner ini dengan huruf kapital BINARY

algoritma

Jika bilangan BINARY seluruhnya terdiri dari satu

Kemudian kita hentikan algoritmanya

• Kami menambahkan satu ke bilangan BINARY sesuai dengan aturan aritmatika biner.
• Dari nomor BINARY yang diterima, kami menyusun sampel berikutnya, seperti dijelaskan di atas.

Tugas 2: Menemukan bilangan prima besar

Pertama, ingat bahwa bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Contoh bilangan prima: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Menemukan bilangan prima besar adalah masalah matematika yang sangat penting. Bilangan prima yang besar diperlukan untuk mengenkripsi pesan secara aman dengan beberapa algoritme enkripsi. Dan tidak hanya jumlah besar yang dibutuhkan, tetapi yang sangat besar. Semakin besar angkanya, semakin aman cipher berdasarkan angka tersebut.

Catatan. Cipher yang kuat adalah cipher yang membutuhkan waktu yang sangat lama untuk didekripsi.

Mengapa? Bilangan prima berperan sebagai kunci dalam enkripsi dan dekripsi. Selain itu, kita tahu bahwa bilangan prima tidak sering muncul dalam deret bilangan asli. Ada cukup banyak dari mereka di antara seribu pertama, kemudian jumlah mereka mulai berkurang dengan cepat. Oleh karena itu, jika kita mengambil nomor yang tidak terlalu besar sebagai kunci, decryptor, bahkan menggunakan komputer yang tidak terlalu cepat, akan dapat memperolehnya (dengan menyortir semua bilangan prima satu demi satu sebagai kunci) dalam waktu yang terbatas.

Kode yang cukup andal dapat diperoleh jika Anda mengambil kode sederhana di mana, misalnya, 150 karakter. Namun, menemukan yang sederhana seperti itu tidak mudah. Mari kita asumsikan bahwa beberapa bilangan A (sangat besar) perlu diuji keutamaannya. Ini sama dengan mencari pembaginya. Jika kita dapat menemukan pembagi antara 2 dan akar kuadrat dari A, maka itu bukan bilangan prima. Mari kita perkirakan banyaknya bilangan yang perlu diperiksa kemampuan membagi bilangan A.

Misalkan angka A memiliki 150 digit. Akar kuadratnya akan berisi setidaknya 75 karakter. Untuk memilah-milah sejumlah pembagi yang mungkin, kita membutuhkan komputer yang sangat kuat dan banyak waktu, yang berarti bahwa masalahnya praktis tidak dapat dipecahkan.

Bagaimana menghadapinya.

Pertama, Anda dapat belajar dengan cepat memeriksa pembagian satu angka dengan angka lainnya, dan kedua, Anda dapat mencoba memilih angka A sedemikian rupa sehingga sederhana dengan tingkat probabilitas tinggi. Ternyata ini mungkin. Ahli matematika Mersen menemukan bahwa bilangan-bilangan dalam bentuk berikut:

Sederhana dengan tingkat probabilitas tinggi.

Untuk memahami ungkapan yang tertulis di atas, mari kita hitung berapa banyak bilangan prima dalam seribu pertama dan berapa banyak bilangan Mersenne dalam seribu yang sama yang prima. Jadi bilangan Mersen pada seribu pertama adalah sebagai berikut:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Bilangan prima ditandai dengan huruf tebal. Total ada 5 bilangan prima untuk 9 bilangan Mersenne. Sebagai persentase, ini adalah 5/9 * 100 \u003d 55,6%. Pada saat yang sama, hanya ada 169 bilangan prima untuk 1000 bilangan asli pertama. Sebagai persentase, ini adalah 169/1000 * 100 = 16,9%. Artinya, dalam seribu pertama, dalam persentase, bilangan prima di antara bilangan Mersenne ditemukan hampir 4 kali lebih sering daripada di antara bilangan asli biasa.

___________________________________________________________

Dan sekarang mari kita ambil nomor Mersen tertentu, misalnya 2 4 - 1. Mari kita tulis sebagai bilangan biner.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Mari kita ambil nomor Mersen berikutnya 2 5 -1 dan tulis sebagai bilangan biner. Kami mendapatkan yang berikut:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Sudah jelas bahwa semua nomor Mersenne adalah urutan satu, dan fakta ini saja memberikan keuntungan besar. Pertama, dalam sistem biner sangat mudah untuk mendapatkan nomor Mersenne berikutnya, cukup dengan menambahkan satu ke nomor berikutnya, dan kedua, jauh lebih mudah untuk mencari pembagi dalam sistem biner daripada di desimal.

Konversi desimal ke biner cepat

Salah satu masalah utama dalam menggunakan sistem bilangan biner adalah kesulitan dalam mengubah bilangan desimal ke biner. Ini adalah tugas yang agak melelahkan. Tentu saja tidak terlalu sulit untuk menerjemahkan bilangan kecil yang terdiri dari tiga atau empat digit, tetapi untuk bilangan desimal yang terdiri dari 5 digit atau lebih, ini sudah sulit. Artinya, kita membutuhkan cara untuk dengan cepat mengubah bilangan desimal besar menjadi representasi biner.

Metode ini ditemukan oleh ahli matematika Prancis Legendre. Misalkan diberikan bilangan 11183445. Kita bagi dengan 64, kita dapatkan sisa 21 dan hasil bagi 174741. Kita bagi lagi bilangan ini dengan 64, kita peroleh sisa 21 dan hasil bagi 2730. Akhirnya, 2730 dibagi dengan 64 memberikan sisa 42 dan hasil bagi 42 Tetapi 64 dalam biner adalah 1000000, 21 dalam biner adalah 10101, dan 42 adalah 101010, sehingga bilangan asli akan ditulis dalam biner sebagai berikut:

101010 101010 010101 010101

Agar lebih jelas, contoh lain dengan jumlah yang lebih kecil. Mari kita terjemahkan representasi biner dari angka 235. Bagilah 235 dengan 64 dengan sisa. Kita mendapatkan:

SWASTA = 3, biner 11 atau 000011

RESOLUSI = 43, biner 101011

Kemudian 235 = 11101011, Periksa hasil ini:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Catatan:

1. Sangat mudah untuk melihat bahwa bilangan biner akhir mencakup semua sisa dan, pada langkah terakhir, baik sisa maupun hasil bagi.
2. Hasil bagi ditulis sebelum sisanya.
3. Jika hasil bagi atau sisa yang dihasilkan memiliki kurang dari 6 digit dalam representasi biner (6 angka nol berisi representasi biner dari angka 64 = 1000000), maka angka nol yang tidak signifikan ditambahkan ke dalamnya.

Dan contoh sulit lainnya. Nomor 25678425.

Langkah 1: 25678425 dibagi 64

Pribadi = 401225

Sisa = 25 = 011001

Langkah 2: 401225 dibagi 64

Pribadi = 6269

Sisa = 9 = 001001

Langkah 3: 6269 dibagi 64

Pribadi = 97

Sisa = 61 = 111101

Langkah 4: 97 dibagi 64

Pribadi = 1 = 000001

Sisa = 33 = 100001

Hasil angka = 1.100001.111101.001001.011001

Dalam angka ini, sebuah titik memisahkan hasil antara yang termasuk di dalamnya.

Konversi ke representasi biner dari angka:

LAMPIRAN: TABEL 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Tempat pelajaran: pelajaran kelas 9-3 dari bagian yang dipelajari
2. Topik pelajaran: Operasi aritmatika dalam sistem biner.

Jenis kelas: kuliah, percakapan, pekerjaan mandiri.

Tujuan pelajaran:

Bersifat mendidik: memperkenalkan aturan untuk melakukan operasi aritmatika (penjumlahan, perkalian, pengurangan) dalam sistem bilangan biner.

Pendidikan: penanaman keterampilan kemandirian dalam bekerja, pendidikan ketelitian, disiplin.

Mengembangkan: pengembangan perhatian, memori siswa, pengembangan kemampuan membandingkan informasi yang diterima.

Koneksi interdisipliner: Matematika:

Kelas peralatan (peralatan) pendidikan:proyektor, meja, kartu tugas.

Dukungan metodologis pelajaran:presentasi di PowerPoint.

Rencana belajar

1. Momen organisasi (2 menit).
2. Pengulangan (10)
3. Menjelaskan materi baru (15 menit)
4. Konsolidasi materi yang dibahas (10 menit)
5. pekerjaan rumah
6. Refleksi (2 menit)
7. Menyimpulkan (2 menit)

Selama kelas

1. Mengatur waktu
2. Pembaruan pengetahuan.Kami terus mempelajari topik sistem bilangan dan tujuan pelajaran kami hari ini adalah mempelajari cara melakukan operasi aritmatika dalam sistem bilangan biner, yaitu, kami akan mempertimbangkan dengan Anda aturan untuk melakukan operasi seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian.
3. Pemeriksaan pengetahuan (survei depan).

Mari kita ingat:

1. Apa itu sistem bilangan?
2. Apa dasar dari sistem bilangan?
3. Apa dasar dari sistem bilangan biner?
4. Tunjukkan angka mana yang ditulis dengan kesalahan dan alasankan jawaban Anda:
   123 8, 3006 2, 12-09 20, 13476 10,
5. Berapa basis minimum yang harus dimiliki sistem bilangan jika angka-angka dapat ditulis di dalamnya: 10, 21, 201, 1201
6. Apa akhir dari bilangan biner genap?
   Digit apa yang diakhiri dengan bilangan biner ganjil?

4 . Mempelajari materi baru disertai dengan presentasi

/ Lampiran 1/

Guru menjelaskan topik baru pada slide presentasi, siswa mencatat dan menyelesaikan tugas yang diajukan guru di buku catatan.

Dari semua sistem posisi, sistem bilangan biner sangat sederhana. Pertimbangkan untuk melakukan operasi aritmatika dasar pada bilangan biner.

Semua sistem angka posisi "sama", yaitu, dalam semuanya operasi aritmatika dilakukan sesuai dengan aturan yang sama:

satu . hukum aritmatika yang sama berlaku: komutatif, asosiatif, distributif;

2. aturan penambahan, pengurangan, dan perkalian dengan kolom adalah adil;

3. Aturan untuk melakukan operasi aritmatika didasarkan pada tabel penjumlahan dan perkalian.

Tambahan

Pertimbangkan contoh penambahan.

Saat menambahkan kolom dua digit dari kanan ke kiri dalam sistem bilangan biner, seperti dalam sistem posisi apa pun, hanya satu yang dapat melanjutkan ke bit berikutnya.

Hasil penjumlahan dua bilangan positif memiliki jumlah digit yang sama dengan jumlah maksimum kedua suku, atau satu digit lebih banyak, tetapi digit ini hanya boleh satu.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Pengurangan

Pekerjaan mandiri siswa dalam buku catatan untuk mengkonsolidasikan materi

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Perkalian
Perhatikan contoh perkalian.

Operasi perkalian dilakukan dengan menggunakan tabel perkalian sesuai dengan skema biasa (digunakan dalam sistem bilangan desimal) dengan perkalian berturut-turut dari pengali dengan digit pengali berikutnya.
Perhatikan contoh perkalian
Saat melakukan perkalian dalam contoh 2, tiga unit ditambahkan 1+1+1=11 pada angka yang sesuai, 1 ditulis, dan unit lainnya dipindahkan ke angka tertinggi.
Dalam sistem bilangan biner, operasi perkalian direduksi menjadi pergeseran perkalian dan penambahan hasil antara.
Divisi

Operasi pembagian dilakukan sesuai dengan algoritma yang mirip dengan algoritma operasi pembagian dalam sistem bilangan desimal.

Perhatikan contoh pembagian

Konsolidasi (pekerjaan mandiri siswa pada kartu dilakukan di buku catatan) / Lampiran 2 /

Untuk siswa yang menyelesaikan pekerjaan mandiri dalam waktu singkat, tugas tambahan ditawarkan.

5. Pekerjaan rumah

2. Pelajari aturan untuk melakukan operasi aritmatika dalam sistem bilangan biner, pelajari tabel penjumlahan, pengurangan, perkalian.

3. Ikuti langkah ini:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Refleksi

Hari ini dalam pelajaran yang paling informatif bagi saya adalah ...

Saya terkejut bahwa…

Saya bisa menerapkan apa yang saya pelajari di kelas hari ini...

7. Ringkasan pelajaran

Hari ini kita belajar bagaimana melakukan operasi aritmatika dalam sistem bilangan biner (penilaian untuk pelajaran).

Teks slide:

Tema pelajaran: "Operasi aritmatika dalam sistem bilangan posisional" Guru ilmu komputer Marina Valentinovna Fedorchenko MOU Sekolah menengah Berezovskaya dengan distrik Berezovka Taishet, Wilayah Irkutsk Mari kita ingat: Apa itu sistem bilangan? Apa dasar dari sistem bilangan? Apa itu basis sistem bilangan biner? bilangan ditulis dengan kesalahan dan membenarkan jawabannya: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Berapa basis minimum yang harus dimiliki sistem bilangan jika angka dapat ditulis di dalamnya: 10, 21, 201 , 1201 Digit apa yang diakhiri dengan bilangan biner genap?Digit apa yang diakhiri dengan bilangan biner ganjil?
Laplace menulis tentang sikapnya terhadap sistem bilangan biner (biner) dari ahli matematika hebat Leibniz: “Dalam aritmatika binernya, Leibniz melihat prototipe penciptaan. Baginya, satu mewakili prinsip ilahi, dan nol - non-eksistensi, dan bahwa makhluk yang lebih tinggi menciptakan segala sesuatu dari non-eksistensi dengan cara yang persis sama seperti satu dan nol dalam sistemnya mengekspresikan semua angka. Kata-kata ini menekankan universalitas alfabet, yang terdiri dari dua karakter. Semua sistem angka posisi "sama", yaitu, operasi aritmatika dilakukan di semuanya sesuai dengan aturan yang sama:
hukum aritmatika yang sama berlaku: --komutatif (perpindahan) m + n = n + mm n = n m asosiatif (kombinatif) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k ( mn) k = m (nk) = mnk distributif (distributif) (m + n) k = mk + nk
aturan penambahan, pengurangan, dan perkalian dengan kolom adalah valid;
aturan untuk melakukan operasi aritmatika didasarkan pada tabel penjumlahan dan perkalian.
Penjumlahan dalam sistem bilangan posisi Dari semua sistem posisi, sistem bilangan biner sangat sederhana. Pertimbangkan untuk melakukan operasi aritmatika dasar pada bilangan biner. Semua sistem bilangan posisional adalah "sama", yaitu, operasi aritmatika dilakukan di semuanya menurut aturan yang sama: yang sama adalah valid: komutatif, asosiatif, distributif; aturan penambahan, pengurangan, dan perkalian oleh kolom adalah valid; aturan untuk melakukan operasi aritmatika didasarkan pada tabel penjumlahan dan perkalian.
Saat menambahkan kolom dua digit dari kanan ke kiri dalam sistem bilangan biner, seperti dalam sistem posisi apa pun, hanya satu yang dapat melanjutkan ke bit berikutnya. Hasil penjumlahan dua bilangan positif memiliki jumlah digit yang sama dengan jumlah maksimum kedua suku, atau satu digit lebih banyak, tetapi digit ini hanya boleh satu. Pertimbangkan contoh Memecahkan contoh sendiri:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Saat melakukan operasi pengurangan, angka yang lebih kecil selalu dikurangkan dari angka yang lebih besar dalam nilai absolut dan tanda yang sesuai diletakkan pada hasilnya.
Pengurangan Perhatikan contoh Contoh:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Perkalian dalam sistem bilangan posisional Operasi perkalian dilakukan dengan menggunakan tabel perkalian menurut skema biasa (digunakan dalam sistem bilangan desimal) dengan perkalian berturut-turut dari perkalian dan digit berikutnya dari pengali Mari kita perhatikan contoh perkalian. Mari kita lihat contohnya Mari kita lihat contoh pembagian
Mari kita selesaikan contoh:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Pekerjaan Rumah 1.&3.1.22 Pelajari aturan untuk melakukan operasi aritmatika dalam sistem biner, pelajari tabel penjumlahan, pengurangan, perkalian.3. Lakukan hal berikut: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Refleksi Hari ini dalam pelajaran yang paling informatif bagi saya adalah ... Saya terkejut bahwa ... Saya dapat menerapkan pengetahuan yang diperoleh hari ini dalam pelajaran ...