Gelar dan sifat-sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)

Kami menemukan apa tingkat angka secara umum. Sekarang kita perlu memahami cara menghitungnya dengan benar, mis. menaikkan angka menjadi kekuatan. Dalam materi ini, kita akan menganalisis aturan dasar untuk menghitung derajat dalam kasus bilangan bulat, alami, pecahan, eksponen rasional dan irasional. Semua definisi akan diilustrasikan dengan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konsep eksponensial

Mari kita mulai dengan perumusan definisi dasar.

Definisi 1

Eksponen adalah perhitungan nilai pangkat beberapa bilangan.

Artinya, kata "perhitungan nilai derajat" dan "perpangkatan" memiliki arti yang sama. Jadi, jika tugasnya adalah "Naikkan angka 0 , 5 ke pangkat lima", ini harus dipahami sebagai "hitung nilai pangkat (0 , 5) 5 .

Sekarang kami memberikan aturan dasar yang harus diikuti dalam perhitungan tersebut.

Ingat kembali apa itu pangkat dari bilangan dengan eksponen alami. Untuk pangkat dengan basis a dan eksponen n, ini akan menjadi produk dari jumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Ini dapat ditulis seperti ini:

Untuk menghitung nilai derajat, Anda perlu melakukan operasi perkalian, yaitu mengalikan basis derajat beberapa kali. Konsep gelar dengan indikator alami didasarkan pada kemampuan untuk mengalikan dengan cepat. Mari kita beri contoh.

Contoh 1

Kondisi: Naikkan - 2 pangkat 4 .

Larutan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: (− 2) 4 = (− 2) ( 2) (− 2) (− 2) . Selanjutnya, kita hanya perlu mengikuti langkah-langkah ini dan mendapatkan 16 .

Mari kita ambil contoh yang lebih rumit.

Contoh 2

Hitung nilainya 3 2 7 2

Larutan

Entri ini dapat ditulis ulang menjadi 3 2 7 · 3 2 7 . Sebelumnya kita telah melihat cara mengalikan bilangan campuran yang disebutkan dalam kondisi dengan benar.

Lakukan langkah-langkah ini dan dapatkan jawabannya: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jika tugas menentukan kebutuhan untuk membangun ir angka rasional untuk kekuatan alami, pertama-tama kita harus membulatkan basisnya ke angka, yang memungkinkan kita mendapatkan jawaban dengan akurasi yang diinginkan. Mari kita ambil contoh.

Contoh 3

Lakukan kuadrat dari bilangan .

Larutan

Mari kita bulatkan ke ratusan dulu. Maka 2 (3, 14) 2 = 9, 8596. Jika 3 . 14159, maka kita akan mendapatkan hasil yang lebih akurat: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Perhatikan bahwa kebutuhan untuk menghitung pangkat bilangan irasional dalam praktik relatif jarang muncul. Kita kemudian dapat menulis jawabannya sebagai pangkat itu sendiri (ln 6) 3 atau jika mungkin mengubah: 5 7 = 125 5 .

Secara terpisah, itu harus ditunjukkan apa kekuatan pertama dari suatu angka. Di sini Anda hanya dapat mengingat bahwa angka apa pun yang dipangkatkan pertama akan tetap menjadi dirinya sendiri:

Ini jelas dari catatan. .

Itu tidak tergantung pada dasar gelar.

Contoh 4

Jadi, (− 9) 1 = 9 , dan 7 3 dipangkatkan pertama tetap sama dengan 7 3 .

Untuk memudahkan, kami akan menganalisis tiga kasus secara terpisah: jika eksponen adalah bilangan bulat positif, jika nol, dan jika bilangan bulat negatif.

Dalam kasus pertama, ini sama dengan menaikkan ke kekuatan alami: setelah semua, bilangan bulat positif termasuk dalam himpunan bilangan asli. Kami telah menjelaskan cara bekerja dengan gelar seperti itu di atas.

Sekarang mari kita lihat cara menaikkan pangkat nol dengan benar. Dengan basis yang bukan nol, perhitungan ini selalu menghasilkan keluaran 1 . Kami sebelumnya telah menjelaskan bahwa pangkat 0 dari a dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan real yang tidak sama dengan 0 , dan a 0 = 1 .

Contoh 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - tidak ditentukan.

Kami hanya memiliki kasus gelar dengan eksponen bilangan bulat negatif. Kita telah membahas bahwa derajat tersebut dapat ditulis sebagai pecahan 1 a z, di mana a adalah bilangan apa saja, dan z adalah bilangan bulat negatif. Kita lihat bahwa penyebut pecahan ini tidak lain adalah gelar biasa dengan bilangan bulat positif, dan kita telah mempelajari cara menghitungnya. Mari kita beri contoh tugas.

Contoh 6

Naikkan 3 ke pangkat -2.

Larutan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: 2 - 3 = 1 2 3

Kami menghitung penyebut pecahan ini dan mendapatkan 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Maka jawabannya adalah: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Contoh 7

Naikkan 1, 43 ke pangkat -2.

Larutan

Rumuskan ulang: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kami menghitung kuadrat dalam penyebut: 1,43 1,43. Desimal dapat dikalikan dengan cara ini:

Hasilnya, kami mendapatkan (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Tetap bagi kita untuk menulis hasil ini dalam bentuk pecahan biasa, yang perlu dikalikan dengan 10 ribu (lihat materi tentang konversi pecahan).

Jawaban: (1, 43) - 2 = 10.000 20449

Kasus terpisah adalah menaikkan angka ke pangkat pertama minus. Nilai derajat seperti itu sama dengan angka yang berlawanan dengan nilai asli pangkalan: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Contoh 8

Contoh: 3 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cara menaikkan angka ke kekuatan pecahan

Untuk melakukan operasi seperti itu, kita perlu mengingat definisi dasar derajat dengan eksponen pecahan: a m n \u003d a m n untuk setiap positif a, bilangan bulat m dan n alami.

Definisi 2

Dengan demikian, perhitungan derajat pecahan harus dilakukan dalam dua langkah: menaikkan pangkat bilangan bulat dan menemukan akar derajat ke-n.

Kami memiliki persamaan a m n = a m n , yang, mengingat sifat-sifat akar, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk a m ​​n = a n m . Ini berarti bahwa jika kita menaikkan angka a ke pangkat pecahan m / n, maka pertama-tama kita mengekstrak akar derajat ke-n dari a, kemudian kita menaikkan hasilnya ke pangkat dengan eksponen bilangan bulat m.

Mari kita ilustrasikan dengan sebuah contoh.

Contoh 9

Hitung 8 - 2 3 .

Larutan

Metode 1. Menurut definisi dasar, kita dapat menyatakan ini sebagai: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Sekarang mari kita hitung derajat di bawah akar dan ekstrak akar ketiga dari hasilnya: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metode 2. Mari kita ubah persamaan dasar: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Setelah itu, kita ekstrak akar 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dan kuadratkan hasilnya: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Kami melihat bahwa solusinya identik. Anda dapat menggunakan cara apa pun yang Anda suka.

Ada kasus ketika derajat memiliki indikator yang dinyatakan sebagai angka campuran atau pecahan desimal. Untuk memudahkan perhitungan, lebih baik menggantinya dengan pecahan biasa dan menghitung seperti yang ditunjukkan di atas.

Contoh 10

Naikkan 44,89 ke pangkat 2,5.

Larutan

Mari kita ubah nilai indikator menjadi pecahan biasa - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Dan sekarang kita melakukan semua tindakan yang ditunjukkan di atas secara berurutan: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Jawaban: 13501, 25107.

Jika pembilang dan penyebut suatu eksponen pecahan adalah angka besar, maka menghitung eksponen tersebut dengan eksponen rasional adalah pekerjaan yang agak sulit. Biasanya membutuhkan teknologi komputer.

Secara terpisah, kita membahas derajat dengan basis nol dan eksponen pecahan. Ekspresi bentuk 0 m n dapat diberikan arti sebagai berikut: jika m n > 0, maka 0 m n = 0 m n = 0 ; jika m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cara menaikkan angka menjadi kekuatan irasional

Kebutuhan untuk menghitung nilai derajat, dalam indikator yang ada bilangan irasional, tidak sering muncul. Dalam praktiknya, tugas biasanya terbatas pada menghitung nilai perkiraan (hingga sejumlah tempat desimal tertentu). Ini biasanya dihitung di komputer karena rumitnya perhitungan seperti itu, jadi kami tidak akan membahas ini secara rinci, kami hanya akan menunjukkan ketentuan utama.

Jika kita perlu menghitung nilai derajat a dengan ir indikator rasional a , maka kami mengambil pendekatan desimal dari indikator dan mengandalkannya. Hasilnya akan menjadi jawaban perkiraan. Semakin akurat pendekatan desimal yang diambil, semakin akurat jawabannya. Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh:

Contoh 11

Hitung nilai perkiraan 21 , 174367 ....

Larutan

Kami membatasi diri pada pendekatan desimal a n = 1 , 17 . Mari kita lakukan perhitungan menggunakan angka ini: 2 1 , 17 2 , 250116 . Jika kita mengambil, misalnya, pendekatan a n = 1 , 1743 , maka jawabannya akan sedikit lebih tepat: 2 1 , 174367 . . . 2 1. 1743 2. 256833 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Eksponen adalah operasi yang berkaitan erat dengan perkalian, operasi ini merupakan hasil perkalian dari perkalian bilangan dengan dirinya sendiri. Mari kita nyatakan rumusnya: a1 * a2 * ... * an = an.

Misalnya, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Secara umum, eksponensial sering digunakan dalam berbagai rumus dalam matematika dan fisika. Fungsi ini memiliki tujuan yang lebih ilmiah daripada empat fungsi dasar: Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian.

Menaikkan angka menjadi kekuatan

Menaikkan angka ke pangkat bukanlah operasi yang sulit. Hal ini terkait dengan perkalian seperti hubungan antara perkalian dan penambahan. Rekam an - catatan singkat dari jumlah ke-n angka "a" dikalikan satu sama lain.

Pertimbangkan eksponensial paling banyak contoh sederhana beralih ke yang kompleks.

Misalnya, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Empat kuadrat (untuk pangkat kedua) sama dengan enam belas. Jika Anda tidak memahami perkalian 4 * 4, maka baca artikel kami tentang perkalian.

Mari kita lihat contoh lain: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Lima potong dadu (untuk pangkat ketiga) sama dengan seratus dua puluh lima.

Contoh lain: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Sembilan potong dadu sama dengan tujuh ratus dua puluh sembilan.

Rumus Eksponen:

Untuk menaikkan pangkat dengan benar, Anda perlu mengingat dan mengetahui rumus di bawah ini. Tidak ada yang lebih alami dalam hal ini, yang utama adalah memahami esensi dan kemudian mereka tidak hanya akan diingat, tetapi juga tampak mudah.

Meningkatkan monomial menjadi kekuatan

Apa itu monomial? Ini adalah produk dari angka dan variabel dalam jumlah berapa pun. Misalnya, dua adalah monomial. Dan artikel ini adalah tentang mengangkat monomial seperti itu menjadi sebuah kekuatan.

Menggunakan rumus eksponensial, tidak akan sulit untuk menghitung eksponensial dari monomial ke pangkat.

Sebagai contoh, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Jika Anda menaikkan monomial menjadi pangkat, maka setiap komponen monomial dinaikkan menjadi pangkat.

Saat menaikkan variabel yang sudah memiliki derajat ke pangkat, derajat dikalikan. Misalnya, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Meningkatkan ke kekuatan negatif

Eksponen negatif adalah kebalikan dari suatu bilangan. Apa itu timbal balik? Untuk sembarang bilangan X, kebalikannya adalah 1/X. Yaitu X-1=1/X. Ini adalah inti dari derajat negatif.

Perhatikan contoh (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Mengapa demikian? Karena ada minus dalam derajat, kami hanya mentransfer ekspresi ini ke penyebut, dan kemudian menaikkannya ke kekuatan ketiga. Benar?

Menaikkan ke pangkat pecahan

Mari kita mulai diskusinya contoh spesifik. 43/2. Apa yang dimaksud dengan kekuatan 3/2? 3 - pembilang, berarti menaikkan angka (dalam hal ini 4) menjadi kubus. Angka 2 adalah penyebutnya, ini adalah ekstraksi akar kedua dari angka tersebut (dalam hal ini 4).

Kemudian kita mendapatkan akar kuadrat dari 43 = 2^3 = 8 . Jawaban: 8.

Jadi, penyebut derajat pecahan dapat berupa 3 atau 4, dan hingga tak terhingga angka apa pun, dan angka ini menentukan derajat akar pangkat dua diekstrak dari nomor yang diberikan. Tentu saja, penyebutnya tidak boleh nol.

Meningkatkan akar menjadi kekuatan

Jika akar dipangkatkan dengan pangkat yang sama dengan pangkat akar itu sendiri, maka jawabannya adalah ekspresi radikal. Misalnya, (√x)2 = x. Dan dalam hal apapun persamaan derajat akar dan derajat kenaikan akar.

Jika (√x)^4. Maka (√x)^4=x^2. Untuk memeriksa solusinya, kami menerjemahkan ekspresi ke dalam ekspresi dengan derajat pecahan. Karena akarnya kuadrat, penyebutnya adalah 2. Dan jika akarnya dipangkatkan ke empat, maka pembilangnya adalah 4. Kita peroleh 4/2=2. Jawab: x = 2.

Bagaimanapun pilihan terbaik cukup ubah ekspresi menjadi ekspresi dengan kekuatan pecahan. Jika pecahan tidak dikurangi, maka jawaban seperti itu akan diberikan, asalkan akar dari angka yang diberikan tidak dialokasikan.

Eksponen dari bilangan kompleks

Apa itu bilangan kompleks? Bilangan kompleks adalah ekspresi yang memiliki rumus a + b * i; a, b adalah bilangan real. i adalah bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan -1.

Pertimbangkan sebuah contoh. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Daftar ke kursus "Mempercepat penghitungan mental, BUKAN aritmatika mental" untuk mempelajari cara menambah, mengurangi, mengalikan, membagi, mengkuadratkan bilangan, dan bahkan mengakarkan dengan cepat dan benar. Dalam 30 hari, Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran berisi teknik baru, contoh yang jelas dan tugas yang berguna.

Eksponen online

Dengan bantuan kalkulator kami, Anda dapat menghitung eksponensial suatu bilangan menjadi pangkat:

Eksponen Kelas 7

Membesarkan kekuatan mulai melewati anak-anak sekolah hanya di kelas tujuh.

Eksponen adalah operasi yang berkaitan erat dengan perkalian, operasi ini merupakan hasil perkalian dari perkalian bilangan dengan dirinya sendiri. Mari kita nyatakan rumusnya: a1 * a2 * … * an=an .

Sebagai contoh, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Contoh Solusi:

Presentasi eksponen

Presentasi tentang eksponensial, dirancang untuk siswa kelas tujuh. Presentasi mungkin mengklarifikasi beberapa poin yang tidak dapat dipahami, tetapi mungkin tidak akan ada poin seperti itu berkat artikel kami.

Hasil

Kami hanya mempertimbangkan puncak gunung es, untuk memahami matematika dengan lebih baik - daftar untuk kursus kami: Percepat penghitungan mental - BUKAN aritmatika mental.

Dari kursus ini, Anda tidak hanya akan mempelajari lusinan trik untuk perkalian, penjumlahan, perkalian, pembagian, penghitungan persentase yang disederhanakan dan cepat, tetapi juga mengerjakannya dalam tugas khusus dan permainan edukatif! Penghitungan mental juga membutuhkan banyak perhatian dan konsentrasi, yang dilatih secara aktif dalam memecahkan masalah yang menarik.

Sebagai kelanjutan dari percakapan tentang derajat suatu bilangan, adalah logis untuk berurusan dengan mencari nilai derajat. Proses ini diberi nama eksponensial. Dalam artikel ini, kita hanya akan mempelajari bagaimana eksponensial dilakukan, sementara kita akan menyentuh semua eksponen yang mungkin - natural, integer, rasional, dan irasional. Dan menurut tradisi, kami akan mempertimbangkan secara rinci solusi untuk contoh menaikkan angka ke berbagai derajat.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan "eksponensial"?

Mari kita mulai dengan menjelaskan apa yang disebut eksponensial. Berikut adalah definisi yang relevan.

Definisi.

Eksponen adalah mencari nilai pangkat suatu bilangan.

Jadi, mencari nilai pangkat a dengan pangkat r dan menaikkan angka a ke pangkat r adalah hal yang sama. Misalnya, jika tugasnya adalah "menghitung nilai pangkat (0,5) 5", maka dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: "Naikkan angka 0,5 ke pangkat 5".

Sekarang Anda dapat langsung menuju ke aturan yang digunakan untuk melakukan eksponensial.

Menaikkan angka menjadi kekuatan alami

Dalam praktiknya, kesetaraan berdasarkan biasanya diterapkan dalam bentuk . Artinya, ketika menaikkan angka a menjadi pangkat pecahan m / n, akar derajat ke-n dari angka a pertama kali diekstraksi, setelah itu hasilnya dinaikkan menjadi pangkat bilangan bulat m.

Pertimbangkan solusi untuk contoh menaikkan ke pangkat pecahan.

Contoh.

Hitung nilai derajatnya.

Larutan.

Kami menunjukkan dua solusi.

Cara pertama. Menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan. Kami menghitung nilai derajat di bawah tanda akar, setelah itu kami mengekstrak akar pangkat tiga: .

Cara kedua. Menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan dan berdasarkan sifat-sifat akar, persamaan adalah benar . Sekarang ekstrak root Akhirnya, kita naikkan ke pangkat integer .

Jelas, hasil yang diperoleh dari peningkatan ke kekuatan fraksional bertepatan.

Menjawab:

Perhatikan bahwa eksponen pecahan dapat ditulis sebagai pecahan desimal atau bilangan campuran, dalam kasus ini harus diganti dengan pecahan biasa yang sesuai, dan kemudian eksponen harus dilakukan.

Contoh.

Hitung (44,89) 2.5 .

Larutan.

Kami menulis eksponen dalam bentuk pecahan biasa (jika perlu, lihat artikel): . Sekarang kami melakukan peningkatan ke kekuatan fraksional:

Menjawab:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Juga harus dikatakan bahwa menaikkan bilangan ke pangkat rasional adalah proses yang agak melelahkan (terutama bila pembilang dan penyebut dari pangkat pecahan adalah bilangan yang cukup besar), yang biasanya dilakukan dengan menggunakan teknologi komputer.

Sebagai penutup paragraf ini, kita akan membahas konstruksi angka nol menjadi pangkat pecahan. Kami memberikan arti berikut ke tingkat pecahan nol dari bentuk: karena kami memiliki , sedangkan nol pangkat m/n tidak ditentukan. Jadi nol untuk pangkat pecahan positif nol, Misalnya, . Dan nol dalam pangkat negatif fraksional tidak masuk akal, misalnya, ekspresi dan 0 -4,3 tidak masuk akal.

Mengangkat ke kekuatan irasional

Terkadang menjadi perlu untuk mengetahui nilai derajat suatu bilangan dengan eksponen irasional. Dalam hal ini, untuk keperluan praktis, biasanya cukup diperoleh nilai derajat sampai suatu tanda tertentu. Kami segera mencatat bahwa nilai ini dihitung dalam praktik menggunakan teknologi komputasi elektronik, sejak dinaikkan menjadi ir derajat rasional secara manual membutuhkan jumlah yang besar perhitungan yang rumit. Namun, kami akan menjelaskan umumnya esensi tindakan.

Untuk mendapatkan nilai perkiraan eksponen a dengan eksponen irasional, beberapa pendekatan desimal dari eksponen diambil, dan nilai eksponen dihitung. Nilai ini adalah nilai perkiraan derajat dari bilangan a dengan eksponen irasional. Perkiraan desimal yang lebih akurat dari suatu angka diambil pada awalnya, semakin banyak nilai yang tepat gelar akan diperoleh pada akhirnya.

Sebagai contoh, mari kita hitung perkiraan nilai pangkat 2 1.174367... . Mari kita ambil pendekatan desimal berikut dari indikator irasional: . Sekarang kita naikkan 2 ke pangkat rasional 1,17 (kita jelaskan esensi proses ini di paragraf sebelumnya), kita mendapatkan 2 1,17 2,250116. Lewat sini, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jika kita mengambil pendekatan desimal yang lebih akurat dari eksponen irasional, misalnya, , maka kita mendapatkan nilai derajat aslinya yang lebih akurat: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika Zh untuk 5 sel. lembaga pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 7 sel. lembaga pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. lembaga pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 9 sel. lembaga pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache Anda. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami terlebih dahulu sumber daya yang berguna untuk

Mengapa diperlukan gelar? Di mana Anda membutuhkan mereka? Mengapa Anda perlu meluangkan waktu untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari semua tentang gelar, untuk apa gelar itu, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda dalam Kehidupan sehari-hari baca artikel ini.

Dan, tentu saja, mengetahui gelar akan membawa Anda lebih dekat untuk berhasil lulus OGE atau Unified State Examination dan memasuki universitas impian Anda.

Ayo ayo!)

TINGKAT PERTAMA

Eksponennya sama operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.

Sekarang saya akan menjelaskan semuanya bahasa manusia dengan contoh yang sangat sederhana. Hati-hati. Contohnya adalah dasar, tetapi jelaskan hal-hal penting.

Mari kita mulai dengan penambahan.

Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: ada delapan dari kita. Masing-masing memiliki dua botol cola. Berapa banyak cola? Itu benar - 16 botol.

Sekarang perkalian.

Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis dengan cara yang berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Mereka pertama-tama memperhatikan beberapa pola, dan kemudian menemukan cara untuk "menghitung" mereka lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang memiliki jumlah botol cola yang sama dan menghasilkan teknik yang disebut perkalian. Setuju, itu dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk menghitung lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingat tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih keras, dan dengan kesalahan! Tetapi…

Berikut tabel perkaliannya. Ulang.

Dan satu lagi, yang lebih cantik:

Lalu apa lagi trik rumit matematikawan malas datang dengan tagihan? dengan benar - menaikkan angka menjadi kekuatan.

Menaikkan angka menjadi kekuatan

Jika Anda perlu mengalikan angka dengan dirinya sendiri lima kali, maka ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka ini menjadi kekuatan kelima. Sebagai contoh, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah. Dan mereka memecahkan masalah seperti itu dalam pikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah, dan tanpa kesalahan.

Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, itu akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah.

Ngomong-ngomong, mengapa derajat kedua disebut kotak angka, dan yang ketiga kubus? Apa artinya? Sangat Pertanyaan bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.

Contoh kehidupan nyata #1

Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.

Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam renang ada di halaman belakang Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi ... kolam tanpa dasar! Hal ini diperlukan untuk menutupi bagian bawah kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.

Anda cukup menghitung dengan menusukkan jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika ubin Anda berukuran meter demi meter, Anda akan membutuhkan potongan. Sangat mudah... Tapi di mana Anda melihat ubin seperti itu? Ubinnya akan berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan "menghitung dengan jari". Maka Anda harus memperbanyak. Jadi, di satu sisi dasar kolam, kami akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Mengalikan dengan, Anda mendapatkan ubin ().

Apakah Anda memperhatikan bahwa kami mengalikan angka yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apa artinya? Karena bilangan yang sama dikalikan, kita dapat menggunakan teknik eksponensial. (Tentu saja, ketika Anda hanya memiliki dua angka, Anda masih perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Tetapi jika Anda memiliki banyak, maka menaikkan ke pangkat jauh lebih mudah dan kesalahan dalam perhitungan juga lebih sedikit. Untuk ujian, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh derajat ke dua adalah (). Atau Anda dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat akan menjadi. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai persegi. Dan sebaliknya, jika Anda melihat persegi, itu SELALU pangkat kedua dari beberapa angka. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.

Contoh kehidupan nyata #2

Berikut tugas untuk Anda, hitung berapa banyak kotak di papan catur menggunakan kuadrat angka ... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan atau ... jika Anda perhatikan itu papan catur adalah persegi dengan sisi, maka Anda dapat persegi delapan. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan nyata #3

Sekarang kubus atau pangkat tiga dari suatu bilangan. Kolam yang sama. Tetapi sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tanpa diduga, kan?) Gambarlah sebuah kolam: dasar kolam berukuran satu meter dan dalamnya satu meter dan coba hitung berapa banyak kubus meter demi meter yang akan masuk ke kolam Anda.

Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat… dua puluh dua, dua puluh tiga… Berapa hasilnya? Tidak tersesat? Apakah sulit untuk menghitung dengan jari Anda? Sehingga! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, jadi mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tingginya satu sama lain. Dalam kasus kami, volume kolam akan sama dengan kubus ... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya matematikawan jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan angka yang sama dikalikan dengan dirinya sendiri ... Dan apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat menggunakan gelar. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus sama. Ini ditulis seperti ini:

Hanya tersisa menghafal tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda sama malas dan liciknya dengan ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan membuat kesalahan, Anda dapat terus menghitung dengan jari Anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh sepatu dan orang-orang licik untuk memecahkan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh kehidupan nyata #4

Anda memiliki satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan satu juta lagi untuk setiap satu juta. Artinya, setiap satu juta Anda di awal setiap tahun berlipat ganda. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari", maka Anda adalah orang yang sangat pekerja keras dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua kali dua ... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua kali lagi, di tahun ketiga ... Berhenti! Anda perhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda memiliki kompetisi dan orang yang menghitung lebih cepat akan mendapatkan jutaan ini ... Apakah perlu mengingat derajat angka, bagaimana menurut Anda?

Contoh kehidupan nyata #5

Anda memiliki satu juta. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan dua lagi untuk setiap satu juta. Ini bagus kan? Setiap juta tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain ... Ini sudah membosankan, karena Anda sudah mengerti segalanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi kekuatan keempat adalah satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa tiga pangkat empat adalah atau.

Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi kekuatan, Anda akan membuat hidup Anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.

Syarat dan konsep...agar tidak bingung

Jadi, pertama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang "di atas" dari kekuatan angka. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada saat yang sama, apa dasar derajat seperti itu? Bahkan lebih sederhana adalah nomor yang ada di bawah, di pangkalan.

Berikut gambar untuk Anda pastikan.

baik dan dalam pandangan umum untuk menggeneralisasi dan mengingat lebih baik ... Gelar dengan basis "" dan eksponen "" dibaca sebagai "untuk derajat" dan ditulis sebagai berikut:

Kekuatan angka dengan eksponen alami

Anda mungkin sudah menebak: karena eksponennya adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar item: satu, dua, tiga ... Saat kami menghitung item, kami tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan "sepertiga" atau "nol koma lima persepuluh". Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda apa angka-angka ini?

Angka-angka seperti "minus lima", "minus enam", "minus tujuh" mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan sebuah bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Dan apa arti angka negatif ("minus")? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berutang rubel operator.

Semua pecahan adalah bilangan rasional. Bagaimana mereka muncul, menurut Anda? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak memiliki cukup bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan angka rasional… Menarik, bukan?

Ada juga bilangan irasional. Apa angka-angka ini? Singkatnya, pecahan desimal tak terbatas. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, maka Anda mendapatkan bilangan irasional.

Ringkasan:

Mari kita definisikan konsep derajat, yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu, bilangan bulat dan positif).

1. Setiap nomor pangkat pertama sama dengan dirinya sendiri:
2. Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
3. Untuk pangkat tiga angka adalah mengalikannya dengan dirinya sendiri tiga kali:

Definisi. Menaikkan angka ke kekuatan alami adalah mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
.

Properti gelar

Dari mana properti ini berasal? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari kita lihat apa itu dan ?

Menurut definisi:

Berapa banyak pengganda yang ada secara total?

Ini sangat sederhana: kami menambahkan faktor ke faktor, dan hasilnya adalah faktor.

Tetapi menurut definisi, ini adalah derajat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu: , yang harus dibuktikan.

Contoh: Sederhanakan ekspresi.

Larutan:

Contoh: Sederhanakan ekspresi.

Larutan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu harus alasan yang sama!
Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:

hanya untuk produk kekuatan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

2. yaitu -kekuatan suatu bilangan

Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, menurut definisi, ini adalah kekuatan nomor:

Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tetapi Anda tidak akan pernah bisa melakukan ini secara total:

Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?

Tapi itu tidak benar, sungguh.

Gelar dengan basis negatif

Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.

Tapi apa yang harus menjadi dasar?

Dalam derajat dari indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa saja. Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap.

Mari kita pikirkan tanda-tanda ("" atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tapi jika kita kalikan dengan, ternyata.

Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Apakah Anda berhasil?

Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.

Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!

6 contoh latihan

Analisis solusi 6 contoh

utuh kami memberi nama bilangan asli, lawannya (yaitu, diambil dengan tanda "") dan nomornya.

bilangan bulat positif, dan tidak berbeda dengan alam, maka semuanya terlihat persis seperti di bagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.

Setiap angka pangkat nol sama dengan satu:

Seperti biasa, kami bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?

Pertimbangkan beberapa kekuatan dengan basis. Ambil, misalnya, dan kalikan dengan:

Jadi, kami mengalikan angkanya, dan hasilnya sama seperti -. Berapa angka yang harus dikalikan agar tidak ada yang berubah? Itu benar, pada. Cara.

Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor arbitrer:

Mari kita ulangi aturannya:

Setiap angka pangkat nol sama dengan satu.

Tetapi ada pengecualian untuk banyak aturan. Dan di sini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).

Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda masih mendapatkan nol, ini jelas. Tetapi di sisi lain, seperti angka apa pun dengan derajat nol, itu harus sama. Jadi apa kebenaran ini? Matematikawan memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol ke nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membagi dengan nol, tetapi juga menaikkannya ke pangkat nol.

Mari kita pergi lebih jauh. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu derajat negatif, mari kita lakukan hal yang sama seperti sebelumnya: kita mengalikan beberapa bilangan normal dengan bilangan yang sama dalam derajat negatif:

Dari sini sudah mudah untuk mengungkapkan yang diinginkan:

Sekarang kami memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:

Jadi, mari kita rumuskan aturannya:

Suatu bilangan dengan pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif. Tapi diwaktu yang sama basis tidak boleh nol:(karena tidak mungkin untuk membagi).

Mari kita rangkum:

Tugas untuk solusi independen:

Nah, seperti biasa, contoh untuk solusi independen:

Analisis tugas untuk solusi independen:

Saya tahu, saya tahu, angka-angka itu menakutkan, tetapi pada ujian Anda harus siap untuk apa pun! Pecahkan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar bagaimana menanganinya dengan mudah dalam ujian!

Mari kita terus memperluas jangkauan angka yang "cocok" sebagai eksponen.

Sekarang pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?

Jawaban: semua yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat, apalagi.

Untuk memahami apa itu "derajat pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:

Mari kita naikkan kedua sisi persamaan ke pangkat:

Sekarang ingat aturannya "derajat ke gelar":

Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?

Rumusan ini adalah definisi dari akar derajat.

Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat dari suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, adalah sama.

Artinya, akar dari derajat ke-th adalah operasi kebalikan dari eksponensial: .

Ternyata itu. Jelas ini kasus spesial dapat diperpanjang: .

Sekarang tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah didapat dengan aturan power-to-power:

Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, root tidak dapat diekstraksi dari semua angka.

Tidak ada!

Ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari bilangan negatif!

Dan ini berarti bahwa angka-angka seperti itu tidak dapat dinaikkan menjadi pangkat pecahan dengan penyebut genap, yaitu, ekspresinya tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ekspresi?

Tapi di sini muncul masalah.

Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dikurangi, misalnya, atau.

Dan ternyata itu ada, tetapi tidak ada, dan ini hanyalah dua catatan berbeda dari nomor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, maka Anda bisa menuliskannya. Tetapi segera setelah kami menulis indikator dengan cara yang berbeda, kami kembali mendapatkan masalah: (yaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeda!).

Untuk menghindari paradoks seperti itu, pertimbangkan hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - bilangan asli;
• adalah bilangan bulat;

Contoh:

Perpangkatan dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasi ekspresi dengan akar, misalnya:

5 contoh latihan

Analisis 5 contoh untuk pelatihan

Nah, sekarang - yang paling sulit. Sekarang kita akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional.

Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, kecuali

Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab.

Misalnya, eksponen alami adalah angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali;

...kekuatan nol- ini adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri bahkan belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya "persiapan" tertentu angka”, yaitu angka;

...eksponen bilangan bulat negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, jumlahnya tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.

Omong-omong, dalam sains, gelar dengan indikator kompleks sering digunakan, yaitu, indikator tidak genap bilangan asli.

Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

KEMANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar bagaimana memecahkan contoh seperti itu :))

Sebagai contoh:

Putuskan sendiri:

Analisis solusi:

1. Mari kita mulai dengan aturan yang sudah biasa untuk menaikkan gelar ke gelar:

TINGKAT LANJUT

definisi derajat

Derajat adalah ekspresi dari bentuk: , di mana:

• — dasar derajat;
• - eksponen.

Gelar dengan eksponen alami (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan angka ke pangkat alami n berarti mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:

Daya dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:

pemasangan ke kekuatan nol:

Ekspresi tidak terbatas, karena, di satu sisi, untuk tingkat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, angka apa pun hingga derajat ke- adalah ini.

Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:

(karena tidak mungkin untuk membagi).

Sekali lagi tentang nulls: ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika kemudian.

Contoh:

Derajat dengan eksponen rasional

• - bilangan asli;
• adalah bilangan bulat;

Contoh:

Properti gelar

Untuk mempermudah menyelesaikan masalah, mari kita coba memahami: dari mana sifat-sifat ini berasal? Mari kita buktikan.

Mari kita lihat: apa itu dan?

Menurut definisi:

Jadi, di sisi kanan ekspresi ini, produk berikut diperoleh:

Tetapi menurut definisi, ini adalah kekuatan angka dengan eksponen, yaitu:

Q.E.D.

Contoh : Sederhanakan ekspresi.

Larutan : .

Contoh : Sederhanakan ekspresi.

Larutan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu harus atas dasar yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:

Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuatan!

Dalam keadaan apa pun saya tidak boleh menulis itu.

Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Mari kita atur ulang seperti ini:

Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, menurut definisi, ini adalah pangkat -th dari angka:

Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tapi Anda tidak pernah bisa melakukan ini secara total :!

Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi itu tidak benar, sungguh.

Kekuasaan dengan basis negatif.

Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya indeks derajat. Tapi apa yang harus menjadi dasar? Dalam derajat dari alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa saja .

Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda-tanda ("" atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tetapi jika kita kalikan dengan (), kita mendapatkan -.

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya, tandanya akan berubah. Dimungkinkan untuk merumuskan seperti itu aturan sederhana:

1. bahkan derajat, - nomor positif.
2. Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
3. Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
4. Nol untuk kekuatan apa pun sama dengan nol.

Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Apakah Anda berhasil? Berikut adalah jawabannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).

Contoh 6) tidak lagi sederhana. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang kurang: atau? Jika Anda ingat itu, menjadi jelas bahwa, yang berarti basisnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:

Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya menjadi satu sama lain, membaginya menjadi pasangan dan mendapatkan:

Sebelum membongkar aturan terakhir Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung nilai ekspresi:

Solusi :

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Jadi sekarang aturan terakhir:

Bagaimana kita akan membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita perluas konsep derajat dan sederhanakan:

Nah, sekarang mari kita buka tanda kurung. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - seperti apa bentuknya? Ini tidak lain adalah definisi operasi perkalian: total ternyata ada pengganda. Artinya, menurut definisi, itu adalah kekuatan angka dengan eksponen:

Contoh:

Gelar dengan eksponen irasional

Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan indikator irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagi pula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab. Misalnya, eksponen alami adalah angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri beberapa kali; angka ke nol derajat adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya a “penyusunan suatu bilangan” tertentu, yaitu suatu bilangan; derajat dengan bilangan bulat negatif - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, angka itu tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.

Sangat sulit membayangkan derajat dengan eksponen irasional (seperti halnya sulit membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ini adalah objek matematika murni yang telah dibuat oleh ahli matematika untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang angka.

Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen irasional? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Sebagai contoh:

Putuskan sendiri:

1)

2)

3)

Jawaban:

RINGKASAN BAGIAN DAN FORMULA DASAR

Derajat disebut ekspresi dari bentuk: , di mana:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat

derajat, eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

Derajat dengan eksponen rasional

derajat, yang indikatornya adalah bilangan negatif dan pecahan.

Gelar dengan eksponen irasional

eksponen yang eksponennya adalah pecahan desimal tak terhingga atau akar.

Properti gelar

Fitur derajat.

• Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - nomor positif.
• Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
• Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
• Nol sama dengan kekuatan apa pun.
• Setiap angka pangkat nol adalah sama.

SEKARANG ANDA PUNYA KATA...

Bagaimana Anda menyukai artikel tersebut? Beri tahu saya di komentar di bawah jika Anda menyukainya atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman Anda dengan properti daya.

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar.

Dan semoga sukses dengan ujian Anda!

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus ujian, untuk masuk ke institut dengan anggaran dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, mendapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan sepanjang masa situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Kalkulator membantu Anda dengan cepat menaikkan angka menjadi kekuatan online. Basis derajat dapat berupa bilangan apa saja (baik bilangan bulat maupun real). Eksponen juga bisa bilangan bulat atau nyata, dan juga positif dan negatif. Harus diingat bahwa untuk bilangan negatif, menaikkan ke pangkat non-bilangan bulat tidak ditentukan, dan oleh karena itu kalkulator akan melaporkan kesalahan jika Anda masih mencoba melakukan ini.

Kalkulator gelar

Naikkan ke kekuatan

Eksponen: 24601

Apa yang dimaksud dengan kekuatan alami suatu bilangan?

Angka p disebut pangkat ke-n dari angka a jika p sama dengan angka a dikalikan dengan dirinya sendiri n kali: p \u003d a n \u003d a ... a
n - disebut eksponen, dan bilangan a- dasar derajat.

Bagaimana cara menaikkan angka menjadi kekuatan alami?

Untuk memahami bagaimana membangun berbagai nomor kekuatan alam, pertimbangkan beberapa contoh:

Contoh 1. Naikkan angka tiga ke kekuatan keempat. Artinya, perlu untuk menghitung 3 4
Larutan: seperti yang disebutkan di atas, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Menjawab: 3 4 = 81 .

Contoh 2. Naikkan angka lima ke kekuatan kelima. Artinya, perlu untuk menghitung 5 5
Larutan: sama, 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Menjawab: 5 5 = 3125 .

Jadi, untuk menaikkan angka ke kekuatan alami, cukup dengan mengalikannya dengan dirinya sendiri n kali.

Apa yang dimaksud dengan pangkat negatif suatu bilangan?

Pangkat negatif -n dari a dibagi dengan a pangkat n: a -n = .

Dalam hal ini, derajat negatif hanya ada untuk bilangan bukan nol, karena jika tidak, pembagian dengan nol akan terjadi.

Bagaimana cara menaikkan angka menjadi bilangan bulat negatif?

Untuk menaikkan angka bukan nol ke pangkat negatif, Anda perlu menghitung nilai bilangan ini ke pangkat positif yang sama dan membagi satu dengan hasilnya.

Contoh 1. Naikkan angka dua ke pangkat empat minus. Artinya, perlu untuk menghitung 2 -4

Larutan: seperti disebutkan di atas, 2 -4 = = = 0,0625 .

Menjawab: 2 -4 = 0.0625 .