4 bilangan irasional beserta contohnya. Apa itu bilangan rasional dan irasional?

Himpunan bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf kapital huruf latin Saya (\displaystyle \mathbb (I) ) dicetak tebal tanpa isian. Dengan demikian: I = R Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), yaitu, himpunan bilangan irasional adalah selisih antara himpunan bilangan real dan rasional.

Keberadaan bilangan irasional, lebih tepatnya segmen yang tidak dapat dibandingkan dengan segmen satuan panjang, sudah diketahui oleh matematikawan kuno: mereka tahu, misalnya, ketidaksebandingan diagonal dan sisi persegi, yang setara dengan irasionalitas. dari nomor.

YouTube ensiklopedis

1 / 5
irasional adalah:

Contoh Bukti Irasionalitas

Akar dari 2

Katakanlah sebaliknya: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasional, yaitu, direpresentasikan sebagai pecahan m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), di mana m (\gaya tampilan m) adalah bilangan bulat, dan n (\gaya tampilan n)- bilangan asli .
Mari kita kuadratkan persamaan yang seharusnya:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Panah kanan m^(2)=2n^(2)).
Cerita

Jaman dahulu

Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manawa (c. 750 SM - c. 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61, tidak dapat dinyatakan secara eksplisit [ ] .
Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi, yang merupakan bilangan bulat yang dimasukkan ke dalam segmen mana pun [ ] .
Tidak ada data pasti tentang irasionalitas angka mana yang dibuktikan oleh Hippasus. Menurut legenda, ia menemukannya dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Oleh karena itu, masuk akal untuk mengasumsikan bahwa ini adalah rasio emas [ ] .
Matematikawan Yunani menyebut rasio jumlah yang tidak dapat dibandingkan ini logos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak dihormati. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh Pythagoras lainnya "karena menciptakan elemen alam semesta, yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya. " Penemuan Hippas mendahului matematika Pythagoras masalah serius, menghancurkan asumsi yang mendasari seluruh teori bahwa bilangan dan objek geometris adalah satu dan tak terpisahkan.

Dengan segmen satuan panjang, matematikawan kuno sudah tahu: mereka tahu, misalnya, ketidaksebandingan diagonal dan sisi bujur sangkar, yang setara dengan irasionalitas angka.

irasional adalah:

Contoh Bukti Irasionalitas

Akar dari 2

Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, itu direpresentasikan sebagai pecahan yang tidak dapat direduksi, di mana dan adalah bilangan bulat. Mari kita kuadratkan persamaan yang seharusnya:
.
Dari sini dapat disimpulkan bahwa genap, oleh karena itu, genap dan . Biarkan di mana keseluruhan. Kemudian

Oleh karena itu, genap, oleh karena itu, genap dan . Kami telah memperoleh itu dan genap, yang bertentangan dengan ireduksibilitas pecahan . Jadi asumsi awalnya salah, dan - ir bilangan rasional.

Logaritma biner dari angka 3

Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat diambil positif. Kemudian

Tapi yang jelas, itu aneh. Kami mendapatkan kontradiksi.

e

Cerita

Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manawa (± 750 SM - ± 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit.

Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi, yang merupakan bilangan bulat yang dimasukkan ke dalam segmen mana pun. Namun, Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang tunggal, karena asumsi keberadaannya mengarah pada kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring dari sebuah sama kaki segitiga siku-siku berisi sejumlah bilangan bulat dari segmen unit, maka angka ini harus genap dan ganjil pada saat yang sama. Buktinya terlihat seperti ini:
- Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai sebuah:b, di mana sebuah dan b dipilih sekecil mungkin.
- Menurut teorema Pythagoras: sebuah² = 2 b².
- Sebagai sebuah² genap, sebuah harus genap (karena kuadrat dari bilangan ganjil akan menjadi ganjil).
- Sejauh sebuah:b tidak dapat direduksi b harus ganjil.
- Sebagai sebuah genap, menunjukkan sebuah = 2kamu.
- Kemudian sebuah² = 4 kamu² = 2 b².
- b² = 2 kamu², oleh karena itu b genap, maka b bahkan.
- Namun, telah terbukti bahwa b aneh. Kontradiksi.
Matematikawan Yunani menyebut rasio jumlah yang tidak dapat dibandingkan ini logos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak dihormati. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh Pythagoras lainnya "karena menciptakan elemen alam semesta, yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya. " Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi yang mendasari seluruh teori bahwa bilangan dan benda-benda geometris adalah satu dan tak terpisahkan.

Lihat juga

Catatan

Sistem numerik
Perhitungan
set Bilangan asli () Bilangan bulat ()

bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dengan pecahan biasa m/n, dengan pembilang m adalah bilangan bulat dan penyebut n adalah bilangan asli. Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal tak terbatas periodik. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q.

Jika bilangan real tidak rasional, maka bilangan irasional . Pecahan desimal yang menyatakan bilangan irasional tidak terbatas dan tidak periodik. Himpunan bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital I.

Bilangan asli disebut aljabar, jika itu adalah akar dari beberapa polinomial (derajat bukan nol) dengan koefisien rasional. Setiap bilangan non-aljabar disebut transenden.

Beberapa properti:
Saat memecahkan masalah, akan lebih mudah, bersama dengan bilangan irasional a + b√ c (di mana a, b adalah bilangan rasional, c adalah bilangan bulat yang bukan kuadrat dari bilangan asli), untuk mempertimbangkan bilangan "konjugasi" dengan it a - b√ c: jumlah dan perkaliannya dengan bilangan asli - rasional. Jadi a + b√ c dan a – b√ c adalah akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisien bilangan bulat.

Masalah dengan solusi

1. Buktikan bahwa

a) nomor 7;

b) nomor lg 80;

c) angka 2 + 3 3;

tidak rasional.

a) Anggaplah bilangan 7 rasional. Kemudian, ada koprima p dan q sedemikian rupa sehingga 7 = p/q, dari mana kita memperoleh p 2 = 7q 2 . Karena p dan q koprima, maka p 2, dan karenanya p habis dibagi 7. Maka = 7k, di mana k adalah bilangan asli. Oleh karena itu q 2 = 7k 2 = pk, yang bertentangan dengan fakta bahwa p dan q adalah koprima.

Jadi, asumsi tersebut salah, sehingga bilangan 7 adalah irasional.

b) Asumsikan bahwa bilangan lg 80 adalah rasional. Kemudian ada p dan q natural sehingga lg 80 = p/q, atau 10 p = 80 q , dari mana kita mendapatkan 2 p–4q = 5 q–p . Dengan mempertimbangkan bahwa angka 2 dan 5 adalah koprima, kita mendapatkan bahwa persamaan terakhir hanya mungkin untuk p–4q = 0 dan q–p = 0. Dari mana p = q = 0, yang tidak mungkin, karena p dan q adalah dipilih yang alami.

Jadi, anggapan itu salah, jadi angka lg 80 tidak rasional.

c) Mari kita nyatakan bilangan ini dengan x.

Kemudian (x - 2) 3 \u003d 3, atau x 3 + 6x - 3 \u003d 2 (3x 2 + 2). Setelah mengkuadratkan persamaan ini, kita mendapatkan bahwa x harus memenuhi persamaan

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Akar rasionalnya hanya dapat berupa angka 1 dan -1. Pemeriksaan menunjukkan bahwa 1 dan -1 bukan akar.

Jadi, bilangan yang diberikan 2 + 3 3 adalah irasional.

2. Diketahui bilangan a, b, a –√ b ,- rasional. Buktikan itu a dan b juga bilangan rasional.

Pertimbangkan produknya

(a - b) (√ a + b) = a - b.

Nomor a + b , yang sama dengan perbandingan bilangan a – b dan a –√ b , rasional karena hasil bagi dua bilangan rasional adalah bilangan rasional. Jumlah dua bilangan rasional

(√ a + b) + (√ a - b) = a

adalah bilangan rasional, selisihnya,

(√ a + b) - (√ a - b) = b,

juga merupakan bilangan rasional, yang harus dibuktikan.

3. Buktikan bahwa ada bilangan irasional positif a dan b yang bilangan a b alami.

4. Apakah ada bilangan rasional a, b, c, d yang memenuhi persamaan?

(a+b 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

dimana n adalah bilangan asli?

Jika persamaan yang diberikan dalam kondisi terpenuhi, dan bilangan a, b, c, d rasional, maka persamaan juga dipenuhi:

(a-b 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Tetapi 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Hasil kontradiksi membuktikan bahwa persamaan awal tidak mungkin.

Jawaban: mereka tidak ada.

5. Jika ruas-ruas dengan panjang a, b, c membentuk segitiga, maka untuk semua n = 2, 3, 4, . . . segmen dengan panjang n a , n b , n c juga membentuk segitiga. Buktikan itu.

Jika segmen dengan panjang a, b, c membentuk segitiga, maka pertidaksamaan segitiga memberikan:

Oleh karena itu kami memiliki

( n a + n √ b ) n > a + b > c = ( n c ) n ,

N a + n b > n c .

Kasus-kasus yang tersisa untuk memeriksa ketidaksetaraan segitiga dianggap sama, dari mana kesimpulannya mengikuti.

6. Buktikan bahwa pecahan desimal tak hingga 0,123456789101121314... bilangan bulat berurutan) adalah bilangan irasional.

Seperti yang Anda ketahui, bilangan rasional dinyatakan sebagai pecahan desimal, yang memiliki periode mulai dari tanda tertentu. Oleh karena itu, cukup untuk membuktikan bahwa pecahan ini tidak periodik dengan tanda apapun. Misalkan ini bukan masalahnya, dan beberapa barisan T, yang terdiri dari n angka, adalah periode pecahan, dimulai dari tempat desimal ke-m. Jelas ada angka bukan nol setelah angka ke-m, jadi ada angka bukan nol dalam barisan angka T. Ini berarti bahwa mulai dari digit ke-m setelah koma, di antara n digit mana pun dalam satu baris ada digit bukan nol. Namun, dalam notasi desimal dari pecahan ini, harus ada notasi desimal untuk angka 100...0 = 10 k , di mana k > m dan k > n. Jelas bahwa entri ini akan terjadi di sebelah kanan digit ke-m dan berisi lebih dari n nol berturut-turut. Dengan demikian, kita memperoleh kontradiksi, yang melengkapi buktinya.

7. Diberikan pecahan desimal tak hingga 0,a 1 a 2 ... . Buktikan bahwa angka-angka dalam notasi desimalnya dapat disusun kembali sehingga pecahan yang dihasilkan menyatakan bilangan rasional.

Ingat bahwa pecahan menyatakan bilangan rasional jika dan hanya jika periodik, dimulai dari beberapa tanda. Kami membagi angka dari 0 hingga 9 menjadi dua kelas: di kelas pertama kami memasukkan angka-angka yang muncul di pecahan asli beberapa kali, di kelas kedua - angka yang muncul di pecahan asli berkali-kali. Mari kita mulai menulis pecahan periodik, yang dapat diperoleh dari permutasi awal angka. Pertama, setelah nol dan koma, kami menulis secara acak semua angka dari kelas pertama - masing-masing sebanyak yang muncul dalam entri pecahan asli. Digit kelas pertama yang ditulis akan mendahului periode di bagian pecahan desimal. Selanjutnya, kami menuliskan angka-angka dari kelas kedua dalam urutan tertentu sekali. Kami akan menyatakan kombinasi ini sebagai periode dan mengulanginya berkali-kali. Jadi, kami telah menuliskan pecahan periodik yang diperlukan yang menyatakan beberapa bilangan rasional.

8. Buktikan bahwa dalam setiap pecahan desimal tak hingga terdapat barisan angka desimal dengan panjang sembarang, yang muncul berkali-kali tak hingga dalam pemuaian pecahan.

Biarkan m menjadi bilangan asli yang diberikan secara sewenang-wenang. Mari kita pecah pecahan desimal tak terbatas ini menjadi beberapa segmen, masing-masing dengan m digit. Akan ada banyak segmen seperti itu. Di sisi lain, berbagai sistem, yang terdiri dari m digit, hanya ada 10 m , yaitu bilangan berhingga. Akibatnya, setidaknya satu dari sistem ini harus diulang di sini berkali-kali.

Komentar. Untuk bilangan irasional 2 , atau e kita bahkan tidak tahu digit mana yang diulang berkali-kali tanpa batas dalam desimal tak terbatas yang mewakilinya, meskipun masing-masing angka ini dapat dengan mudah ditunjukkan mengandung setidaknya dua digit yang berbeda.

9. Buktikan dengan cara dasar bahwa akar positif dari persamaan

tidak rasional.

Untuk x > 0, ruas kiri persamaan bertambah dengan x, dan mudah untuk melihat bahwa pada x = 1,5 lebih kecil dari 10, dan pada x = 1,6 lebih besar dari 10. Oleh karena itu, satu-satunya akar positif dari persamaan terletak di dalam interval (1.5 ; 1.6).

Kami menulis akar sebagai pecahan tak tereduksi p/q, di mana p dan q adalah beberapa bilangan asli koprima. Maka, untuk x = p/q, persamaannya akan berbentuk sebagai berikut:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

maka p adalah pembagi dari 10, oleh karena itu, p sama dengan salah satu angka 1, 2, 5, 10. Namun, menulis pecahan dengan pembilang 1, 2, 5, 10, kami segera melihat bahwa tidak satupun dari mereka jatuh di dalam interval (1.5; 1.6).

Jadi, akar positif dari persamaan asli tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa, yang berarti merupakan bilangan irasional.

10. a) Apakah ada tiga titik A, B dan C pada bidang sedemikian rupa sehingga untuk sembarang titik X panjang setidaknya salah satu segmen XA, XB dan XC adalah irasional?

b) Koordinat titik sudut segitiga adalah rasional. Buktikan bahwa koordinat pusat lingkaran yang dibatasinya juga rasional.

c) Apakah ada bola di mana ada tepat satu titik rasional? (Titik rasional adalah titik di mana ketiga koordinat Cartesian adalah bilangan rasional.)

a) Ya, ada. Misalkan C adalah titik tengah segmen AB. Maka XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Jika bilangan AB 2 irasional, maka bilangan XA, XB dan XC tidak dapat rasional sekaligus.

b) Misalkan (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) dan (a 3 ; b 3) adalah koordinat titik-titik segitiga. Koordinat pusat lingkaran yang dibatasi diberikan oleh sistem persamaan:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa persamaan ini linier, yang berarti bahwa solusi dari sistem persamaan yang dipertimbangkan adalah rasional.

c) Bola seperti itu ada. Misalnya, bola dengan persamaan

(x - 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Titik O dengan koordinat (0; 0; 0) adalah titik rasional yang terletak pada bola ini. Titik-titik bola yang tersisa tidak rasional. Mari kita buktikan.

Asumsikan kebalikannya: misalkan (x; y; z) adalah titik rasional bola, berbeda dengan titik O. Jelas bahwa x berbeda dari 0, karena untuk x = 0 ada solusi unik (0; 0 ; 0), yang sekarang tidak dapat kita minati. Mari kita perluas tanda kurung dan menyatakan 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

yang tidak bisa untuk rasional x, y, z dan irasional 2 . Jadi, O(0; 0; 0) adalah satu-satunya titik rasional pada bola yang dipertimbangkan.

Masalah tanpa solusi

1. Buktikan bahwa bilangan

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

tidak rasional.

2. Untuk bilangan bulat berapa m dan n persamaan (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n berlaku?

3. Apakah ada bilangan a sehingga bilangan a - 3 dan 1/a + 3 bilangan bulat?

4. Dapatkah bilangan 1, 2, 4 menjadi anggota (tidak harus berdekatan) dari suatu deret aritmatika?

5. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif n persamaan (x + y 3 ) 2n = 1 + 3 tidak memiliki solusi bilangan rasional (x; y).

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan, dimana . Q adalah himpunan semua bilangan rasional.

Bilangan rasional dibagi menjadi: positif, negatif dan nol.

Setiap bilangan rasional dapat dikaitkan dengan satu titik pada garis koordinat. Relasi "ke kiri" untuk titik sesuai dengan relasi "kurang dari" untuk koordinat titik-titik ini. Dapat dilihat bahwa setiap bilangan negatif kurang dari nol dan setiap bilangan positif; dari dua bilangan negatif, yang modulusnya lebih besar lebih kecil. Jadi, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik desimal. Sebagai contoh, .

Algoritma untuk operasi pada bilangan rasional mengikuti aturan tanda untuk operasi yang sesuai pada nol dan pecahan positif. Q melakukan pembagian selain pembagian dengan nol.

Setiap persamaan linier, yaitu persamaan bentuk ax+b=0, di mana , dapat dipecahkan pada himpunan Q, tetapi tidak ada persamaan kuadrat jenis , dapat dipecahkan dalam bilangan rasional. Tidak setiap titik pada garis koordinat memiliki titik rasional. Bahkan pada akhir abad ke-6 SM. n. e di sekolah Pythagoras, terbukti bahwa diagonal sebuah persegi tidak sepadan dengan tingginya, yang sama dengan pernyataan: "Persamaan tidak memiliki akar rasional." Semua hal di atas menyebabkan kebutuhan untuk memperluas himpunan Q, konsep bilangan irasional diperkenalkan. Tunjukkan himpunan bilangan irasional dengan huruf J .

Pada garis koordinat, semua titik yang tidak memiliki koordinat rasional memiliki koordinat irasional. , di mana r– himpunan bilangan asli. secara universal penugasan bilangan real adalah desimal. Desimal periodik mendefinisikan bilangan rasional, dan desimal non-periodik mendefinisikan bilangan irasional. Jadi, 2,03 (52) adalah bilangan rasional, 2.03003000300003 ... (periode setiap angka berikut "3" ditulis satu nol lebih) adalah bilangan irasional.

Himpunan Q dan R memiliki sifat positif: antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional, misalnya, ecoi a
Untuk setiap bilangan irasional α seseorang dapat menentukan aproksimasi rasional baik dengan kekurangan maupun kelebihan dengan akurasi apa pun: a< α
Operasi ekstraksi akar dari beberapa bilangan rasional mengarah ke bilangan irasional. Mengekstrak akar pangkat alami adalah operasi aljabar, mis. pengantarnya terhubung dengan solusi persamaan aljabar bentuk . Jika n ganjil, mis. n=2k+1, dimana , maka persamaan memiliki akar tunggal. Jika n genap, n=2k, dimana , maka untuk a=0 persamaan memiliki akar tunggal x=0, untuk a<0 корней нет, при a>0 memiliki dua akar yang berlawanan satu sama lain. Mengekstraksi akar adalah operasi kebalikan dari menaikkan ke kekuatan alami.

Akar aritmatika (singkatnya, akar) dari derajat ke-n dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif b, yang merupakan akar persamaan. Akar derajat ke-n dari bilangan a dilambangkan dengan simbol. Untuk n=2, derajat akar 2 tidak ditunjukkan: .

Misalnya , karena 2 2 =4 dan 2>0; , karena 3 3 =27 dan 3>0; tidak ada karena -4<0.

Untuk n=2k dan a>0, akar-akar persamaan (1) ditulis sebagai dan . Misalnya, akar persamaan x 2 \u003d 4 adalah 2 dan -2.

Untuk n ganjil, persamaan (1) memiliki akar tunggal untuk sembarang . Jika a≥0, maka - akar persamaan ini. Jika sebuah<0, то –а>0 dan - akar persamaan. Jadi, persamaan x 3 \u003d 27 memiliki akar.

Semua bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Ini berlaku untuk bilangan bulat (misalnya, 12, -6, 0), dan pecahan desimal akhir (misalnya, 0,5; -3,8921), dan pecahan desimal periodik tak terbatas (misalnya, 0,11(23); -3 ,(87 )).

Namun desimal tak berulang tak terhingga tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa. Itulah mereka bilangan irasional(yaitu tidak rasional). Contoh bilangan tersebut adalah , yang kira-kira sama dengan 3,14. Namun, apa yang persis sama tidak dapat ditentukan, karena setelah angka 4 ada serangkaian angka lain yang tak ada habisnya di mana periode berulang tidak dapat dibedakan. Pada saat yang sama, meskipun angka tidak dapat dinyatakan secara tepat, angka tersebut memiliki arti geometris tertentu. Bilangan adalah perbandingan panjang suatu lingkaran dengan panjang diameternya. Jadi bilangan irasional memang ada di alam, seperti halnya bilangan rasional.

Contoh lain dari bilangan irasional adalah akar kuadrat dari bilangan positif. Mengekstraksi akar dari beberapa angka memberikan nilai rasional, dari yang lain - irasional. Misalnya, 4 = 2, yaitu akar dari 4 adalah bilangan rasional. Tetapi 2, 5, 7 dan banyak lainnya menghasilkan bilangan irasional, yaitu, mereka hanya dapat diekstraksi dengan pendekatan, dibulatkan ke tempat desimal tertentu. Dalam hal ini, fraksi diperoleh non-periodik. Artinya, tidak mungkin untuk mengatakan dengan tepat dan pasti apa akar dari angka-angka ini.

Jadi 5 adalah bilangan antara 2 dan 3, karena 4 = 2, dan 9 = 3. Kita juga dapat menyimpulkan bahwa 5 lebih dekat ke 2 daripada 3, karena 4 lebih dekat ke 5 daripada 9 ke 5. Memang, 5 2.23 atau 5 2.24.

Bilangan irasional juga diperoleh dalam perhitungan lain (dan tidak hanya saat mengekstraksi akar), mereka negatif.

Sehubungan dengan bilangan irasional, kita dapat mengatakan bahwa tidak peduli apa satuan segmen yang kita ambil untuk mengukur panjang yang dinyatakan oleh bilangan tersebut, kita tidak dapat mengukurnya dengan pasti.

Dalam operasi aritmatika, bilangan irasional dapat berpartisipasi bersama dengan bilangan rasional. Pada saat yang sama, ada sejumlah keteraturan. Misalnya, jika hanya bilangan rasional yang terlibat dalam operasi aritmatika, maka hasilnya selalu bilangan rasional. Jika hanya yang irasional yang berpartisipasi dalam operasi, maka tidak mungkin untuk mengatakan dengan tegas apakah bilangan rasional atau irasional akan muncul.

Misalnya, jika Anda mengalikan dua bilangan irasional 2 * 2, Anda mendapatkan 2 - ini adalah bilangan rasional. Di sisi lain, 2 * 3 = 6 adalah bilangan irasional.

Jika operasi aritmatika melibatkan bilangan rasional dan irasional, maka akan diperoleh hasil irasional. Misalnya, 1 + 3,14... = 4,14... ; 17 - 4.

Mengapa 17 - 4 merupakan bilangan irasional? Bayangkan Anda mendapatkan bilangan rasional x. Maka 17 = x + 4. Tetapi x + 4 adalah bilangan rasional, karena kita mengasumsikan bahwa x adalah rasional. Bilangan 4 juga rasional, jadi x + 4 rasional. Namun, bilangan rasional tidak bisa sama dengan 17 irasional. Oleh karena itu, asumsi bahwa 17 - 4 memberikan hasil yang rasional adalah salah. Hasil dari operasi aritmatika akan menjadi irasional.

Namun, ada pengecualian untuk aturan ini. Jika kita mengalikan bilangan irasional dengan 0, kita mendapatkan bilangan rasional 0.
Kami juga merekomendasikan