Dalam kegiatan praktis, seseorang harus mengukur berbagai kuantitas, memperhitungkan bahan dan produk kerja, menghasilkan berbagai perhitungan. Hasil dari berbagai pengukuran, hitungan dan perhitungan adalah bilangan. Angka-angka yang diperoleh sebagai hasil pengukuran, hanya kira-kira, dengan tingkat akurasi tertentu, mencirikan nilai yang diinginkan. Pengukuran yang akurat tidak dimungkinkan karena ketidakakuratan alat pengukur, ketidaksempurnaan organ penglihatan kita, dan objek yang diukur itu sendiri terkadang tidak memungkinkan kita untuk menentukan besarnya dengan akurasi apa pun.

Jadi, misalnya diketahui panjang Terusan Suez adalah 160 km, jaraknya sepanjang kereta api dari Moskow ke Leningrad 651 km. Di sini kami memiliki hasil pengukuran yang dilakukan dengan akurasi hingga satu kilometer. Jika, misalnya, panjangnya luas persegi panjang 29 m, lebar 12 m, maka, mungkin, pengukuran dilakukan dengan akurasi satu meter, dan pecahan meter diabaikan,

Sebelum melakukan pengukuran apa pun, perlu untuk memutuskan dengan akurasi apa yang perlu dilakukan, mis. fraksi mana dari unit pengukuran yang harus diperhitungkan, dan mana yang harus diabaikan.

Jika ada beberapa nilai sebuah, nilai sebenarnya yang tidak diketahui, dan nilai perkiraan (perkiraan) dari nilai ini sama dengan X, mereka menulis sebuah x.

Dengan pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama, kita akan mendapatkan pendekatan yang berbeda. Masing-masing perkiraan ini akan berbeda dari nilai sebenarnya dari nilai yang diukur, sama, misalnya, sebuah, dengan jumlah tertentu, yang akan kami sebut kesalahan. Definisi. Jika bilangan x adalah nilai perkiraan (perkiraan) dari suatu besaran, yang nilai sebenarnya sama dengan bilangan tersebut sebuah, maka modulus selisih bilangan, sebuah dan X ditelepon kesalahan mutlak diberikan aproksimasi dan dilambangkan sebuah x: atau sederhananya sebuah. Jadi, menurut definisi,

sebuah x = a-x (1)

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa

a = x sebuah x (2)

Jika diketahui besaran apa yang sedang kita bicarakan, maka dalam notasinya sebuah x indeks sebuah dihilangkan dan persamaan (2) ditulis sebagai berikut:

a = x x (3)

Karena nilai sebenarnya dari nilai yang diinginkan paling sering tidak diketahui, tidak mungkin untuk menemukan kesalahan absolut dalam pendekatan nilai ini. Anda hanya dapat menunjukkan dalam setiap kasus tertentu angka positif yang lebih besar dari ini kesalahan mutlak Tidak mungkin. Angka ini disebut batas kesalahan absolut dari pendekatan kuantitas sebuah dan dilambangkan h sebuah. Jadi, jika x adalah perkiraan arbitrer dari nilai a untuk prosedur yang diberikan untuk mendapatkan perkiraan, maka

sebuah x = a-x h sebuah (4)

Ini mengikuti dari atas bahwa jika h sebuah adalah batas kesalahan absolut dari pendekatan kuantitas sebuah, maka bilangan yang lebih besar dari h sebuah, juga akan menjadi batas kesalahan absolut dari pendekatan kuantitas sebuah.

Dalam praktiknya, biasanya memilih bilangan terkecil yang memenuhi pertidaksamaan (4) sebagai batas galat mutlak.

Memecahkan ketidaksetaraan a-x h sebuah kita mengerti itu sebuah terkandung dalam batas-batas

x-h sebuah a x + h sebuah (5)

Konsep yang lebih ketat dari batas kesalahan absolut dapat diberikan sebagai berikut.

Biarlah X- banyak kemungkinan perkiraan X kuantitas sebuah untuk prosedur tertentu untuk mendapatkan pendekatan. Lalu nomor berapa saja h, memenuhi syarat a-x h sebuah untuk apa saja xX, disebut batas galat mutlak aproksimasi dari himpunan X. Dilambangkan dengan h sebuah bilangan terkecil yang diketahui h. Nomor ini h sebuah dan dipilih dalam praktik sebagai batas kesalahan absolut.

Kesalahan aproksimasi absolut tidak mencirikan kualitas pengukuran. Memang, jika kita mengukur panjang apa pun dengan akurasi 1 cm, maka dalam kasus ketika kita sedang berbicara tentang menentukan panjang pensil, itu akan menjadi akurasi yang buruk. Jika dengan ketelitian 1 cm menentukan panjang atau lebar lapangan bola voli, maka ketelitiannya tinggi.

Untuk mengkarakterisasi akurasi pengukuran, konsep kesalahan relatif diperkenalkan.

Definisi. Jika sebuah sebuah x: ada kesalahan aproksimasi mutlak X beberapa kuantitas, nilai sebenarnya yang sama dengan nomor sebuah, maka rasionya sebuah x ke modulus angka X disebut kesalahan relatif dari aproksimasi dan dilambangkan sebuah x atau x.

Jadi, menurut definisi,

Kesalahan relatif biasanya dinyatakan sebagai persentase.

Tidak seperti kesalahan mutlak, yang paling sering merupakan besaran berdimensi, kesalahan relatif adalah besaran tanpa dimensi.

Dalam praktiknya, bukan kesalahan relatif yang dipertimbangkan, tetapi yang disebut batas kesalahan relatif: angka seperti itu E sebuah, yang tidak bisa lebih besar dari kesalahan relatif dari perkiraan nilai yang diinginkan.

Dengan demikian, sebuah x E sebuah .

Jika sebuah h sebuah-- batas kesalahan mutlak perkiraan kuantitas sebuah, kemudian sebuah x h sebuah dan karenanya

Jelas, nomor berapa pun E, memenuhi kondisi, akan menjadi batas kesalahan relatif. Dalam prakteknya, beberapa pendekatan biasanya diketahui X kuantitas sebuah dan batas kesalahan mutlak. Kemudian nomor

1. Angka yang tepat dan perkiraan. Angka-angka yang kita jumpai dalam praktek ada dua macam. Beberapa memberikan nilai sebenarnya dari kuantitas, yang lain hanya perkiraan. Yang pertama disebut tepat, yang kedua - perkiraan. Paling sering lebih mudah menggunakan angka perkiraan daripada yang tepat, terutama karena dalam banyak kasus angka pasti umumnya tidak mungkin ditemukan.

Hasil operasi dengan angka memberikan: dengan angka perkiraan angka perkiraan. Sebagai contoh. Selama epidemi, 60% penduduk St. Petersburg terkena flu. Ini adalah sekitar 3 juta orang. dengan angka eksak angka eksak Mis. Ada 65 orang hadirin pada kuliah matematika. perkiraan angka Mis. Suhu tubuh rata-rata pasien pada siang hari 37,3: pagi: 37,2; hari: 36,8 ; malam38.

Teori perhitungan perkiraan memungkinkan: 1) mengetahui tingkat akurasi data, menilai tingkat akurasi hasil; 2) mengambil data dengan tingkat akurasi yang sesuai, cukup untuk memastikan akurasi yang diperlukan dari hasil; 3) merasionalkan proses perhitungan, membebaskannya dari perhitungan yang tidak akan mempengaruhi keakuratan hasil.

1) jika digit pertama (kiri) yang dibuang kurang dari 5, maka digit terakhir yang tersisa tidak diubah (pembulatan ke bawah); 2) jika angka pertama yang dibuang lebih besar dari 5 atau sama dengan 5, maka sisa angka terakhir ditambah satu (pembulatan ke atas). Pembulatan: a) ke persepuluh 12,34 12,3; b) sampai dengan perseratus 3.2465 3.25; 1038,79. c) sampai dengan seperseribu 3.4335 3.434. d) hingga ribuan; Ini memperhitungkan hal-hal berikut:

Kuantitas yang paling sering diukur dalam kedokteran: massa m, panjang l, kecepatan proses v, waktu t, suhu t, volume V, dll. Mengukur besaran fisika berarti membandingkannya dengan besaran homogen yang diambil sebagai satu kesatuan. 9 Satuan besaran fisika: Panjang Dasar - 1 m - (meter) Waktu - 1 s - (sekon) Massa - 1 kg - (kilogram) Volume Produk - 1 m³ - (meter kubik) Kecepatan - 1 m/s - (meter per detik)

Awalan untuk nama unit: Beberapa awalan - bertambah 10, 100, 1000, dll. kali g - hekto (×100) k - kilo (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilometer) 1 kg (kilogram) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g berkurang 10 , 100, 1000, dst. kali d - desi (×0,1) s - centi (× 0,01) m - mili (× 0,001) 1 dm (decimeter) 1dm = 0,1 m 1 cm (sentimeter) 1cm = 0,01 m 1 mm (milimeter) 1mm = 0,001 m

Untuk diagnosis, pengobatan, pencegahan penyakit dalam kedokteran, berbagai alat ukur medis digunakan.

Termometer. Pertama, Anda perlu memperhitungkan batas atas dan bawah pengukuran. Batas bawah adalah nilai minimum dan batas atas adalah nilai maksimum yang dapat diukur. Jika nilai yang diharapkan dari nilai terukur tidak diketahui, lebih baik mengambil perangkat dengan "margin". Misalnya, pengukuran suhu air panas jangan lakukan dengan termometer jalan atau ruangan. Lebih baik menemukan perangkat dengan batas atas 100 ° C. Kedua, Anda perlu memahami seberapa akurat kuantitas harus diukur. Karena kesalahan pengukuran tergantung pada nilai pembagian, untuk lebih pengukuran yang akurat instrumen dengan interval skala terkecil dipilih.

Kesalahan pengukuran. Untuk mengukur berbagai parameter diagnostik, Anda memerlukan perangkat Anda sendiri. Misalnya, panjang diukur dengan penggaris, dan suhu dengan termometer. Tetapi penggaris, termometer, tonometer, dan perangkat lain berbeda, jadi untuk mengukur kuantitas fisik apa pun, Anda harus memilih perangkat yang cocok untuk pengukuran ini.

Harga pembagian perangkat. Suhu tubuh manusia harus ditentukan secara akurat, obat-obatan harus diberikan dalam jumlah yang ditentukan secara ketat, oleh karena itu harga pembagian skala alat pengukur merupakan karakteristik penting dari setiap alat. Aturan untuk menghitung pembagian harga perangkat Untuk menghitung harga pembagian skala, Anda perlu: a) memilih dua goresan digital terdekat pada skala; b) menghitung jumlah pembagian di antara mereka; c) Bagilah selisih nilai di sekitar goresan yang dipilih dengan jumlah pembagian.

Harga pembagian perangkat. Nilai pembagian (50-30)/4=5 (ml) Nilai pembagian: (40-20)/10=2 km/jam, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 suhu, (4-2)/10=0,2 s

Tentukan harga pembagian perangkat: 16

Kesalahan pengukuran mutlak. Kesalahan pasti terjadi dalam pengukuran apa pun. Kesalahan ini disebabkan oleh berbagai faktor. Semua faktor dapat dibagi menjadi tiga bagian: kesalahan yang disebabkan oleh ketidaksempurnaan instrumen; kesalahan yang disebabkan oleh ketidaksempurnaan metode pengukuran; kesalahan karena pengaruh faktor acak yang tidak dapat dihilangkan. Saat mengukur nilai apa pun, seseorang ingin mengetahui tidak hanya nilainya, tetapi juga seberapa besar nilai ini dapat dipercaya, seberapa akuratnya. Untuk melakukan ini, perlu diketahui seberapa besar nilai sebenarnya dari suatu besaran dapat berbeda dari yang diukur. Untuk tujuan ini, konsep kesalahan absolut dan relatif diperkenalkan.

Kesalahan mutlak dan kesalahan relatif. Kesalahan absolut menunjukkan berapa nilai sebenarnya kuantitas fisik berbeda dengan yang diukur. Itu tergantung pada perangkat itu sendiri (kesalahan instrumental) dan pada proses pengukuran (kesalahan membaca pada skala). Kesalahan instrumental harus ditunjukkan di paspor instrumen (sebagai aturan, itu sama dengan pembagian skala instrumen). Kesalahan pembacaan biasanya diambil sama dengan setengah nilai pembagian. Kesalahan absolut dari nilai perkiraan adalah perbedaan x \u003d | x - x 0 |, di mana x 0 adalah nilai perkiraan, dan x adalah nilai yang tepat dari nilai yang diukur, atau kadang-kadang alih-alih x mereka menggunakan A A \ u003d | A - A 0 |.

Kesalahan mutlak dan kesalahan relatif. Contoh. Diketahui bahwa -0,333 adalah nilai perkiraan untuk -1/3. Maka dengan definisi galat mutlak x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Dalam banyak kasus praktis penting, tidak mungkin untuk menemukan kesalahan absolut dari pendekatan karena fakta bahwa nilai yang tepat dari kuantitas tidak diketahui. Namun, Anda dapat menentukan angka positif, yang tidak dapat melebihi kesalahan absolut ini. Ini adalah bilangan h yang memenuhi pertidaksamaan | x | h Disebut batas kesalahan mutlak.

Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa nilai x kira-kira hingga h sama dengan x 0. x \u003d x 0 ± h atau x 0 - h x x 0 + h

Kesalahan instrumental mutlak alat ukur

Estimasi kesalahan instrumental dari nilai yang diukur. Untuk sebagian besar alat ukur, kesalahan alat sama dengan pembagian skalanya. Pengecualian adalah instrumen digital dan pengukur dial. Untuk perangkat digital, kesalahan ditunjukkan di paspor mereka dan biasanya beberapa kali lebih tinggi daripada pembagian skala perangkat. Untuk alat ukur penunjuk, kesalahan ditentukan oleh kelas ketelitiannya, yang ditunjukkan pada skala alat, dan batas pengukuran. Kelas akurasi ditunjukkan pada skala perangkat sebagai angka yang tidak dikelilingi oleh bingkai apa pun. Misalnya, pada gambar yang ditunjukkan, kelas akurasi pengukur tekanan adalah 1,5. Kelas akurasi menunjukkan berapa persen kesalahan perangkat dari batas pengukurannya. Untuk pengukur tekanan penunjuk, batas pengukuran masing-masing adalah 3 atm, kesalahan pengukuran tekanan adalah 1,5% dari 3 atm, yaitu 0,045 atm. Perlu dicatat bahwa untuk sebagian besar perangkat penunjuk, kesalahannya ternyata sama dengan nilai pembagian perangkat. Seperti pada contoh kita, dimana harga pembagian barometer adalah 0,05 atm.

Kesalahan mutlak dan kesalahan relatif. Kesalahan mutlak diperlukan untuk menentukan kisaran di mana nilai sebenarnya dapat turun, tetapi untuk menilai keakuratan hasil secara keseluruhan, itu tidak terlalu indikatif. Lagi pula, mengukur panjang 10 m dengan kesalahan 1 mm tentu sangat akurat, sementara mengukur panjang 2 mm dengan kesalahan 1 mm jelas sangat tidak akurat. Kesalahan pengukuran absolut biasanya dibulatkan menjadi satu angka penting A 0,17 0,2. Nilai numerik hasil pengukuran dibulatkan sehingga angka terakhirnya sama dengan angka kesalahan A=10.332 10.3

Kesalahan mutlak dan kesalahan relatif. Bersamaan dengan kesalahan mutlak, merupakan kebiasaan untuk mempertimbangkan kesalahan relatif, yang sama dengan rasio kesalahan mutlak terhadap nilai kuantitas itu sendiri. Kesalahan relatif dari angka perkiraan adalah rasio kesalahan mutlak dari angka perkiraan untuk nomor ini sendiri: E = x. 100% x 0 Kesalahan relatif menunjukkan berapa persen dari nilai itu sendiri kesalahan dapat terjadi dan merupakan indikasi ketika menilai kualitas hasil eksperimen.

Contoh. Saat mengukur panjang dan diameter kapiler, diperoleh l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Manakah dari pengukuran ini yang lebih akurat? Saat mengukur panjang kapiler, kesalahan absolut 10mm per 100mm diperbolehkan, oleh karena itu kesalahan absolutnya adalah 10/100=0,1=10%. Saat mengukur diameter kapiler, kesalahan absolut yang diizinkan adalah 0,1/2,5=0,04=4%. Oleh karena itu, pengukuran diameter kapiler lebih akurat.

Dalam banyak kasus, tidak ada kesalahan mutlak yang dapat ditemukan. Oleh karena itu kesalahan relatif. Tetapi Anda dapat menemukan batas kesalahan relatif. Setiap bilangan yang memenuhi pertidaksamaan | x | / | x o | , adalah batas kesalahan relatif. Khususnya, jika h adalah batas kesalahan mutlak, maka bilangan = h/| x o |, adalah batas galat relatif dari aproksimasi x o. Dari sini. Mengetahui perbatasan rel.p-i. , seseorang dapat menemukan batas kesalahan mutlak h. h=δ | x o |

Contoh. Diketahui bahwa 2=1,41… Temukan akurasi relatif dari persamaan yang mendekati atau batas kesalahan relatif dari persamaan yang mendekati 2 1,41. Di sini x \u003d 2, x o \u003d 1,41, x \u003d 2-1,41. Jelas 0 x 1,42-1,41=0,01 x/ x o 0,01/1,41=1/141, Batas kesalahan mutlak adalah 0,01, batas kesalahan relatif adalah 1/141

Contoh. Saat membaca bacaan dari skala, penting agar pandangan Anda tegak lurus dengan skala instrumen, sementara kesalahannya akan lebih kecil. Untuk menentukan pembacaan termometer: 1. tentukan jumlah pembagian, 2. kalikan dengan harga pembagian 3. perhitungkan kesalahan 4. tuliskan hasil akhirnya. t = 20 °C ± 1,5 °C Ini berarti suhu antara 18,5 ° dan 21,5 °. Artinya, bisa, misalnya, 19, dan 20 dan 21 derajat Celcius. Untuk meningkatkan akurasi pengukuran, biasanya diulang setidaknya tiga kali dan menghitung nilai rata-rata dari nilai yang diukur

N A C O R D E N I A N E N G O N I N I O N I Hasil pengukuran C 1 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33,5 C 5 \u003d 54,2 a) Mari kita cari nilai rata-rata empat besaran dengan cp \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33,5):4 = 33,925 33,9 b) Temukan simpangan nilai dari nilai rata-rata = | c-cp | c 1 = | c 1 – c cp | = | 34.5 – 33.9 | = 0,6 c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 c 3 = | c 3 – c cp | = | 33.9 – 33.9 | = 0 c 4 = | c 4 – ccp | = | 33.5 – 33.9 | = 0,4

C) Temukan kesalahan absolut c \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Temukan kesalahan relatif \u003d Δc: s SR = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Tuliskan jawaban akhir c = 33,9 ± 0,3 = 0,9%

PEKERJAAN RUMAH Persiapkan untuk pelajaran praktis berdasarkan kuliah. Lakukan tugas. Tentukan nilai rata-rata dan kesalahannya: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Buat presentasi dengan topik: "Pembulatan nilai dalam kedokteran", "Kesalahan pengukuran", "Peralatan pengukuran medis"

pengantar

Kesalahan mutlak- adalah perkiraan kesalahan pengukuran absolut. dihitung cara yang berbeda. Metode perhitungan ditentukan oleh distribusi variabel acak. Dengan demikian, besarnya kesalahan absolut, tergantung pada distribusi variabel acak, mungkin berbeda. Jika adalah nilai terukur dan merupakan nilai sebenarnya, maka pertidaksamaan tersebut harus memiliki probabilitas mendekati 1. Jika nilai acak terdistribusi menurut hukum normal, maka biasanya standar deviasinya diambil sebagai kesalahan mutlak. Kesalahan mutlak diukur dalam satuan yang sama dengan nilai itu sendiri.

Ada beberapa cara untuk menulis suatu besaran beserta kesalahan mutlaknya.

· Notasi dengan tanda ± biasanya digunakan. Misalnya, rekor 100m yang dibuat pada tahun 1983 adalah 9,930±0,005 detik.

· Untuk mencatat nilai yang diukur dengan akurasi yang sangat tinggi, digunakan notasi lain: angka yang sesuai dengan kesalahan digit terakhir mantissa ditambahkan dalam tanda kurung. Misalnya, nilai terukur dari konstanta Boltzmann adalah 1.380 6488 (13)?10?23 J/K, yang juga dapat ditulis lebih panjang sebagai 1.380 6488?10?23 ±0.000 0013?10?23 J/K.

Kesalahan relatif- kesalahan pengukuran, dinyatakan sebagai rasio kesalahan pengukuran absolut dengan nilai aktual atau rata-rata dari kuantitas yang diukur (RMG 29-99):.

Kesalahan relatif adalah kuantitas tanpa dimensi, atau diukur sebagai persentase.

Perkiraan

Terlalu banyak dan terlalu sedikit? Dalam proses perhitungan, seseorang sering kali harus berurusan dengan perkiraan angka. Biarlah TETAPI- nilai eksak dari suatu besaran tertentu, selanjutnya disebut bilangan yang tepat a. Di bawah perkiraan nilai kuantitas TETAPI, atau perkiraan angka disebut nomor sebuah, yang menggantikan nilai tepat dari kuantitas TETAPI. Jika sebuah sebuah< TETAPI, kemudian sebuah disebut nilai perkiraan bilangan Dan untuk kekurangan. Jika sebuah sebuah> TETAPI,- kemudian Berlebihan. Misalnya, 3,14 adalah perkiraan angka R karena kekurangan, dan 3,15 karena kelebihan. Untuk mengkarakterisasi tingkat akurasi pendekatan ini, konsep yang digunakan kesalahan atau kesalahan.

Kesalahan D sebuah perkiraan nomor sebuah disebut selisih bentuk

D a = A-sebuah,

di mana TETAPI adalah nomor tepat yang sesuai.

Gambar di atas menunjukkan bahwa panjang ruas AB adalah antara 6 cm dan 7 cm.

Ini berarti bahwa 6 adalah nilai perkiraan panjang segmen AB (dalam sentimeter)\u003e dengan kekurangan, dan 7 dengan kelebihan.

Menyatakan panjang segmen dengan huruf y, kita mendapatkan: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmen AB (lihat Gbr. 149) lebih dekat ke 6 cm daripada 7 cm. Kira-kira sama dengan 6 cm. Mereka mengatakan bahwa angka 6 diperoleh dengan membulatkan panjang segmen ke bilangan bulat.

Nilai mutlak perbedaan antara nilai perkiraan dan eksak (benar) suatu besaran disebut kesalahan mutlak nilai perkiraan. Misalnya jika angka yang tepat 1,214 dibulatkan menjadi sepersepuluh, kita mendapatkan angka perkiraan 1,2 . Dalam hal ini, kesalahan absolut dari jumlah perkiraan adalah 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Tetapi dalam kebanyakan kasus, nilai pasti dari kuantitas yang dipertimbangkan tidak diketahui, tetapi hanya perkiraan. Kemudian kesalahan mutlak juga tidak diketahui. Dalam kasus ini menunjukkan berbatasan yang tidak melebihi. Nomor ini disebut kesalahan mutlak batas. Mereka mengatakan bahwa nilai eksak suatu bilangan sama dengan nilai perkiraannya dengan kesalahan lebih kecil dari kesalahan batas. Misalnya, nomor 23,71 adalah nilai perkiraan bilangan 23,7125 hingga 0,01 , karena galat aproksimasi mutlak sama dengan 0,0025 dan kurang 0,01 . Di sini, kesalahan mutlak batas sama dengan 0,01 .*

(* Mutlak kesalahan itu positif dan negatif. Misalnya, 1,68 ≈ 1,7 . Kesalahan mutlak adalah 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Batas kesalahan selalu positif).

Kesalahan mutlak batas dari jumlah perkiraan " sebuah » dilambangkan dengan simbol Δ sebuah . Rekaman

x sebuah ( Δ sebuah)

harus dipahami sebagai berikut: nilai yang tepat dari kuantitas X ada di antara sebuah +Δ sebuah dan sebuah –Δ sebuah, yang diberi nama masing-masing dasar dan batas atas X dan menunjukkan H G X dan PADA G X .

Misalnya, jika X≈ 2,3 ( 0,1), kemudian 2,2 < X < 2,4 .

Sebaliknya, jika 7,3 < X < 7,4, kemudian X≈ 7,35 ( 0,05).

Kesalahan mutlak mutlak atau batas bukan menentukan kualitas pengukuran. Kesalahan mutlak yang sama dapat dianggap signifikan dan tidak signifikan, tergantung pada angka yang menyatakan nilai terukur.

Misalnya, jika kita mengukur jarak antara dua kota dengan akurasi satu kilometer, maka akurasi seperti itu cukup memadai untuk pengukuran ini, sementara pada saat yang sama, ketika mengukur jarak antara dua rumah di jalan yang sama, akurasi seperti itu tidak dapat diterima. .

Oleh karena itu, keakuratan nilai perkiraan suatu besaran tidak hanya bergantung pada besarnya kesalahan mutlak, tetapi juga pada nilai besaran yang diukur. Jadi ukuran akurasi adalah kesalahan relatif.

Kesalahan relatif adalah rasio kesalahan mutlak dengan nilai angka perkiraan. Rasio kesalahan mutlak batas dengan jumlah perkiraan disebut kesalahan relatif batas; menandakannya seperti ini: Δ A A. Kesalahan relatif relatif dan batas biasanya dinyatakan dalam persentase.

Misalnya jika pengukuran menunjukkan bahwa jarak antara dua titik lebih besar dari 12,3 km, tapi kurang 12,7 km, maka untuk perkiraan artinya diterima rata-rata dua angka ini, yaitu mereka setengah jumlah, kemudian batas kesalahan mutlak adalah setengah perbedaan angka-angka ini. Pada kasus ini X≈ 12,5 ( 0,2). Inilah batasnya mutlak kesalahannya adalah 0,2 km, dan batas

Untuk tugas modern perlu menggunakan peralatan matematika yang kompleks dan mengembangkan metode untuk menyelesaikannya. Dalam hal ini, seseorang sering menghadapi masalah yang solusi analitisnya, yaitu, solusi dalam bentuk ekspresi analitik yang menghubungkan data awal dengan hasil yang diperlukan tidak mungkin sama sekali, atau dinyatakan dalam rumus yang rumit sehingga tidak praktis untuk digunakan untuk tujuan praktis.

Dalam hal ini, metode solusi numerik digunakan, yang memungkinkan untuk mendapatkan solusi numerik secara sederhana untuk masalah tersebut. Metode numerik diimplementasikan menggunakan algoritma komputasi.

Seluruh variasi metode numerik dibagi menjadi dua kelompok:

Tepat - mereka berasumsi bahwa jika perhitungan dilakukan secara akurat, maka dengan bantuan sejumlah operasi aritmatika dan logika yang terbatas, nilai pasti dari jumlah yang diinginkan dapat diperoleh.

Perkiraan - yang, bahkan dengan asumsi bahwa perhitungan dilakukan tanpa pembulatan, memungkinkan Anda untuk mendapatkan solusi untuk masalah hanya dengan akurasi yang diberikan.

1. nilai dan angka. Besaran adalah sesuatu yang dapat dinyatakan sebagai bilangan dalam satuan tertentu.

Ketika mereka berbicara tentang nilai suatu besaran, yang mereka maksudkan adalah angka tertentu, yang disebut nilai numerik dari besaran, dan satuan ukurannya.

Dengan demikian, besaran adalah karakteristik properti suatu objek atau fenomena, yang umum untuk banyak objek, tetapi memiliki nilai individual untuk masing-masingnya.

Nilainya bisa konstan atau variabel. Jika, dalam kondisi tertentu, kuantitas hanya mengambil satu nilai dan tidak dapat mengubahnya, maka itu disebut konstan, tetapi jika dapat mengambil berbagai arti, maka adalah variabel. Ya, akselerasi jatuh bebas tubuh dalam tempat ini permukaan bumi adalah nilai konstan, mengambil nilai numerik tunggal g = 9,81 ... m / s2, sedangkan jalur s, dilalui poin materi selama gerakannya, adalah variabel.

2. nilai perkiraan angka. Nilai kuantitas, yang kebenarannya tidak kita ragukan, disebut eksak. Akan tetapi, seringkali, ketika mencari nilai suatu besaran, hanya nilai perkiraannya yang diperoleh. Dalam praktik perhitungan, seseorang sering kali harus berurusan dengan nilai perkiraan angka. Jadi, p adalah bilangan eksak, tetapi karena irasionalitasnya, hanya nilai perkiraannya yang dapat digunakan.

Dalam banyak masalah, karena kerumitannya, dan seringkali ketidakmungkinan untuk memperoleh solusi eksak, metode penyelesaian aproksimasi digunakan, antara lain: penyelesaian aproksimasi persamaan, interpolasi fungsi, penghitungan aproksimasi integral, dll.

Persyaratan utama untuk perhitungan perkiraan adalah kepatuhan dengan akurasi yang ditentukan dari perhitungan antara dan hasil akhir. Pada saat yang sama, baik peningkatan kesalahan (kesalahan) oleh perhitungan kasar yang tidak dapat dibenarkan, dan penyimpanan angka yang berlebihan yang tidak sesuai dengan akurasi aktual sama-sama tidak dapat diterima.

Ada dua kelas kesalahan yang dihasilkan dari perhitungan dan pembulatan angka - absolut dan relatif.

1. Kesalahan mutlak (error).

Mari kita perkenalkan notasi:

Biarkan A menjadi nilai yang tepat dari beberapa kuantitas, Rekam A A Kita akan membaca "a kira-kira sama dengan A". Kadang-kadang kita akan menulis A = a, mengingat bahwa kita berbicara tentang persamaan perkiraan.

Jika diketahui< А, то а называют perkiraan nilai A dengan kerugian. Jika a > A, maka a disebut perkiraan nilai A lebih.

Selisih antara nilai eksak dan nilai perkiraan suatu besaran disebut kesalahan aproksimasi dan dilambangkan dengan D, yaitu

D \u003d A - a (1)

Kesalahan D dari aproksimasi bisa positif dan negatif.

Untuk mengkarakterisasi perbedaan antara nilai perkiraan suatu kuantitas dan nilai eksak, seringkali cukup untuk menunjukkan nilai absolut dari perbedaan antara nilai eksak dan nilai aproksimasi.

Nilai absolut dari perbedaan antara perkiraan sebuah dan akurat TETAPI nilai bilangan disebut kesalahan absolut (kesalahan) dari pendekatan dan dilambangkan dengan D sebuah:

D sebuah = ½ sebuah – TETAPI(2)

Contoh 1 Saat mengukur garis aku menggunakan penggaris, nilai pembagian skalanya adalah 0,5 cm. Kami mendapat nilai perkiraan untuk panjang segmen sebuah= 204cm

Jelas bahwa selama pengukuran mereka bisa salah tidak lebih dari 0,5 cm, mis. kesalahan pengukuran absolut tidak melebihi 0,5 cm.

Biasanya galat mutlak tidak diketahui, karena nilai pasti bilangan A tidak diketahui penilaian kesalahan mutlak:

D sebuah <= Dsebuah sebelum. (3)

dimana D sebelum. – kesalahan marginal (angka, lagi nol), yang ditetapkan dengan mempertimbangkan kepastian yang diketahui dengan bilangan a.

Kesalahan mutlak pembatas disebut juga margin kesalahan. Jadi, dalam contoh yang diberikan,
D sebelum. = 0,5cm

Dari (3) kita peroleh: D sebuah = ½ sebuah – TETAPI½<= Dsebuah sebelum. . lalu

sebuah-D sebuah sebelum. ≤ TETAPI≤ sebuah+ D sebuah sebelum. . (4)

Cara, iklan sebuah sebelum. akan menjadi aproksimasi TETAPI dengan kekurangan dan a + D sebuah sebelum – nilai perkiraan TETAPI Berlebihan. Mereka juga menggunakan singkatan: TETAPI= sebuah±D sebuah sebelum (5)

Dari definisi galat mutlak pembatas diperoleh bahwa bilangan D sebuah sebelum, memenuhi ketidaksetaraan (3), akan ada himpunan tak hingga. Dalam praktiknya, kami mencoba untuk memilih mungkin kurang dari angka D sebelum, memenuhi pertidaksamaan D sebuah <= Dsebuah sebelum.

Contoh 2 Mari kita tentukan kesalahan mutlak pembatas dari bilangan tersebut a=3,14, diambil sebagai nilai perkiraan dari bilangan .

Diketahui bahwa 3,14<π<3,15. Oleh karena itu berikut ini

|sebuah – π |< 0,01.

Angka D dapat dianggap sebagai kesalahan mutlak pembatas sebuah = 0,01.

Namun, jika kita memperhitungkan bahwa 3,14<π<3,142 , maka kita mendapatkan perkiraan yang lebih baik :D sebuah= 0,002, maka 3,14 ±0,002.

Kesalahan relatif (kesalahan). Mengetahui hanya kesalahan mutlak tidak cukup untuk mencirikan kualitas pengukuran.

Mari, misalnya, ketika menimbang dua benda, hasil berikut diperoleh:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Meskipun kesalahan pengukuran absolut dari kedua hasil adalah sama, kualitas pengukuran dalam kasus pertama akan lebih baik daripada yang kedua. Hal ini ditandai dengan kesalahan relatif.

Kesalahan relatif (kesalahan) perkiraan angka TETAPI disebut rasio kesalahan mutlak D a pendekatan ke nilai absolut dari angka A:

Karena nilai pasti suatu besaran biasanya tidak diketahui, maka nilai tersebut diganti dengan nilai perkiraan dan kemudian:

Membatasi kesalahan relatif atau batas kesalahan aproksimasi relatif, disebut nomor d dan sebelumnya.>0, sehingga:

d sebuah<= d dan sebelumnya.

Untuk kesalahan relatif pembatas, seseorang dapat dengan jelas mengambil rasio kesalahan absolut pembatas dengan nilai absolut dari nilai perkiraan:

Dari (9) hubungan penting berikut dengan mudah diperoleh:

∆dan sebelumnya. = |sebuah| d dan sebelumnya.

Batas kesalahan relatif biasanya dinyatakan sebagai persentase:

Contoh. Basis logaritma natural untuk perhitungan diambil sama dengan e=2,72. Kami mengambil sebagai nilai yang tepat e m = 2.7183. Temukan kesalahan absolut dan relatif dari angka perkiraan.

D e = ½ e – e t =0,0017;

.

Nilai kesalahan relatif tetap tidak berubah dengan perubahan proporsional dalam jumlah yang paling mendekati dan kesalahan absolutnya. Jadi, untuk bilangan 634.7, dihitung dengan galat mutlak D = 1.3, dan untuk bilangan 6347 dengan galat D = 13, galat relatifnya sama: d= 0,2.