rumah > Matematika

Derajat dengan pilihan indikator rasional 3. Derajat angka: definisi, penunjukan, contoh

Dari eksponen bilangan bulat dari angka a, transisi ke eksponen rasional menunjukkan dirinya sendiri. Di bawah ini kami mendefinisikan derajat dengan eksponen rasional, dan kami akan melakukannya sedemikian rupa sehingga semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat dipertahankan. Ini diperlukan karena bilangan bulat adalah bagian dari bilangan rasional.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan masing-masing bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai positif atau negatif pecahan biasa. Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberi arti pada derajat bilangan tersebut. sebuah dengan pecahan M N, di mana m adalah bilangan bulat, dan n- alami. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan bagaimana kita menentukan akar derajat ke-n, maka logis untuk menerimanya, asalkan dengan data m, n dan sebuah ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika diberikan m, n dan sebuah ekspresi masuk akal, maka kekuatan angka sebuah dengan pecahan M N disebut akar n derajat sebuah sejauh m.

Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan di bawah apa m, n dan sebuah ekspresinya masuk akal. Tergantung pada batasan yang diterapkan m, n dan sebuah ada dua pendekatan utama.

1. Cara termudah adalah dengan memberlakukan pembatasan pada sebuah, menerima a≥0 untuk positif m dan a>0 untuk negatif m(karena pada m≤0 derajat 0 m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Derajat bilangan positif sebuah dengan pecahan M N , di mana m adalah keseluruhan, dan n adalah bilangan asli, disebut akar n-th dari antara sebuah sejauh m, yaitu, .



Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.

Definisi.

Kekuatan nol dengan eksponen positif pecahan M N , di mana m adalah bilangan bulat positif, dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak didefinisikan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen fraksional, ada satu nuansa: untuk beberapa negatif sebuah dan beberapa m dan n ekspresinya masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisinya a≥0. Misalnya, masuk akal untuk menulis atau , dan definisi di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.

2. Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan M N terdiri dalam pertimbangan terpisah dari eksponen genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini membutuhkan syarat tambahan: derajat sebuah, yang indikatornya merupakan pecahan biasa tereduksi, dianggap sebagai pangkat dari suatu bilangan sebuah, yang indikatornya adalah pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika M N adalah pecahan yang tidak dapat direduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajat sebelumnya digantikan oleh .

untuk genap n dan positif m ekspresi masuk akal untuk semua non-negatif sebuah(akar derajat genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), dengan negatif m nomor sebuah masih harus berbeda dari nol (jika tidak, pembagian dengan nol). Dan untuk ganjil n dan positif m nomor sebuah bisa apa saja (akar derajat ganjil didefinisikan untuk sembarang bilangan real), dan untuk negatif m nomor sebuah harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Biarlah M N- pecahan tak tereduksi m adalah keseluruhan, dan n- bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Derajat sebuah dengan eksponen pecahan tak tereduksi M N- ini untuk

o sembarang bilangan asli sebuah, bilangan bulat positif m dan aneh alami n, Sebagai contoh, ;

o sembarang bilangan real bukan nol sebuah, bilangan bulat negatif m dan aneh n, Misalnya, ;

o bilangan non-negatif apa pun sebuah, bilangan bulat positif m dan bahkan n, Sebagai contoh, ;

o positif apapun sebuah, bilangan bulat negatif m dan bahkan n, Misalnya, ;

o dalam kasus lain, derajat dengan eksponen pecahan tidak didefinisikan, seperti, misalnya, derajat tidak ditentukan .entri kami tidak melampirkan arti apa pun, kami mendefinisikan derajat nol untuk eksponen pecahan positif M N sebagai , untuk eksponen pecahan negatif, derajat angka nol tidak didefinisikan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa eksponen pecahan dapat ditulis sebagai pecahan desimal atau bilangan campuran, misalnya, . Untuk menghitung nilai ekspresi semacam ini, Anda perlu menulis eksponen sebagai pecahan biasa, dan kemudian menggunakan definisi derajat dengan eksponen pecahan. Untuk contoh-contoh ini, kita memiliki dan


Setelah tingkat angka ditentukan, adalah logis untuk membicarakannya sifat derajat. Pada artikel ini, kami akan memberikan sifat dasar derajat suatu bilangan, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini diterapkan saat memecahkan contoh.

Navigasi halaman.

Sifat derajat dengan indikator alami

Menurut definisi pangkat dengan eksponen alami, pangkat dari n adalah produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a . Berdasarkan definisi ini, dan menggunakan sifat perkalian bilangan asli , kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut: sifat derajat dengan eksponen alami:

  1. sifat utama derajat a m ·a n =a m+n , generalisasinya ;
  2. properti dari kekuatan parsial dengan basis yang sama a m:a n =a m−n ;
  3. produk derajat properti (a b) n =a n b n , ekstensi ;
  4. properti hasil bagi dalam bentuk (a:b) n =a n:b n ;
  5. eksponensial (a m) n =a m n , generalisasinya (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. membandingkan derajat dengan nol:
    • jika a>0 , maka a n >0 untuk sembarang n ;
    • jika a=0 , maka a n =0 ;
    • jika sebuah<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika<0 и показатель степени есть angka ganjil 2 m−1 , lalu 2 m−1<0 ;
  7. jika a dan b bilangan positif dan a
  8. jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka pada 0 0 ketidaksamaan a m > a n benar.

Kami segera mencatat bahwa semua persamaan tertulis adalah identik di bawah kondisi yang ditentukan, dan bagian kanan dan kirinya dapat dipertukarkan. Misalnya, sifat utama pecahan a m a n = a m + n dengan penyederhanaan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n = a m a n .

Sekarang mari kita lihat masing-masing secara rinci.

    Mari kita mulai dengan sifat perkalian dua pangkat dengan basa yang sama, yang disebut properti utama dari gelar: untuk sembarang bilangan real a dan bilangan asli m dan n, persamaan a m ·a n =a m+n adalah benar.

    Mari kita buktikan sifat utama derajat. Dengan definisi derajat dengan eksponen alami, produk dari kekuatan dengan basis yang sama dari bentuk a m ​​a n dapat ditulis sebagai produk. Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai , dan hasil kali ini adalah pangkat dari a dengan eksponen natural m+n , yaitu, a m+n . Ini melengkapi buktinya.

    Mari kita berikan contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis yang sama 2 dan pangkat 2 dan 3, sesuai dengan sifat utama derajat, kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Mari kita periksa validitasnya, yang untuknya kita hitung nilai dari ekspresi 2 2 ·2 3 dan 2 5 . Melakukan eksponensial, kita memiliki 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 dan 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, karena nilai yang sama diperoleh, maka persamaan 2 2 2 3 \u003d 2 5 benar, dan ini mengkonfirmasi properti utama derajat.

    Sifat utama suatu derajat berdasarkan sifat perkalian dapat digeneralisasikan ke perkalian tiga derajat atau lebih dengan basis dan eksponen natural yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k bilangan asli n 1 , n 2 , …, n k persamaan a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Sebagai contoh, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Anda dapat beralih ke properti derajat berikutnya dengan indikator alami - properti kekuatan parsial dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real tak nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n , persamaan a m:a n =a m−n benar.

    Sebelum memberikan bukti sifat ini, mari kita bahas arti syarat tambahan dalam rumusan. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa tidak mungkin membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan sehingga kita tidak melampaui eksponen alami. Memang, untuk m>n eksponen a m−n adalah bilangan asli, jika tidak maka akan menjadi nol (yang terjadi ketika m n ) atau angka negatif (yang terjadi ketika m

    Bukti. Properti utama dari pecahan memungkinkan kita untuk menulis persamaan a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Dari persamaan yang diperoleh a m−n ·a n =a m dan dari sini dapat disimpulkan bahwa a m−n adalah hasil bagi pangkat dari a m dan a n . Ini membuktikan properti kekuatan parsial dengan basis yang sama.

    Mari kita ambil contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama dan eksponen alami 5 dan 2, properti derajat yang dipertimbangkan sesuai dengan persamaan 5: 2 = 5−3 = 3.

    Sekarang pertimbangkan properti gelar produk: derajat alami n hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan hasil kali derajat a n dan b n , yaitu, (a b) n =a n b n .

    Memang, menurut definisi gelar dengan eksponen alami, kami memiliki . Produk terakhir, berdasarkan sifat-sifat perkalian, dapat ditulis ulang sebagai , yang sama dengan a n b n .

    Berikut ini contohnya: .

    Properti ini meluas ke tingkat produk dari tiga atau lebih faktor. Artinya, sifat daya alami n dari hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Untuk kejelasan, kami menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk produk dari tiga faktor pangkat 7, kami memiliki .

    Properti berikutnya adalah properti alami: hasil bagi bilangan real a dan b , b≠0 pangkat alami n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n , yaitu, (a:b) n =a n:b n .

    Pembuktian dapat dilakukan dengan menggunakan properti sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, dan persamaan (a:b) n b n =a n menyiratkan bahwa (a:b) n adalah hasil bagi a n dibagi b n .

    Mari kita tulis properti ini menggunakan contoh angka tertentu: .

    Sekarang ayo bersuara properti eksponensial: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat a m pangkat n sama dengan pangkat a dengan pangkat m·n , yaitu, (a m) n =a m·n .

    Misalnya, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    Bukti dari sifat daya dalam suatu derajat adalah rantai persamaan berikut: .

    Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat dalam derajat dalam derajat, dan seterusnya. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r, dan s, persamaannya . Untuk kejelasan yang lebih besar, berikut adalah contoh dengan nomor tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami.

    Kami mulai dengan membuktikan properti perbandingan nol dan kekuatan dengan eksponen alami.

    Pertama, mari kita membenarkan bahwa a n >0 untuk a>0 .

    Hasilkali dua bilangan positif adalah bilangan positif, sebagai berikut dari definisi perkalian. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan menjadi bilangan positif. Dan pangkat dari a dengan eksponen alami n adalah, menurut definisi, produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa untuk sembarang basis positif a derajat dari n adalah bilangan positif. Berdasarkan sifat terbukti 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 dan .

    Sangat jelas bahwa untuk setiap n natural dengan a=0 derajat n adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0 .

    Mari kita beralih ke basis negatif.

    Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponen adalah bilangan genap, nyatakan sebagai 2 m , di mana m adalah bilangan asli. Kemudian . Untuk setiap produk dari bentuk a·a sama dengan produk dari modul dari angka a dan a, oleh karena itu, adalah bilangan positif. Karena itu, produknya juga akan positif. dan derajat a 2 m . Berikut adalah contohnya: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .

    Akhirnya, ketika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka . Semua produk a·a adalah bilangan positif, produk dari bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisa bilangan negatif a menghasilkan bilangan negatif. Karena properti ini (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Kami beralih ke properti membandingkan derajat dengan eksponen alami yang sama, yang memiliki rumusan berikut: dari dua derajat dengan eksponen alami yang sama, n lebih kecil dari yang alasnya lebih kecil, dan lebih dari yang alasnya lebih besar. Mari kita buktikan.

    Ketimpangan a n sifat-sifat pertidaksamaan pertidaksamaan yang dibuktikan dalam bentuk a n (2,2) 7 dan .

    Tetap membuktikan yang terakhir dari sifat-sifat kekuatan yang terdaftar dengan eksponen alami. Mari kita merumuskannya. Dari dua derajat dengan indikator alami dan basis positif yang sama, kurang dari satu, derajatnya lebih besar, indikatornya lebih kecil; dan dua derajat dengan indikator alami dan basis yang sama lebih besar dari satu, derajat yang indikatornya lebih besar lebih besar. Kami beralih ke bukti properti ini.

    Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan 0 0 karena kondisi awal m>n , maka pada 0

    Tetap membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1, a m >a n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari kurung membentuk a n ·(a m−n 1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat n adalah bilangan positif, dan selisih a m−n 1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 karena kondisi awal, dan untuk a>1, derajat m−n lebih besar dari satu . Oleh karena itu, a m a n >0 dan a m >a n , yang harus dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan oleh pertidaksamaan 3 7 >3 2 .

Sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat

Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat positif sama persis dengan sifat-sifat pangkat dengan pangkat asli yang tercantum dan dibuktikan dalam paragraf sebelumnya.

Derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif, serta derajat dengan eksponen nol, kami definisikan sedemikian rupa sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami yang dinyatakan dengan persamaan tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku untuk pangkat nol dan pangkat negatif, sementara, tentu saja, basis derajatnya bukan nol.

Jadi, untuk setiap bilangan real dan bukan-nol a dan b, serta setiap bilangan bulat m dan n, berikut ini adalah benar sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m n ;
  6. jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a b-n;
  7. jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka pada 0 1 pertidaksamaan a m > a n terpenuhi.

Untuk a=0, pangkat a m dan a n masuk akal hanya jika m dan n keduanya bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru saja ditulis juga berlaku untuk kasus-kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.

Tidak sulit untuk membuktikan masing-masing sifat ini, untuk ini cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen alami dan bilangan bulat, serta sifat-sifat tindakan dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat nonpositif. Untuk melakukan ini, kita perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaan (a p) q =a p q , (a p) q =a (−p) q , (a p ) q =a p (−q) dan (a−p)−q =a (−p) (−q). Ayo lakukan.

Untuk p dan q positif, persamaan (a p) q =a p·q telah dibuktikan pada subbab sebelumnya. Jika p=0 , maka kita memiliki (a 0) q =1 q =1 dan a 0 q =a 0 =1 , dari mana (a 0) q =a 0 q . Demikian pula, jika q=0 , maka (a p) 0 =1 dan a p 0 =a 0 =1 , dari mana (a p) 0 =a p 0 . Jika p=0 dan q=0 , maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0 0 =a 0 =1 , dari mana (a 0) 0 =a 0 0 .

Mari kita buktikan bahwa (a p) q =a (−p) q . Dengan definisi derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif , maka . Dengan properti hasil bagi dalam derajat, kita memiliki . Sejak 1 p=1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dari bentuk a (p q) , yang, berdasarkan aturan perkalian, dapat ditulis sebagai (−p) q .

Demikian pula .

Dan .

Dengan prinsip yang sama, seseorang dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.

Dalam kedua dari belakang dari sifat-sifat yang ditulis, ada baiknya memikirkan bukti ketidaksetaraan a n >b n , yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat negatif n dan setiap positif a dan b yang syaratnya a . Karena dengan syarat a 0 . Hasil kali a n ·b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Kemudian pecahan yang dihasilkan positif sebagai hasil bagi bilangan positif b n a n dan a n b n . Oleh karena itu, dari mana a n >b n , yang harus dibuktikan.

Properti terakhir derajat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti properti analog derajat dengan eksponen alami.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional

Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen pecahan dengan memperluas sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat untuk itu. Dengan kata lain, derajat dengan pangkat pecahan memiliki sifat yang sama dengan derajat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:

Pembuktian sifat-sifat derajat dengan pangkat pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan pangkat pecahan, pada dan pada sifat derajat dengan pangkat bilangan bulat. Mari kita beri bukti.

Dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan dan , maka . Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita untuk menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan properti derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita memperoleh , dimana, dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita memiliki , dan pangkat yang diperoleh dapat dikonversikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.

Sifat kedua dari pangkat dengan pangkat pecahan dibuktikan dengan cara yang persis sama:

Persamaan lainnya dibuktikan dengan prinsip serupa:

Kami beralih ke bukti properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk setiap positif a dan b , a bp. Ayo tuliskan bilangan rasional p sebagai m/n , di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Kondisi p<0 и p>0 dalam hal ini akan setara dengan kondisi m<0 и m>0 masing-masing. Untuk m>0 dan a

Demikian pula untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana , yaitu, dan a p >b p .

Tetap membuktikan yang terakhir dari properti yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q , p>q untuk 0 0 – pertidaksamaan a p >a q . Kita selalu dapat mengurangi bilangan rasional p dan q menjadi penyebut yang sama, mari kita dapatkan pecahan biasa dan, di mana m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Dalam hal ini, kondisi p>q akan sesuai dengan kondisi m 1 >m 2, yang mengikuti dari . Kemudian, dengan sifat membandingkan kekuatan dengan basis yang sama dan eksponen alami pada 0 1 – pertidaksamaan a m 1 >a m 2 . Pertidaksamaan ini dalam hal sifat-sifat akar dapat ditulis ulang, masing-masing, sebagai dan . Dan definisi gelar dengan eksponen rasional memungkinkan kita untuk melewati ketidaksetaraan dan, masing-masing. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Sifat derajat dengan eksponen irasional

Dari bagaimana derajat dengan eksponen irasional didefinisikan, dapat disimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat derajat dengan eksponen rasional. Jadi untuk setiap a>0 , b>0 dan bilangan irasional p dan q berikut ini benar: sifat derajat dengan indikator irasional :

  1. a p a q = a p + q ;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (a b) p = a p b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q ;
  6. untuk sembarang bilangan positif a dan b , a 0 ketidaksamaan a p bp ;
  7. untuk bilangan irasional p dan q , p>q pada 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan eksponen nyata p dan q untuk a>0 memiliki sifat yang sama.

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika Zh untuk 5 sel. institusi pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 7 sel. institusi pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 9 sel. institusi pendidikan.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

MBOU "Sidorskaya

sekolah yang komprehensif»

Pengembangan rencana-garis besar buka pelajaran

dalam aljabar di kelas 11 dengan topik:

Disiapkan dan dilakukan

guru matematika

Iskhakova E.F.

Garis besar pelajaran terbuka dalam aljabar di kelas 11.

Subjek : "Gelar dengan eksponen rasional".

Jenis pelajaran : Mempelajari materi baru

Tujuan Pelajaran:

    Untuk memperkenalkan siswa dengan konsep gelar dengan indikator rasional dan sifat-sifat utamanya, berdasarkan materi yang dipelajari sebelumnya (gelar dengan indikator bilangan bulat).

    Kembangkan keterampilan komputasi dan kemampuan untuk mengubah dan membandingkan angka dengan eksponen rasional.

    Untuk menumbuhkan literasi matematika dan minat matematika pada siswa.

Peralatan : Kartu tugas, presentasi siswa pada gelar dengan indikator bilangan bulat, presentasi guru pada gelar dengan indikator rasional, laptop, proyektor multimedia, layar.

Selama kelas:

    Mengatur waktu.

Memeriksa asimilasi topik yang dicakup oleh kartu tugas individu.

Tugas nomor 1.

=2;

B) = x + 5;

Memecahkan sistem persamaan irasional: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Tugas nomor 2.

Selesaikan persamaan irasional: = - 3;

B) = x - 2;

Memecahkan sistem persamaan irasional: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Presentasi topik dan tujuan pelajaran.

Topik pelajaran kita hari ini Derajat dengan eksponen rasional».

    Penjelasan materi baru pada contoh yang dipelajari sebelumnya.

Anda sudah akrab dengan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat. Siapa yang bisa membantu saya mengingatnya?

Pengulangan dengan Presentasi Derajat dengan eksponen bilangan bulat».

Untuk sembarang bilangan a , b dan sembarang bilangan bulat m dan n persamaan adalah benar:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b 0 );

a1 = a; a 0 = 1(a 0)

Hari ini kita akan menggeneralisasi konsep derajat suatu bilangan dan memberikan makna pada ekspresi yang memiliki eksponen pecahan. Mari kita perkenalkan definisi derajat dengan indikator rasional (Presentasi "Gelar dengan indikator rasional"):

derajat > 0 dengan eksponen rasional r = , di mana m adalah bilangan bulat, dan n - alami ( n > 1), disebut nomor m .

Jadi, menurut definisi, kita mendapatkan itu = m .

Mari kita coba menerapkan definisi ini saat melakukan tugas.

CONTOH 1

I Ekspresikan sebagai akar dari suatu bilangan ekspresi:

TETAPI) B) PADA) .

Sekarang mari kita coba menerapkan definisi ini secara terbalik

II Nyatakan ekspresi sebagai kekuatan dengan eksponen rasional:

TETAPI) 2 B) PADA) 5 .

Kekuatan 0 hanya didefinisikan untuk eksponen positif.

0 r= 0 untuk sembarang r> 0.

Dengan menggunakan definisi ini, Rumah Anda akan menyelesaikan #428 dan #429.

Sekarang mari kita tunjukkan bahwa definisi di atas derajat dengan eksponen rasional mempertahankan sifat dasar derajat yang benar untuk setiap eksponen.

Untuk setiap bilangan rasional r dan s dan setiap positif a dan b, persamaannya adalah benar:

1 0 . sebuah r sebuah s =a r+s ;

CONTOH: *

20 . a r: a s =a r-s ;

CONTOH: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

CONTOH: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = sebuah r b r ; 5 0 . ( = .

CONTOH: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

CONTOH pada penggunaan beberapa properti sekaligus: * : .

    Fizkultminutka.

Kami meletakkan pena di atas meja, meluruskan punggung, dan sekarang kami menjangkau ke depan, kami ingin menyentuh papan. Dan sekarang kami mengangkat dan bersandar ke kanan, ke kiri, ke depan, ke belakang. Mereka menunjukkan pena, dan sekarang menunjukkan bagaimana jari-jari Anda bisa menari.

    Kerjakan materinya

Kami mencatat dua sifat kekuatan dengan eksponen rasional:

60 . Biarlah r adalah bilangan rasional dan 0< a < b . Тогда

sebuah r < b r pada r> 0,

sebuah r < b r pada r< 0.

7 0 . Untuk sembarang bilangan rasionalr dan s dari ketidaksetaraan r> s mengikuti itu

sebuah r> a r untuk > 1,

sebuah r < а r pada 0< а < 1.

CONTOH: Bandingkan angka:

Dan ; 2 300 dan 3 200 .

    Ringkasan pelajaran:

Hari ini dalam pelajaran kita mengingat sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat, mempelajari definisi dan sifat dasar derajat dengan eksponen rasional, mempertimbangkan penerapan ini bahan teoretis dalam latihan selama latihan. Saya ingin menarik perhatian Anda pada fakta bahwa topik "Gelar dengan indikator rasional" adalah wajib di GUNAKAN tugas. Dalam persiapan pekerjaan rumah ( Nomor 428 dan Nomor 429

Pelajaran video "Gelar dengan indikator rasional" berisi visual bahan pendidikan untuk mengajar tentang topik ini. Pelajaran video berisi informasi tentang konsep gelar dengan eksponen rasional, sifat-sifat, derajat tersebut, serta contoh yang menggambarkan penggunaan materi pendidikan untuk memecahkan masalah praktis. Tugas video pembelajaran ini adalah menyajikan materi pendidikan dengan jelas dan jelas, memfasilitasi pengembangan dan penghafalannya oleh siswa, membentuk kemampuan memecahkan masalah dengan menggunakan konsep yang dipelajari.

Keuntungan utama dari video pelajaran adalah kemampuan untuk membuat transformasi visual dan perhitungan, kemampuan untuk menggunakan efek animasi untuk meningkatkan efisiensi belajar. Iringan suara membantu mengembangkan pidato matematika yang benar, dan juga memungkinkan untuk menggantikan penjelasan guru, membebaskannya untuk pekerjaan individu.

Video tutorial dimulai dengan memperkenalkan topik. Menghubungkan studi topik baru dengan materi yang dipelajari sebelumnya, disarankan untuk mengingat bahwa n a dinyatakan dengan a 1/n untuk n alam dan a positif. Representasi dari n-root ini ditampilkan di layar. Selanjutnya, diusulkan untuk mempertimbangkan apa arti ekspresi a m / n, di mana a adalah bilangan positif, dan m / n adalah beberapa pecahan. Definisi derajat yang disorot dalam kotak diberikan dengan eksponen rasional sebagai a m/n = n a m . Perlu dicatat bahwa n bisa menjadi bilangan asli, dan m - bilangan bulat.

Setelah menentukan derajat dengan pangkat rasional, artinya diungkapkan dengan contoh: (5/100) 3/7 = 7 (5/100) 3 . Sebuah contoh juga ditunjukkan di mana pangkat yang diwakili oleh desimal diubah menjadi pecahan biasa untuk direpresentasikan sebagai akar: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 (1/7) 17 dan contoh dari nilai negatif derajat: 3 -1/8 \u003d 8 3 -1.

Secara terpisah, fitur dari kasus tertentu ditunjukkan ketika basis derajat adalah nol. Perlu dicatat bahwa derajat ini masuk akal hanya dengan eksponen pecahan positif. Dalam hal ini, nilainya sama dengan nol: 0 m/n =0.

Fitur lain dari derajat dengan eksponen rasional dicatat - bahwa derajat dengan eksponen pecahan tidak dapat dianggap dengan eksponen pecahan. Contoh notasi derajat yang salah diberikan: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Selanjutnya dalam pelajaran video, sifat-sifat gelar dengan eksponen rasional dipertimbangkan. Perlu dicatat bahwa sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat juga akan berlaku untuk derajat dengan eksponen rasional. Diusulkan untuk mengingat daftar properti yang juga valid dalam kasus ini:

  1. Saat mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya ditambahkan: a p a q \u003d a p + q.
  2. Pembagian derajat dengan basis yang sama direduksi menjadi derajat dengan basis tertentu dan perbedaan pangkat: a p:a q =a p-q .
  3. Jika kita menaikkan pangkat ke pangkat tertentu, maka sebagai hasilnya kita mendapatkan pangkat dengan basis yang diberikan dan produk dari eksponen: (a p) q =a pq .

Semua sifat ini berlaku untuk pangkat dengan eksponen rasional p, q dan basis positif a>0. Juga, transformasi derajat tetap benar saat membuka tanda kurung:

  1. (ab) p =a p b p - menaikkan produk dua bilangan ke pangkat tertentu dengan eksponen rasional direduksi menjadi produk bilangan, yang masing-masing dipangkatkan.
  2. (a/b) p =a p /b p - pangkat dengan pangkat rasional dari suatu pecahan direduksi menjadi pecahan yang pembilang dan penyebutnya dipangkatkan.

Video tutorial membahas solusi dari contoh-contoh yang menggunakan sifat-sifat yang dipertimbangkan dari derajat dengan eksponen rasional. Pada contoh pertama, diusulkan untuk mencari nilai ekspresi yang memuat variabel x ke pangkat pecahan: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Terlepas dari kompleksitas ekspresi, menggunakan sifat derajat, itu diselesaikan dengan cukup sederhana. Penyelesaian tugas dimulai dengan penyederhanaan ekspresi, yang menggunakan aturan menaikkan derajat dengan pangkat rasional, serta mengalikan derajat dengan dasar yang sama. Setelah mengganti nilai yang diberikan x=8 ke dalam ekspresi yang disederhanakan x 1/3 +48, ​​mudah untuk mendapatkan nilai - 50.

Pada contoh kedua, diperlukan untuk mereduksi pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung pangkat dengan eksponen rasional. Dengan menggunakan sifat-sifat derajat, kita memilih faktor x 1/3 dari selisihnya, yang kemudian dikurangi pembilang dan penyebutnya, dan menggunakan rumus selisih kuadrat, pembilangnya didekomposisi menjadi faktor-faktor, yang memberikan lebih banyak pengurangan dari faktor pembilang dan penyebutnya sama. Hasil dari transformasi tersebut adalah pecahan pendek x 1/4 +3.

Pelajaran video "Gelar dengan indikator rasional" dapat digunakan sebagai pengganti guru yang menjelaskan topik pelajaran yang baru. Juga, manual ini berisi informasi yang cukup untuk Belajar sendiri murid. Materi dapat berguna dalam pembelajaran jarak jauh.

Kami juga merekomendasikan

Memuat...Memuat...

2022 . Seluruh hak cipta.