Derajat adalah pecahan sederhana. Menaikkan pecahan aljabar ke pangkat: aturan, contoh

Pelajaran akan mempertimbangkan versi perkalian pecahan yang lebih umum - ini adalah eksponensial. Pertama-tama, kita akan berbicara tentang derajat alami pecahan dan contoh yang menunjukkan tindakan serupa dengan pecahan. Di awal pelajaran, kita juga akan mengulangi peningkatan ke pangkat alami dari ekspresi bilangan bulat dan melihat bagaimana hal ini berguna untuk menyelesaikan contoh lebih lanjut.

Topik: Pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran: Konstruksi pecahan aljabar sampai tingkat tertentu

1. Aturan untuk menaikkan pecahan dan ekspresi bilangan bulat ke kekuatan alami dengan contoh dasar

Aturan untuk menaikkan pecahan biasa dan aljabar ke pangkat alami:

Anda dapat menggambar analogi dengan derajat ekspresi bilangan bulat dan mengingat apa yang dimaksud dengan menaikkannya ke pangkat:

Contoh 1 .

Seperti yang Anda lihat dari contoh, menaikkan pecahan menjadi pangkat adalah kasus spesial perkalian pecahan yang telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya.

Contoh 2. a), b) - minus hilang, karena kami menaikkan ekspresi ke kekuatan yang sama.

Untuk kenyamanan bekerja dengan gelar, kami mengingat aturan dasar untuk menaikkan ke kekuatan alami:

- produk derajat;

- pembagian derajat;

Menaikkan gelar ke kekuasaan;

Derajat pekerjaan.

Contoh 3. - ini kita ketahui sejak topik "Meningkatkan pangkat ekspresi bilangan bulat", kecuali untuk satu kasus: tidak ada.

2. Contoh paling sederhana untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami

Contoh 4. Naikkan pecahan ke pangkat.

Keputusan. Saat dinaikkan ke kekuatan genap, minus hilang:

Contoh 5. Naikkan pecahan ke pangkat.

Keputusan. Sekarang kami menggunakan aturan untuk menaikkan derajat ke pangkat segera tanpa jadwal terpisah:

Sekarang pertimbangkan tugas gabungan di mana kita perlu menaikkan pecahan menjadi pangkat, dan mengalikannya, dan membaginya.

Contoh 6: Lakukan tindakan.

Keputusan. . Selanjutnya, Anda perlu melakukan pengurangan. Kami akan menjelaskan sekali secara rinci bagaimana kami akan melakukan ini, dan kemudian kami akan menunjukkan hasilnya segera dengan analogi :. Demikian pula (atau menurut aturan pembagian derajat). Kita punya: .

Contoh 7: Melakukan tindakan.

Keputusan. . Pengurangan dilakukan dengan analogi dengan contoh yang dibahas sebelumnya.

Contoh 8: Lakukan tindakan.

Keputusan. . PADA contoh ini kami sekali lagi menjelaskan secara lebih rinci proses pengurangan pangkat dalam pecahan untuk mengkonsolidasikan metode ini.

3. Contoh yang lebih kompleks untuk menaikkan pecahan aljabar ke pangkat alami (dengan mempertimbangkan tanda dan dengan istilah dalam tanda kurung)

Contoh 9: Lakukan tindakan .

Keputusan. Dalam contoh ini, kita akan melewatkan perkalian pecahan yang terpisah, dan segera menggunakan aturan perkaliannya dan menuliskannya di bawah satu penyebut. Pada saat yang sama, kami mengikuti tanda - dalam hal ini, pecahan dinaikkan menjadi pangkat genap, sehingga minusnya hilang. Mari kita lakukan pengurangan di akhir.

Contoh 10: Lakukan tindakan .

Keputusan. Dalam contoh ini, ada pembagian pecahan, ingat bahwa dalam hal ini pecahan pertama dikalikan dengan yang kedua, tetapi dibalik.

Eksponen adalah operasi yang berkaitan erat dengan perkalian, operasi ini merupakan hasil perkalian dari perkalian bilangan dengan dirinya sendiri. Mari kita nyatakan rumusnya: a1 * a2 * ... * an = an.

Misalnya, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Secara umum, eksponensial sering digunakan dalam berbagai rumus dalam matematika dan fisika. Fungsi ini memiliki tujuan yang lebih ilmiah daripada empat fungsi dasar: Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian.

Menaikkan angka menjadi kekuatan

Menaikkan angka ke pangkat bukanlah operasi yang sulit. Hal ini terkait dengan perkalian seperti hubungan antara perkalian dan penambahan. Rekam an - catatan singkat dari jumlah ke-n angka "a" dikalikan satu sama lain.

Pertimbangkan eksponensial paling banyak contoh sederhana beralih ke yang kompleks.

Misalnya, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Empat kuadrat (untuk pangkat kedua) sama dengan enam belas. Jika Anda tidak memahami perkalian 4 * 4, maka baca artikel kami tentang perkalian.

Mari kita lihat contoh lain: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Lima potong dadu (untuk pangkat ketiga) sama dengan seratus dua puluh lima.

Contoh lain: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Sembilan potong dadu sama dengan tujuh ratus dua puluh sembilan.

Rumus Eksponen:

Untuk menaikkan pangkat dengan benar, Anda perlu mengingat dan mengetahui rumus di bawah ini. Tidak ada yang lebih alami dalam hal ini, yang utama adalah memahami esensi dan kemudian mereka tidak hanya akan diingat, tetapi juga tampak mudah.

Meningkatkan monomial menjadi kekuatan

Apa itu monomial? Ini adalah produk dari angka dan variabel dalam jumlah berapa pun. Misalnya, dua adalah monomial. Dan artikel ini adalah tentang mengangkat monomial seperti itu menjadi sebuah kekuatan.

Menggunakan rumus eksponensial, tidak akan sulit untuk menghitung eksponensial dari monomial ke pangkat.

Sebagai contoh, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Jika Anda menaikkan monomial menjadi pangkat, maka setiap komponen monomial dinaikkan menjadi pangkat.

Saat menaikkan variabel yang sudah memiliki derajat ke pangkat, derajat dikalikan. Misalnya, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Meningkatkan ke kekuatan negatif

Eksponen negatif adalah kebalikan dari suatu bilangan. Apa itu timbal balik? Untuk sembarang bilangan X, kebalikannya adalah 1/X. Yaitu X-1=1/X. Ini adalah inti dari derajat negatif.

Perhatikan contoh (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Mengapa demikian? Karena ada minus dalam derajat, kami hanya mentransfer ekspresi ini ke penyebut, dan kemudian menaikkannya ke kekuatan ketiga. Benar?

Menaikkan ke pangkat pecahan

Mari kita mulai diskusinya contoh spesifik. 43/2. Apa yang dimaksud dengan kekuatan 3/2? 3 - pembilang, berarti menaikkan angka (dalam hal ini 4) menjadi kubus. Angka 2 adalah penyebutnya, ini adalah ekstraksi akar kedua dari angka tersebut (dalam hal ini 4).

Kemudian kita mendapatkan akar kuadrat dari 43 = 2^3 = 8 . Jawaban: 8.

Jadi, penyebut derajat pecahan dapat berupa 3 atau 4, dan hingga tak terhingga angka apa pun, dan angka ini menentukan derajat akar pangkat dua diekstrak dari nomor yang diberikan. Tentu saja, penyebutnya tidak boleh nol.

Meningkatkan akar menjadi kekuatan

Jika akar dipangkatkan dengan pangkat yang sama dengan pangkat akar itu sendiri, maka jawabannya adalah ekspresi radikal. Misalnya, (√x)2 = x. Dan dalam hal apapun persamaan derajat akar dan derajat kenaikan akar.

Jika (√x)^4. Maka (√x)^4=x^2. Untuk memeriksa solusinya, kami menerjemahkan ekspresi ke dalam ekspresi dengan derajat pecahan. Karena akarnya kuadrat, penyebutnya adalah 2. Dan jika akarnya dipangkatkan ke empat, maka pembilangnya adalah 4. Kita peroleh 4/2=2. Jawab: x = 2.

Bagaimanapun jalan terbaik cukup ubah ekspresi menjadi ekspresi dengan kekuatan pecahan. Jika pecahan tidak dikurangi, maka jawaban seperti itu akan diberikan, asalkan akar dari angka yang diberikan tidak dialokasikan.

Eksponen dari bilangan kompleks

Apa itu bilangan kompleks? Bilangan kompleks adalah ekspresi yang memiliki rumus a + b * i; a,b adalah bilangan real. i adalah bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan -1.

Pertimbangkan sebuah contoh. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Daftar ke kursus "Mempercepat penghitungan mental, BUKAN aritmatika mental" untuk mempelajari cara menambah, mengurangi, mengalikan, membagi, mengkuadratkan bilangan, dan bahkan mengakarkan dengan cepat dan benar. Dalam 30 hari, Anda akan belajar cara menggunakan trik mudah untuk menyederhanakan operasi aritmatika. Setiap pelajaran berisi teknik baru, contoh yang jelas dan tugas yang berguna.

Eksponen online

Dengan bantuan kalkulator kami, Anda dapat menghitung eksponensial suatu bilangan ke pangkat:

Eksponen Kelas 7

Mengangkat kekuatan mulai melewati anak-anak sekolah hanya di kelas tujuh.

Sebagai contoh, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Contoh Solusi:

Presentasi eksponen

Presentasi tentang eksponensial, dirancang untuk siswa kelas tujuh. Presentasi mungkin mengklarifikasi beberapa poin yang tidak dapat dipahami, tetapi mungkin tidak akan ada poin seperti itu berkat artikel kami.

Hasil

Kami hanya mempertimbangkan puncak gunung es, untuk memahami matematika dengan lebih baik - daftar untuk kursus kami: Percepat aritmatika mental - BUKAN aritmatika mental.

Dari kursus ini, Anda tidak hanya akan mempelajari lusinan trik untuk perkalian, penjumlahan, perkalian, pembagian, penghitungan persentase yang disederhanakan dan cepat, tetapi juga mengerjakannya dalam tugas khusus dan permainan edukatif! Penghitungan mental juga membutuhkan banyak perhatian dan konsentrasi, yang dilatih secara aktif dalam memecahkan masalah yang menarik.

Petunjuk

Jika dalam sumber diberikan dalam format pecahan biasa, maka operasi harus dilakukan dalam dua langkah. Urutannya tidak akan memengaruhi hasil dengan cara apa pun - mulai, misalnya, dengan mengekstraksi dari jumlah akar derajat yang ditunjukkan dalam penyebut pecahan. Misalnya, untuk menaikkan ke derajat angka 64 pada langkah ini harus diambil darinya: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Naikkan nilai yang diperoleh pada langkah pertama ke derajat sama dengan bilangan pada pembilang pecahan. Hasil dari operasi ini adalah hasil dari menaikkan angka menjadi pecahan derajat. Untuk contoh dari langkah sebelumnya, seluruh proses perhitungan dapat ditulis sebagai berikut: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Lanjutkan dari kesederhanaan perhitungan saat menentukan urutan operasi yang dijelaskan di atas, mengekstrak akar dan menaikkan ke derajat. Misalnya, jika itu diperlukan dalam hal yang sama derajat untuk menaikkan angka 8, maka mulai dengan akar pangkat tiga dari delapan adalah , karena hasilnya adalah pecahan . Dalam hal ini, lebih baik memulai 8 kuadrat, lalu mengambil akar ketiga dari 64 dan dengan demikian menghindari nilai tengah pecahan: 8^⅔ = (8²) = 64 = 4.

Jika eksponen dalam data sumber diberikan dalam format desimal, maka mulailah dengan mengubahnya menjadi pecahan biasa, dan kemudian ikuti algoritma yang dijelaskan di atas. Misalnya, untuk menaikkan angka menjadi derajat 0,75 ubah angka ini menjadi pecahan biasa , lalu ekstrak akar keempat dan naikkan hasilnya menjadi kubus.

Gunakan apa saja jika jalannya perhitungan tidak penting, tetapi hanya hasilnya yang penting. Itu juga bisa berupa skrip yang disematkan di mesin pencari Google- dengan bantuannya nilai yang diinginkan bahkan lebih mudah daripada menggunakan kalkulator Windows standar. Misalnya, untuk menaikkan angka 15 menjadi derajat pergi ke halaman rumah situs dan masukkan 15^(3/5) di bidang permintaan pencarian. Google akan menampilkan hasil perhitungan dengan akurasi hingga 8 karakter bahkan tanpa menekan tombol kirim permintaan: 15^ (3/5) = 5.07755639.

Sumber:

cara menaikkan pangkat pecahan

Derajat angka diurutkan di sekolah dalam pelajaran aljabar. Dalam kehidupan, operasi seperti itu jarang dilakukan. Misalnya, ketika menghitung luas persegi atau volume kubus, derajat digunakan, karena panjang, lebar, dan untuk kubus dan tinggi adalah nilai yang sama. Jika tidak, eksponensial paling sering bersifat industri terapan.

Anda akan perlu

Kertas, pena, kalkulator teknik, tabel gelar, produk perangkat lunak (misalnya, editor spreadsheet Excel).

Petunjuk

Saat bekerja dengan angka negatif, Anda harus berhati-hati dengan tanda. Harus diingat bahwa gelar genap (n) akan memberikan tanda tambah, ganjil - tanda.
Misalnya
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Derajat nol (n = 0) dari sembarang angka akan selalu sama dengan satu.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Jika n = 1, tidak perlu dikalikan dengan bilangan itu sendiri.
Akan
7^1 = 7
329^1 = 329

Jika n = 2, maka derajatnya berbentuk bujur sangkar, jika n = 3, derajatnya disebut kubus. Menghitung kuadrat dan kubus dari angka sepuluh pertama cukup mudah dilakukan. Tapi dengan peningkatan angka dinaikkan menjadi kekuatan, dan ketika kekuatan itu sendiri meningkat, perhitungan menjadi melelahkan. Untuk perhitungan seperti itu, tabel khusus dikembangkan. Ada juga rekayasa khusus dan kalkulator online, produk perangkat lunak. Sebagai perangkat lunak paling sederhana untuk operasi, Anda dapat menggunakan editor spreadsheet Excel.

Sumber:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Saat memecahkan beberapa masalah teknis, mungkin perlu untuk menghitung akar ketiga derajat. Terkadang angka ini juga disebut akar pangkat tiga. akar ketiga derajat dari nomor tertentu nomor seperti itu disebut, kubus (derajat ketiga) yang sama dengan yang diberikan. Artinya, jika y akar ketiga derajat bilangan x, maka kondisi berikut harus dipenuhi: y?=x (x sama dengan y kubus).

Anda akan perlu

kalkulator atau komputer

Petunjuk

Untuk menghitung akar derajat menggunakan kalkulator. Sangat diharapkan bahwa ini bukan yang biasa, tetapi kalkulator yang digunakan untuk perhitungan teknik. Namun, bahkan pada ini Anda tidak akan menemukan tombol khusus untuk mengekstraksi root. ketiga derajat. Jadi gunakan fungsi untuk menaikkan angka menjadi pangkat. Mengekstrak akar ketiga derajat sesuai dengan menaikkan pangkat 1/3 (sepertiga).

Untuk menaikkan angka ke pangkat 1/3, ketik angka itu sendiri pada keyboard kalkulator. Kemudian tekan tombol "eksponensial". Tombol seperti itu, tergantung pada jenis kalkulatornya, mungkin terlihat seperti xy (y - dalam bentuk superskrip). Karena sebagian besar kalkulator tidak memiliki kemampuan untuk bekerja dengan angka biasa (non-desimal), alih-alih angka 1/3, ketikkan nilai perkiraannya: 0,33. Untuk mendapatkan akurasi perhitungan yang lebih besar, perlu menambah jumlah "tiga kali lipat", misalnya, tekan 0,33333333333333. Kemudian, tekan tombol "=".

Untuk menghitung akar ketiga derajat pada , gunakan kalkulator Windows standar. Prosedurnya benar-benar mirip dengan yang dijelaskan dalam paragraf instruksi sebelumnya. Satu-satunya hal adalah tombol eksponensial. Pada kalkulator "komputer", sepertinya x ^ y.

Jika sebuah akar ketiga derajat Jika Anda harus melakukannya secara sistematis, maka gunakan MS Excel. Untuk menghitung akar ketiga derajat di Excel, masukkan tanda "=" di sel mana pun, lalu pilih "fx" - masukkan fungsi. Di jendela yang muncul, dalam daftar "Select a function", pilih baris "DEGREE". Klik tombol OK. Di jendela yang baru muncul, masukkan di baris "Nomor" nilai nomor yang ingin Anda ekstrak akar. Di baris "Gelar" masukkan angka "1/3" dan klik "OK". Nilai akar pangkat tiga yang diinginkan dari angka asli akan muncul di tabel.

Dalam perhitungan teknis dan dalam memecahkan banyak masalah, terkadang diperlukan akar, yaitu, menemukan nomor yang kubusnya sama dengan yang asli. Kalkulator teknik sudah cukup untuk menghitung nilai akar pangkat tiga. Namun, bahkan pada kalkulator seperti itu tidak ada kunci khusus untuk menghitung akar pangkat tiga. Tetapi menggunakan beberapa trik sederhana, Anda dapat melakukannya tanpa tombol seperti itu.

Anda akan perlu

kalkulator teknik atau komputer

Petunjuk

Untuk menemukan akar pangkat tiga menggunakan kalkulator, ambil nomor teknik dan ketik nomor aslinya. Kemudian, klik tombol eksponensial. Sekarang masukkan nilai indikator. Dalam hal ini, itu (secara teoritis) harus sama dengan 1/3. Tetapi, karena penggunaan pecahan biasa bahkan pada kalkulator teknik sulit, maka ketikkan nilai pembulatan angka 1/3, yaitu: 0,33. Kemudian klik tombol "=". Nilai yang diinginkan akan muncul pada indikator kalkulator. Untuk mendapatkan lebih banyak nilai yang tepat, tekan bukan dua kali lipat, tetapi, misalnya, 0,333333333333.

Untuk menghitung akar pangkat tiga di komputer, jalankan program kalkulator. Jika ikon yang sesuai tidak ada di desktop, lakukan hal berikut:
- tekan tombol "Mulai";
- pilih item menu "Jalankan";
- masukkan baris "calc" di jendela yang muncul. Jika kalkulator yang muncul di desktop memiliki tampilan normal (menyerupai "kalkulator akuntansi"), alihkan ke mode perhitungan. Untuk melakukan ini, pilih baris "Tampilan" dan pilih item "Teknik". Sekarang masukkan nomor dari mana Anda ingin mengekstrak akar pangkat tiga. Kemudian tekan tombol "x^y" pada kalkulator. Selanjutnya, tekan , misalnya, 0.33. Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat, Anda dapat mengetikkan nilai eksponen yang lebih besar, misalnya 0,333333333333. Untuk mendapatkan hasil yang akurat, masukkan eksponen "1/3" dalam tanda kurung. Artinya, tekan tombol "(1/3)" secara berurutan.

Perhitungan di Excel. Jalankan program itu sendiri, tekan tombol "=" dan pilih fungsi "DEGREE". Kemudian masukkan nomor dari mana Anda ingin mengekstrak akar derajat. Kemudian, di jendela berikutnya yang muncul, ketik pecahan "1/3" dan klik tombol "OK".

Video Terkait

Sumber:

cara menghitung akar pangkat tiga

Saat memecahkan masalah aritmatika dan aljabar, terkadang diperlukan untuk membangun pecahan di kotak. Cara termudah untuk melakukannya adalah ketika pecahan desimal - kalkulator biasa sudah cukup. Namun, jika pecahan biasa atau campuran, maka ketika menaikkan angka seperti itu menjadi kotak beberapa kesulitan mungkin timbul.

Kami menemukan apa tingkat angka secara umum. Sekarang kita perlu memahami cara menghitungnya dengan benar, mis. menaikkan angka menjadi kekuatan. Dalam materi ini, kita akan menganalisis aturan dasar untuk menghitung derajat dalam kasus bilangan bulat, alami, pecahan, eksponen rasional dan irasional. Semua definisi akan diilustrasikan dengan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konsep eksponensial

Mari kita mulai dengan perumusan definisi dasar.

Definisi 1

Eksponen adalah perhitungan nilai pangkat beberapa bilangan.

Artinya, kata "perhitungan nilai derajat" dan "perpangkatan" memiliki arti yang sama. Jadi, jika tugasnya adalah "Naikkan angka 0 , 5 ke pangkat lima", ini harus dipahami sebagai "hitung nilai pangkat (0 , 5) 5 .

Sekarang kami memberikan aturan dasar yang harus diikuti dalam perhitungan tersebut.

Ingat kembali apa kekuatan angka dengan eksponen alami. Untuk pangkat dengan basis a dan eksponen n, ini akan menjadi produk dari jumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Ini dapat ditulis seperti ini:

Untuk menghitung nilai derajat, Anda perlu melakukan operasi perkalian, yaitu mengalikan basis derajat beberapa kali. Konsep gelar dengan indikator alami didasarkan pada kemampuan untuk mengalikan dengan cepat. Mari kita beri contoh.

Contoh 1

Kondisi: Naikkan - 2 pangkat 4 .

Keputusan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: (− 2) 4 = (− 2) ( 2) (− 2) (− 2) . Selanjutnya, kita hanya perlu mengikuti langkah-langkah ini dan mendapatkan 16 .

Mari kita ambil contoh yang lebih rumit.

Contoh 2

Hitung nilainya 3 2 7 2

Keputusan

Entri ini dapat ditulis ulang menjadi 3 2 7 · 3 2 7 . Sebelumnya kita telah melihat cara mengalikan bilangan campuran yang disebutkan dalam kondisi dengan benar.

Lakukan langkah-langkah ini dan dapatkan jawabannya: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jika tugas menunjukkan kebutuhan untuk menaikkan bilangan irasional ke kekuatan alami, pertama-tama kita harus membulatkan basisnya ke angka yang memungkinkan kita mendapatkan jawaban dengan akurasi yang diinginkan. Mari kita ambil contoh.

Contoh 3

Lakukan kuadrat dari bilangan .

Keputusan

Mari kita bulatkan ke ratusan dulu. Maka 2 (3, 14) 2 = 9, 8596. Jika 3 . 14159, maka kita akan mendapatkan hasil yang lebih akurat: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Perhatikan bahwa kebutuhan untuk menghitung pangkat bilangan irasional dalam praktik relatif jarang muncul. Kita kemudian dapat menulis jawabannya sebagai pangkat itu sendiri (ln 6) 3 atau jika mungkin mengubah: 5 7 = 125 5 .

Secara terpisah, itu harus ditunjukkan apa kekuatan pertama dari suatu angka. Di sini Anda hanya dapat mengingat bahwa angka apa pun yang dipangkatkan pertama akan tetap menjadi dirinya sendiri:

Ini jelas dari catatan. .

Itu tidak tergantung pada dasar gelar.

Contoh 4

Jadi, (− 9) 1 = 9 , dan 7 3 dipangkatkan pertama tetap sama dengan 7 3 .

Untuk memudahkan, kami akan menganalisis tiga kasus secara terpisah: jika eksponen adalah bilangan bulat positif, jika nol, dan jika bilangan bulat negatif.

Dalam kasus pertama, ini sama dengan menaikkan ke kekuatan alami: lagi pula, bilangan bulat positif termasuk dalam himpunan bilangan asli. Kami telah menjelaskan cara bekerja dengan gelar seperti itu di atas.

Sekarang mari kita lihat cara menaikkan pangkat nol dengan benar. Dengan basis yang bukan nol, perhitungan ini selalu menghasilkan keluaran 1 . Kami sebelumnya telah menjelaskan bahwa pangkat 0 dari a dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan asli, tidak sama dengan 0 , dan a 0 = 1 .

Contoh 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - tidak ditentukan.

Kami hanya memiliki kasus gelar dengan eksponen bilangan bulat negatif. Kita telah membahas bahwa derajat tersebut dapat ditulis sebagai pecahan 1 a z, di mana a adalah bilangan apa saja, dan z adalah bilangan bulat negatif. Kita melihat bahwa penyebut pecahan ini tidak lebih dari derajat biasa dengan bilangan bulat positif, dan kita telah mempelajari cara menghitungnya. Mari kita beri contoh tugas.

Contoh 6

Naikkan 3 ke pangkat -2.

Keputusan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: 2 - 3 = 1 2 3

Kami menghitung penyebut pecahan ini dan mendapatkan 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Maka jawabannya adalah: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Contoh 7

Naikkan 1, 43 ke pangkat -2.

Keputusan

Rumuskan ulang: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kami menghitung kuadrat dalam penyebut: 1,43 1,43. Desimal dapat dikalikan dengan cara ini:

Hasilnya, kami mendapatkan (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Tetap bagi kita untuk menulis hasil ini dalam bentuk pecahan biasa, yang perlu dikalikan dengan 10 ribu (lihat materi tentang konversi pecahan).

Jawaban: (1, 43) - 2 = 10.000 20449

Kasus terpisah adalah menaikkan angka ke pangkat pertama minus. Nilai derajat seperti itu sama dengan angka yang berlawanan dengan nilai asli pangkalan: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Contoh 8

Contoh: 3 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cara menaikkan angka ke kekuatan pecahan

Untuk melakukan operasi seperti itu, kita perlu mengingat definisi dasar derajat dengan eksponen pecahan: a m n \u003d a m n untuk setiap positif a, bilangan bulat m dan n alami.

Definisi 2

Dengan demikian, perhitungan derajat pecahan harus dilakukan dalam dua langkah: menaikkan pangkat bilangan bulat dan menemukan akar derajat ke-n.

Kami memiliki persamaan a m n = a m n , yang, mengingat sifat-sifat akar, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk a m n = a n m . Ini berarti bahwa jika kita menaikkan angka a ke pangkat pecahan m / n, maka pertama-tama kita mengekstrak akar derajat ke-n dari a, kemudian kita menaikkan hasilnya ke pangkat dengan eksponen bilangan bulat m.

Mari kita ilustrasikan dengan sebuah contoh.

Contoh 9

Hitung 8 - 2 3 .

Keputusan

Metode 1. Menurut definisi dasar, kita dapat menyatakan ini sebagai: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Sekarang mari kita hitung derajat di bawah akar dan ekstrak akar ketiga dari hasilnya: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metode 2. Mari kita ubah persamaan dasar: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Setelah itu, kita ekstrak akar 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dan kuadratkan hasilnya: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Kami melihat bahwa solusinya identik. Anda dapat menggunakan cara apa pun yang Anda suka.

Ada kasus ketika derajat memiliki indikator yang dinyatakan sebagai angka campuran atau pecahan desimal. Untuk memudahkan perhitungan, lebih baik menggantinya dengan pecahan biasa dan menghitung seperti yang ditunjukkan di atas.

Contoh 10

Naikkan 44,89 ke pangkat 2,5.

Keputusan

Mari kita ubah nilai indikator menjadi pecahan biasa - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Dan sekarang kita melakukan semua tindakan yang ditunjukkan di atas secara berurutan: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Jawaban: 13501, 25107.

Jika pembilang dan penyebut suatu eksponen pecahan adalah angka besar, maka perhitungan kekuatan tersebut dengan indikator rasional- pekerjaan yang cukup sulit. Biasanya membutuhkan teknologi komputer.

Secara terpisah, kita membahas derajat dengan basis nol dan eksponen pecahan. Ekspresi bentuk 0 m n dapat diberikan arti sebagai berikut: jika m n > 0, maka 0 m n = 0 m n = 0 ; jika m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cara menaikkan angka menjadi kekuatan irasional

Kebutuhan untuk menghitung nilai derajat, dalam indikator yang ada bilangan irasional, tidak sering muncul. Dalam praktiknya, tugas biasanya terbatas pada menghitung nilai perkiraan (hingga sejumlah tempat desimal tertentu). Ini biasanya dihitung di komputer karena rumitnya perhitungan seperti itu, jadi kami tidak akan membahas ini secara rinci, kami hanya akan menunjukkan ketentuan utama.

Jika kita perlu menghitung nilai derajat a dengan eksponen irasional a , maka kita mengambil pendekatan desimal dari eksponen dan menghitungnya. Hasilnya akan menjadi jawaban perkiraan. Semakin akurat pendekatan desimal yang diambil, semakin akurat jawabannya. Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh:

Contoh 11

Hitung nilai perkiraan 21 , 174367 ....

Keputusan

Kami membatasi diri pada pendekatan desimal a n = 1 , 17 . Mari kita lakukan perhitungan menggunakan angka ini: 2 1 , 17 2 , 250116 . Jika kita ambil, misalnya, aproksimasi a n = 1 , 1743 , maka jawabannya akan sedikit lebih tepat: 2 1 , 174367 . . . 2 1. 1743 2. 256833 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Anda akan perlu

kalkulator, komputer, aplikasi excel.

Petunjuk

Untuk menaikkan desimal pecahan di kotak, ambil yang teknik, panggil di atasnya sedang dibangun kotak pecahan dan tekan tombol eksponensial. Pada sebagian besar kalkulator, tombol ini diberi label "x²". Pada kalkulator Windows standar, peningkatan menjadi kotak terlihat seperti "x^2". Sebagai contoh, kotak pecahan desimal 3,14 akan sama dengan: 3,14² = 9,8596.

Untuk meningkatkan ke kotak desimal pecahan pada kalkulator (akuntansi) biasa, kalikan angka ini dengan dirinya sendiri. Omong-omong, dalam beberapa model kalkulator dimungkinkan untuk menaikkan angka menjadi kotak bahkan jika tidak ada tombol khusus. Karena itu, baca dulu instruksi untuk kalkulator tertentu. Terkadang eksponensial "rumit" diberikan di sampul belakang atau di kalkulator. Misalnya, pada banyak kalkulator untuk menaikkan angka menjadi kotak cukup tekan tombol "x" dan "=".

Untuk ereksi di kotak pecahan biasa (terdiri dari pembilang dan penyebut), naikkan menjadi kotak pisahkan pembilang dan penyebut pecahan ini. Artinya, gunakan aturan berikut: (h / s)² = h² / s², di mana h adalah pembilang pecahan, s adalah penyebut pecahan Contoh: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Jika didirikan di kotak pecahan- campur (terdiri dari bagian bilangan bulat dan pecahan biasa), lalu bawa dulu ke tampilan biasa. Artinya, terapkan rumus berikut: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² \u003d (ts * s + h) ² / s², di mana ts adalah bagian bilangan bulat dari pecahan campuran Contoh: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Jika di kotak(bukan) pecahan tetap, maka gunakan MS Excel. Untuk melakukan ini, masukkan rumus berikut ke salah satu tabel: \u003d DERAJAT (A2; 2) di mana A2 adalah alamat sel tempat nilai yang dinaikkan akan dimasukkan kotak pecahan.Untuk memberi tahu program bahwa nomor input harus ditangani sebagai pecahan yu (yaitu jangan mengubahnya menjadi desimal), ketik sebelumnya pecahan angka ke- "0" dan tanda "spasi". Artinya, untuk memasukkan, misalnya, pecahan 2/3, Anda harus memasukkan: "0 2/3" (dan tekan Enter). Dalam hal ini, baris input akan menampilkan representasi desimal dari pecahan yang dimasukkan. Nilai dan representasi pecahan langsung di akan dipertahankan dalam bentuk aslinya. Selain itu, saat menggunakan fungsi matematika, yang argumennya adalah pecahan biasa, hasilnya juga akan direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Karena itu kotak pecahan 2/3 akan direpresentasikan sebagai 4/9.