rumah > teknik Mesin

Perbedaan logaritma dengan basis yang sama. Sifat-sifat logaritma dan contoh penyelesaiannya

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b * a c = a b + c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, matematikawan Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di mana-mana di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian yang rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma dari setiap bilangan non-negatif (yaitu, setiap positif) "b" dengan basisnya "a" dianggap pangkat dari "c" , yang basis "a" harus dinaikkan, sehingga pada akhirnya mendapatkan nilai "b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana menemukan jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 ke tingkat yang diperlukan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan nomor 3! Dan memang benar, karena 2 pangkat 3 memberikan angka 8 dalam jawabannya.

Varietas logaritma

Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampak rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat-sifatnya dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang berbeda:

  1. Logaritma natural ln a, dengan basis adalah bilangan Euler (e = 2,7).
  2. Desimal a, dengan basis 10.
  3. Logaritma dari setiap nomor b ke basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi dan reduksi selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, seseorang harus mengingat propertinya dan urutan tindakan dalam keputusannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu, mereka tidak perlu dibahas dan benar. Misalnya, tidak mungkin membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin untuk mengambil akar genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, yang dengannya Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

  • basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" pada tingkat apa pun selalu sama dengan nilainya;
  • jika a > 0, maka a b > 0, ternyata “c” harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya, diberi tugas untuk menemukan jawaban dari persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, Anda harus memilih kekuatan seperti itu dengan menaikkan angka sepuluh yang kita dapatkan 100. Ini, tentu saja, adalah 10 2 \u003d 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini sebagai logaritmik. Kami mendapatkan log 10 100 = 2. Saat memecahkan logaritma, semua tindakan praktis bertemu untuk menemukan sejauh mana basis logaritma harus dimasukkan untuk mendapatkan angka yang diberikan.

Untuk secara akurat menentukan nilai derajat yang tidak diketahui, Anda harus mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, nilai yang lebih besar akan membutuhkan tabel daya. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak mengerti sama sekali dalam topik matematika yang kompleks. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris angka paling atas adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan sel, nilai angka ditentukan, yang merupakan jawabannya (a c = b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya sangat sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan mengerti!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritmik. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif, aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa ketidaksetaraan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Sebuah ekspresi dari bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - itu adalah ketidaksetaraan logaritmik, karena nilai yang tidak diketahui "x" berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua kuantitas dibandingkan: logaritma dari angka yang diinginkan di basis dua lebih besar dari angka tiga.

Perbedaan yang paling penting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (misalnya, logaritma dari 2 x = 9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawaban, sedangkan ketika memecahkan pertidaksamaan, kedua rentang nilai yang dapat diterima dan poin yang melanggar fungsi ini. Akibatnya, jawabannya bukan kumpulan angka individu yang sederhana, seperti pada jawaban persamaan, tetapi deret atau kumpulan angka yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, ketika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dan diterapkan dengan jelas semua sifat dasar logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan nanti, mari kita analisa dulu masing-masing properti lebih detail.

  1. Identitas dasarnya terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
  2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, prasyaratnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusi. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , maka a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat derajat ), dan selanjutnya menurut definisi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang harus dibuktikan.
  3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut "properti derajat logaritma". Ini menyerupai sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika Anda menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema telah terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksetaraan

Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus tes masuk dalam matematika, Anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk memecahkan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun, aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematis atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritmik panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka segera.

Saat memecahkan persamaan logaritmik, perlu untuk menentukan jenis logaritma yang kita miliki sebelum kita: contoh ekspresi dapat berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Solusinya bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma natural, kita harus menerapkan identitas logaritma atau sifat-sifatnya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritmik dari berbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Solusi

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama pada logaritma.

  1. Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar angka b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menerapkan properti keempat dari derajat logaritma, kami berhasil memecahkan pada pandangan pertama ekspresi yang kompleks dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basis dan kemudian mengambil nilai eksponen dari tanda logaritma.

Tugas dari ujian

Logaritma sering ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak sekali soal-soal logaritma pada UN Unified State Exam (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian tes termudah dari ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian ini menyiratkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "logaritma alami".

Contoh dan pemecahan masalah diambil dari versi resmi ujian. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diberikan log 2 (2x-1) = 4. Solusi:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan definisi logaritma, kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8.5.

  • Semua logaritma sebaiknya direduksi menjadi basis yang sama sehingga penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
  • Semua ekspresi di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh karena itu, ketika mengambil eksponen dari eksponen ekspresi, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Hari ini kita akan berbicara tentang rumus logaritma dan memberikan demonstrasi contoh solusi.

Dengan sendirinya, mereka menyiratkan pola solusi sesuai dengan sifat dasar logaritma. Sebelum menerapkan rumus logaritma ke solusi, kami ingatkan untuk Anda, pertama-tama semua properti:

Sekarang, berdasarkan rumus (properti) ini, kami menunjukkan contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan rumus.

Logaritma bilangan positif b pada basis a (dilambangkan log a b) adalah eksponen di mana a harus dinaikkan untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Menurut definisi log a b = x, yang ekivalen dengan a x = b, maka log a a x = x.

logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, karena 2 3 = 8

log 7 49 = 2 karena 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, karena 5 -1 = 1/5

logaritma desimal adalah logaritma biasa, yang basisnya adalah 10. Dilambangkan sebagai lg.

log 10 100 = 2 karena 10 2 = 100

logaritma natural- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan basis e (e \u003d 2,71828 ... - bilangan irasional). Disebut sebagai ln.

Diinginkan untuk mengingat rumus atau sifat logaritma, karena kita akan membutuhkannya nanti saat menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan. Mari kita bekerja melalui setiap formula lagi dengan contoh.

  • Identitas logaritma dasar
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

  • Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Sifat-sifat derajat suatu bilangan logaritma dan basis logaritma

    Eksponen bilangan logaritma log a b m = mlog a b

    Eksponen basis logaritma log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    jika m = n, kita mendapatkan log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Transisi ke yayasan baru
    log a b = log c b / log c a,

    jika c = b, kita mendapatkan log b b = 1

    maka log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang Anda lihat, rumus logaritma tidak serumit kelihatannya. Sekarang, setelah mempertimbangkan contoh penyelesaian logaritma, kita dapat beralih ke persamaan logaritmik. Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan logaritmik secara lebih rinci dalam artikel: "". Jangan lewatkan!

Jika Anda masih memiliki pertanyaan tentang solusinya, tulis di komentar artikel.

Catatan: memutuskan untuk mendapatkan pendidikan studi kelas lain di luar negeri sebagai pilihan.

Logaritma suatu bilangan N dengan alasan sebuah disebut eksponen X , yang perlu Anda tingkatkan sebuah untuk mendapatkan nomornya N

Dengan ketentuan
,
,

Ini mengikuti dari definisi logaritma bahwa
, yaitu
- persamaan ini adalah identitas logaritma dasar.

Logaritma ke basis 10 disebut logaritma desimal. Alih-alih
menulis
.

logaritma dasar e disebut alami dan dilambangkan
.

Sifat dasar logaritma.

    Logaritma kesatuan untuk basis apa pun adalah nol

    Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

3) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma


Faktor
disebut modulus transisi dari logaritma di basis sebuah ke logaritma di pangkalan b .

Dengan menggunakan properti 2-5, seringkali dimungkinkan untuk mereduksi logaritma dari ekspresi kompleks menjadi hasil operasi aritmatika sederhana pada logaritma.

Sebagai contoh,

Transformasi logaritma seperti ini disebut logaritma. Transformasi kebalikan dari logaritma disebut potensiasi.

Bab 2. Elemen matematika yang lebih tinggi.

1. Batas

batas fungsi
adalah bilangan terbatas A jika, ketika berjuang xx 0 untuk setiap yang telah ditentukan
, ada nomor
itu segera
, kemudian
.

Fungsi yang memiliki limit berbeda dengan jumlah yang sangat kecil:
, di mana - b.m.w., yaitu
.

Contoh. Pertimbangkan fungsinya
.

Saat berusaha
, fungsi kamu menjadi nol:

1.1. Teorema dasar tentang limit.

    Batas nilai konstan sama dengan nilai konstan ini

.

    Limit jumlah (selisih) sejumlah fungsi berhingga sama dengan jumlah (selisih) limit fungsi-fungsi tersebut.

    Limit hasil kali sejumlah fungsi terhingga sama dengan hasil kali limit fungsi-fungsi tersebut.

    Limit hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi-fungsi tersebut jika limit penyebutnya tidak sama dengan nol.

Batas Luar Biasa

,
, di mana

1.2. Contoh Perhitungan Batas

Namun, tidak semua batasan dihitung begitu sederhana. Lebih sering, perhitungan batas direduksi menjadi pengungkapan ketidakpastian tipe: atau .

.

2. Turunan dari suatu fungsi

Biarkan kita memiliki fungsi
, kontinu pada segmen
.

Argumen mendapat beberapa dorongan
. Maka fungsinya akan bertambah
.

Nilai argumen sesuai dengan nilai fungsi
.

Nilai argumen
sesuai dengan nilai fungsi.

Karena itu, .

Mari kita cari limit dari relasi ini di
. Jika limit ini ada, maka disebut turunan dari fungsi yang diberikan.

Definisi 3 turunan dari fungsi yang diberikan
dengan argumen disebut limit rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, ketika kenaikan argumen secara sewenang-wenang cenderung nol.

turunan fungsi
dapat dilambangkan sebagai berikut:

; ; ; .

Definisi 4Operasi mencari turunan suatu fungsi disebut diferensiasi.

2.1. Arti mekanis dari turunan.

Pertimbangkan gerakan bujursangkar dari beberapa benda kaku atau titik material.

Biarkan suatu saat nanti titik bergerak
berada di kejauhan dari posisi awal
.

Setelah beberapa waktu
dia pindah jauh
. Sikap =- kecepatan rata-rata titik material
. Mari kita cari batas rasio ini, dengan mempertimbangkan bahwa
.

Akibatnya, penentuan kecepatan sesaat dari suatu titik material direduksi untuk menemukan turunan dari jalur terhadap waktu.

2.2. Nilai geometris turunan

Misalkan kita memiliki beberapa fungsi yang didefinisikan secara grafis
.

Beras. 1. Arti geometris dari turunan

Jika sebuah
, maka intinya
, akan bergerak sepanjang kurva, mendekati titik
.

Karena itu
, yaitu nilai turunan yang diberikan nilai argumen numerik sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung pada titik tertentu dengan arah sumbu positif
.

2.3. Tabel rumus diferensiasi dasar.

Fungsi daya

Fungsi eksponensial

fungsi logaritma

fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri terbalik

2.4. Aturan diferensiasi.

Turunan dari

Turunan dari jumlah (selisih) fungsi


Turunan dari produk dua fungsi


Turunan dari hasil bagi dua fungsi


2.5. Turunan dari fungsi kompleks.

Biarkan fungsinya
sedemikian rupa sehingga dapat direpresentasikan sebagai

dan
, dimana variabel adalah argumen perantara, maka

Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi yang diberikan sehubungan dengan argumen antara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan x.

Contoh 1.

Contoh2.

3. Diferensial fungsi.

Biarkanlah terjadi begitu
, terdiferensialkan pada selang tertentu
biarkan saja pada fungsi ini memiliki turunan

,

maka Anda bisa menulis

(1),

di mana - kuantitas yang sangat kecil,

karena di

Mengalikan semua suku persamaan (1) dengan
kita punya:

Di mana
- b.m.v. urutan yang lebih tinggi.

Nilai
disebut diferensial fungsi
dan dilambangkan

.

3.1. Nilai geometrik diferensial.

Biarkan fungsinya
.

Gbr.2. Arti geometris dari diferensial.

.

Jelas, diferensial fungsi
sama dengan kenaikan ordinat garis singgung pada titik tertentu.

3.2. Derivatif dan diferensial dari berbagai pesanan.

Jika ada
, kemudian
disebut turunan pertama.

Turunan dari turunan pertama disebut turunan orde kedua dan ditulis
.

Turunan dari fungsi orde ke-n
disebut turunan dari orde (n-1) dan ditulis:

.

Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua.

.

.

3.3 Memecahkan masalah biologi menggunakan diferensiasi.

Tugas 1. Penelitian telah menunjukkan bahwa pertumbuhan koloni mikroorganisme mematuhi hukum
, di mana N – jumlah mikroorganisme (dalam ribuan), t - waktu (hari).

b) Akankah populasi koloni bertambah atau berkurang selama periode ini?

Menjawab. Koloni akan tumbuh dalam ukuran.

Tugas 2. Air di danau diuji secara berkala untuk mengontrol kandungan bakteri patogen. Melalui t hari setelah pengujian, konsentrasi bakteri ditentukan oleh rasio

.

Kapan konsentrasi minimum bakteri masuk ke dalam danau dan memungkinkan untuk berenang di dalamnya?

Solusi Sebuah fungsi mencapai max atau min ketika turunannya adalah nol.

,

Mari kita tentukan max atau min dalam 6 hari. Untuk melakukan ini, kami mengambil turunan kedua.


Jawaban: Setelah 6 hari akan ada konsentrasi minimum bakteri.

    Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma kesatuan. Rumusannya adalah sebagai berikut: logaritma persatuan sama dengan nol, yaitu, log a 1=0 untuk setiap a>0 , a≠1 . Buktinya sederhana: karena a 0 =1 untuk setiap a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1 , maka log persamaan yang terbukti a 1=0 segera mengikuti dari definisi logaritma.

    Mari berikan contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0 , lg1=0 dan .

    Mari kita beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan alas sama dengan satu, yaitu, log a = 1 untuk a>0 , a≠1 . Memang, karena a 1 =a untuk setiap a , maka dengan definisi logaritma log a a=1 .

    Contoh penggunaan properti logaritma ini adalah log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dan lne=1 .

    Misalnya, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dan .

    Logaritma perkalian dua bilangan positif x dan y sama dengan produk dari logaritma dari angka-angka ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma hasil kali. Karena sifat-sifat derajat a log a x+log a y =a log a x a log a y, dan karena dengan identitas logaritma utama a log a x =x dan log a y =y , maka log a x a log a y =x y . Jadi, a log a x+log a y =x y , di mana persamaan yang diperlukan mengikuti definisi logaritma.

    Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

    Properti logaritma produk dapat digeneralisasi ke produk dari bilangan terbatas n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Kesetaraan ini mudah dibuktikan.

    Misalnya, logaritma natural dari suatu produk dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural dari angka 4 , e , dan .

    Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan perbedaan antara logaritma dari angka-angka ini. Properti logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0 , a≠1 , x dan y adalah beberapa bilangan positif. Keabsahan rumus ini dibuktikan dengan rumus logaritma hasil kali: karena , maka dengan definisi logaritma .

    Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: .

    Mari kita lanjutkan ke sifat logaritma derajat. Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma modulus basis derajat ini. Kami menulis properti logaritma derajat ini dalam bentuk rumus: log a b p =p log a |b|, di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .

    Kami pertama membuktikan properti ini untuk b positif . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat pangkat, sama dengan a p log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p log a b , dari mana, dengan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p log a b .

    Tetap membuktikan sifat ini untuk b negatif. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk b negatif hanya masuk akal untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kasus ini b p =|b| p . Kemudian b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, dari mana log a b p =p log a |b| .

    Sebagai contoh, dan ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari root: logaritma dari akar derajat ke-n sama dengan produk dari pecahan 1/n dan logaritma dari ekspresi akar, yaitu, , di mana a>0 , a≠1 , n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0 .

    Pembuktian didasarkan pada persamaan (lihat ), yang berlaku untuk setiap positif b , dan sifat logaritma derajat: .

    Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: .

    Sekarang mari kita buktikan rumus konversi ke basis baru logaritma jenis . Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b log c a . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b = log a b log c a. Dengan demikian, persamaan log c b=log a b log c a terbukti, yang berarti bahwa rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma juga terbukti.

    Mari kita tunjukkan beberapa contoh penerapan sifat logaritma ini: dan .

    Rumus untuk pindah ke basis baru memungkinkan Anda untuk melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis "nyaman". Misalnya, dapat digunakan untuk beralih ke logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk transisi ke basis logaritma yang baru juga memungkinkan dalam beberapa kasus untuk menemukan nilai logaritma yang diberikan, ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.

    Sering digunakan adalah kasus khusus dari rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma untuk c=b dari bentuk . Ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a – . Sebagai contoh, .

    Juga sering digunakan adalah rumus , yang berguna untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana nilai logaritma dari formulir dihitung dengan menggunakannya. Kita punya . Untuk membuktikan rumus cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru logaritma a: .

    Masih membuktikan sifat perbandingan logaritma.

    Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif b 1 dan b 2 , b 1 log a b 2 , dan untuk a>1, log pertidaksamaan a b 1

    Akhirnya, masih harus membuktikan yang terakhir dari properti logaritma yang terdaftar. Kami membatasi diri untuk membuktikan bagian pertama, yaitu, kami membuktikan bahwa jika a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b>log a 2 b . Pernyataan yang tersisa dari sifat logaritma ini dibuktikan dengan prinsip yang sama.

    Mari kita gunakan cara sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b benar. Dengan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang sebagai: dan masing-masing, dan dari mereka berikut bahwa log b a 1 log b a 2 dan log b a 1 log b a 2, masing-masing. Kemudian, dengan sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 b log b a 2 dan b log b a 1 b log b a 2 harus dipenuhi, yaitu, a 1 a 2 . Dengan demikian, kita telah sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1

Bibliografi.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Berhubungan dengan

tugas menemukan salah satu dari tiga angka dari dua lainnya, diberikan, dapat diatur. Diberikan a dan kemudian N ditemukan dengan eksponensial. Jika N diberikan dan kemudian a ditemukan dengan mengekstrak akar pangkat x (atau eksponensial). Sekarang perhatikan kasus ketika, diberikan a dan N, diperlukan untuk menemukan x.

Biarkan angka N positif: angka a positif dan tidak sama dengan satu: .

Definisi. Logaritma dari angka N ke basis a adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan a untuk mendapatkan angka N; logaritma dilambangkan dengan

Jadi, dalam persamaan (26.1), eksponen ditemukan sebagai logaritma dari N ke basis a. Entri

memiliki arti yang sama. Kesetaraan (26.1) kadang-kadang disebut identitas dasar teori logaritma; sebenarnya, itu mengungkapkan definisi konsep logaritma. Dengan definisi ini, basis logaritma a selalu positif dan berbeda dari satu; bilangan logaritma N adalah positif. Bilangan negatif dan nol tidak memiliki logaritma. Dapat dibuktikan bahwa setiap bilangan dengan basis tertentu memiliki logaritma yang terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu kesetaraan memerlukan . Perhatikan bahwa kondisinya penting di sini, jika tidak, kesimpulan tidak akan dibenarkan, karena persamaan berlaku untuk semua nilai x dan y.

Contoh 1. Temukan

Keputusan. Untuk mendapatkan nomornya, Anda perlu menaikkan basis 2 ke pangkat Oleh karena itu.

Anda dapat merekam saat memecahkan contoh seperti itu dalam bentuk berikut:

Contoh 2. Temukan .

Keputusan. Kita punya

Dalam contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemukan logaritma yang diinginkan dengan menyatakan bilangan logaritma sebagai derajat basis dengan eksponen rasional. Dalam kasus umum, misalnya, untuk dll., ini tidak dapat dilakukan, karena logaritma memiliki nilai irasional. Mari kita perhatikan satu pertanyaan yang berkaitan dengan pernyataan ini. Dalam 12 kami memberikan konsep kemungkinan menentukan kekuatan nyata dari bilangan positif yang diberikan. Ini diperlukan untuk pengenalan logaritma, yang, secara umum, dapat berupa bilangan irasional.

Pertimbangkan beberapa sifat logaritma.

Sifat 1. Jika bilangan dan basis sama, maka logaritma sama dengan satu, dan sebaliknya, jika logaritma sama dengan satu, maka bilangan dan basis sama.

Bukti. Biarkan Dengan definisi logaritma, kami memiliki dan dari mana

Sebaliknya, biarkan Kemudian menurut definisi

Properti 2. Logaritma kesatuan untuk setiap basis sama dengan nol.

Bukti. Dengan definisi logaritma (pangkat nol dari setiap basis positif sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini

Q.E.D.

Pernyataan sebaliknya juga benar: jika , maka N = 1. Memang, kita memiliki .

Sebelum menyatakan sifat-sifat logaritma berikut, kita setuju untuk mengatakan bahwa dua bilangan a dan b terletak pada sisi yang sama dari bilangan ketiga c jika keduanya lebih besar dari c atau lebih kecil dari c. Jika salah satu bilangan ini lebih besar dari c dan bilangan lainnya lebih kecil dari c, maka kita katakan bahwa bilangan-bilangan tersebut terletak pada sisi yang berlawanan dari c.

Sifat 3. Jika bilangan dan basis terletak pada sisi yang sama, maka logaritmanya positif; jika bilangan dan alas terletak pada sisi yang berlawanan, maka logaritmanya negatif.

Pembuktian sifat 3 didasarkan pada kenyataan bahwa derajat a lebih besar dari satu jika basis lebih besar dari satu dan eksponennya positif, atau basisnya lebih kecil dari satu dan eksponennya negatif. Derajat kurang dari satu jika basis lebih besar dari satu dan eksponennya negatif, atau basisnya kurang dari satu dan eksponennya positif.

Ada empat kasus yang harus dipertimbangkan:

Kami membatasi diri pada analisis yang pertama, pembaca akan mempertimbangkan sisanya sendiri.

Biarkan eksponen dalam kesetaraan menjadi tidak negatif atau sama dengan nol, oleh karena itu, itu positif, yaitu, yang harus dibuktikan.

Contoh 3. Tentukan mana dari logaritma berikut yang positif dan mana yang negatif:

Penyelesaian, a) karena angka 15 dan alas 12 terletak pada sisi yang sama dari satuan;

b) , karena 1000 dan 2 terletak di sisi unit yang sama; pada saat yang sama, tidak penting bahwa basis lebih besar dari bilangan logaritmik;

c), karena 3.1 dan 0.8 terletak pada sisi yang berlawanan dari kesatuan;

G) ; mengapa?

e); mengapa?

Sifat-sifat berikut 4-6 sering disebut aturan logaritma: mereka memungkinkan, mengetahui logaritma dari beberapa angka, untuk menemukan logaritma dari produk mereka, hasil bagi, derajat masing-masing.

Properti 4 (aturan untuk logaritma produk). Logaritma produk dari beberapa bilangan positif dalam basis yang diberikan sama dengan jumlah logaritma dari angka-angka ini dalam basis yang sama.

Bukti. Biarkan angka positif diberikan.

Untuk logaritma produk mereka, kami menulis persamaan (26.1) mendefinisikan logaritma:

Dari sini kita menemukan

Membandingkan eksponen dari ekspresi pertama dan terakhir, kami memperoleh persamaan yang diperlukan:

Perhatikan bahwa kondisinya sangat penting; logaritma dari produk dua bilangan negatif masuk akal, tetapi dalam kasus ini kita mendapatkan

Secara umum, jika produk dari beberapa faktor positif, maka logaritmanya sama dengan jumlah logaritma modul dari faktor-faktor ini.

Properti 5 (aturan logaritma hasil bagi). Logaritma dari hasil bagi bilangan positif sama dengan perbedaan antara logaritma dari dividen dan pembagi, diambil dalam basis yang sama. Bukti. Temukan secara konsisten

Q.E.D.

Properti 6 (aturan logaritma derajat). Logaritma pangkat dari sembarang bilangan positif sama dengan logaritma bilangan tersebut dikalikan eksponen.

Bukti. Kami menulis lagi identitas utama (26.1) untuk nomor:

Q.E.D.

Konsekuensi. Logaritma akar bilangan positif sama dengan logaritma bilangan akar dibagi eksponen akar:

Kita dapat membuktikan keabsahan akibat wajar ini dengan menyajikan bagaimana dan menggunakan properti 6.

Contoh 4. Logaritma ke basis a:

a) (diasumsikan bahwa semua nilai b, c, d, e positif);

b) (diasumsikan bahwa ).

Solusi, a) Lebih mudah untuk meneruskan ekspresi ini ke pangkat pecahan:

Berdasarkan persamaan (26.5)-(26.7), sekarang kita dapat menulis:

Kami memperhatikan bahwa operasi yang lebih sederhana dilakukan pada logaritma angka daripada pada angka itu sendiri: ketika mengalikan angka, logaritmanya ditambahkan, ketika dibagi, dikurangi, dll.

Itulah mengapa logaritma telah digunakan dalam praktik komputasi (lihat Bagian 29).

Tindakan kebalikan dari logaritma disebut potensiasi, yaitu: potensiasi adalah tindakan dengan mana bilangan itu sendiri ditemukan oleh logaritma yang diberikan dari suatu bilangan. Intinya, potensiasi bukanlah tindakan khusus: ia turun untuk menaikkan basis ke kekuatan (sama dengan logaritma angka). Istilah "potensiasi" dapat dianggap sinonim dengan istilah "eksponensial".

Saat mempotensiasi, perlu menggunakan aturan yang kebalikan dari aturan logaritma: ganti jumlah logaritma dengan logaritma produk, selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi, dll. Secara khusus, jika ada faktor apa pun di depan tanda logaritma, maka selama potensiasi itu harus ditransfer ke derajat indikator di bawah tanda logaritma.

Contoh 5. Carilah N jika diketahui

Keputusan. Sehubungan dengan aturan potensiasi yang baru saja dinyatakan, faktor 2/3 dan 1/3, yang berada di depan tanda-tanda logaritma di sisi kanan persamaan ini, akan dipindahkan ke pangkat di bawah tanda-tanda logaritma ini; kita mendapatkan

Sekarang kita ganti selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi:

untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantai persamaan ini, kami membebaskan pecahan sebelumnya dari irasionalitas dalam penyebut (bagian 25).

Sifat 7. Jika alas lebih besar dari satu, maka bilangan yang lebih besar memiliki logaritma yang lebih besar (dan bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil), jika bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil (dan bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil). satu memiliki yang lebih besar).

Sifat ini juga dirumuskan sebagai aturan untuk logaritma pertidaksamaan, yang keduanya positif:

Ketika mengambil logaritma pertidaksamaan ke basis lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan ketika mengambil logaritma ke basis kurang dari satu, tanda pertidaksamaan dibalik (lihat juga item 80).

Pembuktian didasarkan pada sifat 5 dan 3. Pertimbangkan kasus ketika Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita memperoleh

(a dan N/M terletak pada satu sisi yang sama). Dari sini

Kasus a berikut, pembaca akan mencari tahu sendiri.

Kami juga merekomendasikan
Memuat...Memuat...