"penyelesaian persamaan rasional pecahan". Persamaan Rasional

Penyebut persekutuan terkecil digunakan untuk menyederhanakan persamaan yang diberikan. Metode ini digunakan ketika Anda tidak dapat menulis persamaan yang diberikan dengan satu ekspresi rasional di setiap sisi persamaan (dan menggunakan metode perkalian silang). Metode ini digunakan ketika Anda diberikan persamaan rasional dengan 3 atau lebih pecahan (dalam kasus dua pecahan, perkalian silang lebih baik).

Temukan penyebut persekutuan terkecil (atau kelipatan persekutuan terkecil). NOZ adalah bilangan terkecil, yang habis dibagi oleh setiap penyebut.

• Terkadang NOZ adalah angka yang jelas. Misalnya, jika persamaan diberikan: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, maka jelas bahwa kelipatan persekutuan terkecil dari angka 3, 2 dan 6 adalah 6.
• Jika NOD tidak jelas, tuliskan kelipatan penyebut terbesar dan temukan di antara mereka yang juga merupakan kelipatan dari penyebut lainnya. Anda sering dapat menemukan NOD hanya dengan mengalikan dua penyebut. Misalnya, jika diberikan persamaan x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, maka NOZ = 8*9 = 72.
• Jika satu atau lebih penyebut berisi variabel, maka prosesnya agak lebih rumit (tetapi bukan tidak mungkin). Dalam hal ini, NOZ adalah ekspresi (berisi variabel) yang habis dibagi oleh setiap penyebut. Misalnya, dalam persamaan 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), karena persamaan ini habis dibagi setiap penyebutnya: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan angka yang sama dengan hasil pembagian NOZ dengan penyebut yang sesuai dari setiap pecahan. Karena Anda mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama, Anda secara efektif mengalikan pecahan dengan 1 (misalnya, 2/2 = 1 atau 3/3 = 1).

• Jadi dalam contoh kita, kalikan x/3 dengan 2/2 untuk mendapatkan 2x/6, dan kalikan 1/2 dengan 3/3 untuk mendapatkan 3/6 (3x + 1/6 tidak perlu dikalikan karena penyebutnya adalah 6).
• Lanjutkan dengan cara yang sama ketika variabel dalam penyebut. Dalam contoh kedua kita NOZ = 3x(x-1), jadi 5/(x-1) kali (3x)/(3x) adalah 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x kali 3(x-1)/3(x-1) untuk mendapatkan 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) kalikan dengan (x-1)/(x-1) dan Anda mendapatkan 2(x-1)/3x(x-1).

Temukan x. Sekarang setelah Anda mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, Anda dapat menghilangkan penyebutnya. Untuk melakukannya, kalikan setiap ruas persamaan dengan penyebut yang sama. Kemudian selesaikan persamaan yang dihasilkan, yaitu, temukan "x". Untuk melakukan ini, isolasi variabel di satu sisi persamaan.

• Dalam contoh kita: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Anda dapat menambahkan 2 pecahan dengan penyebut yang sama, jadi tulis persamaannya sebagai: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Kalikan kedua ruas persamaan dengan 6 dan hilangkan penyebutnya: 2x+3 = 3x +1. Selesaikan dan dapatkan x = 2.
• Dalam contoh kedua kami (dengan variabel dalam penyebut), persamaannya terlihat seperti (setelah dikurangi menjadi penyebut yang sama): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan NOZ, Anda menghilangkan penyebutnya dan mendapatkan: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), atau 15x = 3x - 3 + 2x -2, atau 15x = x - 5 Selesaikan dan dapatkan: x = -5/14.

Sederhananya, ini adalah persamaan di mana setidaknya ada satu variabel dengan penyebutnya.

Sebagai contoh:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Contoh bukan pecahan persamaan rasional:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Bagaimana penyelesaian persamaan rasional pecahan?

Hal utama yang perlu diingat tentang persamaan rasional fraksional adalah Anda harus menulis di dalamnya. Dan setelah menemukan akarnya, pastikan untuk memeriksanya untuk dapat diterima. Jika tidak, akar asing mungkin muncul, dan seluruh solusi akan dianggap salah.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Tulis dan "pecahkan" ODZ.

Kalikan setiap suku dalam persamaan dengan penyebut yang sama dan kurangi pecahan yang dihasilkan. Penyebutnya akan hilang.

Tulis persamaan tanpa kurung buka.

Selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Periksa akar yang ditemukan dengan ODZ.

Tuliskan sebagai jawaban dari akar yang lulus tes pada langkah 7.

Jangan menghafal algoritme, 3-5 persamaan yang diselesaikan - dan itu akan diingat dengan sendirinya.

Contoh . Memecahkan persamaan rasional pecahan \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Keputusan:

Menjawab: \(3\).

Contoh . Cari akar persamaan rasional pecahan \(=0\)

Keputusan:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Kami menuliskan dan "memecahkan" ODZ. Luaskan \(x^2+7x+10\) ke dalam rumus: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Untungnya \(x_1\) dan \(x_2\) telah kami temukan.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Jelas, penyebut pecahan: \((x+2)(x+5)\). Kami mengalikan seluruh persamaan dengannya.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Kami mengurangi pecahan
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Membuka kurung
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Kami memberikan istilah suka
\(2x^2+9x-5=0\)		Mencari akar persamaan
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Salah satu akar tidak cocok di bawah ODZ, jadi sebagai tanggapan kami hanya menuliskan akar kedua.

Menjawab: \(\frac(1)(2)\).

Tujuan Pelajaran:

tutorial:

• pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
• mempertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan;
• pertimbangkan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat bahwa pecahan sama dengan nol;
• untuk mengajarkan solusi persamaan rasional fraksional sesuai dengan algoritma;
• memeriksa tingkat asimilasi topik dengan melakukan tes kerja.

Mengembangkan:

• pengembangan kemampuan untuk beroperasi dengan benar dengan pengetahuan yang diperoleh, untuk berpikir logis;
• pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan, dan generalisasi;
• pengembangan inisiatif, kemampuan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ;
• perkembangan berpikir kritis;
• pengembangan keterampilan riset.

Pengasuhan:

• asuhan minat kognitif untuk subjek;
• pendidikan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan;
• pendidikan kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Hallo teman-teman! Persamaan ditulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan yang bagian kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari hari ini dalam pelajaran? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, kami membuka buku catatan dan menuliskan topik pelajaran "Solusi persamaan rasional pecahan".

2. Aktualisasi pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teori utama yang perlu kita pelajari topik baru. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)
2. Disebut apakah persamaan #1? ( Linier.) Metode untuk memecahkan persamaan linier. ( Pindahkan semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, semua angka ke kanan. Membawa istilah seperti. Temukan pengganda yang tidak diketahui).
3. Disebut apakah persamaan 3? ( Kotak.) Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat. ( Pemilihan persegi penuh, dengan rumus, menggunakan teorema Vieta dan konsekuensinya.)
4. Apa itu proporsi? ( Persamaan dua hubungan.) Properti utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku-suku ekstremnya sama dengan hasilkali suku-suku tengahnya.)
5. Sifat apa yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika dalam persamaan kita mentransfer istilah dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua bagian persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama bukan nol, maka akan diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan yang diberikan.)
6. Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol, dan penyebutnya tidak sama dengan nol.)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan menggunakan sifat dasar proporsi? (Nomor 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebutnya? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Menjawab: 3;4.

Sekarang coba selesaikan persamaan #7 dengan salah satu cara.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Menjawab: 0;5;-2.			Menjawab: 5;-2.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua dalam kasus lainnya? Bilangan apa yang merupakan akar dari persamaan rasional pecahan ini?

Sampai saat ini siswa dengan konsep extraneous root belum bertemu, sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa hal ini terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru mengajukan pertanyaan yang mengarah.

• Bagaimana persamaan No. 2 dan 4 berbeda dari persamaan No. 5,6,7? ( Dalam persamaan No. 2 dan 4 dalam penyebut angka, No. 5-7 - ekspresi dengan variabel.)
• Apa akar persamaannya? ( Nilai variabel di mana persamaan menjadi persamaan sejati.)
• Bagaimana cara mengetahui apakah suatu bilangan adalah akar persamaan? ( Lakukan pemeriksaan.)

Saat mengerjakan tes, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar dari persamaan ini. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang menghilangkan kesalahan ini? Ya, metode ini didasarkan pada kondisi bahwa pecahan sama dengan nol.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, jadi 5 adalah akar asing.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Menjawab: -2.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak sendiri merumuskan algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Pindahkan semuanya ke kiri.
2. Bawa pecahan ke penyebut yang sama.
3. Buatlah sistem: pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.
4. Memecahkan persamaan.
5. Periksa ketidaksetaraan untuk mengecualikan akar asing.
6. Tuliskan jawabannya.

Diskusi: bagaimana memformalkan solusi jika menggunakan sifat dasar proporsi dan perkalian kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama. (Tambahan solusinya: singkirkan dari akarnya yang mengubah penyebut bersama menjadi nol).

4. Pemahaman utama dari materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih cara menyelesaikan persamaan sendiri, tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks "Aljabar 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b, c, i); No. 601 (a, e, g). Guru mengontrol kinerja tugas, menjawab pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berkinerja buruk. Tes mandiri: Jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 adalah akar asing. Jawaban:3.

c) 2 adalah akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

g) Jawaban: 1; 1.5.

5. Pernyataan pekerjaan rumah.

1. Baca item 25 dari buku teks, analisis contoh 1-3.
2. Pelajari algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan.
3. Selesaikan dalam buku catatan No. 600 (a, d, e); 601 (g, jam).
4. Coba selesaikan #696(a) (opsional).

6. Pemenuhan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.

Pekerjaan dilakukan pada lembaran.

Contoh pekerjaan:

A) Manakah dari persamaan yang rasional fraksional?

B. Suatu pecahan bernilai nol jika pembilangnya ____________ dan penyebutnya adalah __________.

Q) Apakah angka -3 akar dari Persamaan #6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria evaluasi tugas:

• "5" diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas.
• Grade 2 tidak dimasukkan ke dalam jurnal, 3 adalah opsional.

7. Refleksi.

Pada selebaran dengan pekerjaan mandiri, letakkan:

• 1 - jika pelajaran itu menarik dan dapat dimengerti oleh Anda;
• 2 - menarik, tetapi tidak jelas;
• 3 - tidak menarik, tetapi dapat dimengerti;
• 4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Menyimpulkan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional fraksional, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan ini cara yang berbeda, menguji pengetahuan mereka dengan bantuan pelatihan kerja mandiri. Anda akan mempelajari hasil kerja mandiri di pelajaran berikutnya, di rumah Anda akan memiliki kesempatan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh.

Metode penyelesaian persamaan rasional pecahan apa yang menurut Anda lebih mudah, lebih mudah diakses, lebih rasional? Terlepas dari metode penyelesaian persamaan rasional pecahan, apa yang tidak boleh dilupakan? Apa "kelicikan" dari persamaan rasional fraksional?

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah berakhir.

Mari berkenalan dengan persamaan rasional rasional dan fraksional, memberikan definisinya, memberikan contoh, dan juga menganalisis jenis masalah yang paling umum.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan Rasional: Pengertian dan Contoh

Berkenalan dengan ekspresi rasional dimulai di kelas 8 sekolah. Pada saat ini, dalam pelajaran aljabar, siswa semakin mulai memenuhi tugas dengan persamaan yang mengandung ekspresi rasional dalam catatan Anda. Mari kita segarkan ingatan kita tentang apa itu.

Definisi 1

persamaan rasional adalah persamaan di mana kedua sisi mengandung ekspresi rasional.

Dalam berbagai manual, Anda dapat menemukan kata-kata lain.

Definisi 2

persamaan rasional- ini adalah persamaan, catatan sisi kiri yang berisi ekspresi rasional, dan yang kanan berisi nol.

Definisi yang kami berikan untuk persamaan rasional adalah ekuivalen, karena keduanya memiliki arti yang sama. Kebenaran kata-kata kami dikonfirmasi oleh fakta bahwa untuk ekspresi rasional apa pun P dan Q persamaan P=Q dan P Q = 0 akan menjadi ekspresi yang setara.

Sekarang mari kita beralih ke contoh.

Contoh 1

Persamaan rasional:

x = 1 , 2 x 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Persamaan rasional, seperti persamaan jenis lainnya, dapat berisi sejumlah variabel dari 1 hingga beberapa. Untuk memulainya, kami akan mempertimbangkan contoh sederhana, di mana persamaan hanya akan berisi satu variabel. Dan kemudian kita mulai secara bertahap memperumit tugas.

Persamaan rasional dibagi menjadi dua kelompok besar: bilangan bulat dan pecahan. Mari kita lihat persamaan mana yang akan berlaku untuk masing-masing grup.

Definisi 3

Persamaan rasional akan menjadi bilangan bulat jika catatan bagian kiri dan kanannya berisi seluruh ekspresi rasional.

Definisi 4

Persamaan rasional akan menjadi pecahan jika salah satu atau kedua bagiannya mengandung pecahan.

Persamaan rasional fraksional harus mengandung pembagian oleh variabel, atau variabel hadir dalam penyebut. Tidak ada pembagian seperti itu dalam menulis persamaan bilangan bulat.

Contoh 2

3 x + 2 = 0 dan (x + y) (3 x 2 1) + x = y + 0 , 5 adalah seluruh persamaan rasional. Di sini kedua bagian persamaan diwakili oleh ekspresi bilangan bulat.

1 x - 1 = x 3 dan x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x 1) : 5 adalah persamaan rasional fraksional.

Seluruh persamaan rasional termasuk persamaan linier dan kuadrat.

Memecahkan persamaan bilangan bulat

Solusi dari persamaan tersebut biasanya direduksi menjadi transformasinya menjadi persamaan aljabar yang setara. Hal ini dapat dicapai dengan melakukan transformasi setara dari persamaan sesuai dengan algoritma berikut:

• pertama kita mendapatkan nol di sisi kanan persamaan, untuk ini perlu untuk mentransfer ekspresi yang ada di sisi kanan persamaan ke sisi kirinya dan mengubah tanda;
• kemudian kita ubah ekspresi di ruas kiri persamaan menjadi polinomial tampilan standar.

Kita harus mendapatkan persamaan aljabar. Persamaan ini akan setara dengan persamaan aslinya. Kasus mudah memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan mereduksi seluruh persamaan menjadi persamaan linier atau kuadrat. Dalam kasus umum, kami memecahkan persamaan aljabar derajat n.

Contoh 3

Hal ini diperlukan untuk menemukan akar dari seluruh persamaan 3 (x + 1) (x 3) = x (2 x 1) 3.

Keputusan

Mari kita ubah ekspresi aslinya untuk mendapatkan persamaan aljabar yang ekuivalen dengannya. Untuk melakukan ini, kita akan memindahkan ekspresi yang terdapat di ruas kanan persamaan ke ruas kiri dan mengubah tandanya menjadi kebalikannya. Hasilnya, kita mendapatkan: 3 (x + 1) (x 3) x (2 x 1) + 3 = 0.

Sekarang kita akan mengubah ekspresi, yang ada di sisi kiri, menjadi polinomial dari bentuk standar dan perform tindakan yang diperlukan dengan polinomial ini:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Kami berhasil mengurangi solusi persamaan asli menjadi solusi persamaan kuadrat dalam bentuk x 2 5 x 6 = 0. Diskriminan persamaan ini positif: D = (− 5) 2 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ini berarti akan ada dua akar real. Mari kita cari menggunakan rumus akar persamaan kuadrat:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 atau x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 atau x 2 = - 1

Mari kita periksa kebenaran akar persamaan yang kita temukan dalam penyelesaian. Untuk nomor ini, yang kami terima, kami mengganti ke persamaan asli: 3 (6 + 1) (6 3) = 6 (2 6 1) 3 dan 3 (− 1 + 1) (− 1 3) = (− 1) (2 (− 1) 1) 3. Dalam kasus pertama 63 = 63 , di detik 0 = 0 . Akar x=6 dan x = 1 memang akar dari persamaan yang diberikan dalam kondisi contoh.

Menjawab: 6 , − 1 .

Mari kita lihat apa yang dimaksud dengan "kekuatan seluruh persamaan". Kita akan sering bertemu dengan istilah ini dalam kasus-kasus ketika kita perlu mewakili seluruh persamaan dalam bentuk aljabar. Mari kita definisikan konsepnya.

Definisi 5

Derajat persamaan bilangan bulat adalah derajat persamaan aljabar yang setara dengan seluruh persamaan asli.

Jika Anda melihat persamaan dari contoh di atas, Anda dapat menetapkan: derajat seluruh persamaan ini adalah yang kedua.

Jika kursus kami terbatas pada penyelesaian persamaan tingkat kedua, maka pembahasan topik dapat diselesaikan di sini. Tapi semuanya tidak begitu sederhana. Memecahkan persamaan tingkat ketiga penuh dengan kesulitan. Dan untuk persamaan di atas derajat keempat, itu tidak ada sama sekali rumus umum akar. Dalam hal ini, penyelesaian seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan derajat lainnya mengharuskan kita untuk menggunakan sejumlah teknik dan metode lain.

Pendekatan yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Algoritma tindakan dalam hal ini adalah sebagai berikut:

• kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke sisi kiri sehingga nol tetap berada di sisi kanan catatan;
• kami mewakili ekspresi di sisi kiri sebagai produk dari faktor-faktor, dan kemudian kami beralih ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Contoh 4

Temukan solusi dari persamaan (x 2 1) (x 2 10 x + 13) = 2 x (x 2 10 x + 13) .

Keputusan

Kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan catatan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan: (x 2 1) (x 2 10 x + 13) 2 x (x 2 10 x + 13) = 0. Mengonversi ruas kiri ke polinomial bentuk standar tidak praktis karena fakta bahwa ini akan memberi kita persamaan aljabar derajat keempat: x 4 12 x 3 + 32 x 2 16 x 13 = 0. Kemudahan transformasi tidak membenarkan semua kesulitan dengan memecahkan persamaan seperti itu.

Jauh lebih mudah untuk pergi ke arah lain: kita menghilangkan faktor umum x 2 10 x + 13 . Jadi kita sampai pada persamaan bentuk (x 2 10 x + 13) (x 2 2 x 1) = 0. Sekarang kita ganti persamaan yang dihasilkan dengan himpunan dua persamaan kuadrat x 2 10 x + 13 = 0 dan x 2 2 x 1 = 0 dan cari akarnya melalui diskriminan: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Menjawab: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Demikian pula, kita dapat menggunakan metode memperkenalkan variabel baru. Metode ini memungkinkan kita untuk melewati persamaan setara dengan kekuatan lebih rendah daripada yang ada di seluruh persamaan asli.

Contoh 5

Apakah persamaan memiliki akar? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = 2 (x 2 + 3 x 4)?

Keputusan

Jika sekarang kita mencoba mereduksi seluruh persamaan rasional menjadi persamaan aljabar, kita akan mendapatkan persamaan derajat 4, yang tidak memiliki akar rasional. Oleh karena itu, akan lebih mudah bagi kita untuk pergi ke arah lain: perkenalkan variabel baru y, yang akan menggantikan ekspresi dalam persamaan x2 + 3x.

Sekarang kita akan bekerja dengan seluruh persamaan (y + 1) 2 + 10 = 2 (y 4). Kami mentransfer sisi kanan persamaan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan dan melakukan transformasi yang diperlukan. Kita mendapatkan: y 2 + 4 y + 3 = 0. Mari kita cari akar persamaan kuadrat: y = 1 dan y = 3.

Sekarang mari kita lakukan substitusi terbalik. Kami mendapatkan dua persamaan x 2 + 3 x = 1 dan x 2 + 3 x = - 3 . Mari kita tulis ulang menjadi x 2 + 3 x + 1 = 0 dan x 2 + 3 x + 3 = 0. Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akar persamaan pertama yang diperoleh: - 3 ± 5 2 . Diskriminan persamaan kedua adalah negatif. Ini berarti persamaan kedua tidak memiliki akar real.

Menjawab:- 3 ± 5 2

Persamaan bilangan bulat derajat tinggi cukup sering ditemukan dalam masalah. Tidak perlu takut pada mereka. Anda harus siap untuk menerapkan metode non-standar untuk menyelesaikannya, termasuk sejumlah transformasi buatan.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Kami memulai pembahasan subtopik ini dengan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional dalam bentuk p (x) q (x) = 0 , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional bilangan bulat. Solusi persamaan rasional fraksional lainnya selalu dapat direduksi menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan p (x) q (x) = 0 didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik kamu v, di mana v adalah bilangan yang berbeda dengan nol, sama dengan nol hanya dalam hal pembilang pecahan sama dengan nol. Mengikuti logika pernyataan di atas, kita dapat menyatakan bahwa solusi dari persamaan p (x) q (x) = 0 dapat direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi: p(x)=0 dan q(x) 0. Pada ini, sebuah algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional dari bentuk p (x) q (x) = 0 dibangun:

• kami menemukan solusi dari seluruh persamaan rasional p(x)=0;
• kami memeriksa apakah kondisinya terpenuhi untuk akar yang ditemukan selama penyelesaian q(x) 0.

Jika kondisi ini terpenuhi, maka root ditemukan, jika tidak, maka root bukanlah solusi dari masalah.

Contoh 6

Carilah akar-akar persamaan 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Keputusan

Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan dalam bentuk p (x) q (x) = 0 , di mana p (x) = 3 · x 2 , q (x) = 5 · x 2 2 = 0 . Mari kita mulai menyelesaikan persamaan linear 3 x - 2 = 0. Akar persamaan ini adalah x = 2 3.

Mari kita periksa root yang ditemukan, apakah memenuhi kondisi 5 x 2 - 2 0. Untuk melakukan ini, gantikan nilai numerik ke dalam ekspresi. Kami mendapatkan: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 0.

Kondisi terpenuhi. Ini berarti bahwa x = 2 3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab: 2 3 .

Ada pilihan lain untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan p (x) q (x) = 0 . Ingatlah bahwa persamaan ini setara dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dari persamaan asli. Hal ini memungkinkan kita untuk menggunakan algoritma berikut dalam menyelesaikan persamaan p(x) q(x) = 0:

• selesaikan persamaannya p(x)=0;
• temukan kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x ;
• kami mengambil akar yang terletak di wilayah nilai yang dapat diterima dari variabel x sebagai akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Contoh 7

Selesaikan persamaan x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Keputusan

Untuk memulai, mari kita putuskan persamaan kuadrat x 2 2 x 11 = 0. Untuk menghitung akarnya, kami menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap. Kita mendapatkan D 1 = (− 1) 2 1 (− 11) = 12, dan x = 1 ± 2 3 .

Sekarang kita dapat menemukan ODV dari x untuk persamaan aslinya. Ini semua adalah angka yang x 2 + 3 x 0. Ini sama dengan x (x + 3) 0, dari mana x 0, x 3 .

Sekarang mari kita periksa apakah akar x = 1 ± 2 3 yang diperoleh pada tahap pertama dari solusi berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x . Kami melihat apa yang masuk. Ini berarti bahwa persamaan rasional pecahan asli memiliki dua akar x = 1 ± 2 3 .

Menjawab: x = 1 ± 2 3

Metode solusi kedua dijelaskan lebih mudah dari yang pertama dalam kasus di mana mudah untuk menemukan luas nilai yang dapat diterima dari variabel x, dan akar persamaan p(x)=0 irasional. Misalnya, 7 ± 4 26 9 . Akar bisa rasional, tetapi dengan pembilang atau penyebut yang besar. Sebagai contoh, 127 1101 dan − 31 59 . Ini menghemat waktu untuk memeriksa kondisi. q(x) 0: jauh lebih mudah untuk mengecualikan akar yang tidak sesuai, menurut ODZ.

Ketika akar-akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, lebih bijaksana untuk menggunakan yang pertama dari algoritma yang dijelaskan untuk memecahkan persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 . Menemukan akar seluruh persamaan lebih cepat p(x)=0, dan kemudian periksa apakah kondisinya terpenuhi untuk mereka q(x) 0, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian memecahkan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Contoh 8

Cari akar persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Keputusan

Kita mulai dengan mempertimbangkan seluruh persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 dan menemukan akarnya. Untuk melakukan ini, kami menerapkan metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi. Ternyata persamaan asli ekuivalen dengan himpunan empat persamaan 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, yang tiga di antaranya linier dan satu persegi. Kami menemukan akarnya: dari persamaan pertama x = 1 2, dari yang kedua x=6, dari yang ketiga - x \u003d 7, x \u003d - 2, dari yang keempat - x = 1.

Mari kita periksa akar yang diperoleh. Sulit bagi kita untuk menentukan ODZ dalam kasus ini, karena untuk ini kita harus menyelesaikan persamaan aljabar derajat kelima. Akan lebih mudah untuk memeriksa kondisi di mana penyebut pecahan, yang ada di sisi kiri persamaan, tidak boleh hilang.

Pada gilirannya, gantikan akar di tempat variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 + 57 x 3 13 x 2 + 26 x + 112 dan hitung nilainya:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 0;

6 5 15 6 4 + 57 6 3 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0 ;

7 5 15 7 4 + 57 7 3 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = 720 0 ;

(− 1) 5 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Verifikasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk menetapkan bahwa akar dari persamaan rasional pecahan asli adalah 1 2 , 6 dan − 2 .

Menjawab: 1 2 , 6 , - 2

Contoh 9

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Keputusan

Mari kita mulai dengan persamaan (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Mari kita temukan akarnya. Lebih mudah bagi kita untuk merepresentasikan persamaan ini sebagai kombinasi persamaan kuadrat dan linier 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 dan x 2 = 0.

Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya. Kami mendapatkan dua akar x = 7 ± 69 10 dari persamaan pertama, dan dari yang kedua x=2.

Mengganti nilai akar ke dalam persamaan asli untuk memeriksa kondisinya akan cukup sulit bagi kita. Akan lebih mudah untuk menentukan LPV dari variabel x . Dalam hal ini, DPV dari variabel x adalah semua bilangan, kecuali yang memenuhi syarat x 2 + 5 x 14 = 0. Didapatkan: x - , - 7 - 7 , 2 2 , + .

Sekarang mari kita periksa apakah akar yang kita temukan termasuk dalam kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x.

Akar x = 7 ± 69 10 - termasuk, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2- bukan milik, oleh karena itu, ini adalah root yang asing.

Menjawab: x = 7 ± 69 10 .

Mari kita periksa secara terpisah kasus-kasus ketika pembilang dari persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0 berisi angka. Dalam kasus seperti itu, jika pembilangnya berisi angka selain nol, maka persamaan tidak akan memiliki akar. Jika angka ini sama dengan nol, maka akar persamaan akan berupa angka apa pun dari ODZ.

Contoh 10

Selesaikan persamaan rasional pecahan - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Keputusan

Persamaan ini tidak akan memiliki akar, karena pembilang pecahan dari ruas kiri persamaan berisi bilangan bukan nol. Artinya, untuk setiap nilai x nilai pecahan yang diberikan dalam kondisi soal tidak akan sama dengan nol.

Menjawab: tidak ada akar.

Contoh 11

Selesaikan persamaan 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Keputusan

Karena pembilang pecahan adalah nol, solusi persamaan akan berupa nilai x dari variabel ODZ x.

Sekarang mari kita definisikan ODZ. Ini akan mencakup semua nilai x yang untuknya x 4 + 5 x 3 0. solusi persamaan x 4 + 5 x 3 = 0 adalah 0 dan − 5 , karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) = 0, dan itu, pada gilirannya, setara dengan himpunan dua persamaan x 3 = 0 dan x + 5 = 0 di mana akar ini terlihat. Kami sampai pada kesimpulan bahwa rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali x=0 dan x = -5.

Ternyata persamaan rasional pecahan 0 x 4 + 5 x 3 = 0 memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan - 5.

Menjawab: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sekarang mari kita bicara tentang persamaan rasional fraksional dari bentuk arbitrer dan metode untuk menyelesaikannya. Mereka dapat ditulis sebagai r(x) = s(x), di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Solusi persamaan tersebut direduksi menjadi solusi persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 .

Kita sudah tahu bahwa kita bisa mendapatkan persamaan setara dengan mentransfer ekspresi dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan. Ini berarti persamaan r(x) = s(x) setara dengan persamaan r (x) s (x) = 0. Kami juga telah membahas bagaimana mengubah ekspresi rasional menjadi pecahan rasional. Berkat ini, kita dapat dengan mudah mengubah persamaan r (x) s (x) = 0 ke dalam pecahan rasional identik dari bentuk p (x) q (x) .

Jadi kita pindah dari persamaan rasional pecahan asli r(x) = s(x) ke persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 , yang telah kita pelajari cara menyelesaikannya.

Perlu dicatat bahwa ketika membuat transisi dari r (x) s (x) = 0 ke p (x) q (x) = 0 dan kemudian ke p(x)=0 kami mungkin tidak memperhitungkan perluasan rentang nilai valid dari variabel x .

Cukup realistis bahwa persamaan aslinya r(x) = s(x) dan persamaan p(x)=0 sebagai hasil dari transformasi, mereka akan berhenti menjadi setara. Maka solusi persamaan p(x)=0 dapat memberi kita akar yang akan asing bagi r(x) = s(x). Dalam hal ini, dalam setiap kasus perlu dilakukan pemeriksaan dengan salah satu metode yang dijelaskan di atas.

Untuk memudahkan Anda mempelajari topik tersebut, kami telah menggeneralisasi semua informasi ke dalam algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dalam bentuk r(x) = s(x):

• kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan dan mendapatkan nol di sebelah kanan;
• kami mengubah ekspresi asli menjadi pecahan rasional p (x) q (x) dengan melakukan tindakan secara berurutan dengan pecahan dan polinomial;
• selesaikan persamaannya p(x)=0;
• kami mengungkapkan akar asing dengan memeriksa milik mereka ke ODZ atau dengan mengganti ke persamaan asli.

Secara visual, rangkaian tindakan akan terlihat seperti ini:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → putus sekolah r o n d e r o n s

Contoh 12

Selesaikan persamaan rasional pecahan x x + 1 = 1 x + 1 .

Keputusan

Mari kita beralih ke persamaan x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Mari kita ubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan ke bentuk p (x) q (x) .

Untuk ini kita harus membawa pecahan rasional ke penyebut yang sama dan sederhanakan ekspresi:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Untuk mencari akar persamaan - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan 2 x 1 = 0. Kami mendapatkan satu root x = - 1 2.

Tetap bagi kami untuk melakukan pemeriksaan dengan salah satu metode. Mari kita pertimbangkan keduanya.

Substitusikan nilai yang dihasilkan ke persamaan awal. Kami mendapatkan - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Kami telah sampai pada persamaan numerik yang benar − 1 = − 1 . Ini berarti bahwa x = 1 2 adalah akar dari persamaan awal.

Sekarang kita akan memeriksa melalui ODZ. Mari kita tentukan luas nilai yang dapat diterima untuk variabel x . Ini akan menjadi seluruh himpunan angka, kecuali untuk 1 dan 0 (bila x = 1 dan x = 0, penyebut pecahan hilang). Akar yang kita dapatkan x = 1 2 milik ODZ. Ini berarti bahwa itu adalah akar dari persamaan asli.

Menjawab: − 1 2 .

Contoh 13

Temukan akar-akar persamaan x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Keputusan

Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan. Oleh karena itu, kami akan bertindak sesuai dengan algoritma.

Mari pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke kiri dengan tanda yang berlawanan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Mari kita lakukan transformasi yang diperlukan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Kami sampai pada persamaan x=0. Akar persamaan ini adalah nol.

Mari kita periksa apakah akar ini adalah akar asing untuk persamaan aslinya. Substitusikan nilai ke persamaan awal: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Seperti yang Anda lihat, persamaan yang dihasilkan tidak masuk akal. Ini berarti bahwa 0 adalah akar asing, dan persamaan rasional pecahan asli tidak memiliki akar.

Menjawab: tidak ada akar.

Jika kita belum memasukkan transformasi ekuivalen lainnya dalam algoritme, ini tidak berarti sama sekali bahwa transformasi tersebut tidak dapat digunakan. Algoritme bersifat universal, tetapi dirancang untuk membantu, bukan membatasi.

Contoh 14

Selesaikan persamaan 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Keputusan

Cara termudah adalah dengan menyelesaikan persamaan rasional fraksional yang diberikan sesuai dengan algoritma. Tetapi ada cara lain. Mari kita pertimbangkan.

Kurangi dari bagian kanan dan kiri 7, kita mendapatkan: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan kebalikan bilangan dari ruas kanan, yaitu 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Kurangi dari kedua bagian 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Dengan analogi 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, dari mana 1 5 - x 2 \u003d 1 3, dan selanjutnya 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Mari kita periksa untuk menentukan apakah akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab: x = ± 2

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Kami memperkenalkan persamaan di atas dalam 7. Pertama, kami mengingat apa itu ekspresi rasional. Ini - ekspresi aljabar, terdiri dari bilangan dan variabel x menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponen dengan eksponen alami.

Jika r(x) adalah ekspresi rasional, maka persamaan r(x) = 0 disebut persamaan rasional.

Namun, dalam praktiknya, lebih nyaman menggunakan sedikit lebih banyak interpretasi luas istilah "persamaan rasional": ini adalah persamaan dalam bentuk h(x) = q(x), di mana h(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional.

Sampai sekarang, kita tidak dapat memecahkan persamaan rasional apa pun, tetapi hanya satu yang, sebagai hasil dari berbagai transformasi dan penalaran, direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang kemungkinan kita jauh lebih besar: kita akan dapat memecahkan persamaan rasional, yang tidak hanya tereduksi menjadi linier
mu, tetapi juga untuk persamaan kuadrat.

Ingat bagaimana kita memecahkan persamaan rasional sebelumnya dan mencoba merumuskan algoritma solusi.

Contoh 1 selesaikan persamaannya

Keputusan. Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk

Dalam hal ini, seperti biasa, kami menggunakan fakta bahwa persamaan A \u003d B dan A - B \u003d 0 menyatakan hubungan yang sama antara A dan B. Ini memungkinkan kami untuk memindahkan suku ke ruas kiri persamaan dengan tanda yang berlawanan.

Mari kita lakukan transformasi ruas kiri persamaan. Kita punya

Ingat kondisi kesetaraan pecahan nol: jika, dan hanya jika, dua hubungan terpenuhi secara bersamaan:

1) pembilang pecahan adalah nol (a = 0); 2) penyebut pecahan berbeda dengan nol).
Menyamakan dengan nol pembilang pecahan di ruas kiri persamaan (1), kita peroleh

Tinggal memeriksa pemenuhan syarat kedua yang disebutkan di atas. Rasio berarti untuk persamaan (1) bahwa . Nilai x 1 = 2 dan x 2 = 0,6 memenuhi hubungan yang ditunjukkan dan oleh karena itu berfungsi sebagai akar persamaan (1), dan pada saat yang sama akar persamaan yang diberikan.

1) Ubah persamaan menjadi bentuk

2) Mari kita lakukan transformasi ruas kiri persamaan ini:

(bersamaan mengubah tanda di pembilang dan
pecahan).
Dengan demikian, persamaan yang diberikan mengambil bentuk

3) Selesaikan persamaan x 2 - 6x + 8 = 0. Temukan

4) Untuk nilai yang ditemukan, periksa kondisinya . Angka 4 memenuhi kondisi ini, tetapi angka 2 tidak. Jadi 4 adalah akar dari persamaan yang diberikan, dan 2 adalah akar asing.
Jawaban: 4.

2. Penyelesaian persamaan rasional dengan memasukkan variabel baru

Metode memperkenalkan variabel baru sudah tidak asing lagi bagi Anda, kami telah menggunakannya lebih dari sekali. Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana digunakan dalam memecahkan persamaan rasional.

Contoh 3 Selesaikan persamaan x 4 + x 2 - 20 = 0.

Keputusan. Kami memperkenalkan variabel baru y \u003d x 2. Karena x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, maka persamaan yang diberikan dapat ditulis ulang dalam bentuk

y 2 + y - 20 = 0.

Ini adalah persamaan kuadrat, yang akar-akarnya akan kita temukan menggunakan persamaan yang diketahui rumus; kita dapatkan y 1 = 4, y 2 = - 5.
Tetapi y \u003d x 2, yang berarti bahwa masalahnya telah direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Dari persamaan pertama kami menemukan persamaan kedua tidak memiliki akar.
Menjawab: .
Persamaan bentuk ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 disebut persamaan biquadratic ("bi" - dua, yaitu, seolah-olah, persamaan "dua kali persegi"). Persamaan yang baru saja diselesaikan benar-benar biquadratic. Persamaan biquadratic apa pun diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan dari contoh 3: variabel baru y \u003d x 2 diperkenalkan, persamaan kuadrat yang dihasilkan diselesaikan sehubungan dengan variabel y, dan kemudian dikembalikan ke variabel x.

Contoh 4 selesaikan persamaannya

Keputusan. Perhatikan bahwa ekspresi yang sama x 2 + 3x muncul dua kali di sini. Oleh karena itu, masuk akal untuk memperkenalkan variabel baru y = x 2 + Zx. Ini akan memungkinkan kita untuk menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih sederhana dan lebih menyenangkan (yang sebenarnya adalah tujuan untuk memperkenalkan persamaan baru. variabel- dan merekam lebih mudah
, dan struktur persamaan menjadi lebih jelas):

Dan sekarang kita akan menggunakan algoritma untuk memecahkan persamaan rasional.

1) Mari kita pindahkan semua suku persamaan menjadi satu bagian:

= 0
2) Mari kita ubah ruas kiri persamaan

Jadi, kami telah mengubah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk

3) Dari persamaan - 7y 2 + 29y -4 = 0 kita temukan (kita telah memecahkan cukup banyak persamaan kuadrat, jadi mungkin tidak layak untuk selalu memberikan perhitungan terperinci di buku teks).

4) Mari kita periksa akar-akar yang ditemukan menggunakan kondisi 5 (y - 3) (y + 1). Kedua akar memenuhi kondisi ini.
Jadi, persamaan kuadrat untuk variabel baru y diselesaikan:
Karena y \u003d x 2 + Zx, dan y, seperti yang telah kita tetapkan, mengambil dua nilai: 4 dan, - kita masih harus menyelesaikan dua persamaan: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Akar persamaan pertama adalah angka 1 dan - 4, akar persamaan kedua adalah angka

Dalam contoh-contoh yang dipertimbangkan, metode memperkenalkan variabel baru, seperti yang sering dikatakan oleh para matematikawan, memadai untuk situasi itu, yaitu, cocok dengannya. Mengapa? Ya, karena ekspresi yang sama jelas ditemui dalam persamaan beberapa kali dan masuk akal untuk menunjuk ekspresi ini dengan huruf baru. Tetapi ini tidak selalu terjadi, terkadang variabel baru "muncul" hanya dalam proses transformasi. Inilah yang akan terjadi pada contoh berikutnya.

Contoh 5 selesaikan persamaannya
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Keputusan. Kita punya
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Jadi persamaan yang diberikan dapat ditulis ulang sebagai

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Sekarang variabel baru telah "muncul": y = x 2 - Zx.

Dengan bantuannya, persamaan dapat ditulis ulang dalam bentuk y (y + 2) \u003d 24 dan kemudian y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Akar persamaan ini adalah angka 4 dan -6.

Kembali ke variabel asli x, kami memperoleh dua persamaan x 2 - Zx \u003d 4 dan x 2 - Zx \u003d - 6. Dari persamaan pertama kami menemukan x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; persamaan kedua tidak memiliki akar.

Jawaban: 4, - 1.

Isi pelajaran ringkasan pelajaran mendukung bingkai pelajaran presentasi metode akselerasi teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan ujian mandiri lokakarya, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah pertanyaan diskusi pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video, dan multimedia foto, gambar grafik, tabel, skema humor, anekdot, lelucon, komik perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Add-on abstrak chip artikel untuk lembar contekan yang ingin tahu, buku teks dasar dan glosarium tambahan istilah lainnya Memperbaiki buku pelajaran dan pelajaranmengoreksi kesalahan dalam buku teks memperbarui fragmen dalam buku teks elemen inovasi dalam pelajaran menggantikan pengetahuan usang dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk setahun pedoman program diskusi Pelajaran Terintegrasi