Contoh kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan. Menemukan kelipatan persekutuan terkecil: metode, contoh mencari KPK

Untuk memahami cara menghitung KPK, Anda harus terlebih dahulu menentukan arti istilah "kelipatan".

Kelipatan A adalah bilangan asli yang habis dibagi A tanpa sisa.Jadi, 15, 20, 25, dan seterusnya dapat dianggap kelipatan 5.

Mungkin ada sejumlah pembagi dari suatu bilangan tertentu, tetapi ada banyak kelipatan yang tak terhingga.

Kelipatan persekutuan bilangan asli adalah bilangan yang habis dibagi tanpa sisa.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari bilangan (dua, tiga atau lebih) adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi semua bilangan tersebut.

Untuk menemukan NOC, Anda dapat menggunakan beberapa metode.

Untuk bilangan-bilangan kecil, akan lebih mudah untuk menuliskan dalam satu baris semua kelipatan dari bilangan-bilangan ini sampai ditemukan yang sama di antara bilangan-bilangan tersebut. Kelipatan dilambangkan dalam catatan dengan huruf kapital K.

Misalnya, kelipatan 4 dapat ditulis seperti ini:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Jadi, Anda dapat melihat bahwa kelipatan persekutuan terkecil dari angka 4 dan 6 adalah angka 24. Entri ini dilakukan sebagai berikut:

KPK(4, 6) = 24

Jika bilangannya besar, carilah kelipatan persekutuan dari tiga bilangan atau lebih, maka lebih baik menggunakan cara lain untuk menghitung KPK.

Untuk menyelesaikan tugas, perlu untuk menguraikan bilangan yang diusulkan menjadi faktor prima.

Pertama, Anda perlu menulis ekspansi angka terbesar dalam satu baris, dan di bawahnya - sisanya.

Dalam perluasan setiap angka, mungkin ada sejumlah faktor yang berbeda.

Misalnya, faktorkan bilangan 50 dan 20 menjadi faktor prima.

Dalam pemuaian bilangan yang lebih kecil, orang harus menggarisbawahi faktor-faktor yang tidak ada dalam pemuaian bilangan terbesar pertama, lalu menjumlahkannya. Dalam contoh yang disajikan, deuce hilang.

Sekarang kita dapat menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari 20 dan 50.

KPK (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Jadi, hasil kali faktor prima dari bilangan yang lebih besar dan faktor dari bilangan kedua, yang tidak termasuk dalam penguraian bilangan yang lebih besar, akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil.

Untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, semuanya harus didekomposisi menjadi faktor prima, seperti pada kasus sebelumnya.

Sebagai contoh, Anda dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dengan demikian, hanya dua deuces dari penguraian enam belas yang tidak termasuk dalam faktorisasi bilangan yang lebih besar (satu dalam penguraian dua puluh empat).

Dengan demikian, mereka perlu ditambahkan ke dekomposisi jumlah yang lebih besar.

KPK (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ada kasus khusus untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil. Jadi, jika salah satu bilangan dapat dibagi tanpa sisa dengan bilangan lainnya, maka bilangan yang lebih besar dari bilangan tersebut adalah kelipatan persekutuan terkecil.

Misalnya, NOC dua belas dan dua puluh empat akan menjadi dua puluh empat.

Jika perlu untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan koprima yang tidak memiliki pembagi yang sama, maka KPK mereka akan sama dengan produk mereka.

Misalnya, KPK(10, 11) = 110.

Pertimbangkan tiga cara untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil.

Menemukan dengan Memfaktorkan

Cara pertama adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan-bilangan yang diberikan menjadi faktor prima.

Misalkan kita perlu mencari KPK dari bilangan: 99, 30 dan 28. Untuk melakukan ini, kita menguraikan setiap bilangan ini menjadi faktor prima:

Agar bilangan yang diinginkan habis dibagi 99, 30 dan 28, perlu dan cukup bahwa bilangan tersebut mencakup semua faktor prima dari pembagi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil semua faktor prima dari bilangan-bilangan ini ke pangkat tertinggi dan mengalikannya:

2 2 3 2 5 7 11 = 13860

Jadi KPK (99, 30, 28) = 13.860. Tidak ada bilangan lain yang kurang dari 13.860 yang habis dibagi 99, 30, atau 28.

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan yang diberikan, Anda perlu menguraikannya menjadi faktor-faktor prima, kemudian mengambil setiap faktor prima dengan eksponen terbesar yang muncul, dan mengalikan faktor-faktor ini bersama-sama.

Karena bilangan koprima tidak memiliki faktor prima yang sama, kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini. Misalnya, tiga angka: 20, 49 dan 33 adalah koprima. Jadi

KPK (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Hal yang sama harus dilakukan ketika mencari kelipatan persekutuan terkecil dari berbagai bilangan prima. Misalnya KPK (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Menemukan melalui seleksi

Cara kedua adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memasang.

Contoh 1. Jika bilangan terbesar dari bilangan-bilangan yang diberikan habis dibagi dengan bilangan-bilangan lain yang diberikan, maka KPK dari bilangan-bilangan tersebut adalah sama dengan bilangan yang lebih besar. Misalnya, diberikan empat angka: 60, 30, 10 dan 6. Masing-masing habis dibagi 60, oleh karena itu:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Dalam kasus lain, untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, prosedur berikut digunakan:

Tentukan bilangan terbesar dari bilangan yang diberikan.
Selanjutnya, kami menemukan angka yang merupakan kelipatan dari angka terbesar, mengalikannya dengan bilangan asli dalam urutan menaik dan memeriksa apakah sisa angka yang diberikan dapat dibagi dengan produk yang dihasilkan.

Contoh 2. Diberikan tiga bilangan 24, 3 dan 18. Tentukan bilangan terbesarnya - ini adalah bilangan 24. Selanjutnya, temukan bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 24, periksa apakah masing-masingnya habis dibagi 18 dan 3:

24 1 = 24 habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 18.

24 2 = 48 - habis dibagi 3 tapi tidak habis dibagi 18.

24 3 \u003d 72 - habis dibagi 3 dan 18.

Jadi KPK(24, 3, 18) = 72.

Menemukan dengan Mencari Sekuensial LCM

Cara ketiga adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan mencari KPK secara berurutan.

KPK dari dua bilangan yang diberikan sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini dibagi dengan pembagi persekutuan terbesarnya.

Contoh 1. Tentukan KPK dari dua bilangan yang diberikan: 12 dan 8. Tentukan pembagi persekutuan terbesarnya: FPB (12, 8) = 4. Kalikan bilangan-bilangan ini:

Kami membagi produk ke dalam GCD mereka:

Jadi KPK(12, 8) = 24.

Untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, digunakan prosedur berikut:

Pertama, KPK dari dua bilangan yang diberikan ditemukan.
Kemudian, KPK dari kelipatan persekutuan terkecil yang ditemukan dan bilangan ketiga yang diberikan.
Kemudian, KPK dari kelipatan persekutuan terkecil yang dihasilkan dan bilangan keempat, dan seterusnya.
Dengan demikian pencarian KPK terus berlanjut selama ada angka.

Contoh 2. Mari kita cari KPK dari tiga bilangan yang diberikan: 12, 8 dan 9. Kita telah menemukan KPK dari bilangan 12 dan 8 pada contoh sebelumnya (ini adalah bilangan 24). Tetap menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan bilangan ketiga yang diberikan - 9. Tentukan pembagi persekutuan terbesarnya: gcd (24, 9) = 3. Kalikan KPK dengan angka 9:

Kami membagi produk ke dalam GCD mereka:

Jadi KPK(12, 8, 9) = 72.

Perhatikan penyelesaian soal berikut. Langkah anak laki-laki adalah 75 cm, dan langkah anak perempuan adalah 60 cm. Diperlukan untuk menemukan jarak terkecil di mana keduanya akan mengambil jumlah langkah bilangan bulat.

Keputusan. Seluruh jalan yang akan dilalui orang-orang itu harus habis dibagi 60 dan 70 tanpa sisa, karena mereka masing-masing harus mengambil sejumlah langkah bilangan bulat. Dengan kata lain, jawabannya harus kelipatan 75 dan 60.

Pertama, kita akan menulis semua kelipatan, untuk angka 75. Kita mendapatkan:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Sekarang mari kita tuliskan bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 60. Kita peroleh:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sekarang kita menemukan angka-angka yang ada di kedua baris.

Kelipatan bilangan yang sama adalah bilangan, 300, 600, dst.

Yang terkecil adalah angka 300. Dalam hal ini, itu akan disebut kelipatan persekutuan terkecil dari angka 75 dan 60.

Kembali ke kondisi soal, jarak terkecil yang ditempuh anak laki-laki dengan jumlah langkah bilangan bulat adalah 300 cm. Anak laki-laki akan menempuh jalan ini dalam 4 langkah, dan anak perempuan perlu menempuh 5 langkah.

Mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan asli a dan b adalah bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan dari a dan b.

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan, tidak perlu menuliskan semua kelipatan bilangan-bilangan ini secara berurutan.

Anda dapat menggunakan metode berikut.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil

Pertama, Anda perlu menguraikan angka-angka ini menjadi faktor prima.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Sekarang mari kita tuliskan semua faktor yang ada dalam perluasan bilangan pertama (2,2,3,5) dan tambahkan semua faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua (5).

Hasilnya, kami mendapatkan serangkaian bilangan prima: 2,2,3,5,5. Produk dari angka-angka ini akan menjadi faktor persekutuan terkecil untuk angka-angka ini. 2*2*3*5*5 = 300.

Skema umum untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil

1. Uraikan bilangan menjadi faktor prima.
2. Tuliskan faktor prima yang merupakan bagian dari salah satunya.
3. Tambahkan ke faktor-faktor ini semua yang ada dalam dekomposisi sisanya, tetapi tidak dalam yang dipilih.
4. Temukan produk dari semua faktor yang ditulis.

Metode ini bersifat universal. Ini dapat digunakan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari sejumlah bilangan asli.

Definisi. Bilangan asli terbesar dimana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar (gcd) angka-angka ini.

Mari kita cari pembagi persekutuan terbesar dari angka 24 dan 35.
Pembagi dari 24 adalah angka 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan pembagi dari 35 adalah angka 1, 5, 7, 35.
Kita melihat bahwa angka 24 dan 35 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka seperti itu disebut koprima.

Definisi. Bilangan asli disebut koprima jika pembagi persekutuan terbesarnya (gcd) adalah 1.

Pembagi Persekutuan Terbesar (PBK) dapat ditemukan tanpa menuliskan semua pembagi dari bilangan yang diberikan.

Memfaktorkan bilangan 48 dan 36, diperoleh:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dari faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan pertama, kami menghapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam perluasan bilangan kedua (yaitu, dua deuces).
Faktor 2 * 2 * 3 tetap. Hasil kali mereka adalah 12. Angka ini adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 48 dan 36. Pembagi persekutuan terbesar dari tiga angka atau lebih juga ditemukan.

Mencari pembagi persekutuan terbesar

2) dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan tersebut, coretlah yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan lainnya;
3) menemukan produk dari faktor-faktor yang tersisa.

Jika semua bilangan yang diberikan habis dibagi salah satunya, maka bilangan tersebut adalah pembagi persekutuan terbesar angka yang diberikan.
Misalnya, pembagi persekutuan terbesar dari 15, 45, 75, dan 180 adalah 15, karena membagi semua bilangan lain: 45, 75, dan 180.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Definisi. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) bilangan asli a dan b adalah bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan dari a dan b. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan 75 dan 60 dapat dicari tanpa menuliskan kelipatan bilangan-bilangan tersebut secara berurutan. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 menjadi faktor sederhana: 75 \u003d 3 * 5 * 5, dan 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Mari kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan pertama, dan tambahkan faktor-faktor 2 dan 2 yang hilang dari perluasan bilangan kedua (yaitu, kita gabungkan faktor-faktornya).
Kami mendapatkan lima faktor 2 * 2 * 3 * 5 * 5, hasilnya adalah 300. Angka ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari angka 75 dan 60.

Temukan juga kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih.

Ke cari kelipatan persekutuan terkecil beberapa bilangan asli, Anda perlu:
1) menguraikannya menjadi faktor prima;
2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan;
3) tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka-angka yang tersisa;
4) temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan.

Perhatikan bahwa jika salah satu dari angka-angka ini habis dibagi dengan semua angka lainnya, maka angka ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.
Misalnya, kelipatan persekutuan terkecil dari 12, 15, 20, dan 60 adalah 60, karena ia habis dibagi oleh semua bilangan yang diberikan.

Pythagoras (abad VI SM) dan murid-muridnya mempelajari masalah pembagian bilangan. Suatu bilangan yang sama dengan jumlah semua pembaginya (tanpa bilangan itu sendiri), disebut bilangan sempurna. Misalnya, angka 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sempurna. Bilangan sempurna berikutnya adalah 496, 8128, 33.550.336. Orang Pythagoras hanya mengetahui tiga bilangan sempurna pertama. Yang keempat - 8128 - mulai dikenal pada abad ke-1. n. e. Kelima - 33 550 336 - ditemukan pada abad ke-15. Pada tahun 1983, 27 bilangan sempurna sudah diketahui. Namun hingga saat ini, para ilmuwan belum mengetahui apakah ada bilangan sempurna ganjil, apakah ada bilangan sempurna terbesar.
Ketertarikan para matematikawan kuno pada bilangan prima adalah karena fakta bahwa bilangan apa pun adalah prima atau dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan prima, yaitu, bilangan prima seperti batu bata yang darinya sisa bilangan asli dibangun.
Anda mungkin memperhatikan bahwa bilangan prima dalam deret bilangan asli muncul secara tidak merata - di beberapa bagian deret tersebut jumlahnya lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Tetapi semakin jauh kita bergerak di sepanjang deret bilangan, semakin jarang bilangan prima. Timbul pertanyaan: apakah bilangan prima terakhir (terbesar) ada? Ahli matematika Yunani kuno Euclid (abad ke-3 SM), dalam bukunya "Awal", yang selama dua ribu tahun merupakan buku teks utama matematika, membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga, yaitu, di belakang setiap bilangan prima ada bilangan genap bilangan prima yang lebih besar.
Untuk menemukan bilangan prima, matematikawan Yunani lain pada waktu yang sama, Eratosthenes, menemukan metode seperti itu. Dia menuliskan semua angka dari 1 ke beberapa angka, dan kemudian mencoret unit, yang bukan bilangan prima atau gabungan, kemudian mencoret satu semua angka setelah 2 (angka yang merupakan kelipatan 2, yaitu 4, 6 , 8, dst). Angka sisa pertama setelah 2 adalah 3. Kemudian, setelah dua, semua angka setelah 3 dicoret (angka kelipatan 3, yaitu 6, 9, 12, dst). pada akhirnya, hanya bilangan prima yang tidak dicoret.

Siswa diberi banyak tugas matematika. Di antara mereka, sangat sering ada tugas dengan rumusan sebagai berikut: ada dua nilai. Bagaimana cara menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan yang diberikan? Penting untuk dapat melakukan tugas-tugas seperti itu, karena keterampilan yang diperoleh digunakan untuk bekerja dengan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Dalam artikel ini, kami akan menganalisis cara menemukan KPK dan konsep dasarnya.

Sebelum menemukan jawaban atas pertanyaan tentang cara mencari KPK, Anda perlu mendefinisikan istilah kelipatan. Paling sering, kata-kata dari konsep ini adalah sebagai berikut: kelipatan beberapa nilai A adalah bilangan asli yang habis dibagi A tanpa sisa Jadi, untuk 4, 8, 12, 16, 20 dan seterusnya, hingga batas yang diperlukan.

Dalam hal ini, jumlah pembagi untuk nilai tertentu dapat dibatasi, dan ada banyak kelipatan yang tak terhingga. Ada juga nilai yang sama untuk nilai alam. Ini adalah indikator yang dibagi oleh mereka tanpa sisa. Setelah berurusan dengan konsep nilai terkecil untuk indikator tertentu, mari beralih ke cara menemukannya.

Menemukan NOC

Kelipatan terkecil dari dua atau lebih eksponen adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi sepenuhnya oleh semua bilangan yang diberikan.

Ada beberapa cara untuk menemukan nilai seperti itu. Mari kita pertimbangkan metode berikut:

Jika angkanya kecil, maka tulis di baris semua habis dibagi. Terus lakukan ini sampai Anda menemukan kesamaan di antara mereka. Dalam catatan, mereka dilambangkan dengan huruf K. Misalnya, untuk 4 dan 3, kelipatan terkecil adalah 12.
Jika ini besar atau Anda perlu mencari kelipatan untuk 3 nilai atau lebih, maka Anda harus menggunakan teknik yang berbeda di sini, yang melibatkan penguraian bilangan menjadi faktor prima. Pertama, lay out yang terbesar dari yang ditunjukkan, lalu sisanya. Masing-masing memiliki jumlah pengganda sendiri. Sebagai contoh, mari kita dekomposisi 20 (2*2*5) dan 50 (5*5*2). Untuk yang lebih kecil, garis bawahi faktor-faktornya dan tambahkan ke yang terbesar. Hasilnya adalah 100, yang merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka di atas.
Ketika menemukan 3 angka (16, 24 dan 36) prinsipnya sama dengan dua lainnya. Mari kita perluas masing-masingnya: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Hanya dua deuces dari ekspansi angka 16 yang tidak termasuk dalam dekomposisi yang terbesar Kami menambahkannya dan mendapatkan 144, yang merupakan hasil terkecil untuk nilai numerik yang ditunjukkan sebelumnya.

Sekarang kita tahu apa teknik umum untuk menemukan nilai terkecil untuk dua, tiga atau lebih nilai. Namun, ada juga metode pribadi, membantu mencari NOC, jika yang sebelumnya tidak membantu.

Bagaimana menemukan GCD dan NOC.

Cara Pribadi Menemukan

Seperti halnya bagian matematika, ada kasus khusus untuk menemukan KPK yang membantu dalam situasi tertentu:

jika salah satu bilangan habis dibagi yang lain tanpa sisa, maka kelipatan terkecil dari bilangan-bilangan ini sama dengannya (NOC 60 dan 15 sama dengan 15);
Bilangan koprima tidak memiliki pembagi prima yang sama. Nilai terkecil mereka sama dengan produk dari angka-angka ini. Jadi, untuk angka 7 dan 8, ini akan menjadi 56;
aturan yang sama berlaku untuk kasus lain, termasuk kasus khusus, yang dapat dibaca dalam literatur khusus. Ini juga harus mencakup kasus penguraian bilangan komposit, yang merupakan subjek artikel terpisah dan bahkan disertasi PhD.

Kasus khusus kurang umum daripada contoh standar. Tetapi berkat mereka, Anda dapat mempelajari cara bekerja dengan pecahan dengan berbagai tingkat kerumitan. Ini terutama berlaku untuk pecahan., di mana ada penyebut yang berbeda.

Beberapa contoh

Mari kita lihat beberapa contoh, berkat itu Anda dapat memahami prinsip menemukan kelipatan terkecil:

Kami menemukan KPK (35; 40). Kami lay out pertama 35 = 5*7, lalu 40 = 5*8. Kami menambahkan 8 ke angka terkecil dan mendapatkan NOC 280.
NOC (45; 54). Kami meletakkan masing-masing: 45 = 3*3*5 dan 54 = 3*3*6. Kami menambahkan angka 6 menjadi 45. Kami mendapatkan NOC sama dengan 270.
Nah, contoh terakhir. Ada 5 dan 4. Tidak ada kelipatan sederhana untuk mereka, jadi kelipatan persekutuan terkecil dalam hal ini adalah produk mereka, sama dengan 20.

Berkat contoh, Anda dapat memahami bagaimana NOC berada, apa nuansa dan apa arti dari manipulasi tersebut.

Menemukan NOC jauh lebih mudah daripada yang terlihat pada awalnya. Untuk ini, baik ekspansi sederhana dan perkalian nilai sederhana satu sama lain digunakan.. Kemampuan untuk bekerja dengan bagian matematika ini membantu dalam studi lebih lanjut tentang topik matematika, terutama pecahan dari berbagai tingkat kerumitan.

Jangan lupa untuk memecahkan contoh secara berkala dengan metode yang berbeda, ini mengembangkan peralatan logis dan memungkinkan Anda untuk mengingat banyak istilah. Pelajari metode untuk menemukan indikator seperti itu dan Anda akan dapat bekerja dengan baik dengan bagian matematika lainnya. Selamat belajar matematika!