Contoh ekspresi rasional pecahan dengan solusi. ekspresi rasional

Artikel tersebut berbicara tentang transformasi ekspresi rasional. Pertimbangkan jenis ekspresi rasional, transformasinya, pengelompokannya, kurung faktor umum. Mari belajar bagaimana merepresentasikan ekspresi rasional pecahan dalam bentuk pecahan rasional.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pengertian dan contoh ekspresi rasional

Definisi 1

Ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, tanda kurung, derajat dengan tindakan penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dengan adanya batang pecahan disebut ekspresi rasional.

Misalnya, kita memiliki 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 xy 2 - 1 11 x 3 .

Artinya, ini adalah ekspresi yang tidak memiliki pembagian menjadi ekspresi dengan variabel. Studi tentang ekspresi rasional dimulai dengan kelas 8, di mana mereka disebut ekspresi rasional fraksional.Perhatian khusus diberikan pada pecahan dalam pembilang, yang dikonversi menggunakan aturan transformasi.

Ini memungkinkan kita untuk melanjutkan ke transformasi pecahan rasional dari bentuk arbitrer. Ekspresi seperti itu dapat dianggap sebagai ekspresi dengan adanya pecahan rasional dan ekspresi bilangan bulat dengan tanda aksi.

Jenis utama transformasi ekspresi rasional

Ekspresi rasional digunakan untuk melakukan transformasi identik, pengelompokan, pengurangan yang serupa, melakukan operasi lain dengan angka. Tujuan dari ekspresi tersebut adalah untuk menyederhanakan.

Contoh 1

Konversikan ekspresi rasional 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Larutan

Dapat dilihat bahwa persamaan rasional tersebut adalah selisih 3 · x x · y - 1 dan 2 · x x · y - 1 . Perhatikan bahwa mereka memiliki penyebut yang sama. Ini berarti bahwa pengurangan suku-suku serupa berbentuk

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Menjawab: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Contoh 2

Lakukan transformasi 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Larutan

Awalnya, kami melakukan tindakan dalam tanda kurung 3 · x x = 2 · x . Ekspresi ini direpresentasikan sebagai 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Kami sampai pada ekspresi yang berisi tindakan dengan satu tahap, yaitu memiliki penambahan dan pengurangan.

Singkirkan tanda kurung dengan menggunakan properti pembagian. Kemudian kita peroleh bahwa 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Kami mengelompokkan faktor numerik dengan variabel x, setelah itu kami dapat melakukan operasi dengan kekuatan. Kami mengerti

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Menjawab: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Contoh 3

Konversikan ekspresi bentuk x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Larutan

Pertama kita ubah pembilang dan penyebutnya. Kemudian kita mendapatkan ekspresi dari bentuk (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, dan tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu. Di pembilang, tindakan dilakukan dan faktor dikelompokkan. Kemudian kita dapatkan ekspresi dalam bentuk x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Kita ubah rumus selisih kuadrat pada pembilangnya, maka kita peroleh

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Menjawab: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Representasi sebagai pecahan rasional

Pecahan aljabar paling sering mengalami penyederhanaan saat menyelesaikan. Setiap rasional direduksi menjadi ini cara yang berbeda. Semuanya perlu dilakukan tindakan yang diperlukan dengan polinomial sehingga ekspresi rasional akhirnya dapat memberikan pecahan rasional.

Contoh 4

Nyatakan sebagai pecahan rasional a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Larutan

Ekspresi ini dapat direpresentasikan sebagai 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Perkalian dilakukan pertama-tama sesuai dengan aturan.

Kita harus mulai dengan perkalian, lalu kita dapatkan

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Kami menghasilkan representasi dari hasil yang diperoleh dengan aslinya. Kami mengerti

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Sekarang mari kita lakukan pengurangan:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 aa (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Setelah itu, jelas bahwa ekspresi aslinya akan berbentuk 16 a 2 - 9 .

Menjawab: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Contoh 5

Nyatakan x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x sebagai pecahan rasional.

Larutan

Ekspresi yang diberikan ditulis sebagai pecahan, di pembilangnya ada x x + 1 + 1, dan dalam penyebut 2 x - 1 1 + x. Hal ini diperlukan untuk membuat transformasi x x + 1 + 1 . Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan pecahan dan angka. Kami mendapatkan bahwa xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Maka x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Pecahan yang dihasilkan dapat ditulis sebagai 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Setelah pembagian, kita sampai pada pecahan rasional dari bentuk

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Anda dapat menyelesaikannya secara berbeda.

Alih-alih membagi dengan 2 x - 1 1 + x, kita kalikan dengan kebalikan dari 1 + x 2 x - 1 . Menerapkan properti distribusi, kita mendapatkan bahwa

xx + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = xx + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Menjawab: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pelajaran ini akan mencakup informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya, serta contoh transformasi ekspresi rasional. Topik ini merangkum topik yang telah kita pelajari selama ini. Transformasi ekspresi rasional meliputi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial pecahan aljabar, reduksi, faktorisasi, dll. Sebagai bagian dari pelajaran, kita akan melihat apa itu ekspresi rasional, dan kita juga akan menganalisis contoh transformasinya.

Tema:pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar

Pelajaran:Informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya

Definisi

ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, operasi aritmatika dan eksponensial.

Perhatikan contoh ekspresi rasional:

Kasus khusus dari ekspresi rasional:

derajat 1: ;

2. monomial: ;

3. pecahan: .

Transformasi Ekspresi Rasional merupakan penyederhanaan dari ekspresi rasional. Urutan operasi ketika mengubah ekspresi rasional: pertama, ada tindakan dalam tanda kurung, kemudian perkalian (pembagian), dan kemudian operasi penambahan (pengurangan).

Mari kita perhatikan beberapa contoh tentang transformasi ekspresi rasional.

Contoh 1

Larutan:

Mari kita selesaikan contoh ini langkah demi langkah. Tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Menjawab:

Contoh 2

Larutan:

Menjawab:

Contoh 3

Larutan:

Menjawab: .

Catatan: mungkin ketika Anda melihat contoh ini sebuah ide muncul: untuk mengurangi pecahan sebelum mengarah ke penyebut yang sama. Memang, itu sepenuhnya benar: pertama, diinginkan untuk menyederhanakan ekspresi sebanyak mungkin, dan kemudian mengubahnya. Mari kita coba selesaikan contoh yang sama dengan cara kedua.

Seperti yang Anda lihat, jawabannya ternyata sangat mirip, tetapi solusinya ternyata agak lebih sederhana.

Dalam pelajaran ini, kita melihat ekspresi rasional dan transformasinya, serta beberapa contoh konkret data transformasi.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Aljabar kelas 8. - M.: Pencerahan, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dkk Aljabar 8. - edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.

Artikel ini adalah tentang transformasi ekspresi rasional, sebagian besar rasional fraksional, adalah salah satu pertanyaan kunci dari kursus aljabar untuk kelas 8. Pertama, kita ingat ekspresi seperti apa yang disebut rasional. Selanjutnya, kita akan fokus pada melakukan transformasi standar dengan ekspresi rasional, seperti mengelompokkan suku, mengeluarkan faktor umum dari tanda kurung, mengurangi suku yang serupa, dll. Akhirnya, kita akan belajar bagaimana merepresentasikan ekspresi rasional pecahan sebagai pecahan rasional.

Navigasi halaman.

Pengertian dan contoh ekspresi rasional

Ekspresi rasional adalah salah satu jenis ekspresi yang dipelajari dalam pelajaran aljabar di sekolah. Mari kita beri definisi.

Definisi.

Ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, tanda kurung, derajat dengan eksponen bilangan bulat, dihubungkan menggunakan tanda operasi aritmatika+, , dan:, di mana pembagian dapat ditunjukkan dengan batang pecahan, disebut ekspresi rasional.

Berikut adalah beberapa contoh ekspresi rasional: .

Ekspresi rasional mulai dipelajari dengan sengaja di kelas 7. Terlebih lagi, di kelas 7, dasar-dasar bekerja dengan apa yang disebut seluruh ekspresi rasional, yaitu, dengan ekspresi rasional yang tidak mengandung pembagian menjadi ekspresi dengan variabel. Untuk melakukan ini, monomial dan polinomial dipelajari secara konsisten, serta prinsip-prinsip untuk melakukan tindakan dengannya. Semua pengetahuan ini pada akhirnya memungkinkan Anda untuk melakukan transformasi ekspresi bilangan bulat.

Di kelas 8, mereka melanjutkan ke studi ekspresi rasional yang mengandung pembagian dengan ekspresi dengan variabel, yang disebut ekspresi rasional pecahan. Di mana Perhatian khusus diberikan kepada apa yang disebut pecahan rasional(disebut juga pecahan aljabar), yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial. Hal ini pada akhirnya memungkinkan untuk melakukan transformasi pecahan rasional.

Keterampilan yang diperoleh memungkinkan kita untuk melanjutkan ke transformasi ekspresi rasional dari bentuk yang sewenang-wenang. Ini dijelaskan oleh fakta bahwa setiap ekspresi rasional dapat dianggap sebagai ekspresi yang terdiri dari pecahan rasional dan ekspresi bilangan bulat, dihubungkan oleh tanda-tanda operasi aritmatika. Dan kita sudah tahu bagaimana bekerja dengan ekspresi bilangan bulat dan pecahan aljabar.

Jenis utama transformasi ekspresi rasional

Dengan ekspresi rasional, Anda dapat melakukan salah satu transformasi identitas dasar, apakah itu pengelompokan suku atau faktor, membawa suku serupa, melakukan operasi dengan angka, dll. Biasanya, tujuan dari transformasi ini adalah penyederhanaan ekspresi rasional.

Contoh.

.

Larutan.

Jelas bahwa ekspresi rasional ini adalah perbedaan dari dua ekspresi dan, apalagi, ekspresi ini serupa, karena mereka memiliki bagian literal yang sama. Dengan demikian, kita dapat melakukan pengurangan suku-suku serupa:

Menjawab:

.

Jelas bahwa ketika melakukan transformasi dengan ekspresi rasional, seperti, memang, dengan ekspresi lain, seseorang harus tetap berada dalam kerangka urutan tindakan yang diterima.

Contoh.

Transformasikan ekspresi rasional.

Larutan.

Kita tahu bahwa tindakan dalam tanda kurung dieksekusi terlebih dahulu. Oleh karena itu, pertama-tama, kami mengubah ekspresi dalam tanda kurung: 3 x x=2 x .

Sekarang Anda dapat mengganti hasilnya dengan ekspresi rasional asli: . Jadi kami sampai pada ekspresi yang berisi tindakan satu tahap - penambahan dan perkalian.

Mari kita singkirkan tanda kurung di akhir ekspresi dengan menerapkan properti pembagian-oleh-produk: .

Akhirnya, kita dapat mengelompokkan faktor numerik dan faktor x, dan kemudian melakukan operasi yang sesuai pada angka dan menerapkan : .

Ini melengkapi transformasi ekspresi rasional, dan sebagai hasilnya kami mendapatkan monomial.

Menjawab:

Contoh.

Ubah Ekspresi Rasional .

Larutan.

Pertama kita ubah pembilang dan penyebutnya. Urutan transformasi pecahan ini dijelaskan oleh fakta bahwa goresan pecahan pada dasarnya adalah penunjukan pembagian lain, dan ekspresi rasional asli pada dasarnya adalah bentuk tertentu. , dan tindakan dalam tanda kurung dieksekusi terlebih dahulu.

Jadi, di pembilang kami melakukan operasi dengan polinomial, perkalian pertama, lalu pengurangan, dan di penyebut kami mengelompokkan faktor numerik dan menghitung produknya: .

Mari kita bayangkan juga pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan sebagai produk: tiba-tiba pecahan aljabar bisa direduksi. Untuk melakukan ini, di pembilang yang kami gunakan rumus selisih kuadrat, dan dalam penyebut kita keluarkan deuce dari tanda kurung, kita memiliki .

Menjawab:

.

Jadi, pengenalan awal dengan transformasi ekspresi rasional dapat dianggap selesai. Kami lulus, sehingga untuk berbicara, ke yang paling manis.

Representasi sebagai pecahan rasional

Tujuan akhir yang paling umum dari mengubah ekspresi adalah untuk menyederhanakan bentuknya. Dalam hal ini, yang paling tampilan sederhana, yang ekspresi rasional fraksional dapat dikonversi, adalah fraksi rasional (aljabar), dan dalam kasus tertentu, polinomial, monomial, atau angka.

Apakah mungkin untuk mewakili ekspresi rasional apa pun sebagai pecahan rasional? Jawabannya iya. Mari kita jelaskan mengapa demikian.

Seperti yang telah kami katakan, ekspresi rasional apa pun dapat dianggap sebagai polinomial dan pecahan rasional, dihubungkan dengan tanda plus, minus, perkalian dan pembagian. Semua operasi yang relevan pada polinomial menghasilkan polinomial atau pecahan rasional. Pada gilirannya, polinomial apa pun dapat diubah menjadi pecahan aljabar dengan menuliskannya dengan penyebut 1. Dan penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan rasional menghasilkan pecahan rasional baru. Oleh karena itu, setelah melakukan semua operasi dengan polinomial dan pecahan rasional dalam ekspresi rasional, kita mendapatkan pecahan rasional.

Contoh.

Nyatakan sebagai pecahan rasional dari ekspresi .

Larutan.

Ekspresi rasional asli adalah perbedaan antara pecahan dan produk pecahan bentuk . Menurut urutan operasi, pertama-tama kita harus melakukan perkalian, dan baru kemudian penjumlahan.

Kita mulai dengan mengalikan pecahan aljabar:

Kami mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi rasional asli: .

Kami telah sampai pada pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut yang berbeda:

Jadi, setelah melakukan tindakan dengan pecahan rasional yang membentuk ekspresi rasional asli, kami menyajikannya sebagai pecahan rasional.

Menjawab:

.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi dari contoh lain.

Contoh.

Nyatakan ekspresi rasional sebagai pecahan rasional.

Setiap ekspresi pecahan(butir 48) dapat ditulis sebagai , Dimana P dan Q adalah ekspresi rasional, dan Q harus mengandung variabel. Pecahan seperti ini disebut pecahan rasional.

Contoh pecahan rasional:

Properti utama dari pecahan dinyatakan oleh identitas yang valid di bawah kondisi di sini - ekspresi rasional keseluruhan. Artinya pembilang dan penyebut pecahan rasional dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, monomial atau polinomial.

Misalnya, sifat pecahan dapat digunakan untuk mengubah tanda anggota pecahan. Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan -1, kita peroleh Jadi, nilai pecahan tidak akan berubah jika tanda-tanda pembilang dan penyebutnya diubah secara bersamaan. Jika Anda mengubah tanda pembilangnya saja atau penyebutnya saja, maka pecahan akan berubah tandanya:

Sebagai contoh,

60. Pengurangan pecahan rasional.

Mengurangi pecahan adalah membagi pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan faktor persekutuan. Kemungkinan pengurangan seperti itu disebabkan oleh sifat utama fraksi.

Untuk mengurangi pecahan rasional, Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Jika pembilang dan penyebutnya ternyata mempunyai faktor persekutuan, maka pecahan tersebut dapat diperkecil. Jika tidak ada faktor persekutuan, maka konversi pecahan dengan reduksi tidak mungkin dilakukan.

Contoh. Kurangi pecahan

Larutan. Kita punya

Pengurangan fraksi dilakukan di bawah kondisi .

61. Menyebutkan pecahan rasional ke penyebut yang sama.

Penyebut umum dari beberapa pecahan rasional adalah seluruh ekspresi rasional, yang dibagi dengan penyebut setiap pecahan (lihat item 54).

Misalnya, polinomial berfungsi sebagai penyebut umum pecahan, karena itu habis dibagi oleh dan oleh dan oleh dan oleh polinomial dan polinomial dan polinomial, dll. Biasanya penyebut yang sama diambil sehingga penyebut umum lainnya habis dibagi oleh Terpilih. Penyebut paling sederhana ini kadang-kadang disebut penyebut terkecil.

Dalam contoh di atas, penyebut yang sama adalah Kami memiliki

Mengurangi pecahan ini menjadi penyebut yang sama dicapai dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 2. Dan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan Polinomial disebut faktor tambahan untuk pecahan pertama dan kedua, masing-masing. Faktor tambahan untuk pecahan tertentu sama dengan hasil bagi membagi penyebut yang sama dengan penyebut dari pecahan yang diberikan.

Untuk mengurangi beberapa pecahan rasional menjadi penyebut yang sama, Anda perlu:

1) menguraikan penyebut setiap pecahan menjadi faktor;

2) membuat penyebut yang sama, termasuk sebagai faktor di dalamnya semua faktor yang diperoleh dalam ayat 1) dari ekspansi; jika faktor tertentu ada dalam beberapa ekspansi, maka itu diambil dengan eksponen yang sama dengan yang terbesar dari yang tersedia;

3) menemukan faktor tambahan untuk masing-masing pecahan (untuk ini, penyebut yang sama dibagi dengan penyebut pecahan);

4) mengalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan, membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Contoh. Mengurangi ke penyebut yang sama dari pecahan

Larutan. Mari kita faktorkan penyebutnya:

Faktor-faktor berikut harus disertakan dalam penyebut yang sama: dan kelipatan persekutuan terkecil dari angka 12, 18, 24, yaitu . Jadi penyebutnya adalah

Pengganda tambahan: untuk pecahan pertama untuk yang kedua untuk yang ketiga Jadi, kita mendapatkan:

62. Penjumlahan dan pengurangan pecahan rasional.

Jumlah dari dua (dan secara umum bilangan berhingga) pecahan rasional dengan penyebut yang sama sama dengan pecahan yang penyebutnya sama dan pembilangnya sama dengan jumlah pembilang dari pecahan yang ditambahkan:

Situasinya serupa ketika mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama:

Contoh 1: Sederhanakan ekspresi

Larutan.

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan rasional dengan penyebut yang berbeda, Anda harus terlebih dahulu membawa pecahan ke penyebut yang sama, dan kemudian melakukan operasi pada pecahan yang dihasilkan dengan penyebut yang sama.

Contoh 2: Sederhanakan sebuah ekspresi

Larutan. Kita punya

63. Perkalian dan pembagian pecahan rasional.

Hasil kali dua (dan secara umum setiap bilangan berhingga) pecahan rasional identik dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebut pecahan yang dikalikan:

Hasil bagi pembagian dua pecahan rasional sama persis dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilang pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan penyebutnya adalah perkalian penyebut pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua:

Aturan yang dirumuskan untuk perkalian dan pembagian juga berlaku untuk kasus perkalian atau pembagian dengan polinomial: cukup untuk menulis polinomial ini sebagai pecahan dengan penyebut 1.

Mengingat kemungkinan untuk mereduksi pecahan rasional yang diperoleh dengan mengalikan atau membagi pecahan rasional, biasanya pembilang dan penyebut dari pecahan asal harus difaktorkan terlebih dahulu sebelum melakukan operasi ini.

Contoh 1. Kalikan

Larutan. Kita punya

Dengan menggunakan aturan perkalian pecahan, kita peroleh:

Contoh 2: Lakukan pembagian

Larutan. Kita punya

Dengan menggunakan aturan pembagian, kita peroleh:

64. Menaikkan pecahan rasional ke pangkat bilangan bulat.

Untuk menaikkan pecahan rasional - ke pangkat alami, Anda perlu menaikkan pembilang dan penyebut pecahan secara terpisah ke pangkat ini; ekspresi pertama adalah pembilang dan ekspresi kedua adalah penyebut hasil:

Contoh 1. Ubah ke pecahan pangkat 3.

Solusi Solusi.

Saat menaikkan pecahan ke pangkat bilangan bulat negatif, identitas digunakan yang valid untuk semua nilai variabel yang .

Contoh 2. Ubah ekspresi menjadi pecahan

65. Transformasi ekspresi rasional.

Transformasi ekspresi rasional apa pun turun ke penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan rasional, serta menaikkan pecahan ke kekuatan alami. Ekspresi rasional apa pun dapat diubah menjadi pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah ekspresi rasional bilangan bulat; ini biasanya tujuannya transformasi identik ekspresi rasional.

Contoh. Sederhanakan Ekspresi

66. Transformasi paling sederhana dari akar aritmatika (radikal).

Saat mengonversi koria aritmatika, propertinya digunakan (lihat item 35).

Pertimbangkan beberapa contoh tentang penggunaan properti akar aritmatika untuk transformasi radikal yang paling sederhana. Dalam hal ini, semua variabel akan dianggap hanya mengambil nilai non-negatif.

Contoh 1. Ekstrak akar produk

Larutan. Menerapkan properti 1°, kita mendapatkan:

Contoh 2. Keluarkan faktor dari bawah tanda akar

Larutan.

Transformasi seperti itu disebut pemfaktoran keluar dari bawah tanda akar. Tujuan dari transformasi adalah untuk menyederhanakan ekspresi radikal.

Contoh 3: Sederhanakan.

Larutan. Menurut properti 3°, kita biasanya mencoba menyederhanakan ekspresi radikal, yang dengannya mereka mengambil pengali di luar tanda corium. Kita punya

Contoh 4: Sederhanakan

Larutan. Kami mengubah ekspresi dengan memasukkan faktor di bawah tanda akar: Dengan properti 4° kami memiliki

Contoh 5: Sederhanakan

Larutan. Dengan properti 5 °, kami memiliki hak untuk membagi eksponen akar dan eksponen ekspresi akar menjadi sama bilangan asli. Jika dalam contoh yang dipertimbangkan kami membagi indikator yang ditunjukkan dengan 3, maka kami mendapatkan .

Contoh 6. Sederhanakan ekspresi:

Solusi, a) Dengan sifat 1°, kita peroleh bahwa untuk mengalikan akar dengan derajat yang sama, cukup dengan mengalikan ekspresi akar dan mengekstrak akar dengan derajat yang sama dari hasil yang diperoleh. Cara,

b) Pertama-tama, kita harus mereduksi radikal menjadi satu indeks. Menurut properti 5 °, kita dapat mengalikan eksponen akar dengan bilangan asli yang sama. Oleh karena itu, Selanjutnya, kita sekarang memiliki hasil yang diperoleh dengan membagi indikator akar dan derajat ekspresi radikal dengan 3, kita dapatkan .