Bentuk geometris yang bukan poligon. Jenis poligon" dalam kerangka teknologi "Pengembangan berpikir kritis melalui membaca dan menulis

Topik: "Poligon. Jenis poligon"

Kelas 9

SL 20

Guru: Kharitonovich T.I. Tujuan pelajaran: mempelajari jenis poligon.

Tugas belajar: memperbarui, memperluas dan menggeneralisasi pengetahuan siswa tentang poligon; membentuk ide bagian penyusun"poligon; melakukan studi tentang jumlah elemen penyusun poligon beraturan (dari segitiga ke n-gon);

Tugas pengembangan: mengembangkan kemampuan menganalisis, membandingkan, menarik kesimpulan, mengembangkan kemampuan komputasi, berbicara matematis lisan dan tulisan, daya ingat, serta kemandirian dalam berpikir dan Kegiatan Pembelajaran kemampuan bekerja berpasangan dan kelompok; mengembangkan penelitian dan aktivitas kognitif;

Tugas pendidikan: untuk menumbuhkan kemandirian, aktivitas, tanggung jawab atas tugas yang diberikan, ketekunan dalam mencapai tujuan.

Peralatan: papan tulis interaktif (presentasi)

Selama kelas

Tampilkan presentasi: "Poligon"

"Alam berbicara dalam bahasa matematika, huruf-huruf dari bahasa ini ... angka-angka matematika." G. Gallilei

Di awal pelajaran, kelas dibagi menjadi beberapa kelompok kerja (dalam kasus kami, dibagi menjadi 3 kelompok)

1. Tahap panggilan-

a) memperbarui pengetahuan siswa tentang topik;

b) bangkitnya minat terhadap topik yang dipelajari, motivasi setiap siswa untuk kegiatan belajar.

Penerimaan: Permainan "Apakah Anda percaya bahwa ...", organisasi kerja dengan teks.

Bentuk pekerjaan: frontal, kelompok.

“Apakah kamu percaya bahwa ….”

1. ... kata "poligon" menunjukkan bahwa semua figur keluarga ini memiliki "banyak sudut"?

2. ...segitiga milik keluarga besar poligon, dibedakan di antara berbagai yang berbeda bentuk geometris di permukaan?

3. …apakah persegi merupakan segi delapan beraturan (empat sisi + empat sudut)?

Hari ini dalam pelajaran kita akan berbicara tentang poligon. Kita belajar bahwa angka ini dibatasi oleh garis putus-putus tertutup, yang pada gilirannya bisa sederhana, tertutup. Mari kita bicara tentang fakta bahwa poligon itu datar, teratur, cembung. Salah satu poligon datar adalah segitiga yang sudah lama Anda kenal (Anda dapat menunjukkan kepada siswa poster yang menggambarkan poligon, garis putus-putus, menunjukkan kepada mereka jenis yang berbeda, Anda juga dapat menggunakan TSO).

2. Tahap pemahaman

Tujuan: memperoleh informasi baru, pemahamannya, pemilihan.

Penerimaan: zigzag.

Bentuk kerja: individu->pasangan->kelompok.

Setiap kelompok diberikan teks tentang topik pelajaran, dan teks dirancang sedemikian rupa sehingga mencakup informasi yang sudah diketahui siswa dan informasi yang sama sekali baru. Bersama dengan teks, siswa menerima pertanyaan, yang jawabannya harus ditemukan dalam teks ini.

Poligon. Jenis poligon.

Siapa yang belum pernah mendengar tentang Segitiga Bermuda yang misterius, di mana kapal dan pesawat menghilang tanpa jejak? Tetapi segitiga yang kita kenal sejak kecil penuh dengan banyak hal menarik dan misterius.

Selain jenis-jenis segitiga yang sudah kita ketahui, dibagi berdasarkan sisi (sisi sama kaki, sama kaki, sama sisi) dan sudut (sudut lancip, siku-siku tumpul, siku-siku), segitiga termasuk dalam keluarga besar poligon yang dibedakan dari banyak bentuk geometris yang berbeda di pesawat.

Kata "poligon" menunjukkan bahwa semua figur keluarga ini memiliki "banyak sudut". Tapi ini tidak cukup untuk mencirikan sosok itu.

Garis putus-putus A1A2…An adalah bangun datar yang terdiri dari titik-titik A1,A2,…An dan ruas-ruas A1A2, A2A3,… yang menghubungkannya. Titik-titik disebut simpul dari polyline, dan segmen disebut link dari polyline. (Gbr.1)

Garis putus-putus disebut sederhana jika tidak memiliki titik potong sendiri (Gbr. 2,3).

Garis putus-putus disebut tertutup jika ujung-ujungnya berhimpitan. Panjang garis putus-putus adalah jumlah dari panjang tautannya (Gbr. 4)

Garis putus-putus tertutup sederhana disebut poligon jika tautan yang berdekatan tidak terletak pada garis lurus yang sama (Gbr. 5).

Gantikan dalam kata "poligon" alih-alih bagian "banyak" dengan nomor tertentu, misalnya 3. Anda akan mendapatkan segitiga. Atau 5. Lalu - segi lima. Perhatikan bahwa jumlah sudut sama banyaknya dengan jumlah sisi, sehingga angka-angka ini bisa disebut multilateral.

Simpul dari polyline disebut simpul dari poligon, dan link dari polyline disebut sisi poligon.

Poligon membagi bidang menjadi dua wilayah: internal dan eksternal (Gbr. 6).

Poligon bidang atau daerah poligonal adalah bagian berhingga dari bidang yang dibatasi oleh poligon.

Dua simpul dari poligon yang ujung-ujungnya bersisi sama disebut bertetangga. Simpul yang bukan ujung dari satu sisi adalah tidak bersebelahan.

Sebuah poligon dengan n simpul dan oleh karena itu n sisi disebut n-gon.

Meskipun bilangan terkecil sisi poligon - 3. Tetapi segitiga, yang terhubung satu sama lain, dapat membentuk sosok lain, yang pada gilirannya juga merupakan poligon.

Segmen yang menghubungkan simpul yang tidak bertetangga dari poligon disebut diagonal.

Suatu poligon disebut cembung jika terletak pada satu setengah bidang terhadap sembarang garis yang memuat sisinya. Dalam hal ini, garis itu sendiri dianggap milik SETENGAH-PLANE

Sudut poligon cembung pada titik tertentu adalah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang konvergen pada titik tersebut.

Mari kita buktikan teorema (pada jumlah sudut n-gon cembung): Jumlah sudut n-gon cembung sama dengan 1800*(n - 2).

Bukti. Dalam kasus n=3 teorema ini valid. Misalkan 1А2…А n adalah poligon cembung yang diberikan dan n>3. Mari kita menggambar diagonal di dalamnya (dari satu titik). Karena poligon cembung, diagonal ini membaginya menjadi n - 2 segitiga. Jumlah sudut poligon sama dengan jumlah sudut semua segitiga ini. Jumlah sudut setiap segitiga adalah 1800, dan jumlah segitiga ini adalah n - 2. Jadi, jumlah sudut cembung n - sudut A1A2 ... A n adalah 1800 * (n - 2). Teorema telah terbukti.

Sudut luar poligon cembung pada titik tertentu adalah sudut yang berdekatan dengan sudut interior poligon pada titik tersebut.

Poligon cembung disebut beraturan jika semua sisinya sama dan semua sudutnya sama besar.

Jadi bujur sangkar bisa disebut berbeda - segi empat biasa. Segitiga sama sisi juga beraturan. Sosok-sosok seperti itu telah lama menarik bagi para empu yang mendekorasi bangunan. Mereka membuat pola yang indah, misalnya, di parket. Namun tidak semua poligon beraturan dapat digunakan untuk membentuk parket. Parket tidak dapat dibentuk dari segi delapan biasa. Faktanya adalah bahwa mereka memiliki setiap sudut sama dengan 1350. Dan jika ada titik yang merupakan titik dari dua segi delapan seperti itu, maka mereka akan memiliki 2700, dan tidak ada tempat untuk segi delapan ketiga yang cocok: 3600 - 2700 \u003d 900. Tapi ini cukup untuk persegi. Oleh karena itu, parket dapat dilipat dari segi delapan dan kotak biasa.

Bintang-bintang itu benar. Bintang berujung lima kami adalah bintang pentagonal biasa. Dan jika Anda memutar persegi di sekitar pusat sebesar 450, Anda mendapatkan bintang segi delapan biasa.

Apa itu garis putus-putus? Jelaskan apa itu vertex dan link dari polyline.

Garis putus-putus mana yang disebut sederhana?

Garis putus mana yang disebut tertutup?

Apa itu poligon? Apa yang disebut simpul poligon? Apa sisi poligon?

Apa itu poligon datar? Berikan contoh poligon.

Apa itu n-gon?

Jelaskan mana simpul poligon yang bertetangga dan mana yang tidak.

Apa diagonal poligon?

Apa itu poligon cembung?

Jelaskan mana sudut poligon yang eksternal dan mana yang internal?

Apa itu poligon beraturan? Berikan contoh poligon beraturan.

Berapa jumlah sudut n-gon yang cembung? Buktikan itu.

Siswa bekerja dengan teks, mencari jawaban atas pertanyaan yang diajukan, setelah itu kelompok ahli dibentuk, di mana pekerjaan dilakukan pada masalah yang sama: siswa menyoroti hal utama, menyusun abstrak pendukung, menyajikan informasi di salah satu bentuk grafik. Di akhir pekerjaan, siswa kembali ke kelompok kerja mereka.

3. Tahap refleksi -

a) penilaian pengetahuan mereka, tantangan untuk langkah pengetahuan berikutnya;

b) pemahaman dan penggunaan informasi yang diterima.

Penerimaan: pekerjaan penelitian.

Bentuk kerja: individu->pasangan->kelompok.

Kelompok kerja ahli dalam menjawab setiap bagian dari pertanyaan yang diajukan.

Kembali ke kelompok kerja, pakar memperkenalkan anggota kelompok yang lain dengan jawaban atas pertanyaan mereka. Dalam kelompok terjadi pertukaran informasi dari semua anggota kelompok kerja. Jadi, di setiap kelompok kerja, berkat karya para ahli, ide umum terbentuk pada topik yang sedang dipelajari.

Riset siswa- mengisi tabel.

Poligon beraturan Menggambar Jumlah sisi Jumlah simpul Jumlah semua sudut dalam Derajat ukuran dalam. sudut Derajat ukuran sudut luar Jumlah diagonal

A. segitiga

B) segi empat

B) lima lubang

D) segi enam

E) n-gon

Larutan tugas yang menarik pada topik pelajaran.

1) Berapa banyak sisi yang dimiliki poligon beraturan, masing-masing dari sudut dalam yang sama dengan 1350?

2) Dalam poligon tertentu, semua sudut interior sama satu sama lain. Dapatkah jumlah sudut dalam poligon ini menjadi: 3600, 3800?

3) Apakah mungkin untuk membangun segi lima dengan sudut 100.103.110.110.116 derajat?

Menyimpulkan pelajaran.

Rekaman pekerjaan rumah: STR 66-72 15,17 DAN MASALAH: DALAM SEGITIGA, GAMBAR LANGSUNG SEHINGGA DIA BAGIKAN MENJADI TIGA SEGITIGA.

Refleksi dalam bentuk tes (di papan tulis interaktif)

Bagian dari bidang yang dibatasi oleh garis putus-putus tertutup disebut poligon.

Segmen dari garis putus-putus ini disebut Para Pihak poligon. AB, BC, CD, DE, EA (Gbr. 1) - sisi poligon ABCDE. Jumlah semua sisi poligon disebut keliling.

Poligon disebut cembung, jika terletak di satu sisi dari salah satu sisinya, diperpanjang tanpa batas di luar kedua simpul.

Poligon MNPKO (Gbr. 1) tidak akan cembung, karena terletak di lebih dari satu sisi garis lurus KP.

Kami hanya akan mempertimbangkan poligon cembung.

Sudut yang dibentuk oleh dua sisi poligon yang berdekatan disebut sudut intern sudut, dan bagian atasnya - simpul poligon.

Ruas garis yang menghubungkan dua simpul yang tidak bersebelahan pada poligon disebut diagonal poligon.

AC, AD - diagonal poligon (Gbr. 2).

Sudut yang berdekatan dengan sudut dalam poligon disebut sudut luar poligon (Gbr. 3).

Tergantung pada jumlah sudut (sisi), poligon disebut segitiga, segi empat, segi lima, dll.

Dua poligon dikatakan sama jika dapat ditumpangkan.

Poligon bertulis dan dibatasi

Jika semua titik sudut poligon terletak pada sebuah lingkaran, maka poligon tersebut disebut tertulis menjadi lingkaran, dan lingkaran dijelaskan dekat poligon (gbr.).

Jika semua sisi poligon bersinggungan dengan lingkaran, maka poligon tersebut disebut dijelaskan mengelilingi lingkaran, dan lingkaran itu disebut tertulis menjadi poligon (Gbr.).

Kesamaan poligon

Dua poligon dengan nama yang sama disebut sebangun jika sudut salah satu dari mereka masing-masing sama dengan sudut yang lain, dan sisi-sisi yang serupa dari poligon sebanding.

Poligon dengan nama yang sama disebut nomor yang sama sisi (sudut).

Sisi-sisi dari poligon yang sebangun disebut sebangun jika mereka menghubungkan simpul-simpul yang bersesuaian dengan sudut yang sama (Gbr.).

Jadi, misalnya, agar poligon ABCDE serupa dengan poligon A'B'C'D'E', perlu: E = E' dan, sebagai tambahan, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Rasio keliling dari poligon serupa

Pertama, pertimbangkan properti dari serangkaian rasio yang sama. Mari kita, misalnya, hubungan: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Mari kita cari jumlah anggota sebelumnya dari hubungan ini, lalu - jumlah anggota berikutnya dan temukan rasio jumlah yang diterima, kita dapatkan:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Kita akan mendapatkan yang sama jika kita mengambil sejumlah beberapa hubungan lain, misalnya: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 dan kemudian kita menemukan rasio dari jumlah ini , kita mendapatkan:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Dalam kedua kasus, jumlah anggota sebelumnya dari serangkaian hubungan yang sama terkait dengan jumlah anggota berikutnya dari seri yang sama, karena anggota sebelumnya dari salah satu hubungan ini terkait dengan yang berikutnya.

Kami menyimpulkan properti ini dengan mempertimbangkan sejumlah contoh numerik. Ini dapat disimpulkan secara ketat dan dalam bentuk umum.

Sekarang perhatikan rasio keliling poligon serupa.

Biarkan poligon ABCDE serupa dengan poligon A'B'C'D'E' (gbr.).

Dari kesamaan poligon ini, maka

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Berdasarkan properti dari serangkaian hubungan yang sama yang telah kita peroleh, kita dapat menulis:

Jumlah suku-suku sebelumnya dari relasi yang telah kita ambil adalah keliling poligon pertama (P), dan jumlah suku-suku selanjutnya dari relasi tersebut adalah keliling poligon kedua (P'), jadi P/P' = AB / A'B'.

Akibatnya, keliling poligon yang sebangun berhubungan sebagai sisi-sisi yang bersesuaian.

Rasio luas poligon serupa

Biarkan ABCDE dan A'B'C'D'E' menjadi poligon yang serupa (gbr.).

Diketahui bahwa ABC ~ A'B'C' ACD ~ A'C'D' dan ADE ~ A'D'E'.

Di samping itu,

;

Karena rasio kedua dari proporsi ini sama, yang mengikuti kesamaan poligon, maka

Menggunakan properti dari serangkaian rasio yang sama, kita mendapatkan:

Atau

di mana S dan S' adalah luas poligon serupa.

Akibatnya, luas poligon serupa dihubungkan sebagai kuadrat sisi-sisi yang sebangun.

Rumus yang dihasilkan dapat diubah menjadi bentuk ini: S / S '= (AB / A'B ') 2

Luas poligon arbitrer

Biarkan diperlukan untuk menghitung luas ABDC segi empat yang sewenang-wenang (Gbr.).

Mari kita menggambar diagonal di dalamnya, misalnya AD. Kami mendapatkan dua segitiga ABD dan ACD, area yang dapat kami hitung. Kemudian kita cari jumlah luas segitiga tersebut. Jumlah yang dihasilkan akan mengungkapkan luas segi empat yang diberikan.

Jika Anda perlu menghitung luas segi lima, maka kami melanjutkan dengan cara yang sama: kami menggambar diagonal dari salah satu simpul. Kami mendapatkan tiga segitiga, area yang dapat kami hitung. Jadi kita bisa mencari luas segi lima ini. Kami melakukan hal yang sama saat menghitung luas poligon apa pun.

Area proyeksi poligon

Ingatlah bahwa sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tertentu dan proyeksinya ke bidang (Gbr.).

Dalil. Luas proyeksi ortogonal poligon ke bidang sama dengan luas poligon yang diproyeksikan dikalikan dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh bidang poligon dan bidang proyeksi.

Setiap poligon dapat dibagi menjadi segitiga, yang jumlah luasnya sama dengan luas poligon. Oleh karena itu, cukup untuk membuktikan teorema segitiga.

Biarkan ABC diproyeksikan ke pesawat R. Pertimbangkan dua kasus:

a) salah satu sisi ABS sejajar dengan bidang R;

b) tidak ada sisi ABC yang sejajar R.

Mempertimbangkan kasus pertama: biarkan [AB] || R.

Gambarlah melalui bidang (AB) R 1 || R dan proyeksikan secara ortogonal ABC ke R 1 dan seterusnya R(Nasi.); kita dapatkan ABC 1 dan A'B'C'.

Dengan properti proyeksi, kami memiliki ABC 1 (cong) A'B'C', dan oleh karena itu

S ABC1 = S A'B'C'

Mari kita menggambar dan segmen D 1 C 1 . Maka , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = adalah sudut antara bidang ABC dan bidang R satu . Itu sebabnya

S ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos = S ABC cos

dan, oleh karena itu, S A'B'C' = S ABC cos .

Mari beralih ke pertimbangan kasus kedua. Menggambar pesawat R 1 || R melalui simpul itu , jarak dari mana ke pesawat R terkecil (biarkan menjadi simpul A).

Mari kita desain ABC di pesawat R 1 dan R(Nasi.); misalkan proyeksinya masing-masing adalah AB 1 C 1 dan A’B’C’.

Biarkan (BC) P 1 = D. Maka

S A'B'C' = S AB1 C1 = S ADC1 - S ADB1 = (S ADC - S ADB) cos = S ABC cos

bahan lainnya

Properti Poligon

Sebuah poligon adalah sosok geometris, biasanya didefinisikan sebagai polyline tertutup tanpa self-intersection (poligon sederhana (Gbr. 1a)), tetapi kadang-kadang self-intersection diperbolehkan (maka poligon tidak sederhana).

Simpul dari polyline disebut simpul dari poligon, dan segmen disebut sisi poligon. Titik-titik sebuah poligon disebut bertetangga jika mereka adalah ujung dari salah satu sisinya. Segmen garis yang menghubungkan simpul yang tidak bertetangga dari poligon disebut diagonal.

Sudut (atau sudut internal) poligon cembung pada titik tertentu adalah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang konvergen pada titik ini, dan sudut dianggap dari sisi poligon. Khususnya, sudut dapat melebihi 180° jika poligon tidak cembung.

Sudut luar poligon cembung pada titik tertentu adalah sudut yang berdekatan dengan sudut interior poligon pada titik tersebut. Secara umum, sudut luar adalah selisih antara 180° dan sudut dalam. Dari setiap simpul -gon untuk > 3 keluar - 3 diagonal, oleh karena itu jumlah total diagonal-diagonal a -gon sama.

Poligon dengan tiga simpul disebut segitiga, dengan empat - segi empat, dengan lima - segi lima, dan seterusnya.

poligon dengan n puncak disebut n- kotak.

Poligon datar adalah bangun datar yang terdiri dari poligon dan bagian hingga dari daerah yang dibatasi olehnya.

Suatu poligon disebut cembung jika salah satu dari kondisi (ekuivalen) berikut terpenuhi:

• 1. terletak pada satu sisi dari sembarang garis lurus yang menghubungkan simpul-simpul tetangganya. (yaitu, perpanjangan sisi poligon tidak berpotongan dengan sisi lainnya);
• 2. itu adalah persimpangan (yaitu bagian umum) dari beberapa setengah bidang;
• 3. setiap segmen dengan ujung pada titik-titik yang termasuk dalam poligon sepenuhnya menjadi miliknya.

Poligon cembung disebut beraturan jika semua sisinya sama dan semua sudutnya sama besar, misalnya segitiga sama sisi, persegi, dan segi lima.

Suatu poligon cembung dikatakan bertulisan di sekitar lingkaran jika semua sisinya bersinggungan dengan suatu lingkaran

Poligon beraturan adalah poligon yang semua sudut dan semua sisinya sama besar.

Sifat poligon:

1 Setiap diagonal dari gon-cembung, di mana >3, menguraikannya menjadi dua poligon cembung.

2 Jumlah semua sudut cembung -gon sama dengan.

D-in: Mari kita buktikan teorema dengan metode induksi matematika. Untuk = 3 sudah jelas. Asumsikan bahwa teorema ini benar untuk a -gon, di mana <, dan buktikan untuk -gon.

Membiarkan menjadi poligon yang diberikan. Gambarlah diagonal poligon ini. Dengan Teorema 3, poligon didekomposisi menjadi segitiga dan -gon cembung (Gbr. 5). Dengan hipotesis induksi. Di samping itu, . Menambahkan persamaan ini dan dengan mempertimbangkan bahwa (- sudut balok bagian dalam ) Dan (- sudut balok bagian dalam ), kita dapatkan Ketika kita mendapatkan: .

3 Tentang poligon beraturan apa pun dimungkinkan untuk menggambarkan lingkaran, dan terlebih lagi, hanya satu.

D-in: Membiarkan poligon beraturan, dan dan menjadi garis-bagi dari sudut, dan (Gbr. 150). Karena, oleh karena itu, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке TENTANG. Ayo buktikan HAI = OA 2 = TENTANG =… = OA P . Segi tiga TENTANG sama kaki, oleh karena itu TENTANG= TENTANG. Menurut kriteria kedua untuk persamaan segitiga, oleh karena itu, TENTANG = TENTANG. Demikian pula, terbukti bahwa TENTANG = TENTANG dll. Jadi intinya TENTANG berjarak sama dari semua simpul poligon, sehingga lingkaran dengan pusat TENTANG radius TENTANG dibatasi tentang poligon.

Mari kita buktikan bahwa hanya ada satu lingkaran yang dibatasi. Pertimbangkan beberapa tiga simpul poligon, misalnya, TETAPI 2 , . Karena hanya satu lingkaran yang melalui titik-titik ini, maka tentang poligon … Anda tidak dapat mendeskripsikan lebih dari satu lingkaran.

• 4 Dalam poligon biasa mana pun, Anda dapat membuat lingkaran dan, terlebih lagi, hanya satu.
• 5 Sebuah lingkaran bertulisan pada poligon beraturan menyentuh sisi-sisi poligon pada titik tengahnya.
• 6 Pusat lingkaran yang membatasi poligon beraturan bertepatan dengan pusat lingkaran yang berada pada poligon yang sama.
• 7 Simetri:

Suatu bangun dikatakan simetris (simetris) jika terdapat suatu gerakan (tidak identik) yang mengubah bangun tersebut menjadi dirinya sendiri.

• 7.1. Segitiga umum tidak memiliki sumbu atau pusat simetri, tidak simetris. Segitiga sama kaki (tetapi tidak sama sisi) memiliki satu sumbu simetri: garis bagi yang tegak lurus dengan alasnya.
• 7.2. Segitiga sama sisi memiliki tiga sumbu simetri (garis-bagi tegak lurus ke sisi) dan simetri putar tentang pusat dengan sudut rotasi 120°.

7.3 Setiap n-gon beraturan memiliki n sumbu simetri, yang semuanya melalui pusatnya. Ini juga memiliki simetri rotasi tentang pusat dengan sudut rotasi.

Bahkan n beberapa sumbu simetri melewati titik yang berlawanan, yang lain melalui titik tengah sisi yang berlawanan.

Untuk ganjil n setiap sumbu melewati titik sudut dan titik tengah sisi yang berhadapan.

Pusat poligon beraturan dengan jumlah sisi genap adalah pusat simetrinya. Suatu poligon beraturan dengan jumlah sisi ganjil tidak memiliki pusat simetri.

8 Kesamaan:

Dengan kesamaan, dan -gon masuk ke -gon, setengah bidang - menjadi setengah bidang, oleh karena itu cembung n-gon menjadi cembung n-gon.

Teorema: Jika sisi dan sudut poligon cembung dan memenuhi persamaan:

di mana adalah koefisien podium

maka poligon ini serupa.

• 8.1 Rasio keliling dua poligon serupa sama dengan koefisien kesamaan.
• 8.2. Perbandingan luas dua poligon yang cembung sama dengan kuadrat dari koefisien kesamaan.

teorema keliling segitiga poligon

Poligon topik - kelas 8:

Garis yang berdekatan dan tidak terletak pada satu garis lurus disebut garis putus-putus.

Ujung-ujung segmen tersebut adalah puncak.

Setiap potong- tautan.

Dan semua jumlah panjang segmen membentuk total panjang garis putus-putus. Misalnya, AM + ME + EK + KO = panjang polyline

Jika segmen tertutup, maka poligon(Lihat di atas) .

Tautan dalam poligon disebut Para Pihak.

Jumlah panjang sisi- keliling poligon.

Titik-titik pada sisi yang sama adalah berdekatan.

Ruas garis yang menghubungkan simpul-simpul yang tidak bersebelahan disebut diagonal.

poligon ditelepon dengan jumlah sisi: segi lima, segi enam, dll.

Segala sesuatu di dalam poligon adalah bagian dalam pesawat, dan segala sesuatu di luar - bagian luar pesawat.

Catatan! Gambar di bawah ini- ini BUKAN poligon, karena ada titik umum tambahan pada garis lurus yang sama untuk segmen yang tidak berdekatan.

Poligon cembung terletak di satu sisi setiap baris. Untuk menentukannya secara mental (atau menggambar) kami melanjutkan setiap sisi.

Dalam poligon banyaknya sudut sebanyak sisinya.

Dalam poligon cembung jumlah semua sudut dalam adalah sama dengan (n-2)*180 °. n adalah jumlah sudut.

Poligon disebut Baik jika semua sisi dan sudutnya sama besar. Jadi perhitungan sudut internalnya dilakukan sesuai dengan rumus (di mana n adalah jumlah sudut): 180 ° * (n-2) / n

Di bawah ini adalah poligon, jumlah sudutnya, dan berapa besar salah satu sudutnya.

Sudut luar poligon cembung dihitung sebagai berikut:

​​​​​​​

Subjek, usia siswa: geometri, kelas 9

Tujuan pelajaran: mempelajari jenis poligon.

Tugas pembelajaran: memperbarui, memperluas, dan menggeneralisasi pengetahuan siswa tentang poligon; membentuk gagasan tentang "komponen" poligon; melakukan studi tentang jumlah elemen penyusun poligon beraturan (dari segitiga ke n-gon);

Mengembangkan tugas: mengembangkan kemampuan menganalisis, membandingkan, menarik kesimpulan, mengembangkan keterampilan komputasi, berbicara matematis lisan dan tulisan, daya ingat, serta kemandirian dalam kegiatan berpikir dan belajar, kemampuan bekerja berpasangan dan kelompok; mengembangkan kegiatan penelitian dan pendidikan;

Tugas pendidikan: menumbuhkan kemandirian, aktivitas, tanggung jawab atas tugas yang diberikan, ketekunan dalam mencapai tujuan.

Selama kelas: kutipan ditulis di papan tulis

"Alam berbicara dalam bahasa matematika, huruf-huruf dari bahasa ini ... angka-angka matematika." G. Gallilei

Di awal pelajaran, kelas dibagi menjadi kelompok-kelompok kerja (dalam kasus kami, pembagian menjadi kelompok-kelompok yang masing-masing terdiri dari 4 orang - jumlah anggota kelompok sama dengan jumlah kelompok pertanyaan).

1. Tahap panggilan-

Sasaran:

a) memperbarui pengetahuan siswa tentang topik;

b) bangkitnya minat terhadap topik yang dipelajari, motivasi setiap siswa untuk kegiatan belajar.

Penerimaan: Permainan "Apakah Anda percaya bahwa ...", organisasi kerja dengan teks.

Bentuk pekerjaan: frontal, kelompok.

“Apakah kamu percaya bahwa ….”

1. ... kata "poligon" menunjukkan bahwa semua figur keluarga ini memiliki "banyak sudut"?

2. … apakah segitiga termasuk dalam keluarga besar poligon yang menonjol di antara banyak bentuk geometris yang berbeda pada bidang?

3. …apakah persegi merupakan segi delapan beraturan (empat sisi + empat sudut)?

Hari ini dalam pelajaran kita akan berbicara tentang poligon. Kita belajar bahwa angka ini dibatasi oleh garis putus-putus tertutup, yang pada gilirannya bisa sederhana, tertutup. Mari kita bicara tentang fakta bahwa poligon itu datar, teratur, cembung. Salah satu poligon datar adalah segitiga yang sudah lama Anda kenal (Anda dapat menunjukkan kepada siswa poster yang menggambarkan poligon, garis putus-putus, menunjukkan berbagai jenisnya, Anda juga dapat menggunakan TCO).

2. Tahap pemahaman

Tujuan: memperoleh informasi baru, pemahamannya, pemilihan.

Penerimaan: zigzag.

Bentuk kerja: individu->pasangan->kelompok.

Setiap kelompok diberikan teks tentang topik pelajaran, dan teks dirancang sedemikian rupa sehingga mencakup informasi yang sudah diketahui siswa dan informasi yang sama sekali baru. Bersama dengan teks, siswa menerima pertanyaan, yang jawabannya harus ditemukan dalam teks ini.

Poligon. Jenis poligon.

Siapa yang belum pernah mendengar tentang Segitiga Bermuda yang misterius, di mana kapal dan pesawat menghilang tanpa jejak? Tetapi segitiga yang kita kenal sejak kecil penuh dengan banyak hal menarik dan misterius.

Selain jenis-jenis segitiga yang sudah kita ketahui, dibagi berdasarkan sisi (sisi sama kaki, sama kaki, sama sisi) dan sudut (sudut lancip, siku-siku tumpul, siku-siku), segitiga termasuk dalam keluarga besar poligon yang dibedakan dari banyak bentuk geometris yang berbeda di pesawat.

Kata "poligon" menunjukkan bahwa semua figur keluarga ini memiliki "banyak sudut". Tapi ini tidak cukup untuk mencirikan sosok itu.

Garis putus-putus A 1 A 2 ... A n adalah bangun datar yang terdiri dari titik-titik A 1, A 2, ... A n dan ruas-ruas A 1 A 2, A 2 A 3, ... menghubungkannya. Titik-titik disebut simpul dari polyline, dan segmen disebut link dari polyline. (gbr.1)

Garis putus-putus disebut sederhana jika tidak memiliki titik potong sendiri (Gbr. 2,3).

Garis putus-putus disebut tertutup jika ujung-ujungnya berhimpitan. Panjang garis putus-putus adalah jumlah dari panjang tautannya (Gbr. 4).

Garis putus-putus tertutup sederhana disebut poligon jika tautan yang berdekatan tidak terletak pada garis lurus yang sama (Gbr. 5).

Gantikan dalam kata "poligon" alih-alih bagian "banyak" dengan nomor tertentu, misalnya 3. Anda akan mendapatkan segitiga. Atau 5. Lalu - segi lima. Perhatikan bahwa jumlah sudut sama banyaknya dengan jumlah sisi, sehingga angka-angka ini bisa disebut multilateral.

Simpul dari polyline disebut simpul dari poligon, dan link dari polyline disebut sisi poligon.

Poligon membagi bidang menjadi dua wilayah: internal dan eksternal (Gbr. 6).

Poligon bidang atau daerah poligonal adalah bagian berhingga dari bidang yang dibatasi oleh poligon.

Dua simpul dari poligon yang ujung-ujungnya bersisi sama disebut bertetangga. Simpul yang bukan ujung dari satu sisi adalah tidak bersebelahan.

Sebuah poligon dengan n simpul dan oleh karena itu n sisi disebut n-gon.

Meskipun jumlah sisi poligon terkecil adalah 3. Tetapi segitiga, yang saling berhubungan, dapat membentuk bentuk lain, yang pada gilirannya juga merupakan poligon.

Segmen yang menghubungkan simpul yang tidak bertetangga dari poligon disebut diagonal.

Suatu poligon disebut cembung jika terletak pada satu setengah bidang terhadap sembarang garis yang memuat sisinya. Dalam hal ini, garis lurus itu sendiri dianggap milik setengah bidang.

Sudut poligon cembung pada titik tertentu adalah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang konvergen pada titik tersebut.

Mari kita buktikan teorema (pada jumlah sudut n-gon cembung): Jumlah sudut n-gon cembung sama dengan 180 0 *(n - 2).

Bukti. Dalam kasus n=3 teorema ini valid. Misalkan 1 2 …А n adalah poligon cembung dan n>3. Mari kita menggambar diagonal di dalamnya (dari satu titik). Karena poligon cembung, diagonal ini membaginya menjadi n - 2 segitiga. Jumlah sudut poligon sama dengan jumlah sudut semua segitiga ini. Jumlah sudut setiap segitiga adalah 180 0, dan jumlah segitiga ini adalah n - 2. Jadi, jumlah sudut cembung n - sudut A 1 A 2 ... A n adalah 180 0 * ( n - 2). Teorema telah terbukti.

Sudut luar poligon cembung pada titik tertentu adalah sudut yang berdekatan dengan sudut interior poligon pada titik tersebut.

Poligon cembung disebut beraturan jika semua sisinya sama dan semua sudutnya sama besar.

Jadi bujur sangkar bisa disebut berbeda - segi empat biasa. Segitiga sama sisi juga beraturan. Sosok-sosok seperti itu telah lama menarik bagi para empu yang mendekorasi bangunan. Mereka membuat pola yang indah, misalnya, di parket. Namun tidak semua poligon beraturan dapat digunakan untuk membentuk parket. Parket tidak dapat dibentuk dari segi delapan biasa. Faktanya adalah bahwa mereka memiliki setiap sudut sama dengan 135 0. Dan jika ada titik yang merupakan titik dari dua segi delapan tersebut, maka mereka akan memiliki 270 0, dan tidak ada tempat untuk segi delapan ketiga yang cocok: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Tapi cukup untuk persegi. Oleh karena itu, parket dapat dilipat dari segi delapan dan kotak biasa.

Bintang-bintang itu benar. Bintang berujung lima kami adalah bintang pentagonal biasa. Dan jika Anda memutar persegi di sekitar pusat sebesar 45 0, Anda mendapatkan bintang segi delapan biasa.

1 grup

Apa itu garis putus-putus? Jelaskan apa itu vertex dan link dari polyline.

Garis putus-putus mana yang disebut sederhana?

Garis putus mana yang disebut tertutup?

Apa itu poligon? Apa yang disebut simpul poligon? Apa sisi poligon?

2 grup

Apa itu poligon datar? Berikan contoh poligon.

Apa itu n-gon?

Jelaskan mana simpul poligon yang bertetangga dan mana yang tidak.

Apa diagonal poligon?

3 grup

Apa itu poligon cembung?

Jelaskan mana sudut poligon yang eksternal dan mana yang internal?

Apa itu poligon beraturan? Berikan contoh poligon beraturan.

4 grup

Berapa jumlah sudut n-gon yang cembung? Buktikan itu.

Siswa bekerja dengan teks, mencari jawaban atas pertanyaan yang diajukan, setelah itu kelompok ahli dibentuk, di mana pekerjaan dilakukan pada masalah yang sama: siswa menyoroti hal utama, menyusun abstrak pendukung, menyajikan informasi di salah satu bentuk grafik. Di akhir pekerjaan, siswa kembali ke kelompok kerja mereka.

3. Tahap refleksi -

a) penilaian pengetahuan mereka, tantangan untuk langkah pengetahuan berikutnya;

b) pemahaman dan penggunaan informasi yang diterima.

Penerimaan: pekerjaan penelitian.

Bentuk kerja: individu->pasangan->kelompok.

Kelompok kerja ahli dalam menjawab setiap bagian dari pertanyaan yang diajukan.

Kembali ke kelompok kerja, pakar memperkenalkan anggota kelompok yang lain dengan jawaban atas pertanyaan mereka. Dalam kelompok terjadi pertukaran informasi dari semua anggota kelompok kerja. Jadi, di setiap kelompok kerja, berkat kerja para ahli, ide umum terbentuk tentang topik yang diteliti.

Pekerjaan penelitian siswa - mengisi tabel.

Poligon beraturan	Menggambar	Jumlah sisi	Jumlah puncak	Jumlah semua sudut dalam	Ukuran derajat int. sudut	Ukuran derajat sudut luar	Jumlah diagonal
A. segitiga
B) segi empat
B) lima dinding
D) segi enam
E) n-gon

Memecahkan masalah menarik tentang topik pelajaran.

• Pada segi empat, buatlah garis sehingga membaginya menjadi tiga segitiga.
• Berapa banyak sisi yang dimiliki poligon beraturan, yang masing-masing sudut dalamnya sama dengan 135 0 ?
• Dalam poligon tertentu, semua sudut interior sama satu sama lain. Dapatkah jumlah sudut dalam poligon ini menjadi: 360 0 , 380 0 ?

Menyimpulkan pelajaran. Merekam pekerjaan rumah.