Rumus umum sinus dalam trigonometri. Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen - semua yang perlu Anda ketahui di OGE dan USE

Rasio antara fungsi trigonometri utama - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan karena ada cukup banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini juga menjelaskan banyaknya rumus trigonometri. Beberapa rumus menghubungkan fungsi trigonometri dari sudut yang sama, yang lain - fungsi beberapa sudut, yang lain - memungkinkan Anda untuk menurunkan derajat, yang keempat - untuk mengekspresikan semua fungsi melalui garis singgung setengah sudut, dll.

Dalam artikel ini, kami membuat daftar secara berurutan semua rumus trigonometri dasar, yang cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan menghafal dan penggunaan, kami akan mengelompokkannya sesuai dengan tujuannya, dan memasukkannya ke dalam tabel.

Navigasi halaman.

Identitas trigonometri dasar

Identitas trigonometri dasar mengatur hubungan antara sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta konsep lingkaran satuan. Mereka memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi trigonometri melalui yang lain.

Untuk penjelasan rinci tentang rumus trigonometri ini, turunan dan contoh aplikasinya, lihat artikel.

Cast formula

Cast formula mengikuti dari sifat-sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, yaitu, mereka mencerminkan sifat periodisitas fungsi trigonometri, sifat simetri, dan juga sifat pergeseran dengan sudut tertentu. Rumus trigonometri ini memungkinkan Anda untuk beralih dari bekerja dengan sudut sembarang ke bekerja dengan sudut mulai dari nol hingga 90 derajat.

Alasan untuk formula ini, aturan mnemonik untuk menghafalnya, dan contoh penerapannya dapat dipelajari di artikel.

Rumus Tambahan

Rumus penjumlahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri dari jumlah atau perbedaan dua sudut dinyatakan dalam fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Rumus-rumus ini berfungsi sebagai dasar untuk penurunan rumus trigonometri berikut.

Rumus untuk double, triple, dll. sudut

Rumus untuk double, triple, dll. sudut (juga disebut rumus sudut ganda) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri ganda, tiga, dll. sudut () dinyatakan dalam fungsi trigonometri sudut tunggal. Derivasi mereka didasarkan pada formula tambahan.

Informasi lebih rinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dll. sudut .

Rumus Setengah Sudut

Rumus Setengah Sudut menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri setengah sudut dinyatakan dalam kosinus sudut bilangan bulat. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut ganda.

Kesimpulan dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel.

Rumus pengurangan

Rumus trigonometri untuk menurunkan derajat dirancang untuk memfasilitasi transisi dari kekuatan alami fungsi trigonometri ke sinus dan kosinus di tingkat pertama, tetapi beberapa sudut. Dengan kata lain, mereka memungkinkan seseorang untuk mengurangi kekuatan fungsi trigonometri menjadi yang pertama.

Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri

Tujuan utama rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri terdiri dari transisi ke produk fungsi, yang sangat berguna saat menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus ini juga banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, karena memungkinkan pemfaktoran jumlah dan perbedaan sinus dan cosinus.

Rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus

Transisi dari produk fungsi trigonometri ke jumlah atau perbedaan dilakukan melalui rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus.

Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.

Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Kami memulai studi trigonometri kami dengan segitiga siku-siku. Mari kita definisikan apa itu sinus dan kosinus, serta tangen dan kotangen dari sudut lancip. Ini adalah dasar-dasar trigonometri.

Ingat itu sudut kanan adalah sudut yang besarnya sama dengan 90 derajat. Dengan kata lain, setengah dari sudut yang tidak dilipat.

Sudut tajam- kurang dari 90 derajat.

Sudut tumpul- lebih besar dari 90 derajat. Sehubungan dengan sudut seperti itu, "tumpul" bukanlah penghinaan, tetapi istilah matematika :-)

Mari kita menggambar segitiga siku-siku. Sudut siku-siku biasanya dilambangkan . Perhatikan bahwa sisi di seberang sudut dilambangkan dengan huruf yang sama, hanya kecil. Jadi, sisi yang terletak di seberang sudut A dilambangkan.

Sebuah sudut dilambangkan dengan huruf Yunani yang sesuai.

Sisi miring Segitiga siku-siku adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku.

Kaki- sisi berlawanan sudut tajam.

Kaki yang berhadapan dengan sudut disebut di depan(relatif terhadap sudut). Kaki lainnya, yang terletak di satu sisi sudut, disebut bersebelahan.

sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring:

Kosinus sudut akut dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:

Garis singgung sudut akut dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berlawanan dengan yang berdekatan:

Definisi lain (setara): tangen sudut lancip adalah rasio sinus suatu sudut terhadap kosinusnya:

Kotangens sudut akut dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berdekatan dengan yang berlawanan (atau, setara, rasio cosinus dengan sinus):

Perhatikan rasio dasar untuk sinus, cosinus, tangen dan kotangen, yang diberikan di bawah ini. Mereka akan berguna bagi kita dalam memecahkan masalah.

Mari kita buktikan beberapa di antaranya.

Oke, kami telah memberikan definisi dan rumus tertulis. Tetapi mengapa kita membutuhkan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen?

Kami tahu itu jumlah sudut setiap segitiga adalah.

Kita tahu hubungan antara Para Pihak segitiga siku-siku. Ini adalah teorema Pythagoras: .

Ternyata mengetahui dua sudut dalam segitiga, Anda dapat menemukan yang ketiga. Mengetahui dua sisi dalam segitiga siku-siku, Anda dapat menemukan yang ketiga. Jadi, untuk sudut - rasionya, untuk sisi - miliknya. Tetapi apa yang harus dilakukan jika dalam segitiga siku-siku satu sudut (kecuali yang siku-siku) dan satu sisi diketahui, tetapi Anda perlu menemukan sisi lain?

Inilah yang dihadapi orang-orang di masa lalu, membuat peta wilayah dan langit berbintang. Lagi pula, tidak selalu mungkin untuk mengukur semua sisi segitiga secara langsung.

Sinus, cosinus dan tangen - mereka juga disebut fungsi trigonometri sudut- berikan perbandingan antara Para Pihak dan sudut segi tiga. Mengetahui sudutnya, Anda dapat menemukan semua fungsi trigonometrinya menggunakan tabel khusus. Dan mengetahui sinus, cosinus dan garis singgung dari sudut segitiga dan salah satu sisinya, Anda dapat menemukan sisanya.

Kami juga akan menggambar tabel nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sudut "baik" dari ke.

Perhatikan dua garis merah di tabel. Untuk nilai sudut yang sesuai, garis singgung dan kotangen tidak ada.

Mari kita analisa beberapa soal trigonometri dari tugas Bank FIPI.

1. Dalam segitiga, sudutnya adalah , . Menemukan .

Masalahnya diselesaikan dalam empat detik.

Sejauh , .

2. Dalam segitiga, sudutnya adalah , , . Menemukan .

Mari kita cari dengan teorema Pythagoras.

Masalah terpecahkan.

Seringkali dalam masalah ada segitiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan . Hafalkan rasio dasar untuk mereka dengan hati!

Untuk segitiga dengan sudut dan kaki di depan sudut di sama dengan setengah dari hipotenusa.

Segitiga dengan sudut dan sama kaki. Di dalamnya, sisi miringnya kali lebih besar dari kaki.

Kami mempertimbangkan masalah untuk memecahkan segitiga siku-siku - yaitu, untuk menemukan sisi atau sudut yang tidak diketahui. Tapi itu tidak semua! Dalam varian ujian dalam matematika, ada banyak tugas di mana sinus, kosinus, tangen atau kotangen dari sudut luar segitiga muncul. Lebih lanjut tentang ini di artikel berikutnya.

Saya tidak akan meyakinkan Anda untuk tidak menulis lembar contekan. Menulis! Termasuk lembar contekan pada trigonometri. Nanti saya berencana untuk menjelaskan mengapa lembar contekan diperlukan dan bagaimana lembar contekan berguna. Dan di sini - informasi tentang bagaimana tidak belajar, tetapi untuk mengingat beberapa rumus trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa lembar contekan! Kami menggunakan asosiasi untuk menghafal.

1. Rumus penambahan:

cosinus selalu "berpasangan": cosinus-cosinus, sinus-sinus. Dan satu hal lagi: cosinus "tidak memadai". Mereka "semuanya salah", jadi mereka mengubah tanda: "-" menjadi "+", dan sebaliknya.

Sinus - "campuran": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Rumus jumlah dan selisih:

kosinus selalu "berpasangan". Setelah menambahkan dua cosinus - "roti", kami mendapatkan sepasang cosinus - "kolobok". Dan dikurangi, kita pasti tidak akan mendapatkan kolobok. Kami mendapatkan beberapa sinus. Masih dengan minus di depan.

Sinus - "campuran" :

3. Rumus untuk mengubah produk menjadi jumlah dan selisih.

Kapan kita mendapatkan sepasang cosinus? Saat menambahkan kosinus. Jadi

Kapan kita mendapatkan sepasang sinus? Saat mengurangkan kosinus. Dari sini:

"Pencampuran" diperoleh dengan menambahkan dan mengurangi sinus. Mana yang lebih menyenangkan: menambah atau mengurangi? Itu benar, lipat. Dan untuk rumusnya ambil tambahan:

Dalam rumus pertama dan ketiga dalam tanda kurung - jumlahnya. Dari penataan ulang tempat istilah, jumlahnya tidak berubah. Urutannya penting hanya untuk formula kedua. Tapi, agar tidak bingung, untuk memudahkan mengingat, pada ketiga rumus di kurung pertama kita ambil selisihnya

dan kedua, jumlah

Seprai buaian di saku Anda memberikan ketenangan pikiran: jika Anda lupa formulanya, Anda dapat menghapusnya. Dan mereka memberi kepercayaan: jika Anda gagal menggunakan lembar contekan, rumusnya dapat dengan mudah diingat.

Trigonometri, sebagai ilmu, berasal dari Timur Kuno. Rasio trigonometri pertama dikembangkan oleh para astronom untuk membuat kalender yang akurat dan berorientasi pada bintang-bintang. Perhitungan ini berkaitan dengan trigonometri bola, sedangkan di sekolah mereka mempelajari perbandingan sisi dan sudut segitiga datar.

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat fungsi trigonometri dan hubungan antara sisi dan sudut segitiga.

Pada masa kejayaan kebudayaan dan ilmu pengetahuan pada milenium 1 Masehi, pengetahuan menyebar dari Timur Kuno hingga Yunani. Tapi penemuan utama trigonometri adalah jasa orang-orang dari Kekhalifahan Arab. Secara khusus, ilmuwan Turkmenistan al-Marazvi memperkenalkan fungsi-fungsi seperti tangen dan kotangen, menyusun tabel nilai pertama untuk sinus, tangen, dan kotangen. Konsep sinus dan cosinus diperkenalkan oleh para ilmuwan India. Banyak perhatian dicurahkan pada trigonometri dalam karya-karya tokoh besar zaman kuno seperti Euclid, Archimedes, dan Eratosthenes.

Besaran dasar trigonometri

Fungsi trigonometri dasar dari argumen numerik adalah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Masing-masing dari mereka memiliki grafiknya sendiri: sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.

Rumus untuk menghitung nilai besaran ini didasarkan pada teorema Pythagoras. Lebih dikenal oleh anak sekolah dalam rumusan: "Celana Pythagoras, sama ke segala arah," karena bukti diberikan pada contoh segitiga siku-siku sama kaki.

Sinus, kosinus, dan ketergantungan lainnya membentuk hubungan antara sudut lancip dan sisi segitiga siku-siku. Kami memberikan rumus untuk menghitung jumlah ini untuk sudut A dan melacak hubungan fungsi trigonometri:

Seperti yang Anda lihat, tg dan ctg adalah fungsi invers. Jika kita menyatakan kaki a sebagai produk dari sin A dan sisi miring c, dan kaki b sebagai cos A * c, maka kita mendapatkan rumus untuk garis singgung dan kotangen berikut:

lingkaran trigonometri

Secara grafis, rasio besaran-besaran tersebut dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Lingkaran, dalam hal ini, mewakili semua kemungkinan nilai sudut - dari 0° hingga 360°. Seperti dapat dilihat dari gambar, setiap fungsi mengambil nilai negatif atau positif tergantung pada sudutnya. Misalnya, sin akan bertanda “+” jika termasuk dalam seperempat lingkaran I dan II, yaitu berkisar antara 0 ° hingga 180 °. Dengan dari 180° hingga 360° (perempat III dan IV), sin hanya dapat bernilai negatif.

Mari kita coba membuat tabel trigonometri untuk sudut tertentu dan mencari tahu arti besaran.

Nilai sama dengan 30°, 45°, 60°, 90°, 180° dan seterusnya disebut kasus khusus. Nilai fungsi trigonometri untuk mereka dihitung dan disajikan dalam bentuk tabel khusus.

Sudut-sudut ini tidak dipilih secara kebetulan. Penunjukan dalam tabel adalah untuk radian. Rad adalah sudut di mana panjang busur lingkaran sesuai dengan jari-jarinya. Nilai ini diperkenalkan untuk membangun hubungan universal; ketika menghitung dalam radian, panjang jari-jari sebenarnya dalam cm tidak masalah.

Sudut dalam tabel untuk fungsi trigonometri sesuai dengan nilai radian:

Jadi, tidak sulit untuk menebak bahwa 2π adalah lingkaran penuh atau 360°.

Sifat-sifat fungsi trigonometri: sinus dan kosinus

Untuk mempertimbangkan dan membandingkan sifat dasar sinus dan kosinus, tangen dan kotangen, perlu untuk menggambar fungsinya. Ini dapat dilakukan dalam bentuk kurva yang terletak dalam sistem koordinat dua dimensi.

Pertimbangkan tabel perbandingan properti untuk gelombang sinus dan gelombang kosinus:

sinusoida	gelombang kosinus
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; satu]	ODZ [-1; satu]
sin x = 0, untuk x = k, dimana k Z	cos x = 0, untuk x = /2 + k, dimana k Z
sin x = 1, untuk x = /2 + 2πk, dimana k Z	cos x = 1, untuk x = 2πk, dimana k Z
sin x = - 1, pada x = 3π/2 + 2πk, dimana k Z	cos x = - 1, untuk x = + 2πk, dimana k Z
sin (-x) = - sin x, yaitu fungsi ganjil	cos (-x) = cos x, yaitu fungsi genap
	fungsi periodik, periode terkecil adalah 2π
sin x 0, dengan x milik kuartal I dan II atau dari 0° hingga 180° (2πk, + 2πk)	cos x 0, dengan x milik kuartal I dan IV atau dari 270° sampai 90° (- /2 + 2πk, /2 + 2πk)
sin x 0, dengan x milik kuartal III dan IV atau dari 180° hingga 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x 0, dengan x milik kuartal II dan III atau dari 90° sampai 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
meningkat pada interval [- /2 + 2πk, /2 + 2πk]	meningkat pada interval [-π + 2πk, 2πk]
menurun pada interval [ /2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	menurun dalam interval
turunan (sin x)' = cos x	turunan (cos x)’ = - sin x

Menentukan apakah suatu fungsi genap atau tidak sangat sederhana. Cukup membayangkan lingkaran trigonometri dengan tanda-tanda kuantitas trigonometri dan secara mental "melipat" grafik relatif terhadap sumbu OX. Jika tanda-tandanya sama, fungsinya genap; jika tidak, itu ganjil.

Pengenalan radian dan penghitungan sifat-sifat utama gelombang sinusoidal dan kosinus memungkinkan kita untuk membawa keteraturan berikut:

Sangat mudah untuk memverifikasi kebenaran formula. Misalnya, untuk x = /2, sinus sama dengan 1, demikian juga cosinus dari x = 0. Verifikasi dapat dilakukan dengan melihat tabel atau dengan menelusuri kurva fungsi untuk nilai yang diberikan.

Sifat-sifat tangentoid dan cotangentoid

Grafik fungsi tangen dan kotangen berbeda secara signifikan dari gelombang sinusoidal dan kosinus. Nilai tg dan ctg saling terbalik.

1. Y = tgx.
2. Garis singgung cenderung ke nilai y di x = /2 + k, tetapi tidak pernah mencapainya.
3. Periode positif terkecil dari tangentoid adalah .
4. Tg (- x) \u003d - tg x, mis., fungsinya ganjil.
5. Tg x = 0, untuk x = k.
6. Fungsinya meningkat.
7. Tg x 0, untuk x (πk, /2 + k).
8. Tg x 0, untuk x (— /2 + k, k).
9. Turunan (tg x)' = 1/cos 2 x .

Pertimbangkan representasi grafis dari kotangentoid di bawah ini dalam teks.

Sifat-sifat utama kotangentoid:

1. Y = ctgx.
2. Berbeda dengan fungsi sinus dan cosinus, pada tangentoid Y dapat mengambil nilai himpunan semua bilangan real.
3. Kotangentoid cenderung ke nilai y pada x = k, tetapi tidak pernah mencapainya.
4. Periode positif terkecil dari kotangentoid adalah .
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, mis., fungsinya ganjil.
6. Ctg x = 0, untuk x = /2 + k.
7. Fungsinya menurun.
8. Ctg x 0, untuk x (πk, /2 + k).
9. Ctg x 0, untuk x (π/2 + k, k).
10. Turunan (ctg x)' = - 1/sin 2 x Fix