Pi-ի համառոտ պատմությունը. Ո՞րն է «Պի» թիվը, կամ ինչպես են երդվում մաթեմատիկոսները

Ամենաներից մեկը առեղծվածային թվեր, մարդկությանը հայտնի, անշուշտ, Պ թիվն է (կարդա՝ պի)։ Հանրահաշվում այս թիվը արտացոլում է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունը: Նախկինում այս քանակությունը կոչվում էր Լյուդոլֆի թիվ։ Թե ինչպես և որտեղից է եկել Pi թիվը, հստակ հայտնի չէ, բայց մաթեմատիկոսները Պ թվի ողջ պատմությունը բաժանում են 3 փուլերի՝ թվային համակարգիչների հնագույն, դասական և դարաշրջանի։

P թիվը իռացիոնալ է, այսինքն՝ այն չի կարող ներկայացվել որպես պարզ կոտորակ, որտեղ համարիչն ու հայտարարը ամբողջ թվեր են։ Հետեւաբար, նման թիվը վերջ չունի եւ պարբերական է։ Պ–ի իռացիոնալությունն առաջին անգամ ապացուցել է Ի.Լամբերտը 1761 թ.

Բացի այս հատկությունից, P թիվը չի կարող լինել նաև որևէ բազմանդամի արմատ, և, հետևաբար, թվային հատկություն է, երբ այն ապացուցվեց 1882 թվականին, այն վերջ դրեց մաթեմատիկոսների գրեթե սուրբ վեճին «շրջանի քառակուսիների մասին»: », որը տևեց 2500 տարի։

Հայտնի է, որ առաջինը, ով այս թվի նշումը մտցրեց բրիտանացի Ջոնսը 1706թ. Այն բանից հետո, երբ հայտնվեց Էյլերի աշխատանքը, նման անվանման օգտագործումը դարձավ ընդհանուր ընդունված:

Մանրամասն հասկանալու համար, թե որն է Pi թիվը, պետք է ասել, որ դրա օգտագործումն այնքան տարածված է, որ նույնիսկ դժվար է անվանել գիտության մի ոլորտ, որտեղ այն կբացառվի։ Ամենապարզ և ծանոթներից մեկը դպրոցական ծրագիրարժեքները երկրաչափական ժամանակաշրջանի նշանակումն է: Շրջանակի երկարության և տրամագծի երկարության հարաբերությունը հաստատուն է և հավասար է 3,14-ի:Այս արժեքը հայտնի էր նույնիսկ Հնդկաստանի, Հունաստանի, Բաբելոնի, Եգիպտոսի ամենահին մաթեմատիկոսներին: Հարաբերակցությունը հաշվարկելու ամենավաղ տարբերակը թվագրվում է մ.թ.ա. 1900 թվականին: ե. Ավելի մոտ ժամանակակից իմաստ P-ն հաշվարկել է չինացի գիտնական Լյու Հուին, բացի այդ, նա հորինել է և արագ ճանապարհնման հաշվարկ. Դրա արժեքը մնաց ընդհանուր առմամբ ընդունված գրեթե 900 տարի:

Մաթեմատիկայի զարգացման դասական շրջանը նշանավորվեց նրանով, որ ճշգրիտ պարզելու համար, թե որն է Pi թիվը, գիտնականները սկսեցին օգտագործել մեթոդներ. մաթեմատիկական վերլուծություն. 1400-ական թվականներին հնդիկ մաթեմատիկոս Մադավան օգտագործեց շարքերի տեսությունը՝ տասնորդական կետից հետո 11 նիշի ճշգրտությամբ հաշվարկելու և որոշելու P թվի պարբերությունը։ Առաջին եվրոպացին, Արքիմեդից հետո, ով ուսումնասիրեց P թիվը և նշանակալի ներդրում ունեցավ դրա հիմնավորման մեջ, հոլանդացի Լյուդոլֆ վան Զելենն էր, ով տասնորդական կետից հետո արդեն որոշել էր 15 նիշ և իր կտակում գրել էր շատ զվարճալի բառեր. ով հետաքրքրված է՝ թող գնա ավելի հեռուն»։ Հենց այս գիտնականի պատվին P թիվը ստացավ պատմության մեջ իր առաջին և միակ անվանական անվանումը։

Համակարգչային հաշվարկների դարաշրջանը նոր մանրամասներ բերեց P թվի էությունը հասկանալու համար: Այսպիսով, պարզելու համար, թե որն է Pi թիվը, 1949 թվականին առաջին անգամ օգտագործվեց ENIAC համակարգիչը, որի մշակողներից մեկը: Ժամանակակից համակարգիչների տեսության ապագա «հայրն» էր J: Առաջին չափումն իրականացվել է 70 ժամվա ընթացքում և տվել է 2037 նիշ տասնորդական կետից հետո P թվի ժամանակաշրջանում: Մեկ միլիոն նիշի նշանը հասել է 1973 թվականին: . Բացի այդ, այս ժամանակահատվածում հաստատվեցին այլ բանաձևեր, որոնք արտացոլում են P թիվը: Այսպիսով, Չուդնովսկի եղբայրները կարողացան գտնել մեկը, որը հնարավորություն տվեց հաշվարկել ժամանակաշրջանի 1,011,196,691 թվանշանները:

Ընդհանուր առմամբ, պետք է նշել, որ «Ի՞նչ է Pi թիվը» հարցին պատասխանելու համար շատ ուսումնասիրություններ սկսեցին նմանվել մրցույթների։ Այսօր գերհամակարգիչներն արդեն զբաղվում են այն հարցով, թե իրականում ինչ է դա՝ Pi թիվը։ Հետաքրքիր փաստերԱյս ուսումնասիրությունների հետ կապված ներթափանցում են մաթեմատիկայի գրեթե ողջ պատմությունը:

Այսօր, օրինակ, աշխարհի առաջնություններ են անցկացվում P թիվը անգիր անելու մեջ և սահմանվում են համաշխարհային ռեկորդներ, վերջինս պատկանում է չինացի Լյու Չաոյին, ով մեկ օրում 67890 նիշ է անվանել։ Աշխարհում կա անգամ P թվի տոն, որը նշվում է որպես «Պի օր»։

2011 թվականի դրությամբ արդեն հաստատվել է թվային ժամանակաշրջանի 10 տրիլիոն նիշ։

Այն պահից, երբ մարդիկ հաշվելու կարողություն ունեցան և սկսեցին ուսումնասիրել աբստրակտ առարկաների հատկությունները, որոնք կոչվում են թվեր, հետաքրքրասեր մտքի սերունդները հետաքրքրաշարժ բացահայտումներ են արել: Քանի որ թվերի մասին մեր գիտելիքները մեծացան, նրանցից ոմանք գրավեցին Հատուկ ուշադրություն, իսկ ոմանց նույնիսկ միստիկական նշանակություն են տվել։ Was, որը նշանակում է ոչինչ, և որը, երբ բազմապատկվում է որևէ թվով, ինքն իրեն է տալիս: Ամեն ինչի սկիզբը կար՝ ունենալով նաև հազվագյուտ հատկություններ՝ պարզ թվեր։ Հետո նրանք հայտնաբերեցին, որ կան թվեր, որոնք ամբողջ թվեր չեն, և երբեմն ստացվում են երկու ամբողջ թվեր բաժանելով՝ ռացիոնալ թվեր։ Իռացիոնալ թվեր, որը հնարավոր չէ ստանալ որպես ամբողջ թվերի հարաբերակցություն և այլն։ Բայց եթե կա մի թիվ, որը հմայել և առաջացրել է ստեղծագործությունների մի զանգվածի գրություն, ապա սա (pi) է։ Թիվ, որը չնայած երկար պատմություն, չի կոչվել այնպես, ինչպես մենք ենք այն անվանում այսօր, մինչև տասնութերորդ դարը։

Սկսել

Pi թիվը ստացվում է շրջանագծի շրջագիծը տրամագծի վրա բաժանելով։ Այս դեպքում շրջանակի չափը կարեւոր չէ։ Մեծ կամ փոքր, երկարության և տրամագծի հարաբերակցությունը նույնն է: Թեև հավանական է, որ այս հատկությունը հայտնի է եղել ավելի վաղ, այս գիտելիքի ամենավաղ ապացույցը մ.թ.ա 1850 թվականի մոսկովյան մաթեմատիկական պապիրուսն է: և Ահմեսի պապիրուսը, 1650 թ. (թեև դա ավելի հին փաստաթղթի պատճեն է): Այն ունի մեծ թվովմաթեմատիկական խնդիրներ, որոնցից մի քանիսում այն ​​մոտավոր է որպես , որը 0,6%-ից մի փոքր տարբերվում է ճշգրիտ արժեքից: Մոտավորապես նույն ժամանակ, բաբելոնացիները համարում էին հավասար։ IN Հին Կտակարան, որը գրվել է ավելի քան տասը դար անց, Յահվեն չի բարդացնում կյանքը և աստվածային հրամանով հաստատում է, որ այն ճիշտ հավասար է .

Այնուամենայնիվ, այս թվի խոշոր հետազոտողները հին հույներն էին, ինչպիսիք են Անաքսագորասը, Հիպոկրատը Քիոսից և Անտիֆոն Աթենքից: Նախկինում արժեքը որոշվում էր, գրեթե անկասկած, օգտագործելով փորձարարական չափումներ. Արքիմեդն առաջինն էր, ով հասկացավ, թե ինչպես տեսականորեն գնահատել դրա նշանակությունը։ Շրջապատված և ներգծված բազմանկյունների օգտագործումը (ավելի մեծը շրջագծված է այն շրջանագծի մոտ, որում մակագրված է փոքրը) հնարավորություն տվեց որոշել, թե որն է ավելի մեծ և փոքր։ Օգտագործելով Արքիմեդի մեթոդը՝ այլ մաթեմատիկոսներ ստացան ավելի լավ մոտարկումներ, և արդեն 480 թվականին Ցու Չոնչժին որոշեց, որ արժեքները գտնվում են և. Այնուամենայնիվ, բազմանկյուն մեթոդը պահանջում է շատ հաշվարկներ (հիշենք, որ ամեն ինչ արվել է ձեռքով և ոչ ժամանակակից համակարգհաշվի առնելով), ուստի նա ապագա չուներ։

Ներկայացուցչություն

Պետք էր սպասել 17-րդ դարին, երբ անվերջ շարքի հայտնաբերմամբ հեղափոխություն կատարվեց հաշվարկում, թեև առաջին արդյունքը մոտ չէր, դա արտադրանք էր։ Անսահման շարքերը անսահման թվով տերմինների գումարներն են, որոնք կազմում են որոշակի հաջորդականություն (օրինակ՝ ձևի բոլոր թվերը, որտեղ արժեքներ են վերցնում մինչև անվերջություն): Շատ դեպքերում գումարը վերջավոր է և կարելի է գտնել տարբեր մեթոդներ. Պարզվում է, որ այս շարքերից մի քանիսը համընկնում են կամ որոշ քանակի հետ կապված: Որպեսզի շարքը համընկնի, անհրաժեշտ է (բայց ոչ բավարար), որպեսզի գումարելի մեծությունները աճի հետ զրոյի միտում ունենան: Այսպիսով, քան ավելի շատ թվերմենք ավելացնում ենք, այնքան ավելի ճշգրիտ ենք ստանում արժեքը . Այժմ մենք ունենք ավելի ճշգրիտ արժեք ստանալու երկու հնարավորություն։ Կամ ավելացրեք ավելի շատ թվեր, կամ գտեք մեկ այլ շարք, որն ավելի արագ է համընկնում, որպեսզի ավելի քիչ թվեր ավելացնեք:

Այս նոր մոտեցման շնորհիվ հաշվարկի ճշգրտությունը կտրուկ աճեց, և 1873 թվականին Ուիլյամ Շենքսը հրապարակեց երկար տարիների աշխատանքի արդյունքը՝ տալով արժեք 707 տասնորդական թվերով։ Բարեբախտաբար, նա չապրեց մինչև 1945 թվականը, երբ պարզվեց, որ նա սխալվել է, և բոլոր թվերը, սկսած 1945-ից, սխալ էին։ Այնուամենայնիվ, նրա մոտեցումն ամենաճշգրիտն էր մինչ համակարգիչների հայտնվելը։ Սա հաշվողական տեխնիկայի նախավերջին հեղափոխությունն էր: Մաթեմատիկական գործողություններ, որը մի քանի րոպե կպահանջի ձեռքով իրականացնելու համար, այժմ ավարտվում է վայրկյանի մի մասում՝ գործնականում առանց սխալների: Ջոն Ռենչին և Լ. Ռ. Սմիթին հաջողվել է առաջին էլեկտրոնային համակարգչի վրա 70 ժամում հաշվել 2000 թվանշան։ Միլիոն նիշանոց արգելքը հասել է 1973թ.

Վերջին (ին այս պահին) հաշվողական առաջընթաց - կրկնվող ալգորիթմների հայտնաբերում, որոնք համընկնում են ավելի արագ, քան անսահման շարքերը, այնպես որ շատ ավելի բարձր ճշգրտություն կարելի է ձեռք բերել նույն հաշվողական հզորության համար: Ներկայիս ռեկորդը 10 տրիլիոն ճիշտ թվանշան է: Ինչու՞ այդքան ճշգրիտ հաշվարկել: Հաշվի առնելով, որ իմանալով այս թվի 39 թվանշանը, հնարավոր է ատոմի ճշտությամբ հաշվարկել հայտնի Տիեզերքի ծավալը, դեռևս պատճառ չկա:

Մի քանի հետաքրքիր փաստ

Այնուամենայնիվ, արժեքի հաշվարկը դրա պատմության միայն մի փոքր մասն է: Այս թիվն ունի այն հատկությունները, որոնք ստիպում են այս հաստատունին այդքան հետաքրքրասեր:

Թերևս ամենաշատը մեծ խնդիր, որը կապված է շրջանագծի քառակուսիացման հայտնի խնդիրն է, կողմնացույցով և քանոնով քառակուսի կառուցելու խնդիրը, որի մակերեսը հավասար է տվյալ շրջանագծի մակերեսին։ Շրջանակի քառակուսիացումը քսանչորս դար շարունակ տանջում էր մաթեմատիկոսների սերունդներին, մինչև ֆոն Լինդեմանը ապացուցեց, որ դա տրանսցենդենտալ թիվ է (դա ռացիոնալ գործակիցներով որևէ բազմանդամ հավասարման լուծում չէ) և, հետևաբար, անհնար է հասկանալ անսահմանությունը: Մինչև 1761 թվականը չէր ապացուցվել, որ թիվը իռացիոնալ է, այսինքն՝ երկուսը չկա. բնական թվերև այնպիսին, որ. Տրանսցենդենցիան ապացուցված չէր մինչև 1882 թվականը, բայց դեռևս հայտնի չէ՝ թվերը կամ (մեկ այլ իռացիոնալ տրանսցենդենտալ թիվ) իռացիոնալ են: Շատ հարաբերություններ են հայտնվում, որոնք կապված չեն շրջանակների հետ։ Սա նորմալ ֆունկցիայի նորմալացման գործակիցի մի մասն է, ըստ երևույթին, վիճակագրության մեջ ամենաշատ կիրառվողը: Ինչպես արդեն նշվեց, թիվը հայտնվում է որպես բազմաթիվ շարքերի գումար և հավասար է անվերջ արտադրյալների, այն կարևոր է նաև բարդ թվերի ուսումնասիրության մեջ։ Ֆիզիկայի մեջ այն կարելի է գտնել (կախված օգտագործվող միավորների համակարգից) տիեզերական հաստատունում (Ալբերտ Էյնշտեյնի ամենամեծ սխալը) կամ հաստատուն հաստատունում։ մագնիսական դաշտը. Ցանկացած հիմք ունեցող թվային համակարգում (տասնորդական, երկուական...) թվանշանները անցնում են պատահականության բոլոր թեստերը, չկա ակնհայտ հերթականություն կամ հաջորդականություն: Ռիմանի զետա ֆունկցիան սերտորեն կապում է թիվը պարզ թվերի հետ։ Այս թիվը երկար պատմություն ունի և հավանաբար դեռ շատ անակնկալներ է պարունակում։

«pi» թվի պատմությունը

p թվի պատմությունը, որն արտահայտում է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունը, սկսվել է Հին Եգիպտոսում։ Շրջանակի տրամագծի տարածք դԵգիպտացի մաթեմատիկոսները սահմանել են որպես (d-d/9) 2(այս գրառումը տրված է այստեղ ժամանակակից խորհրդանիշներ): Վերոնշյալ արտահայտությունից կարող ենք եզրակացնել, որ այն ժամանակ համարվում էր p թիվը հավասար է կոտորակի (16/9) 2 , կամ 256/81 , այսինքն. p= 3,160...
Ջայնիզմի սուրբ գրքում (մեկ հնագույն կրոններոր գոյություն է ունեցել Հնդկաստանում և առաջացել է VI դ. մ.թ.ա.) կա ցուցում, որից հետևում է, որ p թիվը այն ժամանակ վերցվել է հավասար, որը տալիս է կոտորակը. 3,162...
Հին հույներ Եվդոքս, Հիպոկրատիսկ շրջանագծի այլ չափումները կրճատվել են հատվածի կառուցման, իսկ շրջանագծի չափումները՝ հավասար քառակուսու կառուցման։ Հարկ է նշել, որ երկար դարեր տարբեր երկրների և ժողովուրդների մաթեմատիկոսները փորձել են ռացիոնալ թվով արտահայտել շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի հարաբերությունը։

Արքիմեդ 3-րդ դարում մ.թ.ա. իր «Շրջանակի չափումը» կարճ աշխատության մեջ հիմնավորել է երեք դիրք.

Յուրաքանչյուր շրջան հավասար է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ոտքերը համապատասխանաբար հավասար են շրջագծին և շառավղին.

Շրջանի տարածքները կապված են տրամագծով կառուցված քառակուսու հետ, ինչպես 11-ից 14-ը;

Ցանկացած շրջանագծի և նրա տրամագծի հարաբերակցությունը փոքր է 3 1/7 եւ ավելին 3 10/71 .

Վերջին նախադասությունը Արքիմեդհիմնավորվում է կանոնավոր ներգծված և շրջագծված բազմանկյունների պարագծերի հաջորդական հաշվարկով՝ նրանց կողմերի թվի կրկնապատկմամբ։ Սկզբում նա կրկնապատկեց կանոնավոր ներգծված և ներգծված վեցանկյունների, ապա տասնանկյունների և այլնի թիվը՝ հաշվարկները հասցնելով 96 կողմ ունեցող կանոնավոր ներգծված և շրջագծված բազմանկյունների պարագծին։ Ըստ ճշգրիտ հաշվարկների Արքիմեդշրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը թվերի միջև է 3*10/71 Եվ 3*1/7 , ինչը նշանակում է, որ p = 3,1419... Այս հարաբերությունների իրական իմաստը 3,1415922653...
5-րդ դարում մ.թ.ա. Չինացի մաթեմատիկոս Ցու Չոնգժիգտնվել է այս թվի ավելի ճշգրիտ արժեքը. 3,1415927...
XV դարի առաջին կեսին։ աստղադիտարաններ Ուլուգբեկ, մոտ Սամարղանդ, աստղագետ և մաթեմատիկոս ալ-Քաշի p-ն հաշվարկվում է 16 տասնորդական թվերով: Նա 27 կրկնապատկեց բազմանկյունների կողմերի թիվը և ստացավ 3*2 28 անկյուն ունեցող բազմանկյուն։ Ալ-Կաշիկատարեց եզակի հաշվարկներ, որոնք անհրաժեշտ էին սինուսների աղյուսակը կազմելու համար 1" . Այս աղյուսակները մեծ դեր են խաղացել աստղագիտության մեջ։
Կես դար անց Եվրոպայում Ֆ.Վիետգտել է p թիվը ընդամենը 9 ճիշտ տասնորդական թվերով՝ կատարելով բազմանկյունների կողմերի թվի 16 կրկնապատկում: Բայց միևնույն ժամանակ Ֆ.Վիետառաջինն էր, ով նկատեց, որ p-ն կարելի է գտնել՝ օգտագործելով որոշ շարքերի սահմանները: Այս բացահայտումն ուներ մեծ նշանակություն, քանի որ դա մեզ թույլ էր տալիս ցանկացած ճշգրտությամբ հաշվարկել p. Միայն 250 տարի անց ալ-Քաշինրա արդյունքը գերազանցվեց.
Առաջինը, ով ներկայացրեց շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի հարաբերության նշումը ժամանակակից p նշանով, անգլիացի մաթեմատիկոսն էր։ Վ.Ջոնսոն 1706 թ. Որպես խորհրդանիշ նա վերցրեց առաջին տառը Հունարեն բառ «ծայրամաս», որը թարգմանաբար նշանակում է «շրջանակ». Ներկայացրեց Վ.Ջոնսոնանվանումը սովորական դարձավ ստեղծագործությունների հրապարակումից հետո Լ.Էյլեր, ով առաջին անգամ օգտագործեց մուտքագրված կերպարը 1736 Գ.
XVIII դարի վերջին։ A.M. Lazhandreաշխատանքների հիման վրա Ի.Գ.Լամբերտապացուցեց, որ p թիվը իռացիոնալ է: Հետո գերմանացի մաթեմատիկոսը Ֆ.Լինդեմանհետազոտությունների հիման վրա Շ Էրմիտա, կոշտ ապացույց գտավ, որ այս թիվը ոչ միայն իռացիոնալ է, այլ նաև տրանսցենդենտալ, այսինքն. չի կարող արմատ լինել հանրահաշվական հավասարում. Վերջինից հետևում է, որ օգտագործելով միայն կողմնացույց և քանոն՝ շրջագծով հավասար հատված կառուցելու համար. անհնարին, և, հետևաբար, շրջանագծի քառակուսիացման խնդրի լուծում չկա:
p-ի ճշգրիտ արտահայտության որոնումը շարունակվել է նույնիսկ աշխատանքից հետո Ֆ. Վիետա. XVII դարի սկզբին։ Հոլանդացի մաթեմատիկոս Քյոլնից Լյուդոլֆ վան Զելեն(1540-1610) (որոշ պատմաբաններ նրան անվանում են Լ. վան Կեյլեն)գտել է 32 ճիշտ նշան: Այդ ժամանակից ի վեր (հրատարակման տարի 1615) 32 տասնորդական թվերով p թվի արժեքը կոչվում է թիվ։ Լյուդոլֆ.
TO վերջ XIXգ., 20 տարվա քրտնաջան աշխատանքից հետո անգլիացի Ուիլյամ Շենքսգտել է p թվի 707 նիշ։ Սակայն 1945 թվականին համակարգչի օգնությամբ հայտնաբերվեց, որ Շանկերիր հաշվարկներում նա սխալվել է 520-րդ նշանում և նրա հետագա հաշվարկները սխալ են ստացվել։
Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդների մշակումից հետո հայտնաբերվել են բազմաթիվ բանաձևեր, որոնք պարունակում են «pi» թիվը։ Այս բանաձևերից մի քանիսը թույլ են տալիս հաշվարկել «pi»-ն այլ եղանակներով, քան մեթոդը Արքիմեդև ավելի ռացիոնալ: Օրինակ՝ «pi» թվին կարելի է հասնել՝ փնտրելով որոշ շարքերի սահմանները։ Այսպիսով, Գ.Լայբնից(1646-1716) 1674-ին ստացել է համար

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,

ինչը հնարավորություն է տվել p-ն ավելի կարճ եղանակով հաշվարկել, քան Արքիմեդ. Այնուամենայնիվ, այս շարքը շատ դանդաղ է համընկնում և հետևաբար պահանջում է բավականին երկար հաշվարկներ։ «pi»-ն հաշվարկելու համար ավելի հարմար է օգտագործել ընդլայնումից ստացված շարքը arctg x արժեքի հետ x=1/ , որի համար ֆունկցիայի ընդլայնումը arctan 1/=p /6մի շարք տալիս հավասարություն

p /6 = 1/,
դրանք.
էջ= 2

Մասամբ այս շարքի գումարները կարելի է հաշվարկել բանաձևով

S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,

մինչդեռ «pi»-ն կսահմանափակվի կրկնակի անհավասարությամբ.

Էլ ավելի հարմար բանաձև՝ հաշվարկելու համար էջստացել է Ջ.Մաչին. Օգտագործելով այս բանաձեւը՝ նա հաշվարկել է էջ(1706 թ.) 100 ճիշտ նիշերի ճշգրտությամբ։ «pi»-ի լավ մոտավորությունը տրված է

Այնուամենայնիվ, պետք է հիշել, որ այս հավասարությունը պետք է համարել մոտավոր, քանի որ դրա աջ կողմը հանրահաշվական թիվ է, իսկ ձախը՝ տրանսցենդենտալ, հետևաբար այդ թվերը չեն կարող հավասար լինել։
Ինչպես նշվում է նրանց հոդվածներում Է.Յա.Բախմուտսկայա(XX դարի 60-ական թթ.), դեռեւս XV–XVI դդ. Հարավային Հնդկաստանի գիտնականները, այդ թվում Նիլականտա, օգտագործելով p թվի մոտավոր հաշվարկների մեթոդները , գտավ arctg ընդլայնելու միջոց xհայտնաբերված շարքի նման հզորության շարքի մեջ Լայբնիցը. Հնդիկ մաթեմատիկոսները բանավոր ձևակերպում են տվել շարքերի ընդլայնման կանոնների սինուսԵվ կոսինուս. Դրանով նրանք ակնկալում էին 17-րդ դարի եվրոպացի մաթեմատիկոսների հայտնագործությունը։ Այնուամենայնիվ, դրանց մեկուսացված և գործնական կարիքներով սահմանափակված հաշվողական աշխատանքը որևէ ազդեցություն չունի հետագա զարգացումգիտությունը չի տրամադրվել.
Մեր ժամանակներում հաշվիչների աշխատանքը փոխարինվել է համակարգիչներով։ Նրանց օգնությամբ «pi» թիվը հաշվարկվել է ավելի քան մեկ միլիոն տասնորդական թվերի ճշգրտությամբ, և այդ հաշվարկները տեւել են ընդամենը մի քանի ժամ։
Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ p թիվը ոչ միայն շրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունն է, այն ներառված է մեծ թվով տարբեր բանաձևերի մեջ, այդ թվում՝ ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության և բանաձևի մեջ. Լ.Էյլեր, որը կապ է հաստատում p թվի և թվի միջև ե հետևյալ կերպ.

ե 2 էջ ես = 1 , որտեղ ես = .

Այս և այլ փոխկախվածությունները մաթեմատիկոսներին թույլ տվեցին ավելի լավ հասկանալ p թվի բնույթը։

Մարտի 14-ին ամբողջ աշխարհում նշվում է մի շատ անսովոր տոն՝ Պի օրը։ Դա բոլորը գիտեն դեռ դպրոցական տարիներից։ Ուսանողներին անմիջապես բացատրվում է, որ Pi թիվը մաթեմատիկական հաստատուն է՝ շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունը, որն ունի անսահման արժեք։ Պարզվում է, որ շատ հետաքրքիր փաստեր են կապված այս թվի հետ։

1. Թվի պատմությունն ունի ավելի քան մեկ հազարամյակ, գրեթե այնքան ժամանակ, որքան գոյություն ունի մաթեմատիկայի գիտությունը։ Անշուշտ, ճշգրիտ արժեքթվերն անմիջապես չեն հաշվարկվել։ Սկզբում շրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը հավասար էր 3-ի: Բայց ժամանակի ընթացքում, երբ ճարտարապետությունը սկսեց զարգանալ, ավելի շատ պահանջվեց. ճշգրիտ չափում. Ի դեպ, թիվը գոյություն ուներ, բայց այն տառային նշանակում է ստացել միայն 18-րդ դարի սկզբին (1706 թ.) և առաջացել է հունարեն երկու բառերի սկզբնական տառերից, որոնք նշանակում են «շրջագիծ» և «շրջագիծ»: Մաթեմատիկոս Ջոնսը թվին օժտեց «π» տառով, և նա հաստատապես մտավ մաթեմատիկա արդեն 1737 թ.

2. Մեջ տարբեր դարաշրջաններև ժամը տարբեր ժողովուրդներպի ունի տարբեր իմաստ. Օրինակ՝ Հին Եգիպտոսում այն ​​եղել է 3,1604, հինդուների մոտ ձեռք է բերել 3,162 արժեքը, չինացիներն օգտագործել են 3,1459-ի հավասար թիվը։ Ժամանակի ընթացքում π-ն ավելի ու ավելի ճշգրիտ էր հաշվարկվում, և երբ հայտնվեց Համակարգչային ճարտարագիտություն, այսինքն՝ համակարգիչ, այն սկսեց ունենալ ավելի քան 4 միլիարդ նիշ։

3. Լեգենդ կա, ավելի ճիշտ՝ մասնագետները կարծում են, որ Բաբելոնյան աշտարակի կառուցման ժամանակ օգտագործվել է Pi թիվը։ Սակայն դրա փլուզման պատճառ է դարձել ոչ թե Աստծո բարկությունը, այլ շինարարության ընթացքում սխալ հաշվարկները։ Ինչպես, հին վարպետները սխալվել են. Նման վարկած կա Սողոմոնի տաճարի վերաբերյալ։

4. Հատկանշական է, որ Պիի արժեքը փորձել են մտցնել անգամ պետական ​​մակարդակով, այսինքն՝ օրենքի միջոցով։ 1897 թվականին Ինդիանա նահանգում օրինագիծ է մշակվել. Փաստաթղթի համաձայն, Pi-ն 3.2 էր: Այնուամենայնիվ, գիտնականները ժամանակին միջամտեցին և այդպիսով կանխեցին սխալը: Մասնավորապես, օրենսդիր ժողովին ներկա պրոֆեսոր Փերդյուն դեմ է արտահայտվել օրինագծին։

5. Հետաքրքիր է, որ Pi անվերջ հաջորդականության մի քանի թվեր ունեն իրենց անունը։ Այսպիսով, Pi-ի վեց ինը անվանվել է ամերիկացի ֆիզիկոսի անունով: Մի անգամ Ռիչարդ Ֆեյնմանը դասախոսություն էր կարդում և դիտողությամբ ապշեցրեց ներկաներին. Նա ասաց, որ ցանկանում է անգիր սովորել pi-ի մինչև վեց ինը թվանշանները, միայն պատմվածքի վերջում վեց անգամ ասել «ինը»՝ ակնարկելով, որ դրա իմաստը ռացիոնալ է: Երբ իրականում դա իռացիոնալ է։

6. Աշխարհի մաթեմատիկոսները չեն դադարում կատարել հետազոտություններ՝ կապված Pi թվի հետ։ Այն բառացիորեն պատված է առեղծվածով: Որոշ տեսաբաններ նույնիսկ կարծում են, որ այն պարունակում է համընդհանուր ճշմարտություն։ Pi-ի մասին գիտելիքներով և նոր տեղեկություններով կիսվելու համար նրանք կազմակերպեցին Pi Club-ը։ Այն մուտք գործելը հեշտ չէ, պետք է ունենալ ակնառու հիշողություն։ Այսպիսով, ակումբի անդամ դառնալ ցանկացողները հետազոտվում են՝ մարդը պետք է հիշողությամբ հնարավորինս շատ Պի թվի նշաններ ասի։

7. Նրանք նույնիսկ տարբեր տեխնիկա են մտածել տասնորդական կետից հետո Pi թիվը հիշելու համար: Օրինակ, նրանք հանդես են գալիս ամբողջական տեքստերով: Դրանցում բառերն ունեն նույնքան տառեր, որքան համապատասխան թվանշանը տասնորդական կետից հետո։ Այսքան երկար թվի անգիրն ավելի պարզեցնելու համար նույն սկզբունքով ոտանավորներ են կազմում։ Պի ակումբի անդամները հաճախ զվարճանում են այս կերպ, միաժամանակ մարզում են հիշողությունն ու հնարամտությունը։ Օրինակ, նման հոբբի ուներ Մայք Քիթը, ով տասնութ տարի առաջ հորինեց մի պատմություն, որտեղ յուրաքանչյուր բառը հավասար էր pi-ի գրեթե չորս հազար (3834) առաջին թվանշաններին:

8. Նույնիսկ կան մարդիկ, ովքեր ռեկորդներ են սահմանել Պի նշանները մտապահելու համար։ Այսպիսով, Ճապոնիայում Ակիրա Հարագուչին անգիր է արել ավելի քան ութսուներեք հազար նիշ: Սակայն ներքին ռեկորդն այնքան էլ աչքի չի ընկնում։ Չելյաբինսկի բնակիչը կարողացել է անգիր անել ընդամենը երկուսուկես հազար թիվ Պի տասնորդական կետից հետո։

«Pi» հեռանկարում

9. Pi Day-ը նշվում է ավելի քան քառորդ դար՝ սկսած 1988 թվականից։ Մի անգամ Սան Ֆրանցիսկոյի Հանրաճանաչ գիտության թանգարանի ֆիզիկոս Լարի Շոուն նկատեց, որ մարտի 14-ը գրված է նույն կերպ, ինչ pi: Ամսաթվով ամիսը և օրը ձև են 3.14.

10. Pi Day-ը նշվում է ոչ միայն օրիգինալ, այլեւ զվարճալի։ Իհարկե, ճշգրիտ գիտություններով զբաղվող գիտնականները դա բաց չեն թողնում։ Նրանց համար սա սիրածից չպոկվելու, բայց միևնույն ժամանակ հանգստանալու միջոց է։ Այս օրը մարդիկ հավաքվում են և եփում Պիի պատկերով տարբեր բարիքներ։ Հատկապես հրուշակագործների շրջելու տեղ կա։ Նրանք կարող են պատրաստել pi տորթեր և թխվածքաբլիթներ նմանատիպ ձև. Հաճույքները համտեսելուց հետո մաթեմատիկոսները կազմակերպում են տարբեր վիկտորինաներ։

11. Հետաքրքիր զուգադիպություն կա. Մարտի 14-ին ծնվել է մեծ գիտնական Ալբերտ Էյնշտեյնը, ով, ինչպես գիտեք, ստեղծել է հարաբերականության տեսությունը։ Ինչ էլ որ լինի, ֆիզիկոսները նույնպես կարող են միանալ Պի օրվա տոնակատարությանը:

Պի- մաթեմատիկական հաստատուն, որը հավասար է շրջանագծի շրջագծի և դրա տրամագծի հարաբերությանը: Pi թիվը, որի թվային ներկայացումն է անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը` 3.141592653589793238462643... և այդպես անվերջ:

100 տասնորդական նիշ՝ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 2428 261

Pi-ի արժեքի զտման պատմությունը

Զվարճալի մաթեմատիկայի վերաբերյալ յուրաքանչյուր գրքում դուք, անշուշտ, կգտնեք pi-ի արժեքի ճշգրտման պատմություն: Սկզբում Հին Չինաստանում, Եգիպտոսում, Բաբելոնում և Հունաստանում հաշվարկների համար օգտագործվում էին կոտորակներ, օրինակ՝ 22/7 կամ 49/16։ Միջնադարում և Վերածննդի դարաշրջանում եվրոպացի, հնդիկ և արաբ մաթեմատիկոսները մաքրեցին pi-ի արժեքը տասնորդական կետից հետո մինչև 40 նիշ, իսկ համակարգչային դարաշրջանի սկզբում շատ էնտուզիաստների ջանքերով թվանշանների թիվը հասցվեց մինչև 500-ի: .

Նման ճշգրտությունը զուտ ակադեմիական հետաքրքրություն է ներկայացնում (դրա մասին ավելին ստորև), և Երկրի ներսում գործնական կարիքների համար բավարար է 10 տասնորդական տեղ: Երկրի 6400 կմ շառավղով կամ 6,4 10 9 մմ, պարզվում է, որ տասներորդական կետից հետո pi-ի տասներկուերորդ ցուցանիշը բաց թողնելով, միջօրեականի երկարությունը հաշվարկելիս մենք կսխալվենք մի քանի միլիմետրով: Իսկ Արեգակի շուրջ Երկրի պտույտի երկարությունը հաշվարկելիս (նրա շառավիղը 150 մլն կմ = 1,5 10 14 մմ) նույն ճշգրտության համար բավական է օգտագործել pi թիվը տասնչորս տասնորդական թվերով։ Միջին հեռավորությունը Արեգակից մինչև Պլուտոն՝ ամենահեռավոր մոլորակը Արեգակնային համակարգ- Երկրից Արեգակ միջին հեռավորության 40 անգամ: Պլուտոնի ուղեծրի երկարությունը մի քանի միլիմետր սխալով հաշվարկելու համար բավական է pi-ի տասնվեց նիշ։ Այո, մանրուք չկա, մեր Գալակտիկայի տրամագիծը մոտ 100 հազար լուսային տարի է (1 լուսային տարին մոտավորապես հավասար է 10 13 կմ) կամ 10 19 մմ, և դեռևս 17-րդ դարում ձեռք բերվեցին 35 pi նշաններ, որոնք ավելորդ էին: նույնիսկ նման հեռավորությունների համար:

Ո՞րն է pi-ի արժեքը հաշվարկելու դժվարությունը: Փաստն այն է, որ այն ոչ միայն իռացիոնալ չէ, այսինքն՝ չի կարող արտահայտվել որպես p/q կոտորակ, որտեղ p-ն և q-ն ամբողջ թվեր են։ Նման թվերը հնարավոր չէ ճշգրիտ գրել, դրանք կարող են հաշվարկվել միայն հաջորդական մոտարկումների մեթոդով՝ ավելացնելով ավելի մեծ ճշգրտություն ստանալու քայլերի քանակը։ Ամենահեշտ ձևն այն է, որ դիտարկենք կանոնավոր բազմանկյուններ, որոնք ներգծված են ավելացող կողմերի թվով շրջանագծի մեջ և հաշվարկել բազմանկյունի պարագծի և տրամագծի հարաբերությունը: Քանի որ կողմերի թիվը մեծանում է, այս հարաբերակցությունը ձգտում է pi-ի: Ահա թե ինչպես 1593 թվականին Ադրիան վան Ռոմենը հաշվարկեց 1073741824 (այսինքն՝ 2 30) կողմերով ներգծված կանոնավոր բազմանկյունի պարագիծը և որոշեց pi-ի 15 նշան։ 1596 թվականին Լյուդոլֆ վան Զելենը ստացել է 20 նշան՝ հաշվարկելով 60 x 2 33 կողմերով մակագրված բազմանկյունը։ Հետագայում նա հաշվարկները հասցրեց 35 նիշի։

Pi-ի հաշվարկման մեկ այլ եղանակ է անսահման թվով տերմիններով բանաձևերի օգտագործումը: Օրինակ:

π = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...

π = 4 (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) + (1/9 - 1/11) + ...

Նմանատիպ բանաձևեր կարելի է ստանալ՝ ընդլայնելով, օրինակ, Մակլուրինի շարքի աղեղային շոշափողը՝ իմանալով, որ

arctg(1) = π/4(քանի որ tg (45°) = 1)

կամ անընդմեջ ընդլայնելով արկսինը՝ իմանալով, որ

arcsin (1/2) = π/6(ոտքը պառկած է 30 ° անկյան տակ):

Ժամանակակից հաշվարկներում նույնիսկ ավելին արդյունավետ մեթոդներ. Նրանց օգնությամբ այսօր.

pi օր

Pi թվի օրը որոշ մաթեմատիկոսներ նշում են մարտի 14-ին՝ ժամը 1:59-ին (ամերիկյան ամսաթվերի համակարգում՝ 3/14; π թվի առաջին թվանշանները՝ 3,14159)։ Սովորաբար այն նշվում է 13:59-ին (12-ժամյա համակարգում), սակայն նրանք, ովքեր հավատարիմ են լույսի 24-ժամյա համակարգին, այն համարում են 13:59-ը և նախընտրում են տոնել գիշերը։ Այս պահին նրանք կարդում են փառաբանություններ՝ ի պատիվ pi թվի, նրա դերը մարդկության կյանքում, նկարում են աշխարհի դիստոպիկ պատկերներ առանց pi, ուտել կարկանդակ ( կարկանդակ), խմեք խմիչքներ և խաղացեք խաղեր, որոնք սկսվում են «pi»-ով։

• Pi (համար) - Վիքիպեդիա

Նախքան խոսելը Պի–ի պատմություն , նշում ենք, որ Pi թիվը մաթեմատիկայի ամենաառեղծվածային մեծություններից է։ Այժմ դուք ինքներդ կհամոզվեք, իմ սիրելի ընթերցող...

Եկեք սկսենք մեր պատմությունը սահմանումով. Այսպիսով, Pi թիվը վերացական թիվ , որը նշանակում է շրջանագծի շրջագծի հարաբերությունը նրա տրամագծի երկարությանը։ Այս սահմանումը մեզ ծանոթ է դպրոցի նստարանից։ Բայց ահա թե որտեղից են սկսվում առեղծվածները...

Անհնար է այս արժեքը հաշվարկել մինչև վերջ, այն հավասար է 3,1415926535 , ապա տասնորդական կետից հետո՝ դեպի անսահմանություն։ Գիտնականները կարծում են, որ թվերի հաջորդականությունը չի կրկնվում, և այս հաջորդականությունը բացարձակ պատահական է...

Պի հանելուկդրանով չի ավարտվում: Աստղագետները վստահ են, որ այս թվի երեսունինը տասնորդական տեղերը բավարար են Տիեզերքի հայտնի տիեզերական օբյեկտները շրջապատող շրջագիծը հաշվարկելու համար՝ ջրածնի ատոմի շառավղով սխալմամբ…

իռացիոնալ կերպով , այսինքն. այն չի կարող արտահայտվել որպես կոտորակ: Այս արժեքը տրանսցենդենտալ - այսինքն. այն հնարավոր չէ ստանալ ամբողջ թվերի վրա որևէ գործողություն կատարելով…

Pi թիվը սերտորեն կապված է ոսկե հարաբերակցության հայեցակարգի հետ: Հնագետները պարզել են, որ Գիզայի Մեծ բուրգի բարձրությունը կապված է նրա հիմքի երկարության հետ, ինչպես շրջանագծի շառավիղը՝ դրա երկարության հետ...

Պ թվի պատմությունընույնպես առեղծված է մնում. Հայտնի է, որ նույնիսկ շինարարներն են օգտագործել այս արժեքը դիզայնի համար։ Պահպանվել է մի քանի հազար տարվա վաղեմություն, որը պարունակում էր խնդիրներ, որոնց լուծումը ներառում էր Pi թվի օգտագործումը։ Սակայն այս քանակի ճշգրիտ արժեքի մասին կարծիքը գիտնականների շրջանում տարբեր երկրներերկիմաստ էր. Այսպիսով, Սուսա քաղաքում, որը գտնվում է Բաբելոնից երկու հարյուր կիլոմետր հեռավորության վրա, հայտնաբերվել է պլանշետ, որտեղ Pi թիվը նշվում է որպես. 3¹/8 . Հին Բաբելոնում պարզվել է, որ շրջանագծի շառավիղը որպես ակորդ մտնում է վեց անգամ, հենց այնտեղ էլ առաջին անգամ առաջարկվել է շրջանագիծը բաժանել 360 աստիճանի: Ի դեպ, նշենք, որ նման երկրաչափական գործողություն արվել է Արեգակի ուղեծրի հետ, ինչը հին գիտնականներին հանգեցրել է այն մտքին, որ տարեկան պետք է լինի մոտավորապես 360 օր։ Սակայն Եգիպտոսում pi թիվը հավասար էր 3,16 , և մեջ հին Հնդկաստան – 3, 088 , Հին Իտալիայում - 3,125 . կարծում էր, որ այս արժեքը հավասար է կոտորակի 22/7 .

Pi-ն առավել ճշգրիտ հաշվարկել է չինացի աստղագետը: Ցու Չուն Չժի 5-րդ դարում. Դրա համար նա երկու անգամ գրել է կենտ թվեր 11 33 55, ապա դրանք կիսով չափ բաժանեց, առաջին մասը դրեց կոտորակի հայտարարի մեջ, իսկ երկրորդ մասը՝ համարիչի մեջ, այդպիսով ստանալով կոտորակ. 355/113 . Զարմանալիորեն, իմաստը համընկնում է ժամանակակից հաշվարկների հետ մինչև յոթերորդ նիշը ...

Ով տվեց առաջինը պաշտոնական անվանումըայս արժեքը?

Ենթադրվում է, որ 1647 թվականինմաթեմատիկոս Արտավաճառությունանվանված Հունարեն նամակπ շրջագիծ՝ դրա համար վերցնելով հունարեն բառի առաջին տառը περιφέρεια - «ծայրամաս» . Բայց 1706 թվականինաշխատանքը դուրս եկավ Անգլերենի ուսուցիչ Ուիլյամ Ջոնս «Մաթեմատիկայի նվաճումների ակնարկ», որում նա Pi տառով արդեն նշել է շրջանագծի շրջագծի և դրա տրամագծի հարաբերությունը։ Ի վերջո, այս խորհրդանիշը ամրագրվեց 20-րդ դարումմաթեմատիկոս Լեոնհարդ Էյլեր .

Այն պահից, երբ մարդիկ հաշվելու կարողություն ունեցան և սկսեցին ուսումնասիրել աբստրակտ առարկաների հատկությունները, որոնք կոչվում են թվեր, հետաքրքրասեր մտքի սերունդները հետաքրքրաշարժ բացահայտումներ են արել: Քանի որ թվերի մասին մեր գիտելիքները մեծացել են, դրանցից մի քանիսը հատուկ ուշադրություն են գրավել, իսկ ոմանց նույնիսկ առեղծվածային նշանակություն են տվել: Was, որը ոչինչ չի նշանակում, և որը, երբ բազմապատկվում է որևէ թվով, իրեն տալիս է։ Ամեն ինչի սկիզբը կար՝ ունենալով նաև հազվագյուտ հատկություններ՝ պարզ թվեր։ Հետո նրանք հայտնաբերեցին, որ կան թվեր, որոնք ամբողջ թվեր չեն, և երբեմն ստացվում են երկու ամբողջ թվեր բաժանելով՝ ռացիոնալ թվեր։ Իռացիոնալ թվեր, որոնք հնարավոր չէ ստանալ որպես ամբողջ թվերի հարաբերակցություն և այլն: Բայց եթե կա մի թիվ, որը հմայել և առաջացրել է ստեղծագործությունների մի զանգվածի գրություն, ապա սա (pi) է։ Թիվ, որը, չնայած իր երկար պատմությանը, մինչև տասնութերորդ դարը չի կոչվել այնպես, ինչպես մենք ենք այսօր անվանում:

Սկսել

Pi թիվը ստացվում է շրջանագծի շրջագիծը տրամագծի վրա բաժանելով։ Այս դեպքում շրջանակի չափը կարեւոր չէ։ Մեծ կամ փոքր, երկարության և տրամագծի հարաբերակցությունը նույնն է: Թեև հավանական է, որ այս հատկությունը հայտնի է եղել ավելի վաղ, այս գիտելիքի ամենավաղ ապացույցը մ.թ.ա 1850 թվականի մոսկովյան մաթեմատիկական պապիրուսն է: և Ահմեսի պապիրուսը, 1650 թ. (թեև դա ավելի հին փաստաթղթի պատճեն է): Այն ունի մեծ թվով մաթեմատիկական խնդիրներ, որոնցից մի քանիսում այն ​​մոտավոր է, ինչը 0,6%-ից մի փոքր տարբերվում է ճշգրիտ արժեքից։ Մոտավորապես նույն ժամանակ, բաբելոնացիները համարում էին հավասար։ Հին Կտակարանում, որը գրվել է ավելի քան տասը դար անց, Յահվեն չի բարդացնում կյանքը և աստվածային որոշմամբ հաստատում է այն, ինչը ճիշտ է հավասար:

Այնուամենայնիվ, այս թվի խոշոր հետազոտողները հին հույներն էին, ինչպիսիք են Անաքսագորասը, Հիպոկրատը Քիոսից և Անտիֆոն Աթենքից: Նախկինում արժեքը որոշվում էր, գրեթե անկասկած, օգտագործելով փորձարարական չափումներ: Արքիմեդն առաջինն էր, ով հասկացավ, թե ինչպես տեսականորեն գնահատել դրա նշանակությունը։ Շրջապատված և ներգծված բազմանկյունների օգտագործումը (ավելի մեծը շրջագծված է այն շրջանագծի մոտ, որում մակագրված է փոքրը) հնարավորություն տվեց որոշել, թե որն է ավելի ու ավելի փոքր։ Արքիմեդի մեթոդի օգնությամբ մյուս մաթեմատիկոսները ստացան ավելի լավ մոտարկումներ, և արդեն 480 թվականին Ցու Չոնգժին որոշեց, որ արժեքները գտնվում են և-ի միջև։ Այնուամենայնիվ, բազմանկյուն մեթոդը պահանջում է բազմաթիվ հաշվարկներ (հիշենք, որ ամեն ինչ արվել է ձեռքով և ոչ ժամանակակից թվային համակարգով), ուստի այն ապագա չուներ։

Ներկայացուցչություն

Պետք էր սպասել 17-րդ դարին, երբ անվերջ շարքի հայտնաբերմամբ հեղափոխություն կատարվեց հաշվարկում, թեև առաջին արդյունքը մոտ չէր, դա արտադրանք էր։ Անսահման շարքերը անսահման թվով տերմինների գումարներն են, որոնք կազմում են որոշակի հաջորդականություն (օրինակ՝ ձևի բոլոր թվերը, որտեղ այն արժեքներ է վերցնում անսահմանությունից): Շատ դեպքերում գումարը վերջավոր է և կարելի է գտնել տարբեր մեթոդներով: Ստացվում է, որ այս շարքերից մի քանիսը համընկնում են կամ կապված որոշ քանակի հետ: Որպեսզի շարքերը համընկնեն, անհրաժեշտ է (բայց ոչ բավարար), որ գումարելի մեծությունները աճի հետ հակված լինեն զրոյի: Այսպիսով, որքան շատ թվեր ավելացնենք, այնքան ավելի ճշգրիտ ենք ստանում արժեքը: Այժմ մենք ունենք երկու հնարավորություն ավելի ճշգրիտ արժեք ստանալու համար: Կամ ավելացրեք ավելի շատ թվեր, կամ գտեք մեկ այլ շարք, որն ավելի արագ է համընկնում, որպեսզի ավելի քիչ թվեր ավելացնեք:

Այս նոր մոտեցման շնորհիվ հաշվարկի ճշգրտությունը կտրուկ աճեց, և 1873 թվականին Ուիլյամ Շենքսը հրապարակեց երկար տարիների աշխատանքի արդյունքը՝ տալով արժեք 707 տասնորդական թվերով։ Բարեբախտաբար, նա չապրեց մինչև 1945 թվականը, երբ պարզվեց, որ նա սխալվել է, և բոլոր թվերը՝ սկսած նրանից, սխալ էին։ Այնուամենայնիվ, նրա մոտեցումն ամենաճշգրիտն էր մինչ համակարգիչների հայտնվելը։ Դա հաշվողական տեխնիկայի նախավերջին հեղափոխությունն էր: Մաթեմատիկական գործողություններ, որոնք մի քանի րոպե կպահանջեին ձեռքով կատարել, այժմ կատարվում են վայրկյանի կոտորակներում՝ գործնականում առանց սխալների: Ջոն Ռենչին և Լ. Ռ. Սմիթին հաջողվել է առաջին էլեկտրոնային համակարգչի վրա 70 ժամում հաշվել 2000 թվանշան։ Միլիոն նիշանոց արգելքը հասել է 1973թ.

Հաշվարկների վերջին (առայժմ) առաջընթացը կրկնվող ալգորիթմների հայտնաբերումն է, որոնք համընկնում են ավելի արագ, քան անսահման շարքերը, այնպես որ շատ ավելի բարձր ճշգրտություն կարելի է ձեռք բերել նույն հաշվողական հզորության համար: Ներկայիս ռեկորդը 10 տրիլիոն ճիշտ թվանշան է: Ինչու՞ այդքան ճշգրիտ հաշվարկել: Հաշվի առնելով, որ իմանալով այս թվի 39 թվանշանը, հնարավոր է ատոմի ճշտությամբ հաշվարկել հայտնի Տիեզերքի ծավալը, դեռևս պատճառ չկա:

Մի քանի հետաքրքիր փաստ

Այնուամենայնիվ, արժեքի հաշվարկը դրա պատմության միայն մի փոքր մասն է: Այս թիվն ունի այն հատկությունները, որոնք ստիպում են այս հաստատունին այդքան հետաքրքրասեր:

Թերևս ամենամեծ խնդիրը, որի հետ կապված է շրջանագծի քառակուսի կազմելու հայտնի խնդիրն է, կողմնացույցով և ուղղահայաց քառակուսի կառուցելու խնդիրը, որի մակերեսը հավասար է տվյալ շրջանագծի մակերեսին: Շրջանակի քառակուսիացումը քսանչորս դար շարունակ տանջում էր մաթեմատիկոսների սերունդներին, մինչև ֆոն Լինդեմանը ապացուցեց, որ դա տրանսցենդենտալ թիվ է (դա ռացիոնալ գործակիցներով որևէ բազմանդամ հավասարման լուծում չէ) և, հետևաբար, անհնար է հասկանալ անսահմանությունը։ . Մինչև 1761 թվականը չէր ապացուցվել, որ թիվը իռացիոնալ է, այսինքն՝ չկա երկու բնական թիվ և այդպիսին։ Տրանսցենդենցիան ապացուցված չէր մինչև 1882 թվականը, սակայն դեռևս հայտնի չէ՝ թվերը իռացիոնալ են, թե (մեկ այլ իռացիոնալ տրանսցենդենտալ թիվ է): Շատ հարաբերություններ են հայտնվում, որոնք կապված չեն շրջանակների հետ։ Սա նորմալ ֆունկցիայի նորմալացման գործակիցի մի մասն է, ըստ երևույթին, վիճակագրության մեջ ամենաշատ կիրառվողը: Ինչպես արդեն նշվեց, թիվը հայտնվում է որպես բազմաթիվ շարքերի գումար և հավասար է անվերջ արտադրյալների, այն կարևոր է նաև բարդ թվերի ուսումնասիրության մեջ։ Ֆիզիկայի մեջ այն կարելի է գտնել (կախված օգտագործվող միավորների համակարգից) տիեզերական հաստատունում (Ալբերտ Էյնշտեյնի ամենամեծ սխալը) կամ մշտական ​​մագնիսական դաշտի հաստատունում։ Ցանկացած հիմք ունեցող թվային համակարգում (տասնորդական, երկուական...) թվանշանները անցնում են պատահականության բոլոր թեստերը, չկա ակնհայտ հերթականություն կամ հաջորդականություն: Ռիմանի զետա ֆունկցիան սերտորեն կապում է թիվը պարզ թվերի հետ։ Այս թիվը երկար պատմություն ունի և հավանաբար դեռ շատ անակնկալներ է պարունակում։

Եթե ​​համեմատենք տարբեր չափերի շրջանակներ, ապա կտեսնենք հետևյալը՝ տարբեր շրջանակների չափերը համաչափ են։ Իսկ դա նշանակում է, որ երբ շրջանագծի տրամագիծը մեծանում է որոշակի թվով անգամ, այդ շրջանագծի երկարությունը նույնպես մեծանում է նույնքան անգամ։ Մաթեմատիկորեն սա կարելի է գրել այսպես.

Գ 1		Գ 2
	=
դ 1		դ 2	(1)

որտեղ C1-ը և C2-ը երկու տարբեր շրջանագծերի երկարությունն են, իսկ d1-ը և d2-ը նրանց տրամագծերն են:
Այս հարաբերակցությունը գործում է համաչափության գործակցի առկայության դեպքում՝ մեզ արդեն ծանոթ π հաստատունը: (1) հարաբերությունից կարող ենք եզրակացնել, որ C շրջագիծը հավասար է այս շրջանագծի տրամագծի և π շրջանից անկախ համաչափության գործակցի արտադրյալին.

C = πd.

Նաև այս բանաձևը կարելի է գրել այլ ձևով՝ d տրամագիծն արտահայտելով տվյալ շրջանագծի R շառավիղով.

C \u003d 2π R.

Պարզապես այս բանաձեւը ուղեցույց է յոթերորդ դասարանցիների համար դեպի շրջանակների աշխարհ:

Հին ժամանակներից մարդիկ փորձել են հաստատել այս հաստատունի արժեքը։ Այսպիսով, օրինակ, Միջագետքի բնակիչները հաշվարկել են շրջանագծի տարածքը՝ օգտագործելով բանաձևը.

Այստեղից π = 3:

Հին Եգիպտոսում π-ի արժեքը ավելի ճշգրիտ էր: Ք.ա. 2000-1700 թվականներին Ահմես անունով մի գրագիր կազմեց պապիրուս, որտեղ մենք գտնում ենք տարբեր գործնական խնդիրների լուծման բաղադրատոմսեր։ Այսպիսով, օրինակ, շրջանագծի տարածքը գտնելու համար նա օգտագործում է բանաձևը.

			8			2
Ս	=	(		դ	)
			9

Ի՞նչ նկատառումներից է նա ստացել այս բանաձեւը։ - Անհայտ: Հավանաբար հիմնված է նրանց դիտարկումների վրա, սակայն, ինչպես և մյուս հին փիլիսոփաները:

Արքիմեդի հետքերով

Երկու թվերից ո՞րն է մեծ 22/7-ից կամ 3,14-ից:
-Հավասար են։
-Ինչո՞ւ:
- Նրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է π .
Ա.Ա.ՎԼԱՍՈՎ Քննության տոմսից.

Ոմանք կարծում են, որ 22/7 կոտորակը և π թիվը նույնականորեն հավասար են։ Բայց սա մոլորություն է։ Բացի քննության վերը նշված սխալ պատասխանից (տե՛ս էպիգրաֆը), այս խմբին կարելի է ավելացնել նաև մեկ շատ զվարճալի գլուխկոտրուկ։ Առաջադրանքն ասում է՝ «մեկ լուցկի տեղափոխիր, որպեսզի հավասարությունը իրականանա»։

Լուծումը կլինի հետևյալը՝ ձախ կողմում գտնվող երկու ուղղահայաց լուցկիների համար անհրաժեշտ է «տանիք» ձևավորել՝ օգտագործելով աջ կողմի հայտարարի ուղղահայաց լուցկիներից մեկը։ Դուք կստանաք π տառի տեսողական պատկեր:

Շատերը գիտեն, որ մոտավորությունը π = 22/7 որոշվել է հին հույն մաթեմատիկոսԱրքիմեդ. Ի պատիվ սրա՝ նման մոտավորությունը հաճախ անվանում են «Արքիմեդյան» թիվ։ Արքիմեդին հաջողվեց ոչ միայն հաստատել π-ի մոտավոր արժեքը, այլև գտնել այս մոտավորության ճշգրտությունը, այն է՝ գտնել մի նեղ թվային միջակայք, որին պատկանում է π-ի արժեքը։ Իր աշխատություններից մեկում Արքիմեդն ապացուցում է անհավասարությունների շղթա, որը ժամանակակից ձևով կունենա հետևյալ տեսքը.

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

կարելի է գրել ավելի պարզ՝ 3.140 909< π < 3,1 428 265...

Ինչպես տեսնում ենք անհավասարություններից, Արքիմեդը գտել է բավականին ճշգրիտ արժեք՝ 0,002 ճշտությամբ։ Ամենազարմանալին այն է, որ նա գտել է առաջին երկու տասնորդական թվերը՝ 3.14... Հենց այս արժեքն է մենք ամենից հաճախ օգտագործում պարզ հաշվարկներում։

Գործնական օգտագործում

Գնացքում երկու մարդ է.
- Նայեք, ռելսերն ուղիղ են, անիվները՝ կլոր։
Որտեղի՞ց է գալիս թակոցը:
-Ինչպե՞ս որտեղից: Անիվները կլոր են, իսկ մակերեսը
շրջանագիծ, պի եր քառակուսի, դա թակում է քառակուսին:

Այս զարմանահրաշ թվին, որպես կանոն, ծանոթանում են 6-7-րդ դասարանում, բայց ավելի մանրակրկիտ ուսումնասիրում են 8-րդ դասարանի ավարտին։ Հոդվածի այս հատվածում մենք կներկայացնենք այն հիմնական և ամենակարևոր բանաձևերը, որոնք ձեզ օգտակար կլինեն երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս, բայց սկզբի համար մենք կհամաձայնվենք π-ն ընդունել որպես 3.14՝ հաշվարկի հեշտության համար։

Թերևս ամենաշատը հայտնի բանաձևըդպրոցականների շրջանում, որոնցում օգտագործվում է π, սա շրջանի երկարության և տարածքի բանաձևն է: Առաջինը` շրջանագծի մակերեսի բանաձևը, գրված է հետևյալ կերպ.

	π Դ 2
S=π R 2 =
	4

որտեղ S-ը շրջանագծի մակերեսն է, R-ը նրա շառավիղն է, D-ը շրջանագծի տրամագիծն է:

Շրջանակի շրջագիծը կամ, ինչպես երբեմն կոչվում է շրջանագծի պարագիծը, հաշվարկվում է բանաձևով.

C = 2 π R = πd,

որտեղ C-ն շրջագիծն է, R-ն շառավիղն է, d-ը շրջանագծի տրամագիծն է:

Պարզ է, որ d տրամագիծը հավասար է երկու R-ի շառավղին։

Շրջանակի շրջագծի բանաձևից հեշտությամբ կարող եք գտնել շրջանագծի շառավիղը.

որտեղ D-ը տրամագիծն է, C-ն շրջագիծն է, R-ը շրջանագծի շառավիղն է:

Սրանք այն հիմնական բանաձևերն են, որոնք պետք է իմանա յուրաքանչյուր ուսանող: Նաև երբեմն պետք է հաշվարկել տարածքը ոչ թե ամբողջ շրջանակի, այլ միայն նրա մասի՝ հատվածի: Հետևաբար, ներկայացնում ենք ձեզ՝ շրջանագծի հատվածի մակերեսը հաշվարկելու բանաձև։ Այն կարծես այսպիսին է.

			α
Ս	=	π R 2
			360 ˚

որտեղ S-ը հատվածի տարածքն է, R-ը շրջանագծի շառավիղն է, α-ն կենտրոնական անկյունն է աստիճաններով:

Այնքան առեղծվածային 3.14

Իսկապես, առեղծվածային է։ Որովհետև այս կախարդական թվերի պատվին նրանք տոներ են կազմակերպում, ֆիլմեր են նկարում, հանրային միջոցառումներ են անցկացնում, բանաստեղծություններ գրում և շատ ավելին:

Օրինակ՝ 1998 թվականին էկրան է բարձրացել ամերիկացի ռեժիսոր Դարեն Արոնոֆսկու «Պի» ֆիլմը։ Ֆիլմը ստացել է բազմաթիվ մրցանակներ։

Ամեն տարի մարտի 14-ին՝ ժամը 01:59:26-ին, մաթեմատիկայով հետաքրքրվողները նշում են «Պի օրը»: Տոնի համար մարդիկ պատրաստում են կլոր տորթ, նստում կլոր սեղանև քննարկել pi, լուծել խնդիրներ և գլուխկոտրուկներ՝ կապված pi-ի հետ:

Այս զարմանալի թվի ուշադրությունը չեն շրջանցել նաև բանաստեղծները, անհայտ անձը գրել է.
Պարզապես պետք է փորձել և հիշել ամեն ինչ այնպես, ինչպես կա՝ երեք, տասնչորս, տասնհինգ, իննսուներկու և վեց:

Եկեք մի քիչ զվարճանանք:

Ձեզ ենք առաջարկում Pi թվով հետաքրքիր գլուխկոտրուկներ։ Գուշակիր բառերը, որոնք գաղտնագրված են ստորև:

1. π Ռ

2. π Լ

3. π կ

Պատասխաններ՝ 1. Խնջույք; 2. Ներկայացված; 3. Ճռռալ.

Pi-ի պատմությունը սկսվում է Հին Եգիպտոսև զուգահեռաբար ընթանում է բոլոր մաթեմատիկայի զարգացման հետ: Այս արժեքին մենք առաջին անգամ ենք հանդիպում դպրոցի պատերի ներսում։

Pi թիվը թերևս ամենաառեղծվածայինն է անսահման թվով այլ թվերից: Նրան նվիրված են բանաստեղծություններ, նկարիչները պատկերում են նրան, նույնիսկ ֆիլմ է նկարահանվել նրա մասին։ Մեր հոդվածում մենք կանդրադառնանք զարգացման և հաշվարկների պատմությանը, ինչպես նաև մեր կյանքում Pi հաստատունի կիրառման ոլորտներին:

Pi-ն մաթեմատիկական հաստատուն է, որը հավասար է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի երկարության հարաբերությանը: Սկզբում այն ​​անվանվել է Լյուդոլֆի թիվ, և առաջարկվել է այն նշել Պի տառով բրիտանացի մաթեմատիկոս Ջոնսի կողմից 1706 թվականին։ 1737 թվականին Լեոնհարդ Էյլերի աշխատանքից հետո այս անվանումը դարձավ ընդհանուր ընդունված։

Pi թիվը իռացիոնալ է, այսինքն՝ դրա արժեքը չի կարող ճշգրիտ արտահայտվել որպես m/n կոտորակ, որտեղ m և n-ն ամբողջ թվեր են։ Սա առաջին անգամ ապացուցել է Յոհան Լամբերտը 1761 թվականին։

Pi թվի զարգացման պատմությունն արդեն շուրջ 4000 տարի է։ Նույնիսկ հին եգիպտացի և բաբելոնացի մաթեմատիկոսները գիտեին, որ շրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը նույնն է ցանկացած շրջանագծի համար, և դրա արժեքը երեքից մի փոքր ավելի է:

Արքիմեդն առաջարկեց Pi-ի հաշվարկման մաթեմատիկական մեթոդ, որում նա մակագրում էր շրջանագծի մեջ և նկարագրում դրա շուրջ կանոնավոր բազմանկյունները։ Ըստ նրա հաշվարկների՝ Pi-ն մոտավորապես հավասար էր 22/7 ≈ 3,142857142857143-ի։

2-րդ դարում Չժան Հենը pi-ի համար առաջարկեց երկու արժեք՝ ≈ 3,1724 և ≈ 3,1622:

Հնդիկ մաթեմատիկոսներ Արյաբհատան և Բհասկարան գտել են 3,1416 մոտավոր արժեքը:

900 տարվա ընթացքում pi-ի ամենաճշգրիտ մոտարկումը չինացի մաթեմատիկոս Ցու Չոնչժիի հաշվարկն էր 480-ականներին: Նա եզրակացրեց, որ Pi ≈ 355/113 և ցույց տվեց, որ 3.1415926< Пи < 3,1415927.

Մինչև 2-րդ հազարամյակը հաշվարկվում էր Pi-ի 10 նիշից ոչ ավելի։ Միայն մաթեմատիկական վերլուծության զարգացմամբ և հատկապես շարքերի հայտնաբերմամբ, հաստատունների հաշվարկման մեջ հետագա խոշոր առաջընթացներ եղան:

1400-ական թվականներին Մադավան կարողացավ հաշվարկել Pi=3.14159265359: Նրա ռեկորդը գերազանցել է պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Կաշին 1424 թվականին։ Նա իր «Treatise on the circumference» աշխատության մեջ մեջբերել է Pi-ի 17 թվանշան, որոնցից 16-ը պարզվել է, որ ճիշտ է։

Հոլանդացի մաթեմատիկոս Լյուդոլֆ վան Զելենն իր հաշվարկներում հասել է 20 թվի՝ դրա համար տալով իր կյանքի 10 տարին։ Նրա մահից հետո նրա գրառումներում հայտնաբերվել են pi-ի ևս 15 թվանշաններ։ Նա կտակել է, որ այդ պատկերները քանդակված են իր տապանաքարի վրա։

Համակարգիչների ի հայտ գալուց հետո Pi թիվն այսօր ունի մի քանի տրիլիոն նիշ, և սա սահմանը չէ: Բայց, ինչպես նշվում է «Fractals for the Classroom»-ում, pi-ի կարևորության պատճառով «դժվար է գիտական ​​հաշվարկներում գտնել տարածքներ, որոնք պահանջում են ավելի քան քսան տասնորդական տեղ»:

Մեր կյանքում Pi թիվը օգտագործվում է բազմաթիվ գիտական ​​ոլորտներում: Ֆիզիկան, էլեկտրոնիկան, հավանականության տեսությունը, քիմիան, շինարարությունը, նավարկությունը, դեղաբանությունը դրանցից միայն մի քանիսն են, որոնք ուղղակի անհնար է պատկերացնել առանց այս խորհրդավոր թվի։

Ցանկանու՞մ եք ինքներդ իմանալ և կարողանալ ավելին անել:

Մենք առաջարկում ենք ձեզ ուսուցում հետևյալ ոլորտներում՝ համակարգիչներ, ծրագրեր, վարչարարություն, սերվերներ, ցանցեր, կայքի կառուցում, SEO և այլն: Պարզեք մանրամասները հիմա:

Ըստ Calculator888.ru կայքի՝ Pi թիվը - իմաստ, պատմություն, ով է այն հորինել.