Քառակուսի գրաֆիկների լուծում. Ինչպես հաշվարկել նվազագույնը կամ առավելագույնը՝ օգտագործելով մաթեմատիկական գործողությունները

Բոլորը գիտեն, թե ինչ է պարաբոլան: Բայց թե ինչպես այն ճիշտ, գրագետ օգտագործել տարբեր գործնական խնդիրներ լուծելիս, մենք կհասկանանք ստորև:

Նախ նշենք այն հիմնական հասկացությունները, որոնք հանրահաշիվը և երկրաչափությունը տալիս են այս տերմինին: Հաշվի առեք ամեն ինչ հնարավոր տեսակներըայս աղյուսակը.

Մենք սովորում ենք այս ֆունկցիայի բոլոր հիմնական բնութագրերը: Եկեք հասկանանք կորի (երկրաչափության) կառուցման հիմունքները: Եկեք սովորենք, թե ինչպես գտնել այս տեսակի գրաֆիկի վերին, այլ հիմնական արժեքները:

Մենք կիմանանք՝ ինչպես է պահանջվող կորը ճիշտ կառուցված ըստ հավասարման, ինչին պետք է ուշադրություն դարձնել։ Տեսնենք հիմնականը գործնական օգտագործումայս եզակի արժեքը մարդկային կյանքում:

Ինչ է պարաբոլան և ինչ տեսք ունի այն

Հանրահաշիվ. այս տերմինը վերաբերում է գրաֆիկին քառակուսի ֆունկցիա.

Երկրաչափություն. Սա երկրորդ կարգի կոր է, որն ունի մի շարք հատուկ առանձնահատկություններ.

Կանոնական պարաբոլայի հավասարում

Նկարը ցույց է տալիս ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (XOY), ծայրահեղություն, ֆունկցիայի գծագրման ճյուղերի ուղղությունը աբսցիսայի առանցքի երկայնքով:

Կանոնական հավասարումը հետևյալն է.

y 2 \u003d 2 * p * x,

որտեղ p գործակիցը պարաբոլայի կիզակետային պարամետրն է (AF):

Հանրահաշվում այլ կերպ է գրված.

y = a x 2 + b x + c (ճանաչելի օրինակ. y = x 2):

Քառակուսային ֆունկցիայի հատկությունները և գրաֆիկը

Ֆունկցիան ունի համաչափության առանցք և կենտրոն (ծայրահեղ): Սահմանման տիրույթը x-առանցքի բոլոր արժեքներն են:

Ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը - (-∞, M) կամ (M, +∞) կախված է կորի ճյուղերի ուղղությունից: M պարամետրն այստեղ նշանակում է գծի վերևում գտնվող ֆունկցիայի արժեքը:

Ինչպես որոշել, թե ուր են ուղղված պարաբոլայի ճյուղերը

Արտահայտությունից այս տեսակի կորի ուղղությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է նշել նշանը առաջին պարամետրի դիմաց. հանրահաշվական արտահայտություն. Եթե ​​a ˃ 0, ապա դրանք ուղղված են դեպի վեր։ Հակառակ դեպքում՝ ներքև։

Ինչպես գտնել պարաբոլայի գագաթը՝ օգտագործելով բանաձևը

Էքստրեմում գտնելը շատ գործնական խնդիրների լուծման հիմնական քայլն է։ Իհարկե, դուք կարող եք բացել հատուկ առցանց հաշվիչներբայց ավելի լավ է ինքներդ կարողանաք դա անել:

Ինչպե՞ս սահմանել այն: Կա հատուկ բանաձեւ. Երբ b-ը հավասար չէ 0-ի, մենք պետք է փնտրենք այս կետի կոորդինատները:

Վերևը գտնելու բանաձևեր.

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0):

Օրինակ.

Կա y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 ֆունկցիա: Եկեք գտնենք այս ֆունկցիայի գագաթները:

Նման տողի համար.

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41:

Ստանում ենք գագաթի կոորդինատները (-2, -41):

Պարաբոլայի օֆսեթ

Դասական դեպքն այն է, երբ քառակուսի ֆունկցիայի մեջ y = a x 2 + b x + c երկրորդ և երրորդ պարամետրերը 0 են, իսկ = 1 - գագաթը գտնվում է (0; 0) կետում:

Շարժումը աբսցիսայի կամ օրդինատների առանցքների երկայնքով պայմանավորված է համապատասխանաբար b և c պարամետրերի փոփոխությամբ:Հարթության վրա գծի տեղաշարժը կիրականացվի հենց միավորների քանակով, որը հավասար է պարամետրի արժեքին։

Օրինակ.

Մենք ունենք՝ b = 2, c = 3:

Սա նշանակում է, որ կորի դասական տեսքը կտեղափոխվի 2 միավոր հատվածով աբսցիսայի առանցքի երկայնքով և 3-ով օրդինատների առանցքի երկայնքով:

Ինչպես կառուցել պարաբոլա՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարումը

Դպրոցականների համար կարևոր է սովորել, թե ինչպես ճիշտ նկարել պարաբոլան՝ ըստ տրված պարամետրերի։

Արտահայտություններն ու հավասարումները վերլուծելով՝ կարող եք տեսնել հետևյալը.

1. Ցանկալի ուղիղի հատման կետը օրդինատների վեկտորի հետ կունենա c-ի արժեք:
2. Գրաֆիկի բոլոր կետերը (x առանցքի երկայնքով) սիմետրիկ կլինեն ֆունկցիայի հիմնական ծայրահեղության նկատմամբ:

Բացի այդ, OX-ի հետ խաչմերուկները կարելի է գտնել՝ իմանալով նման ֆունկցիայի դիսկրիմինանտը (D).

D \u003d (b 2 - 4 * a * c):

Դա անելու համար անհրաժեշտ է արտահայտությունը հավասարեցնել զրոյի:

Պարաբոլայի արմատների առկայությունը կախված է արդյունքից.

• D ˃ 0, ապա x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D \u003d 0, ապա x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, ապա OX վեկտորի հետ հատման կետեր չկան:

Մենք ստանում ենք պարաբոլա կառուցելու ալգորիթմը.

• որոշել ճյուղերի ուղղությունը.
• գտնել գագաթի կոորդինատները;
• գտե՛ք խաչմերուկը y առանցքի հետ;
• գտե՛ք խաչմերուկը x առանցքի հետ:

Օրինակ 1

Տրվում է ֆունկցիա y \u003d x 2 - 5 * x + 4: Անհրաժեշտ է պարաբոլա կառուցել: Մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի.

1. a \u003d 1, հետևաբար, ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;
2. ծայրահեղ կոորդինատները `x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. հատվում է y առանցքի հետ y = 4 արժեքով;
4. գտե՛ք տարբերակիչը՝ D = 25 - 16 = 9;
5. արմատներ փնտրելով

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (տասը):

Օրինակ 2

y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 ֆունկցիայի համար անհրաժեշտ է պարաբոլա կառուցել: Մենք գործում ենք վերը նշված ալգորիթմի համաձայն.

1. a \u003d 3, հետևաբար, ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;
2. ծայրահեղ կոորդինատները `x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y առանցքի հետ հատվելու է y \u003d -1 արժեքով;
4. Գտեք տարբերակիչը՝ D \u003d 4 + 12 \u003d 16: Այսպիսով, արմատները.

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0):

Ստացված կետերից կարելի է պարաբոլա կառուցել։

Ուղղորդիչ, էքսցենտրիկություն, պարաբոլայի կիզակետ

Հիմնվելով կանոնական հավասարման վրա՝ F կիզակետն ունի կոորդինատներ (p/2, 0):

Ուղիղ AB-ն ուղղագիծ է (որոշակի երկարությամբ պարաբոլայի մի տեսակ): Նրա հավասարումը x = -p/2 է:

Էքսցենտրիկություն (հաստատուն) = 1:

Եզրակացություն

Մենք դիտարկել ենք այն թեման, որտեղ սովորում են ուսանողները ավագ դպրոց. Այժմ դուք գիտեք, նայելով պարաբոլայի քառակուսային ֆունկցիային, թե ինչպես գտնել նրա գագաթը, թե որ ուղղությամբ են ուղղվելու ճյուղերը, կա արդյոք շեղում առանցքների երկայնքով, և, ունենալով շինարարական ալգորիթմ, կարող եք գծել դրա գրաֆիկը։