Ինչ թվեր են բնական: Ճշգրիտ առարկայի ուսումնասիրություն. բնական թվերն են այն թվերը, օրինակները և հատկությունները

Բնական թվերը մաթեմատիկական ամենահին հասկացություններից են։

Հեռավոր անցյալում մարդիկ թվեր չգիտեին, և երբ անհրաժեշտ էր հաշվել առարկաները (կենդանիներ, ձկներ և այլն), նրանք դա անում էին այլ կերպ, քան մենք հիմա:

Առարկաների թիվը համեմատում էին մարմնի մասերի հետ, օրինակ՝ ձեռքի մատների հետ, և ասում էին. «Ես այնքան ընկույզ ունեմ, որքան ձեռքի մատները»։

Ժամանակի ընթացքում մարդիկ հասկացան, որ հինգ ընկույզ, հինգ այծ և հինգ նապաստակ ունեն ընդհանուր սեփականություն՝ նրանց թիվը հինգն է:

Հիշիր.

Ամբողջ թվեր 1-ով սկսվող թվեր են, որոնք ստացվում են առարկաները հաշվելիս:

1, 2, 3, 4, 5…

ամենափոքր բնական թիվը — 1 .

ամենամեծ բնական թիվըգոյություն չունի.

Հաշվելիս զրո թիվը չի օգտագործվում։ Հետեւաբար, զրոն բնական թիվ չի համարվում։

Մարդիկ սովորել են թվեր գրել շատ ավելի ուշ, քան հաշվել։ Առաջին հերթին նրանք սկսեցին միավորը ներկայացնել մեկ փայտով, այնուհետև երկու փայտով` 2-րդ համարով, երեքով` 3-ով:

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Այնուհետև հայտնվեցին թվերի նշանակման հատուկ նշաններ՝ ժամանակակից թվերի նախակարապետները: Թվերը, որոնք մենք օգտագործում ենք թվեր գրելու համար, առաջացել են Հնդկաստանում մոտ 1500 տարի առաջ: Արաբները նրանց բերեցին Եվրոպա, ուստի կոչվում են Արաբական թվեր.

Ընդհանուր առմամբ տասը թվանշան կա՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9։ Այս թվանշաններով կարելի է գրել ցանկացած բնական թիվ։

Հիշիր.

բնական շարքբոլոր բնական թվերի հաջորդականությունն է՝

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Բնական շարքում յուրաքանչյուր թիվ նախորդից մեծ է 1-ով։

Բնական շարքը անվերջ է, նրանում ամենամեծ բնական թիվ չկա։

Հաշվիչ համակարգը, որը մենք օգտագործում ենք, կոչվում է տասնորդական դիրքային.

Տասնորդական, քանի որ յուրաքանչյուր թվի 10 միավորը կազմում է ամենակարևոր թվանշանի 1 միավորը: Դիրքային, քանի որ թվի արժեքը կախված է թվի նշման մեջ նրա տեղից, այսինքն այն թվից, որով այն գրված է։

Կարևոր!

Միլիարդին հաջորդող դասերը անվանվում են ըստ թվերի լատինական անվանումների։ Յուրաքանչյուր հաջորդ միավորը պարունակում է հազար նախորդներ:

• 1,000 միլիարդ = 1,000,000,000,000 = 1 տրիլիոն («երեքը» լատիներեն նշանակում է «երեք»)
• 1,000 տրիլիոն = 1,000,000,000,000,000 = 1 կվադրիլիոն («քվադրա» լատիներեն նշանակում է «չորս»)
• 1,000 կվադրիլիոն = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 կվինտիլիոն («quinta»-ն լատիներեն նշանակում է «հինգ»)

Այնուամենայնիվ, ֆիզիկոսները գտել են մի թիվ, որը գերազանցում է ամբողջ տիեզերքի բոլոր ատոմների (նյութի ամենափոքր մասնիկների) թվին։

Այս համարը հատուկ անուն ունի. googol. Գուգոլը այն թիվն է, որն ունի 100 զրո:

Ամբողջ թվեր- Բնական թվերը թվեր են, որոնք օգտագործվում են առարկաները հաշվելու համար: Բոլոր բնական թվերի բազմությունը երբեմն կոչվում է բնական շարք՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 և այլն .

Բնական թվեր գրելու համար օգտագործվում է տասը նիշ՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9։ Դրանց օգնությամբ կարելի է գրել ցանկացած բնական թիվ։ Այս նշումը կոչվում է տասնորդական:

Թվերի բնական շարքը կարելի է անվերջ շարունակել։ Չկա մի թիվ, որը կլինի վերջինը, քանի որ մեկը միշտ կարելի է գումարել վերջին թվին, և մեկը կստանա մի թիվ, որն արդեն մեծ է ցանկալիից: Այս դեպքում մենք ասում ենք, որ բնական շարքում ամենամեծ թիվ չկա։

Բնական թվերի թվանշաններ

Թվերի օգտագործմամբ ցանկացած թիվ գրելիս վճռորոշ նշանակություն ունի այն տեղը, որտեղ թիվը գտնվում է թվի մեջ: Օրինակ՝ 3 թիվը նշանակում է՝ 3 միավոր, եթե թվի մեջ վերջինն է. 3 տասնյակ, եթե այն կլինի նախավերջին տեղում գտնվող թվի մեջ. 4 հարյուր, եթե նա վերջից կլինի երրորդ տեղում։

Վերջին նիշը նշանակում է միավորների թվանշան, նախավերջինը՝ տասնյակ, վերջից 3-ը՝ հարյուրավոր թվանշան։

Մեկ և բազմանիշ թվեր

Եթե ​​թվի որևէ թվանշանում կա 0, դա նշանակում է, որ այս թվանշանում միավորներ չկան:

0 թիվը նշանակում է զրո: Զրոն «ոչ մեկը» է։

Զրոն բնական թիվ չէ։ Չնայած որոշ մաթեմատիկոսներ այլ կերպ են մտածում։

Եթե ​​թիվը բաղկացած է մեկ նիշից, այն կոչվում է միանիշ, երկնիշ, եռանիշ, եռանիշ և այլն։

Այն թվերը, որոնք միանիշ չեն, կոչվում են նաև բազմանիշ։

Բնական մեծ թվեր կարդալու թվային դասեր

Բնական մեծ թվերը կարդալու համար թիվը բաժանվում է երեք նիշանոց խմբերի՝ սկսած աջ եզրից։ Այս խմբերը կոչվում են դասեր:

Աջ եզրից առաջին երեք թվանշանները կազմում են միավորների դասը, հաջորդ երեքը՝ հազարավորների դասը, հաջորդ երեքը՝ միլիոնների դասը:

Միլիոնը հազար հազար է, ի գիտություն նրանք օգտագործում են միլիոն 1 միլիոն = 1,000,000 հապավումը։

Միլիարդ = հազար միլիոն: Ձայնագրման համար օգտագործվում է միլիարդ 1 միլիարդ = 1,000,000,000 հապավումը։

Գրել և կարդալ օրինակ

Այս թիվը միլիարդների դասում ունի 15 միավոր, միլիոնների դասում՝ 389 միավոր, հազարավորների դասում՝ զրոյական, իսկ միավորների դասում՝ 286 միավոր։

Այս թիվը կարդում է այսպես՝ 15 միլիարդ 389 միլիոն 286.

Կարդացեք թվերը ձախից աջ: Իր հերթին, կանչվում է յուրաքանչյուր դասի միավորների թիվը, այնուհետև ավելացվում է դասի անվանումը։

Բնական թվերը ծանոթ են մարդուն և ինտուիտիվ, քանի որ նրանք մեզ շրջապատում են մանկությունից: Ստորև բերված հոդվածում մենք հիմնական պատկերացում կտանք բնական թվերի նշանակության մասին, նկարագրելու ենք դրանք գրելու և կարդալու հիմնական հմտությունները: Ամբողջ տեսական մասը կուղեկցվի օրինակներով։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Բնական թվերի ընդհանուր պատկերացում

Մարդկության զարգացման որոշակի փուլում խնդիր է առաջացել հաշվել որոշակի առարկաներ և որոշել դրանց քանակը, ինչը, իր հերթին, պահանջում էր գտնել այս խնդիրը լուծելու գործիք: Նման գործիք դարձան բնական թվերը։ Բնական թվերի հիմնական նպատակը նույնպես պարզ է՝ պատկերացում տալ օբյեկտների քանակի կամ որոշակի օբյեկտի սերիական համարի մասին, եթե խոսքը մի շարքի մասին է։

Տրամաբանական է, որ մարդ բնական թվեր օգտագործելու համար անհրաժեշտ է դրանք ընկալելու և վերարտադրելու միջոց ունենալ։ Այսպիսով, բնական թիվը կարելի է հնչեցնել կամ պատկերել, որոնք տեղեկատվության փոխանցման բնական եղանակներ են։

Դիտարկենք բնական թվերի բարձրաձայնման (կարդալու) և պատկերների (գրելու) հիմնական հմտությունները:

Բնական թվի տասնորդական նշում

Հիշեք, թե ինչպես են ցուցադրվում հետևյալ նիշերը (մենք նշում ենք դրանք բաժանված ստորակետներով). 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Այս նիշերը կոչվում են թվեր:

Այժմ որպես կանոն ընդունենք, որ ցանկացած բնական թիվ պատկերելիս (գրելիս) օգտագործվում են միայն նշված թվանշանները՝ առանց որևէ այլ նշանի։ Թող բնական թիվ գրելիս թվանշանները ունենան նույն բարձրությունը, գրվեն մեկը մյուսի հետևից տողով, իսկ ձախ կողմում միշտ զրոյից տարբերվող թվանշան կա։

Նշենք բնական թվերի ճիշտ նշման օրինակներ՝ 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001։ Թվերի միջև ընկած հատվածները միշտ չէ, որ նույնն են, սա ավելի մանրամասն կքննարկվի ստորև՝ թվերի դասերն ուսումնասիրելիս: Բերված օրինակները ցույց են տալիս, որ բնական թիվ գրելիս պարտադիր չէ ունենալ վերը նշված շարքի բոլոր թվանշանները։ Դրանցից մի քանիսը կամ բոլորը կարող են կրկնվել:

Սահմանում 1

Ձևի գրառումները՝ 065, 0, 003, 0791 բնական թվերի գրառումներ չեն, քանի որ. ձախ կողմում 0 թիվն է:

Բնական թվի ճիշտ նշումը, որը կատարվում է հաշվի առնելով նկարագրված բոլոր պահանջները, կոչվում է բնական թվի տասնորդական նշում.

Բնական թվերի քանակական նշանակությունը

Ինչպես արդեն նշվեց, բնական թվերն ի սկզբանե կրում են, ի թիվս այլ բաների, քանակական նշանակություն։ Բնական թվերը՝ որպես համարակալման գործիք, քննարկվում են բնական թվերի համեմատության թեմայում։

Սկսենք բնական թվերից, որոնց մուտքերը համընկնում են թվանշանների մուտքերի հետ, այսինքն. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Պատկերացրեք որոշակի առարկա, օրինակ, սա՝ Ψ . Մենք կարող ենք գրել այն, ինչ տեսնում ենք 1 առարկա. Բնական թիվ 1-ը կարդացվում է որպես «մեկ» կամ «մեկ»: «Միավոր» տերմինն ունի նաև մեկ այլ իմաստ՝ մի բան, որը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջություն։ Եթե ​​կա բազմություն, ապա դրա ցանկացած տարր կարելի է նշել մեկով։ Օրինակ, շատ մկներից ցանկացած մուկ մեկն է. ծաղիկների հավաքածուից ցանկացած ծաղիկ միավոր է:

Հիմա պատկերացրեք՝ Ψ Ψ . Մենք տեսնում ենք մեկ առարկա և մեկ այլ առարկա, այսինքն. ռեկորդում կլինի՝ 2 հատ։ Բնական թիվ 2-ը կարդացվում է որպես «երկու»։

Այնուհետև, անալոգիայի համաձայն. («վեց»), Փ Փ Փ Փ Փ Փ Փ - 7 («յոթ»), ինը»):

Նշված դիրքից բնական թվի ֆունկցիան ցույց տալն է քանակիրեր.

Սահմանում 1

Եթե ​​թվի մուտքագրումը համընկնում է 0 թվանշանի մուտքագրման հետ, ապա այդպիսի թիվ է կոչվում "զրո".Զրոն բնական թիվ չէ, բայց այն դիտարկվում է այլ բնական թվերի հետ միասին։ Զրո նշանակում է ոչ, այսինքն. զրոյական իրեր նշանակում է ոչ մեկը:

Միանիշ բնական թվեր

Ակնհայտ փաստ է, որ վերը քննարկված բնական թվերից յուրաքանչյուրը (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) գրելիս օգտագործում ենք մեկ նշան՝ մեկ նիշ։

Սահմանում 2

Միանիշ բնական թիվ- բնական թիվ, որը գրվում է մեկ նշանով՝ մեկ թվանշանով։

Կան ինը միանիշ բնական թվեր՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9։

Երկնիշ և եռանիշ բնական թվեր

Սահմանում 3

Երկնիշ բնական թվեր- բնական թվեր, որոնք գրվում են երկու նշանով՝ երկնիշ։ Այս դեպքում օգտագործվող թվերը կարող են լինել կամ նույնը կամ տարբեր:

Օրինակ՝ 71, 64, 11 բնական թվերը երկնիշ են։

Դիտարկենք երկնիշ թվերի նշանակությունը: Մենք հիմնվելու ենք մեզ արդեն հայտնի միարժեք բնական թվերի քանակական նշանակության վրա։

Ներկայացնենք «տասը» հասկացությունը։

Պատկերացրեք առարկաների հավաքածու, որը բաղկացած է ինը և ևս մեկից: Այս դեպքում կարելի է խոսել 1 տասնյակ («մեկ տասնյակ») իրերի մասին։ Եթե ​​պատկերացնեք մեկ տասնյակ և ավելին, ապա կխոսենք 2 տասնյակի մասին («երկու տասնյակ»): Եվս մեկ տասնյակ երկու տասնյակին գումարելով՝ ստանում ենք երեք տասնյակ։ Եվ այսպես շարունակ. շարունակելով ավելացնել մեկ տասնյակը՝ ստանում ենք չորս տասնյակ, հինգ տասնյակ, վեց տասնյակ, յոթ տասնյակ, ութ տասնյակ և վերջապես ինը տասնյակ։

Դիտարկենք երկնիշ թվին որպես միանիշ թվերի բազմություն, որոնցից մեկը գրված է աջ կողմում, մյուսը՝ ձախ: Ձախ թիվը ցույց կտա բնական թվի տասնյակների թիվը, իսկ աջում՝ միավորների թիվը։ Այն դեպքում, երբ 0 թիվը գտնվում է աջ կողմում, ապա խոսքը միավորների բացակայության մասին է։ Վերը նշվածը բնական երկնիշ թվերի քանակական նշանակությունն է։ Ընդհանուր առմամբ դրանք 90-ն են։

Սահմանում 4

Եռանիշ բնական թվեր- բնական թվեր, որոնք գրվում են երեք նիշերով՝ երեք նիշով։ Թվերը կարող են տարբեր լինել կամ կրկնվել ցանկացած համակցության մեջ:

Օրինակ՝ 413, 222, 818, 750 եռանիշ բնական թվեր են։

Եռարժեք բնական թվերի քանակական նշանակությունը հասկանալու համար ներկայացնում ենք հասկացությունը "հարյուր".

Սահմանում 5

Հարյուր (1 հարյուր)տասը տասնյակի հավաքածու է։ Հարյուր գումարած հարյուրը հավասար է երկու հարյուրի: Ավելացրե՛ք ևս հարյուրը և ստացե՛ք 3 հարյուրյակ։ Աստիճանաբար հարյուրը գումարելով՝ ստանում ենք՝ չորս հարյուր, հինգ հարյուր, վեց հարյուր, յոթ հարյուր, ութ հարյուր, ինը հարյուր։

Դիտարկենք հենց եռանիշ թվի գրառումը. դրանում ներառված միանիշ բնական թվերը գրվում են մեկը մյուսի հետևից ձախից աջ: Ամենաաջ մեկ նիշը ցույց է տալիս միավորների քանակը. հաջորդ միանիշ թիվը դեպի ձախ - տասնյակների թվով; ամենաձախ միանիշը հարյուրավորների թիվն է: Եթե ​​մուտքագրում ներառված է 0 թիվը, ապա դա ցույց է տալիս միավորների և/կամ տասնյակների բացակայությունը:

Այսպիսով, 402 եռանիշ բնական թիվը նշանակում է՝ 2 միավոր, 0 տասնյակ (չկան տասնյակ, որոնք չմիավորվեն հարյուրավորների մեջ) և 4 հարյուրավոր։

Համեմատությամբ տրվում է քառանիշ, հնգանիշ և այլն բնական թվերի սահմանումը։

Բազմարժեք բնական թվեր

Վերոնշյալ բոլորից այժմ կարելի է անցնել բազմարժեք բնական թվերի սահմանմանը։

Սահմանում 6

Բազմարժեք բնական թվեր- բնական թվեր, որոնք գրվում են երկու կամ ավելի նիշերի միջոցով: Բազմանիշ բնական թվերը երկնիշ, եռանիշ և այլն թվեր են։

Հազարը մի շարք է, որը ներառում է տասը հարյուր; մեկ միլիոնը կազմված է հազար հազարից. մեկ միլիարդ - հազար միլիոն; մեկ տրիլիոնը հազար միլիարդ է: Նույնիսկ ավելի մեծ հավաքածուները նույնպես ունեն անուններ, բայց դրանց օգտագործումը հազվադեպ է:

Ինչպես վերը նշված սկզբունքով, ցանկացած բազմանիշ բնական թիվ կարող ենք դիտարկել որպես միանիշ բնական թվերի բազմություն, որոնցից յուրաքանչյուրը, գտնվելով որոշակի տեղում, ցույց է տալիս միավորների առկայությունը և թիվը՝ տասնյակ, հարյուրավոր, հազարավոր, տասնյակ։ հազարավոր, հարյուր հազարավոր, միլիոնավոր, տասնյակ միլիոնավոր, հարյուր միլիոնավոր, միլիարդավոր և այլն (համապատասխանաբար՝ աջից ձախ):

Օրինակ՝ 4 912 305 բազմանիշ թիվը պարունակում է՝ 5 միավոր, 0 տասնյակ, երեք հարյուր, 2 հազար, 1 տասնյակ հազար, 9 հարյուր հազար և 4 միլիոն։

Ամփոփելով՝ մենք ուսումնասիրեցինք միավորները տարբեր բազմությունների մեջ (տասնյակներ, հարյուրավորներ և այլն) խմբավորելու հմտությունը և տեսանք, որ բազմանիշ բնական թվի գրառման թվերը նման բազմությունների յուրաքանչյուր միավորի միավորների թվի նշանակումն են:

Բնական թվերի ընթերցում, դասեր

Վերոնշյալ տեսության մեջ մենք նշել ենք բնական թվերի անունները։ Աղյուսակ 1-ում մենք նշում ենք, թե ինչպես ճիշտ օգտագործել միանիշ բնական թվերի անունները խոսքում և այբբենական նշումներում.

Թիվ	արական	Իգական սեռ	Չեզոք սեռ
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Մեկը Երկու Երեք Չորս Հինգ Վեց Յոթ Ութ Ինը	Մեկը Երկու Երեք Չորս Հինգ Վեց Յոթ Ութ Ինը	Մեկը Երկու Երեք Չորս Հինգ Վեց Յոթ Ութ Ինը

Թիվ	անվանական գործ	Սեռական	Դատիվ	Ակտիվատիվ	Գործիքային պատյան	Նախադրյալ
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Մեկը Երկու Երեք Չորս Հինգ Վեց Յոթ Ութ Ինը	Մեկը Երկու Երեք չորս Հինգ վեց Կիսամյակային ութ Ինը	մեկին երկու Տրեմ չորս Հինգ վեց Կիսամյակային ութ Ինը	Մեկը Երկու Երեք Չորս Հինգ Վեց Յոթ Ութ Ինը	Մեկը երկու Երեք չորս Հինգ վեց ընտանիք ութ Ինը	Մոտ մեկ Մոտ երկու Մոտ երեք Մոտ չորս Կրկին Մոտ վեց Մոտ յոթ Մոտ ութ Մոտ ինը

Երկնիշ թվեր գրագետ կարդալու և գրելու համար անհրաժեշտ է իմանալ աղյուսակ 2-ի տվյալները.

Թիվ	Արական, իգական և չեզոք
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Տասը Տասնմեկ Տասներկու Տասներեք Տասնչորս Տասնհինգ Տասնվեց Տասնյոթ Տասնութ Տասնինը քսան Երեսուն Քառասուն Հիսուն վաթսուն Յոթանասուն Ութսուն Իննսուն

Թիվ	անվանական գործ	Սեռական	Դատիվ	Ակտիվատիվ	Գործիքային պատյան	Նախադրյալ
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Տասը Տասնմեկ Տասներկու Տասներեք Տասնչորս Տասնհինգ Տասնվեց Տասնյոթ Տասնութ Տասնինը քսան Երեսուն Քառասուն Հիսուն վաթսուն Յոթանասուն Ութսուն Իննսուն	տասը Տասնմեկ տասներկու տասներեք տասնչորս տասնհինգ տասնվեց տասնյոթ տասնութ տասնինը քսան երեսուն Կաչաղակ հիսուն վաթսուն Յոթանասուն ութսուն իննսուն	տասը Տասնմեկ տասներկու տասներեք տասնչորս տասնհինգ տասնվեց տասնյոթ տասնութ տասնինը քսան երեսուն Կաչաղակ հիսուն վաթսուն Յոթանասուն ութսուն իննսուն	Տասը Տասնմեկ Տասներկու Տասներեք Տասնչորս Տասնհինգ Տասնվեց Տասնյոթ Տասնութ Տասնինը քսան Երեսուն Քառասուն Հիսուն վաթսուն Յոթանասուն Ութսուն Իննսուն	տասը Տասնմեկ տասներկու տասներեք տասնչորս տասնհինգ տասնվեց տասնյոթ տասնութ տասնինը քսան երեսուն Կաչաղակ հիսուն վաթսուն Յոթանասուն ութսուն Իննսուն	Մոտ տասը Մոտ տասնմեկ Մոտ տասներկու Մոտ տասներեք Մոտ տասնչորս Մոտ տասնհինգ Մոտ տասնվեց Մոտ տասնյոթ Մոտ տասնութ Մոտ տասնինը Մոտ քսան Մոտ երեսուն Ախ կաչաղակ Մոտ հիսուն Մոտ վաթսուն Մոտ յոթանասուն Մոտ ութսուն Մոտ իննսուն

Այլ բնական երկնիշ թվեր կարդալու համար մենք կօգտագործենք երկու աղյուսակների տվյալները, դիտարկենք սա օրինակով: Ենթադրենք, պետք է կարդալ բնական երկնիշ թիվ 21: Այս թիվը պարունակում է 1 միավոր և 2 տասնյակ, այսինքն. 20 և 1. Անդրադառնալով աղյուսակներին՝ նշված թիվը կարդում ենք որպես «քսանմեկ», մինչդեռ բառերի միջև «և» միավորումն արտասանելու կարիք չունի։ Ենթադրենք՝ ինչ-որ նախադասության մեջ պետք է օգտագործենք նշված 21 թիվը՝ նշելով սեռական հոլովի առարկաների քանակը՝ «21 խնձոր չկա»։ Այս դեպքում արտասանությունը կհնչի այսպես. «Քսանմեկ խնձոր չկա»:

Պարզության համար բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 76 թիվը, որը կարդացվում է «յոթանասունվեց» և, օրինակ, «յոթանասունվեց տոննա»։

Թիվ	Անվանական	Սեռական	Դատիվ	Ակտիվատիվ	Գործիքային պատյան	Նախադրյալ
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Հարյուր Երկու հարյուր Երեք հարյուր Չորս հարյուր Հինգ հարյուր Վեց հարյուր Յոթ հարյուր Ութ հարյուր Ինը հարյուր	Ստա երկու հարյուր երեք հարյուր չորս հարյուր հինգ հարյուր վեց հարյուր Յոթ հարյուր ութ հարյուր ինը հարյուր	Ստա երկու հարյուր Տրեմստամ չորս հարյուր հինգ հարյուր Վեց հարյուր յոթ հարյուր ութ հարյուր Ինը հարյուր	Հարյուր Երկու հարյուր Երեք հարյուր Չորս հարյուր Հինգ հարյուր Վեց հարյուր Յոթ հարյուր Ութ հարյուր Ինը հարյուր	Ստա երկու հարյուր Երեք հարյուր չորս հարյուր հինգ հարյուր վեց հարյուր յոթ հարյուր ութ հարյուր Ինը հարյուր	Մոտ հարյուր Մոտ երկու հարյուր Մոտ երեք հարյուր Մոտ չորս հարյուր Մոտ հինգ հարյուր Մոտ վեց հարյուր Մոտ յոթ հարյուր Մոտ ութ հարյուր Մոտ ինը հարյուր

Եռանիշ թիվն ամբողջությամբ կարդալու համար մենք օգտագործում ենք նաև նշված բոլոր աղյուսակների տվյալները։ Օրինակ՝ տրված է 305 բնական թիվը։ Այս թվին համապատասխանում է 5 միավոր, 0 տասնյակ և 3 հարյուրյակ՝ 300 և 5։ Աղյուսակը հիմք ընդունելով՝ կարդում ենք՝ «երեք հարյուր հինգ» կամ ըստ դեպքերի անկման, օրինակ՝ այսպես՝ «երեք հարյուր հինգ մետր»։

Կարդանք ևս մեկ թիվ՝ 543։ Համաձայն աղյուսակների կանոնների՝ նշված թիվը կհնչի այսպես՝ «հինգ հարյուր քառասուներեք» կամ դեպքի անկման դեպքում, օրինակ՝ այսպես՝ «ոչ հինգ հարյուր քառասուներեք ռուբլի»:

Անցնենք բազմանիշ բնական թվերի ընթերցման ընդհանուր սկզբունքին՝ բազմանիշ թիվ կարդալու համար անհրաժեշտ է այն աջից ձախ բաժանել երեք նիշանոց խմբերի, իսկ ամենաձախ խումբը կարող է ունենալ 1, 2 կամ 3 նիշ։ . Նման խմբերը կոչվում են դասեր:

Ծայրահեղ աջ դասը միավորների դասն է; այնուհետև հաջորդ դասը, ձախում՝ հազարավորների դասը; հետագա - միլիոնների դաս; հետո գալիս է միլիարդների դասը, որին հաջորդում է տրիլիոնների դասը: Հետևյալ դասերը նույնպես անուն ունեն, բայց մեծ թվով նիշերից (16, 17 և ավելի) կազմված բնական թվերը հազվադեպ են օգտագործվում ընթերցանության մեջ, բավականին դժվար է դրանք ընկալել ականջով։

Գրառման ընկալման հարմարության համար դասերը միմյանցից բաժանվում են փոքր նահանջով: Օրինակ՝ 31 013 736, 134 678, 23 476 009 434, 2 533 467 001 222:

Դասարան տրիլիոն	Դասարան միլիարդ	Դասարան միլիոն	Հազար դաս	Միավոր դաս
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Բազմանիշ թիվը կարդալու համար հերթով կանչում ենք այն կազմող թվերը (ձախից աջ՝ ըստ դասարանի՝ ավելացնելով դասարանի անվանումը)։ Միավորների դասի անվանումը չի արտասանվում, և այն դասերը, որոնք կազմում են երեք թվանշանը 0, նույնպես չեն արտասանվում։ Եթե ​​մեկ դասի ձախ կողմում առկա է մեկ կամ երկու թվանշան 0, ապա դրանք կարդալիս ոչ մի կերպ չեն օգտագործվում: Օրինակ՝ 054-ը կարդացվում է որպես «հիսունչորս» կամ 001-ը՝ «մեկ»:

Օրինակ 1

Եկեք մանրամասն ուսումնասիրենք 2 533 467 001 222 համարի ընթերցումը.

Մենք կարդում ենք 2 թիվը՝ որպես տրիլիոնների դասի բաղադրիչ՝ «երկու»;

Ավելացնելով դասի անվանումը՝ ստանում ենք՝ «երկու տրիլիոն»;

Կարդում ենք հետևյալ թիվը՝ ավելացնելով համապատասխան դասի անվանումը՝ «հինգ հարյուր երեսուներեք միլիարդ»;

Մենք շարունակում ենք անալոգիայով՝ կարդալով հաջորդ դասը դեպի աջ՝ «չորս հարյուր վաթսունյոթ միլիոն»;

Հաջորդ դասում մենք տեսնում ենք երկու թվանշան 0, որոնք գտնվում են ձախ կողմում: Համաձայն վերը նշված ընթերցման կանոնների՝ 0 թվանշանները հանվում են և չեն մասնակցում գրառումների ընթերցմանը: Այնուհետև մենք ստանում ենք «մեկ հազար»;

Մենք կարդում ենք միավորների վերջին դասը՝ առանց դրա անունը ավելացնելու՝ «երկու հարյուր քսաներկու»։

Այսպիսով, 2 533 467 001 222 թիվը կհնչի այսպես՝ երկու տրիլիոն հինգ հարյուր երեսուներեք միլիարդ չորս հարյուր վաթսունյոթ միլիոն հազար երկու հարյուր քսաներկու։ Օգտագործելով այս սկզբունքը, մենք կարող ենք կարդալ նաև տրված մյուս թվերը.

31 013 736 - երեսունմեկ միլիոն տասներեք հազար յոթ հարյուր երեսունվեց;

134 678 - հարյուր երեսունչորս հազար վեց հարյուր յոթանասունութ;

23 476 009 434 - քսաներեք միլիարդ չորս հարյուր յոթանասունվեց միլիոն ինը հազար չորս հարյուր երեսունչորս:

Այսպիսով, բազմանիշ թվերի ճիշտ ընթերցման հիմքը բազմանիշ թիվը դասերի բաժանելու ունակությունն է, համապատասխան անունների իմացությունը և երկնիշ և եռանիշ թվերի ընթերցման սկզբունքի ըմբռնումը։

Ինչպես արդեն պարզ է դառնում վերը նշված բոլորից, դրա արժեքը կախված է այն դիրքից, որի վրա թվանշանը կանգնած է թվի գրառումում: Այսինքն, օրինակ 314 բնական թվի 3 թիվը նշանակում է հարյուրավորներ, այն է՝ 3 հարյուրավոր։ Թիվ 2-ը տասնյակների թիվն է (1 տասը), իսկ 4 թիվը՝ միավորների թիվը (4 միավոր): Այս դեպքում կասենք, որ 4 թիվը գտնվում է մեկների տեղում և տվյալ թվի միավորների տեղանքի արժեքն է։ 1 թիվը գտնվում է տասնյակի տեղում և ծառայում է որպես տասնյակի արժեք։ 3 թիվը գտնվում է հարյուրավոր տեղում և հարյուրավոր տեղի արժեքն է։

Սահմանում 7

Լիցքաթափումբնական թվի նշման մեջ թվանշանի դիրքն է, ինչպես նաև այդ թվի արժեքը, որը որոշվում է տվյալ թվի մեջ նրա դիրքով:

Արտանետումները ունեն իրենց անունները, մենք դրանք արդեն օգտագործել ենք վերևում։ Աջից ձախ թվանշանները հաջորդում են՝ միավորներ, տասնյակ, հարյուրավորներ, հազարավորներ, տասնյակ հազարներ և այլն:

Հիշելու հարմարության համար կարող եք օգտագործել հետևյալ աղյուսակը (մենք նշում ենք 15 նիշ).

Եկեք պարզաբանենք այս մանրամասնությունը՝ տրված բազմանիշ թվի թվանշանների թիվը նույնն է, ինչ թվանշանների թիվը։ Օրինակ, այս աղյուսակը պարունակում է 15 նիշ ունեցող թվի բոլոր թվանշանների անունները: Հետագա արտանետումները նույնպես ունեն անուններ, բայց օգտագործվում են չափազանց հազվադեպ և շատ անհարմար են լսելու համար:

Նման աղյուսակի օգնությամբ կարելի է զարգացնել աստիճանը որոշելու հմտությունը՝ աղյուսակում տրված բնական թիվ գրելով այնպես, որ ամենաաջ թվանշանը գրվի միավորների թվանշանով, իսկ հետո յուրաքանչյուր թվանշանով թվանշանով։ Օրինակ՝ 56 402 513 674 բազմանիշ բնական թիվը գրենք այսպես.

Ուշադրություն դարձրեք 0 թվին, որը գտնվում է տասնյակ միլիոնների լիցքաթափման մեջ, դա նշանակում է այս կատեգորիայի միավորների բացակայություն:

Ներկայացնում ենք նաև բազմանիշ թվի ամենացածր և ամենաբարձր թվանշանները:

Սահմանում 8

Ամենացածր (կրտսեր) կոչումցանկացած բազմարժեք բնական թիվ միավորների թվանշանն է:

Բարձրագույն (ավագ) կատեգորիացանկացած բազմանիշ բնական թվի` տվյալ թվի նշման ամենաձախ թվանշանին համապատասխանող թվանշան:

Այսպես, օրինակ, 41781 թվի մեջ ամենացածր աստիճանը միավորների աստիճանն է. ամենաբարձր աստիճանը տասնյակ հազարավոր թվանշանն է:

Տրամաբանորեն հետևում է, որ կարելի է խոսել միմյանց նկատմամբ թվանշանների ավագության մասին։ Յուրաքանչյուր հաջորդ թվանշան ձախից աջ շարժվելիս ավելի ցածր է (երիտասարդ), քան նախորդը: Եվ հակառակը՝ աջից ձախ շարժվելիս յուրաքանչյուր հաջորդ նիշ ավելի բարձր է (ավելի հին), քան նախորդը։ Օրինակ, հազարավոր թվանշանը ավելի հին է, քան հարյուրավոր թվանշանը, բայց ավելի երիտասարդ, քան միլիոնավոր թվանշանը:

Պարզաբանենք, որ որոշ գործնական օրինակներ լուծելիս օգտագործվում է ոչ թե բուն բնական թիվը, այլ տրված թվի բիթերի գումարը։

Համառոտ տասնորդական թվային համակարգի մասին

Սահմանում 9

Նշում- նշանների միջոցով թվեր գրելու մեթոդ:

Դիրքային թվերի համակարգեր- նրանք, որոնցում թվի մեջ թվի արժեքը կախված է թվի նշման մեջ նրա դիրքից:

Ըստ այս սահմանման՝ կարելի է ասել, որ վերևում բնական թվերն ու դրանց գրառման ձևն ուսումնասիրելիս օգտագործել ենք դիրքային թվային համակարգը։ Այստեղ 10 համարը հատուկ տեղ է զբաղեցնում: Շարունակում ենք հաշվել տասնյակներով՝ տասը միավորը կազմում է տասը, տասը տասնյակը՝ հարյուրի և այլն։ 10 թիվը ծառայում է որպես այս թվային համակարգի հիմքը, և ինքնին համակարգը կոչվում է նաև տասնորդական։

Բացի դրանից, կան այլ թվային համակարգեր։ Օրինակ, համակարգչային գիտությունը օգտագործում է երկուական համակարգը: Երբ մենք հետևում ենք ժամանակին, մենք օգտագործում ենք սեքսեսիմալ թվային համակարգը:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Մաթեմատիկան առաջացել է ընդհանուր փիլիսոփայությունից մոտ մ.թ.ա վեցերորդ դարում: ե., և այդ պահից սկսվեց նրա հաղթական երթը աշխարհով մեկ։ Զարգացման յուրաքանչյուր փուլ ներմուծեց մի նոր բան. տարրական հաշվումը զարգանում էր, վերածվում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի, դարեր փոխվում էին, բանաձևերը դառնում էին ավելի ու ավելի շփոթեցնող, և եկավ պահը, երբ «սկսվեց ամենաբարդ մաթեմատիկան. բոլոր թվերը անհետացան դրանից»: Բայց ի՞նչն էր հիմքը։

Ժամանակի Սկիզբ

Բնական թվերը հայտնվեցին առաջին մաթեմատիկական գործողությունների հետ մեկտեղ: Մի անգամ ողնաշար, երկու ողնաշար, երեք ողնաշար… Նրանք հայտնվեցին հնդիկ գիտնականների շնորհիվ, ովքեր եզրակացրեցին առաջին դիրքը

«Դիրքորոշում» բառը նշանակում է, որ թվի մեջ յուրաքանչյուր թվանշանի գտնվելու վայրը խստորեն սահմանված է և համապատասխանում է իր կատեգորիային։ Օրինակ՝ 784 և 487 թվերը նույն թվերն են, բայց թվերը համարժեք չեն, քանի որ առաջինը ներառում է 7 հարյուր, իսկ երկրորդը՝ ընդամենը 4։ Հնդկացիների նորամուծությունն ընդունվել է արաբների կողմից, որոնք թվերը բերել են ձևը, որը մենք հիմա գիտենք:

Հնում թվերին տրվել է առեղծվածային նշանակություն, Պյութագորասը կարծում էր, որ թիվը ընկած է աշխարհի ստեղծման հիմքում հիմնական տարրերի հետ միասին՝ կրակ, ջուր, հող, օդ: Եթե ​​ամեն ինչ դիտարկենք միայն մաթեմատիկական կողմից, ապա ո՞րն է բնական թիվը։ Բնական թվերի դաշտը նշանակվում է N-ով և թվերի անվերջ շարք է, որոնք ամբողջ և դրական են՝ 1, 2, 3, … + ∞: Զրոն բացառված է։ Այն հիմնականում օգտագործվում է իրերը հաշվելու և կարգը նշելու համար։

Ի՞նչ է մաթեմատիկայի մեջ: Պեանոյի աքսիոմները

N դաշտը այն բազային դաշտն է, որի վրա հիմնված է տարրական մաթեմատիկան։ Ժամանակի ընթացքում ամբողջ թվերի դաշտերը, ռացիոնալ,

Իտալացի մաթեմատիկոս Ջուզեպպե Պեանոյի աշխատանքը հնարավոր դարձրեց թվաբանության հետագա կառուցվածքը, հասավ նրա ձևականությանը և ճանապարհ հարթեց հետագա եզրակացությունների համար, որոնք դուրս էին գալիս N.

Թե որն է բնական թիվը, ավելի վաղ պարզաբանվեց պարզ լեզվով, ստորև մենք կքննարկենք մաթեմատիկական սահմանումը, որը հիմնված է Պեանոյի աքսիոմների վրա:

• Մեկը համարվում է բնական թիվ։
• Բնական թվին հաջորդող թիվը բնական թիվ է։
• Մեկից առաջ բնական թիվ չկա։
• Եթե ​​b թիվը հաջորդում է և՛ c թվին, և՛ d թվին, ապա c=d:
• Ինդուկցիայի աքսիոմը, որն իր հերթին ցույց է տալիս, թե ինչ է բնական թիվը. եթե պարամետրից կախված որոշ պնդումներ ճշմարիտ են 1 թվի համար, ապա մենք ենթադրում ենք, որ այն գործում է նաև N բնական թվերի դաշտից n թվի համար։ պնդումը ճիշտ է նաև N բնական թվերի դաշտից n =1-ի համար:

Հիմնական գործողություններ բնական թվերի դաշտի համար

Քանի որ N դաշտը դարձավ առաջինը մաթեմատիկական հաշվարկների համար, դրան են վերաբերում ինչպես սահմանման տիրույթները, այնպես էլ ստորև բերված մի շարք գործողությունների արժեքների միջակայքերը: Նրանք փակ են և ոչ։ Հիմնական տարբերությունն այն է, որ փակ գործողությունները երաշխավորված են արդյունք թողնել N բազմության ներսում, անկախ նրանից, թե ինչ թվեր են ներգրավված: Բավական է, որ դրանք բնական են։ Մնացած թվային փոխազդեցությունների արդյունքն այլևս այնքան էլ միանշանակ չէ և ուղղակիորեն կախված է նրանից, թե ինչպիսի թվեր են ներգրավված արտահայտության մեջ, քանի որ այն կարող է հակասել հիմնական սահմանմանը: Այսպիսով, փակ գործողություններ.

• գումարում - x + y = z, որտեղ x, y, z ներառված են N դաշտում;
• բազմապատկում - x * y = z, որտեղ x, y, z ներառված են N դաշտում;
• աստիճանականացում - x y, որտեղ x, y-ն ներառված են N դաշտում:

Մնացած գործողությունները, որոնց արդյունքը կարող է գոյություն չունենալ «ինչ է բնական թիվ» սահմանման համատեքստում, հետևյալն են.

N դաշտին պատկանող թվերի հատկությունները

Հետագա բոլոր մաթեմատիկական հիմնավորումները հիմնված կլինեն հետևյալ հատկությունների վրա՝ ամենաչնչին, բայց ոչ պակաս կարևոր:

• Գումարման կոմուտատիվ հատկությունն է x + y = y + x, որտեղ x, y թվերը ներառված են N դաշտում կամ հայտնի «գումարը չի փոխվում տերմինների տեղերի փոփոխությունից»։
• Բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունն է x * y = y * x, որտեղ x, y թվերը ներառված են N դաշտում։
• Ավելացման ասոցիատիվ հատկությունն է (x + y) + z = x + (y + z), որտեղ x, y, z-ն ներառված են N դաշտում:
• Բազմապատկման ասոցիատիվ հատկությունն է (x * y) * z = x * (y * z), որտեղ N դաշտում ներառված են x, y, z թվերը։
• բաշխման հատկություն - x (y + z) = x * y + x * z, որտեղ N դաշտում ներառված են x, y, z թվերը:

Պյութագորասի սեղան

Դպրոցականների կողմից տարրական մաթեմատիկայի ամբողջ կառուցվածքի իմացության առաջին քայլերից մեկը, այն բանից հետո, երբ նրանք իրենք իրենց համար հասկացան, թե որ թվերն են կոչվում բնական, Պյութագորասի աղյուսակն է: Այն կարելի է համարել ոչ միայն գիտության տեսանկյունից, այլեւ արժեքավոր գիտական ​​հուշարձան։

Այս բազմապատկման աղյուսակը ժամանակի ընթացքում ենթարկվել է մի շարք փոփոխությունների. զրոն հանվել է դրանից, իսկ 1-ից 10 թվերը նշանակում են իրենց՝ առանց հաշվի առնելու պատվերները (հարյուրներ, հազարներ ...): Այն աղյուսակ է, որտեղ տողերի և սյունակների վերնագրերը թվեր են, և դրանց հատման բջիջների պարունակությունը հավասար է դրանց արտադրյալին:

Վերջին տասնամյակների ուսուցման պրակտիկայում Պյութագորասի աղյուսակը «հերթով» անգիր անելու անհրաժեշտություն է առաջացել, այսինքն՝ անգիրն առաջ է գնացել։ Բազմապատկումը 1-ով բացառվել է, քանի որ արդյունքը եղել է 1 կամ ավելի: Մինչդեռ անզեն աչքով աղյուսակում կարելի է տեսնել մի օրինաչափություն՝ թվերի արտադրյալն աճում է մեկ քայլով, որը հավասար է տողի վերնագրին։ Այսպիսով, երկրորդ գործոնը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ պետք է առաջինը վերցնենք ցանկալի ապրանքը ստանալու համար։ Այս համակարգը շատ ավելի հարմար է, քան միջնադարում կիրառվածը. նույնիսկ հասկանալով, թե ինչ է բնական թիվը և որքան աննշան է այն, մարդիկ կարողացան բարդացնել իրենց ամենօրյա հաշվարկը՝ օգտագործելով երկու ուժի վրա հիմնված համակարգ:

Ենթաբազմություն՝ որպես մաթեմատիկայի բնօրրան

Ներկա պահին N բնական թվերի դաշտը համարվում է միայն որպես կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություններից մեկը, սակայն դա նրանց պակաս արժեքավոր չի դարձնում գիտության մեջ։ Բնական թիվն առաջին բանն է, որ երեխան սովորում է՝ ուսումնասիրելով իրեն և շրջապատող աշխարհը: Մեկ մատ, երկու մատ... Նրա շնորհիվ մարդու մոտ զարգանում է տրամաբանական մտածողությունը, ինչպես նաև պատճառը որոշելու և հետևանքը եզրակացնելու կարողությունը՝ ճանապարհ հարթելով մեծ բացահայտումների համար:

Սահմանում

Բնական թվերը կոչվում են թվեր, որոնք նախատեսված են առարկաները հաշվելու համար։ Բնական թվերը գրանցելու համար օգտագործվում են 10 արաբական թվեր (0–9), որոնք կազմում են մաթեմատիկական հաշվարկների համար ընդհանուր ընդունված տասնորդական թվային համակարգի հիմքը։

Բնական թվերի հաջորդականություն

Բնական թվերը կազմում են 1-ից սկսած և բոլոր դրական ամբողջ թվերի բազմությունը: Նման հաջորդականությունը բաղկացած է 1,2,3, ... թվերից: Սա նշանակում է, որ բնական շարքում.

1. Ամենափոքր թիվ կա և ամենամեծը չկա:
2. Յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ նախորդից մեծ է 1-ով (բացառություն է բուն միավորը):
3. Քանի որ թվերը գնում են դեպի անսահմանություն, նրանք աճում են անորոշ ժամանակով:

Երբեմն 0-ն ներմուծվում է նաև մի շարք բնական թվերի մեջ, դա թույլատրելի է, և հետո խոսում են դրա մասին երկարացվածբնական շարք.

Բնական թվերի դասեր

Բնական թվի յուրաքանչյուր թվանշան արտահայտում է որոշակի թվանշան։ Վերջինը միշտ թվի միավորների թիվն է, նրանից առաջ գտնվողը տասնյակների թիվն է, վերջից երրորդը՝ հարյուրավորների թիվը, չորրորդը՝ հազարավորների թիվը և այլն։

• 276 թվի մեջ՝ 2 հարյուրյակ, 7 տասնյակ, 6 միավոր
• 1098 թվի մեջ՝ 1 հազար, 9 տասնյակ, 8 հատ; հարյուրավոր տեղը այստեղ բացակայում է, քանի որ այն արտահայտվում է որպես զրո։

Մեծ և շատ մեծ թվերի համար դուք կարող եք տեսնել կայուն միտում (եթե թիվը ուսումնասիրեք աջից ձախ, այսինքն՝ վերջին թվանշանից մինչև առաջինը).

• թվի վերջին երեք թվանշաններն են միավորները, տասնյակները և հարյուրավորները.
• նախորդ երեքը միավորներ են՝ տասնյակ և հարյուր հազարավոր.
• դիմացի երեքը (այսինքն՝ թվի 7-րդ, 8-րդ և 9-րդ թվանշանները, վերջից հաշված) միավորներ են՝ տասնյակ և հարյուրավոր միլիոններ և այլն։

Այսինքն, ամեն անգամ մենք գործ ունենք երեք թվանշանների հետ, որոնք նշանակում են միավորներ, տասնյակ և հարյուրավոր ավելի մեծ անուններ: Նման խմբերը կազմում են դասարաններ։ Իսկ եթե առօրյա կյանքում քիչ թե շատ հաճախ պետք է զբաղվես առաջին երեք դասերով, ապա պետք է թվարկել մյուսները, քանի որ ոչ բոլորն են անգիր հիշում նրանց անունները։

• 4-րդ դասը, որը հետևում է միլիոնների դասին և ներկայացնում է 10-12 նիշանոց թվեր, կոչվում է միլիարդ (կամ միլիարդ);
• 5-րդ դասարան - տրիլիոն;
• 6-րդ դասարան - կվադրիլիոն;
• 7-րդ դասարան - քվինտիլիոն;
• 8-րդ դասարան - սեքստիլիոն;
• 9-րդ դասարան - սեպտիլիոն.

Բնական թվերի գումարում

Բնական թվերի գումարումը թվաբանական գործողություն է, որը թույլ է տալիս ստանալ մի թիվ, որը պարունակում է այնքան միավոր, որքան գումարված թվերում:

Ավելացման նշանը «+» նշանն է։ Ավելացված թվերը կոչվում են ժամկետներ, արդյունքը՝ գումար։

Փոքր թվերը գումարվում են (ամփոփվում) բանավոր, գրավոր նման գործողությունները գրվում են տողով։

Բազմանիշ թվերը, որոնք դժվար է մտքում ավելացնել, սովորաբար ավելացվում են սյունակում։ Դրա համար թվերը գրվում են մեկը մյուսի տակ, վերջին թվանշանի հետ հավասարեցված, այսինքն՝ միավորների թվանշանի տակ գրում են միավորների նիշը, հարյուրավորների թվանշանի տակ՝ հարյուրավոր թվանշանները և այլն։ Հաջորդը, դուք պետք է ավելացնեք թվանշանները զույգերով: Եթե ​​թվանշանների գումարումը տեղի է ունենում տասի միջով անցումով, ապա այս տասը ամրագրվում է որպես ձախ թվանշանի վերևում գտնվող միավոր (այսինքն՝ հետևելով դրան) և գումարվում է այս թվանշանի հետ միասին։

Եթե ​​սյունակում ավելացվում են ոչ թե 2, այլ ավելի շատ թվեր, ապա կատեգորիայի թվանշաններն ամփոփելիս կարող է ավելորդ լինել ոչ թե 1 տասնյակը, այլ մի քանիսը։ Այս դեպքում նման տասնյակների թիվը փոխանցվում է հաջորդ թվանշանին։

Բնական թվերի հանում

Հանումը թվաբանական գործողություն է, գումարման հակառակը, որը հանգում է նրան, որ, հաշվի առնելով գումարը և անդամներից մեկը, պետք է գտնել մեկ այլ՝ անհայտ տերմին: Այն թիվը, որից հանվում է, կոչվում է մինուենդ; այն թիվը, որը հանվում է, ենթակետն է: Հանման արդյունքը կոչվում է տարբերություն։ Հանման գործողությունը նշանակող նշանը «-» է։

Գումարին անցնելու ժամանակ ենթահողն ու տարբերությունը վերածվում են ժամկետների, իսկ կրճատվածը՝ գումարի։ Սովորաբար գումարումը ստուգում է կատարված հանման ճիշտությունը և հակառակը։

Այստեղ 74-ը մինուենդն է, 18-ը՝ ենթահողն է, 56-ը՝ տարբերությունը:

Բնական թվերը հանելու նախադրյալը հետևյալն է. մինուենդը պետք է անպայմանորեն ավելի մեծ լինի, քան ենթահամակարգը: Միայն այս դեպքում ստացվող տարբերությունը նույնպես բնական թիվ կլինի։ Եթե ​​հանման գործողությունը կատարվում է ընդլայնված բնական շարքի համար, ապա թույլատրվում է, որ մինուենդը հավասար լինի ենթակետին։ Իսկ հանման արդյունքն այս դեպքում կլինի 0։

Նշում. եթե ենթակետը հավասար է զրոյի, ապա հանման գործողությունը չի փոխում մինուենդի արժեքը:

Բազմանիշ թվերի հանումը սովորաբար կատարվում է սյունակում։ Թվերը գրի՛ր այնպես, ինչպես գումարման համար։ Համապատասխան թվանշանների համար կատարվում է հանում։ Եթե ​​պարզվում է, որ մինուենդը փոքր է ենթակետից, ապա վերցվում է մեկը նախորդ (գտնվում է ձախ կողմում) թվանշանից, որը փոխանցումից հետո բնականաբար վերածվում է 10-ի։ Այս տասը ամփոփվում է կրճատվածի թվով։ տրված թվանշան, ապա հանվել: Այնուհետև հաջորդ թվանշանը հանելիս պետք է հաշվի առնել, որ կրճատվածը պակասել է 1-ով։

Բնական թվերի արտադրյալ

Բնական թվերի արտադրյալը (կամ բազմապատկումը) թվաբանական գործողություն է, որը գտնում է միանման թվերի կամայական թվի գումարը։ Բազմապատկման գործողությունը գրանցելու համար օգտագործեք «·» նշանը (երբեմն «×» կամ «*»): Օրինակ՝ 3 5=15։

Բազմապատկման գործողությունն անփոխարինելի է, երբ անհրաժեշտ է ավելացնել մեծ թվով անդամներ։ Օրինակ, եթե անհրաժեշտ է 4 թիվը 7 անգամ ավելացնել, ապա 4-ը 7-ով բազմապատկելը ավելի հեշտ է, քան այս գումարումը` 4+4+4+4+4+4+4:

Այն թվերը, որոնք բազմապատկվում են, կոչվում են գործակից, բազմապատկման արդյունքը՝ արտադրյալը։ Ըստ այդմ, «աշխատանք» տերմինը, կախված համատեքստից, կարող է արտահայտել ինչպես բազմապատկման գործընթացը, այնպես էլ դրա արդյունքը։

Բազմանիշ թվերը բազմապատկվում են սյունակում: Այս թիվը գրվում է այնպես, ինչպես գումարման և հանման դեպքում: Առաջարկվում է նախ գրել (վերևում) 2 թվերից որն է ավելի երկար։ Այս դեպքում բազմապատկման գործընթացը կլինի ավելի պարզ, հետևաբար և ավելի ռացիոնալ:

Սյունակում բազմապատկելիս երկրորդ թվի յուրաքանչյուր թվանշանի թվանշանները հաջորդաբար բազմապատկվում են 1-ին թվի թվերով՝ սկսած դրա վերջից։ Գտնելով առաջին նման աշխատանքը՝ նրանք գրում են միավորների թիվը և նկատի ունենում տասնյակների թիվը։ 2-րդ թվի նիշը 1-ին թվի հաջորդ թվանշանով բազմապատկելիս արտադրյալին ավելացվում է այն թիվը, որը նկատի ունի: Եվ նորից գրում են ստացված արդյունքի միավորների թիվը, և հիշում տասնյակների թիվը։ 1-ին թվի վերջին թվանշանով բազմապատկելիս այս կերպ ստացված թիվը գրվում է ամբողջությամբ։

Երկրորդ թվի 2-րդ թվանշանի թվանշանների բազմապատկման արդյունքները գրվում են երկրորդ շարքում՝ այն 1 բջիջ տեղափոխելով աջ։ և այլն: Արդյունքում «սանդուղք» կստացվի։ Ստացված թվերի բոլոր տողերը պետք է ավելացվեն (ըստ սյունակում գումարման կանոնի): Դատարկ բջիջները պետք է համարել զրոներով լցված: Ստացված գումարը վերջնական արդյունքն է։

Նշում

1. Ցանկացած բնական թվի արտադրյալը 1-ով (կամ 1-ով թվով) հավասար է հենց թվին: Օրինակ՝ 376 1=376; 1 86=86.
2. Երբ գործոններից մեկը կամ երկու գործոնները հավասար են 0-ի, ապա արտադրյալը հավասար է 0-ի: Օրինակ՝ 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Բնական թվերի բաժանում

Բաժանումը կոչվում է թվաբանական գործողություն, որի օգնությամբ, ըստ հայտնի արտադրյալի և գործոններից մեկի, կարելի է գտնել մեկ այլ՝ անհայտ գործոն։ Բաժանումը բազմապատկման հակառակն է և օգտագործվում է ստուգելու համար, թե արդյոք բազմապատկումը ճիշտ է կատարվել (և հակառակը):

Բաժանվող թիվը կոչվում է բաժանելի. թիվը, որով այն բաժանվում է, բաժանարարն է. բաժանման արդյունքը կոչվում է քանորդ: Բաժանման նշանն է «:» (երբեմն, ավելի քիչ՝ «÷»):

Այստեղ 48-ը շահաբաժինն է, 6-ը` բաժանարարը, իսկ 8-ը` քանորդը:

Ոչ բոլոր բնական թվերը կարելի է բաժանել միմյանց միջև: Այս դեպքում բաժանումը կատարվում է մնացորդով։ Այն կայանում է նրանում, որ բաժանարարի համար այնպիսի գործոն է ընտրված, որ բաժանարարի կողմից նրա արտադրյալը լինի մի թիվ, որը հնարավորինս մոտ է արժեքով շահաբաժինին, բայց դրանից պակաս: Բաժանարարը բազմապատկվում է այս գործակցով և հանվում է դիվիդենտից: Տարբերությունը կլինի բաժանման մնացորդը: Գործակիցով բաժանարարի արտադրյալը կոչվում է ոչ լրիվ քանորդ: Ուշադրություն․ մնացորդը պետք է փոքր լինի ընտրված բազմապատկիչից։ Եթե ​​մնացորդն ավելի մեծ է, ապա դա նշանակում է, որ բազմապատկիչը սխալ է ընտրված, և այն պետք է մեծացվի:

Մենք ընտրում ենք գործակից 7-ի համար: Այս դեպքում այս թիվը 5 է: Մենք գտնում ենք թերի գործակից՝ 7 5 \u003d 35: Հաշվի՛ր մնացորդը՝ 38-35=3։ 3-ից սկսած<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Բազմանիշ թվերը բաժանվում են սյունակի: Դրա համար դիվիդենտն ու բաժանարարը գրվում են կողք կողքի՝ բաժանարարը բաժանելով ուղղահայաց և հորիզոնական գծերով։ Դիվիդենտում ընտրվում է առաջին թվանշանը կամ առաջին մի քանի թվանշանները (աջ կողմում), որը պետք է լինի մի թիվ, որը նվազագույնը բավարար է բաժանարարի վրա բաժանելու համար (այսինքն՝ այս թիվը պետք է մեծ լինի բաժանարարից)։ Այս թվի համար ընտրվում է ոչ լրիվ քանորդ, ինչպես նկարագրված է մնացորդով բաժանման կանոնում։ Մասնակի քանորդը գտնելու համար օգտագործվող բազմապատկիչի թիվը գրվում է բաժանարարի տակ։ Անավարտ քանորդը գրվում է բաժանված թվի տակ՝ աջ դասավորված։ Գտեք դրանց տարբերությունը: Շահաբաժնի հաջորդ նիշը քանդվում է այս տարբերության կողքին գրելով։ Ստացված թվի համար կրկին թերի քանորդ է հայտնաբերվում՝ բաժանարարի տակ նախորդի կողքին գրելով ընտրված գործակցի թիվը։ և այլն: Նման գործողությունները կատարվում են այնքան ժամանակ, մինչև շահաբաժնի համարները սպառվեն: Դրանից հետո բաժանումը համարվում է ավարտված։ Եթե ​​շահաբաժինն ու բաժանարարը բաժանվեն ամբողջությամբ (առանց մնացորդի), ապա վերջին տարբերությունը կբերի զրո: Հակառակ դեպքում մնացած համարը կվերադարձվի։

Էքսպոենտացիա

Ցուցադրումը մաթեմատիկական գործողություն է, որը բաղկացած է միանման թվերի կամայական թվով բազմապատկելուց: Օրինակ՝ 2 2 2 2:

Նման արտահայտությունները գրվում են այսպես. կացին,

որտեղ աիրենով բազմապատկած թիվ է xայդպիսի գործոնների թիվն է:

Պարզ և բաղադրյալ բնական թվեր

Ցանկացած բնական թիվ, բացառությամբ 1-ի, կարելի է բաժանել առնվազն 2 թվի՝ մեկ և ինքն իրեն։ Այս չափանիշի հիման վրա բնական թվերը բաժանվում են պարզի և բաղադրյալի։

Պարզ թվերը այն թվերն են, որոնք բաժանվում են միայն 1-ի և ինքն իր վրա: Այն թվերը, որոնք բաժանվում են այս 2 թվերից ավելիի, կոչվում են բաղադրյալ թվեր։ Միավորը, որը բաժանվում է միայն ինքն իրեն, ոչ պարզ է, ոչ էլ բաղադրյալ:

Թվերն պարզ են՝ 2,3,5,7,11,13,17,19 և այլն։ Բաղադրյալ թվերի օրինակներ՝ 4 (բաժանվում է 1,2,4-ի), 6 (բաժանվում է 1,2,3,6-ի), 20 (բաժանվում է 1,2,4,5,10,20-ի)։

Ցանկացած բաղադրյալ թիվ կարելի է տարրալուծել պարզ գործակիցների։ Այս դեպքում պարզ գործոնները հասկացվում են որպես դրա բաժանարարներ, որոնք պարզ թվեր են:

Հիմնական գործոնների ֆակտորիզացիայի օրինակ.

Բնական թվերի բաժանարարներ

Բաժանարարը այն թիվն է, որով տրված թիվը կարելի է բաժանել առանց մնացորդի։

Այս սահմանման համաձայն՝ պարզ բնական թվերն ունեն 2 բաժանարար, բաղադրյալ թվերը՝ 2-ից ավելի բաժանարար։

Շատ թվեր ունեն ընդհանուր բաժանարարներ: Ընդհանուր բաժանարարը այն թիվն է, որով տրված թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի։

• 12 և 15 թվերն ունեն ընդհանուր 3 բաժանարար
• 20 և 30 թվերն ունեն 2,5,10 ընդհանուր բաժանարարներ

Առանձնահատուկ նշանակություն ունի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD): Այս թիվը, մասնավորապես, օգտակար է կոտորակների կրճատման համար գտնելու համար: Այն գտնելու համար պահանջվում է տրված թվերը տարրալուծել պարզ գործակիցների և ներկայացնել որպես իրենց ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալ՝ վերցված իրենց ամենափոքր հզորությամբ։

Պահանջվում է գտնել 36 և 48 թվերի GCD-ն։

Բնական թվերի բաժանելիությունը

Միշտ հնարավոր չէ «աչքով» որոշել, թե արդյոք մի թիվ բաժանվում է մյուսի վրա՝ առանց մնացորդի։ Նման դեպքերում օգտակար է համապատասխան բաժանելիության թեստը, այսինքն՝ այն կանոնը, որով հաշված վայրկյանների ընթացքում կարելի է որոշել՝ հնարավո՞ր է թվերը բաժանել առանց մնացորդի։ «» նշանն օգտագործվում է բաժանելիությունը նշելու համար։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Այս արժեքը (նշվում է LCM) ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է տրվածներից յուրաքանչյուրի վրա։ LCM-ը կարելի է գտնել բնական թվերի կամայական բազմության համար:

LCM-ն, ինչպես GCD-ն, ունի նշանակալի կիրառական նշանակություն: Այսպիսով, LCM-ն է, որը պետք է գտնել՝ սովորական կոտորակները ընդհանուր հայտարարի հասցնելով:

LCM-ն որոշվում է տրված թվերը պարզ գործակիցների գործակցելով: Դրա ձևավորման համար վերցվում է արտադրանք, որը բաղկացած է առավելագույն աստիճանով ներկայացված յուրաքանչյուր առաջացող (առնվազն 1 թվի համար) պարզ գործոններից:

Պահանջվում է գտնել 14 և 24 թվերի LCM-ն։

Միջին

Բնական թվերի կամայական (բայց վերջավոր) թվի միջին թվաբանականը այս բոլոր թվերի գումարն է բաժանված անդամների թվի վրա.

Թվաբանական միջինը որոշ միջին արժեք է թվային բազմության համար:

Տրված են 2,84,53,176,17,28 թվերը։ Պահանջվում է գտնել դրանց միջին թվաբանականը: