Հավանականության դասական սահմանումը կլուծի քննությունը։ Հավանականությունների տեսություն մաթեմատիկայի քննության վրա

$A$-ի իրադարձության հավանականությունը $A$-ի համար բարենպաստ արդյունքների թվի հարաբերակցությունն է բոլոր հավասարապես հնարավոր արդյունքների թվին:

$P(A)=(m)/(n)$, որտեղ $n$-ը հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվն է, իսկ $m$-ը $A$-ին նպաստող արդյունքների թիվն է:

Իրադարձության հավանականությունը $$ հատվածից մի թիվ է

Տաքսի ընկերությունը հասանելի է $50$ մեքենաներ. Դրանցից $35$-ը սև է, մնացածը՝ դեղին։ Գտեք հավանականությունը, որ մեքենան կժամանի պատահական զանգով դեղին գույն.

Գտեք դեղին մեքենաների քանակը.

Ընդհանուր առմամբ 50 դոլարանոց մեքենաներ կան, այսինքն՝ հիսունից մեկն է գալու կանչի։ Կան $15$ դեղին մեքենաներ, հետևաբար դեղին մեքենայի ժամանման հավանականությունը $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$ է։

Պատասխան՝ $0.3$

Հակառակ իրադարձություններ

Երկու իրադարձություն ասում են, որ հակառակ են, եթե այս թեստըդրանք անհամատեղելի են, և դրանցից մեկը անպայման տեղի կունենա: Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունները գումարվում են 1-ի: $A$ իրադարձությանը հակառակ իրադարձությունը գրվում է $((A))↖(-)$:

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Անկախ իրադարձություններ

Երկու $A$ և $B$ իրադարձությունները համարվում են անկախ, եթե դրանցից յուրաքանչյուրի առաջացման հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե մյուս իրադարձությունը տեղի է ունեցել, թե ոչ: Հակառակ դեպքում իրադարձությունները կոչվում են կախված:

Երկու անկախ իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը $A$ և $B$ հավասար է այս հավանականությունների արտադրյալին.

$P(A B)=P(A) P(B)$

Իվան Իվանովիչը երկու տարբեր վիճակախաղի տոմս է գնել։ Առաջինը հաղթելու հավանականությունը վիճակախաղի տոմս, հավասար է $0,15$-ի։ Երկրորդ վիճակախաղի տոմսը շահելու հավանականությունը $0,12 է։ Երկու վիճակահանություններին էլ մասնակցում է Իվան Իվանովիչը։ Ենթադրելով, որ վիճակահանություններն անցկացվում են միմյանցից անկախ, գտե՛ք Իվան Իվանովիչի հաղթանակի հավանականությունը երկու ոչ-ոքիներում էլ։

Հավանականություն $P(A)$ - շահում է առաջին տոմսը:

Հավանականություն $P(B)$ - շահում է երկրորդ տոմսը:

$A$ և $B$ իրադարձությունները անկախ իրադարձություններ են: Այսինքն՝ գտնելու հավանականությունը, որ երկու իրադարձություններն էլ տեղի կունենան, պետք է գտնել հավանականությունների արտադրյալը

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0.15 0.12=0.018$

Պատասխան՝ $0,018

Անհամատեղելի իրադարձություններ

Երկու $A$ և $B$ իրադարձությունները համարվում են անհամատեղելի, եթե չկան արդյունքներ, որոնք նպաստում են ինչպես $A$-ին, այնպես էլ $B$-ին: (Իրադարձություններ, որոնք չեն կարող տեղի ունենալ միաժամանակ)

Երկու անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը $A$ և $B$ հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Հանրահաշվի քննության ժամանակ ուսանողը բոլոր քննություններից մեկ հարց է ստանում. Հավանականությունը, որ սա թեմայի վերաբերյալ հարց է» Քառակուսային հավասարումներ«, հավասար է $0.3$-ի։ Հավանականությունը, որ սա թեմայի վերաբերյալ հարց է» Իռացիոնալ հավասարումներ», հավասար է $0,18$-ի։ Այս երկու թեմաների հետ միաժամանակ հարցեր չկան։ Գտեք հավանականությունը, որ ուսանողը քննության ընթացքում այս երկու թեմաներից մեկի վերաբերյալ հարց կստանա:

Այս իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի, քանի որ ուսանողը կստանա հարց ԿԱՄ «Քառյակային հավասարումներ» թեմայով, ԿԱՄ «Իռացիոնալ հավասարումներ» թեմայով: Թեմաները չեն կարող միաժամանակ բռնվել: Երկու անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը $A$ և $B$ հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Պատասխան՝ $0,48

Համատեղ միջոցառումներ

Երկու իրադարձությունները համարվում են համատեղ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի բացառում մյուսի առաջացումը նույն դատավարության ընթացքում: Հակառակ դեպքում իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի։

Երկու համատեղ իրադարձությունների գումարի հավանականությունը $A$ և $B$ հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին` հանած դրանց արտադրյալի հավանականությունը.

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

Կինոթատրոնի նախասրահում երկու միանման սուրճի մեքենա կա։ Հավանականությունը, որ մեքենայի սուրճը մինչև օրվա վերջ կպակասի, կազմում է 0,6 դոլար։ Երկու մեքենաների սուրճի սպառման հավանականությունը կազմում է 0,32 դոլար: Գտեք հավանականությունը, որ վաճառող մեքենաներից գոնե մեկի սուրճը մինչև օրվա վերջ կպակասի։

Նշանակենք իրադարձությունները, թող.

$A$ = սուրճը կավարտվի առաջին մեքենայի մեջ,

$B$ = սուրճը կավարտվի երկրորդ մեքենայի մեջ:

$A B =$ սուրճը կսպառվի երկու ավտոմատներում,

$A + B =$ սուրճը կսպառվի առնվազն մեկ վաճառող մեքենայի մեջ:

Կոնվենցիայով $P(A) = P(B) = 0.6; P(A B) = $0,32:

$A$ և $B$ իրադարձությունները համատեղ են, երկու համատեղ իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին` կրճատված դրանց արտադրյալի հավանականությամբ.

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0.6 + 0.6 - 0.32 = 0.88$

Մինչ օրս ներկայացված է մաթեմատիկայի USE խնդիրների բաց բանկում (mathege.ru), որի լուծումը հիմնված է միայն մեկ բանաձևի վրա, որը հավանականության դասական սահմանումն է։

Բանաձևը հասկանալու ամենահեշտ ձևը օրինակներով է:
Օրինակ 1Զամբյուղում կա 9 կարմիր և 3 կապույտ գնդակ: Գնդակները տարբերվում են միայն գույնով։ Պատահականորեն (առանց նայելու) մենք ստանում ենք դրանցից մեկը: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս կերպ ընտրված գնդակը կապույտ կլինի:

Մեկնաբանություն.Հավանականության խնդիրներում տեղի է ունենում մի բան (այս դեպքում՝ գնդակը քաշելու մեր գործողությունը), որը կարող է ունենալ տարբեր արդյունք- արդյունքը. Պետք է նշել, որ արդյունքը կարելի է տարբեր կերպ դիտարկել։ «Գնդակ հանեցինք»-ը նույնպես արդյունք է. «Մենք հանեցինք կապույտ գնդակը»՝ արդյունքը. «Մենք այս կոնկրետ գնդակը հանեցինք բոլոր հնարավոր գնդակներից», - արդյունքի այս ամենաքիչ ընդհանրացված տեսակետը կոչվում է տարրական արդյունք: Հավանականության հաշվարկման բանաձևում նախատեսված են տարրական արդյունքներ:

Լուծում.Այժմ մենք հաշվարկում ենք կապույտ գնդակ ընտրելու հավանականությունը։
Իրադարձություն A. «ընտրված գնդակը կապույտ է ստացվել».
Բոլոր հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 9+3=12 (բոլոր գնդակների թիվը, որոնք մենք կարող էինք նկարել)
A իրադարձության համար բարենպաստ արդյունքների քանակը՝ 3 (այդպիսի ելքերի թիվը, որոնցում տեղի է ունեցել A իրադարձությունը, այսինքն՝ կապույտ գնդակների քանակը)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Պատասխան՝ 0,25

Նույն խնդրի համար հաշվարկենք կարմիր գնդակ ընտրելու հավանականությունը։
Հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը կմնա անփոփոխ՝ 12. Բարենպաստ ելքերի քանակը՝ 9. Ցանկալի հավանականություն՝ 9/12=3/4=0,75

Ցանկացած իրադարձության հավանականությունը միշտ գտնվում է 0-ի և 1-ի միջև:
Երբեմն առօրյա խոսքում (բայց ոչ հավանականության տեսության մեջ) իրադարձությունների հավանականությունը գնահատվում է որպես տոկոս: Մաթեմատիկական և խոսակցական գնահատման միջև անցումը կատարվում է 100%-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով):
Այսպիսով,
Այս դեպքում հավանականությունը զրոյական է իրադարձությունների համար, որոնք չեն կարող տեղի ունենալ՝ անհավանական։ Օրինակ, մեր օրինակում սա կլինի զամբյուղից կանաչ գնդակ հանելու հավանականությունը: (Բարենպաստ արդյունքների թիվը 0 է, P(A)=0/12=0 եթե հաշվվում է ըստ բանաձևի)
Հավանականություն 1-ն ունի իրադարձություններ, որոնք անպայման տեղի կունենան՝ առանց տարբերակների: Օրինակ, հավանականությունը, որ «ընտրված գնդակը կլինի կամ կարմիր, կամ կապույտ», մեր խնդրի համար է։ (Բարենպաստ արդյունքների թիվը՝ 12, P(A)=12/12=1)

Մենք դիտարկել ենք դասական օրինակ, որը ցույց է տալիս հավանականության սահմանումը: Բոլորը նման են ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ առաջադրանքներըստ հավանականությունների տեսության՝ լուծվում են այս բանաձևի կիրառմամբ.
Կարմիր և կապույտ գնդակների փոխարեն կարող են լինել խնձորներ և տանձեր, տղաներ և աղջիկներ, սովորած և չսովորած տոմսեր, որոշակի թեմայի վերաբերյալ հարց պարունակող և չպարունակող տոմսեր (նախատիպեր, ), թերի և բարձրորակ պայուսակներ կամ այգիների պոմպեր (նախատիպեր): , ) - սկզբունքը մնում է նույնը։

Մի փոքր տարբերվում են տեսության խնդրի ձևակերպման մեջ ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ հավանականությունները, որտեղ դուք պետք է հաշվարկեք որոշակի օրվա իրադարձության հավանականությունը։ ( , ) Ինչպես նախորդ առաջադրանքներում, դուք պետք է որոշեք, թե որն է տարրական արդյունքը, ապա կիրառեք նույն բանաձևը։

Օրինակ 2Համաժողովը տեւում է երեք օր։ Առաջին և երկրորդ օրերին՝ 15-ական բանախոս, երրորդ օրը՝ 20. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը երրորդ օրն ընկնի, եթե վիճակահանությամբ որոշվի հաշվետվությունների հերթականությունը։

Ո՞րն է այստեղ տարրական արդյունքը: - Պրոֆեսորի զեկույցի նշանակումը բոլոր հնարավոր սերիական համարներից մեկին ելույթի համար: Խաղարկությանը մասնակցում է 15+15+20=50 հոգի։ Այսպիսով, պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կարող է ստանալ 50 թվերից մեկը։ Սա նշանակում է, որ կան միայն 50 տարրական արդյունքներ:
Որո՞նք են բարենպաստ արդյունքները: -Նրանք, որոնցում պարզվում է, որ պրոֆեսորը կխոսի երրորդ օրը։ Այսինքն՝ վերջին 20 թվերը։
Ըստ բանաձևի՝ հավանականությունը P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Պատասխան՝ 0.4

Այստեղ վիճակահանությունը մարդկանց և պատվիրված վայրերի միջև պատահական նամակագրության հաստատումն է։ Օրինակ 2-ում համընկնում էր այն առումով, թե կոնկրետ անձը որ վայրերից կարող էր զբաղեցնել: Նույն իրավիճակին կարող եք մոտենալ մյուս կողմից. մարդկանցից ով ինչ հավանականությամբ կարող էր հասնել որոշակի վայր (նախատիպեր , , , ).

Օրինակ 3Վիճակահանությանը մասնակցում են 5 գերմանացի, 8 ֆրանսիացի և 3 էստոնացի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջինը (/երկրորդը/յոթերորդը/վերջինը` կապ չունի) ֆրանսիացի կլինի։

Տարրական արդյունքների թիվը բոլորի թիվն է հնարավոր մարդիկով կարող էր վիճակահանությամբ մտնել տրված տեղը. 5+8+3=16 հոգի.
Բարենպաստ արդյունքներ - ֆրանսիացիներ. 8 հոգի.
Ցանկալի հավանականություն՝ 8/16=1/2=0,5
Պատասխան՝ 0,5

Նախատիպը մի փոքր այլ է. Կան առաջադրանքներ մետաղադրամների () և զառերի () վերաբերյալ, որոնք որոշ չափով ավելի ստեղծագործական են: Այս խնդիրների լուծումները կարելի է գտնել նախատիպի էջերում:

Ահա մետաղադրամ նետելու կամ զառ նետելու օրինակներ:

Օրինակ 4Երբ մետաղադրամ ենք նետում, ո՞րն է պոչեր ստանալու հավանականությունը:
Արդյունքներ 2 - գլուխներ կամ պոչեր: (կարծիք կա, որ մետաղադրամը երբեք չի ընկնում եզրին) Բարենպաստ արդյունք՝ պոչեր, 1.
Հավանականություն 1/2=0,5
Պատասխան՝ 0,5:

Օրինակ 5Իսկ եթե մետաղադրամը երկու անգամ շրջենք: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու անգամ էլ այն կբարձրանա:
Հիմնական բանը որոշելն է, թե որ տարրական արդյունքները մենք հաշվի կառնենք երկու մետաղադրամ նետելիս: Երկու մետաղադրամ նետելուց հետո կարող է առաջանալ հետևյալ արդյունքներից մեկը.
1) PP - երկու անգամ էլ պոչ է եկել
2) PO - առաջին անգամ պոչեր, երկրորդ անգամ գլուխներ
3) OP - առաջին անգամ գլուխներ, երկրորդ անգամ պոչեր
4) OO - երկու անգամ էլ բարձրանում է
Այլ տարբերակներ չկան։ Սա նշանակում է, որ կան 4 տարրական արդյունքներ, միայն առաջինն է բարենպաստ՝ 1.
Հավանականություն՝ 1/4=0,25
Պատասխան՝ 0,25

Որքա՞ն է հավանականությունը, որ մետաղադրամի երկու նետում պոչերի վրա ընկնեն:
Տարրական արդյունքների թիվը նույնն է, 4. Բարենպաստ արդյունքներն են երկրորդը և երրորդը, 2.
Մեկ պոչ ստանալու հավանականությունը՝ 2/4=0,5

Նման խնդիրների դեպքում մեկ այլ բանաձև կարող է օգտակար լինել.
Եթե մետաղադրամի մեկ նետումով տարբերակներըմենք ունենք 2 արդյունք, ապա երկու նետումների դեպքում արդյունքները կլինեն 2 2=2 2 =4 (ինչպես օրինակ 5-ում), երեք նետման դեպքում՝ 2 2 2=2 3 =8, չորսի դեպքում՝ 2 2 2 2 =2 4 = 16, … N նետումների համար կա 2·2·...·2=2 N հնարավոր արդյունք:

Այսպիսով, դուք կարող եք գտնել 5 մետաղադրամի նետումից 5 պոչ ստանալու հավանականությունը:
Տարրական արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 2 5 =32:
Բարենպաստ արդյունքներ. 1. (RRRRRR - բոլոր 5 անգամ պոչերը)
Հավանականություն՝ 1/32=0,03125

Նույնը վերաբերում է զառերին: Մեկ նետումով հնարավոր է 6 արդյունք։Այսպիսով, երկու նետման դեպքում՝ 6 6=36, երեքի համար՝ 6 6 6=216 և այլն։

Օրինակ 6Մենք զառ ենք նետում: Որքա՞ն է զույգ թիվ ստանալու հավանականությունը:

Արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 6, ըստ դեմքերի քանակի։
Բարենպաստ: 3 արդյունք: (2, 4, 6)
Հավանականություն՝ 3/6=0,5

Օրինակ 7Նետեք երկու զառախաղ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընդհանուրը գլորվի 10: (կլոր հարյուրերորդական)

Մեկ մահի համար կա 6 հնարավոր արդյունք: Այսպիսով, երկուսի համար, ըստ վերը նշված կանոնի՝ 6·6=36։
Ի՞նչ արդյունքներ կլինեն բարենպաստ, որպեսզի ընդհանուր առմամբ 10-ը դուրս գա:
10-ը պետք է կազմալուծվի 1-ից 6-ի երկու թվերի գումարի մեջ։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով՝ 10=6+4 և 10=5+5։ Այսպիսով, խորանարդի համար հնարավոր են տարբերակներ.
(6-ը առաջինում և 4-ը երկրորդում)
(4-ը առաջինում և 6-ը երկրորդում)
(5-ը առաջինում և 5-ը երկրորդում)
Ընդհանուր առմամբ, 3 տարբերակ. Ցանկալի հավանականություն՝ 3/36=1/12=0,08
Պատասխան՝ 0.08

B6 խնդիրների այլ տեսակներ կքննարկվեն հետևյալ «Ինչպես լուծել» հոդվածներից մեկում:

V-6-2014 (բոլոր 56 նախատիպերը USE բանկից)

Կարողանալ կառուցել և ուսումնասիրել ամենապարզը մաթեմատիկական մոդելներ(հավանականության տեսություն)

1. Պատահական փորձի ժամանակ գցվում են երկու զառախաղ: Գտե՛ք ընդհանուր 8 միավոր ստանալու հավանականությունը։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:Լուծում: Արդյունքների թիվը, որոնցում զառ գլորելու արդյունքում 8 միավոր է ընկնում, 5 է՝ 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2։ Զառերից յուրաքանչյուրը կարող է ընկնել վեց եղանակով, հետևաբար արդյունքների ընդհանուր թիվը 6 6 = 36 է: Հետևաբար, հավանականությունը, որ ընդհանուր առմամբ 8 միավոր կթափվի, 5 է՝ 36=0,138…=0,14:

2. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամ է նետվում երկու անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները ճիշտ մեկ անգամ են բարձրանում:Լուծում: Փորձի 4 հնարավոր արդյունք կա՝ գլուխ-գլուխ, գլուխ-պոչ, պոչ-գլուխ, պոչ-պոչ: Գլուխները բարձրանում են ուղիղ մեկ անգամ երկու դեպքում՝ գլուխ-պոչ և պոչ-գլուխ: Հետևաբար, հավանականությունը, որ գլուխները դուրս կգան ուղիղ 1 անգամ, 2: 4 = 0,5 է:

3. Մարմնամարզության առաջնությանը մասնակցում է 20 մարզիկ՝ 8-ը՝ Ռուսաստանից, 7-ը՝ ԱՄՆ-ից, մնացածը՝ Չինաստանից։ Մարմնամարզիկների ելույթների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջինը մրցող մարզիկը Չինաստանից է։Լուծում: Առաջնությանը մասնակցում էմարզիկներ Չինաստանից. Այնուհետև հավանականությունը, որ առաջինը ելույթ ունեցող մարզիկը կլինի Չինաստանից 5:20 = 0.25

4. Միջին հաշվով վաճառված 1000 այգու պոմպերից 5-ը արտահոսում են: Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված մեկ պոմպը չի արտահոսում:Լուծում: Միջին հաշվով, վաճառված 1000 այգիների պոմպերից 1000 - 5 = 995-ը չեն արտահոսում: Սա նշանակում է, որ հավանականությունը, որ հսկողության համար պատահականորեն ընտրված մեկ պոմպը չի արտահոսում, 995 է: 1000 = 0,995:

5. Գործարանը արտադրում է պայուսակներ։ Միջին հաշվով յուրաքանչյուր 100 որակյալ պայուսակին բաժին է ընկնում թաքնված թերություններով ութ պայուսակ։ Գտեք հավանականությունը, որ գնված պայուսակը որակյալ կլինի։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:Լուծում: Ըստ պայմանի՝ յուրաքանչյուր 100 + 8 = 108 պարկի դիմաց լինում է 100 որակյալ պարկ։ Սա նշանակում է, որ հավանականությունը, որ գնված պայուսակը կլինի բարձրորակ, 100 է՝ 108 \u003d 0,925925 ... \u003d 0,93

6. Հրաձգության մրցումներին մասնակցում են 4 մարզիկներ Ֆինլանդիայից, 7 մարզիկներ Դանիայից, 9 մարզիկներ Շվեդիայից եւ 5 մարզիկներ Նորվեգիայից։ Մարզիկների մրցման հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ վերջին մասնակիցը Շվեդիայից է:. Լուծում. Ընդհանուր առմամբ մրցումներին մասնակցում է 4 + 7 + 9 + 5 = 25 մարզիկ։ Հետևաբար, հավանականությունը, որ վերջին անգամ մրցող մարզիկը կլինի Շվեդիայից, 9: 25 \u003d 0,36 է:

7. Գիտաժողովը անցկացվում է 5 օրում. Նախատեսվում է ընդհանուր առմամբ 75 հաշվետվություն՝ առաջին երեք օրը՝ 17-ական հաշվետվություն, մնացածը հավասարապես բաշխվում են չորրորդ և հինգերորդ օրերի միջև։ Հաշվետվությունների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կնշանակվի գիտաժողովի վերջին օրը։Լուծում: Առաջին երեք օրվա ընթացքում ընթերցվելու է 51 զեկույց, վերջին երկու օրվա համար նախատեսված է 24 զեկույց։ Ուստի վերջին օրվա համար նախատեսված է 12 հաշվետվություն։ Սա նշանակում է, որ հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կնշանակվի գիտաժողովի վերջին օրը, 12 է՝ 75 = 0,16։

8. Կատարողների մրցույթն անցկացվում է 5 օրից։ Հայտարարվել է ընդհանուր առմամբ 80 ներկայացում` յուրաքանչյուր երկրից մեկը: Առաջին օրը 8 ներկայացում կա, մնացածը հավասարապես բաշխվում են մնացած օրերի միջև։ Ներկայացումների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Ռուսաստանի ներկայացուցչի ելույթը կկայանա մրցութային երրորդ օրը։Լուծում: Նախատեսված է երրորդ օրըելույթներ։ Սա նշանակում է, որ հավանականությունը, որ Ռուսաստանի ներկայացուցչի ելույթը կնշանակվի մրցութային երրորդ օրը, 18: 80 = 0,225 է:

9. Սեմինարին էին եկել 3 գիտնական Նորվեգիայից, 3-ը՝ Ռուսաստանից, 4-ը՝ Իսպանիայից։ Հաշվետվությունների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ ութերորդ հոդվածը կլինի Ռուսաստանից եկած գիտնականի զեկույցը։Լուծում: Ընդհանուր առմամբ սեմինարին մասնակցում են 3 + 3 + 4 = 10 գիտնական, ինչը նշանակում է, որ հավանականությունը, որ ութերորդ գիտնականը կլինի Ռուսաստանից, 3:10 = 0.3 է։

10. Բադմինտոնի առաջնության առաջին փուլի մեկնարկից առաջ մասնակիցները վիճակահանությամբ պատահականության սկզբունքով բաժանվում են խաղային զույգերի։ Ընդհանուր առմամբ առաջնությանը մասնակցում է 26 բադմինտոնիստ, այդ թվում՝ 10 մասնակից Ռուսաստանից, այդ թվում՝ Ռուսլան Օրլովը։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին փուլում Ռուսլան Օրլովը կխաղա Ռուսաստանից որևէ բադմինտոնիստի հետ։Լուծում: Առաջին փուլում Ռուսլան Օռլովը կարող է խաղալ 26 − 1 = 25 բադմինտոնիստների հետ, որոնցից 10 − 1 = 9 Ռուսաստանից։ Սա նշանակում է, որ հավանականությունը, որ առաջին փուլում Ռուսլան Օրլովը կխաղա Ռուսաստանից ցանկացած բադմինտոնիստի հետ, 9:25 = 0.36 է:

11. Կենսաբանության տոմսերի հավաքածուում կա ընդամենը 55 տոմս, որոնցից 11-ում բուսաբանության վերաբերյալ հարց կա։ Գտեք հավանականությունը, որ ուսանողը բուսաբանության վերաբերյալ հարց կստանա պատահականորեն ընտրված քննության տոմսում:Լուծում` 11: 55 = 0.2

12. Ջրացատկի առաջնությունում մրցում են 25 մարզիկներ, որոնցից 8-ը` Ռուսաստանից, 9-ը` Պարագվայից: Ներկայացումների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ Պարագվայից ցատկորդը կլինի վեցերորդը։

13. Երկու գործարան արտադրում են նույն ապակի մեքենաների լուսարձակների համար։ Առաջին գործարանն արտադրում է այս ակնոցների 30%-ը, երկրորդը՝ 70%-ը։ Առաջին գործարանն արտադրում է թերի ակնոցների 3%-ը, իսկ երկրորդը՝ 4%-ը։ Գտեք հավանականությունը, որ խանութից պատահաբար գնված բաժակը թերի կլինի։

Լուծում. %%-ը դարձրեք կոտորակների:

Միջոցառում Ա - «Առաջին գործարանից ձեռք բերված ակնոցներ». P(A)=0.3

Միջոցառում B - «Գնված են ակնոցներ երկրորդ գործարանից». P(B)=0.7

Իրադարձություն X - «Windows-ը թերի է»:

P(A և X) = 0.3*0.03=0.009

P(B և X) = 0.7*0.04=0.028 Ըստ ընդհանուր հավանականության բանաձևի՝ P = 0.009+0.028 = 0.037

14. Եթե գրոսմայստեր Ա.-ն խաղում է սպիտակ, ապա նա հաղթում է գրոսմայստեր Բ.-ին 0,52 հավանականությամբ: Եթե Ա.-ն սև է խաղում, ապա Ա.-ն 0.3 հավանականությամբ հաղթում է Բ. Գրոսմայստերներ Ա.-ն և Բ.-ն խաղում են երկու պարտիա, իսկ երկրորդ պարտիայում փոխում են խաղաքարերի գույնը: Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ երկու անգամ էլ Ա. Լուծում: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Վասյան, Պետյան, Կոլյան և Լյոշան վիճակ են գցել՝ ով պետք է սկսի խաղը։ Գտեք հավանականությունը, որ Պետյան կսկսի խաղը:

Լուծում. Պատահական փորձ՝ վիճակահանություն:
Այս փորձի ժամանակ տարրական իրադարձությունը լոտի շահած մասնակիցն է:
Մենք թվարկում ենք հնարավոր տարրական իրադարձությունները.
(Վասյա), (Պետյա), (Կոլյա), (Լեշա):
Դրանք կլինեն 4-ը, այսինքն. N=4. Վիճակը ենթադրում է, որ բոլոր տարրական իրադարձությունները հավասարապես հնարավոր են։
Միջոցառումը A= (Պետյան շահեց լոտը) նախընտրելի է միայն մեկ տարրական իրադարձության կողմից (Petya): Հետեւաբար N(A)=1:
Ապա P(A)=0.25Պատասխան՝ 0,25:

16. Աշխարհի առաջնությանը մասնակցում է 16 թիմ. Վիճակահանությամբ նրանք պետք է բաժանվեն չորս խմբի՝ յուրաքանչյուրը չորս թիմով։ Տուփում խառնված են խմբային համարներով քարտեր՝ 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4։ Թիմերի ավագները միանգամից մեկ քարտ են նկարում։ . Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Ռուսաստանի հավաքականը կհայտնվի երկրորդ խմբում։Լուծում: Ընդհանուր առմամբ կա 16 արդյունք: 2 թվով կլինի 4։ Այսպիսով, 4՝ 16=0,25

17. Երկրաչափության քննության ժամանակ ուսանողը ստանում է մեկ հարց քննական հարցերի ցանկից. Հավանականությունը, որ սա ներգծված շրջանակի հարց է, 0,2 է: Հավանականությունը, որ սա զուգահեռագծի հարց է, 0,15 է: Այս երկու թեմաների հետ միաժամանակ հարցեր չկան։ Գտեք հավանականությունը, որ ուսանողը քննության ընթացքում այս երկու թեմաներից մեկի վերաբերյալ հարց կստանա:

= (հարց «Ներգրված շրջան» թեմայով),
= (հարց «Զուգահեռագիծ» թեմայով):
ԶարգացումներԵվ անհամատեղելի են, քանի որ պայմանականորեն ցուցակում այս երկու թեմաներին առնչվող հարցեր միաժամանակ չկան։
Իրադարձություն= (հարց այս երկու թեմաներից մեկի վերաբերյալ) նրանց միավորումն է..
Մենք կիրառում ենք անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման բանաձևը.
.

18.Բ մոլերկու միանման ավտոմատներ սուրճ են վաճառում: Հավանականությունը, որ մեքենայի սուրճը կպակասի օրվա վերջում, 0,3 է։ Հավանականությունը, որ երկու մեքենաներում էլ սուրճը կսպառվի, 0,12 է։ Գտեք հավանականությունը, որ օրվա վերջում երկու ավտոմատներում էլ սուրճ կմնա։

Եկեք սահմանենք իրադարձությունները
= (սուրճը կավարտվի առաջին մեքենայի մեջ),
= (սուրճը կավարտվի երկրորդ մեքենայի մեջ):
Ըստ առաջադրանքիԵվ .
Օգտագործելով հավանականությունների գումարման բանաձևը, մենք գտնում ենք իրադարձության հավանականությունը
Եվ = (սուրճը կավարտվի մեքենաներից առնվազն մեկում).

.
Հետեւաբար, հակառակ իրադարձության հավանականությունը (սուրճը կմնա երկու մեքենաներում էլ) հավասար է
.

19. Բիաթլոնիստը հինգ անգամ կրակում է թիրախների վրա: Մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,8 է։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ բիաթլոնիստը առաջին երեք անգամ հարվածել է թիրախներին և բաց թողել վերջին երկուսը։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:

Այս խնդրի դեպքում ենթադրվում է, որ յուրաքանչյուր հաջորդ կրակոցի արդյունքը կախված չէ նախորդներից։ Ուստի իրադարձությունները «խփեցին առաջին կրակոցին», «խփեցին երկրորդ կրակոցին» և այլն: անկախ.
Յուրաքանչյուր հարվածի հավանականությունը. Այսպիսով, յուրաքանչյուր բաց թողնելու հավանականությունը մեծ է. Մենք օգտագործում ենք անկախ իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու բանաձևը. Մենք ստանում ենք այդ հաջորդականությունը
= (հարվածել, հարվածել, հարվածել, բաց թողնել, բաց թողնել) ունի հավանականություն
=
= . Պատասխան.

20. Խանութում կա վճարման երկու մեքենա։ Նրանցից յուրաքանչյուրը կարող է սխալ լինել 0,05 հավանականությամբ՝ անկախ մյուս ավտոմատից։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ ավտոմատ կարող է սպասարկվել:

Այս խնդիրը ենթադրում է նաև ավտոմատների աշխատանքի անկախություն։
Գտեք հակառակ իրադարձության հավանականությունը
= (երկու մեքենաներն էլ անսարք են):
Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք անկախ իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու բանաձևը.
.
Այսպիսով, իրադարձության հավանականությունը= (առնվազն մեկ ավտոմատ գործում է) հավասար է. Պատասխան.

21. Սենյակը լուսավորվում է երկու լամպերով լապտերով: Մեկ տարվա ընթացքում մեկ լամպի այրվելու հավանականությունը 0,3 է։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ լամպ չի այրվի մեկ տարվա ընթացքում:Լուծում. Երկուսն էլ կվառվեն (իրադարձությունները անկախ են, և մենք օգտագործում ենք հավանականությունների արտադրյալի բանաձևը) p1=0.3⋅0.3=0.09 հավանականությամբ։
Հակառակ իրադարձություն(Երկուսն էլ չեն այրվի = գոնե ՄԵԿԸ չի այրվի)
տեղի կունենա p=1-p1=1-0.09=0.91 հավանականությամբ
ՊԱՏԱՍԽԱՆ՝ 0,91

22. Հավանականություն, որ նոր Էլեկտրական թեյնիկկծառայի ավելի քան մեկ տարի, հավասար է 0,97։ Հավանականությունը, որ այն կտևի երկու տարուց ավելի, 0,89 է։ Գտեք հավանականությունը, որ այն տևի երկու տարուց պակաս, բայց մեկ տարուց ավելի:

Լուծում.

Թող A = «թեյնիկը կտևի մեկ տարուց ավելի, բայց երկու տարուց պակաս», B = «թեյնիկը կտևի երկու տարուց ավելի», ապա A + B = «Թեյնիկը մեկ տարուց ավելի կծառայի»:

A և B իրադարձությունները համատեղ են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարին` կրճատված դրանց արտադրյալի հավանականությամբ: Այս իրադարձությունների արդյունքի հավանականությունը, որը բաղկացած է նրանից, որ թեյնիկը կխափանվի ուղիղ երկու տարի հետո՝ ճիշտ նույն օրը, ժամը և վայրկյանը, հավասար է զրոյի: Ապա.

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = P(A) + P(B),

որտեղից, օգտագործելով պայմանի տվյալները, ստանում ենք 0,97 = P(A) + 0,89:

Այսպիսով, ցանկալի հավանականության համար ունենք՝ P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08:

23. Ագրոֆիրմայի գնումներ հավի ձուերկու տնային տնտեսություններում։ Առաջին ֆերմայի ձվերի 40%-ը ամենաբարձր կատեգորիայի ձվերն են, իսկ երկրորդ ֆերմայից՝ ամենաբարձր կատեգորիայի ձվերի 20%-ը։ Ընդհանուր առմամբ, ձվերի 35%-ը ստանում է ամենաբարձր կատեգորիա։ Գտեք հավանականությունը, որ այս ֆերմայից գնված ձուն կլինի առաջին ֆերմայից։Լուծում: Թող առաջին ֆերմայում գյուղատնտեսական ֆիրման գնիձու, այդ թվում ամենաբարձր կատեգորիայի ձու, իսկ երկրորդ ֆերմայում՝ձու, այդ թվում ամենաբարձր կատեգորիայի ձու. Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, ագրոֆորմը գնում էձու, այդ թվում ամենաբարձր կատեգորիայի ձու. Ըստ պայմանի՝ ձվերի 35%-ն ունի ամենաբարձր կատեգորիան, ապա.

Ուստի հավանականությունը, որ գնված ձուն կլինի առաջին ֆերմայից, հավասար է =0,75

24. Հեռախոսի ստեղնաշարի վրա կա 10 թիվ՝ 0-ից մինչև 9: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահական սեղմված թիվը զույգ կլինի:

25. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ 10-ից 19-ը պատահականորեն ընտրված բնական թիվը բաժանվի երեքի:

26. Կովբոյ Ջոնը 0,9 հավանականությամբ պատին հարվածում է ճանճին, եթե կրակում է ատրճանակից։ Եթե Ջոնը կրակում է չկրակված ատրճանակով, նա հարվածում է ճանճին 0,2 հավանականությամբ։ Սեղանին դրված է 10 ատրճանակ, որից միայն 4-ն է կրակված։ Կովբոյ Ջոնը տեսնում է ճանճը պատին, պատահականորեն վերցնում է իր հանդիպած առաջին ատրճանակը և կրակում է ճանճի վրա։ Գտեք հավանականությունը, որ Ջոնը բաց է թողնում. Լուծում` Ջոն հարվածում է ճանճին, եթե նա վերցնում է տեսողությամբ ատրճանակը և խփում նրանից, կամ եթե նա խլում է չկրակված ատրճանակը և խփում նրանից: Պայմանական հավանականության բանաձևի համաձայն, այս իրադարձությունների հավանականությունը համապատասխանաբար 0,4 0,9 = 0,36 և 0,6 0,2 = 0,12 է: Այս իրադարձությունները անհամատեղելի են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին` 0,36 + 0,12 = 0,48: Իրադարձությունը, որը բաց է թողնում Ջոնը, հակառակն է. Դրա հավանականությունը 1 − 0,48 = 0,52 է։

27. Զբոսաշրջիկների խմբում 5 հոգի է։ Լոտերի օգնությամբ ընտրում են երկու հոգու, ովքեր պետք է գնան գյուղ ուտելու։ Զբոսաշրջիկ Ա.-ն ցանկանում է գնալ խանութ, սակայն ենթարկվում է լոտին։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Ա-ն կգնա խանութ։Լուծում: Ընդհանուր առմամբ հինգ զբոսաշրջիկ կա, նրանցից երկուսը պատահականության սկզբունքով են ընտրված։ Ընտրվելու հավանականությունը 2:5 = 0,4 է: Պատասխան՝ 0.4:

28. Նախքան սկսելը ֆուտբոլային հանդիպումըՄրցավարը մետաղադրամ է նետում՝ որոշելու, թե որ թիմը կսկսի գնդակով խաղը: Ֆիզիկոսների թիմը երեք հանդիպում է անցկացնում տարբեր թիմերի հետ: Գտեք հավանականությունը, որ այս խաղերում «Ֆիզիկոսը» լոտը շահի ուղիղ երկու անգամ։Լուծում: «1»-ով նշենք մետաղադրամի այն կողմը, որը պատասխանատու է «Ֆիզիկոս»-ով լոտը շահելու համար, մետաղադրամի մյուս կողմը կնշանակվի «0»-ով։ Այնուհետև կան երեք բարենպաստ համակցություններ՝ 110, 101, 011, և ընդհանուր առմամբ կա 2 համակցություն։ 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111: Այսպիսով, ցանկալի հավանականությունը հետևյալն է.

29. Զառը գցվում է երկու անգամ: Փորձի քանի՞ տարրական արդյունք է նպաստում «A = միավորների գումարը հավասար է 5» իրադարձությանը: Լուծում. Միավորների գումարը կարող է հավասար լինել 5-ի չորս դեպքում՝ «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1»։ Պատասխան՝ 4.

30. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ ԿԱՄ-ի արդյունքը կգա (առաջին անգամ գլուխ է հանում, երկրորդ անգամ՝ պոչ):Լուծում: Չորս հնարավոր արդյունք կա՝ գլուխ-գլուխ, գլուխ-պոչ, պոչ-գլուխ, պոչ-պոչ: Բարենպաստ մեկն է՝ գլուխ-պոչերը։ Հետևաբար, ցանկալի հավանականությունը 1: 4 = 0,25 է: Պատասխան՝ 0,25:

31. Ռոք փառատոնին ելույթ են ունենում խմբեր՝ հայտարարված երկրներից մեկական: Կատարման կարգը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Դանիայից ժամանած խումբը ելույթ կունենա Շվեդիայից և Նորվեգիայից հետո: Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:Լուծում: Փառատոնին մասնակցող խմբերի ընդհանուր թիվը նշանակություն չունի հարցին պատասխանելու համար. Ինչքան էլ լինի, նշված երկրների համար կա 6 ճանապարհ հարաբերական դիրքբանախոսների շրջանում (D - Դանիա, S - Շվեդիա, N - Նորվեգիա).

Լ...Ս...Ն..., ...Դ...Ն...Շ..., ...Շ...Ն...Լ..., ...Շ. ..Լ...Ն..., ...Ն...Դ...Վ..., ...Ն...Ս...Լ...

Դանիան երկու անգամ զիջում է Շվեդիային և Նորվեգիային: Հետևաբար, հավանականությունը, որ խմբերը պատահականորեն կբաշխվեն այս ձևով, հավասար էՊատասխան՝ 0.33:

32. Հրետանային կրակելիս ավտոմատ համակարգկրակում է թիրախին. Եթե թիրախը չի ոչնչացվում, համակարգը կրկին կրակում է։ Կրակոցները կրկնվում են այնքան ժամանակ, մինչև թիրախը ոչնչացվի։ Առաջին կրակոցով որոշակի թիրախ ոչնչացնելու հավանականությունը 0,4 է, իսկ ամեն հաջորդ կրակոցի դեպքում՝ 0,6։ Քանի՞ կրակոց կպահանջվի, որպեսզի ապահովվի, որ թիրախը ոչնչացնելու հավանականությունը լինի առնվազն 0,98:Լուծում: Խնդիրը կարող եք լուծել «գործողություններով»՝ հաշվարկելով մի շարք հաջորդական վրիպումներից հետո ողջ մնալու հավանականությունը՝ P(1) = 0.6: P (2) = P (1) 0.4 = 0.24: P (3) = P (2) 0.4 = 0.096: P (4) = P (3) 0.4 = 0.0384; P (5) = P (4) 0.4 = 0.01536: Վերջին հավանականությունը 0,02-ից քիչ է, ուստի հինգ կրակոցը բավարար է թիրախին։

33. Մրցումների հաջորդ փուլ դուրս գալու համար ֆուտբոլային թիմին անհրաժեշտ է երկու խաղում վաստակել առնվազն 4 միավոր: Եթե թիմը հաղթում է, ապա ստանում է 3 միավոր, ոչ-ոքիի դեպքում՝ 1, պարտվելու դեպքում՝ 0 միավոր։ Գտեք հավանականությունը, որ թիմը կկարողանա դուրս գալ մրցույթի հաջորդ փուլ: Հաշվի առեք, որ յուրաքանչյուր խաղում հաղթելու և պարտվելու հավանականությունը նույնն է և հավասար է 0,4-ի.. Լուծում Թիմը երկու խաղում կարող է առնվազն 4 միավոր ստանալ երեք եղանակով՝ 3+1, 1+3, 3+3։ Այս իրադարձությունները անհամատեղելի են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների գումարին։ Այս իրադարձություններից յուրաքանչյուրը երկու անկախ իրադարձությունների արդյունք է՝ առաջին և երկրորդ խաղում արդյունք: Այսպիսով, մենք ունենք.

34. Որոշակի քաղաքում ծնված 5000 նորածիններից 2512-ը տղա են։ Գտեք այս քաղաքում աղջիկների ծննդյան հաճախականությունը: Արդյունքը կլորացրեք հազարերորդականի:Լուծում: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Օդանավում կա 12 նստատեղ՝ վթարային ելքերի կողքին, և 18 նստատեղ՝ խցիկները բաժանող միջնորմների հետևում: Մնացած նստատեղերն անհարմար են ուղեւորի համար բարձրահասակ. Բարձրահասակ է ուղեւոր Վ. Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ գրանցման ժամանակ, նստատեղի պատահական ընտրությամբ, ուղեւոր Բ.-ն հարմարավետ նստատեղ կստանա, եթե ինքնաթիռում կա 300 նստատեղ:Լուծում Ինքնաթիռում ուղեւոր Վ.-ի համար հարմար է 12 + 18 = 30 նստատեղ, իսկ ընդհանուր առմամբ ինքնաթիռում կա 300 նստատեղ։ Հետեւաբար, հավանականությունը, որ ուղեւոր Բ.-ն հարմարավետ նստատեղ կստանա, 30:300 = 0.1.Պատասխան՝ 0.1:

36. Համալսարանում օլիմպիադայում մասնակիցները նստած են երեք դասասենյակներում: Առաջին երկուսում՝ 120-ական հոգի, մնացածներին տեղափոխում են մեկ այլ մասնաշենքի արգելոցային լսարան։ Հաշվարկելիս պարզվել է, որ ընդհանուր առմամբ 250 մասնակից է եղել։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ պատահականության սկզբունքով ընտրված մասնակիցը օլիմպիադան գրել է պահեստային սենյակում:Լուծում: Ընդհանուր առմամբ պահեստային լսարան ուղարկվել է 250 − 120 − 120 = 10 մարդ։ Հետևաբար, հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված մասնակիցը օլիմպիադան գրել է պահեստային սենյակում, 10: 250 = 0.04 է: Պատասխան՝ 0.04:

37. Դասարանում կա 26 հոգի, որոնցից երկու երկվորյակներ՝ Անդրեյն ու Սերգեյը։ Դասարանը պատահականության սկզբունքով բաժանված է երկու խմբի՝ յուրաքանչյուրը 13 հոգուց բաղկացած: Գտեք հավանականությունը, որ Անդրեյն ու Սերգեյը կլինեն նույն խմբում։Լուծում: Թող երկվորյակներից մեկը լինի ինչ-որ խմբում: Նրա հետ միասին խմբում կլինեն 12 հոգի մնացած 25 դասընկերներից։ Հավանականությունը, որ երկրորդ երկվորյակը կլինի այս 12 մարդկանց մեջ, 12:25 = 0.48 է:

38. Տաքսի ընկերությունում կա 50 մեքենա; Դրանցից 27-ը սև են՝ կողքերին դեղին մակագրություններով, մնացածը՝ դեղին, սև մակագրություններով։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահական զանգով կժամանի սև մակագրություններով դեղին մեքենա:Լուծում` 23:50=0.46

39. Զբոսաշրջիկների խմբում կա 30 մարդ։ Նրանց ուղղաթիռով մի քանի քայլով նետում են հեռավոր տարածք՝ յուրաքանչյուր թռիչքից 6 մարդ։ Ուղղաթիռը զբոսաշրջիկներին տեղափոխելու հերթականությունը պատահական է։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ առաջին ուղղաթիռով թռիչք կկատարի զբոսաշրջիկ Պ.Լուծում: Առաջին թռիչքում կա 6 նստատեղ, ընդհանուր՝ 30 նստատեղ, ապա հավանականությունը, որ զբոսաշրջիկ Պ.-ն կթռչի առաջին ուղղաթիռով թռիչքի ժամանակ, 6:30 = 0,2 է:

40. Մեկ տարվա ընթացքում նոր DVD նվագարկիչի վերանորոգման հավանականությունը 0,045 է։ Որոշակի քաղաքում տարվա ընթացքում վաճառված 1000 DVD նվագարկիչից երաշխիքային արտադրամաս է հասել 51 հատ։ Որքանո՞վ է տարբեր «երաշխիքային վերանորոգման» իրադարձության հաճախականությունը այս քաղաքում դրա հավանականությունից:Լուծում: «Երաշխիքային վերանորոգման» իրադարձության հաճախականությունը (հարաբերական հաճախականությունը) 51 է՝ 1000 = 0,051: Այն կանխատեսված հավանականությունից տարբերվում է 0,006-ով։

41. 67 մմ տրամագծով առանցքակալների արտադրության մեջ տրամագիծը նշվածից 0,01 մմ-ից ոչ ավելի տարբերվելու հավանականությունը 0,965 է: Գտեք հավանականությունը, որ պատահական առանցքակալը կունենա 66,99 մմ-ից պակաս կամ 67,01 մմ-ից մեծ տրամագիծ:Լուծում. Ըստ պայմանի՝ կրող տրամագիծը կլինի 66,99-ից 67,01 մմ միջակայքում՝ 0,965 հավանականությամբ։ Հետևաբար, հակառակ իրադարձության ցանկալի հավանականությունը 1 - 0,965 = 0,035 է:

42. Հավանականությունը, որ աշակերտ Օ.-ն ճիշտ է լուծել կենսաբանության թեստի 11-ից ավելի առաջադրանքները, 0,67 է: Հավանականությունը, որ Օ.-ն ճիշտ կլուծի 10-ից ավելի խնդիր, 0,74 է։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ Օ.-ն ճիշտ է լուծում ուղիղ 11 խնդիր:Լուծում: Դիտարկենք իրադարձությունները A = «աշակերտը կլուծի 11 խնդիր» և B = «աշակերտը կլուծի ավելի քան 11 խնդիր»: Դրանց գումարը A + B իրադարձությունն է = «աշակերտը կլուծի 10-ից ավելի խնդիր»։ A և B իրադարձությունները անհամատեղելի են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին. P(A + B) = P(A) + P(B): Այնուհետև, օգտագործելով խնդրի տվյալները, ստանում ենք՝ 0,74 = P(A) + 0,67, որտեղից P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07 Պատասխան՝ 0,07։

43. «Լեզվաբանություն» մասնագիտությամբ ինստիտուտ ընդունվելու համար դիմորդը պետական միասնական քննությունից պետք է հավաքի առնվազն 70 միավոր երեք առարկաներից յուրաքանչյուրում՝ մաթեմատիկա, ռուսաց լեզու և օտար լեզու: «Առեւտուր» մասնագիտություն ընդունվելու համար երեք առարկաներից յուրաքանչյուրում՝ մաթեմատիկա, ռուսաց լեզու և հասարակագիտություն, պետք է հավաքել առնվազն 70 միավոր։ Հավանականությունը, որ դիմորդ Զ.-ն մաթեմատիկայից կստանա առնվազն 70 միավոր, 0,6 է, ռուսերենում՝ 0,8, ք. օտար լեզու- 0,7 իսկ հասարակագիտության մեջ՝ 0,5 Գտե՛ք հավանականությունը, որ նշված երկու մասնագիտություններից գոնե մեկը կկարողանա ընդունվել Զ.Լուծում: Գոնե ինչ-որ տեղ մտնելու համար Զ.-ն պետք է անցնի և՛ ռուսերեն, և՛ մաթեմատիկա առնվազն 70 միավորով, և դրան գումարած՝ առնվազն 70 միավորով անցնի օտար լեզու կամ հասարակագիտություն։ Թող լինի A, B, C և D - դրանք միջոցառումներ են, որոնցում մաթեմատիկա, ռուսերեն, արտասահմանյան և հասարակագիտական առարկաներ, համապատասխանաբար, առնվազն 70 միավորով անցնում է Զ. Հետո քանի որ

Ժամանելու հավանականության համար մենք ունենք.

44. Կերամիկական սպասքի գործարանում արտադրված ափսեների 10%-ը թերություն ունի. Արտադրանքի որակի հսկողության ընթացքում հայտնաբերվում են թերի թիթեղների 80%-ը։ Մնացած ափսեները վաճառվում են։ Գտեք հավանականությունը, որ գնման պահին պատահականորեն ընտրված ափսեը թերություններ չունի: Կլորացրեք ձեր պատասխանը մինչև հարյուրերորդականը:Լուծում Թող գործարանը արտադրիափսեներ. Բոլոր բարձրորակ ծնծղաները և չհայտնաբերված թերի ծնծղաների 20%-ը կհայտնվեն վաճառքում.ափսեներ. Որովհետև որակյալները, որակյալ ափսե գնելու հավանականությունը 0,9p:0,92p=0,978 Պատասխան՝ 0,978։

45. Խանութում երեք վաճառող կա. Նրանցից յուրաքանչյուրը զբաղված է 0,3 հավանականությամբ հաճախորդով։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահական ժամանակ բոլոր երեք վաճառողները միաժամանակ զբաղված են (ենթադրենք, որ հաճախորդները մտնում են միմյանցից անկախ):Լուծում Անկախ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին: Հետևաբար, հավանականությունը, որ երեք վաճառողներն էլ զբաղված են, մեծ է

46. Հաճախորդների ակնարկների հիման վրա Իվան Իվանովիչը գնահատեց երկու առցանց խանութների հուսալիությունը: Հավանականությունը, որ ցանկալի իրըառաքված Ա խանութից 0.8 է։ Հավանականությունը, որ այս ապրանքը կառաքվի B խանութից 0,9 է։ Իվան Իվանովիչը ապրանքը միանգամից պատվիրեց երկու խանութներում։ Ենթադրելով, որ առցանց խանութները գործում են միմյանցից անկախ, գտեք հավանականությունը, որ խանութներից ոչ մեկը ապրանքը չի առաքի:Լուծում: Հավանականությունը, որ առաջին խանութը չի առաքի ապրանքը, 1 − 0,9 = 0,1 է: Երկրորդ խանութը ապրանքը չառաքելու հավանականությունը 1 − 0,8 = 0,2 է։ Քանի որ այս իրադարձությունները անկախ են, նրանց արտադրանքի հավանականությունը (երկու խանութներն էլ ապրանքը չեն առաքի) հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին. 0,1 0,2 = 0,02:

47. Շրջկենտրոնից գյուղ ամեն օր ավտոբուս է գնում։ Հավանականությունը, որ երկուշաբթի օրը ավտոբուսում 20-ից պակաս ուղեւոր կլինի, 0,94 է։ 15-ից պակաս ուղեւոր լինելու հավանականությունը 0,56 է։ Գտեք հավանականությունը, որ ուղևորների թիվը կլինի 15-ից 19-ի միջև։Լուծում: Դիտարկենք իրադարձությունները A = «ավտոբուսում 15-ից պակաս ուղևոր կա» և B = «ավտոբուսում 15-ից 19 ուղևոր կա»: Դրանց գումարը A + B իրադարձությունն է = «ավտոբուսում 20 ուղևորից պակաս»: A և B իրադարձությունները անհամատեղելի են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին. P(A + B) = P(A) + P(B): Այնուհետև, օգտագործելով խնդրի տվյալները, ստանում ենք՝ 0,94 = 0,56 + P(B), որտեղից P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38: Պատասխան՝ 0,38:

48. Մինչ վոլեյբոլի խաղի մեկնարկը, թիմի ավագները արդար վիճակահանությամբ որոշեն, թե որ թիմը կսկսի գնդակով խաղը: Stator թիմը հերթով խաղում է Rotor, Motor և Starter թիմերի հետ: Գտեք հավանականությունը, որ Ստատորը կսկսի միայն առաջին և վերջին խաղերը:Լուծում. Պահանջվում է գտնել երեք իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը. «Ստատորը» սկսում է առաջին խաղը, չի սկսում երկրորդ խաղը, սկսում է երրորդ խաղը: Անկախ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին: Նրանցից յուրաքանչյուրի հավանականությունը հավասար է 0,5-ի, որտեղից գտնում ենք՝ 0,5 0,5 0,5 = 0,125: Պատասխան՝ 0,125։

49. Հեքիաթների երկրում կա երկու տեսակի եղանակ՝ լավ և գերազանց, իսկ եղանակը, առավոտյան կարգավորվելով, ամբողջ օրը մնում է անփոփոխ։ Հայտնի է, որ 0.8 հավանականությամբ վաղը եղանակը կլինի նույնը, ինչ այսօր։ Այսօր հուլիսի 3-ն է, Fairyland-ում լավ եղանակ է: Գտեք հավանականությունը, որ հուլիսի 6-ին Magicland-ում հիանալի եղանակ կլինի:Լուծում. Հուլիսի 4-ի, 5-ի և 6-ի եղանակի համար կա 4 տարբերակ՝ XXO, XOO, OXO, LLC (այստեղ X-ը լավ է, O-ն հիանալի եղանակ է): Գտնենք նման եղանակի հավանականությունները՝ P(XXO) = 0,8 0,8 0,2 = 0,128; P (XOO) = 0.8 0.2 0.8 = 0.128; P(OXO) = 0.2 0.2 0.2 = 0.008; P (OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128: Այս իրադարձությունները անհամատեղելի են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին. 0,392:

50. Հեպատիտի կասկածանքով բոլոր հիվանդներին տրվում է արյան անալիզ: Եթե վերլուծությունը բացահայտում է հեպատիտը, ապա վերլուծության արդյունքը կոչվում էդրական . Հեպատիտով հիվանդների մոտ վերլուծությունը տալիս է դրական արդյունք 0,9 հավանականությամբ։ Եթե հիվանդը չունի հեպատիտ, ապա թեստը կարող է տալ կեղծ դրական արդյունք՝ 0,01 հավանականությամբ։ Հայտնի է, որ հեպատիտի կասկածանքով ընդունված հիվանդների 5%-ն իրականում ունի հեպատիտ։ Գտեք հավանականությունը, որ հեպատիտի կասկածանքով կլինիկա ընդունված հիվանդի թեստի արդյունքը դրական կլինի:Լուծում. Հիվանդի անալիզը կարող է դրական լինել երկու պատճառով՝ ա) հիվանդը ունի հեպատիտ, նրա անալիզը ճիշտ է. Բ) հիվանդը չունի հեպատիտ, նրա անալիզը կեղծ է. Սրանք անհամատեղելի իրադարձություններ են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին։ Ունենք՝ p(A)=0.9 0.05=0.045; p(B)=0.01 0.95=0.0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0.045+0.0095=0.0545:

51. Միշայի գրպանում չորս քաղցրավենիք կար՝ Գրիլջ, Սկյուռ, Կով և Ծիծեռնակ, ինչպես նաև բնակարանի բանալիներ։ Հանելով բանալիները՝ Միշան պատահաբար գրպանից գցեց մի կոնֆետ։ Գտեք Grillage կոնֆետի կորստի հավանականությունը:

52.Մեխանիկական ժամացույցներտասներկու ժամ տևողությամբ հավաքեք ինչ-որ պահի կոտրվեց և դադարեց քայլել: Գտեք դրա հավանականությունը ժամաչափսառեց՝ հասնելով 10-ի, բայց չհասնելով 1 ժամի նշագծին։ Լուծում` 3:12=0.25

53. Մարտկոցի թերի լինելու հավանականությունը 0,06 է։ Հաճախորդը խանութում ընտրում է պատահական փաթեթ, որը պարունակում է այս մարտկոցներից երկուսը: Գտեք հավանականությունը, որ երկու մարտկոցներն էլ լավն են:Լուծում: Մարտկոցի լավ լինելու հավանականությունը 0,94 է։ Անկախ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը (երկու մարտկոցներն էլ լավ կլինեն) հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին՝ 0,94 0,94 \u003d 0,8836 Պատասխան՝ 0,8836։

54. Ավտոմատ գիծը մարտկոցներ է պատրաստում։ Հավանականությունը, որ պատրաստի մարտկոցը թերի է, 0,02 է: Նախքան փաթեթավորումը, յուրաքանչյուր մարտկոց անցնում է կառավարման համակարգով: Հավանականությունը, որ համակարգը կհրաժարվի վատ մարտկոցից, 0,99 է: Հավանականությունը, որ համակարգը սխալմամբ կհրաժարվի լավ մարտկոցից, 0,01 է: Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված արտադրված մարտկոցը կմերժվի կառավարման համակարգի կողմից:Լուծում. Իրավիճակը, երբ մարտկոցը կմերժվի, կարող է լինել հետևյալ իրադարձությունների հետևանքը. A = մարտկոցը իսկապես վատ է և արդարացիորեն մերժվել է, կամ B = մարտկոցը լավ է, բայց սխալմամբ մերժվել է: Սրանք անհամատեղելի իրադարձություններ են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին։ Մենք ունենք:

55. Նկարում պատկերված է լաբիրինթոս: «Մուտքի» կետում սարդը սողում է լաբիրինթոս։ Սարդը չի կարող շրջվել և հետ սողալ, հետևաբար, յուրաքանչյուր պատառաքաղի մոտ սարդն ընտրում է ճանապարհներից մեկը, որը դեռ չի սողացել։ Ենթադրելով, որ հետագա ուղու ընտրությունը զուտ պատահական է, որոշեք, թե ինչ հավանականությամբ սարդը կգա ելք.

Լուծում.

Նշված չորս պատառաքաղներից յուրաքանչյուրում սարդը կարող է ընտրել կա՛մ դեպի D ելք տանող ուղին, կա՛մ 0,5 հավանականությամբ մեկ այլ ճանապարհ: Սրանք անկախ իրադարձություններ են, դրանց արտադրյալի հավանականությունը (սարդը հասնում է D ելքի) հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին։ Հետևաբար, D ելքին գալու հավանականությունը (0,5) է: 4 = 0,0625.

Նախատեսեք սեմինար Տուլա քաղաքի ուսումնական հաստատության մաթեմատիկայի ուսուցիչների համար «Մաթեմատիկայում USE առաջադրանքների լուծում բաժիններից. կոմբինատորիկա, հավանականության տեսություն» թեմայով: Դասավանդման մեթոդներ»

Ժամանակի ծախսում: 12 00 ; 15 00

Գտնվելու վայրը MBOU «Թիվ 1 ճեմարան», սեն. Թիվ 8

Ի. Խնդրի լուծում հավանականության համար

1. Հավանականության դասական սահմանման վերաբերյալ խնդիրների լուծում

Մենք, որպես ուսուցիչներ, արդեն գիտենք, որ հավանականությունների տեսության մեջ USE-ի առաջադրանքների հիմնական տեսակները հիմնված են հավանականության դասական սահմանման վրա: Հիշեք, թե ինչ է կոչվում իրադարձության հավանականություն:

Իրադարձության հավանականությունըտվյալ իրադարձության համար բարենպաստ արդյունքների թվի հարաբերակցությունն է ընդհանուր թիվըարդյունքները։

Մաթեմատիկայի ուսուցիչների մեր գիտամեթոդական միությունում ա ընդհանուր սխեմանխնդրի լուծում հավանականության համար: Ցանկանում եմ այն ներկայացնել ձեր ուշադրությանը։ Ի դեպ, մենք կիսվել ենք մեր աշխատանքային փորձով, և այն նյութերում, որոնք ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացրել խնդիրների լուծման համատեղ քննարկման համար, տվել ենք այս սխեման։ Այնուամենայնիվ, ես ուզում եմ դա բարձրաձայնել.

Մեր կարծիքով, այս սխեման օգնում է արագ տրամաբանորեն ամեն ինչ դնել դարակների վրա, և դրանից հետո առաջադրանքը կարող է շատ ավելի հեշտ լուծել ինչպես ուսուցչի, այնպես էլ ուսանողների համար:

Այսպիսով, ես ուզում եմ մանրամասն վերլուծել հետեւյալ բովանդակության խնդիրը.

Ես ուզում էի զրուցել ձեզ հետ, որպեսզի բացատրեմ, թե ինչպես կարելի է նման լուծում փոխանցել տղաներին, որի ընթացքում տղաները կհասկանային այս տիպիկ առաջադրանքը, իսկ հետո նրանք իրենք կհասկանան այդ խնդիրները:

Ի՞նչ է պատահական փորձը այս խնդրի մեջ: Այժմ մենք պետք է մեկուսացնենք այս փորձի տարրական իրադարձությունը: Ո՞րն է այս տարրական իրադարձությունը: Թվարկենք դրանք։

Հարցե՞ր տալ:

Հարգելի գործընկերներ, դուք նույնպես ակնհայտորեն դիտարկել եք զառերի հետ կապված հավանականության խնդիրները։ Կարծում եմ՝ պետք է այն ապամոնտաժել, քանի որ կան որոշ նրբերանգներ։ Եկեք վերլուծենք այս խնդիրը ըստ այն սխեմայի, որը մենք առաջարկել ենք ձեզ: Քանի որ խորանարդի յուրաքանչյուր երեսի վրա կա 1-ից մինչև 6 թիվ, տարրական իրադարձությունները 1, 2, 3, 4, 5, 6 թվերն են: Մենք պարզեցինք, որ տարրական իրադարձությունների ընդհանուր թիվը 6 է: Եկեք որոշենք, թե որն է: տարրական իրադարձությունները նպաստում են իրադարձությանը. Այս իրադարձությանը նպաստում է միայն երկու իրադարձություն՝ 5-ը և 6-ը (քանի որ պայմանից բխում է, որ 5 և 6 միավորները պետք է դուրս գան):

Բացատրեք, որ բոլոր տարրական իրադարձությունները հավասարապես հնարավոր են: Որո՞նք են լինելու առաջադրանքի վերաբերյալ հարցերը:

Ինչպե՞ս եք հասկանում, որ մետաղադրամը սիմետրիկ է: Եկեք հասկանանք, որ երբեմն որոշ արտահայտություններ թյուրիմացություններ են առաջացնում: Եկեք հասկանանք այս խնդիրը հայեցակարգային: Եկեք զբաղվենք ձեզ հետ այդ փորձով, որը նկարագրված է, թե ինչ տարրական արդյունքներ կարող են լինել: Պատկերացնու՞մ եք՝ որտեղ է գլուխը, որտեղ՝ պոչը։ Որո՞նք են անկման տարբերակները: Կա՞ն այլ միջոցառումներ։ Որքա՞ն է միջոցառումների ընդհանուր թիվը: Ըստ խնդրի՝ հայտնի է, որ գլուխները դուրս են եկել ուղիղ մեկ անգամ։ Այսպիսով, այս իրադարձությունըտարրական իրադարձություններ այս չորս OR-ի և RO-ի օգտին, դա չի կարող տեղի ունենալ արդեն երկու անգամ: Մենք օգտագործում ենք բանաձևը, որով հայտնաբերվում է իրադարձության հավանականությունը։ Հիշեցնենք, որ Բ մասի պատասխանները պետք է լինեն կամ ամբողջ կամ տասնորդական:

Ցույց տալ ինտերակտիվ գրատախտակին: Մենք կարդում ենք առաջադրանքը. Ո՞րն է այս փորձառության տարրական արդյունքը: Հստակեցրեք, որ զույգը պատվիրված է, այսինքն՝ թիվն ընկել է առաջին դիակի վրա, իսկ երկրորդի վրա։ Ցանկացած առաջադրանքում լինում են պահեր, երբ պետք է ընտրել ռացիոնալ մեթոդներ, ձևեր և լուծումը ներկայացնել աղյուսակների, գծապատկերների և այլնի տեսքով։ Այս խնդրի դեպքում հարմար է օգտագործել նման սեղան. Ես արդեն տալիս եմ ձեզ բանտապահ լուծում, բայց լուծման ընթացքում պարզվում է, որ այս խնդրի մեջ ռացիոնալ է օգտագործել լուծումը աղյուսակի տեսքով։ Բացատրեք, թե ինչ է նշանակում աղյուսակը: Դուք հասկանում եք, թե ինչու են սյունակներում գրված 1, 2, 3, 4, 5, 6:

Եկեք գծենք քառակուսի: Գծերը համապատասխանում են առաջին պտույտի արդյունքներին. դրանք վեցն են, քանի որ մեռնելն ունի վեց երես: Ինչպես և սյուները: Յուրաքանչյուր բջիջում գրում ենք բաց թողնված միավորների գումարը։ Ցույց տվեք լրացված աղյուսակը: Գունավորենք այն բջիջները, որտեղ գումարը հավասար է ութի (ինչպես պահանջվում է պայմանում):

Հավատում եմ, որ հաջորդ խնդիրը, նախորդները վերլուծելուց հետո, կարելի է տալ տղաներին՝ ինքնուրույն լուծելու։

Հետևյալ խնդիրներում բոլոր տարրական արդյունքները գրառելու կարիք չկա։ Բավական է միայն հաշվել նրանց թիվը։

(Առանց լուծման) Ես տղաներին տվել եմ, որ այս խնդիրը ինքնուրույն լուծեն։ Խնդիրը լուծելու ալգորիթմ

1. Որոշեք, թե ինչ է պատահական փորձը, և որն է պատահական իրադարձություն:

2. Գտի՛ր տարրական իրադարձությունների ընդհանուր թիվը:

3. Մենք գտնում ենք խնդրի պայմանում նշված իրադարձությանը նպաստող իրադարձությունների թիվը:

4. Բանաձևով գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը.

Ուսանողներին կարելի է հարց տալ, եթե վաճառքի է հանվել 1000 մարտկոց, և դրանցից 6-ը անսարք են, ապա ընտրված մարտկոցը որոշվում է որպես? Ի՞նչն է դա մեր առաջադրանքի մեջ։ Հաջորդը, ես հարց եմ տալիս գտնելու, թե ինչ է օգտագործվում այստեղ որպես թիվև ես առաջարկում եմ գտնել այնթիվ. Հետո հարցնում եմ՝ ի՞նչ իրադարձություն է այստեղ։ Քանի՞ կուտակիչ է կողմ միջոցառման ավարտին: Հաջորդը, օգտագործելով բանաձևը, մենք հաշվարկում ենք այս հավանականությունը:

Այստեղ երեխաներին կարելի է երկրորդ լուծում առաջարկել. Եկեք քննարկենք, թե ինչ կարող է լինել այս մեթոդը:

1. Հիմա ի՞նչ իրադարձություն կարելի է համարել։

2. Ինչպե՞ս գտնել տվյալ իրադարձության հավանականությունը:

Երեխաներին պետք է պատմել այս բանաձեւերի մասին։ Նրանք հաջորդն են

Ութերորդ առաջադրանքը երեխաներին կարելի է առաջարկել ինքնուրույն, քանի որ այն նման է վեցերորդ առաջադրանքին։ Դա նրանց կարող է առաջարկվել որպես անկախ աշխատանք, կամ քարտի վրա գրատախտակի վրա:

Այս խնդիրը կարող է լուծվել օլիմպիադայի հետ կապված, որն այժմ տեղի է ունենում։ Չնայած այն հանգամանքին, որ առաջադրանքներին մասնակցում են տարբեր միջոցառումներ, այնուամենայնիվ, առաջադրանքները բնորոշ են։

2. Հավանականությունների հաշվման ամենապարզ կանոններն ու բանաձևերը (հակառակ իրադարձություններ, իրադարձությունների գումար, իրադարձությունների արտադրյալ)

Սա առաջադրանք է ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ հավաքածու. Լուծումը դնում ենք տախտակի վրա։ Ի՞նչ հարցեր դնենք ուսանողներին այս խնդիրը վերլուծելու համար։

1. Քանի՞ գնդացիր կար: Մի անգամ երկու ավտոմատ, ապա արդեն երկու իրադարձություն կա: Երեխաներին հարցնում եմ, թե ինչ միջոցառում է լինելու? Ո՞րն է լինելու երկրորդ իրադարձությունը։

2. իրադարձության հավանականությունն է։ Մենք կարիք չունենք այն հաշվարկելու, քանի որ այն տրված է պայմանում։ Ըստ խնդրի պայմանի՝ հավանականությունը, որ «երկու ապարատներում էլ սուրճը վերջանում է», 0,12 է։ Եղել է իրադարձություն A, եղել է իրադարձություն B: Եվ հայտնվում է նոր իրադարձություն: Երեխաներին հարց եմ տալիս՝ ի՞նչ։ Սա մի իրադարձություն է, երբ երկու ավտոմատների սուրճը վերջանում է: Այս դեպքում հավանականության տեսության մեջ սա նոր իրադարձություն է, որը կոչվում է A և B երկու իրադարձությունների հատում և նշվում է այսպես.

Եկեք օգտագործենք հավանականության գումարման բանաձևը. Բանաձևը հետևյալն է

Մենք այն տալիս ենք ձեզ տեղեկատու նյութում, և տղաները կարող են տալ այս բանաձևը. Այն թույլ է տալիս գտնել իրադարձությունների գումարի հավանականությունը: Մեզ հարցրին հակառակ իրադարձության հավանականությունը, որի հավանականությունը հայտնաբերվում է բանաձեւով.

Խնդիր 13-ում օգտագործվում է իրադարձությունների արտադրյալ հասկացությունը, որի հավանականությունը գտնելու բանաձևը տրված է հավելվածում:

3. Հնարավոր տարբերակների ծառի կիրառման առաջադրանքներ

Ըստ խնդրի պայմանի՝ հեշտ է կազմել դիագրամ և գտնել նշված հավանականությունները։

Ինչ օգնությամբ տեսական նյութԱյս կարգի խնդիրներ լուծելու համար աշխատե՞լ եք ուսանողների հետ: Դուք օգտագործե՞լ եք հնարավորությունների ծառը, թե՞ այլ մեթոդներ եք օգտագործել նման խնդիրների լուծման համար։ Դուք տվել եք գրաֆիկների հասկացությունը: Հինգերորդ կամ վեցերորդ դասարանում տղաները ունենում են այնպիսի խնդիրներ, որոնց վերլուծությունը տալիս է գրաֆիկների հասկացությունը։

Կցանկանայի ձեզ հարցնել՝ Դուք և Ձեր աշակերտները հավանականության խնդիրներ լուծելիս մտածե՞լ եք օգտագործելու հնարավորությունների ծառը։ Փաստն այն է, որ USE-ն ոչ միայն ունի նման առաջադրանքներ, այլ բավականին բարդ առաջադրանքներ են հայտնվել, որոնք մենք հիմա կլուծենք։

Եկեք ձեզ հետ քննարկենք նման խնդիրների լուծման մեթոդաբանությունը. եթե դա համընկնում է իմ մեթոդաբանության հետ, ինչպես ես բացատրում եմ տղաներին, ապա ինձ համար ավելի հեշտ կլինի աշխատել ձեզ հետ, եթե ոչ, ապա ես ձեզ կօգնեմ լուծել այս խնդիրը:

Եկեք քննարկենք իրադարձությունները։ Ի՞նչ իրադարձություններ կարելի է բացահայտել խնդրի 17-ում:

Հարթության վրա ծառ կառուցելիս նշանակվում է մի կետ, որը կոչվում է ծառի արմատ։ Հաջորդը, մենք սկսում ենք դիտարկել իրադարձություններըԵվ. Մենք կկառուցենք հատված (հավանականությունների տեսության մեջ այն կոչվում է ճյուղ): Պայմանն ասում է, որ առաջին գործարանն արտադրում է 30% Բջջային հեռախոսներըայս բրենդը (ի՞նչ. Իրենց արտադրածը), այսպես այս պահինՈւսանողներին հարցնում եմ՝ ինչքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջին գործարանը թողարկի այս ապրանքանիշի հեռախոսներ, որոնք իրենք են արտադրում։ Քանի որ իրադարձությունը հեռախոսի թողարկումն է առաջին գործարանում, այս իրադարձության հավանականությունը 30% է կամ 0.3: Մնացած հեռախոսները արտադրվում են երկրորդ գործարանում. մենք կառուցում ենք երկրորդ հատվածը, և այս իրադարձության հավանականությունը 0,7 է։

Ուսանողներին հարց է տրվում՝ ինչպիսի՞ հեռախոս կարող է արտադրել առաջին գործարանը: Թերությամբ կամ առանց թերության։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջին գործարանի արտադրած հեռախոսը թերություն ունի։ Ըստ պայմանի՝ ասվում է, որ այն հավասար է 0,01-ի։ Հարց. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջին գործարանի արտադրած հեռախոսը թերություն չունի։ Քանի որ այս իրադարձությունը հակառակ է տրվածին, դրա հավանականությունը հավասար է։

Պահանջվում է գտնել հեռախոսի թերի լինելու հավանականությունը։ Կարող է առաջին գործարանից է, կամ երկրորդից։ Այնուհետև մենք օգտագործում ենք հավանականությունների գումարման բանաձևը և ստանում ենք, որ ամբողջ հավանականությունը այն հավանականությունների գումարն է, որ հեռախոսը թերի է առաջին գործարանից, և որ հեռախոսը թերի է երկրորդ գործարանից։ Հավանականությունը, որ հեռախոսը թերություն ունի և արտադրվել է առաջին գործարանում, հայտնաբերվում է հավանականությունների արտադրյալի բանաձևով, որը տրված է հավելվածում։

4. Ամենաներից մեկը դժվար առաջադրանքներ USE բանկից հավանականության համար

Վերլուծենք, օրինակ, FIPI Task Bank-ի թիվ 320199-ը։ Սա B6-ի ամենադժվար առաջադրանքներից մեկն է:

«Լեզվաբանություն» մասնագիտությամբ ինստիտուտ ընդունվելու համար դիմորդ Զ.-ն պետք է պետական միասնական քննությունից երեք առարկաներից յուրաքանչյուրից՝ մաթեմատիկա, ռուսաց լեզու և օտար լեզու, հավաքի առնվազն 70 միավոր: «Առեւտուր» մասնագիտություն ընդունվելու համար երեք առարկաներից յուրաքանչյուրում՝ մաթեմատիկա, ռուսաց լեզու և հասարակագիտություն, պետք է հավաքել առնվազն 70 միավոր։

Հավանականությունը, որ դիմորդ Զ.-ն մաթեմատիկայից կստանա առնվազն 70 միավոր, 0,6 է, ռուսերենում՝ 0,8, օտար լեզվում՝ 0,7 և հասարակագիտությունից՝ 0,5։

Գտե՛ք հավանականությունը, որ Զ.-ն կկարողանա ընդունվել նշված երկու մասնագիտություններից գոնե մեկը։

Նկատենք, որ խնդիրը չի հարցնում, թե Զ. անունով դիմորդը միաժամանակ և՛ լեզվաբանություն, և՛ կոմերցիա կսովորի և ստանա երկու դիպլոմ։ Այստեղ պետք է գտնել այն հավանականությունը, որ Զ. պահանջվող գումարըմիավորներ.

Երկու մասնագիտություններից գոնե մեկը ընդունվելու համար մաթեմատիկայից առնվազն 70 միավոր պետք է հավաքի Զ. Եվ ռուսերեն. Եվ այնուամենայնիվ՝ հասարակագիտություն, թե արտասահմանյան։

Նրա համար մաթեմատիկայից 70 միավոր հավաքելու հավանականությունը 0,6 է։

Մաթեմատիկայից և ռուսերենից միավորներ հավաքելու հավանականությունը հավասար է։

Եկեք զբաղվենք արտասահմանյան և հասարակական ուսումնասիրություններով։ Տարբերակները մեզ հարմար են, երբ դիմորդը միավորներ է հավաքել հասարակագիտության, օտար լեզվի կամ երկուսի մեջ: Տարբերակը հարմար չէ, երբ նա միավորներ չի հավաքել ո՛չ լեզվով, ո՛չ «հասարակությամբ»։ Սա նշանակում է, որ սոցիալական կամ արտասահմանյան կրթություն ստանալու հավանականությունն առնվազն 70 միավոր է։ Արդյունքում հավասարվում է մաթեմատիկա, ռուսաց և հասարակագիտական կամ արտասահմանյան հանձնելու հավանականությունը

Սա է պատասխանը։

II . Համակցված խնդիրների լուծում

1. Համակցությունների և ֆակտորիաների քանակը

Համառոտ վերլուծենք տեսական նյութը։

Արտահայտությունn ! կարդում է «en-factorial» և նշանակում է բոլորի արտադրյալը բնական թվեր 1-ից մինչևn ներառական:n ! = 1 2 3 ...n .

Բացի այդ, մաթեմատիկայի մեջ, ըստ սահմանման, համարվում է, որ 0! = 1. Նման արտահայտությունը հազվադեպ է, բայց այնուամենայնիվ հանդիպում է հավանականությունների տեսության խնդիրներում:

Սահմանում

Թող լինեն առարկաներ (մատիտներ, քաղցրավենիք, ինչ էլ որ լինի), որոնցից պահանջվում է ընտրել ճիշտ տարբեր առարկաներ։ Այնուհետև կոչվում է նման ընտրության տարբերակների քանակըհամակցությունների քանակը տարրերից։ Այս թիվը նշվում և հաշվարկվում է հատուկ բանաձևով.

Նշանակում

Ի՞նչ է տալիս մեզ այս բանաձեւը: Իրականում գրեթե ոչ մի լուրջ խնդիր առանց դրա հնարավոր չէ լուծել։

Ավելի լավ հասկանալու համար եկեք վերլուծենք մի քանի պարզ կոմբինատոր խնդիրներ.

Առաջադրանք

Բարմենն ունի կանաչ թեյի 6 տեսակ։ Թեյի արարողության համար անհրաժեշտ է ներկայացնել կանաչ թեյճիշտ 3 տարբեր սորտերի. Քանի՞ եղանակով կարող է բարմենը կատարել պատվերը:

Լուծում

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է՝ կաn = 6 սորտեր ընտրելու համարկ = 3 սորտեր: Համակցությունների քանակը կարելի է գտնել բանաձևով.

Պատասխանել

Փոխարինել բանաձևում. Մենք չենք կարող լուծել բոլոր խնդիրները, բայց բնորոշ առաջադրանքներգրել ենք, դրանք ներկայացնում ենք ձեր ուշադրությանը։

Առաջադրանք

20 ուսանողներից բաղկացած խմբում պետք է ընտրվեն 2 ներկայացուցիչներ՝ համաժողովին ելույթ ունենալու համար: Քանի՞ եղանակով կարելի է դա անել:

Լուծում

Կրկին, այն ամենը, ինչ ունենքn = 20 ուսանող, բայց դուք պետք է ընտրեքկ = 2 ուսանող: Գտեք համակցությունների քանակը.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տարբեր գործոններում ներառված գործոնները նշված են կարմիրով: Այս բազմապատկիչները կարող են ցավազուրկ կրճատվել և այդպիսով զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկների ընդհանուր քանակը:

Պատասխանել

190

Առաջադրանք

Պահեստ է բերվել տարբեր արատներով 17 սերվեր, որոնք սովորական սերվերներից 2 անգամ էժան են։ Տնօրենը դպրոցի համար գնել է 14 այդպիսի սերվեր, իսկ խնայված գումարը՝ 200 000 ռուբլի, ծախսել է այլ սարքավորումների ձեռքբերման վրա։ Քանի՞ ձևով կարող է տնօրենն ընտրել թերի սերվերներ:

Լուծում

Առաջադրանքի մեջ բավականին շատ լրացուցիչ տվյալներ կան, որոնք կարող են շփոթեցնել: Մեծ մասը կարևոր փաստեր:Ամեն ինչ կաn = 17 սերվեր, և տնօրենին անհրաժեշտ էկ = 14 սերվեր: Մենք հաշվում ենք համակցությունների քանակը.

Կարմիր գույնը կրկին ցույց է տալիս այն բազմապատկիչները, որոնք կրճատվում են: Ընդհանուր առմամբ, ստացվել է 680 համակցություն։ Ընդհանրապես, տնօրենը ընտրելու շատ բան ունի։

Պատասխանել

680

Այս առաջադրանքը քմահաճ է, քանի որ այս առաջադրանքում լրացուցիչ տվյալներ կան: Նրանք շփոթեցնում են շատ ուսանողների ճիշտ որոշում. Ընդհանուր առմամբ կար 17 սերվեր, և տնօրենը պետք է ընտրեր 14-ը: Փոխարինելով բանաձևին, մենք ստանում ենք 680 համակցություն:

2. Բազմապատկման օրենքը

Սահմանում

բազմապատկման օրենք կոմբինատորիկայի մեջ՝ բազմապատկվում է անկախ բազմություններում կոմբինացիաների (ճանապարհներ, համակցություններ) թիվը։

Այսինքն՝ թող լինիԱ մեկ գործողություն կատարելու եղանակներ ևԲ այլ գործողություն կատարելու եղանակներ. Ճանապարհը նույնպես այս գործողությունները անկախ են, այսինքն. ոչ մի կերպ կապված չէ: Այնուհետև կարող եք գտնել առաջին և երկրորդ գործողությունները կատարելու եղանակների քանակը բանաձևով.Գ = Ա · Բ .

Առաջադրանք

Պետյան ունի 4 մետաղադրամ 1-ական ռուբլով և 2 մետաղադրամ 10-ական ռուբլով: Պետյան, առանց նայելու, գրպանից հանեց 1 մետաղադրամ՝ 1 ռուբլի անվանական արժեքով և ևս 1 մետաղադրամ՝ 10 ռուբլի անվանական արժեքով, 11 ռուբլով գրիչ գնելու համար։ Քանի՞ եղանակով նա կարող է ընտրել այս մետաղադրամները:

Լուծում

Այսպիսով, նախ Պետյան ստանում էկ = 1 մետաղադրամիցn = 4 մատչելի մետաղադրամ 1 ռուբլի անվանական արժեքով: Դա անելու եղանակների քանակը հետևյալն էԳ 4 1 = ... = 4.

Այնուհետև Պետյան նորից ձեռքը դնում է գրպանը և հանումկ = 1 մետաղադրամիցn = 2 մատչելի մետաղադրամ 10 ռուբլի անվանական արժեքով: Ահա համակցությունների քանակըԳ 2 1 = ... = 2.

Քանի որ այս գործողությունները անկախ են, տարբերակների ընդհանուր թիվըԳ = 4 2 = 8:

Պատասխանել

Առաջադրանք

Զամբյուղում կա 8 սպիտակ և 12 սև գնդակ: Քանի՞ եղանակով կարող եք այս զամբյուղից ստանալ 2 սպիտակ և 2 սև գնդակ:

Լուծում

Ընդամենը զամբյուղումn = 8 սպիտակ գնդակներ ընտրելու համարկ = 2 գնդակ: Դա կարելի է անելԳ 8 2 = ... = 28 տարբեր եղանակներ:

Բացի այդ, սայլը պարունակում էn = 12 սև գնդակներ նորից ընտրելու համարկ = 2 գնդակ: Դա անելու եղանակների քանակը հետևյալն էԳ 12 2 = ... = 66.

Քանի որ սպիտակ գնդակի ընտրությունը և սևի ընտրությունը անկախ իրադարձություններ են, համակցությունների ընդհանուր թիվը հաշվարկվում է բազմապատկման օրենքի համաձայն.Գ = 28 66 = 1848. Ինչպես տեսնում եք, կարող են լինել բավականին շատ տարբերակներ:

Պատասխանել

1848

Բազմապատկման օրենքը ցույց է տալիս, թե քանի եղանակով կարող եք կատարել բարդ գործողություն, որը բաղկացած է երկու կամ ավելի պարզից, պայմանով, որ դրանք բոլորն անկախ են:

3. Լրացման օրենք

Եթե բազմապատկման օրենքը գործում է «մեկուսացված» իրադարձությունների վրա, որոնք կախված չեն միմյանցից, ապա գումարման օրենքում հակառակն է։ Այն վերաբերում է միմյանց բացառող իրադարձություններին, որոնք երբեք չեն լինում միաժամանակ:

Օրինակ՝ «Պետրը գրպանից հանեց 1 մետաղադրամ» և «Պետրը գրպանից ոչ մի մետաղադրամ հանեց» իրարամերժ իրադարձություններ են, քանի որ անհնար է մեկ մետաղադրամ հանել առանց որևէ մեկը հանելու։

Նմանապես, «Պատահական ընտրված գնդակ՝ սպիտակ» և «Պատահական ընտրված գնդակ՝ սև» իրադարձությունները նույնպես փոխադարձաբար բացառվում են։

Սահմանում

Լրացուցիչ օրենք կոմբինատորիկայի մեջ. եթե կարելի է կատարել երկու իրարամերժ գործողություններԱ ԵվԲ ուղիները, համապատասխանաբար, կարելի է համատեղել այդ իրադարձությունները: Սա կստեղծի նոր իրադարձություն, որը կարող է իրականացվելX = Ա + Բ ուղիները.

Այսինքն՝ փոխադարձ բացառող գործողություններ (միջոցառումներ, տարբերակներ) համատեղելիս գումարվում է դրանց համակցությունների թիվը։

Կարելի է ասել, որ գումարման օրենքը կոմբինատորիկայի մեջ տրամաբանական «ԿԱՄ» է, երբ մեզ հարմար է փոխադարձ բացառող տարբերակներից որևէ մեկը։ Ընդհակառակը, բազմապատկման օրենքը տրամաբանական «ԵՎ» է, որում մեզ հետաքրքրում է և՛ առաջին, և՛ երկրորդ գործողությունների միաժամանակյա կատարումը։

Առաջադրանք

Զամբյուղում կա 9 սև և 7 կարմիր գնդակ: Տղան հանում է նույն գույնի 2 գնդակ։ Քանի՞ ձևով կարող է նա դա անել:

Լուծում

Եթե գնդակները նույն գույնի են, ապա տարբերակները քիչ են՝ երկուսն էլ սև են, կամ կարմիր։ Ակնհայտ է, որ այս տարբերակները միմյանց բացառող են։

Առաջին դեպքում տղան պետք է ընտրիկ = 2 սև գնդակիցn = 9 մատչելի: Դա անելու եղանակների քանակը հետևյալն էԳ 9 2 = ... = 36.

Նմանապես, երկրորդ դեպքում մենք ընտրում ենքկ = 2 կարմիր գնդակիցn = 7 հնարավոր է: Ճանապարհների քանակն էԳ 7 2 = ... = 21.

Մնում է գտնել ուղիների ընդհանուր թիվը: Քանի որ սև և կարմիր գնդիկներով տարբերակները միմյանց բացառող են, ըստ գումարման օրենքի՝ ունենք.X = 36 + 21 = 57.

Պատասխանել57

Առաջադրանք

Տաղավարում վաճառվում է 15 վարդ և 18 կակաչ։ 9-րդ դասարանի աշակերտը ցանկանում է 3 ծաղիկ գնել իր դասընկերոջ համար, և բոլոր ծաղիկները պետք է նույնը լինեն։ Քանի՞ ձևով կարող է նա նման ծաղկեփունջ պատրաստել:

Լուծում

Ըստ պայմանի՝ բոլոր ծաղիկները պետք է նույնը լինեն։ Այսպիսով, մենք կգնենք կամ 3 վարդ, կամ 3 կակաչ։ Ինչևէ,կ = 3.

Վարդերի դեպքում դուք ստիպված կլինեք ընտրություն կատարելn = 15 տարբերակ, ուստի համակցությունների թիվը կազմում էԳ 15 3 = ... = 455. Կակաչների համարn = 18, իսկ համակցությունների քանակը -Գ 18 3 = ... = 816.

Քանի որ վարդերն ու կակաչները միմյանց բացառող տարբերակներ են, մենք աշխատում ենք հավելման օրենքի համաձայն։ Ստացեք ընտրանքների ընդհանուր քանակըX = 455 + 816 = 1271. Սա պատասխանն է:

Պատասխանել

1271

Լրացուցիչ պայմաններ և սահմանափակումներ

Շատ հաճախ խնդրի տեքստում կան լրացուցիչ պայմաններ, որոնք էական սահմանափակումներ են դնում մեզ հետաքրքրող համակցությունների վրա։ Համեմատեք երկու նախադասություն.

Առկա է 5 գրիչների հավաքածու տարբեր գույներ. Քանի՞ եղանակով կարելի է ընտրել 3 հարվածային բռնակներ:

Առկա է տարբեր գույների 5 գրիչների հավաքածու։ Քանի՞ եղանակով կարելի է ընտրել 3 հարվածային բռնակներ, եթե դրանցից մեկը պետք է լինի կարմիր:

Առաջին դեպքում մենք իրավունք ունենք վերցնելու ցանկացած գույն, որը մեզ դուր է գալիս. լրացուցիչ սահմանափակումներ չկան: Երկրորդ դեպքում ամեն ինչ ավելի բարդ է, քանի որ մենք պետք է ընտրենք կարմիր բռնակ (ենթադրվում է, որ այն գտնվում է սկզբնական հավաքածուում):

Ակնհայտ է, որ ցանկացած սահմանափակում կտրուկ նվազեցնում է տարբերակների ընդհանուր թիվը: Այսպիսով, ինչպե՞ս կարող եք գտնել համակցությունների քանակը այս դեպքում: Պարզապես հիշիր հաջորդ կանոնը:

Թող լինի մի շարքn տարրեր ընտրելու համարկ տարրեր. Թվային հավելյալ սահմանափակումների ներդրմամբn Եվկ նույնքանով նվազել։

Այլ կերպ ասած, եթե ձեզ անհրաժեշտ է ընտրել 5 գրիչներից 3-ը, և դրանցից մեկը պետք է լինի կարմիր, ապա դուք պետք է ընտրեք.n = 5 − 1 = 4 տարր ըստկ = 3 − 1 = 2 տարր: Այսպիսով, փոխարենԳ 5 3 պետք է հաշվի առնելԳ 4 2 .

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես է գործում այս կանոնը կոնկրետ օրինակներ:

Առաջադրանք

20 ուսանողներից բաղկացած խմբում, այդ թվում՝ 2 գերազանցիկ, անհրաժեշտ է ընտրել 4 հոգու համաժողովին մասնակցելու համար։ Քանի՞ ձևով կարելի է ընտրել այս չորսը, եթե գերազանց ուսանողները պետք է հասնեն համաժողովին:

Լուծում

Այսպիսով, կա մի խումբn = 20 ուսանող: Բայց դուք պարզապես պետք է ընտրեքկ = դրանցից 4-ը: Եթե լրացուցիչ սահմանափակումներ չկային, ապա տարբերակների թիվը հավասար էր համակցությունների քանակինԳ 20 4 .

Այնուամենայնիվ, մեզ տրվեց լրացուցիչ պայմանԱյս չորսի մեջ պետք է լինի 2 պարգև: Այսպիսով, վերը նշված կանոնի համաձայն, մենք կրճատում ենք թվերըn Եվկ կողմից 2. Մենք ունենք.

Պատասխանել

153

Առաջադրանք

Պետյայի գրպանում կա 8 մետաղադրամ, որից 6-ը՝ ռուբլու, իսկ 2-ը՝ 10 ռուբլու։ Պետյան երեք մետաղադրամ է տեղափոխում մեկ այլ գրպան: Քանի՞ կերպ կարող է Պետյան դա անել, եթե հայտնի է, որ երկու 10 ռուբլու մետաղադրամներն էլ հայտնվել են մեկ այլ գրպանում։

Լուծում

Այսպիսով, կաn = 8 մետաղադրամ: Պետյան հերթափոխվում էկ = 3 մետաղադրամ, որից 2-ը տասը ռուբլի է: Ստացվում է, որ փոխանցվող 3 մետաղադրամներից 2-ն արդեն ֆիքսված են, ուստի թվերը.n Եվկ պետք է կրճատվի 2-ով Ունենք.

Պատասխանել

III . Համակցված խնդիրների լուծում կոմբինատորիկայի և հավանականությունների տեսության բանաձևերի կիրառման վերաբերյալ

Առաջադրանք

Պետյայի գրպանում կար 4 ռուբլու մետաղադրամ և 2 2 ռուբլու մետաղադրամ։ Պետյան, առանց նայելու, մի երեք մետաղադրամ տեղափոխեց մեկ այլ գրպան։ Գտեք հավանականությունը, որ երկու ռուբլիանոց մետաղադրամները գտնվում են նույն գրպանում:

Լուծում

Ենթադրենք, որ երկու ռուբլու մետաղադրամներն էլ իսկապես հայտնվել են նույն գրպանում, ապա հնարավոր է 2 տարբերակ՝ կա՛մ Պետյան ընդհանրապես չի տեղափոխել դրանք, կա՛մ երկուսն էլ միանգամից տեղափոխել է։

Առաջին դեպքում, երբ երկու ռուբլիանոց մետաղադրամներ չեն փոխանցվել, պետք է փոխանցել 3 ռուբլու մետաղադրամ։ Քանի որ ընդհանուր առմամբ կան 4 նման մետաղադրամներ, դա անելու եղանակների թիվը հավասար է 4-ի 3-ի համակցությունների թվին.Գ 4 3 .

Երկրորդ դեպքում, երբ երկու ռուբլու մետաղադրամներն էլ փոխանցվել են, պետք է փոխանցվի ևս մեկ ռուբլու մետաղադրամ։ Այն պետք է ընտրվի 4 գոյություն ունեցողներից, և դա անելու եղանակների քանակը հավասար է 4-ից 1 համակցությունների թվին.Գ 4 1 .

Այժմ եկեք գտնենք մետաղադրամները տեղափոխելու ուղիների ընդհանուր թիվը: Քանի որ ընդհանուր առմամբ կան 4 + 2 = 6 մետաղադրամներ, և դրանցից միայն 3-ը պետք է ընտրել, տարբերակների ընդհանուր թիվը հավասար է 6-ից 3 համակցությունների քանակին.Գ 6 3 .

Մնում է գտնել հավանականությունը.

Պատասխանել

0,4

Ցույց տալ ինտերակտիվ գրատախտակին: Ուշադրություն դարձրեք, որ, ըստ խնդրի պայմանի, Պետյան, առանց նայելու, երեք մետաղադրամ տեղափոխել է մեկ գրպան։ Այս հարցին պատասխանելիս կարելի է ենթադրել, որ երկու ռուբլիանոց երկու մետաղադրամ իսկապես մնացել է մեկ գրպանում։ Տե՛ս հավանականությունների գումարման բանաձևը: Նորից ցույց տվեք բանաձևը:

Առաջադրանք

Պետյայի գրպանում կար 5 ռուբլու 2 մետաղադրամ և 10 ռուբլու 4 մետաղադրամ։ Պետյան, առանց նայելու, մի 3 մետաղադրամ տեղափոխեց մեկ այլ գրպան։ Գտեք հավանականությունը, որ հինգ ռուբլու մետաղադրամներն այժմ գտնվում են տարբեր գրպաններում:

Լուծում

Որպեսզի հինգ ռուբլու մետաղադրամները տարբեր գրպաններում պառկեն, դուք պետք է տեղափոխեք դրանցից միայն մեկը: Դա անելու եղանակների թիվը հավասար է 2-ից 1-ի համակցությունների թվին.Գ 2 1 .

Քանի որ Պետյան ընդհանուր առմամբ փոխանցել է 3 մետաղադրամ, նա պետք է փոխանցի ևս 2 մետաղադրամ՝ յուրաքանչյուրը 10 ռուբլի: Պետյան ունի 4 այդպիսի մետաղադրամ, ուստի ուղիների քանակը հավասար է 4-ից 2-ի համակցությունների թվին.Գ 4 2 .

Մնում է պարզել, թե քանի տարբերակ կա 6-ից 3 մետաղադրամը տեղափոխելու համար: Այս թիվը, ինչպես նախորդ խնդիրում, հավասար է 6-ից 3 համակցությունների թվին.Գ 6 3 .

Գտեք հավանականությունը.

Վերջին քայլում մենք բազմապատկեցինք երկու ռուբլու մետաղադրամներ ընտրելու եղանակների քանակը և տասը ռուբլիանոց մետաղադրամներ ընտրելու եղանակների քանակը, քանի որ այս իրադարձությունները անկախ են:

Պատասխանել

0,6

Այսպիսով, մետաղադրամների հետ կապված խնդիրներն ունեն իրենց հավանականության բանաձևը: Այն այնքան պարզ և կարևոր է, որ կարելի է ձևակերպել որպես թեորեմ։

Թեորեմ

Թող մետաղադրամը նետվիn մեկ անգամ. Այնուհետև հավանականությունը, որ գլուխները ճիշտ վայրէջք կատարենկ ժամանակները կարելի է գտնել բանաձևով.

ՈրտեղԳ n կ -ի համակցությունների քանակըn տարրեր ըստկ , որը հաշվարկվում է բանաձևով.

Այսպիսով, մետաղադրամների հետ կապված խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է երկու թիվ՝ նետումների քանակը և գլխի քանակը։ Ամենից հաճախ այդ թվերը տրվում են անմիջապես խնդրի տեքստում: Ընդ որում, կարևոր չէ, թե կոնկրետ ինչ հաշվել՝ պոչե՞ր, թե՞ արծիվներ։ Պատասխանը նույնն է լինելու.

Առաջին հայացքից թեորեմը չափազանց ծանր է թվում: Բայց արժե մի փոքր պրակտիկա, և դուք այլևս չեք ցանկանում վերադառնալ վերը նկարագրված ստանդարտ ալգորիթմին:

Մետաղադրամը նետվում է չորս անգամ։ Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները կբարձրանան ուղիղ երեք անգամ:

Լուծում

Ըստ խնդրի պայմանի՝ նետումների ընդհանուր թիվը եղել էn = 4. Գլուխների պահանջվող քանակը.կ = 3. Փոխարինողn Եվկ բանաձևի մեջ.

Նույն հաջողությամբ կարող եք հաշվել պոչերի քանակը.կ = 4 − 3 = 1. Պատասխանը կլինի նույնը:

Պատասխանել

0,25

Առաջադրանք [ Աշխատանքային տետր«Օգտագործեք 2012թ. մաթեմատիկայի մեջ. Առաջադրանքներ B6»]

Մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ։ Գտեք հավանականությունը, որ այն երբեք չի բարձրանա:

Լուծում

Նորից դուրս գրել թվերըn Եվկ . Քանի որ մետաղադրամը նետվում է 3 անգամ,n = 3. Եվ քանի որ պոչեր չպետք է լինեն,կ = 0. Մնում է փոխարինել թվերըn Եվկ բանաձևի մեջ.

Հիշեցնեմ, որ 0! = 1 ըստ սահմանման: Ահա թե ինչուԳ 3 0 = 1.

Պատասխանել

0,125

Առաջադրանք [ Փորձնական ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄմաթեմատիկայի մեջ 2012. Իրկուտսկ]

Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է 4 անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները ավելի շատ են բարձրանալու, քան պոչերը:

Լուծում

Որպեսզի գլուխներն ավելի շատ լինեն, քան պոչերը, դրանք պետք է ընկնեն կա՛մ 3 անգամ (այդ դեպքում կլինի 1 պոչ), կա՛մ 4 (ապա պոչ ընդհանրապես չի լինի): Գտնենք այս իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունը։

Թող լինիէջ 1 - հավանականությունը, որ գլուխները դուրս կգան 3 անգամ: Հետոn = 4, կ = 3. Մենք ունենք.

Հիմա եկեք գտնենքէջ 2 - հավանականությունը, որ գլուխները դուրս կգան բոլոր 4 անգամները: Այս դեպքումn = 4, կ = 4. Մենք ունենք.

Պատասխանը ստանալու համար մնում է ավելացնել հավանականություններըէջ 1 Եվէջ 2 . Հիշեք. դուք կարող եք միայն հավանականություններ ավելացնել փոխադարձ բացառող իրադարձությունների համար: Մենք ունենք:

էջ = էջ 1 + էջ 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Պատասխանել

0,3125

Որպեսզի խնայեք ձեր ժամանակը, երբ տղաների հետ պատրաստվում եք միասնական պետական քննությանը և GIA-ին, մենք ներկայացրել ենք շատ այլ խնդիրների լուծումներ, որոնք դուք կարող եք ընտրել և լուծել տղաների հետ:

GIA-ի նյութեր, Տարբեր տարիների միասնական պետական քննություն, դասագրքեր և կայքեր.

IV. Հղման նյութ

Մաթեմատիկայի քննության հավանականության տեսությունը կարող է ներկայացվել ձևի տեսքով պարզ առաջադրանքներհավանականության դասական սահմանման վրա, իսկ բավականին բարդերի տեսքով՝ համապատասխան թեորեմների կիրառման վրա։

Այս մասում մենք դիտարկում ենք խնդիրներ, որոնց համար բավական է օգտագործել հավանականության սահմանումը: Երբեմն այստեղ մենք կկիրառենք նաև հակառակ իրադարձության հավանականությունը հաշվարկելու բանաձև։ Թեև այս բանաձևը կարող է բացառվել այստեղ, այն դեռ անհրաժեշտ կլինի հետևյալ խնդիրները լուծելիս.

Տեսական մաս

Պատահական իրադարձությունը այն իրադարձությունն է, որը կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել (նախապես կանխատեսել հնարավոր չէ) դիտարկման կամ թեստի ընթացքում:

Թողեք փորձարկման ընթացքում (մետաղադրամ կամ ձող նետել, քաշել քննության քարտև այլն) հնարավոր են հավասարապես հնարավոր արդյունքներ: Օրինակ, մետաղադրամ նետելիս բոլոր արդյունքների թիվը 2 է, քանի որ այլ արդյունք չի կարող լինել, բացի «պոչի» կամ «արծվի» կորստից: Զառ նետելիս հնարավոր է 6 արդյունք, քանի որ 1-ից մինչև 6 թվերից որևէ մեկը կարող է հայտնվել զառի վերին երեսին: Թող նաև որոշ A իրադարձություն ձեռնտու լինի արդյունքներին:

A իրադարձության հավանականությունը այս իրադարձության համար նպաստավոր արդյունքների քանակի հարաբերակցությունն է հավասարապես հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թվին (սա հավանականության դասական սահմանումն է): Մենք գրում ենք

Օրինակ, թող իրադարձություն A-ն բաղկացած լինի կենտ թվով միավորներ ստանալով գլանակի վրա: Ընդհանուր առմամբ կա 6 հնարավոր արդյունք՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6 մանդատի վերին երեսին։ Միևնույն ժամանակ, 1, 3, 5 գլանափաթեթներով արդյունքները բարենպաստ են A իրադարձության համար։ .

Նկատի ունեցեք, որ կրկնակի անհավասարությունը միշտ պահպանվում է, ուստի ցանկացած իրադարձության A հավանականությունը գտնվում է միջակայքի վրա, այսինքն. . Եթե ձեր պատասխանի հավանականությունը մեկից մեծ է, ապա ինչ-որ տեղ սխալ եք թույլ տվել և պետք է կրկնակի ստուգեք լուծումը:

A և B իրադարձությունները կոչվում են հակառակըմիմյանց, եթե որևէ արդյունք ձեռնտու է հենց նրանցից մեկի համար:

Օրինակ, երբ գլորվում է մեռնել, իրադարձությունը «գլորվեց կենտ թիվ»-ը «զույգ թվով գլորված» իրադարձության հակառակն է։

Նշվում է A-ին հակառակ իրադարձությունը: Հակառակ իրադարձությունների սահմանումից բխում է
, նշանակում է,
.

Կոմպլեկտից առարկաներ ընտրելու հետ կապված խնդիրներ

Առաջադրանք 1.Աշխարհի առաջնությանը մասնակցում է 24 թիմ։ Վիճակահանությամբ նրանք պետք է բաժանվեն չորս խմբի՝ յուրաքանչյուրը վեց թիմով։ Տուփում խառը քարտեր են խմբային համարներով.

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Թիմերի ավագները մեկական քարտ են քաշում: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Ռուսաստանի հավաքականը կհայտնվի երրորդ խմբում։

Արդյունքների ընդհանուր թիվը հավասար է քարտերի թվին, դրանք 24-ն են, 6 բարենպաստ արդյունք (քանի որ վեց քարտի վրա գրված է 3 թիվը): Ցանկալի հավանականությունը հավասար է .

Պատասխան՝ 0,25:

Առաջադրանք 2.Սուրը պարունակում է 14 կարմիր, 9 դեղին և 7 կանաչ գնդիկներ: Մեկ գնդակը պատահականորեն դուրս է բերվում ափսեից: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս գնդակը դեղին է:

Արդյունքների ընդհանուր թիվը հավասար է գնդակների քանակին՝ 14 + 9 + 7 = 30։ Այս իրադարձության համար նպաստավոր արդյունքների թիվը 9 է։ Ցանկալի հավանականությունը հավասար է. .

Առաջադրանք 3.Հեռախոսի ստեղնաշարի վրա կա 10 թիվ՝ 0-ից 9-ը: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահական սեղմված թիվը լինի 5-ից զույգ և մեծ:

Այստեղ արդյունքը որոշակի կոճակի սեղմումն է, ուստի ընդհանուր առմամբ կան 10 հավասարապես հնարավոր արդյունքներ: Նշված իրադարձությունը նպաստում է արդյունքներին, ինչը նշանակում է սեղմել 6 կամ 8 ստեղնը: Նման երկու արդյունք կա: Պահանջվող հավանականությունն է.

Պատասխան՝ 0.2.

Առաջադրանք 4. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ 4-ից մինչև 23-ը պատահականորեն ընտրված բնական թիվը բաժանվի 3-ի:

4-ից 23-ի միջակայքում կան 23 - 4 + 1 = 20 բնական թվեր, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ կա 20 հնարավոր արդյունք: Այս հատվածում հետևյալ թվերը երեքի բազմապատիկ են՝ 6, 9, 12, 15, 18, 21: Ընդհանուր առմամբ կա 6 այդպիսի թիվ, ուստի 6 արդյունքը նպաստում է տվյալ իրադարձությանը: Ցանկալի հավանականությունը հավասար է .

Պատասխան՝ 0.3:

Առաջադրանք 5.Քննությանը առաջարկված 20 տոմսերից ուսանողը կարող է պատասխանել միայն 17-ին: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ուսանողը չկարողանա պատասխանել պատահական ընտրված տոմսին:

1-ին ճանապարհ.

Քանի որ ուսանողը կարող է պատասխանել 17 տոմսի, նա չի կարող պատասխանել 3 տոմսի։ Այս տոմսերից մեկը ստանալու հավանականությունը, ըստ սահմանման, .

2-րդ ճանապարհ.

Ա-ով նշեք «աշակերտը կարող է պատասխանել տոմսին» իրադարձությունը։ Հետո . Հակառակ իրադարձության հավանականությունը =1 - 0.85 = 0.15 է:

Պատասխան՝ 0.15:

Առաջադրանք 6. առաջնությունում ռիթմիկ մարմնամարզությունՄասնակցում է 20 մարզիկ՝ 6-ը Ռուսաստանից, 5-ը՝ Գերմանիայից, մնացածը՝ Ֆրանսիայից։ Մարմնամարզիկների ելույթների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ յոթերորդ մարզիկը Ֆրանսիայից է։

Ընդհանուր առմամբ 20 մարզիկներ կան, բոլորն էլ հավասար հնարավորություններ ունեն յոթերորդ տեղում հանդես գալու համար։ Հետևաբար, կան 20 հավասարապես հավանական արդյունքներ: Ֆրանսիայից 20 - 6 - 5 = 9 մարզիկ, ուստի այս իրադարձության համար կա 9 բարենպաստ արդյունք: Պահանջվող հավանականությունն է.

Պատասխան՝ 0,45:

Առաջադրանք 7.Գիտաժողովն անցկացվում է 5 օրում։ Նախատեսվում է ընդհանուր առմամբ 50 հաշվետվություն՝ առաջին երեք օրը՝ 12-ական հաշվետվություն, մնացածը հավասարապես բաշխվում են չորրորդ և հինգերորդ օրերի միջև։ Հաշվետվությունների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Ն.-ի զեկույցը կնշանակվի գիտաժողովի վերջին օրը։

Նախ, եկեք պարզենք, թե քանի զեկույց է նախատեսված վերջին օրվա համար: Հաշվետվությունները նախատեսված են առաջին երեք օրերին: Դեռևս կա 50 - 36 = 14 հաշվետվություն, որոնք հավասարապես բաշխվում են մնացած երկու օրերի միջև, ուստի հաշվետվությունները նախատեսված են վերջին օրը:

Որպես արդյունք մենք կդիտարկենք պրոֆեսոր Ն.-ի զեկույցի հերթական համարը: Նման հավասարապես հնարավոր 50 արդյունք կա, նշված իրադարձությանը նպաստող 7 արդյունք (վերջին 7 համարները զեկույցների ցանկում): Պահանջվող հավանականությունն է.

Պատասխան՝ 0.14:

Առաջադրանք 8. Օդանավում կա 10 նստատեղ վթարային ելքերի կողքին և 15 նստատեղ՝ խցիկները բաժանող միջնորմների հետևում: Մնացած նստատեղերը անհարմար են բարձրահասակ ուղեւորների համար։ Բարձրահասակ է ուղեւոր Կ. Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ գրանցման ժամանակ նստատեղի պատահական ընտրությամբ ուղեւոր Կ.-ն հարմարավետ նստատեղ կստանա, եթե ինքնաթիռում կա 200 նստատեղ։

Այս խնդրի արդյունքը տեղանքի ընտրությունն է: Ընդհանուր առմամբ կան 200 հավասարապես հնարավոր արդյունքներ: Հավանեք «ընտրված վայրը հարմար է» իրադարձությունը 15 + 10 = 25 արդյունք: Պահանջվող հավանականությունն է.

Պատասխան՝ 0,125։

Առաջադրանք 9. Գործարանում հավաքված 1000 սրճաղացներից 7 հատը թերի է։ Փորձագետը ստուգում է պատահականորեն ընտրված մեկ սուրճի սրճաղաց այս 1000-ից: Գտեք հավանականությունը, որ ստուգվող սուրճի սրճաղացը թերի է:

Սուրճի սրճաղացը պատահականորեն ընտրելիս հնարավոր է 1000 արդյունք, «Ընտրված սրճաղացը թերի է» իրադարձությունը բարենպաստ է 7 արդյունքի համար: Ըստ հավանականության սահմանման.

Պատասխան՝ 0.007։

Առաջադրանք 10.Գործարանը արտադրում է սառնարաններ։ Միջին հաշվով յուրաքանչյուր 100 բարձրորակ սառնարանին բաժին է ընկնում թաքնված թերություններով 15 սառնարան։ Գտեք հավանականությունը, որ գնված սառնարանը կլինի բարձրորակ։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:

Այս առաջադրանքը նման է նախորդին: Սակայն «յուրաքանչյուր 100 որակյալ սառնարանին 15-ը թերություն ունեցող» ձևակերպումը մեզ հուշում է, որ. թերի 15 հատը ներառված չէ 100 որակի մեջ. Հետևաբար, արդյունքների ընդհանուր թիվը 100 + 15 = 115 է (հավասար է սառնարանների ընդհանուր թվին), բարենպաստ արդյունքները 100 են: Պահանջվող հավանականությունը . Կոտորակի մոտավոր արժեքը հաշվարկելու համար հարմար է օգտագործել բաժանումը անկյունով։ Մենք ստանում ենք 0,869 ... որը 0,87 է:

Պատասխան՝ 0,87:

Առաջադրանք 11. Թենիսի առաջնության առաջին փուլի մեկնարկից առաջ մասնակիցները վիճակահանությամբ պատահականության սկզբունքով բաժանվում են խաղային զույգերի։ Ընդհանուր առմամբ առաջնությանը մասնակցում է 16 թենիսիստ, այդ թվում՝ 7 մասնակից Ռուսաստանից, այդ թվում՝ Մաքսիմ Զայցևը։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին փուլում Մաքսիմ Զայցևը կխաղա Ռուսաստանից ցանկացած թենիսիստի։

Ինչպես նախորդ առաջադրանքում, պետք է ուշադիր կարդալ պայմանը և հասկանալ, թե որն է արդյունքը և որն է բարենպաստ (օրինակ, հավանականության բանաձևի չմտածված կիրառումը հանգեցնում է սխալ պատասխանի):

Այստեղ ելքը Մաքսիմ Զայցևի մրցակիցն է։ Քանի որ ընդհանուր առմամբ կան 16 թենիսիստներ, և Մաքսիմը չի կարող խաղալ ինքն իր հետ, կա 16 - 1 = 15 հավասարապես հավանական արդյունք: Բարենպաստ արդյունք է Ռուսաստանի մրցակիցը։ Նման բարենպաստ 7 արդյունք կա՝ 1 = 6 (մենք ռուսների շարքից բացառում ենք ինքն իրեն՝ Մաքսիմին)։ Պահանջվող հավանականությունն է.

Պատասխան՝ 0.4:

Առաջադրանք 12.Ֆուտբոլային բաժինը մասնակցում է 33 հոգի, որոնց թվում են երկու եղբայրներ՝ Անտոնը և Դմիտրին։ Մասնակիցները պատահականության սկզբունքով բաժանվում են երեք թիմի՝ յուրաքանչյուրը 11 հոգուց: Գտեք հավանականությունը, որ Անտոնն ու Դմիտրին կլինեն նույն թիմում։

Եկեք թիմեր կազմենք՝ խաղացողներին հաջորդաբար դատարկ տեղերում տեղավորելով՝ սկսելով Անտոնից և Դմիտրից: Նախ Անտոնին 33 ազատ տեղերից պատահականորեն ընտրված վայրում դնենք, հիմա Դմիտրիին դատարկ տեղ ենք դնում (արդյունք կդիտարկենք նրա համար տեղի ընտրությունը): Ընդհանուր առմամբ կա 32 անվճար տեղ (մեկը արդեն զբաղեցրել է Անտոնը), ուստի ընդհանուր առմամբ կա 32 հնարավոր ելք։ Անտոնի հետ նույն թիմում մնացել է 10 ազատ տեղ, ուստի «Անտոնը և Դմիտրին նույն թիմում» միջոցառումը ձեռնտու է 10 ելքով։ Այս իրադարձության հավանականությունը .

Պատասխան՝ 0.3125։

Առաջադրանք 13. Տասներկու ժամանոց մեխանիկական ժամացույցը ինչ-որ պահի խզվեց և դադարեց աշխատել։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ ժամացույցը սառած է, երբ հասնում է 11-ին, բայց չի հասնում ժամը 2-ին:

Պայմանականորեն հավաքիչը կարելի է բաժանել 12 հատվածի, որոնք գտնվում են հարևան թվերի նշանների միջև (12-ի և 1-ի, 1-ի և 2-ի, 2-ի և 3-ի, ..., 11-ի և 12-ի միջև): Որպես արդյունք մենք կդիտարկենք ժամացույցի կանգառը նշված հատվածներից մեկում: Ընդհանուր առմամբ կան 12 հավասարապես հնարավոր արդյունքներ: Այս իրադարձությանը նպաստում են երեք արդյունքներ (հատվածներ 11-ից 12-ի, 12-ի և 1-ի, 1-ի և 2-րդի միջև): Ցանկալի հավանականությունը հավասար է .

Պատասխան՝ 0,25:

Ամփոփել

Հավանականությունների տեսության մեջ պարզ խնդիրների լուծման մասին նյութը ուսումնասիրելուց հետո խորհուրդ եմ տալիս ինքնուրույն լուծման առաջադրանքներ կատարել, որոնք մենք հրապարակում ենք. մեր Telegram ալիքը. Կարող եք նաև ստուգել դրանց կատարման ճիշտությունը՝ մուտքագրելով ձեր պատասխանները առաջարկվող ձևով: