Թվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 2. Ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, բայց երկու կամ ավելի թվերի համար

Ինչպե՞ս գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Պետք է գտնել այն երկու թվերից յուրաքանչյուրի յուրաքանչյուր գործակիցը, որի համար գտնում ենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, իսկ հետո առաջին և երկրորդ թվերի հետ համընկնող գործակիցները միմյանցով բազմապատկել։ Արտադրանքի արդյունքը կլինի ցանկալի բազմապատիկը:

Օրինակ, մենք ունենք 3 և 5 թվերը, և մենք պետք է գտնենք LCM-ը (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը): ԱՄՆ պետք է բազմապատկելև երեք և հինգ 1 2 3-ից սկսած բոլոր թվերի համար...և այսպես շարունակ, մինչև տեսնենք նույն թիվըայստեղ, եւ այնտեղ.

Մենք բազմապատկում ենք երեքը և ստանում՝ 3, 6, 9, 12, 15

Բազմապատկեք հինգը և ստացեք՝ 5, 10, 15

Պարզ գործակցման մեթոդը ամենադասականն է բազմաթիվ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար: Այս մեթոդը պարզ և պարզ ցուցադրված է հետևյալ տեսանյութում.

Ավելացնել, բազմապատկել, բաժանել, կրճատել ընդհանուր հայտարարի և այլն թվաբանական գործողություններշատ հուզիչ գործունեություն, հատկապես հիացեք օրինակներով, որոնք զբաղեցնում են մի ամբողջ թերթիկ:

Այսպիսով, գտե՛ք երկու թվերի ընդհանուր բազմապատիկը, որը կլինի այն ամենափոքր թիվը, որով երկու թվեր բաժանվում են։ Ուզում եմ նշել, որ անհրաժեշտ չէ ապագայում բանաձևերի դիմել՝ գտնելու այն, ինչ փնտրում եք, եթե դուք կարող եք հաշվել ձեր մտքում (և դա կարելի է մարզել), ապա թվերն իրենք են հայտնվում ձեր գլխում, այնուհետև կոտորակները սեղմում են ընկույզի պես:

Սկզբից մենք կիմանանք, որ մենք կարող ենք երկու թվեր բազմապատկել միմյանց դեմ, այնուհետև կրճատել այս թիվը և հերթով բաժանել այն այս երկու թվերի վրա, այնպես որ մենք կգտնենք ամենափոքր բազմապատիկը:

Օրինակ՝ երկու թիվ 15 և 6։ Մենք բազմապատկում ենք և ստանում 90։ Սա պարզ է ավելի շատ համար. Ավելին, 15-ը բաժանվում է 3-ի և 6-ը բաժանվում է 3-ի, ինչը նշանակում է, որ մենք նույնպես 90-ը բաժանում ենք 3-ի։ ստացվում է, որ 15 և 6 թվերի ամենափոքր բազմապատիկը կլինի 30։

Ավելի շատ թվերի դեպքում մի փոքր ավելի դժվար կլինի։ բայց եթե գիտեք, թե որ թվերը բաժանելիս կամ բազմապատկելիս տալիս են զրո մնացորդ, ապա, սկզբունքորեն, մեծ դժվարություններ չկան:

• Ինչպես գտնել ԱՕԿ-ը

  Ահա մի տեսանյութ, որը ցույց կտա ձեզ երկու եղանակ՝ գտնելու ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): Առաջարկվող մեթոդներից առաջինը կիրառելով՝ դուք կարող եք ավելի լավ հասկանալ, թե որն է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Ահա ևս մեկ միջոց՝ գտնելու ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Եկեք նայենք պատկերավոր օրինակին:

Անհրաժեշտ է գտնել միանգամից երեք թվերի LCM՝ 16, 20 և 28։

• Մենք յուրաքանչյուր թիվ ներկայացնում ենք որպես իր պարզ գործակիցների արտադրյալ.
• Մենք գրում ենք բոլոր հիմնական գործոնների հզորությունները.

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Մենք ընտրում ենք բոլոր պարզ բաժանարարները (բազմապատկիչները) ամենամեծ աստիճաններով, բազմապատկում ենք դրանք և գտնում LCM.

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560:

LCM(16, 20, 28) = 560:

Այսպիսով, հաշվարկի արդյունքում ստացվել է 560 թիվը, այն ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է, այսինքն՝ առանց մնացորդի բաժանվում է երեք թվերից յուրաքանչյուրի վրա։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը այն թիվն է, որը կարելի է բաժանել մի քանի առաջարկվող թվերի՝ առանց մնացորդի։ Նման ցուցանիշը հաշվարկելու համար պետք է վերցնել յուրաքանչյուր թիվ և տարրալուծել այն պարզ գործոնների։ Այն թվերը, որոնք համընկնում են, հանվում են: Մեկ-մեկ թողնում է բոլորին, հերթով բազմապատկում նրանց մեջ և ստանում ցանկալիը՝ նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը:

ՀԱՕԿ, կամ նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ, ամենափոքրն է բնական թիվերկու կամ ավելի թվեր, որոնք առանց մնացորդի բաժանվում են տրված թվերից յուրաքանչյուրի վրա։

Ահա մի օրինակ, թե ինչպես գտնել 30-ի և 42-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

• Առաջին քայլը այս թվերի տարրալուծումն է պարզ գործոնների:

30-ի համար դա 2 x 3 x 5 է:

42-ի համար սա 2 x 3 x 7 է: Քանի որ 2-ը և 3-ը 30 թվի ընդլայնման մեջ են, մենք դրանք հատում ենք:

• Մենք դուրս ենք գրում այն ​​գործոնները, որոնք ներառված են 30 թվի ընդլայնման մեջ: Սա 2 x 3 x 5 է:
• Այժմ դրանք պետք է բազմապատկել բացակայող գործակցով, որը մենք ունենք 42-ը քայքայելիս, և սա 7 է։ Ստանում ենք 2 x 3 x 5 x 7։
• Մենք գտնում ենք այն, ինչը հավասար է 2 x 3 x 5 x 7-ի և ստանում ենք 210:

Արդյունքում ստանում ենք, որ 30 և 42 թվերի LCM-ն 210 է։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար, դուք պետք է հաջորդաբար կատարեք մի քանի պարզ քայլեր։ Դիտարկենք սա՝ օգտագործելով երկու թվերի օրինակը՝ 8 և 12

1. Երկու թվերն էլ բաժանում ենք պարզ գործակիցների՝ 8=2*2*2 և 12=3*2*2։
2. Թվերից մեկի համար կրճատում ենք նույն բազմապատկիչները։ Մեր դեպքում 2 * 2 համընկնում ենք, դրանք կրճատում ենք 12 թվի համար, ապա 12-ը կունենա մեկ գործոն՝ 3։
3. Գտե՛ք մնացած բոլոր գործոնների արտադրյալը՝ 2*2*2*3=24

Ստուգելով՝ մենք համոզվում ենք, որ 24-ը բաժանվում է և՛ 8-ի, և՛ 12-ի, և սա ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա։ Ահա եւ մենք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը.

Ես կփորձեմ բացատրել 6 և 8 թվերի օրինակով։ Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը այն թիվն է, որը կարելի է բաժանել այս թվերի վրա (մեր դեպքում՝ 6 և 8), և մնացորդ չի մնա։

Այսպիսով, մենք սկսում ենք նախ 6-ը բազմապատկել 1-ով, 2-ով, 3-ով և այլն, և 8-ը 1-ով, 2-ով, 3-ով և այլն:

Ամենամեծ բնական թիվը, որով a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըայս թվերը. Նշեք GCD(a, b):

Մտածեք գտնել GCD-ն՝ օգտագործելով 18 և 60 երկու բնական թվերի օրինակը.

1 Եկեք թվերը տարանջատենք պարզ գործակիցների.
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Առաջին թվի ընդլայնումից ջնջել բոլոր գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ, մենք ստանում ենք. 2×3×3 .

3 Մենք բազմապատկում ենք մնացած պարզ գործակիցները հատելուց հետո և ստանում թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Նկատի ունեցեք, որ կարևոր չէ առաջին կամ երկրորդ թվից մենք հատում ենք գործոնները, արդյունքը կլինի նույնը.
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 և 432

Եկեք թվերը տարրալուծենք պարզ գործոնների.

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Ջնջել առաջին թվից, որի գործակիցները երկրորդ և երրորդ թվերում չեն, ստանում ենք.

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD-ի արդյունքում ( 324 , 111 , 432 )=3

Գտեք GCD-ն Էվկլիդեսի ալգորիթմով

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երկրորդ եղանակը՝ օգտագործելով Էվկլիդեսի ալգորիթմը. Էվկլիդեսի ալգորիթմն ամենաշատն է արդյունավետ միջոցգտնելը GCD, օգտագործելով այն պետք է անընդհատ գտնել թվերի բաժանման մնացորդը և կիրառել կրկնվող բանաձեւ.

Կրկնվող բանաձեւ GCD-ի համար, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), որտեղ a mod b-ը a-ի b-ի բաժանման մնացորդն է:

Էվկլիդեսի ալգորիթմը

Օրինակ Գտեք թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 7920 և 594

Եկեք գտնենք GCD ( 7920 , 594 ) օգտագործելով Էվկլիդես ալգորիթմը, մենք հաշվարկելու ենք բաժանման մնացորդը հաշվիչի միջոցով:

GCD ( 7920 , 594 )

GCD ( 594 , 7920 ռեժիմ 594 ) = gcd ( 594 , 198 )

GCD ( 198 , 594 ռեժիմ 198 ) = gcd ( 198 , 0 )

GCD ( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Արդյունքում մենք ստանում ենք GCD( 7920 , 594 ) = 198

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Կոտորակներ գումարել-հանելիս ընդհանուր հայտարարի գտնելը տարբեր հայտարարներպետք է իմանալ և կարողանալ հաշվարկել նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ(ԱՕԿ):

«Ա» թվի բազմապատիկը այն թիվն է, որն ինքնին առանց մնացորդի բաժանվում է «ա» թվի վրա։

Թվերը, որոնք 8-ի բազմապատիկ են (այսինքն՝ այս թվերը առանց մնացորդի կբաժանվեն 8-ի). սրանք 16, 24, 32 թվերն են…

9-ի բազմապատիկները՝ 18, 27, 36, 45…

Տրված a թվի բազմապատիկները անսահմանորեն շատ են՝ ի տարբերություն նույն թվի բաժանարարների։ Բաժանարարներ - վերջավոր թիվ:

Երկու բնական թվերի ընդհանուր բազմապատիկը այն թիվն է, որը հավասարապես բաժանվում է այս երկու թվերի վրա:.

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըԵրկու կամ ավելի բնական թվերի (LCM) ամենափոքր բնական թիվն է, որն ինքնին բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա։

Ինչպես գտնել ԱՕԿ-ը

LCM-ը կարելի է գտնել և գրել երկու եղանակով.

LCM-ն գտնելու առաջին միջոցը

Այս մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է փոքր թվերի համար:

1. Մենք գրում ենք թվերից յուրաքանչյուրի բազմապատիկները տողում այնքան ժամանակ, մինչև երկու թվերի համար էլ մի բազմապատիկ լինի:
2. «ա» թվի բազմապատիկը նշվում է «Կ» մեծատառով։

Օրինակ. Գտեք LCM 6 և 8:

LCM-ն գտնելու երկրորդ եղանակը

Այս մեթոդը հարմար է երեք կամ ավելի թվերի համար LCM գտնելու համար:

Թվերի ընդլայնման մեջ նույնական գործոնների թիվը կարող է տարբեր լինել:

Փոքր թվի (փոքր թվերի) ընդլայնման ժամանակ ընդգծեք այն գործոնները, որոնք չեն ներառվել ավելի մեծ թվի ընդլայնման մեջ (մեր օրինակում այն ​​2 է) և ավելացրեք այս գործոնները մեծ թվի ընդլայնմանը։
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Արձանագրեք ստացված աշխատանքը ի պատասխան:
Պատասխան՝ LCM (24, 60) = 120

Դուք կարող եք նաև ձևակերպել նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելը հետևյալ կերպ. Եկեք գտնենք LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Ինչպես տեսնում ենք թվերի ընդլայնումից, 12-ի բոլոր գործոնները ներառված են 24-ի ընդլայնման մեջ (թվերից ամենամեծը), ուստի LCM-ին ավելացնում ենք միայն մեկ 2-ը 16 թվի ընդլայնումից:

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Պատասխան՝ LCM (12, 16, 24) = 48

ԱՕԿ-ների հայտնաբերման հատուկ դեպքեր

Եթե ​​թվերից մեկը հավասարապես բաժանվում է մյուսների վրա, ապա այդ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվին։

Օրինակ, LCM(60, 15) = 60
Քանի որ համատեղ պարզ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ բաժանարարներ, նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվերի արտադրյալին:

Մեր կայքում դուք կարող եք նաև օգտագործել հատուկ հաշվիչ՝ ձեր հաշվարկները ստուգելու համար առցանց ամենաքիչ տարածված բազմապատիկը գտնելու համար:

Եթե ​​բնական թիվը բաժանվում է միայն 1-ի և ինքն իրեն, ապա այն կոչվում է պարզ:

Ցանկացած բնական թիվ միշտ բաժանվում է 1-ի և ինքն իր վրա։

2 թիվը ամենափոքր պարզ թիվն է։ Սա միակ պարզ թիվն է, մնացած պարզ թվերը կենտ են։

Պարզ թվերը շատ են, և դրանցից առաջինը 2-ն է։ Այնուամենայնիվ, վերջին պարզ թիվ չկա: «Ուսումնասիրության համար» բաժնում կարող եք ներբեռնել մինչև 997 պարզ թվերի աղյուսակ։

Բայց շատ բնական թվեր հավասարապես բաժանվում են այլ բնական թվերի։

• 12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;
• 36-ը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի:

Այն թվերը, որոնցով թիվը հավասարապես բաժանվում է (12-ի համար դրանք 1, 2, 3, 4, 6 և 12 են) կոչվում են թվի բաժանարարներ։

Ա բնական թվի բաժանարարն այնպիսի բնական թիվ է, որը տրված «ա» թիվը բաժանում է առանց մնացորդի։

Բնական թիվը, որն ունի ավելի քան երկու գործակից, կոչվում է բաղադրյալ թիվ:

Նշենք, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր բաժանարարներ։ Սրանք թվեր են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։

Երկու տրված «a» և «b» թվերի ընդհանուր բաժանարարն այն թիվն է, որով երկու տրված «a» և «b» թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար(gcd) երկու տրված «a» և «b» թվերից է ամենամեծ թիվը, որով երկու «ա» և «բ» թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի։

Համառոտ «a» և «b» թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գրված է հետևյալ կերպ:

Օրինակ՝ gcd (12; 36) = 12:

Լուծման գրառման մեջ թվերի բաժանարարները նշվում են «D» մեծատառով:

7 և 9 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1։ Նման թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր.

Համապարփակ թվերբնական թվեր են, որոնք ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1։ Նրանց GCD-ն 1 է:

Ինչպես գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Երկու կամ ավելի բնական թվերի gcd-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• թվերի բաժանարարները տարրալուծել պարզ գործակիցների.

Հաշվարկները հարմար կերպով գրվում են՝ օգտագործելով ուղղահայաց սանդղակը: Գծի ձախ կողմում նախ գրեք դիվիդենտը, աջում՝ բաժանարարը: Այնուհետև ձախ սյունակում մենք գրում ենք մասնավորի արժեքները:

Եկեք անմիջապես բացատրենք օրինակով. Եկեք 28 և 64 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների:

Ընդգծի՛ր նույն պարզ գործակիցները երկու թվերում:
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Մենք գտնում ենք նույնական պարզ գործակիցների արտադրյալը և գրում պատասխանը.
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Պատասխան՝ GCD (28; 64) = 4

Դուք կարող եք կազմակերպել GCD-ի գտնվելու վայրը երկու եղանակով՝ սյունակում (ինչպես արվեց վերևում) կամ «տողով»:

GCD գրելու առաջին միջոցը

Գտեք GCD 48 և 36:

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

GCD գրելու երկրորդ եղանակը

Այժմ գրենք GCD որոնման լուծումը տողով։ Գտեք GCD 10 և 15:

Մեր տեղեկատվական կայքում դուք կարող եք նաև գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը առցանց՝ օգտագործելով օգնական ծրագիրը՝ ձեր հաշվարկները ստուգելու համար:

Գտնելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, մեթոդները, LCM-ի գտնելու օրինակները:

Ստորև ներկայացված նյութը LCM - Նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ վերնագրով հոդվածի տեսության տրամաբանական շարունակությունն է, սահմանում, օրինակներ, հարաբերություններ LCM-ի և GCD-ի միջև: Այստեղ մենք կխոսենք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM), և Հատուկ ուշադրությունԵկեք նայենք օրինակներին: Եկեք նախ ցույց տանք, թե ինչպես է հաշվարկվում երկու թվերի LCM-ն այս թվերի GCD-ով: Հաջորդը, հաշվի առեք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` թվերը պարզ գործոնների վերածելով: Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք երեք և-ի LCM-ն գտնելու վրա ավելինթվեր, ինչպես նաև ուշադրություն դարձրեք բացասական թվերի LCM-ի հաշվարկին:

Էջի նավարկություն.

Ամենափոքր ընդհանուր բազմակի (LCM) հաշվարկը gcd-ի միջոցով

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու եղանակներից մեկը հիմնված է LCM-ի և GCD-ի միջև փոխհարաբերությունների վրա: LCM-ի և GCD-ի միջև գոյություն ունեցող հարաբերությունները թույլ են տալիս հաշվարկել երկու դրական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հայտնի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով: Համապատասխան բանաձեւն ունի ձեւը LCM(a, b)=a b. GCM(a, b). Դիտարկենք LCM-ն գտնելու օրինակներ՝ համաձայն վերը նշված բանաձևի:

Գտի՛ր 126 և 70 երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Այս օրինակում a=126, b=70: Օգտագործենք LCM-ի կապը GCD-ի հետ, որն արտահայտվում է LCM(a, b)=a b բանաձևով՝ GCM(a, b) ։ Այսինքն՝ նախ պետք է գտնել 70 և 126 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որից հետո գրված բանաձևով կարող ենք հաշվել այս թվերի LCM-ն։

Գտեք gcd(126, 70)՝ օգտագործելով Էվկլիդեսի ալգորիթմը՝ 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4, հետևաբար gcd(126, 70)=14

Այժմ մենք գտնում ենք պահանջվող նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը. LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630:

Ի՞նչ է LCM(68, 34):

Քանի որ 68-ը հավասարապես բաժանվում է 34-ի, ապա gcd(68, 34)=34: Այժմ մենք հաշվարկում ենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68:

Նկատի ունեցեք, որ նախորդ օրինակը համապատասխանում է a և b դրական ամբողջ թվերի համար LCM-ը գտնելու հետևյալ կանոնին. եթե a թիվը բաժանվում է b-ի, ապա այդ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը a է:

Գտնել LCM-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու մեկ այլ եղանակ հիմնված է թվերը պարզ գործոնների վերածելու վրա: Եթե ​​այս թվերի բոլոր պարզ գործակիցների արտադրյալը կազմենք, որից հետո այս արտադրյալից բացառենք բոլոր ընդհանուր պարզ գործակիցները, որոնք առկա են այս թվերի ընդլայնման մեջ, ապա ստացված արտադրյալը հավասար կլինի այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին:

LCM-ն գտնելու հայտարարված կանոնը բխում է LCM(a, b)=a b հավասարությունից՝ GCM(a, b) . Իրոք, a և b թվերի արտադրյալը հավասար է a և b թվերի ընդլայնմանը մասնակցող բոլոր գործոնների արտադրյալին։ Իր հերթին, gcd(a, b) հավասար է բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալին, որոնք միաժամանակ առկա են a և b թվերի ընդարձակման մեջ (որը նկարագրված է gcd-ի հայտնաբերման բաժնում՝ օգտագործելով թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների): ):

Օրինակ բերենք. Տեղեկացնենք, որ 75=3 5 5 և 210=2 3 5 7: Կազմե՛ք այս ընդլայնումների բոլոր գործակիցների արտադրյալը՝ 2 3 3 5 5 5 7 : Այժմ մենք այս արտադրյալից բացառում ենք բոլոր այն գործոնները, որոնք առկա են և՛ 75 թվի ընդլայնման, և՛ 210 թվի ընդլայնման մեջ (այդպիսիք են 3-ը և 5-ը), ապա արտադրյալը կստանա 2 3 5 5 7 ձևը: Այս արտադրյալի արժեքը հավասար է 75-ի և 210-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, այսինքն՝ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050:

441 և 700 թվերը պարզ գործոնների վերածելուց հետո գտե՛ք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Եկեք 441 և 700 թվերը տարանջատենք պարզ գործակիցների.

Ստանում ենք 441=3 3 7 7 և 700=2 2 5 5 7:

Այժմ եկեք այս թվերի ընդլայնման մեջ ներգրավված բոլոր գործոնների արտադրյալ կազմենք. 2 2 3 3 5 5 7 7 7 : Եկեք այս ապրանքից բացառենք բոլոր այն գործոնները, որոնք միաժամանակ առկա են երկու ընդարձակման մեջ (կա միայն մեկ այդպիսի գործոն՝ սա 7 թիվն է). 2 2 3 3 5 5 7 7 : Այսպիսով, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100:

LCM(441, 700)= 44 100:

Թվերի պարզ գործակիցների տարրալուծման միջոցով LCM-ն գտնելու կանոնը կարելի է մի փոքր այլ կերպ ձևակերպել։ Եթե ​​b թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարենք a թվի ընդլայնման գործակիցներին, ապա ստացված արտադրյալի արժեքը հավասար կլինի a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։

Օրինակ, վերցնենք բոլոր նույն թվերը 75 և 210, դրանց ընդլայնումները պարզ գործակիցների մեջ հետևյալն են՝ 75=3 5 5 և 210=2 3 5 7: 75 թվի ընդլայնումից 3, 5 և 5 գործակիցներին գումարում ենք 210 թվի ընդլայնումից բացակայող 2 և 7 գործակիցները, ստանում ենք 2 3 5 5 7 արտադրյալը, որի արժեքը LCM է (75): , 210):

Գտե՛ք 84-ի և 648-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Մենք նախ ստանում ենք 84 և 648 թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների: Նրանք նման են 84=2 2 3 7 և 648=2 2 2 3 3 3 3: 84 թվի տարրալուծումից 2, 2, 3 և 7 գործոններին գումարում ենք 648 թվի տարրալուծումից բաց թողնված 2, 3, 3 և 3 գործակիցները, ստանում ենք 2 2 2 3 3 3 3 7 արտադրյալը, որը հավասար է 4 536-ի։ Այսպիսով, 84 և 648 թվերի ցանկալի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը 4536 է։

Գտնելով երեք և ավելի թվերի LCM

Երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով երկու թվերի LCM: Հիշեք համապատասխան թեորեմը, որը հնարավորություն է տալիս գտնել երեք և ավելի թվերի LCM:

Թող տրված լինեն a 1 , a 2 , …, a k դրական ամբողջ թվերը, այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը m k հաջորդական հաշվարկում է գտնվել m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) .

Դիտարկենք այս թեորեմի կիրառումը չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակով:

Գտե՛ք 140, 9, 54 և 250 չորս թվերի LCM-ը:

Նախ մենք գտնում ենք m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Դա անելու համար, օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը, որոշում ենք gcd(140, 9) , ունենք 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1, 4=1 4, հետևաբար՝ gcd( 140, 9)=1, որտեղից LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260: Այսինքն, m 2 =1 260:

Այժմ մենք գտնում ենք m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) : Հաշվարկենք այն gcd(1 260, 54) միջոցով, որը նույնպես որոշվում է Էվկլիդեսի ալգորիթմով՝ 1 260=54 23+18 , 54=18 3 ։ Ապա gcd(1 260, 54)=18, որտեղից LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780: Այսինքն, m 3 \u003d 3 780:

Մնում է գտնել m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250): Դա անելու համար մենք գտնում ենք GCD(3 780, 250)՝ օգտագործելով Էվկլիդյան ալգորիթմը՝ 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3: Հետևաբար, gcd(3 780, 250)=10, հետևաբար LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500: Այսինքն, m 4 \u003d 94 500:

Այսպիսով, սկզբնական չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 94500 է:

LCM(140, 9, 54, 250)=94500:

Շատ դեպքերում երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հարմար է գտնվել՝ օգտագործելով տրված թվերի պարզ ֆակտորիզացիաները: Միևնույն ժամանակ, պետք է հավատարիմ մնալ հաջորդ կանոնը. Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է արտադրյալին, որը կազմված է հետևյալ կերպ. երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարվում են առաջին թվի ընդլայնման բոլոր գործոններին, բացակայող գործակիցները՝ ընդլայնվելուց. ստացված գործոններին գումարվում են երրորդ թիվը և այլն։

Դիտարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակ՝ օգտագործելով թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների:

Գտե՛ք 84, 6, 48, 7, 143 հինգ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Նախ ստանում ենք այս թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների. 143=11 13 .

Այս թվերի LCM-ն գտնելու համար առաջին 84 թվի գործակիցներին (դրանք 2-ը, 2-ը, 3-ը և 7-ն են) պետք է գումարել երկրորդ 6-ի ընդլայնման բացակայող գործոնները: 6 թվի ընդլայնումը բացակայող գործոններ չի պարունակում, քանի որ և՛ 2-ը, և՛ 3-ն արդեն առկա են առաջին 84 թվի ընդլայնման մեջ: 2-րդ, 2-րդ, 3-րդ և 7-րդ գործոններին ավելացնում ենք 2-րդ և 2-րդ գործակիցները, որոնք բացակայում են երրորդ թվի 48-ի ընդլայնումից, ստանում ենք 2, 2, 2, 2, 3 և 7 գործոնների մի շարք: Հաջորդ քայլում այս հավաքածուին գործոններ ավելացնելու կարիք չկա, քանի որ 7-ն արդեն պարունակվում է դրանում: Վերջապես, 2-ին, 2-ին, 2-ին, 2-ին, 3-ին և 7-ին ավելացնում ենք բացակայող 11 և 13 գործակիցները 143 թվի ընդլայնումից: Ստանում ենք 2 2 2 2 3 7 11 13 արտադրյալը, որը հավասար է 48 048-ի:

Հետևաբար, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048:

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048:

Բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելը

Երբեմն լինում են առաջադրանքներ, որոնցում պետք է գտնել թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, որոնցից մեկը, մի քանի կամ բոլոր թվերը բացասական են: Այս դեպքերում բոլոր բացասական թվերը պետք է փոխարինվեն իրենց հակադիր թվերով, որից հետո պետք է գտնել դրական թվերի LCM: Սա բացասական թվերի LCM-ն է գտնելու։ Օրինակ՝ LCM(54, −34)=LCM(54, 34) և LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888):

Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ a-ի բազմապատիկների բազմությունը նույնն է, ինչ -a-ի բազմապատիկները (a-ն և −a-ն հակադիր թվեր են): Իսկապես, թող b լինի a-ի մի քանի բազմապատիկ, ապա b-ն բաժանվում է a-ի վրա, և բաժանելիության հասկացությունը հաստատում է q ամբողջ թվի գոյությունը, որը b=a q . Բայց ճշմարիտ կլինի նաև b=(−a)·(−q) հավասարությունը, որը բաժանելիության նույն հասկացության ուժով նշանակում է, որ b-ը բաժանվում է −a-ի, այսինքն՝ b-ը −a-ի բազմապատիկն է։ Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. եթե b-ն −a-ի մի քանի անգամ է, ապա b-ն նույնպես a-ի բազմապատիկն է:

Գտե՛ք −145 և −45 բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

−145 և −45 բացասական թվերը փոխարինենք իրենց հակադիր 145 և 45 թվերով։ Մենք ունենք LCM(−145, −45)=LCM(145, 45): Որոշելով gcd(145, 45)=5 (օրինակ՝ օգտագործելով Էվկլիդյան ալգորիթմը), մենք հաշվարկում ենք LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305: Այսպիսով, −145 և −45 բացասական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 1305 է։

www.cleverstudents.ru

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել բաժանումը: Այս դասում մենք կանդրադառնանք այնպիսի հասկացությունների, ինչպիսիք են GCDև ՀԱՕԿ.

GCDամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

ՀԱՕԿնվազագույն ընդհանուր բազմապատիկն է:

Թեման բավականին ձանձրալի է, բայց պետք է հասկանալ այն։ Չհասկանալով այս թեման՝ դուք չեք կարողանա արդյունավետ աշխատել կոտորակների հետ, որոնք իսկական խոչընդոտ են մաթեմատիկայի մեջ։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար

Սահմանում. Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը աև բ աև բբաժանված է առանց մնացորդի.

Այս սահմանումը լավ հասկանալու համար մենք փոխարինում ենք փոփոխականների փոխարեն աև բցանկացած երկու թիվ, օրինակ՝ փոփոխականի փոխարեն ափոխարինի՛ր 12 թիվը և փոփոխականի փոխարեն բթիվ 9. Այժմ փորձենք կարդալ այս սահմանումը.

Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 12 և 9 ամենամեծ թիվն է, որով 12 և 9 բաժանված է առանց մնացորդի.

Սահմանումից պարզ է դառնում, որ խոսքը 12 և 9 թվերի ընդհանուր բաժանարարի մասին է, և այս բաժանարարն ամենամեծն է գոյություն ունեցող բոլոր բաժանարարներից։ Պետք է գտնել այս ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (gcd):

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար օգտագործվում են երեք մեթոդ. Առաջին մեթոդը բավականին ժամանակատար է, բայց թույլ է տալիս լավ հասկանալ թեմայի էությունը և զգալ դրա ողջ իմաստը։

Երկրորդ և երրորդ մեթոդները բավականին պարզ են և հնարավորություն են տալիս արագ գտնել GCD-ն: Մենք կքննարկենք բոլոր երեք մեթոդները: Իսկ ինչ կիրառել գործնականում՝ դուք եք ընտրում:

Առաջին ճանապարհը երկու թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները գտնելն է և դրանցից ամենամեծը ընտրելը: Դիտարկենք այս մեթոդը հետևյալ օրինակում. Գտե՛ք 12 և 9 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը.

Նախ, մենք գտնում ենք 12 թվի բոլոր հնարավոր բաժանարարները: Դա անելու համար մենք 12-ը բաժանում ենք 1-ից 12-ի միջակայքում գտնվող բոլոր բաժանարարների: Եթե բաժանարարը թույլ է տալիս 12-ը բաժանել առանց մնացորդի, ապա մենք այն կնշենք կապույտով և փակագծերում կատարել համապատասխան բացատրություն.

12: 1 = 12
(12-ը բաժանվում է 1-ի առանց մնացորդի, ուստի 1-ը 12-ի բաժանարար է)

12: 2 = 6
(12-ը բաժանվում է 2-ի առանց մնացորդի, ուստի 2-ը 12-ի բաժանարար է)

12: 3 = 4
(12-ը բաժանվում է 3-ի առանց մնացորդի, ուստի 3-ը 12-ի բաժանարար է)

12: 4 = 3
(12-ը բաժանվում է 4-ի առանց մնացորդի, ուստի 4-ը 12-ի բաժանարար է)

12:5 = 2 (մնացել է 2)
(12-ը չի բաժանվում 5-ի առանց մնացորդի, ուստի 5-ը 12-ի բաժանարար չէ)

12: 6 = 2
(12-ը բաժանվում է 6-ի առանց մնացորդի, ուստի 6-ը 12-ի բաժանարար է)

12: 7 = 1 (մնաց 5)
(12-ը չի բաժանվում 7-ի առանց մնացորդի, հետևաբար 7-ը 12-ի բաժանարար չէ)

12: 8 = 1 (մնաց 4)
(12-ը չի բաժանվում 8-ի առանց մնացորդի, հետևաբար 8-ը 12-ի բաժանարար չէ)

12:9 = 1 (մնաց 3)
(12-ը չի բաժանվում 9-ի առանց մնացորդի, ուստի 9-ը 12-ի բաժանարար չէ)

12: 10 = 1 (մնաց 2)
(12-ը չի բաժանվում 10-ի առանց մնացորդի, ուստի 10-ը 12-ի բաժանարար չէ)

12:11 = 1 (մնաց 1)
(12-ը չի բաժանվում 11-ի առանց մնացորդի, հետևաբար 11-ը 12-ի բաժանարար չէ)

12: 12 = 1
(12-ը բաժանվում է 12-ի առանց մնացորդի, ուստի 12-ը 12-ի բաժանարար է)

Հիմա եկեք գտնենք 9 թվի բաժանարարները: Դա անելու համար ստուգեք 1-ից 9-ի բոլոր բաժանարարները:

9: 1 = 9
(9-ը բաժանվում է 1-ի առանց մնացորդի, ուստի 1-ը 9-ի բաժանարար է)

9: 2 = 4 (մնաց 1)
(9-ը չի բաժանվում 2-ի առանց մնացորդի, ուստի 2-ը 9-ի բաժանարար չէ)

9: 3 = 3
(9-ը բաժանվում է 3-ի առանց մնացորդի, ուստի 3-ը 9-ի բաժանարար է)

9: 4 = 2 (մնաց 1)
(9-ը չի բաժանվում 4-ի առանց մնացորդի, ուստի 4-ը 9-ի բաժանարար չէ)

9:5 = 1 (մնաց 4)
(9-ը չի բաժանվում 5-ի առանց մնացորդի, ուստի 5-ը 9-ի բաժանարար չէ)

9: 6 = 1 (մնաց 3)
(9-ը չի բաժանում 6-ի առանց մնացորդի, ուստի 6-ը 9-ի բաժանարար չէ)

9:7 = 1 (մնացել է 2)
(9-ը չի բաժանվում 7-ի առանց մնացորդի, հետևաբար 7-ը 9-ի բաժանարար չէ)

9:8 = 1 (մնաց 1)
(9-ը չի բաժանվում 8-ի առանց մնացորդի, հետևաբար 8-ը 9-ի բաժանարար չէ)

9: 9 = 1
(9-ը բաժանվում է 9-ի առանց մնացորդի, ուստի 9-ը 9-ի բաժանարար է)

Այժմ գրի՛ր երկու թվերի բաժանարարները։ Կապույտով ընդգծված թվերը բաժանարարներն են: Եկեք դրանք գրենք.

Դուրս գրելով բաժանարարները, դուք կարող եք անմիջապես որոշել, թե որն է ամենամեծը և ամենատարածվածը:

Ըստ սահմանման, 12-ի և 9-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը այն թիվն է, որով 12-ը և 9-ը հավասարապես բաժանվում են: 12 և 9 թվերի ամենամեծ և ընդհանուր բաժանարարը 3 թիվն է

Ե՛վ 12 թիվը, և՛ 9 թիվը բաժանվում են 3-ի առանց մնացորդի.

Այսպիսով, gcd (12 և 9) = 3

GCD գտնելու երկրորդ ճանապարհը

Այժմ դիտարկենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երկրորդ ճանապարհը: Բնահյութ այս մեթոդըերկու թվերն էլ պարզ գործոնների վերածելն է և ընդհանուրները բազմապատկելը:

Օրինակ 1. Գտեք 24 և 18 թվերի GCD

Նախ, եկեք երկու թվերն էլ դասավորենք պարզ գործոնների.

Այժմ մենք բազմապատկում ենք նրանց ընդհանուր գործոնները։ Որպեսզի չշփոթվեն, կարելի է ընդգծել ընդհանուր գործոնները.

Մենք նայում ենք 24 թվի տարրալուծմանը: Նրա առաջին գործակիցը 2-ն է: Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի տարրալուծման մեջ և տեսնում ենք, որ այն նույնպես կա: Երկուսն էլ ընդգծում ենք.

Կրկին նայում ենք 24 թվի տարրալուծմանը: Նրա երկրորդ գործոնը նույնպես 2-ն է: Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի տարրալուծման մեջ և տեսնում ենք, որ այն երկրորդ անգամ չկա: Հետո մենք ոչինչ չենք կարևորում։

24-ի ընդլայնման մեջ հաջորդ երկուսը նույնպես բացակայում են 18-ի ընդլայնման մեջ։

Անցնում ենք 24 թվի տարրալուծման վերջին գործոնին։ Սա 3 գործոնն է։ Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի տարրալուծման մեջ և տեսնում ենք, որ այն նույնպես կա։ Մենք շեշտում ենք երկու երեքը.

Այսպիսով, 24 և 18 թվերի ընդհանուր գործակիցները 2 և 3 գործոններն են: GCD ստանալու համար այս գործոնները պետք է բազմապատկվեն.

Այսպիսով, gcd (24 և 18) = 6

GCD գտնելու երրորդ ճանապարհը

Այժմ դիտարկենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երրորդ ճանապարհը: Այս մեթոդի էությունը կայանում է նրանում, որ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար փնտրվող թվերը տարրալուծվում են պարզ գործոնների։ Այնուհետև առաջին թվի տարրալուծումից ջնջվում են գործոններ, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի տարրալուծման մեջ։ Առաջին ընդլայնման մնացած թվերը բազմապատկվում են և ստանում GCD:

Օրինակ, եկեք այս կերպ գտնենք GCD-ն 28 և 16 թվերի համար։ Առաջին հերթին մենք այս թվերը բաժանում ենք պարզ գործոնների.

Մենք ստացանք երկու ընդարձակում՝ և

Այժմ առաջին թվի ընդլայնումից մենք ջնջում ենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում յոթը։ Մենք այն կջնջենք առաջին ընդլայնումից.

Այժմ մենք բազմապատկում ենք մնացած գործոնները և ստանում GCD.

4 թիվը 28 և 16 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Այս երկու թվերն էլ առանց մնացորդի բաժանվում են 4-ի.

Օրինակ 2Գտեք 100 և 40 թվերի GCD

100 համարի ֆակտորինգ

40 համարի ֆակտորինգ

Մենք ստացանք երկու ընդլայնում.

Այժմ առաջին թվի ընդլայնումից մենք ջնջում ենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում մեկ հինգը (կա միայն մեկ հինգ): Ջնջում ենք առաջին տարրալուծումից

Մնացած թվերը բազմապատկեք.

Մենք ստացանք 20 պատասխանը: Այսպիսով, 20 թիվը 100 և 40 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Այս երկու թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 20-ի.

GCD (100 և 40) = 20:

Օրինակ 3Գտե՛ք 72 և 128 թվերի gcd-ն

72 համարի ֆակտորինգ

128 համարի ֆակտորինգ

2×2×2×2×2×2×2

Այժմ առաջին թվի ընդլայնումից մենք ջնջում ենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում երկու եռյակ (ընդհանրապես չկան): Մենք դրանք ջնջում ենք առաջին ընդլայնումից.

Ստացանք 8-ի պատասխանը: Այսպիսով, 8 թիվը 72 և 128 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Այս երկու թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 8-ի.

GCD (72 և 128) = 8

Գտեք GCD բազմաթիվ թվերի համար

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել մի քանի թվերի համար, և ոչ միայն երկուսի համար: Դրա համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար փնտրվող թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնվում է այդ թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալը:

Օրինակ, եկեք գտնենք GCD-ն 18, 24 և 36 թվերի համար

18 համարի ֆակտորինգ

24 համարի ֆակտորինգ

36 համարի ֆակտորինգ

Մենք ստացանք երեք ընդլայնում.

Այժմ մենք ընտրում և ընդգծում ենք այս թվերի ընդհանուր գործոնները: Ընդհանուր գործոնները պետք է ներառվեն բոլոր երեք թվերում.

Մենք տեսնում ենք, որ 18, 24 և 36 թվերի ընդհանուր գործոնները 2 և 3 գործոններն են: Այս գործոնները բազմապատկելով՝ մենք ստանում ենք GCD-ն, որը մենք փնտրում ենք.

Ստացանք 6-ի պատասխանը: Այսպիսով, 6 թիվը 18, 24 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Այս երեք թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 6-ի.

GCD (18, 24 և 36) = 6

Օրինակ 2Գտեք gcd 12, 24, 36 և 42 թվերի համար

Եկեք ֆակտորիզացնենք յուրաքանչյուր թիվ։ Այնուհետև մենք գտնում ենք այս թվերի ընդհանուր գործակիցների արտադրյալը:

12 համարի ֆակտորինգ

42 համարի ֆակտորինգ

Մենք ստացել ենք չորս ընդլայնում.

Այժմ մենք ընտրում և ընդգծում ենք այս թվերի ընդհանուր գործոնները: Ընդհանուր գործոնները պետք է ներառվեն բոլոր չորս թվերում.

Մենք տեսնում ենք, որ 12, 24, 36 և 42 թվերի ընդհանուր գործակիցները 2 և 3 գործոններն են: Այս գործոնները բազմապատկելով՝ մենք ստանում ենք GCD, որը մենք փնտրում ենք.

Ստացանք 6-ի պատասխանը: Այսպիսով, 6 թիվը 12, 24, 36 և 42 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Այս թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 6-ի.

gcd (12, 24, 36 և 42) = 6

Նախորդ դասից մենք գիտենք, որ եթե որևէ թիվ առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսի, այն կոչվում է այս թվի բազմապատիկ:

Ստացվում է, որ բազմապատիկը կարող է ընդհանուր լինել մի քանի թվերի համար։ Իսկ հիմա մեզ կհետաքրքրի երկու թվերի բազմապատիկը, մինչդեռ այն պետք է լինի հնարավորինս փոքր։

Սահմանում. Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): աև բ- աև բ աև համարը բ.

Սահմանումը պարունակում է երկու փոփոխական աև բ. Այս փոփոխականներին փոխարինենք ցանկացած երկու թվ։ Օրինակ՝ փոփոխականի փոխարեն ափոխարինի՛ր 9 թիվը և փոփոխականի փոխարեն բեկեք փոխարինենք 12 թիվը: Այժմ փորձենք կարդալ սահմանումը.

Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): 9 և 12 - Սա ամենափոքր թիվը, որը բազմապատիկ է 9 և 12 . Այսինքն՝ դա այնքան փոքր թիվ է, որը առանց մնացորդի բաժանվում է թվի վրա 9 և թվի վրա 12 .

Սահմանումից պարզ է դառնում, որ LCM-ն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է առանց մնացորդի 9-ի և 12-ի: Այս LCM-ն անհրաժեշտ է գտնել:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու երկու եղանակ կա: Առաջին ճանապարհն այն է, որ դուք կարող եք գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, այնուհետև այդ բազմապատիկներից ընտրել այնպիսի թիվ, որը կլինի ընդհանուր և փոքր թվերի համար: Եկեք կիրառենք այս մեթոդը.

Նախ, եկեք գտնենք 9 թվի առաջին բազմապատիկները: 9-ի բազմապատիկները գտնելու համար անհրաժեշտ է այս ինը հերթով բազմապատկել 1-ից 9-ը թվերով: Ստացված պատասխանները կլինեն 9-ի բազմապատիկները: , եկ սկսենք. Բազմապատիկները կնշվեն կարմիրով.

Այժմ մենք գտնում ենք 12 թվի բազմապատիկները: Դա անելու համար մենք հերթով բազմապատկում ենք 12-ը բոլոր 1-ից 12 թվերով:

Դիտարկենք հետևյալ խնդրի լուծումը. Տղայի քայլը 75 սմ է, իսկ աղջկանը՝ 60 սմ։Պետք է գտնել ամենափոքր հեռավորությունը, որով երկուսն էլ ամբողջ թվով քայլեր կանեն։

Որոշում.Ամբողջ ճանապարհը, որով անցնելու են տղաները, պետք է առանց մնացորդի բաժանվի 60-ի և 70-ի, քանի որ նրանցից յուրաքանչյուրը պետք է կատարի ամբողջ թվով քայլեր։ Այսինքն՝ պատասխանը պետք է լինի և՛ 75-ի, և՛ 60-ի բազմապատիկ:

Սկզբում մենք կգրենք բոլոր բազմապատիկները 75 թվի համար: Ստանում ենք.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Հիմա եկեք դուրս գրենք այն թվերը, որոնք կլինեն 60-ի բազմապատիկ: Ստանում ենք.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Այժմ մենք գտնում ենք այն թվերը, որոնք գտնվում են երկու շարքերում:

• Թվերի ընդհանուր բազմապատիկները կլինեն թվերը՝ 300, 600 և այլն։

Դրանցից ամենափոքրը 300 թիվն է։Այս դեպքում այն ​​կկոչվի 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։

Վերադառնալով խնդրի վիճակին, ամենափոքր հեռավորությունը, որով տղաները կատարում են ամբողջ թվով քայլեր, կլինի 300 սմ: Տղան այս ճանապարհը կգնա 4 քայլով, իսկ աղջկան անհրաժեշտ կլինի 5 քայլ:

Գտնելով նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը

• Երկու բնական թվերի a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ամենափոքր բնական թիվն է, որը և՛ a-ի, և՛ b-ի բազմապատիկն է:

Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ անընդմեջ գրել այս թվերի բոլոր բազմապատիկները։

Դուք կարող եք օգտագործել հետևյալ մեթոդը.

Ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Նախ, դուք պետք է այս թվերը տարրալուծեք պարզ գործոնների:

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Այժմ գրենք բոլոր այն գործոնները, որոնք կան առաջին թվի ընդլայնման մեջ (2,2,3,5) և դրան գումարենք երկրորդ (5) թվի ընդլայնման բոլոր բացակայող գործոնները։

Արդյունքում ստանում ենք պարզ թվերի շարք՝ 2,2,3,5,5։ Այս թվերի արտադրյալը կլինի այս թվերի համար ամենաքիչ ընդհանուր գործակիցը: 2*2*3*5*5 = 300։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու ընդհանուր սխեման

• 1. Թվերը տարրալուծիր պարզ գործակիցների:
• 2. Գրի՛ր դրանցից մեկի մաս կազմող պարզ գործոնները:
• 3. Այս գործոններին ավելացրեք բոլոր նրանք, որոնք գտնվում են մնացածի քայքայման մեջ, բայց ոչ ընտրվածի մեջ։
• 4. Գտի՛ր դուրս գրված բոլոր գործոնների արտադրյալը:

Այս մեթոդը ունիվերսալ է: Այն կարող է օգտագործվել բնական թվերի ցանկացած թվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար:

Առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս արագ գտնել երկու կամ ցանկացած այլ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Հաշվիչ՝ GCD և NOC գտնելու համար

Գտեք GCD և NOC

GCD և NOC հայտնաբերվել են՝ 6433

Ինչպես օգտագործել հաշվիչը

• Մուտքագրեք թվեր մուտքագրման դաշտում
• Սխալ նիշերի մուտքագրման դեպքում մուտքագրման դաշտը կնշվի կարմիրով
• սեղմեք «Գտեք GCD և NOC» կոճակը

Ինչպես մուտքագրել թվեր

• Թվերը մուտքագրվում են բաժանված բացատներով, կետերով կամ ստորակետերով
• Մուտքագրված թվերի երկարությունը սահմանափակված չէ, ուստի երկար թվերի gcd և lcm գտնելը դժվար չի լինի

Ի՞նչ է NOD-ը և NOK-ը:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարմի քանի թվերից ամենամեծ բնական ամբողջ թիվն է, որով բոլոր սկզբնական թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի: Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կրճատվում է որպես GCD.
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի թվեր այն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է սկզբնական թվերից յուրաքանչյուրի վրա՝ առանց մնացորդի: Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կրճատվում է որպես ՀԱՕԿ.

Ինչպե՞ս ստուգել, ​​թե արդյոք թիվը բաժանվում է մեկ այլ թվի առանց մնացորդի:

Պարզելու համար, թե արդյոք մի թիվը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, կարող եք օգտագործել թվերի բաժանելիության որոշ հատկություններ։ Այնուհետև դրանք համադրելով՝ կարելի է ստուգել դրանցից մի քանիսի բաժանելիությունը և դրանց համակցությունները։

Թվերի բաժանելիության որոշ նշաններ

1. Թվի 2-ի բաժանելիության նշան
Որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է երկուսի (լինի այն զույգ), բավական է նայել այս թվի վերջին թվանշանին. եթե այն հավասար է 0-ի, 2-ի, 4-ի, 6-ի կամ 8-ի, ապա թիվը զույգ է. ինչը նշանակում է, որ այն բաժանվում է 2-ի:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 2-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է երկուսի:

2. Թվի 3-ի բաժանելիության նշան
Թիվը բաժանվում է 3-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։ Այսպիսով, որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 3-ի, պետք է հաշվարկել թվանշանների գումարը և ստուգել, ​​թե արդյոք այն բաժանվում է 3-ի: Նույնիսկ եթե թվանշանների գումարը շատ մեծ է, կարող եք կրկնել նույն գործընթացը: կրկին.
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 3-ի։
Լուծում:հաշվում ենք թվանշանների գումարը՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 3-ի, ինչը նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է երեքի։

3. Թվի 5-ի բաժանելիության նշան
Թիվը բաժանվում է 5-ի, երբ նրա վերջին թվանշանը զրո կամ հինգ է։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 5-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը ՉԻ բաժանվում հինգի:

4. Թվի 9-ի բաժանելիության նշան
Այս նշանը շատ նման է երեքի բաժանելիության նշանին. թիվը բաժանվում է 9-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 9-ի։
Լուծում:հաշվում ենք թվանշանների գումարը՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 9-ի, ինչը նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է իննի։

Ինչպես գտնել երկու թվերի GCD և LCM

Ինչպես գտնել երկու թվերի GCD-ն

Մեծ մասը պարզ ձևովԵրկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հաշվելը նշանակում է գտնել այդ թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները և ընտրել դրանցից ամենամեծը:

Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով GCD(28, 36) գտնելու օրինակը.

1. Մենք գործոնացնում ենք երկու թվերը՝ 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Մենք գտնում ենք ընդհանուր գործոններ, այսինքն՝ նրանք, որոնք ունեն երկու թվերն էլ՝ 1, 2 և 2։
3. Մենք հաշվարկում ենք այս գործոնների արտադրյալը՝ 1 2 2 \u003d 4 - սա 28 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է:

Ինչպես գտնել երկու թվերի LCM

Երկու թվերի ամենափոքր բազմապատիկը գտնելու երկու ամենատարածված եղանակ կա: Առաջին ճանապարհն այն է, որ դուք կարող եք դուրս գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, ապա դրանցից ընտրել այնպիսի թիվ, որը կլինի ընդհանուր երկու թվերի և միևնույն ժամանակ ամենափոքրը: Եվ երկրորդը՝ գտնել այս թվերի GCD-ն: Եկեք պարզապես դիտարկենք այն:

LCM-ը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել սկզբնական թվերի արտադրյալը և այն բաժանել նախկինում գտնված GCD-ի վրա: Եկեք գտնենք LCM-ն նույն 28 և 36 թվերի համար.

1. Գտե՛ք 28 և 36 թվերի արտադրյալը՝ 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) արդեն հայտնի է, որ 4 է
3. LCM (28, 36) = 1008 / 4 = 252:

Գտնելով GCD և LCM բազմաթիվ թվերի համար

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել մի քանի թվերի համար, և ոչ միայն երկուսի համար: Դրա համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար փնտրվող թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնվում է այդ թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալը: Նաև մի քանի թվերի GCD-ն գտնելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ կապը. gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Նման հարաբերությունը վերաբերում է նաև թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին. LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Օրինակ:Գտեք GCD և LCM 12, 32 և 36 համարների համար:

1. Նախ, եկեք գործոնացնենք թվերը՝ 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 :
2. Գտնենք ընդհանուր գործոններ՝ 1, 2 և 2:
3. Նրանց արտադրանքը կտա gcd՝ 1 2 2 = 4
4. Հիմա եկեք գտնենք LCM-ը. դրա համար մենք նախ գտնում ենք LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96:
5. Բոլոր երեք թվերի LCM-ը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել GCD(96, 36). 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12:
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288:

Ստորև ներկայացված նյութը LCM-նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ, սահմանում, օրինակներ, LCM-ի և GCD-ի միջև կապը վերնագրով հոդվածի տեսության տրամաբանական շարունակությունն է: Այստեղ մենք կխոսենք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM), և հատուկ ուշադրություն դարձրեք օրինակների լուծմանը։ Եկեք նախ ցույց տանք, թե ինչպես է հաշվարկվում երկու թվերի LCM-ն այս թվերի GCD-ով: Հաջորդը, հաշվի առեք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` թվերը պարզ գործոնների վերածելով: Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք երեք և ավելի թվերի LCM-ն գտնելու վրա, ինչպես նաև ուշադրություն կդարձնենք բացասական թվերի LCM-ի հաշվարկին։

Էջի նավարկություն.

Ամենափոքր ընդհանուր բազմակի (LCM) հաշվարկը gcd-ի միջոցով

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու եղանակներից մեկը հիմնված է LCM-ի և GCD-ի միջև փոխհարաբերությունների վրա: LCM-ի և GCD-ի միջև գոյություն ունեցող հարաբերությունները թույլ են տալիս հաշվարկել երկու դրական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հայտնի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով: Համապատասխան բանաձեւն ունի ձեւը LCM(a, b)=a b. GCM(a, b) . Դիտարկենք LCM-ն գտնելու օրինակներ՝ համաձայն վերը նշված բանաձևի:

Օրինակ.

Գտի՛ր 126 և 70 երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Որոշում.

Այս օրինակում a=126, b=70: Եկեք օգտագործենք բանաձևով արտահայտված LCM-ի և GCD-ի միջև կապը LCM(a, b)=a b. GCM(a, b). Այսինքն՝ նախ պետք է գտնել 70 և 126 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որից հետո գրված բանաձևով կարող ենք հաշվել այս թվերի LCM-ն։

Գտեք gcd(126, 70)՝ օգտագործելով Էվկլիդեսի ալգորիթմը՝ 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4, հետևաբար gcd(126, 70)=14

Այժմ մենք գտնում ենք պահանջվող նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը. LCM(126, 70)=126 70՝ GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Պատասխան.

LCM(126, 70)=630:

Օրինակ.

Ի՞նչ է LCM(68, 34):

Որոշում.

Որովհետեւ 68-ը հավասարապես բաժանվում է 34-ի, ապա gcd(68, 34)=34: Այժմ մենք հաշվարկում ենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը. LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Պատասխան.

LCM(68, 34)=68:

Նկատի ունեցեք, որ նախորդ օրինակը համապատասխանում է a և b դրական ամբողջ թվերի համար LCM-ը գտնելու հետևյալ կանոնին. եթե a թիվը բաժանվում է b-ի, ապա այդ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը a է:

Գտնել LCM-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու մեկ այլ եղանակ հիմնված է թվերը պարզ գործոնների վերածելու վրա: Եթե ​​այս թվերի բոլոր պարզ գործակիցների արտադրյալը կազմենք, որից հետո այս արտադրյալից բացառենք բոլոր ընդհանուր պարզ գործակիցները, որոնք առկա են այս թվերի ընդլայնման մեջ, ապա ստացված արտադրյալը հավասար կլինի այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին:

LCM-ն գտնելու հայտարարված կանոնը բխում է հավասարությունից LCM(a, b)=a b. GCM(a, b). Իրոք, a և b թվերի արտադրյալը հավասար է a և b թվերի ընդլայնմանը մասնակցող բոլոր գործոնների արտադրյալին։ Իր հերթին, gcd(a, b) հավասար է բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալին, որոնք միաժամանակ առկա են a և b թվերի ընդարձակման մեջ (որը նկարագրված է gcd-ի հայտնաբերման բաժնում՝ օգտագործելով թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների): ):

Օրինակ բերենք. Տեղեկացնենք, որ 75=3 5 5 և 210=2 3 5 7: Կազմե՛ք այս ընդլայնումների բոլոր գործակիցների արտադրյալը՝ 2 3 3 5 5 5 7 : Այժմ մենք այս արտադրյալից բացառում ենք բոլոր այն գործոնները, որոնք առկա են և՛ 75 թվի ընդլայնման, և՛ 210 թվի ընդլայնման մեջ (այդպիսիք են 3-ը և 5-ը), ապա արտադրյալը կստանա 2 3 5 5 7 ձևը: Այս արտադրյալի արժեքը հավասար է 75 և 210 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, այսինքն. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Օրինակ.

441 և 700 թվերը պարզ գործոնների վերածելուց հետո գտե՛ք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Որոշում.

Եկեք 441 և 700 թվերը տարանջատենք պարզ գործակիցների.

Ստանում ենք 441=3 3 7 7 և 700=2 2 5 5 7:

Այժմ եկեք այս թվերի ընդլայնման մեջ ներգրավված բոլոր գործոնների արտադրյալ կազմենք. 2 2 3 3 5 5 7 7 7 : Եկեք այս ապրանքից բացառենք բոլոր այն գործոնները, որոնք միաժամանակ առկա են երկու ընդարձակման մեջ (կա միայն մեկ այդպիսի գործոն՝ սա 7 թիվն է). 2 2 3 3 5 5 7 7 : Այս կերպ, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Պատասխան.

LCM(441, 700)= 44 100:

Թվերի պարզ գործակիցների տարրալուծման միջոցով LCM-ն գտնելու կանոնը կարելի է մի փոքր այլ կերպ ձևակերպել։ Եթե ​​b թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարենք a թվի տարրալուծման գործակիցներին, ապա ստացված արտադրյալի արժեքը հավասար կլինի a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։.

Օրինակ, վերցնենք բոլոր նույն թվերը 75 և 210, դրանց ընդլայնումները պարզ գործակիցների մեջ հետևյալն են՝ 75=3 5 5 և 210=2 3 5 7: 75 թվի ընդլայնումից 3, 5 և 5 գործակիցներին գումարում ենք 210 թվի ընդլայնումից բացակայող 2 և 7 գործակիցները, ստանում ենք 2 3 5 5 7 արտադրյալը, որի արժեքը LCM է (75): , 210):

Օրինակ.

Գտե՛ք 84-ի և 648-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Որոշում.

Մենք նախ ստանում ենք 84 և 648 թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների: Նրանք նման են 84=2 2 3 7 և 648=2 2 2 3 3 3 3: 84 թվի ընդլայնումից 2, 2, 3 և 7 գործակիցներին գումարում ենք 648 թվի ընդլայնումից բացակայող 2, 3, 3 և 3 գործակիցները, ստանում ենք 2 2 2 3 3 3 3 7 արտադրյալը, որը հավասար է 4 536-ի։ Այսպիսով, 84 և 648 թվերի ցանկալի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը 4536 է։

Պատասխան.

LCM(84, 648)=4 536:

Գտնելով երեք և ավելի թվերի LCM

Երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով երկու թվերի LCM: Հիշեք համապատասխան թեորեմը, որը հնարավորություն է տալիս գտնել երեք և ավելի թվերի LCM:

Թեորեմ.

Թող տրվեն a 1, a 2, …, ak դրական ամբողջ թվերը, այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը mk գտնվում է հաջորդական հաշվարկում m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1, ak):

Դիտարկենք այս թեորեմի կիրառումը չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակով:

Օրինակ.

Գտե՛ք 140, 9, 54 և 250 չորս թվերի LCM-ը:

Որոշում.

Այս օրինակում a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250:

Նախ մենք գտնում ենք m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Դա անելու համար, օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը, որոշում ենք gcd(140, 9) , ունենք 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1, 4=1 4, հետևաբար՝ gcd( 140, 9)=1, որտեղից LCM(140, 9)=140 9. LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Այսինքն, m 2 =1 260:

Այժմ մենք գտնում ենք m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Հաշվարկենք այն gcd(1 260, 54) միջոցով, որը նույնպես որոշվում է Էվկլիդեսի ալգորիթմով՝ 1 260=54 23+18 , 54=18 3 ։ Ապա gcd(1 260, 54)=18, որտեղից LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780: Այսինքն, m 3 \u003d 3 780:

Մնացել է գտնել m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Դա անելու համար մենք գտնում ենք GCD(3 780, 250)՝ օգտագործելով Էվկլիդյան ալգորիթմը՝ 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3: Հետևաբար, gcd(3 780, 250)=10, որտեղից gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Այսինքն, m 4 \u003d 94 500:

Այսպիսով, սկզբնական չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 94500 է:

Պատասխան.

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Շատ դեպքերում երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հարմար է գտնվել՝ օգտագործելով տրված թվերի պարզ ֆակտորիզացիաները: Այս դեպքում պետք է հետևել հետևյալ կանոնին. Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է արտադրյալին, որը կազմված է հետևյալ կերպ. երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարվում են առաջին թվի ընդլայնման բոլոր գործոններին, բացակայող գործակիցները՝ ընդլայնվելուց. ստացված գործոններին գումարվում են երրորդ թիվը և այլն։

Դիտարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակ՝ օգտագործելով թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների:

Օրինակ.

Գտե՛ք 84, 6, 48, 7, 143 հինգ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Որոշում.

Նախ ստանում ենք այս թվերի ընդարձակումները պարզ գործակիցների՝ 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 պարզ գործակից) և 143=11 13։

Այս թվերի LCM-ն գտնելու համար առաջին 84 թվի գործակիցներին (դրանք 2-ը, 2-ը, 3-ը և 7-ն են) պետք է գումարել երկրորդ 6-ի ընդլայնման բացակայող գործոնները: 6 թվի ընդլայնումը բացակայող գործոններ չի պարունակում, քանի որ և՛ 2-ը, և՛ 3-ն արդեն առկա են առաջին 84 թվի ընդլայնման մեջ: 2-րդ, 2-րդ, 3-րդ և 7-րդ գործոններին ավելացնում ենք 2-րդ և 2-րդ գործակիցները, որոնք բացակայում են երրորդ թվի 48-ի ընդլայնումից, ստանում ենք 2, 2, 2, 2, 3 և 7 գործոնների մի շարք: Հաջորդ քայլում այս հավաքածուին գործոններ ավելացնելու կարիք չկա, քանի որ 7-ն արդեն պարունակվում է դրանում: Վերջապես, 2-ին, 2-ին, 2-ին, 2-ին, 3-ին և 7-ին ավելացնում ենք բացակայող 11 և 13 գործակիցները 143 թվի ընդլայնումից: Ստանում ենք 2 2 2 2 3 7 11 13 արտադրյալը, որը հավասար է 48 048-ի: