Հավանականությունների տեսության բանաձևեր և քննության օրինակներ. Հավանականությունների տեսություն
պատահական իրադարձություն Ցանկացած իրադարձություն, որը կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել ինչ-որ փորձի արդյունքում:
Իրադարձության հավանականություն Ռհավասար է բարենպաստ արդյունքների քանակի հարաբերակցությանը կբոլոր հնարավոր արդյունքների շարքում: n, այսինքն.
p=\frac(k)(n)
Հավանականությունների տեսության գումարման և բազմապատկման բանաձևեր
\bar(A) իրադարձություն կանչեց հակառակ իրադարձության Ա, եթե A իրադարձությունը տեղի չի ունեցել.
Հավանականությունների գումարը հակառակ իրադարձությունները հավասար են մեկին, այսինքն.
P(\bar(A)) + P(A) =1
- Իրադարձության հավանականությունը չի կարող 1-ից մեծ լինել։
- Եթե իրադարձության հավանականությունը 0 է, ապա դա տեղի չի ունենա։
- Եթե իրադարձության հավանականությունը 1 է, ապա դա տեղի կունենա։
Հավանականության գումարման թեորեմ.
«Երկու անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին»։
P(A+B) = P(A) + P(B)
Հավանականություն գումարներերկու համատեղ միջոցառումհավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին՝ առանց հաշվի առնելու դրանց համատեղ առաջացումը.
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Հավանականության բազմապատկման թեորեմ
«Երկու իրադարձության արտադրյալի հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի հավանականությունների արտադրյալին մյուսի պայմանական հավանականությամբ՝ հաշվարկված այն պայմանով, որ առաջինը տեղի է ունեցել»։
P(AB)=P(A)*P(B)
Զարգացումներ կանչեց անհամատեղելի, եթե նրանցից մեկի արտաքին տեսքը բացառում է մյուսների տեսքը. Այսինքն, միայն մեկ կոնկրետ իրադարձություն կարող է տեղի ունենալ, կամ մյուսը:
Զարգացումներ կանչեց համատեղ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի բացառում մյուսի առաջացումը:
Երկու պատահական իրադարձություն A և B կոչվում են անկախ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի փոխում մյուսի առաջացման հավանականությունը։ Հակառակ դեպքում A և B իրադարձությունները կոչվում են կախված:
Հավանականություն. Մաթեմատիկայի պրոֆիլի քննության առաջադրանքները.
Պատրաստել է MBOU «Lyceum No. 4» մաթեմատիկայի ուսուցչուհի Ռուզաևկան
Օվչիննիկովա Տ.Վ.
Հավանականության սահմանում
Հավանականություն իրադարձություններ A զանգահարել թվի հարաբերակցությունը մ այս իրադարձության համար բարենպաստ արդյունքները ընդհանուր թվով n բոլոր հավասարապես հնարավոր անհամատեղելի իրադարձությունները, որոնք կարող են տեղի ունենալ մեկ թեստի կամ դիտարկման արդյունքում.
մ
n
Թող լինի կ - մետաղադրամների նետումների քանակը, ապա հնարավոր արդյունքների քանակը. n=2 կ .
Թող լինի կ - զառերի գլորումների քանակը, ապա հնարավոր արդյունքների քանակը. n=6 կ .
Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները ճիշտ մեկ անգամ են բարձրանում:
Լուծում.
Միայն 4 տարբերակ. մասին; օհ, օհ; p p; p p; մասին .
Բարենպաստ 2: մասին; Ռ Եվ Ռ; մասին .
Հավանականությունը 2/4 = 1/2 = է 0,5 .
Պատասխան՝ 0,5:
Պատահական փորձի ժամանակ գցվում են երկու զառախաղ: Գտե՛ք ընդհանուր 8 միավոր ստանալու հավանականությունը։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:
Լուծում.
Զառերը 6 կողմերով զառեր են: Առաջին ձողը կարող է գլորվել 1, 2, 3, 4, 5 կամ 6 միավոր: Վարկավորման յուրաքանչյուր տարբերակ համապատասխանում է 6 միավորի ընտրանքին երկրորդ ձողի վրա:
Նրանք. Ընդամենը տարբեր տարբերակներ 6x6=36.
Ընտրանքները (փորձի արդյունքները) կլինեն հետևյալը.
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
և այլն: ..............................
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Հաշվենք ելքերի (տարբերակների) քանակը, որոնցում երկու զառերի միավորների գումարը 8 է։
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Ընդամենը 5 տարբերակ.
Գտնենք հավանականությունը՝ 5/36 = 0,138 ≈ 0,14:
Պատասխան՝ 0.14:
Կենսաբանության տոմսերի հավաքածուում կա 55 տոմս, որոնցից 11-ում բուսաբանության վերաբերյալ հարց կա։ Գտեք հավանականությունը, որ ուսանողը բուսաբանության վերաբերյալ հարց կստանա պատահականորեն ընտրված քննության տոմսում:
Լուծում:
Պատահականության սկզբունքով ընտրված քննության տոմսում ուսանողը բուսաբանության վերաբերյալ հարց ստանալու հավանականությունը 11/55 = 1/5 = 0,2 է:
Պատասխան՝ 0.2.
Մարմնամարզության առաջնությանը մասնակցում է 20 մարզիկ՝ 8-ը՝ Ռուսաստանից, 7-ը՝ ԱՄՆ-ից, մնացածը՝ Չինաստանից։ Մարմնամարզիկների ելույթների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջինը մրցող մարզիկը Չինաստանից է։
Լուծում.
Ընդհանուր առմամբ 20 մարզիկ կա։
որից 20 - 8 - 7 = 5 մարզիկ Չինաստանից։
Հավանականությունը, որ առաջինը մրցող մարզիկը կլինի Չինաստանից, 5/20 = 1/4 = 0,25 է։
Պատասխան՝ 0,25:
Գիտաժողովն անցկացվում է 5 օրում։ Նախատեսվում է ընդհանուր առմամբ 75 հաշվետվություն՝ առաջին երեք օրը՝ 17-ական հաշվետվություն, մնացածը հավասարապես բաշխվում են չորրորդ և հինգերորդ օրերի միջև։ Հաշվետվությունների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կնշանակվի գիտաժողովի վերջին օրը։
Լուծում:
Նախատեսված է համաժողովի վերջին օրը
(75 - 17 × 3) 2 = 12 հաշվետվություն:
Հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կնշանակվի գիտաժողովի վերջին օրը, 12/75 = 4/25 = 0,16 է:
Պատասխան՝ 0.16:
Բադմինտոնի առաջնության առաջին փուլի մեկնարկից առաջ մասնակիցները վիճակահանությամբ պատահականության սկզբունքով բաժանվում են խաղային զույգերի։ Ընդհանուր առմամբ առաջնությանը մասնակցում է 26 բադմինտոնիստ, այդ թվում՝ 10 մասնակից Ռուսաստանից, այդ թվում՝ Ռուսլան Օրլովը։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին փուլում Ռուսլան Օրլովը կխաղա Ռուսաստանից որևէ բադմինտոնիստի հետ։
Լուծում:
Նշենք, որ Ռուսլան Օռլովը պետք է խաղա ռուսաստանցի բադմինտոնիստի հետ։ Իսկ ինքը՝ Ռուսլան Օրլովը, նույնպես Ռուսաստանից է։
Հավանականությունը, որ առաջին փուլում Ռուսլան Օրլովը կխաղա Ռուսաստանից ցանկացած բադմինտոնիստի հետ, 9/25 = 36/100 = 0,36 է։
Պատասխան՝ 0,36:
Դաշան երկու անգամ գլորում է զառերը: Նա ընդհանուր առմամբ վաստակել է 8 միավոր։ Գտեք առաջին նետում 2 ստանալու հավանականությունը:
Լուծում.
Ընդհանուր առմամբ, երկու զառերը պետք է գցեն 8 միավոր: Դա հնարավոր է, եթե կան հետևյալ համակցությունները.
Ընդամենը 5 տարբերակ. Եկեք հաշվենք ելքերի (տարբերակների) քանակը, որոնցում առաջին նետումին բաժին է ընկել 2 միավոր:
Այս տարբերակը 1 է:
Գտեք հավանականությունը՝ 1/5 = 0,2:
Պատասխան՝ 0.2.
Աշխարհի առաջնությանը մասնակցում է 20 թիմ։ Լոտերի օգնությամբ նրանք պետք է բաժանվեն հինգ խմբի՝ յուրաքանչյուրը չորս թիմով։ Տուփում խառը քարտեր են խմբային համարներով.
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Թիմերի ավագները մեկական քարտ են քաշում: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Ռուսաստանի հավաքականը կհայտնվի երրորդ խմբում.
Լուծում:
Ընդհանուր առմամբ կա 20 թիմ՝ 5 խումբ։
Յուրաքանչյուր խումբ ունի 4 թիմ։
Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, մենք ստացանք 20 արդյունք, մեզ անհրաժեշտ էր 4, ինչը նշանակում է, որ ցանկալի արդյունքի դուրս գալու հավանականությունը 4/20 = 0,2 է:
Պատասխան՝ 0.2.
Երկու գործարան արտադրում են նույն ապակի մեքենաների լուսարձակների համար։ Առաջին գործարանն արտադրում է այս ակնոցների 45%-ը, երկրորդը՝ 55%-ը։ Առաջին գործարանն արտադրում է թերի ակնոցների 3%-ը, իսկ երկրորդը՝ 1%-ը։ Գտեք հավանականությունը, որ խանութից պատահաբար գնված բաժակը թերի կլինի։
Լուծում:
Հավանականությունը, որ ապակին գնվել է առաջին գործարանում և այն թերի է.
Ռ 1 = 0,45 0,03 = 0,0135:
Հավանականությունը, որ ապակին գնվել է երկրորդ գործարանից և այն թերի է.
Ռ 2 = 0,55 0,01 = 0,0055:
Հետևաբար, ըստ ընդհանուր հավանականության բանաձևի, հավանականությունը, որ խանութում պատահաբար գնված բաժակը թերի կլինի, հավասար է.
p = p 1 + էջ 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Պատասխան՝ 0.019։
Եթե գրոսմայստեր Ա.-ն խաղում է սպիտակ, ապա 0,52 հավանականությամբ հաղթում է գրոսմայստեր Բ. Եթե Ա.-ն սև է խաղում, ապա Ա.-ն 0.3 հավանականությամբ հաղթում է Բ.
Գրոսմայստերներ Ա.-ն և Բ.-ն խաղում են երկու պարտիա, իսկ երկրորդ պարտիայում փոխում են խաղաքարերի գույնը: Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ երկու անգամ էլ Ա.
Լուծում:
Առաջին և երկրորդ խաղերում հաղթելու շանսերը միմյանցից անկախ են։ Անկախ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին.
p = 0,52 0,3 = 0,156:
Պատասխան՝ 0,156։
Բիաթլոնիստը հինգ անգամ կրակում է թիրախների վրա։ Մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,8 է։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ բիաթլոնիստը առաջին երեք անգամ հարվածել է թիրախներին և բաց թողել վերջին երկուսը։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:
Լուծում:
Յուրաքանչյուր հաջորդ կրակոցի արդյունքը կախված չէ նախորդներից։ Ուստի իրադարձությունները «խփեցին առաջին կրակոցին», «խփեցին երկրորդ կրակոցին» և այլն: անկախ.
Յուրաքանչյուր հարվածի հավանականությունը 0,8 է։ Այսպիսով, բաց թողնելու հավանականությունը 1 - 0,8 = 0,2 է:
1 հարված՝ 0,8
2 հարված՝ 0,8
3 հարված՝ 0,8
4 հարված՝ 0,2
5 հարված՝ 0,2
Անկախ իրադարձությունների հավանականությունները բազմապատկելու բանաձևով մենք գտնում ենք, որ ցանկալի հավանականությունը հավասար է.
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Պատասխան՝ 0.02:
Խանութն ունի երկու վճարման մեքենա։ Նրանցից յուրաքանչյուրը կարող է սխալ լինել 0,05 հավանականությամբ՝ անկախ մյուս ավտոմատից։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ ավտոմատ կարող է սպասարկվել:
Լուծում:
Գտեք հավանականությունը, որ երկու ավտոմատներն էլ սխալ են:
Այս իրադարձությունները անկախ են, դրանց արտադրյալի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին.
0,05 0,05 = 0,0025:
Իրադարձությունը, որը բաղկացած է նրանից, որ առնվազն մեկ ավտոմատ սպասարկվում է, հակառակն է:
Հետեւաբար, դրա հավանականությունը
1 − 0,0025 = 0,9975.
Պատասխան՝ 0,9975։
Կովբոյ Ջոնը 0,9 հավանականությամբ հարվածում է պատին ճանճին, եթե կրակում է ատրճանակով։ Եթե Ջոնը կրակում է չկրակված ատրճանակով, նա հարվածում է ճանճին 0,2 հավանականությամբ։ Սեղանին դրված է 10 ատրճանակ, որից միայն 4-ն է կրակված։ Կովբոյ Ջոնը տեսնում է ճանճը պատին, պատահականորեն վերցնում է իր հանդիպած առաջին ատրճանակը և կրակում է ճանճի վրա։ Գտեք հավանականությունը, որ Ջոնը բաց է թողնում:
Լուծում:
Հավանականությունը, որ Ջոնը բաց կթողնի, եթե նա վերցնի կրակված ատրճանակը, հետևյալն է.
0.4 (1 - 0.9) = 0.04
Հավանականությունը, որ Ջոնը բաց կթողնի, եթե նա վերցնի չկրակված ատրճանակը, հետևյալն է.
0,6 (1 - 0,2) = 0,48
Այս իրադարձությունները անհամատեղելի են, դրանց գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.
0,04 + 0,48 = 0,52.
Պատասխան՝ 0,52:
Հրետանային կրակի ժամանակ ավտոմատ համակարգկրակում է թիրախին. Եթե թիրախը չի ոչնչացվում, համակարգը կրկին կրակում է։ Կրակոցները կրկնվում են այնքան ժամանակ, մինչև թիրախը ոչնչացվի։ Առաջին կրակոցով որոշակի թիրախ ոչնչացնելու հավանականությունը 0,4 է, իսկ ամեն հաջորդ կրակոցի դեպքում՝ 0,6։ Քանի՞ կրակոց կպահանջվի, որպեսզի ապահովվի, որ թիրախը ոչնչացնելու հավանականությունը լինի առնվազն 0,98:
Լուծում:
Խնդիրը կարող եք լուծել «գործողություններով»՝ հաշվարկելով մի շարք հաջորդական վրիպումներից հետո գոյատևելու հավանականությունը.
P (1) = 0.6;
P (2) = P (1) 0.4 = 0.24;
P (3) = P (2) 0.4 = 0.096;
P (4) = P (3) 0.4 = 0.0384;
P (5) = P (4) 0.4 = 0.01536:
Վերջին հավանականությունը 0,02-ից քիչ է, ուստի հինգ կրակոցը բավարար է թիրախին։
Պատասխան՝ 5.
Դասարանում 26 հոգի է, որոնցից երկու երկվորյակներ՝ Անդրեյն ու Սերգեյը։ Դասարանը պատահականության սկզբունքով բաժանված է երկու խմբի՝ յուրաքանչյուրը 13 հոգուց բաղկացած: Գտեք հավանականությունը, որ Անդրեյն ու Սերգեյը կլինեն նույն խմբում։
Լուծում:
Թող երկվորյակներից մեկը լինի ինչ-որ խմբում:
Նրա հետ միասին խմբում կլինեն 12 հոգի մնացած 25 դասընկերներից։
Հավանականությունը, որ երկրորդ երկվորյակը կլինի այս 12 մարդկանց մեջ, հավասար է
P=12:25=0.48.
Պատասխան՝ 0,48:
Նկարում պատկերված է լաբիրինթոս։ «Մուտքի» կետում սարդը սողում է լաբիրինթոս։ Սարդը չի կարող շրջվել և հետ սողալ, հետևաբար, յուրաքանչյուր պատառաքաղի մոտ սարդն ընտրում է ճանապարհներից մեկը, որը դեռ չի սողացել։ Ենթադրելով, որ հետագա ուղու ընտրությունը զուտ պատահական է, որոշեք, թե ինչ հավանականությամբ սարդը կգա D-ից դուրս գալու:
Լուծում:
Նշված չորս պատառաքաղներից յուրաքանչյուրում սարդը կարող է ընտրել կա՛մ դեպի D ելք տանող ուղին, կա՛մ 0,5 հավանականությամբ մեկ այլ ճանապարհ: Սրանք անկախ իրադարձություններ են, դրանց արտադրյալի հավանականությունը (սարդը հասնում է D ելքի) հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին։ Հետևաբար, D ելքին գալու հավանականությունը (0,5) է: 4 = 0,0625.
Իրականում կամ մեր երևակայության մեջ տեղի ունեցող իրադարձությունները կարելի է բաժանել 3 խմբի. Սրանք որոշակի իրադարձություններ են, որոնք անպայման տեղի կունենան, անհնարին իրադարձություններ և պատահական իրադարձություններ: Հավանականությունների տեսությունը ուսումնասիրում է պատահական իրադարձությունները, այսինքն. իրադարձություններ, որոնք կարող են լինել կամ չլինել: Այս հոդվածը կներկայացվի ամփոփումհավանականությունների տեսության բանաձևեր և խնդիրների լուծման օրինակներ հավանականությունների տեսության մեջ, որոնք կլինեն մաթեմատիկայի USE-ի 4-րդ առաջադրանքում (պրոֆիլի մակարդակ):
Ինչու է մեզ անհրաժեշտ հավանականության տեսությունը
Պատմականորեն այս խնդիրների ուսումնասիրության անհրաժեշտությունն առաջացել է 17-րդ դարում՝ կապված զարգացման և մասնագիտական զարգացման հետ. Դրամախաղև կազինոյի գալուստը. Դա իրական երեւույթ էր, որը պահանջում էր իր ուսումնասիրությունն ու հետազոտությունը։
Թղթախաղը, զառախաղը, ռուլետկա խաղալը ստեղծեցին իրավիճակներ, որտեղ կարող էր տեղի ունենալ որոշակի թվով հավասարապես հավանական իրադարձություններ: Իրադարձության առաջացման հնարավորության թվային գնահատականներ տալու անհրաժեշտություն կար։
20-րդ դարում պարզ դարձավ, որ այս անլուրջ թվացող գիտությունը կարևոր դեր է խաղում միկրոտիեզերքում տեղի ունեցող հիմնարար գործընթացները հասկանալու համար: Ստեղծվել է ժամանակակից տեսությունհավանականությունները։
Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները
Հավանականությունների տեսության ուսումնասիրության առարկան իրադարձություններն են և դրանց հավանականությունները։ Եթե իրադարձությունը բարդ է, ապա այն կարելի է բաժանել պարզ բաղադրիչների, որոնց հավանականությունը հեշտ է գտնել։
A և B իրադարձությունների գումարը կոչվում է C իրադարձություն, որը բաղկացած է նրանից, որ կա՛մ իրադարձությունը, կա՛մ իրադարձությունը B, կա՛մ իրադարձությունները A և B են տեղի ունեցել միաժամանակ:
A և B իրադարձությունների արտադրյալը C իրադարձությունն է, որը բաղկացած է նրանից, որ տեղի են ունեցել և՛ A, և՛ B իրադարձությունները:
Իրադարձությունները A և B-ն անհամատեղելի են, եթե դրանք չեն կարող տեղի ունենալ միաժամանակ:
Իրադարձությունը A-ն անհնար է, եթե այն չի կարող տեղի ունենալ: Նման իրադարձությունը նշվում է խորհրդանիշով.
A իրադարձությունը կոչվում է որոշակի, եթե այն անպայման տեղի կունենա: Նման իրադարձությունը նշվում է խորհրդանիշով.
Թող յուրաքանչյուր իրադարձության A-ին վերագրվի P(A): Այս P(A) թիվը կոչվում է A իրադարձության հավանականություն, եթե այդպիսի համապատասխանությամբ բավարարվում են հետևյալ պայմանները.
Կարևոր առանձնահատուկ դեպք է այն իրավիճակը, երբ կան հավասարապես հավանական տարրական արդյունքներ, և դրանցից կամայականները ձևավորում են իրադարձությունները A: Այս դեպքում հավանականությունը կարող է ներկայացվել բանաձևով: Այս կերպ ներկայացված հավանականությունը կոչվում է դասական հավանականություն։ Կարելի է ապացուցել, որ այս դեպքում գործում են 1-4 հատկությունները:
Հավանականության տեսության խնդիրները, որոնք հանդիպում են մաթեմատիկայի քննության ժամանակ, հիմնականում կապված են դասական հավանականության հետ։ Նման առաջադրանքները կարող են լինել շատ պարզ: Հատկապես պարզ են հավանականությունների տեսության խնդիրները ցուցադրական տարբերակներ. Հեշտ է հաշվարկել բարենպաստ արդյունքների քանակը, բոլոր արդյունքների թիվը գրված է անմիջապես պայմանում:
Պատասխանը ստանում ենք ըստ բանաձևի.
Հավանականությունը որոշելու համար մաթեմատիկայի քննությունից առաջադրանքի օրինակ
Սեղանին դրված է 20 կարկանդակ՝ 5-ը՝ կաղամբով, 7-ը՝ խնձորով և 8-ը՝ բրինձով։ Մարինան ուզում է կարկանդակ վերցնել: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նա կվերցնի բրնձի տորթը:
Լուծում.
Ընդհանուր առմամբ կա 20 հավասար հավանական տարրական արդյունք, այսինքն՝ Մարինան կարող է վերցնել 20 կարկանդակներից որևէ մեկը։ Բայց մենք պետք է գնահատենք հավանականությունը, որ Մարինան կվերցնի բրնձի կոտլետը, այսինքն, որտեղ Ա-ն բրնձի կարկանդակի ընտրությունն է։ Սա նշանակում է, որ մենք ունենք ընդհանուր առմամբ 8 բարենպաստ արդյունք (ընտրելով բրնձի կարկանդակներ), այնուհետև հավանականությունը կորոշվի բանաձևով.
Անկախ, հակառակ և կամայական իրադարձություններ
Այնուամենայնիվ, առաջադրանքների բաց բանկում ավելի քան դժվար առաջադրանքներ. Ուստի ընթերցողի ուշադրությունը հրավիրենք հավանականությունների տեսության մեջ ուսումնասիրված այլ հարցերի վրա։
A և B իրադարձությունները կոչվում են անկախ, եթե դրանցից յուրաքանչյուրի հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե արդյոք տեղի է ունեցել մյուս իրադարձությունը:
B իրադարձությունը բաղկացած է նրանից, որ իրադարձություն A-ն տեղի չի ունեցել, այսինքն. Իրադարձությունը B-ն հակառակ է իրադարձության A-ին: Հակառակ իրադարձության հավանականությունը հավասար է մեկի՝ հանած ուղիղ իրադարձության հավանականությունը, այսինքն. .
Գումարման և բազմապատկման թեորեմներ, բանաձևեր
A և B կամայական իրադարձությունների համար այս իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների գումարին առանց դրանց համատեղ իրադարձության հավանականության, այսինքն. .
A և B անկախ իրադարձությունների համար այս իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին, այսինքն. այս դեպքում .
Վերջին 2 պնդումները կոչվում են հավանականությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմներ։
Արդյունքների քանակը հաշվելը միշտ չէ, որ այդքան պարզ է: Որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է օգտագործել կոմբինատորիկայի բանաձեւեր։ Ամենակարևորը որոշակի պայմաններին համապատասխանող իրադարձությունների քանակը հաշվելն է: Երբեմն նման հաշվարկները կարող են դառնալ ինքնուրույն առաջադրանքներ։
Քանի՞ ձևով կարելի է 6 աշակերտ նստեցնել 6 դատարկ նստատեղում: Առաջին աշակերտը կզբաղեցնի 6 տեղերից որևէ մեկը։ Այս տարբերակներից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է երկրորդ աշակերտին տեղավորելու 5 եղանակի։ Երրորդ աշակերտի համար նախատեսված է 4 անվճար տեղ, չորրորդինը՝ 3, հինգերորդին՝ 2, վեցերորդը կզբաղեցնի միակ մնացած տեղը։ Բոլոր տարբերակների քանակը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել արտադրանքը, որը նշվում է 6-րդ նշանով: և կարդալ «վեց գործոնային»:
Ընդհանուր դեպքում այս հարցի պատասխանը տրվում է n տարրի փոխակերպումների քանակի բանաձեւով։Մեր դեպքում՝ .
Դիտարկենք հիմա մեկ այլ դեպք մեր ուսանողների հետ: Քանի՞ ձևով կարելի է 2 աշակերտին նստեցնել 6 դատարկ նստատեղում: Առաջին աշակերտը կզբաղեցնի 6 տեղերից որևէ մեկը։ Այս տարբերակներից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է երկրորդ աշակերտին տեղավորելու 5 եղանակի։ Բոլոր տարբերակների քանակը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել ապրանքը:
Ընդհանուր դեպքում այս հարցի պատասխանը տրվում է k տարրերով n տարրերի տեղաբաշխման քանակի բանաձևով.
Մեր դեպքում.
Եվ այս շարքի վերջինը. Քանի՞ եղանակ կա 6 ուսանողներից 3-ին ընտրելու համար: Առաջին աշակերտին կարելի է ընտրել 6 եղանակով, երկրորդին՝ 5, երրորդին՝ 4 եղանակով։ Բայց այս տարբերակներից նույն երեք ուսանողները հանդիպում են 6 անգամ: Բոլոր տարբերակների քանակը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել արժեքը. Ընդհանուր դեպքում այս հարցի պատասխանը տրվում է ըստ տարրերի տարրերի համակցությունների քանակի բանաձևով.
Մեր դեպքում.
Հավանականությունը որոշելու համար մաթեմատիկայի քննությունից խնդիրների լուծման օրինակներ
Առաջադրանք 1. Ժողովածուից, խմբ. Յաշչենկո.
Ափսեի մեջ կա 30 կարկանդակ՝ 3-ը՝ մսով, 18-ը՝ կաղամբով, 9-ը՝ կեռասով։ Սաշան պատահականորեն ընտրում է մեկ կարկանդակ։ Գտեք հավանականությունը, որ նա վերջանում է բալով:
.
Պատասխան՝ 0.3:
Խնդիր 2. Ժողովածուից, խմբ. Յաշչենկո.
1000 լամպի յուրաքանչյուր խմբաքանակում՝ միջինը 20 թերի։ Գտեք հավանականությունը, որ խմբաքանակից պատահականորեն ընտրված լամպը լավ է:
Լուծում՝ սպասարկվող լամպերի քանակը 1000-20=980 է։ Այնուհետև հավանականությունը, որ խմբաքանակից պատահականորեն վերցված լամպը պիտանի կլինի.
Պատասխան՝ 0,98:
Հավանականությունը, որ ուսանող Ու.-ն մաթեմատիկայի թեստում ճիշտ է լուծել 9-ից ավելի խնդիր, 0,67 է: Հավանականությունը, որ U.-ն ճիշտ է լուծել 8-ից ավելի խնդիրներ, 0,73 է։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ U.-ն ճիշտ է լուծում ուղիղ 9 խնդիր:
Եթե պատկերացնենք թվային ուղիղ և դրա վրա նշենք 8 և 9 կետերը, ապա կտեսնենք, որ պայմանը «U. ճիշտ լուծել ուղիղ 9 խնդիր» պայմանում ներառված է «U. ճիշտ է լուծել 8-ից ավելի խնդիր», սակայն չի տարածվում «Վ. ճիշտ է լուծել ավելի քան 9 խնդիր.
Սակայն պայմանը «Ու. ճիշտ է լուծել 9-ից ավելի խնդիր» պայմանը պարունակում է «U. ճիշտ է լուծել ավելի քան 8 խնդիր. Այսպիսով, եթե իրադարձություններ նշանակենք. «Վ. ճիշտ լուծել ուղիղ 9 խնդիր»՝ Ա-ի միջոցով, «Ու. ճիշտ է լուծել 8-ից ավելի խնդիր»՝ Բ-ի միջոցով, «Ու. ճիշտ է լուծել ավելի քան 9 խնդիր «C-ի միջոցով: Այնուհետև լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը.
Պատասխան՝ 0.06:
Երկրաչափության քննության ժամանակ ուսանողը պատասխանում է քննական հարցերի ցանկից մեկ հարցի. Հավանականությունը, որ սա եռանկյունաչափության հարց է, 0,2 է: Հավանականությունը, որ սա արտաքին անկյունների հարց է, 0,15 է: Այս երկու թեմաների հետ միաժամանակ հարցեր չկան։ Գտեք հավանականությունը, որ ուսանողը քննության ընթացքում այս երկու թեմաներից մեկի վերաբերյալ հարց կստանա:
Եկեք մտածենք, թե ինչ իրադարձություններ ունենք։ Մեզ տրվում է երկու անհամատեղելի իրադարձություն. Այսինքն՝ կա՛մ հարցը վերաբերելու է «Եռանկյունաչափություն» թեմային, կա՛մ «Արտաքին անկյուններ» թեմային։ Ըստ հավանականության թեորեմի՝ անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունը հավասար է յուրաքանչյուր իրադարձության հավանականությունների գումարին, մենք պետք է գտնենք այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը, այսինքն.
Պատասխան՝ 0,35:
Սենյակը լուսավորված է երեք լամպերով լապտերով։ Մեկ տարվա ընթացքում մեկ լամպի այրվելու հավանականությունը 0,29 է։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ լամպ չի այրվի մեկ տարվա ընթացքում:
Դիտարկենք հնարավոր իրադարձությունները։ Մենք ունենք երեք լամպ, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է այրվել կամ չվառվել ցանկացած այլ լամպից անկախ: Սրանք անկախ իրադարձություններ են։
Այնուհետև կնշենք նման միջոցառումների տարբերակները։ Մենք ընդունում ենք նշումը՝ - լամպը միացված է, - լամպը այրվել է: Եվ անմիջապես հաջորդիվ հաշվում ենք իրադարձության հավանականությունը։ Օրինակ՝ տեղի է ունեցել իրադարձության հավանականությունը, երբ տեղի է ունեցել երեք անկախ իրադարձություն՝ «լամպն այրվել է», «լամպը միացված է», «լամպը միացված է».
Նախատեսեք սեմինար Տուլա քաղաքի ուսումնական հաստատության մաթեմատիկայի ուսուցիչների համար «Մաթեմատիկայում USE առաջադրանքների լուծում բաժիններից. կոմբինատորիկա, հավանականության տեսություն» թեմայով: Դասավանդման մեթոդներ»
Ժամանակի ծախսում: 12 00 ; 15 00
Գտնվելու վայրը MBOU «Թիվ 1 ճեմարան», սեն. Թիվ 8
Ի. Խնդրի լուծում հավանականության համար
1. Հավանականության դասական սահմանման վերաբերյալ խնդիրների լուծում
Մենք, որպես ուսուցիչներ, արդեն գիտենք, որ հավանականությունների տեսության մեջ USE-ի առաջադրանքների հիմնական տեսակները հիմնված են. դասական սահմանումհավանականությունները։ Հիշեք, թե ինչ է կոչվում իրադարձության հավանականություն:
Իրադարձության հավանականությունըտվյալ իրադարձությանը նպաստող արդյունքների թվի հարաբերակցությունն է արդյունքների ընդհանուր թվին:
Մաթեմատիկայի ուսուցիչների մեր գիտամեթոդական միավորումում ա ընդհանուր սխեմանխնդրի լուծում հավանականության համար: Ցանկանում եմ այն ներկայացնել ձեր ուշադրությանը։ Ի դեպ, մենք կիսվել ենք մեր աշխատանքային փորձով, և այն նյութերում, որոնք ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացրել խնդիրների լուծման համատեղ քննարկման համար, տվել ենք այս սխեման։ Այնուամենայնիվ, ես ուզում եմ դա բարձրաձայնել.
Մեր կարծիքով, այս սխեման օգնում է արագ տրամաբանորեն ամեն ինչ դնել դարակների վրա, և դրանից հետո առաջադրանքը կարող է շատ ավելի հեշտ լուծվել ինչպես ուսուցչի, այնպես էլ ուսանողների համար:
Այսպիսով, ես ուզում եմ մանրամասն վերլուծել հետեւյալ բովանդակության խնդիրը.
Ես ուզում էի զրուցել ձեզ հետ, որպեսզի բացատրեմ, թե ինչպես կարելի է նման լուծում փոխանցել տղաներին, որի ընթացքում տղաները կհասկանային այս տիպիկ առաջադրանքը, իսկ հետո նրանք իրենք կհասկանան այդ խնդիրները:
Ի՞նչ է պատահական փորձը այս խնդրի մեջ: Այժմ մենք պետք է մեկուսացնենք այս փորձի տարրական իրադարձությունը: Ո՞րն է այս տարրական իրադարձությունը: Թվարկենք դրանք։
Հարցեր տալ
Հարգելի գործընկերներ, դուք նույնպես ակնհայտորեն դիտարկել եք զառերի հետ կապված հավանականության խնդիրները։ Կարծում եմ՝ պետք է այն ապամոնտաժել, քանի որ կան որոշ նրբերանգներ։ Եկեք վերլուծենք այս խնդիրը ըստ այն սխեմայի, որը մենք առաջարկել ենք ձեզ: Քանի որ խորանարդի յուրաքանչյուր երեսին կա 1-ից 6 թվեր, տարրական իրադարձությունները 1, 2, 3, 4, 5, 6 թվերն են: Մենք գտանք, որ ընդհանուր թիվըտարրական իրադարձությունները հավասար են 6-ի: Եկեք որոշենք, թե որ տարրական իրադարձություններն են նպաստում իրադարձությանը. Այս իրադարձությանը նպաստում են միայն երկու իրադարձություններ՝ 5-ը և 6-ը (քանի որ պայմանից բխում է, որ 5 և 6 միավորները պետք է դուրս գան):
Բացատրեք, որ բոլոր տարրական իրադարձությունները հավասարապես հնարավոր են: Որո՞նք են լինելու առաջադրանքի վերաբերյալ հարցերը:
Ինչպե՞ս եք հասկանում, որ մետաղադրամը սիմետրիկ է: Եկեք հասկանանք, որ երբեմն որոշ արտահայտություններ թյուրիմացություններ են առաջացնում: Եկեք հասկանանք այս խնդիրը հայեցակարգային: Եկեք ձեզ հետ զբաղվենք այդ փորձով, որը նկարագրված է, թե ինչ տարրական արդյունքներ կարող են լինել: Պատկերացնու՞մ եք՝ որտեղ է գլուխը, որտեղ՝ պոչը։ Որո՞նք են հետևանքի տարբերակները: Կա՞ն այլ միջոցառումներ։ Որքա՞ն է միջոցառումների ընդհանուր թիվը: Ըստ խնդրի՝ հայտնի է, որ գլուխները դուրս են եկել ուղիղ մեկ անգամ։ Այսպիսով, այս իրադարձությունըտարրական իրադարձություններ այս չորս OR-ի և RO-ի օգտին, դա չի կարող տեղի ունենալ արդեն երկու անգամ: Մենք օգտագործում ենք բանաձևը, որով հայտնաբերվում է իրադարձության հավանականությունը։ Հիշեցնենք, որ Բ մասի պատասխանները պետք է լինեն կամ ամբողջ կամ տասնորդական:
Ցույց տալ ինտերակտիվ գրատախտակին: Մենք կարդում ենք առաջադրանքը. Ո՞րն է այս փորձառության տարրական արդյունքը: Հստակեցրեք, որ զույգը պատվիրված է, այսինքն՝ թիվն ընկել է առաջին դիակի վրա, իսկ երկրորդի վրա։ Ցանկացած առաջադրանքում լինում են պահեր, երբ պետք է ընտրել ռացիոնալ մեթոդներ, ձևեր և լուծումը ներկայացնել աղյուսակների, գծապատկերների և այլնի տեսքով։ Այս խնդրի դեպքում հարմար է օգտագործել նման սեղան. Ես արդեն տալիս եմ ձեզ բանտապահ լուծում, սակայն լուծման ընթացքում պարզվում է, որ այս խնդրի մեջ ռացիոնալ է օգտագործել լուծումը աղյուսակի տեսքով։ Բացատրեք, թե ինչ է նշանակում աղյուսակը: Դուք հասկանում եք, թե ինչու են սյունակներում գրված 1, 2, 3, 4, 5, 6:
Եկեք գծենք քառակուսի: Գծերը համապատասխանում են առաջին պտույտի արդյունքներին. դրանք վեցն են, քանի որ մեռնելն ունի վեց դեմք։ Ինչպես և սյուները: Յուրաքանչյուր բջիջում գրում ենք բաց թողնված միավորների գումարը։ Ցույց տվեք լրացված աղյուսակը: Գունավորենք այն բջիջները, որտեղ գումարը հավասար է ութի (ինչպես պահանջվում է պայմանում):
Հավատում եմ, որ հաջորդ խնդիրը, նախորդները վերլուծելուց հետո, կարելի է տալ տղաներին՝ ինքնուրույն լուծելու։
Հետևյալ խնդիրներում բոլոր տարրական արդյունքները գրառելու կարիք չկա։ Բավական է միայն հաշվել նրանց թիվը։
(Առանց լուծման) Ես տղաներին տվել եմ, որ այս խնդիրը ինքնուրույն լուծեն։ Խնդիրը լուծելու ալգորիթմ
1. Որոշեք, թե ինչ է պատահական փորձը, և որն է պատահական իրադարձություն:
2. Գտի՛ր տարրական իրադարձությունների ընդհանուր թիվը:
3. Մենք գտնում ենք խնդրի պայմանում նշված իրադարձությանը նպաստող իրադարձությունների թիվը:
4. Բանաձևով գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը.
Ուսանողներին կարելի է հարց տալ, եթե վաճառքի է հանվել 1000 մարտկոց, որոնցից 6-ը անսարք են, ապա ընտրված մարտկոցը որոշվում է որպես? Ի՞նչն է դա մեր առաջադրանքի մեջ։ Հաջորդը, ես հարց եմ տալիս գտնելու, թե ինչ է օգտագործվում այստեղ որպես թիվև ես առաջարկում եմ գտնել այնթիվ. Հետո հարցնում եմ՝ ի՞նչ իրադարձություն է այստեղ։ Քանի՞ կուտակիչ է կողմ միջոցառման ավարտին: Հաջորդը, օգտագործելով բանաձևը, մենք հաշվարկում ենք այս հավանականությունը:
Այստեղ երեխաներին կարելի է երկրորդ լուծում առաջարկել. Եկեք քննարկենք, թե ինչ կարող է լինել այս մեթոդը:
1. Հիմա ի՞նչ իրադարձություն կարելի է համարել։
2. Ինչպե՞ս գտնել տվյալ իրադարձության հավանականությունը:
Երեխաներին պետք է պատմել այս բանաձեւերի մասին։ Նրանք հաջորդն են
Ութերորդ առաջադրանքը երեխաներին կարելի է առաջարկել ինքնուրույն, քանի որ այն նման է վեցերորդ առաջադրանքին։ Դա նրանց կարող է առաջարկվել որպես անկախ աշխատանք, կամ քարտի վրա գրատախտակի վրա:
Այս խնդիրը կարող է լուծվել օլիմպիադայի հետ կապված, որն այժմ տեղի է ունենում։ Չնայած այն հանգամանքին, որ առաջադրանքներին մասնակցում են տարբեր միջոցառումներ, այնուամենայնիվ, առաջադրանքները բնորոշ են։
2. Հավանականությունների հաշվման ամենապարզ կանոններն ու բանաձևերը (հակառակ իրադարձություններ, իրադարձությունների գումար, իրադարձությունների արտադրյալ)
Սա առաջադրանք է ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ հավաքածու. Լուծումը դնում ենք տախտակի վրա։ Ի՞նչ հարցեր դնենք ուսանողներին այս խնդիրը վերլուծելու համար։
1. Քանի՞ գնդացիր կար: Մի անգամ երկու ավտոմատ, ապա արդեն երկու իրադարձություն կա: Երեխաներին հարցնում եմ, թե ինչ միջոցառում է լինելու? Ո՞րն է լինելու երկրորդ իրադարձությունը։
2. իրադարձության հավանականությունն է։ Մենք կարիք չունենք այն հաշվարկելու, քանի որ այն տրված է պայմանում։ Ըստ խնդրի պայմանի՝ հավանականությունը, որ «երկու ապարատներում էլ սուրճը վերջանում է», 0,12 է։ Եղել է իրադարձություն A, եղել է իրադարձություն B: Եվ հայտնվում է նոր իրադարձություն: Երեխաներին հարց եմ տալիս՝ ի՞նչ։ Սա մի իրադարձություն է, երբ երկու ավտոմատների սուրճը վերջանում է: Այս դեպքում հավանականության տեսության մեջ սա նոր իրադարձություն է, որը կոչվում է A և B երկու իրադարձությունների հատում և նշվում է այսպես.
Եկեք օգտագործենք հավանականության գումարման բանաձևը. Բանաձևը հետևյալն է
Մենք այն տալիս ենք ձեզ տեղեկատու նյութում, և տղաները կարող են տալ այս բանաձևը. Այն թույլ է տալիս գտնել իրադարձությունների գումարի հավանականությունը: Մեզ հարցրին հակառակ իրադարձության հավանականությունը, որի հավանականությունը հայտնաբերվում է բանաձեւով.
Խնդիր 13-ում օգտագործվում է իրադարձությունների արտադրյալ հասկացությունը, որի հավանականությունը գտնելու բանաձևը տրված է հավելվածում:
3. Ծառի օգտագործման առաջադրանքներ տարբերակները
Ըստ խնդրի պայմանի՝ հեշտ է կազմել դիագրամ և գտնել նշված հավանականությունները։
Ինչ օգնությամբ տեսական նյութԱյս կարգի խնդիրներ լուծելու համար աշխատե՞լ եք ուսանողների հետ: Դուք օգտագործե՞լ եք հնարավորությունների ծառը, թե՞ այլ մեթոդներ եք օգտագործել նման խնդիրների լուծման համար։ Դուք տվել եք գրաֆիկների հասկացությունը: Հինգերորդ կամ վեցերորդ դասարանում տղաները ունենում են այնպիսի խնդիրներ, որոնց վերլուծությունը տալիս է գրաֆիկների հասկացությունը։
Կցանկանայի ձեզ հարցնել՝ Դուք և Ձեր աշակերտները հավանականության խնդիրներ լուծելիս մտածե՞լ եք օգտագործելու հնարավորությունների ծառը։ Փաստն այն է, որ USE-ն ոչ միայն ունի նման առաջադրանքներ, այլ բավականին բարդ առաջադրանքներ են հայտնվել, որոնք մենք հիմա կլուծենք։
Եկեք ձեզ հետ քննարկենք նման խնդիրների լուծման մեթոդաբանությունը. եթե դա համընկնում է իմ մեթոդաբանության հետ, ինչպես ես բացատրում եմ տղաներին, ապա ինձ համար ավելի հեշտ կլինի աշխատել ձեզ հետ, եթե ոչ, ապա ես ձեզ կօգնեմ լուծել այս խնդիրը:
Եկեք քննարկենք իրադարձությունները։ Ի՞նչ իրադարձություններ կարելի է բացահայտել խնդրի 17-ում:
Հարթության վրա ծառ կառուցելիս նշանակվում է մի կետ, որը կոչվում է ծառի արմատ։ Հաջորդը, մենք սկսում ենք դիտարկել իրադարձություններըԵվ. Մենք կկառուցենք հատված (հավանականությունների տեսության մեջ այն կոչվում է ճյուղ): Պայմանն ասում է, որ առաջին գործարանն արտադրում է 30% Բջջային հեռախոսներըայս բրենդը (ի՞նչ. Իրենց արտադրածը), այսպես այս պահինՈւսանողներին հարցնում եմ՝ ինչքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջին գործարանը թողարկի այս ապրանքանիշի հեռախոսներ, որոնք իրենք են արտադրում։ Քանի որ իրադարձությունը հեռախոսի թողարկումն է առաջին գործարանում, այս իրադարձության հավանականությունը 30% է կամ 0,3: Մնացած հեռախոսները արտադրվում են երկրորդ գործարանում. մենք կառուցում ենք երկրորդ հատվածը, և այս իրադարձության հավանականությունը 0,7 է։
Ուսանողներին հարց է տրվում՝ ինչպիսի՞ հեռախոս կարող է արտադրել առաջին գործարանը: Թերությամբ կամ առանց թերության։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջին գործարանի արտադրած հեռախոսը թերություն ունի։ Ըստ պայմանի՝ ասվում է, որ այն հավասար է 0,01-ի։ Հարց. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջին գործարանի արտադրած հեռախոսը թերություն չունի։ Քանի որ այս իրադարձությունը հակառակ է տրվածին, դրա հավանականությունը հավասար է։
Պահանջվում է գտնել հեռախոսի թերի լինելու հավանականությունը։ Կարող է առաջին գործարանից է, կամ երկրորդից։ Այնուհետև մենք օգտագործում ենք հավանականությունների գումարման բանաձևը և ստանում ենք, որ ամբողջ հավանականությունը այն հավանականությունների գումարն է, որ հեռախոսը թերի է առաջին գործարանից, և որ հեռախոսը թերի է երկրորդ գործարանից: Հավանականությունը, որ հեռախոսն ունի թերություն և արտադրվել է առաջին գործարանում, հայտնաբերվում է հավանականությունների արտադրյալի բանաձևով, որը տրված է հավելվածում։
4. Ամենաներից մեկը դժվար առաջադրանքներ USE բանկից հավանականության համար
Վերլուծենք, օրինակ, FIPI Task Bank-ի թիվ 320199-ը։ Սա B6-ի ամենադժվար առաջադրանքներից մեկն է:
«Լեզվաբանություն» մասնագիտությամբ ինստիտուտ ընդունվելու համար դիմորդ Զ.-ն պետք է միասնական պետական քննությունից երեք առարկաներից յուրաքանչյուրից՝ մաթեմատիկա, ռուսաց լեզու և օտար լեզու, հավաքի առնվազն 70 միավոր: «Առեւտուր» մասնագիտություն ընդունվելու համար երեք առարկաներից յուրաքանչյուրում՝ մաթեմատիկա, ռուսաց լեզու և հասարակագիտություն, պետք է հավաքել առնվազն 70 միավոր։
Հավանականությունը, որ դիմորդ Զ.-ն մաթեմատիկայից կստանա առնվազն 70 միավոր, 0,6 է, ռուսերենում՝ 0,8, ք. օտար լեզու- 0,7 իսկ հասարակագիտության մեջ` 0,5:
Գտե՛ք հավանականությունը, որ Զ.-ն կկարողանա ընդունվել նշված երկու մասնագիտություններից գոնե մեկը։
Նկատենք, որ խնդիրը չի հարցնում, թե Զ. անունով դիմորդը միաժամանակ և՛ լեզվաբանություն, և՛ կոմերցիա կսովորի և ստանա երկու դիպլոմ։ Այստեղ պետք է գտնել այն հավանականությունը, որ Զ. պահանջվող գումարըմիավորներ.
Երկու մասնագիտություններից գոնե մեկը ընդունվելու համար մաթեմատիկայից առնվազն 70 միավոր պետք է հավաքի Զ. Եվ ռուսերեն. Եվ այնուամենայնիվ՝ հասարակագիտություն, թե արտասահմանյան։
Նրա համար մաթեմատիկայից 70 միավոր հավաքելու հավանականությունը 0,6 է։
Մաթեմատիկայից և ռուսերենից միավորներ հավաքելու հավանականությունը հավասար է։
Եկեք զբաղվենք արտասահմանյան և հասարակական ուսումնասիրություններով։ Տարբերակները մեզ հարմար են, երբ դիմորդը միավորներ է հավաքել հասարակագիտության, օտար լեզվի կամ երկուսի մեջ: Տարբերակը հարմար չէ, երբ նա միավորներ չի հավաքել ո՛չ լեզվով, ո՛չ «հասարակությամբ»։ Սա նշանակում է, որ սոցիալական կամ արտասահմանյան կրթություն ստանալու հավանականությունը առնվազն 70 միավոր է։ Արդյունքում հավասարվում է մաթեմատիկա, ռուսաց և հասարակագիտական կամ արտասահմանյան հանձնելու հավանականությունը
Սա է պատասխանը։
II . Համակցված խնդիրների լուծում
1. Համակցությունների և ֆակտորիաների քանակը
Համառոտ վերլուծենք տեսական նյութը։
Արտահայտությունn ! կարդում է «en-factorial» և նշանակում է բոլորի արտադրյալը բնական թվեր 1-ից մինչևn ներառական:n ! = 1 2 3 ...n .
Բացի այդ, մաթեմատիկայի մեջ, ըստ սահմանման, համարվում է, որ 0! = 1. Նման արտահայտությունը հազվադեպ է, բայց այնուամենայնիվ հանդիպում է հավանականությունների տեսության խնդիրներում:
Սահմանում
Թող լինեն առարկաներ (մատիտներ, քաղցրավենիք, ինչ էլ որ լինի), որոնցից պահանջվում է ընտրել ճիշտ տարբեր առարկաներ։ Այնուհետև կոչվում է նման ընտրության տարբերակների քանակըհամակցությունների քանակը տարրերից։ Այս թիվը նշվում և հաշվարկվում է հատուկ բանաձևով.
Նշանակում
Ի՞նչ է տալիս մեզ այս բանաձեւը: Իրականում գրեթե ոչ մի լուրջ խնդիր առանց դրա հնարավոր չէ լուծել։
Ավելի լավ հասկանալու համար եկեք վերլուծենք մի քանի պարզ կոմբինատոր խնդիրներ.
Առաջադրանք
Բարմենն ունի կանաչ թեյի 6 տեսակ։ Թեյի արարողության համար անհրաժեշտ է ներկայացնել կանաչ թեյճիշտ 3 տարբեր սորտեր. Քանի՞ եղանակով կարող է բարմենը կատարել պատվերը:
Լուծում
Այստեղ ամեն ինչ պարզ է՝ կաn = 6 սորտեր ընտրելու համարկ = 3 սորտեր: Համակցությունների քանակը կարելի է գտնել բանաձևով.
Պատասխանել
Բանաձևում փոխարինել. Մենք չենք կարող լուծել բոլոր խնդիրները, բայց բնորոշ առաջադրանքներգրել ենք, դրանք ներկայացնում ենք ձեր ուշադրությանը։
Առաջադրանք
20 ուսանողներից բաղկացած խմբում պետք է ընտրվեն 2 ներկայացուցիչներ՝ համաժողովին ելույթ ունենալու համար: Քանի՞ եղանակով կարելի է դա անել:
Լուծում
Կրկին, այն ամենը, ինչ ունենքn = 20 ուսանող, բայց դուք պետք է ընտրեքկ = 2 ուսանող: Գտեք համակցությունների քանակը.
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տարբեր գործոններում ներառված գործոնները նշված են կարմիրով: Այս բազմապատկիչները կարող են ցավազուրկ կրճատվել և դրանով իսկ զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկների ընդհանուր քանակը:
Պատասխանել
190
Առաջադրանք
Պահեստ է բերվել տարբեր արատներով 17 սերվեր, որոնք սովորական սերվերներից 2 անգամ էժան են։ Տնօրենը դպրոցի համար գնել է 14 այդպիսի սերվեր, իսկ խնայված գումարը՝ 200 000 ռուբլի, ծախսել է այլ սարքավորումների ձեռքբերման վրա։ Քանի՞ ձևով կարող է տնօրենն ընտրել թերի սերվերներ:
Լուծում
Առաջադրանքում բավականին շատ լրացուցիչ տվյալներ կան, որոնք կարող են շփոթեցնել: Մեծ մասը կարևոր փաստեր:Ամեն ինչ կաn = 17 սերվեր, և տնօրենին անհրաժեշտ էկ = 14 սերվեր: Մենք հաշվում ենք համակցությունների քանակը.
Կարմիր գույնը կրկին ցույց է տալիս այն բազմապատկիչները, որոնք կրճատվում են: Ընդհանուր առմամբ, ստացվել է 680 համակցություն։ Ընդհանրապես, տնօրենը ընտրելու շատ բան ունի։
Պատասխանել
680
Այս առաջադրանքը քմահաճ է, քանի որ այս առաջադրանքում լրացուցիչ տվյալներ կան: Նրանք շփոթեցնում են շատ ուսանողների ճիշտ որոշում. Ընդհանուր առմամբ կար 17 սերվեր, և տնօրենը պետք է ընտրեր 14-ը: Փոխարինելով բանաձևին, մենք ստանում ենք 680 համակցություն:
2. Բազմապատկման օրենք
Սահմանում
բազմապատկման օրենք կոմբինատորիկայի մեջ՝ անկախ բազմություններում բազմապատկվում է կոմբինացիաների թիվը (ճանապարհներ, համակցություններ):
Այսինքն՝ թող լինիԱ մեկ գործողություն կատարելու եղանակներ ևԲ այլ գործողություն կատարելու եղանակներ. Ճանապարհը նույնպես այս գործողությունները անկախ են, այսինքն. ոչ մի կերպ կապված չէ: Այնուհետև կարող եք գտնել առաջին և երկրորդ գործողությունները կատարելու եղանակների քանակը բանաձևով.Գ = Ա · Բ .
Առաջադրանք
Պետյան ունի 4 մետաղադրամ 1-ական ռուբլով և 2 մետաղադրամ 10-ական ռուբլով: Պետյան, առանց նայելու, գրպանից հանեց 1 մետաղադրամ՝ 1 ռուբլի անվանական արժեքով և ևս 1 մետաղադրամ՝ 10 ռուբլի անվանական արժեքով, 11 ռուբլով գրիչ գնելու համար։ Քանի՞ եղանակով նա կարող է ընտրել այս մետաղադրամները:
Լուծում
Այսպիսով, նախ Պետյան ստանում էկ = 1 մետաղադրամիցn = 4 մատչելի մետաղադրամ 1 ռուբլի անվանական արժեքով: Դա անելու եղանակների քանակը հետևյալն էԳ 4 1 = ... = 4.
Այնուհետև Պետյան նորից ձեռքը դնում է գրպանը և հանումկ = 1 մետաղադրամիցn = 2 մատչելի մետաղադրամ 10 ռուբլի անվանական արժեքով: Ահա համակցությունների քանակըԳ 2 1 = ... = 2.
Քանի որ այս գործողությունները անկախ են, տարբերակների ընդհանուր թիվըԳ = 4 2 = 8:
Պատասխանել
Առաջադրանք
Զամբյուղում կա 8 սպիտակ և 12 սև գնդակ: Քանի՞ եղանակով կարող եք այս զամբյուղից ստանալ 2 սպիտակ և 2 սև գնդակ:
Լուծում
Ընդամենը զամբյուղումn = 8 սպիտակ գնդակներ ընտրելու համարկ = 2 գնդակ: Դա կարելի է անելԳ 8 2 = ... = 28 տարբեր եղանակներ:
Բացի այդ, սայլը պարունակում էn = 12 սև գնդակներ նորից ընտրելու համարկ = 2 գնդակ: Դա անելու եղանակների քանակը հետևյալն էԳ 12 2 = ... = 66.
Քանի որ սպիտակ գնդակի ընտրությունը և սևի ընտրությունը անկախ իրադարձություններ են, համակցությունների ընդհանուր թիվը հաշվարկվում է բազմապատկման օրենքի համաձայն.Գ = 28 66 = 1848. Ինչպես տեսնում եք, կարող են լինել բավականին շատ տարբերակներ:
Պատասխանել
1848
Բազմապատկման օրենքը ցույց է տալիս, թե քանի եղանակով կարող եք կատարել բարդ գործողություն, որը բաղկացած է երկու կամ ավելի պարզից, պայմանով, որ դրանք բոլորն անկախ են:
3. Լրացման օրենք
Եթե բազմապատկման օրենքը գործում է «մեկուսացված» իրադարձությունների վրա, որոնք կախված չեն միմյանցից, ապա գումարման օրենքում ճիշտ հակառակն է։ Այն վերաբերում է միմյանց բացառող իրադարձություններին, որոնք երբեք չեն լինում միաժամանակ:
Օրինակ՝ «Պետրը գրպանից հանեց 1 մետաղադրամ» և «Պետրը գրպանից ոչ մի մետաղադրամ հանեց» իրարամերժ իրադարձություններ են, քանի որ անհնար է մեկ մետաղադրամ հանել առանց որևէ մեկը հանելու։
Նմանապես, «Պատահական ընտրված գնդակ՝ սպիտակ» և «Պատահականորեն ընտրված գնդակ՝ սև» իրադարձությունները նույնպես փոխադարձ բացառիկ են։
Սահմանում
Լրացուցիչ օրենք կոմբինատորիկայի մեջ. եթե կարելի է կատարել երկու իրարամերժ գործողություններԱ ԵվԲ ուղիները, համապատասխանաբար, կարելի է համատեղել այդ իրադարձությունները: Սա կստեղծի նոր իրադարձություն, որը կարող է իրականացվելX = Ա + Բ ուղիները.
Այսինքն՝ փոխբացառող գործողություններ (միջոցառումներ, տարբերակներ) համատեղելիս գումարվում է դրանց համակցությունների թիվը։
Կարելի է ասել, որ գումարման օրենքը կոմբինատորիկայի մեջ տրամաբանական «ԿԱՄ» է, երբ մեզ հարմար է փոխադարձ բացառող տարբերակներից որևէ մեկը։ Ընդհակառակը, բազմապատկման օրենքը տրամաբանական «ԵՎ» է, որում մեզ հետաքրքրում է և՛ առաջին, և՛ երկրորդ գործողությունների միաժամանակյա կատարումը։
Առաջադրանք
Զամբյուղում կա 9 սև և 7 կարմիր գնդակ: Տղան հանում է նույն գույնի 2 գնդակ։ Քանի՞ ձևով կարող է նա դա անել:
Լուծում
Եթե գնդակները նույն գույնի են, ապա տարբերակները քիչ են՝ երկուսն էլ սև են, կամ կարմիր։ Ակնհայտ է, որ այս տարբերակները միմյանց բացառող են։
Առաջին դեպքում տղան պետք է ընտրիկ = 2 սև գնդակիցn = 9 մատչելի: Դա անելու եղանակների քանակը հետևյալն էԳ 9 2 = ... = 36.
Նմանապես, երկրորդ դեպքում մենք ընտրում ենքկ = 2 կարմիր գնդակիցn = 7 հնարավոր է: Ճանապարհների քանակն էԳ 7 2 = ... = 21.
Մնում է գտնել ուղիների ընդհանուր թիվը: Քանի որ սև և կարմիր գնդիկներով տարբերակները միմյանց բացառող են, ըստ գումարման օրենքի մենք ունենք.X = 36 + 21 = 57.
Պատասխանել57
Առաջադրանք
Տաղավարում վաճառվում է 15 վարդ և 18 կակաչ։ 9-րդ դասարանի աշակերտը ցանկանում է իր դասընկերոջ համար գնել 3 ծաղիկ, և բոլոր ծաղիկները պետք է նույնը լինեն։ Քանի՞ ձևով կարող է նա նման ծաղկեփունջ պատրաստել:
Լուծում
Ըստ պայմանի՝ բոլոր ծաղիկները պետք է նույնը լինեն։ Այսպիսով, մենք կգնենք կամ 3 վարդ, կամ 3 կակաչ։ Ինչևէ,կ = 3.
Վարդերի դեպքում դուք ստիպված կլինեք ընտրություն կատարելn = 15 տարբերակ, ուստի համակցությունների թիվը կազմում էԳ 15 3 = ... = 455. Կակաչների համարn = 18, իսկ համակցությունների քանակը -Գ 18 3 = ... = 816.
Քանի որ վարդերն ու կակաչները միմյանց բացառող տարբերակներ են, մենք աշխատում ենք հավելման օրենքի համաձայն։ Ստացեք ընտրանքների ընդհանուր քանակըX = 455 + 816 = 1271. Սա պատասխանն է:
Պատասխանել
1271
Լրացուցիչ պայմաններ և սահմանափակումներ
Շատ հաճախ խնդրի տեքստում կան լրացուցիչ պայմաններ, որոնք էական սահմանափակումներ են դնում մեզ հետաքրքրող համակցությունների վրա։ Համեմատեք երկու նախադասություն.
Առկա է 5 գրիչների հավաքածու տարբեր գույներ. Քանի՞ եղանակով կարելի է ընտրել 3 հարվածային բռնակներ:
Առկա է տարբեր գույների 5 գրիչների հավաքածու։ Քանի՞ եղանակով կարելի է ընտրել 3 հարվածային բռնակներ, եթե դրանցից մեկը պետք է լինի կարմիր:
Առաջին դեպքում մենք իրավունք ունենք վերցնելու ցանկացած գույն, որը մեզ դուր է գալիս. լրացուցիչ սահմանափակումներ չկան: Երկրորդ դեպքում ամեն ինչ ավելի բարդ է, քանի որ մենք պետք է ընտրենք կարմիր բռնակ (ենթադրվում է, որ այն գտնվում է սկզբնական հավաքածուում):
Ակնհայտ է, որ ցանկացած սահմանափակում կտրուկ նվազեցնում է տարբերակների ընդհանուր թիվը: Այսպիսով, ինչպե՞ս կարող եք գտնել համակցությունների քանակը այս դեպքում: Պարզապես հիշիր հաջորդ կանոնը:
Թող լինի մի շարքn տարրեր ընտրելու համարկ տարրեր. Թվային հավելյալ սահմանափակումների ներդրմամբn Եվկ նույնքանով նվազել։
Այլ կերպ ասած, եթե ձեզ անհրաժեշտ է ընտրել 5 գրիչներից 3-ը, և դրանցից մեկը պետք է լինի կարմիր, ապա դուք պետք է ընտրեք.n = 5 − 1 = 4 տարր ըստկ = 3 − 1 = 2 տարր: Այսպիսով, փոխարենԳ 5 3 պետք է հաշվի առնելԳ 4 2 .
Այժմ տեսնենք, թե ինչպես է գործում այս կանոնը կոնկրետ օրինակներ:
Առաջադրանք
20 ուսանողներից բաղկացած խմբում, այդ թվում՝ 2 գերազանցիկ, անհրաժեշտ է ընտրել 4 հոգու համաժողովին մասնակցելու համար։ Քանի՞ ձևով կարելի է ընտրել այս չորսը, եթե գերազանց ուսանողները պետք է հասնեն համաժողովին:
Լուծում
Այսպիսով, կա մի խումբn = 20 ուսանող: Բայց դուք պարզապես պետք է ընտրեքկ = դրանցից 4-ը: Եթե լրացուցիչ սահմանափակումներ չկային, ապա տարբերակների թիվը հավասար էր համակցությունների քանակինԳ 20 4 .
Այնուամենայնիվ, մեզ տրվեց լրացուցիչ պայմանԱյս չորսի մեջ պետք է լինի 2 պարգև: Այսպիսով, վերը նշված կանոնի համաձայն, մենք կրճատում ենք թվերըn Եվկ կողմից 2. Մենք ունենք.
Պատասխանել
153
Առաջադրանք
Պետյայի գրպանում կա 8 մետաղադրամ, որից 6-ը ռուբլու, իսկ 2-ը՝ 10 ռուբլու մետաղադրամ։ Պետյան երեք մետաղադրամ է տեղափոխում մեկ այլ գրպան: Քանի՞ կերպ կարող է Պետյան դա անել, եթե հայտնի է, որ երկու 10 ռուբլու մետաղադրամներն էլ հայտնվել են մեկ այլ գրպանում։
Լուծում
Այսպիսով, կաn = 8 մետաղադրամ: Պետյան հերթափոխվում էկ = 3 մետաղադրամ, որից 2-ը տասը ռուբլի է: Ստացվում է, որ փոխանցվող 3 մետաղադրամներից 2-ն արդեն ֆիքսված են, ուստի թվերը.n Եվկ պետք է կրճատվի 2-ով Ունենք.
Պատասխանել
III . Համակցված խնդիրների լուծում կոմբինատորիկայի և հավանականությունների տեսության բանաձևերի կիրառման վերաբերյալ
Առաջադրանք
Պետյայի գրպանում կար 4 ռուբլու մետաղադրամ և 2 2 ռուբլու մետաղադրամ։ Պետյան, առանց նայելու, մի երեք մետաղադրամ տեղափոխեց մեկ այլ գրպան։ Գտեք հավանականությունը, որ երկու ռուբլիանոց մետաղադրամները գտնվում են նույն գրպանում:
Լուծում
Ենթադրենք, որ երկու ռուբլու մետաղադրամներն էլ իսկապես հայտնվել են նույն գրպանում, ապա հնարավոր է 2 տարբերակ՝ կա՛մ Պետյան ընդհանրապես չի տեղափոխել դրանք, կա՛մ երկուսն էլ միանգամից տեղաշարժել է։
Առաջին դեպքում, երբ երկու ռուբլիանոց մետաղադրամներ չեն փոխանցվել, պետք է փոխանցել 3 ռուբլու մետաղադրամ։ Քանի որ ընդհանուր առմամբ կան 4 նման մետաղադրամներ, դա անելու եղանակների թիվը հավասար է 4-ի 3-ի համակցությունների թվին.Գ 4 3 .
Երկրորդ դեպքում, երբ երկու ռուբլու մետաղադրամներն էլ փոխանցվել են, պետք է փոխանցվի ևս մեկ ռուբլու մետաղադրամ։ Այն պետք է ընտրվի 4 գոյություն ունեցողներից, և դա անելու եղանակների քանակը հավասար է 4-ից 1 համակցությունների թվին.Գ 4 1 .
Այժմ եկեք գտնենք մետաղադրամները տեղափոխելու ուղիների ընդհանուր թիվը: Քանի որ ընդհանուր առմամբ կա 4 + 2 = 6 մետաղադրամ, և դրանցից միայն 3-ը պետք է ընտրել, տարբերակների ընդհանուր թիվը հավասար է 6-ից 3 համակցությունների քանակին.Գ 6 3 .
Մնում է գտնել հավանականությունը.
Պատասխանել
0,4
Ցույց տալ ինտերակտիվ գրատախտակին: Ուշադրություն դարձրեք, որ, ըստ խնդրի պայմանի, Պետյան, առանց նայելու, երեք մետաղադրամ տեղափոխել է մեկ գրպան։ Այս հարցին պատասխանելիս կարելի է ենթադրել, որ երկու ռուբլիանոց երկու մետաղադրամ իսկապես մնացել է մեկ գրպանում։ Տե՛ս հավանականությունների գումարման բանաձևը: Նորից ցույց տվեք բանաձևը:
Առաջադրանք
Պետյայի գրպանում կար 5 ռուբլու 2 մետաղադրամ և 10 ռուբլու 4 մետաղադրամ։ Պետյան, առանց նայելու, մի 3 մետաղադրամ տեղափոխեց մեկ այլ գրպան։ Գտեք հավանականությունը, որ հինգ ռուբլու մետաղադրամներն այժմ գտնվում են տարբեր գրպաններում:
Լուծում
Որպեսզի հինգ ռուբլու մետաղադրամները տարբեր գրպաններում պառկեն, դուք պետք է տեղափոխեք դրանցից միայն մեկը: Դա անելու եղանակների թիվը հավասար է 2-ից 1-ի համակցությունների թվին.Գ 2 1 .
Քանի որ Պետյան ընդհանուր առմամբ փոխանցել է 3 մետաղադրամ, նա պետք է փոխանցի ևս 2 մետաղադրամ՝ յուրաքանչյուրը 10 ռուբլի: Պետյան ունի 4 այդպիսի մետաղադրամ, ուստի ուղիների քանակը հավասար է 4-ից 2-ի համակցությունների թվին.Գ 4 2 .
Մնում է պարզել, թե քանի տարբերակ կա 6-ից 3 մետաղադրամը տեղափոխելու համար: Այս թիվը, ինչպես նախորդ խնդիրում, հավասար է 6-ից 3 համակցությունների թվին.Գ 6 3 .
Գտեք հավանականությունը.
Վերջին քայլում մենք բազմապատկեցինք երկու ռուբլու մետաղադրամներ ընտրելու եղանակների քանակը և տասը ռուբլիանոց մետաղադրամներ ընտրելու եղանակների քանակը, քանի որ այս իրադարձությունները անկախ են:
Պատասխանել
0,6
Այսպիսով, մետաղադրամների հետ կապված խնդիրներն ունեն իրենց հավանականության բանաձևը: Այն այնքան պարզ և կարևոր է, որ կարելի է ձևակերպել որպես թեորեմ։
Թեորեմ
Թող մետաղադրամը նետվիn մեկ անգամ. Այնուհետև հավանականությունը, որ գլուխները ճիշտ վայրէջք կատարենկ ժամանակները կարելի է գտնել բանաձևով.
ՈրտեղԳ n կ -ի համակցությունների քանակըn տարրեր ըստկ , որը հաշվարկվում է բանաձևով.
Այսպիսով, մետաղադրամների հետ կապված խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է երկու թիվ՝ նետումների քանակը և գլխի քանակը։ Ամենից հաճախ այդ թվերը տրվում են անմիջապես խնդրի տեքստում: Ընդ որում, կարևոր չէ, թե կոնկրետ ինչ հաշվել՝ պոչե՞ր, թե՞ արծիվներ։ Պատասխանը նույնն է լինելու.
Առաջին հայացքից թեորեմը չափազանց ծանր է թվում: Բայց արժե մի փոքր պրակտիկա, և դուք այլևս չեք ցանկանում վերադառնալ վերը նկարագրված ստանդարտ ալգորիթմին:
Մետաղադրամը նետվում է չորս անգամ։ Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները կբարձրանան ուղիղ երեք անգամ:
Լուծում
Ըստ խնդրի պայմանի՝ նետումների ընդհանուր թիվը եղել էn = 4. Գլուխների պահանջվող քանակը.կ = 3. Փոխարինողn Եվկ բանաձևի մեջ.
Նույն հաջողությամբ կարող եք հաշվել պոչերի քանակը.կ = 4 − 3 = 1. Պատասխանը կլինի նույնը:
Պատասխանել
0,25
Առաջադրանք [ Աշխատանքային տետր«Օգտագործեք 2012թ. մաթեմատիկայի մեջ. Առաջադրանքներ B6»]
Մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ։ Գտեք հավանականությունը, որ այն երբեք չի բարձրանա:
Լուծում
Նորից դուրս գրել թվերըn Եվկ . Քանի որ մետաղադրամը նետվում է 3 անգամ,n = 3. Եվ քանի որ պոչեր չպետք է լինեն,կ = 0. Մնում է փոխարինել թվերըn Եվկ բանաձևի մեջ.
Հիշեցնեմ, որ 0! = 1 ըստ սահմանման: Ահա թե ինչուԳ 3 0 = 1.
Պատասխանել
0,125
Առաջադրանք [ Փորձնական ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄմաթեմատիկայի մեջ 2012. Իրկուտսկ]
Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է 4 անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները ավելի շատ են բարձրանալու, քան պոչերը:
Լուծում
Որպեսզի գլուխներն ավելի շատ լինեն, քան պոչերը, դրանք պետք է ընկնեն կամ 3 անգամ (այնուհետև կլինի 1 պոչ), կամ 4 (ապա պոչ ընդհանրապես չի լինի): Գտնենք այս իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունը։
Թող լինիէջ 1 - հավանականությունը, որ գլուխները դուրս կգան 3 անգամ: Հետոn = 4, կ = 3. Մենք ունենք.
Հիմա եկեք գտնենքէջ 2 - հավանականությունը, որ գլուխները դուրս կգան բոլոր 4 անգամները: Այս դեպքումn = 4, կ = 4. Մենք ունենք.
Պատասխանը ստանալու համար մնում է ավելացնել հավանականություններըէջ 1 Եվէջ 2 . Հիշեք. դուք կարող եք միայն հավանականություններ ավելացնել փոխադարձ բացառող իրադարձությունների համար: Մենք ունենք:
էջ = էջ 1 + էջ 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Պատասխանել
0,3125
Որպեսզի խնայեք ձեր ժամանակը, երբ տղաների հետ պատրաստվում եք միասնական պետական քննությանը և GIA-ին, մենք ներկայացրել ենք շատ այլ խնդիրների լուծումներ, որոնք դուք կարող եք ընտրել և լուծել տղաների հետ:
GIA-ի նյութեր, Տարբեր տարիների միասնական պետական քննություն, դասագրքեր և կայքեր.
IV. Հղման նյութ
Դաս-դասախոսություն «հավանականությունների տեսություն» թեմայով.
Առաջադրանք թիվ 4 քննությունից 2016 թ.
պրոֆիլի մակարդակ:
1 Խումբ:Դասական հավանականության բանաձևի օգտագործման առաջադրանքներ.
- Վարժություն 1.Տաքսի ընկերությունն ունի 60 մատչելի մեքենաներ; Դրանցից 27-ը սև են՝ կողքերին դեղին մակագրություններով, մնացածը՝ սև դեղին գույնսև տառերով։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահական զանգով կժամանի սև մակագրություններով դեղին մեքենա:
- Առաջադրանք 2.Միշան, Օլեգը, Նաստյան և Գալյան վիճակ են գցել՝ ով պետք է սկսի խաղը: Գտեք հավանականությունը, որ Գալյան չի սկսի խաղը։
- Առաջադրանք 3.Միջին հաշվով, վաճառված 1000 այգու պոմպերից 7-ը արտահոսում են: Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված մեկ պոմպը չի արտահոսում:
- Առաջադրանք 4.Քիմիայի տոմսերի հավաքածուում ընդամենը 15 տոմս կա, 6-ում՝ «Թթուներ» թեմայով։ Քննության ժամանակ պատահականորեն ընտրված տոմսում գտե՛ք հավանականությունը, որ ուսանողը կստանա հարց «Թթուներ» թեմայով:
- Առաջադրանք 5.Ջրացատկի առաջնությունում հանդես են գալիս 45 մարզիկներ, որոնցից 4 ջրացատկորդներ Իսպանիայից և 9 ջրացատկորդներ ԱՄՆ-ից։ Ներկայացումների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ քսանչորրորդ ցատկողը կլինի ԱՄՆ-ից։
- Առաջադրանք 6.Գիտաժողովն անցկացվում է 3 օրում։ Նախատեսված է ընդհանուր առմամբ 40 հաշվետվություն՝ 8 հաշվետվություն առաջին օրը, մնացածը հավասարապես բաշխվում են երկրորդ և երրորդ օրերի միջև։ Հաշվետվությունների հերթականությունը որոշվում է վիճակահանությամբ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կնշանակվի գիտաժողովի վերջին օրը։
- Վարժություն 1.Թենիսի առաջնության առաջին փուլի մեկնարկից առաջ մասնակիցները վիճակահանությամբ պատահականության սկզբունքով բաժանվում են խաղային զույգերի։ Ընդհանուր առմամբ առաջնությանը մասնակցում է 26 թենիսիստ, այդ թվում՝ 9 մասնակից Ռուսաստանից, այդ թվում՝ Տիմոֆեյ Տրուբնիկովը։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին փուլում Տիմոֆեյ Տրուբնիկովը կխաղա Ռուսաստանից ցանկացած թենիսիստի։
- Առաջադրանք 2.Բադմինտոնի առաջնության առաջին փուլի մեկնարկից առաջ մասնակիցները վիճակահանությամբ պատահականության սկզբունքով բաժանվում են խաղային զույգերի։ Ընդհանուր առմամբ առաջնությանը մասնակցում է 76 բադմինտոնիստ, այդ թվում՝ 22 մարզիկ Ռուսաստանից, այդ թվում՝ Վիկտոր Պոլյակովը։ Գտեք հավանականությունը, որ առաջին փուլում Վիկտոր Պոլյակովը կխաղա Ռուսաստանից ցանկացած բադմինտոնիստի հետ։
- Առաջադրանք 3.Դասարանում սովորում է 16 աշակերտ, որոնցից երկու ընկեր՝ Օլեգը և Միխայիլը։ Դասարանը պատահականության սկզբունքով բաժանվում է 4 հավասար խմբերի։ Գտեք հավանականությունը, որ Օլեգը և Միխայիլը կլինեն նույն խմբում։
- Առաջադրանք 4.Դասարանում սովորում է 33 աշակերտ, որոնցից երկու ընկերներ՝ Անդրեյն ու Միխայիլը։ Աշակերտները պատահականության սկզբունքով բաժանվում են 3 հավասար խմբերի. Գտեք հավանականությունը, որ Անդրեյն ու Միխայիլը կլինեն նույն խմբում։
- Վարժություն 1:Կերամիկական սպասքի արտադրամասում արտադրված ափսեների 20%-ը թերի է։ Արտադրանքի որակի հսկողության ընթացքում հայտնաբերվում են թերի թիթեղների 70%-ը։ Մնացած ափսեները վաճառվում են։ Գտեք հավանականությունը, որ գնման պահին պատահականորեն ընտրված ափսեը թերություններ չունի: Կլորացրեք ձեր պատասխանը մինչև հարյուրերորդականը:
- Առաջադրանք 2.Կերամիկական սպասքի գործարանում արտադրված ափսեների 30%-ը թերի է։ Արտադրանքի որակի հսկողության ժամանակ հայտնաբերվում են թերի թիթեղների 60%-ը։ Մնացած ափսեները վաճառվում են։ Գտեք հավանականությունը, որ գնման պահին պատահականորեն ընտրված ափսեը թերի է: Կլորացրեք ձեր պատասխանը մինչև հարյուրերորդականը:
- Առաջադրանք 3:Երկու գործարան արտադրում են նույն ապակի մեքենաների լուսարձակների համար։ Առաջին գործարանն արտադրում է այս ակնոցների 30%-ը, երկրորդը՝ 70%-ը։ Առաջին գործարանն արտադրում է թերի ակնոցների 3%-ը, իսկ երկրորդը՝ 4%-ը։ Գտեք հավանականությունը, որ խանութից պատահաբար գնված բաժակը թերի կլինի։
2 Խումբ:գտնել հակառակ իրադարձության հավանականությունը.
- Վարժություն 1.Պրոֆեսիոնալ հրաձիգի համար 20 մ հեռավորությունից թիրախի կենտրոնին խոցելու հավանականությունը 0,85 է։ Գտեք թիրախի կենտրոնին չհարվածելու հավանականությունը:
- Առաջադրանք 2. 67 մմ տրամագծով առանցքակալներ արտադրելիս հավանականությունը, որ տրամագիծը նշվածից կտարբերվի 0,01 մմ-ից պակաս, կազմում է 0,965: Գտեք հավանականությունը, որ պատահական առանցքակալը կունենա 66,99 մմ-ից պակաս կամ 67,01 մմ-ից մեծ տրամագիծ:
3 Խումբ:Անհամատեղելի իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացման հավանականության հայտնաբերում. Հավանականության գումարման բանաձև.
- Վարժություն 1.Գտե՛ք հավանականությունը, որ զառերը գլորվելու են 5 կամ 6:
- Առաջադրանք 2.Սուրի մեջ կա 30 գնդակ՝ 10 կարմիր, 5 կապույտ և 15 սպիտակ։ Գտեք գունավոր գնդակ նկարելու հավանականությունը:
- Առաջադրանք 3.Կրակողը կրակում է 3 հատվածի բաժանված թիրախի վրա։ Առաջին տեղին հարվածելու հավանականությունը 0,45 է, երկրորդինը՝ 0,35 Գտե՛ք հավանականությունը, որ կրակողը մեկ կրակոցով կհարվածի կա՛մ առաջին, կա՛մ երկրորդ հատվածին։
- Առաջադրանք 4.Շրջկենտրոնից գյուղ ամեն օր ավտոբուս է աշխատում։ Հավանականությունը, որ երկուշաբթի օրը ավտոբուսում 18-ից պակաս ուղեւոր կլինի, 0,95 է։ 12-ից պակաս ուղեւոր լինելու հավանականությունը 0,6 է։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ ուղևորների թիվը կլինի 12-ից 17-ի միջև։
- Առաջադրանք 5.Հավանականությունը, որ նոր Էլեկտրական թեյնիկկծառայի ավելի քան մեկ տարի, հավասար է 0,97։ Հավանականությունը, որ այն կտևի երկու տարուց ավելի, 0,89 է։ Գտեք հավանականությունը, որ այն տևի երկու տարուց պակաս, բայց մեկ տարուց ավելի:
- Առաջադրանք 6.Հավանականությունը, որ ուսանող Ու.-ն կենսաբանության թեստի վրա ճիշտ է լուծել 9-ից ավելի խնդիր, 0,61 է։ Հավանականությունը, որ U.-ն ճիշտ է լուծել 8-ից ավելի խնդիրներ, 0,73 է։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ U.-ն ճիշտ է լուծում ուղիղ 9 խնդիր:
4 Խումբ:Անկախ իրադարձությունների միաժամանակյա առաջացման հավանականությունը. Հավանականության բազմապատկման բանաձևը.
- Վարժություն 1.Սենյակը լուսավորված է երկու լամպերով լապտերով։ Մեկ տարվա ընթացքում մեկ լամպի այրվելու հավանականությունը 0,3 է։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ լամպ չի այրվի մեկ տարվա ընթացքում:
- Առաջադրանք 2.Սենյակը լուսավորված է երեք լամպերով լապտերով։ Մեկ տարվա ընթացքում մեկ լամպի այրվելու հավանականությունը 0,3 է։ Գտեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ լամպ չի այրվի մեկ տարվա ընթացքում:
- Առաջադրանք 3.Խանութում երկու վաճառող կա։ Նրանցից յուրաքանչյուրը զբաղված է 0,4 հավանականությամբ հաճախորդով։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահական պահին երկու վաճառողներն էլ միաժամանակ զբաղված են (ենթադրենք, որ հաճախորդները մտնում են միմյանցից անկախ):
- Առաջադրանք 4.Խանութում երեք վաճառող կա։ Նրանցից յուրաքանչյուրը զբաղված է 0,2 հավանականությամբ հաճախորդով։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահական պահին բոլոր երեք վաճառողները միաժամանակ զբաղված են (ենթադրենք, որ հաճախորդները մտնում են միմյանցից անկախ):
- Առաջադրանք 5:Ըստ հաճախորդների ակնարկների, Միխայիլ Միխայլովիչը բարձր է գնահատել երկու առցանց խանութների հուսալիությունը: Հավանականությունը, որ ցանկալի ապրանքառաքված Ա խանութից 0,81 է։ Հավանականությունը, որ այս ապրանքը կառաքվի B խանութից 0,93 է։ Միխայիլ Միխայլովիչը ապրանքը միանգամից պատվիրեց երկու խանութներում։ Ենթադրելով, որ առցանց խանութները գործում են միմյանցից անկախ, գտնեք հավանականությունը, որ խանութներից ոչ մեկը ապրանքը չի առաքի:
- Առաջադրանք 6:Եթե գրոսմայստեր Ա.-ն խաղում է սպիտակ, ապա 0,6 հավանականությամբ հաղթում է գրոսմայստեր Բ. Եթե Ա.-ն սև է խաղում, ապա Ա.-ն 0.4 հավանականությամբ հաղթում է Բ. Գրոսմայստերներ Ա.-ն և Բ.-ն խաղում են երկու պարտիա, իսկ երկրորդ պարտիայում փոխում են խաղաքարերի գույնը: Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ երկու անգամ էլ Ա.
5 Խումբ:Երկու բանաձևերի կիրառման առաջադրանքներ.
- Վարժություն 1:Հեպատիտի կասկածանքով բոլոր հիվանդները արյան ստուգում են կատարում: Եթե թեստը բացահայտում է հեպատիտը, ապա թեստի արդյունքը կոչվում է դրական։ Հեպատիտով հիվանդների մոտ վերլուծությունը տալիս է դրական արդյունք 0,9 հավանականությամբ։ Եթե հիվանդը չունի հեպատիտ, ապա թեստը կարող է տալ կեղծ դրական արդյունք՝ 0,02 հավանականությամբ։ Հայտնի է, որ հեպատիտի կասկածանքով ընդունված հիվանդների 66%-ն իրականում ունի հեպատիտ։ Գտեք հավանականությունը, որ հեպատիտի կասկածանքով կլինիկա ընդունված հիվանդի թեստի արդյունքը դրական կլինի:
- Առաջադրանք 2.Կովբոյ Ջոնը 0,9 հավանականությամբ հարվածում է պատին ճանճին, եթե կրակում է ատրճանակով։ Եթե Ջոնը կրակում է անտեսանելի ատրճանակով, նա հարվածում է ճանճին՝ 0,2 հավանականությամբ։ Սեղանին դրված է 10 ատրճանակ, որից միայն 4-ն է կրակված։ Կովբոյ Ջոնը տեսնում է ճանճը պատին, պատահականորեն վերցնում է իր հանդիպած առաջին ատրճանակը և կրակում է ճանճի վրա։ Գտեք հավանականությունը, որ Ջոնը բաց է թողնում:
Առաջադրանք 3:
Որոշ ոլորտներում դիտարկումները ցույց են տվել.
1. Եթե հունիսի առավոտը պարզ է, ապա այդ օրը անձրեւի հավանականությունը 0,1 է։ 2. Եթե հունիսի առավոտը ամպամած է, ապա ցերեկը անձրեւի հավանականությունը 0,4 է։ 3. Հունիսին ամպամած առավոտի հավանականությունը 0,3 է։
Գտեք հավանականությունը, որ հունիսի պատահական օրը անձրև չի գա:
Առաջադրանք 4.Հրետանային կրակի ժամանակ ավտոմատ համակարգը կրակոց է կատարում թիրախի ուղղությամբ։ Եթե թիրախը չի ոչնչացվում, համակարգը կրկին կրակում է։ Կրակոցները կրկնվում են այնքան ժամանակ, մինչև թիրախը ոչնչացվի։ Առաջին կրակոցով որոշակի թիրախ ոչնչացնելու հավանականությունը 0,3 է, իսկ ամեն հաջորդ կրակոցի դեպքում՝ 0,9։ Քանի՞ կրակոց կպահանջվի, որպեսզի ապահովվի, որ թիրախը ոչնչացնելու հավանականությունը լինի առնվազն 0,96:
Բեռնվում է...