Pojednostavite online kalkulator izraza s rješenjem stupnjeva. Jednadžbe online

Algebarski izraz u čijem zapisu se, uz operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja, koristi i dijeljenje na doslovne izraze, naziva se frakcijski algebarski izraz. Takvi su npr. izrazi

Nazivamo ga algebarskim razlomkom algebarski izraz, koji ima oblik kvocijenta dvaju cjelobrojnih algebarskih izraza (na primjer, monoma ili polinoma). Takvi su npr. izrazi

treći od izraza).

Identitetne transformacije frakcijskih algebarskih izraza većinom su namijenjene njihovom predstavljanju u obliku algebarski razlomak. Za pronalaženje zajedničkog nazivnika koristi se faktorizacija nazivnika razlomaka – pojmova kako bi se pronašao njihov najmanji zajednički višekratnik. Pri redukciji algebarskih razlomaka može se narušiti strogi identitet izraza: potrebno je isključiti vrijednosti veličina pri kojima nestaje faktor kojim se smanjuje.

Evo nekoliko primjera identične transformacije frakcijski algebarski izrazi.

Primjer 1: Pojednostavite izraz

Svi se članovi mogu svesti na zajednički nazivnik (zgodno je promijeniti predznak u nazivniku posljednjeg člana i znak ispred njega):

Naš izraz je jednak jedinici za sve vrijednosti osim ovih vrijednosti, nije definiran i smanjenje razlomka je protuzakonito).

Primjer 2. Predstavite izraz kao algebarski razlomak

Riješenje. Izraz se može uzeti kao zajednički nazivnik. Nalazimo sukcesivno:

Vježbe

1. Pronađite vrijednosti algebarskih izraza za navedene vrijednosti parametara:

2. Faktorizirajte.

Razmotrimo temu transformacije izraza s potencijama, ali prvo ćemo se zadržati na brojnim transformacijama koje se mogu izvesti s bilo kojim izrazima, uključujući i one potencirane. Naučit ćemo otvarati zagrade, davati slične pojmove, raditi s bazom i eksponentom, koristiti svojstva potencija.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što su izrazi moći?

U školskom tečaju malo ljudi koristi izraz "izrazi moći", ali ovaj se izraz stalno nalazi u zbirkama za pripremu ispita. U većini slučajeva, izraz označava izraze koji u svojim unosima sadrže stupnjeve. To je ono što ćemo odraziti u našoj definiciji.

Definicija 1

Izraz moći je izraz koji sadrži stupnjeve.

Dajemo nekoliko primjera izraza stepena, počevši od stupnja s prirodnim eksponentom i završavajući sa stupnjem s realnim eksponentom.

Najjednostavniji izrazi stepena mogu se smatrati potencijama broja s prirodnim eksponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Kao i potencije s nultim eksponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . I potencije s negativnim cijelim potencijama: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Nešto je teže raditi s diplomom koja ima racionalnu i iracionalni pokazatelji: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 b 1 2 , x π x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikator može biti varijabla 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ili logaritam x 2 l g x − 5 x l g x.

Bavili smo se pitanjem što su izrazi moći. Pogledajmo sada njihovu transformaciju.

Glavne vrste transformacija izraza moći

Prije svega, razmotrit ćemo osnovne identitetske transformacije izraza koje se mogu izvesti izrazima moći.

Primjer 1

Izračunajte vrijednost izraza snage 2 3 (4 2 − 12).

Riješenje

Sve transformacije ćemo provesti u skladu s redoslijedom radnji. U ovom slučaju, počet ćemo izvođenjem radnji u zagradama: stupanj ćemo zamijeniti digitalnom vrijednošću i izračunati razliku između dva broja. Imamo 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Ostaje nam zamijeniti diplomu 2 3 njegovo značenje 8 i izračunaj proizvod 8 4 = 32. Evo našeg odgovora.

Odgovor: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Primjer 2

Pojednostavite izražavanje ovlastima 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Riješenje

Izraz koji nam je dat u uvjetu problema sadrži slične pojmove koje možemo donijeti: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Odgovor: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Primjer 3

Izraz s potencijama 9 - b 3 · π - 1 2 izrazi kao proizvod.

Riješenje

Predstavimo broj 9 kao stepen 3 2 i primijeniti skraćenu formulu množenja:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Odgovor: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A sada prijeđimo na analizu identičnih transformacija koje se mogu primijeniti posebno na izraze moći.

Rad s bazom i eksponentom

Stupanj u bazi ili eksponentu može imati brojeve, varijable i neke izraze. Na primjer, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 I . Teško je raditi s takvim zapisima. Mnogo je lakše zamijeniti izraz u bazi stupnja ili izraz u eksponentu identično jednakim izrazom.

Transformacije stupnja i indikatora provode se prema nama poznatim pravilima odvojeno jedna od druge. Najvažnije je da se kao rezultat transformacija dobije izraz koji je identičan izvornom.

Svrha transformacija je pojednostaviti izvorni izraz ili dobiti rješenje problema. Na primjer, u primjeru koji smo dali iznad, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 možete izvoditi operacije za prelazak na stupanj 4 , 1 1 , 3 . Otvarajući zagrade, možemo unijeti slične pojmove u bazu stupnja (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) i dobiti izraz moći jednostavna forma a 2 (x + 1).

Korištenje Power Properties

Svojstva stupnjeva, zapisana kao jednakosti, jedan su od glavnih alata za transformaciju izraza sa stupnjevima. Ovdje donosimo glavne, s obzirom na to a I b su bilo koji pozitivni brojevi, i r I s- proizvoljni realni brojevi:

Definicija 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

U slučajevima kada imamo posla s prirodnim, cjelobrojnim, pozitivnim eksponentima, ograničenja za brojeve a i b mogu biti mnogo manje stroga. Tako, na primjer, ako uzmemo u obzir jednakost a m a n = a m + n, gdje m I n – cijeli brojevi, tada će vrijediti za sve vrijednosti a , i pozitivne i negativne, kao i za a = 0.

Svojstva stupnjeva možete primijeniti bez ograničenja u slučajevima kada su baze stupnjeva pozitivne ili sadrže varijable čiji je raspon prihvatljivih vrijednosti takav da baze uzimaju samo pozitivne vrijednosti na njemu. Zapravo, iznutra školski kurikulum u matematici je zadatak učenika da bira prikladno vlasništvo i njegovu ispravnu primjenu.

Prilikom pripreme za upis na sveučilišta mogu se pojaviti zadaci u kojima će netočna primjena svojstava dovesti do sužavanja ODZ-a i drugih poteškoća s rješenjem. U ovom dijelu ćemo razmotriti samo dva takva slučaja. Više informacija o ovoj temi možete pronaći u temi "Transformiranje izraza korištenjem svojstava eksponenta".

Primjer 4

Predstavite izraz a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 kao stupanj s bazom a.

Riješenje

Za početak koristimo svojstvo eksponencijalnosti i pomoću njega transformiramo drugi faktor (a 2) − 3. Zatim koristimo svojstva množenja i dijeljenja potencija s ista baza:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Odgovor: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformacija izraza stepena prema svojstvu stupnjeva može se vršiti i s lijeva na desno i u suprotnom smjeru.

Primjer 5

Nađi vrijednost izraza potencije 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Riješenje

Ako primijenimo jednakost (a b) r = a r b r, s desna na lijevo, tada dobivamo umnožak oblika 3 7 1 3 21 2 3 i zatim 21 1 3 21 2 3 . Dodajmo eksponente pri množenju potencija s istim bazama: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Postoji još jedan način za transformaciju:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Odgovor: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Primjer 6

S obzirom na izraz moći a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, unesite novu varijablu t = a 0, 5.

Riješenje

Zamislite stupanj a 1, 5 kako a 0 , 5 3. Korištenje svojstva stupnja u stupnju (a r) s = a r s s desna na lijevo i dobiti (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . U rezultirajućem izrazu možete jednostavno uvesti novu varijablu t = a 0, 5: dobiti t 3 − t − 6.

Odgovor: t 3 − t − 6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije

Obično imamo posla s dvije varijante izraza stepena s razlomcima: izraz je razlomak s stupnjem ili sadrži takav razlomak. Sve osnovne transformacije razlomaka primjenjive su na takve izraze bez ograničenja. Mogu se smanjiti, dovesti do novog nazivnika, raditi odvojeno s brojnikom i nazivnikom. Ilustrirajmo to primjerima.

Primjer 7

Pojednostavite izraz snage 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Riješenje

Imamo posla s razlomkom, pa ćemo izvršiti transformacije i u brojniku i u nazivniku:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Stavite minus ispred razlomka da promijenite predznak nazivnika: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Odgovor: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Razlomci koji sadrže potencije svode se na novi nazivnik na isti način kao racionalni razlomci. Da biste to učinili, morate pronaći dodatni faktor i s njim pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka. Potrebno je odabrati dodatni faktor na način da ne nestane ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.

Primjer 8

Dovedite razlomke na novi nazivnik: a) a + 1 a 0, 7 na nazivnik a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 na nazivnik x + 8 y 1 2 .

Riješenje

a) Odaberemo faktor koji će nam omogućiti da svedemo na novi nazivnik. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , stoga kao dodatni faktor uzimamo a 0, 3. Raspon prihvatljivih vrijednosti varijable a uključuje skup svih pozitivnih realni brojevi. U ovom području, stupanj a 0, 3 ne ide na nulu.

Pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka sa a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Obratite pažnju na nazivnik:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Pomnožimo ovaj izraz s x 1 3 + 2 · y 1 6 , dobit ćemo zbroj kocaka x 1 3 i 2 · y 1 6 , tj. x + 8 · y 1 2 . Ovo je naš novi nazivnik na koji trebamo dovesti izvorni razlomak.

Tako smo pronašli dodatni faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . O rasponu prihvatljivih vrijednosti varijabli x I y izraz x 1 3 + 2 y 1 6 ne nestaje, pa s njim možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Odgovor: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Primjer 9

Smanjite razlomak: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Riješenje

a) Koristite najveći zajednički nazivnik (GCD) kojim se brojnik i nazivnik mogu smanjiti. Za brojeve 30 i 45, ovo je 15. Možemo i smanjiti x 0 , 5 + 1 a na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

dobivamo:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Ovdje prisutnost identičnih čimbenika nije očita. Morat ćete izvesti neke transformacije kako biste dobili iste faktore u brojniku i nazivniku. Da bismo to učinili, proširujemo nazivnik pomoću formule razlike kvadrata:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Odgovor: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Glavne operacije s razlomcima uključuju redukciju na novi nazivnik i redukciju razlomaka. Obje se radnje izvode u skladu s nizom pravila. Prilikom zbrajanja i oduzimanja razlomaka, razlomci se najprije svode na zajednički nazivnik, nakon čega se izvode operacije (zbrajanje ili oduzimanje) s brojnicima. Nazivnik ostaje isti. Rezultat naših radnji je novi razlomak, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik je umnožak nazivnika.

Primjer 10

Učinite korake x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Riješenje

Počnimo s oduzimanjem razlomaka koji su u zagradama. Dovedemo ih do zajedničkog nazivnika:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Oduzmimo brojnike:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Sada množimo razlomke:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Smanjimo za stupanj x 1 2, dobivamo 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Dodatno, možete pojednostaviti izraz snage u nazivniku koristeći formulu za razliku kvadrata: kvadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Odgovor: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Primjer 11

Pojednostavite izraz snage x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Riješenje

Razlomak možemo smanjiti za (x 2 , 7 + 1) 2. Dobivamo razlomak x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Nastavimo transformacije x potencija x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Sada možete koristiti svojstvo podjele snage s istim bazama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Od posljednjeg proizvoda prelazimo na razlomak x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Odgovor: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

U većini slučajeva prikladnije je množitelje s negativnim eksponentima prenijeti iz brojnika u nazivnik i obrnuto promjenom predznaka eksponenta. Ova radnja pojednostavljuje daljnju odluku. Navedimo primjer: izraz stepena (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 može se zamijeniti s x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

U zadacima postoje izrazi potenciranja koji ne sadrže samo stupnjeve s razlomcima, već i korijene. Poželjno je takve izraze svesti samo na korijene ili samo na moći. Prijelaz na stupnjeve je poželjniji, jer je s njima lakše raditi. Takav prijelaz je posebno povoljan kada vam DPV varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena potencijama bez pristupa modulu ili dijeljenja DPV-a na nekoliko intervala.

Primjer 12

Izraz x 1 9 x x 3 6 izrazite kao stepen.

Riješenje

Valjani raspon varijable x određena je s dvije nejednakosti x ≥ 0 i x · x 3 ≥ 0 , koji definiraju skup [ 0 , + ∞) .

Na ovom skupu imamo pravo prijeći od korijena do moći:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Koristeći svojstva stupnjeva, pojednostavljujemo rezultirajući izraz snage.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Odgovor: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Pretvaranje potencija s varijablama u eksponentu

Ove je transformacije prilično jednostavno napraviti ako ispravno koristite svojstva stupnja. Na primjer, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Možemo zamijeniti umnožak stupnja, u smislu kojeg se nalazi zbroj neke varijable i broja. Na lijevoj strani, to se može učiniti s prvim i zadnjim pojmom na lijevoj strani izraza:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Podijelimo sada obje strane jednadžbe sa 7 2 x. Ovaj izraz na ODZ-u varijable x uzima samo pozitivne vrijednosti:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Smanjimo razlomke potencijama, dobivamo: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamjenjuje se potencijama omjera, što dovodi do jednadžbe 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , što je ekvivalentno 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Uvodimo novu varijablu t = 5 7 x , koja svodi rješenje izvorne eksponencijalne jednadžbe na rješenje kvadratna jednadžba 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Pretvaranje izraza s potencijama i logaritmima

Izrazi koji sadrže potencije i logaritme također se nalaze u problemima. Primjeri takvih izraza su: 1 4 1 - 5 log 2 3 ili log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacija takvih izraza provodi se korištenjem pristupa o kojima smo raspravljali i svojstava logaritama, koje smo detaljno analizirali u temi “Transformacija logaritamskih izraza”.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Bilo koji jezik može izraziti istu informaciju različite riječi i prometi. Matematički jezik nije iznimka. Ali isti izraz se može ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljenju izraza.

Ljudi komuniciraju dalje različiti jezici. Za nas je važna usporedba par "Ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije mogu se izvijestiti na različitim jezicima. No, osim toga, na jednom jeziku može se izgovarati različito.

Na primjer: "Peter je prijatelj s Vasjom", "Vasya je prijatelj s Petjom", "Peter i Vasya su prijatelji". Rečeno drugačije, ali jedno te isto. Po bilo kojoj od ovih fraza razumjeli bismo o čemu je riječ.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumijemo što u pitanju. Međutim, ne sviđa nam se kako ova fraza zvuči. Ne možemo li to pojednostaviti, reći isto, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

"Momci" ... Zar se iz njihovih imena ne vidi da nisu djevojčice. Uklanjamo "dječke": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti s "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, duga, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i lakše razumjeti. Pojednostavili smo ovu frazu. Pojednostaviti znači lakše reći, ali ne izgubiti, ne iskriviti značenje.

Ista stvar se događa i u matematičkom jeziku. Ista stvar se može reći drugačije. Što znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače istu stvar. I iz svega tog mnoštva moramo izabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše daljnje svrhe.

Na primjer, razmotrite brojčani izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentna prva dva: .

Ispada da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze uvijek morate obaviti sav posao i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Razmotrimo primjer doslovnog izraza . Očito će biti jednostavnije.

Pojednostavljivanje doslovni izrazi morate izvesti sve moguće korake.

Je li uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam prikladniji biti ekvivalentan, ali duži zapis.

Primjer: Oduzmite broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen njegovom ekvivalentnom notacijom: , tada bi izračuni bili trenutni: .

Odnosno, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za daljnje izračune.

Ipak, vrlo često smo suočeni sa zadatkom koji samo zvuči kao "pojednostavite izraz".

Pojednostavite izraz: .

Riješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajte proizvode: .

Očito, posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.

Kako bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Da biste odredili ekvivalentni izraz, morate:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja za pojednostavljenje izračuna.

Svojstva zbrajanja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo zbrajanja: zbroj se ne mijenja preuređivanjem članova.

2. Asocijativno svojstvo zbrajanja: da biste zbroju dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbroja od broja: da biste oduzeli zbroj od broja, možete oduzeti svaki član pojedinačno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: proizvod se ne mijenja permutacijom faktora.

2. Asocijativno svojstvo: da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti dobiveni proizvod s drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da biste pomnožili broj sa zbrojem, trebate ga pomnožiti sa svakim članom posebno.

Pogledajmo kako zapravo radimo mentalne izračune.

Izračunati:

Riješenje

1) Zamislite kako

2) Predstavimo prvi faktor kao zbroj bitni pojmovi i napravi množenje:

3) možete zamisliti kako i izvesti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor s ekvivalentnim zbrojem:

Distributivni zakon se može koristiti i u suprotnom smjeru: .

Prati ove korake:

1) 2)

Riješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon raspodjele, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izvadite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum u kuhinji i hodniku. Kuhinjski prostor - hodnik -. Postoje tri vrste linoleuma: za i rublje za. Koliko će koštati svaka od tri vrste linoleuma? (Sl. 1)

Riža. 1. Ilustracija za stanje problema

Riješenje

Metoda 1. Zasebno možete pronaći koliko će novca biti potrebno za kupnju linoleuma u kuhinji, a zatim ga dodajte u hodnik i zbrojite rezultirajuće radove.

Eksponent se koristi da bi se olakšalo pisanje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje takvog prijelaza dano je u prvom dijelu ovog članka). Moći olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednadžbi; također, potencije se lako zbrajaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenjem izraza ili jednadžbe (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bilješka: ako trebaš odlučiti eksponencijalna jednadžba(u takvoj jednadžbi nepoznanica je u eksponentu), pročitajte .

Koraci

Rješavanje jednostavnih problema s ovlastima

Pomnožite bazu eksponenta samu po sebi broj puta jednak eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem s eksponentima, prepišite eksponent kao operaciju množenja, gdje se baza eksponenta množi sama sa sobom. Na primjer, s obzirom na diplomu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, baza stupnja 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - proces izračuna nije tako kompliciran kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Kao ovo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sa sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat će se proporcionalno povećavati. U našem primjeru, pomnožite 16 sa 4. Ovako:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Nastavite množiti rezultat množenja prva dva broja sa sljedećim brojem dok ne dobijete konačni odgovor. Da biste to učinili, pomnožite prva dva broja, a zatim pomnožite rezultat sa sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koji stupanj. U našem primjeru trebali biste dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor pomoću kalkulatora.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n))", ili "^". Ovom tipkom podići ćete broj na stepen. Praktički je nemoguće ručno izračunati stupanj s velikim eksponentom (na primjer, stupanj 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U sustavu Windows 7 standardni kalkulator može se prebaciti u inženjerski način rada; da biste to učinili, kliknite "Prikaz" -\u003e "Inženjering". Da biste se prebacili na normalni način rada, kliknite "Prikaz" -\u003e "Normalno".

   • Provjerite dobiveni odgovor pomoću tražilice (Google ili Yandex). Pomoću tipke "^" na tipkovnici računala unesite izraz u tražilicu, koja će odmah prikazati točan odgovor (i eventualno predložiti slične izraze za proučavanje).

   Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija

   1. Potencije možete zbrajati i oduzimati samo ako imaju istu bazu. Ako trebate zbrajati potencije s istim bazama i eksponentima, tada operaciju zbrajanja možete zamijeniti operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Zapamtite da je stupanj 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se predstaviti kao 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Tako, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, izbrojite broj sličnih stupnjeva, a zatim pomnožite takav stupanj i ovaj broj. U našem primjeru podignite 4 na peti stepen, a zatim pomnožite rezultat s 2. Zapamtite da se operacija zbrajanja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Kod množenja potencija s istom bazom zbrajaju se njihovi eksponenti (baza se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju, samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. Na ovaj način, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizualnog objašnjenja ovog pravila:

      Kada se stepen diže na stepen, eksponenti se množe. Na primjer, s obzirom na diplomu. Budući da se eksponenti množe, onda (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Značenje ovog pravila je da množite snagu (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebe pet puta. Kao ovo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Budući da je baza ista, eksponenti se jednostavno zbrajaju: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponent s negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (u inverzni stepen). Nije važno ako ne znate što je recipročnost. Ako ste dobili diplomu s negativnim eksponentom, na primjer, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), upišite ovaj stepen u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojnik), a eksponent neka bude pozitivan. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:

      Prilikom dijeljenja potencija s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Oduzmite eksponent u nazivniku od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). Na ovaj način, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stupanj u nazivniku se može napisati na sljedeći način: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Zapamtite da je razlomak broj (potencija, izraz) s negativnim eksponentom.

   4. U nastavku su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite kako riješiti probleme s napajanjem. Gornji izrazi pokrivaju materijal predstavljen u ovom odjeljku. Da biste vidjeli odgovor, samo označite prazan prostor iza znaka jednakosti.

      Rješavanje zadataka s razlomačnim eksponentima

      1. Stupanj s razlomkom eksponenta (na primjer, ) pretvara se u operaciju vađenja korijena. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nije važno koji se broj nalazi u nazivniku razlomka eksponenta. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je četvrti korijen od "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Ako je eksponent nepravilan razlomak, tada se takav eksponent može rastaviti na dva stepena kako bi se pojednostavilo rješenje problema. U tome nema ništa komplicirano - samo zapamtite pravilo za množenje snaga. Na primjer, s obzirom na diplomu. Pretvorite taj eksponent u korijen čiji je eksponent jednak nazivniku razlomačkog eksponenta, a zatim podignite taj korijen do eksponenta koji je jednak brojniku razlomka. Da biste to učinili, zapamtite to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). U našem primjeru:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Neki kalkulatori imaju gumb za izračunavanje eksponenta (najprije treba unijeti bazu, zatim pritisnuti gumb, a zatim unijeti eksponent). Označava se kao ^ ili x^y.
      4. Zapamtite da je bilo koji broj jednak samom sebi prvom stepenu, na primjer, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Štoviše, svaki broj pomnožen ili podijeljen s jedan jednak je samom sebi, na primjer, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) I 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Znajte da stupanj 0 0 ne postoji (takav stupanj nema rješenja). Kada pokušate riješiti takav stupanj na kalkulatoru ili na računalu, dobit ćete pogrešku. Ali zapamtite da je bilo koji broj na stepen nule jednak 1, na primjer, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. U viša matematika, koji djeluje na imaginarne brojeve: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), gdje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konstanta približno jednaka 2,7; a je proizvoljna konstanta. Dokaz ove jednakosti može se pronaći u bilo kojem udžbeniku više matematike.

      Upozorenja

      • Kako se eksponent povećava, njegova vrijednost uvelike raste. Stoga, ako vam se odgovor čini pogrešnim, zapravo se može pokazati istinitim. To možete provjeriti iscrtavanjem bilo kojeg eksponencijalna funkcija, na primjer, 2 x .

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u vašem pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs za

Često čujemo ovu neugodnu frazu: "pojednostavite izraz." Obično, u ovom slučaju, imamo neku vrstu čudovišta poput ovog:

"Da, puno lakše", kažemo, ali takav odgovor obično ne uspije.

Sada ću vas naučiti da se ne bojite takvih zadataka.

Štoviše, na kraju lekcije i sami ćete ovaj primjer pojednostaviti na (samo!) običan broj (da, dovraga s tim slovima).

Ali prije nego što započnete ovu lekciju, morate biti u mogućnosti baviti se razlomcima I faktorizirati polinome.

Stoga, ako to prije niste učinili, svakako svladajte teme "" i "".

Čitati? Ako da, onda ste spremni.

Idemo! (Idemo!)

Operacije pojednostavljenja osnovnih izraza

Sada ćemo analizirati glavne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.

Najjednostavniji od njih je

1. Donošenje sličnih

Što su slični? Prošli ste kroz to u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva.

Sličan su pojmovi (monomi) s istim slovnim dijelom.

Na primjer, u zbroju su slični pojmovi i.

Sjećali ste se?

Donesite slično- znači međusobno zbrojiti nekoliko sličnih pojmova i dobiti jedan pojam.

Ali kako možemo spojiti slova? - pitaš.

To je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta predmeta.

Na primjer, pismo je stolica. Koji je onda izraz?

Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom:

Da se ne bi zbunili, neka različita slova predstavljaju različite stvari.

Na primjer, - ovo je (kao i obično) stolica, a - ovo je stol.

stolice stolovi stolice stolice stolice stolice stolice

Zovu se brojevi kojima se množe slova u takvim pojmovima koeficijenti.

Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I jednak je.

Dakle, pravilo za donošenje sličnog:

primjeri:

Donesite slično:

odgovori:

2. (i slični su, budući da, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Faktorizacija

Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza.

Nakon što ste dali slične, najčešće je potreban rezultirajući izraz razložiti na činioce, tj. predstavljati kao proizvod.

Posebno ovo važno u razlomcima: jer da bi se smanjio razlomak, brojnik i nazivnik moraju biti izraženi umnoškom.

Prošli ste kroz detaljne metode faktoriranja izraza u temi "", tako da ovdje samo trebate zapamtiti što ste naučili.

Da biste to učinili, riješite nekoliko primjera (morate rastaviti na faktore)

primjeri:

rješenja:

3. Smanjenje frakcije.

Pa, što bi bilo ljepše nego prekrižiti dio brojnika i nazivnika, i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota kratice.

Jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, mogu se smanjiti, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovnog svojstva razlomka:

Odnosno, bit operacije redukcije je to Brojnik i nazivnik razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Da biste smanjili razlomak, trebate:

1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce

2) ako brojnik i nazivnik sadrže zajednički čimbenici, mogu se izbrisati.

primjeri:

Princip je, mislim, jasan?

Želim skrenuti pažnju na jednu tipična greška prilikom smanjenja. Iako je ova tema jednostavna, ali mnogi ljudi sve rade krivo, ne shvaćajući to izrezati- to znači podijeliti brojnik i nazivnik istim brojem.

Nema skraćenica ako je brojnik ili nazivnik zbroj.

Na primjer: trebate pojednostaviti.

Neki rade ovo: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

"Najpametniji" će učiniti ovo:

Reci mi što ovdje nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, tako da možete smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojniku, ali se sam brojnik u cjelini ne rastavlja na faktore.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz se rastavlja na faktore, što znači da možete smanjiti, odnosno podijeliti brojnik i nazivnik sa, a zatim sa:

Možete odmah podijeliti sa:

Da biste izbjegli takve pogreške, zapamtite lak način kako odrediti je li izraz faktoriziran:

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja pri izračunavanju vrijednosti izraza je "glavna".

Odnosno, ako umjesto slova zamijenite neke (bilo koje) brojeve i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz se razlaže na faktore).

Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da se izraz ne čini faktorima (i stoga se ne može smanjiti).

Da biste to sami popravili, nekoliko primjera:

primjeri:

rješenja:

4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka je dobro poznata operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak s faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike.

prisjetimo se:

odgovori:

1. Nazivnici i su međusobno prosti, odnosno nemaju zajedničkih faktora. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom umnošku. Ovo će biti zajednički nazivnik:

2. Ovdje je zajednički nazivnik:

3. Ovdje, prije svega, pretvaramo miješane razlomke u nepravilne, a zatim - prema uobičajenoj shemi:

Sasvim je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo jednostavno:

a) Nazivnici ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i s običnim brojčanim razlomcima: nađemo zajednički nazivnik, pomnožimo svaki razlomak s faktorom koji nedostaje i zbrojimo / oduzmemo brojnike:

sada u brojnik možete unijeti slične, ako ih ima, i faktorirati ih:

Isprobajte sami:

odgovori:

b) Nazivnici sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

Prije svega, određujemo zajedničke čimbenike;

Tada sve zajedničke faktore ispisujemo jednom;

i pomnožite ih sa svim ostalim čimbenicima, a ne s uobičajenim.

Da bismo odredili zajedničke čimbenike nazivnika, prvo ih rastavljamo na jednostavne čimbenike:

Ističemo zajedničke čimbenike:

Sada ćemo jednom ispisati zajedničke čimbenike i dodati im sve neuobičajene (nepodvučene) čimbenike:

Ovo je zajednički nazivnik.

Vratimo se slovima. Nazivnici su dati na potpuno isti način:

Nazivnike razlažemo na faktore;

odrediti zajedničke (identične) množitelje;

napišite sve zajedničke čimbenike jednom;

Množimo ih sa svim ostalim čimbenicima, a ne s uobičajenim.

Dakle, redom:

1) razložiti nazivnike na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) čimbenike:

3) jednom zapišite sve zajedničke faktore i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) čimbenicima:

Dakle, zajednički nazivnik je ovdje. Prvi razlomak se mora pomnožiti s, drugi - s:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

U nazivnicima vidimo iste čimbenike, samo svi s različitim pokazateljima. Zajednički nazivnik će biti:

do te mjere

do te mjere

do te mjere

u stupnju.

Zakomplicirajmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti nazivnik?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i brojniku i nazivniku dodajte neki broj, na primjer, . Što je naučeno?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke dovodite do zajedničkog nazivnika, koristite samo operaciju množenja!

Ali što trebate pomnožiti da biste dobili?

Evo i množi se. I pomnoži sa:

Izrazi koji se ne mogu faktorizirati nazvat ćemo "elementarni faktori".

Na primjer, elementarni je faktor. - isto. Ali – ne: rastavlja se na faktore.

Što je s ekspresijom? Je li to elementarno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi "").

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima u koje rastavljate brojeve. I mi ćemo učiniti isto s njima.

Vidimo da oba nazivnika imaju faktor. To će ići na zajednički nazivnik u moći (sjećate se zašto?).

Množilac je elementaran i nemaju ga zajedničkog, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove nazivnike, morate razmisliti o tome kako ih faktorizirati? Obojica predstavljaju:

Fino! Zatim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Kao i obično, faktoriziramo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih čimbenika. Ali ako bolje pogledate, već su toliko slični... A istina je:

Pa napišimo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, to ćete morati činiti često.

Sada dolazimo do zajedničkog nazivnika:

Shvaćam? Sada provjerimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Eto, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Postupak

Kakav je postupak za izračunavanje brojčanog izraza? Zapamtite, s obzirom na vrijednost takvog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi djelovati.

Dakle, podsjećam vas.

Prvi korak je izračunavanje stupnja.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji nekoliko množenja i dijeljenja u isto vrijeme, možete ih učiniti bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, izvodimo zbrajanje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradi se vrednuje izvan reda!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo procjenjujemo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili dijelimo.

Što ako postoje druge zagrade unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Što je prva stvar koju treba učiniti pri ocjenjivanju izraza? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutarnje zagrade, a zatim sve ostalo.

Dakle, redoslijed radnji za gornji izraz je sljedeći (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Dobro, sve je jednostavno.

Ali to nije isto što i izraz sa slovima, zar ne?

Ne, to je isto! Samo umjesto toga aritmetičke operacije trebate izvoditi algebarske, odnosno radnje opisane u prethodni odjeljak: donoseći slične, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika bit će djelovanje faktoringa polinoma (često ga koristimo pri radu s razlomcima). Najčešće, za faktorizaciju, trebate koristiti i ili jednostavno izvaditi zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj predstaviti izraz kao proizvod ili kvocijent.

Na primjer:

Pojednostavimo izraz.

1) Prvo pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je predstaviti je kao proizvod ili kvocijent. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dodatno pojednostaviti ovaj izraz, ovdje su svi faktori elementarni (sjećate li se još što to znači?).

2) Dobivamo:

Množenje razlomaka: što bi moglo biti lakše.

3) Sada možete skratiti:

Pa to je sve. Ništa komplicirano, zar ne?

Još jedan primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte to sami riješiti, a tek onda pogledajte rješenje.

Riješenje:

Prije svega definirajmo postupak.

Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, umjesto dva razlomka, ispast će jedan.

Zatim ćemo napraviti dijeljenje razlomaka. Pa, rezultat zbrajamo zadnjim razlomkom.

Shematski ću numerirati korake:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah donijeti. U kojem god trenutku imamo slične, preporučljivo ih je odmah donijeti.

2. Isto vrijedi i za smanjenje razlomaka: čim se ukaže prilika za smanjenje, mora se iskoristiti. Iznimka su razlomci koje zbrajate ili oduzimate: ako imaju isti nazivnici, onda smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje morate riješiti sami:

I obećao na samom početku:

odgovori:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se nosili s barem prva tri primjera, onda ste, smatrajte, svladali temu.

A sada na učenje!

KONVERZIJA IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Osnovne operacije pojednostavljenja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, trebate dodati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: vađenje zajedničkog faktora iz zagrada, primjena itd.
• Smanjenje frakcije: brojnik i nazivnik razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem koji nije nula, od kojeg se vrijednost razlomka ne mijenja.
  1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce
  2) ako u brojniku i nazivniku postoje zajednički čimbenici, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Zbrajanje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješna isporuka Jedinstveni državni ispit, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zaraditi puno više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? Ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite nužno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste došli do ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!