Gomila strašnih formula, priručnika iz više matematike koje otvaraš i odmah zatvaraš, bolna potraga za rješenjem naizgled vrlo jednostavnog problema.... Ovakva situacija nije neuobičajena, pogotovo kada je udžbenik iz matematike zadnji put otvoren u dalekom 11. razredu. U međuvremenu, na sveučilištima nastavni planovi i programi mnogih specijalnosti predviđaju proučavanje svima omiljene više matematike. I u ovoj situaciji često se osjećate kao potpuni čajnik pred gomilom strašnih matematičkih gluposti. Štoviše, slična situacija može nastati u proučavanju bilo kojeg predmeta, posebice iz ciklusa prirodnih znanosti.

Što uraditi? Za redovitog studenta sve je puno jednostavnije, osim ako, naravno, predmet nije jako zanemaren. Možete se posavjetovati s učiteljem, kolegama iz razreda i jednostavno otpisati od susjeda na stolu. Čak će i pun čajnik iz više matematike preživjeti seansu u takvim scenarijima.

A ako osoba studira na dopisnom odjelu sveučilišta, a viša matematika, blago rečeno, vjerojatno neće biti potrebna u budućnosti? Osim toga, nema vremena za nastavu. Tako je, u većini slučajeva, tako, ali nitko nije otkazao izvođenje testova i polaganje ispita (najčešće pismenog). S testovima iz više matematike sve je lakše, bez obzira jesi li čajnik ili nisi - može se naručiti test iz matematike. Na primjer, imam. Mogu se naručiti i ostali artikli. Ne više ovdje. No provedba i predaja ispitnih radova na recenziju još neće dovesti do željenog upisa u knjižicu. Često se događa da umjetničko djelo izrađeno po narudžbi treba braniti, a potrebno je objasniti zašto ta formula proizlazi iz ovih slova. Osim toga, stižu ispiti, a tamo ćete već morati SAMOSTALNO rješavati odrednice, granice i izvedenice. Osim ako, naravno, učitelj ne prihvati vrijedne darove, ili ako izvan učionice nema angažiranog dobronamjernika.

Dopustite mi da vam dam nekoliko vrlo važnih savjeta. Na testovima, ispitima iz točnih i prirodnih znanosti JAKO JE VAŽNO NEŠTO RAZUMIJETI. Zapamtite, BAR NEŠTO. Potpuna odsutnost misaonih procesa jednostavno razbjesni učitelja, znam za slučajeve kada su izvanredni studenti bili omotani 5-6 puta. Sjećam se da je jedan mladić prošao test 4 puta, a nakon svakog ponovnog polaganja obraćao mi se za besplatne konzultacije u jamstvenom roku. Na kraju sam primijetio da je u odgovoru napisao slovo “pe” umjesto slova “pi”, nakon čega su uslijedile oštre sankcije recenzenta. Učenik NIJE NI HTIO POGLEDATI u zadatak, koji je ležerno prepisao

Možete biti potpuna lutka u višoj matematici, ali je vrlo poželjno znati da je derivacija konstante jednaka nuli. Jer ako na elementarno pitanje odgovorite na neku glupost, onda je velika vjerojatnost da će vam završiti studij na fakultetu. Učitelji su puno naklonjeniji učeniku koji BAR POKUŠAVA razumjeti predmet, onome koji, doduše pogrešno, ali pokušava nešto riješiti, objasniti ili dokazati. I ova izjava vrijedi za sve discipline. Stoga stav „ne znam ništa, ništa ne razumijem“ treba odlučno odbaciti.

Drugi važan savjet je POSJEĆAVANJE PREDAVANJA, čak i ako ih nema puno. To sam već spomenuo na glavnoj stranici stranice. Matematika za dopisne studente. Nema smisla ponavljati zašto je to JAKO važno, pročitajte tamo.

Dakle, što učiniti ako postoji test na nosu, ispit iz više matematike, a stvari su žalosne - stanje punog, odnosno praznog čajnika?

Jedna od opcija je unajmiti učitelja. Najveća baza podataka nastavnika može se pronaći (uglavnom Moskva) ili (uglavnom St. Petersburg). Koristeći tražilicu, vrlo je vjerojatno da ćete pronaći učitelja u svom gradu ili pogledati lokalne reklamne novine. Cijena za usluge mentora može varirati od 400 ili više rubalja po satu, ovisno o kvalifikacijama učitelja. Treba napomenuti da jeftino ne znači i loše, pogotovo ako imate dobru matematičku pozadinu. U isto vrijeme, za 2-3K rubalja dobit ćete PUNO. Uzalud nitko ne uzima takav novac, a uzalud nitko takav novac ne plaća ;-). Jedina važna točka - pokušajte odabrati učitelja sa specijaliziranim pedagoškim obrazovanjem. I zapravo, mi ne idemo zubaru po pravnu pomoć.

U posljednje vrijeme internetska poduka postaje sve popularnija. Vrlo je zgodno kada trebate hitno riješiti jedan ili dva problema, razumjeti temu ili se pripremiti za ispit. Nedvojbena prednost su cijene koje su nekoliko puta niže od onih kod offline učitelja + ušteda vremena na putovanju, što je posebno važno za stanovnike megagradova.

Na kolegiju više matematike vrlo je teško svladati neke stvari bez mentora, potrebno je samo “živo” objašnjenje.

Ipak, sasvim je moguće samostalno razumjeti mnoge vrste problema, a svrha ovog dijela stranice je naučiti vas kako riješiti tipične primjere i probleme koji se gotovo uvijek nalaze na ispitima. Štoviše, za niz zadataka postoje "tvrdi" algoritmi, gdje nema bijega od ispravnog rješenja. I, koliko znam, nastojat ću vam pomoći, tim više što imam pedagoško obrazovanje i radno iskustvo u svojoj specijalnosti.

Počnimo hvatati matematičke gluposti. U redu je, čak i ako ste čajnik, viša matematika je stvarno jednostavna i stvarno dostupna.

I trebate početi ponavljanjem školskog tečaja matematike. Ponavljanje je majka boli.

Prije nego što počnete proučavati moje metodološke materijale, i općenito počnete proučavati materijale iz više matematike, TOPLO PREPORUČUJEM da pročitate sljedeće.

Da biste uspješno rješavali zadatke iz više matematike, MORATE:

NABAVITE MIKROKALKULATOR.

Od programa - Excel (izvrstan izbor!). Učitao sam priručnik za "lutke" u knjižnicu.

Tamo je? Već dobro.

– Od prestrojavanja pojmova - zbroj se ne mijenja: .
Ali to su potpuno različite stvari:

Jednostavno je nemoguće preurediti "x" i "četiri". Istodobno, podsjećamo na ikonično slovo "x", što u matematici znači nepoznatu ili promjenjivu vrijednost.

– Preuređivanjem faktora – proizvod se ne mijenja: .
S dijeljenjem takav trik neće uspjeti, a to su dva potpuno različita razlomka, a preuređivanje brojnika s nazivnikom ne prolazi bez posljedica.
Također podsjećamo da se znak množenja (“točke”) najčešće ne piše:,

– Prisjetite se pravila za proširenje zagrada:
- ovdje se znakovi pojmova ne mijenjaju
- i ovdje su obrnuti.
A za množenje:

Općenito, dovoljno je to zapamtiti DVA MINUS DAJE PLUS, a TRI MINUS - DAJ MINUS. I, pokušajte se u tome ne zbuniti pri rješavanju zadataka iz više matematike (vrlo česta i neugodna pogreška).

– Prisjetimo se smanjenja sličnih pojmova, Trebali biste dobro razumjeti sljedeću operaciju:

– Sjetite se što je diploma:

, , , .

Stupanj je samo obično množenje.

–Zapamtite da se razlomci mogu smanjiti: (smanjeno za 2), (smanjeno za pet), (smanjeno za ).

– Zapamtite radnje s razlomcima:

i također, vrlo važno pravilo za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik:

Ako ovi primjeri nisu jasni, pogledajte školske udžbenike.
Bez ovoga će biti TEŠKO.

SAVJET: sve SREDNJE izračune u višoj matematici najbolje je izvesti u OBIČNIM DESNIM I NEPRAVILNIM RAZLOMKAMA, čak i ako su strašni razlomci poput . Ovaj razlomak NE TREBA biti predstavljen kao , i, štoviše, NEMOJTE dijeliti brojnik s nazivnikom na kalkulatoru, dobivajući 4,334552102 ....

IZNIMKA od pravila je konačni odgovor zadatka, tada je samo bolje napisati ili.

– Jednadžba. Ima lijevu i desnu stranu. Na primjer:

Možete prenijeti bilo koji pojam u drugi dio mijenjajući njegov predznak:
Pomaknimo, na primjer, sve pojmove na lijevu stranu:

Ili desno:

Nova stranica 1

Matematička analiza za lutke. Lekcija 1. Skupovi.

Koncept skupa

Gomila je zbirka nekih objekata. Što mogu biti setovi? Prvo, konačno ili beskonačno. Na primjer, skup šibica u kutiji je konačan skup, mogu se uzeti i prebrojati. Broj zrna pijeska na plaži puno je teže izbrojati, ali u principu moguće. A ta se količina izražava nekim konačnim brojem. Toliko zrna pijeska na plaži, naravno. Ali skup točaka na pravoj liniji je beskonačan skup. Budući da je, prvo, sama linija beskonačna i na nju možete staviti koliko god želite. Skup točaka na segmentu pravca također je beskonačan. Budući da teoretski točka može biti proizvoljno mala. Naravno, ne možemo fizički nacrtati točku, na primjer, manju od veličine atoma, ali, s gledišta matematike, točka nema veličinu. Njegova veličina je nula. Što se događa kada broj podijelite s nulom? Tako je, beskonačnost. I premda skup točaka na ravnoj crti i na segmentu teži beskonačnosti, to nije ista stvar. Skup nije količina nečega tamo, već zbirka bilo kojih objekata. I samo oni skupovi koji sadrže potpuno iste objekte smatraju se jednakima. Ako jedan skup sadrži iste objekte kao drugi skup, ali plus još jedan "lijevi" objekt, onda to više nisu jednaki skupovi.

Razmotrimo primjer. Recimo da imamo dva seta. Prvi je skup svih točaka na liniji. Drugi je skup svih točaka na ravnom segmentu. Zašto nisu jednaki? Prvo, segment i ravna crta se možda čak i ne sijeku. Tada zasigurno nisu jednake, budući da sadrže potpuno različite točke. Ako se sijeku, onda imaju samo jednu zajedničku točku. Svi ostali su jednako različiti. Što ako segment leži na ravnoj crti? Tada su sve točke segmenta također točke pravca. Ali nisu sve točke na liniji točke na odsječku pravca. Dakle, u ovom slučaju, skupovi se ne mogu smatrati jednakim (identičnim).

Svaki skup je definiran pravilom koje na jedinstven način određuje pripada li element ovom skupu ili ne. Koja bi to pravila mogla biti? Na primjer, ako je skup konačan, možete glupo nabrojati sve njegove objekte. Možete postaviti raspon. Na primjer, svi cijeli brojevi od 1 do 10. Ovo će također biti konačan skup, ali ovdje ne navodimo njegove elemente, već formuliramo pravilo. Ili nejednakost, na primjer, svi brojevi su veći od 10. Ovo će već biti beskonačan skup, budući da je nemoguće imenovati najveći broj - bez obzira koji broj zovemo, uvijek postoji ovaj broj plus 1.

Skupovi se u pravilu označavaju velikim slovima latinske abecede A, B, C i tako dalje. Ako se skup sastoji od određenih elemenata i želimo ga definirati kao popis tih elemenata, onda ovaj popis možemo zatvoriti u vitičaste zagrade, na primjer A=(a, b, c, d). Ako je a element skupa A, onda se to piše na sljedeći način: a Î A. Ako a nije element skupa A, onda napišite a Ï A. Jedan od važnih skupova je skup N svih prirodnih brojeva N=(1,2,3,...,) . Postoji i poseban, takozvani prazan skup, koji ne sadrži niti jedan element. Prazan skup je označen simbolom Æ .

Definicija 1 (definicija jednakosti skupova). Setovi ALI i B su jednaki ako se sastoje od istih elemenata, odnosno ako su iz x n A slijedi x n B i obrnuto, iz x n B slijedi x n A.

Formalno, jednakost dva skupa piše se na sljedeći način:

(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

To znači da su za bilo koji objekt x relacije xÎ A i x O B su ekvivalentni.

Ovdje " je univerzalni kvantifikator (" xglasi "za svaku x").

Definicija 2 (definicija podskupa). Gomila ALI je podskup skupa NA ako ijedan x koji pripadaju skupu ALI, pripada skupu NA. Formalno, to se može izraziti kao izraz:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Ako je A Ì B ali A ¹ B, tada je A pravi podskup skupa NA. Kao primjer, opet, mogu se navesti ravna crta i segment. Ako segment leži na pravcu, tada je skup njegovih točaka podskup točaka ovog pravca. Ili, još jedan primjer. Skup cijelih brojeva koji su jednako djeljivi s 3 je podskup skupa cijelih brojeva.

Komentar. Prazan skup je podskup bilo kojeg skupa.

Operacije na skupovima

Na skupovima su moguće sljedeće operacije:

Unija. Bit ove operacije je kombinirati dva skupa u jedan koji sadrži elemente svakog od kombiniranih skupova. Formalno, to izgleda ovako:

C=AÈ B:= {x:x Î A ili xÎ B}

Primjer. Riješimo nejednakost | 2 x+ 3 | > 7.

To implicira ili nejednakost 2x+3 >7, za 2x+3≥0, zatim x>2

ili nejednakosti 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Skup rješenja ove nejednakosti je unija skupova (-∞,-5) È (2, ∞).

Provjerimo. Izračunajmo vrijednost izraza | 2 x+ 3 | za nekoliko točaka, koje leže i ne leže u zadanom rasponu:

x	| 2 x+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Kao što vidite, sve je ispravno odlučeno (granični rasponi su označeni crvenom bojom).

križanje. Presjek je operacija stvaranja novog skupa od dva elementa koji su uključeni u oba ova skupa. Da bismo to vizualizirali, zamislimo da imamo dva skupa točaka na ravnini, a to su lik A i lik B. Njihov presjek označava lik C - to je rezultat operacije presjeka skupova:

Formalno, operacija presjeka skupova zapisuje se na sljedeći način:

C=A Ç B:= (x: x Î A i x O B )

Primjer. Neka nam onda skup C=A Ç B = {5,6,7}

Oduzimanje. Oduzimanje skupa je izuzimanje iz oduzetog skupa onih elemenata koji su sadržani u oduzimanju i oduzimanju:

Formalno, oduzimanje skupa se piše na sljedeći način:

A\B:={x:x Î A i xÏ B}

Primjer. Neka nas bude mnogo A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Zatim C=A\ B = { 1,2,3,4}

Dodatak. Komplement je unarna operacija (operacija ne na dva, već na jednom skupu). Ova operacija je rezultat oduzimanja zadanog skupa od cjelovitog univerzalnog skupa (skupa koji uključuje sve ostale skupove).

A := (x:x O U i x P A) = U \ A

Grafički se to može predstaviti kao:

simetrična razlika. Za razliku od uobičajene razlike, kod simetrične razlike skupova ostaju samo oni elementi koji su prisutni ili u jednom ili u drugom skupu. Ili, jednostavno rečeno, kreira se iz dva skupa, ali oni elementi koji se nalaze u oba skupa isključeni su iz njega:

Matematički se to može izraziti na sljedeći način:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

Svojstva operacija nad skupovima.

Iz definicija unije i presjeka skupova proizlazi da operacije presjeka i unije imaju sljedeća svojstva:

1. Komutativnost.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

1. Asocijativnost.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C= AÇ ( B Ç C)

Gomila strašnih formula, priručnika iz više matematike koje otvaraš i odmah zatvaraš, bolna potraga za rješenjem naizgled vrlo jednostavnog problema.... Ovakva situacija nije neuobičajena, pogotovo kada je udžbenik iz matematike zadnji put otvoren u dalekom 11. razredu. U međuvremenu, na sveučilištima nastavni planovi i programi mnogih specijalnosti predviđaju proučavanje svima omiljene više matematike. I u ovoj situaciji često se osjećate kao potpuni čajnik pred gomilom strašnih matematičkih gluposti. Štoviše, slična situacija može nastati u proučavanju bilo kojeg predmeta, posebice iz ciklusa prirodnih znanosti.

Što uraditi? Za redovitog studenta sve je puno jednostavnije, osim ako, naravno, predmet nije jako zanemaren. Možete se posavjetovati s učiteljem, kolegama iz razreda i jednostavno otpisati od susjeda na stolu. Čak će i pun čajnik iz više matematike preživjeti seansu u takvim scenarijima.

A ako osoba studira na dopisnom odjelu sveučilišta, a viša matematika, blago rečeno, vjerojatno neće biti potrebna u budućnosti? Osim toga, nema vremena za nastavu. Tako je, u većini slučajeva, tako, ali nitko nije otkazao izvođenje testova i polaganje ispita (najčešće pismenog). S testovima iz više matematike sve je lakše, bez obzira jesi li čajnik ili nisi - može se naručiti test iz matematike. Na primjer, imam. Mogu se naručiti i ostali artikli. Ne više ovdje. No provedba i predaja ispitnih radova na recenziju još neće dovesti do željenog upisa u knjižicu. Često se događa da umjetničko djelo izrađeno po narudžbi treba braniti, a potrebno je objasniti zašto ta formula proizlazi iz ovih slova. Osim toga, stižu ispiti, a tamo ćete već morati SAMOSTALNO rješavati odrednice, granice i izvedenice. Osim ako, naravno, učitelj ne prihvati vrijedne darove, ili ako izvan učionice nema angažiranog dobronamjernika.

Dopustite mi da vam dam nekoliko vrlo važnih savjeta. Na testovima, ispitima iz točnih i prirodnih znanosti JAKO JE VAŽNO NEŠTO RAZUMIJETI. Zapamtite, BAR NEŠTO. Potpuna odsutnost misaonih procesa jednostavno razbjesni učitelja, znam za slučajeve kada su izvanredni studenti bili omotani 5-6 puta. Sjećam se da je jedan mladić prošao test 4 puta, a nakon svakog ponovnog polaganja obraćao mi se za besplatne konzultacije u jamstvenom roku. Na kraju sam primijetio da je u odgovoru napisao slovo “pe” umjesto slova “pi”, nakon čega su uslijedile oštre sankcije recenzenta. Učenik NIJE NI HTIO POGLEDATI u zadatak, koji je ležerno prepisao

Možete biti potpuna lutka u višoj matematici, ali je vrlo poželjno znati da je derivacija konstante jednaka nuli. Jer ako na elementarno pitanje odgovorite na neku glupost, onda je velika vjerojatnost da će vam završiti studij na fakultetu. Učitelji su puno naklonjeniji učeniku koji BAR POKUŠAVA razumjeti predmet, onome koji, doduše pogrešno, ali pokušava nešto riješiti, objasniti ili dokazati. I ova izjava vrijedi za sve discipline. Stoga stav „ne znam ništa, ništa ne razumijem“ treba odlučno odbaciti.

Drugi važan savjet je POSJEĆAVANJE PREDAVANJA, čak i ako ih nema puno. To sam već spomenuo na glavnoj stranici stranice. Matematika za dopisne studente. Nema smisla ponavljati zašto je to JAKO važno, pročitajte tamo.

Dakle, što učiniti ako postoji test na nosu, ispit iz više matematike, a stvari su žalosne - stanje punog, odnosno praznog čajnika?

Jedna od opcija je unajmiti učitelja. Najveća baza podataka nastavnika može se pronaći (uglavnom Moskva) ili (uglavnom St. Petersburg). Koristeći tražilicu, vrlo je vjerojatno da ćete pronaći učitelja u svom gradu ili pogledati lokalne reklamne novine. Cijena za usluge mentora može varirati od 400 ili više rubalja po satu, ovisno o kvalifikacijama učitelja. Treba napomenuti da jeftino ne znači i loše, pogotovo ako imate dobru matematičku pozadinu. U isto vrijeme, za 2-3K rubalja dobit ćete PUNO. Uzalud nitko ne uzima takav novac, a uzalud nitko takav novac ne plaća ;-). Jedina važna točka - pokušajte odabrati učitelja sa specijaliziranim pedagoškim obrazovanjem. I zapravo, mi ne idemo zubaru po pravnu pomoć.

U posljednje vrijeme internetska poduka postaje sve popularnija. Vrlo je zgodno kada trebate hitno riješiti jedan ili dva problema, razumjeti temu ili se pripremiti za ispit. Nedvojbena prednost su cijene koje su nekoliko puta niže od onih kod offline učitelja + ušteda vremena na putovanju, što je posebno važno za stanovnike megagradova.

Na kolegiju više matematike vrlo je teško svladati neke stvari bez mentora, potrebno je samo “živo” objašnjenje.

Ipak, sasvim je moguće samostalno razumjeti mnoge vrste problema, a svrha ovog dijela stranice je naučiti vas kako riješiti tipične primjere i probleme koji se gotovo uvijek nalaze na ispitima. Štoviše, za niz zadataka postoje "tvrdi" algoritmi, gdje nema bijega od ispravnog rješenja. I, koliko znam, nastojat ću vam pomoći, tim više što imam pedagoško obrazovanje i radno iskustvo u svojoj specijalnosti.

Počnimo hvatati matematičke gluposti. U redu je, čak i ako ste čajnik, viša matematika je stvarno jednostavna i stvarno dostupna.

I trebate početi ponavljanjem školskog tečaja matematike. Ponavljanje je majka boli.

Prije nego što počnete proučavati moje metodološke materijale, i općenito počnete proučavati materijale iz više matematike, TOPLO PREPORUČUJEM da pročitate sljedeće.

Da biste uspješno rješavali zadatke iz više matematike, MORATE:

NABAVITE MIKROKALKULATOR.

Od programa - Excel (izvrstan izbor!). Učitao sam priručnik za "lutke" u knjižnicu.

Tamo je? Već dobro.

– Od prestrojavanja pojmova - zbroj se ne mijenja: .
Ali to su potpuno različite stvari:

Jednostavno je nemoguće preurediti "x" i "četiri". Istodobno, podsjećamo na ikonično slovo "x", što u matematici znači nepoznatu ili promjenjivu vrijednost.

– Preuređivanjem faktora – proizvod se ne mijenja: .
S dijeljenjem takav trik neće uspjeti, a to su dva potpuno različita razlomka, a preuređivanje brojnika s nazivnikom ne prolazi bez posljedica.
Također podsjećamo da se znak množenja (“točke”) najčešće ne piše:,

– Prisjetite se pravila za proširenje zagrada:
- ovdje se znakovi pojmova ne mijenjaju
- i ovdje su obrnuti.
A za množenje:

Općenito, dovoljno je to zapamtiti DVA MINUS DAJE PLUS, a TRI MINUS - DAJ MINUS. I, pokušajte se u tome ne zbuniti pri rješavanju zadataka iz više matematike (vrlo česta i neugodna pogreška).

– Prisjetimo se smanjenja sličnih pojmova, Trebali biste dobro razumjeti sljedeću operaciju:

– Sjetite se što je diploma:

, , , .

Stupanj je samo obično množenje.

–Zapamtite da se razlomci mogu smanjiti: (smanjeno za 2), (smanjeno za pet), (smanjeno za ).

– Zapamtite radnje s razlomcima:

i također, vrlo važno pravilo za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik:

Ako ovi primjeri nisu jasni, pogledajte školske udžbenike.
Bez ovoga će biti TEŠKO.

SAVJET: sve SREDNJE izračune u višoj matematici najbolje je izvesti u OBIČNIM DESNIM I NEPRAVILNIM RAZLOMKAMA, čak i ako su strašni razlomci poput . Ovaj razlomak NE TREBA biti predstavljen kao , i, štoviše, NEMOJTE dijeliti brojnik s nazivnikom na kalkulatoru, dobivajući 4,334552102 ....

IZNIMKA od pravila je konačni odgovor zadatka, tada je samo bolje napisati ili.

– Jednadžba. Ima lijevu i desnu stranu. Na primjer:

Možete prenijeti bilo koji pojam u drugi dio mijenjajući njegov predznak:
Pomaknimo, na primjer, sve pojmove na lijevu stranu:

Ili desno:

Ograničenja zadaju svim studentima matematike mnogo problema. Da biste riješili ograničenje, ponekad morate koristiti mnogo trikova i odabrati iz raznih rješenja upravo ono koje je prikladno za određeni primjer.

U ovom članku nećemo vam pomoći razumjeti granice svojih sposobnosti ili shvatiti granice kontrole, ali ćemo pokušati odgovoriti na pitanje: kako razumjeti granice u višoj matematici? Razumijevanje dolazi s iskustvom, pa ćemo ujedno dati neke detaljne primjere rješavanja granica s objašnjenjima.

Koncept granice u matematici

Prvo je pitanje: što je granica i granica čega? Možemo govoriti o granicama brojčanih nizova i funkcija. Zanima nas pojam granice funkcije, budući da se s njima studenti najčešće susreću. Ali prvo, najopćenitija definicija granice:

Recimo da postoji neka varijabla. Ako se ta vrijednost u procesu promjene neograničeno približava određenom broju a , onda a je granica ove vrijednosti.

Za funkciju definiranu u nekom intervalu f(x)=y granica je broj A , kojemu funkcija teži kada x težeći određenoj točki a . Točka a pripada intervalu na kojem je funkcija definirana.

Zvuči glomazno, ali je napisano vrlo jednostavno:

Lim- s engleskog ograničiti- granica.

Postoji i geometrijsko objašnjenje za definiciju granice, ali ovdje nećemo ulaziti u teoriju, jer nas više zanima praktična nego teorijska strana problema. Kad to kažemo x teži nekoj vrijednosti, što znači da varijabla ne poprima vrijednost broja, već joj se približava beskonačno blizu.

Uzmimo konkretan primjer. Izazov je pronaći granicu.

Da bismo riješili ovaj primjer, zamjenjujemo vrijednost x=3 u funkciju. dobivamo:

Usput, ako vas zanimaju osnovne operacije na matricama, pročitajte poseban članak na ovu temu.

U primjerima x može težiti bilo kojoj vrijednosti. Može biti bilo koji broj ili beskonačnost. Evo primjera kada x teži beskonačnosti:

Intuitivno je jasno da što je veći broj u nazivniku, to će funkcija uzeti manju vrijednost. Dakle, s neograničenim rastom x značenje 1/x smanjit će se i približiti nuli.

Kao što vidite, da biste riješili ograničenje, samo trebate zamijeniti vrijednost kojoj težite u funkciju x . Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj. Često pronalaženje granice nije tako očito. Unutar granica postoje nesigurnosti tipa 0/0 ili beskonačnost/beskonačnost . Što učiniti u takvim slučajevima? Koristite trikove!

Neizvjesnosti unutar

Neizvjesnost oblika beskonačnost/beskonačnost

Neka postoji granica:

Ako u funkciju pokušamo zamijeniti beskonačnost, dobivamo beskonačnost i u brojniku i u nazivniku. Općenito, vrijedi reći da postoji određeni element umjetnosti u rješavanju takvih nesigurnosti: morate primijetiti kako možete transformirati funkciju na takav način da nesigurnost nestane. U našem slučaju brojnik i nazivnik dijelimo sa x u višu diplomu. Što će se dogoditi?

Iz prethodno razmotrenog primjera znamo da će članovi koji sadrže x u nazivniku težiti nuli. Tada je rješenje granice:

Kako bi se otkrile nejasnoće tipa beskonačnost/beskonačnost podijeliti brojnik i nazivnik sa x do najvišeg stupnja.

Usput! Za naše čitatelje sada je popust od 10%. bilo kakvu vrstu posla

Druga vrsta nesigurnosti: 0/0

Kao i uvijek, zamjena u funkciju vrijednosti x=-1 daje 0 u brojniku i nazivniku. Pogledajte malo pažljivije i primijetit ćete da imamo kvadratnu jednadžbu u brojniku. Nađimo korijene i napišimo:

Smanjimo i dobijemo:

Dakle, ako naiđete na dvosmislenost tipa 0/0 - faktorizirati brojnik i nazivnik.

Kako bismo vam olakšali rješavanje primjera, evo tablice s ograničenjima nekih funkcija:

L'Hopitalovo pravilo iznutra

Još jedan moćan način za uklanjanje obje vrste nesigurnosti. Koja je bit metode?

Ako postoji nesigurnost u granici, uzimamo derivaciju brojnika i nazivnika sve dok nesigurnost ne nestane.

Vizualno, L'Hopitalovo pravilo izgleda ovako:

Važna točka : granica, u kojoj su derivacije brojnika i nazivnika umjesto brojnika i nazivnika, mora postojati.

A sada pravi primjer:

Postoji tipična neizvjesnost 0/0 . Uzmimo derivacije brojnika i nazivnika:

Voila, neizvjesnost se uklanja brzo i elegantno.

Nadamo se da ćete ove informacije uspjeti dobro iskoristiti u praksi i pronaći odgovor na pitanje "kako riješiti granice u višoj matematici". Ako trebate izračunati granicu niza ili granicu funkcije u točki, a za ovaj posao nema vremena od riječi „apsolutno“, obratite se stručnom studentskom servisu za brzo i detaljno rješenje.

Kategorija Računica sadrži besplatne online video lekcije na ovu temu. Matematička analiza je skup grana matematike koje proučavaju funkcije i njihove generalizacije korištenjem metoda diferencijalnog i integralnog računa. To uključuje: funkcionalnu analizu, uključujući teoriju Lebesgueovog integrala, kompleksnu analizu (TFKP), koja proučava funkcije definirane na kompleksnoj ravni, teoriju nizova i višedimenzionalnih integrala, nestandardnu ​​analizu koja proučava beskonačno male i beskonačno velike brojeve, vektorska analiza i varijacijski račun. Učenje računa iz video lekcija bit će korisno i za početnike i za iskusnije matematičare. Možete besplatno gledati video lekcije iz odjeljka Matematička analiza u bilo koje prikladno vrijeme. Neke video lekcije o matematičkoj analizi imaju dodatne materijale koji se mogu preuzeti. Sretno učenje!

Ukupno materijala: 12
Prikazani materijali: 1-10

Što je derivacija funkcije

Želite li znati što je derivacija funkcije u matematici? Naravno, za izvedenicu ste čuli mnogo puta, pa čak i, vjerojatno, uzeli upravo ovu izvedenicu u školi, potpuno ne shvaćajući značenje vaših postupaka. U ovom videu vas neću učiti formule, ali ću vam objasniti značenje izvedenice na prstima kako bi i okrugli čajnik mogao razumjeti. Ali prvo, bolje je pogledati moj prethodni video, gdje također govorim o funkciji na pristupačan način. U ovom video tutorialu, mi smo jednostavni, jasni i ilustrativni životni primjeri...

Uvod u analizu. Snaga skupova

Online lekcija “Uvod u analizu. Snaga skupova” posvećena je pitanju takvog koncepta kao što je moć skupova. Ovo pitanje se odnosi na kvantitativnu karakterizaciju skupova. Ako je skup konačan, onda možemo govoriti o broju njegovih elemenata. Ali što je s beskonačnim skupovima? Doista, u ovom slučaju neće biti pojma više ili manje. Da bi se riješio ovaj problem, uvodi se koncept kao što je snaga. Moć je alat za kvantitativno uspoređivanje beskonačnih skupova. Ova lekcija daje...

Granica funkcije u točki - definicija, primjeri

Ova online lekcija govori o takvom konceptu kao što je granica funkcije u točki - definicija, primjeri. Većina elemenata proučavanja funkcija temelji se na osnovnom konceptu granice funkcije. Ovdje će se na jednostavnom primjeru razmotriti granica funkcije u točki, nakon čega će se dati striktna definicija granice funkcije u točki s detaljnom ilustracijom na grafu radi bolje asimilacije materijala. Ova lekcija također razmatra druge primjere i daje rigoroznu definiciju jednostranog...

Konvergencija stepena redova - primjer kako pronaći područje ​​konvergencije, istraživanje

Ovaj video tutorial govori o takvom konceptu kao što je konvergencija potencijskog niza, primjer kako pronaći područje ​​konvergencije, istraživanje. Potencijalni niz je poseban slučaj funkcionalnog niza kada su njegovi članovi potencijske funkcije argumenta x. Područje konvergencije su sve vrijednosti varijable x za koje konvergiraju odgovarajući numerički nizovi. Za istraživanje možete upotrijebiti d'Alembertov test i njime pokazati da se niz snaga konvergira ili divergira, a kada ...

Što je primitivno

U ovom videu ću vam reći o antiderivatu, koji je bliski srodnik izvedenice. Zapravo, o njoj već znate gotovo sve ako ste gledali moje prethodne video zapise, a mi samo moramo staviti točke na i. Antiderivat je "roditeljska" funkcija za derivaciju. Pronaći antiderivativ znači odgovoriti na pitanje: čije je to dijete? Ako je kćer poznata, onda moramo pronaći majku. Prije smo, naprotiv, tražili kćer za datu majku. Sada radimo prijelaz sa...

Geometrijsko značenje izvedenice

U ovom videu govorit ću o geometrijskom značenju izvedenice. Naučit ćete da je geometrijsko značenje derivacije da su derivacija i nagib tangente gotovo ista stvar. Kažem "skoro" jer je derivacija jednaka tangenti nagiba tangente. Možemo pretpostaviti da su derivacija i nagib tangente usko povezani. Ako je nagib velik, tada je i derivacija velika, a funkcija u ovoj točki naglo raste. Ako je kut nagiba mali, onda je i derivacija mala...

Što je funkcija u matematici

Želite li znati što je funkcija u matematici? U ovom video tutorialu ćemo vam jednostavno i jasno, koristeći grafičke ilustracije i ilustrativne životne primjere, reći što je funkcija, koji je njezin argument, koje su funkcije (rastuće, opadajuće, miješane), kako možete postaviti funkciju (koristeći graf, tablica, formule). Vidjet ćete da se odnos koji pokazuje kako je jedna veličina povezana s drugom veličinom naziva funkcija. Svaka funkcija je odnos između količina...

Granica funkcije u beskonačnosti - definicija, primjeri

Lekcija "Granica funkcije u beskonačnosti - definicija, primjeri" posvećena je pitanju što su granice u beskonačnosti. Većina elementarnih funkcija definirana je za proizvoljno veliku vrijednost argumenta. U ovom slučaju važno je poznavati ponašanje funkcije u beskonačnosti. Jedan element proučavanja takvog ponašanja je pronaći granicu funkcije u beskonačnosti. Iako beskonačnost nije broj i nijedna točka na brojevnoj liniji mu ne odgovara, definicija granice na ...