Korijen jednadžbe je razlomak. Najjednostavnije racionalne jednadžbe

Rješavanje jednadžbi s razlomcima pogledajmo primjere. Primjeri su jednostavni i ilustrativni. Uz njihovu pomoć, možete razumjeti na najrazumljiviji način,.
Na primjer, trebate riješiti jednostavnu jednadžbu x/b + c = d.

Jednadžba ovog tipa naziva se linearna, jer nazivnik sadrži samo brojeve.

Rješenje se izvodi množenjem obje strane jednadžbe s b, tada jednadžba dobiva oblik x = b*(d – c), tj. nazivnik razlomka na lijevoj strani se smanjuje.

Na primjer, kako riješiti frakcijska jednadžba:
x/5+4=9
Oba dijela pomnožimo s 5. Dobivamo:
x+20=45
x=45-20=25

Još jedan primjer gdje je nepoznato u nazivniku:

Jednadžbe ovog tipa nazivaju se razlomkom racionalnim ili jednostavno frakcijskim.

Razlomku bismo riješili tako što bismo se riješili razlomaka, nakon čega ova jednadžba, najčešće, prelazi u linearnu ili kvadratnu jednadžbu koja se rješava na uobičajen način. Trebali biste uzeti u obzir samo sljedeće točke:

vrijednost varijable koja pretvara nazivnik u 0 ne može biti korijen;
ne možete podijeliti ili pomnožiti jednadžbu izrazom =0.

Ovdje stupa na snagu takav koncept kao područje dopuštenih vrijednosti(ODZ) - to su vrijednosti korijena jednadžbe za koje jednadžba ima smisla.

Dakle, rješavajući jednadžbu, potrebno je pronaći korijene, a zatim ih provjeriti u skladu s ODZ-om. Oni korijeni koji ne odgovaraju našem DHS-u isključeni su iz odgovora.

Na primjer, trebate riješiti frakcijsku jednadžbu:

Na temelju gornjeg pravila, x ne može biti = 0, tj. ODZ u ovom slučaju: x - bilo koja vrijednost osim nule.

Riješimo se nazivnika množenjem svih članova jednadžbe s x

I riješite uobičajenu jednadžbu

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Odgovor: x = 1/3

Riješimo jednadžbu kompliciranije:

Ovdje je prisutan i ODZ: x -2.

Rješavajući ovu jednadžbu, nećemo sve prenositi u jednom smjeru i dovoditi razlomke u zajednički nazivnik. Obje strane jednadžbe odmah množimo izrazom koji će sve nazivnike smanjiti odjednom.

Da biste smanjili nazivnike, trebate lijevu stranu pomnožiti s x + 2, a desnu s 2. Dakle, obje strane jednadžbe moraju se pomnožiti s 2 (x + 2):

Ovo je najčešće množenje razlomaka, o čemu smo već govorili gore.

Pišemo istu jednadžbu, ali na malo drugačiji način.

Lijeva strana se smanjuje za (x + 2), a desna za 2. Nakon redukcije dobivamo uobičajenu linearnu jednadžbu:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, što odgovara našem ODZ-u

Odgovor: x = 2.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima nije tako teško kao što se može činiti. U ovom članku smo to pokazali primjerima. Ako imate bilo kakvih poteškoća s kako riješiti jednadžbe s razlomcima, a zatim se odjavite u komentarima.

Prezentacija i lekcija na temu: "Racionalne jednadžbe. Algoritam i primjeri za rješavanje racionalnih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 8. razred
Priručnik za udžbenik Makarychev Yu.N. Priručnik za udžbenik Mordkovich A.G.

Uvod u iracionalne jednadžbe

Dečki, naučili smo kako riješiti kvadratne jednadžbe. Ali matematika nije ograničena na njih. Danas ćemo naučiti kako riješiti racionalne jednadžbe. koncept racionalne jednadžbe vrlo sličan konceptu racionalni brojevi. Samo pored brojeva, sada smo uveli i neku varijablu $x$. I tako dobivamo izraz u kojem se nalaze operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i podizanja na cijeli broj.

Neka je $r(x)$ racionalno izražavanje . Takav izraz može biti jednostavan polinom u varijabli $x$ ili omjer polinoma (uvodi se operacija dijeljenja, kao i za racionalne brojeve).
Poziva se jednadžba $r(x)=0$ racionalna jednadžba.
Bilo koja jednadžba oblika $p(x)=q(x)$, gdje su $p(x)$ i $q(x)$ racionalni izrazi, također će biti racionalna jednadžba.

Razmotrimo primjere rješavanja racionalnih jednadžbi.

Primjer 1
Riješite jednadžbu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Riješenje.
Pomaknimo sve izraze na lijevu stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Kada bi obični brojevi bili predstavljeni na lijevoj strani jednadžbe, tada bismo dva razlomka doveli na zajednički nazivnik.
Učinimo ovo: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo jednadžbu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Razlomak je jednak nuli ako i samo ako je brojnik razlomka nula, a nazivnik je različit od nule. Zatim zasebno izjednačite brojnik s nulom i pronađite korijene brojnika.
$3(x^2+2x-3)=0$ ili $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sada provjerimo nazivnik razlomka: $(x-3)*x≠0$.
Umnožak dvaju brojeva jednak je nuli kada je barem jedan od tih brojeva jednak nuli. Zatim: $x≠0$ ili $x-3≠0$.
$x≠0$ ili $x≠3$.
Korijeni dobiveni u brojniku i nazivniku se ne podudaraju. Dakle, kao odgovor zapisujemo oba korijena brojnika.
Odgovor: $x=1$ ili $x=-3$.

Ako se iznenada jedan od korijena brojnika poklopio s korijenom nazivnika, onda ga treba isključiti. Takvi korijeni nazivaju se stranim!

Algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Sve izraze sadržane u jednadžbi treba prenijeti na lijeva strana iz znaka jednakosti.
2. Pretvorite ovaj dio jednadžbe u algebarski razlomak: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Izjednačite rezultirajući brojnik s nulom, odnosno riješite jednadžbu $p(x)=0$.
4. Izjednačite nazivnik s nulom i riješite rezultirajuću jednadžbu. Ako se korijeni nazivnika podudaraju s korijenima brojnika, onda ih treba isključiti iz odgovora.

Primjer 2
Riješite jednadžbu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Riješenje.
Riješit ćemo prema točkama algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Izjednačite brojnik s nulom: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izjednačite nazivnik s nulom:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jedan od korijena $x=1$ poklopio se s korijenom brojnika, tada ga ne zapisujemo kao odgovor.
Odgovor: $x=-1$.

Racionalne jednadžbe prikladno je rješavati metodom promjene varijabli. Pokažimo to.

Primjer 3
Riješite jednadžbu: $x^4+12x^2-64=0$.

Riješenje.
Uvodimo zamjenu: $t=x^2$.
Tada će naša jednadžba poprimiti oblik:
$t^2+12t-64=0$ je obična kvadratna jednadžba.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Uvedimo inverznu zamjenu: $x^2=4$ ili $x^2=-16$.
Korijeni prve jednadžbe su par brojeva $x=±2$. Drugi nema korijena.
Odgovor: $x=±2$.

Primjer 4
Riješite jednadžbu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riješenje.
Predstavimo novu varijablu: $t=x^2+x+1$.
Tada će jednadžba poprimiti oblik: $t=\frac(15)(t+2)$.
Zatim ćemo djelovati prema algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - korijeni se ne podudaraju.
Uvodimo obrnutu zamjenu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Riješimo svaku jednadžbu zasebno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korijenje.
I druga jednadžba: $x^2+x-2=0$.
Ukorijenjena zadana jednadžba bit će brojevi $x=-2$ i $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ i $x=1$.

Primjer 5
Riješite jednadžbu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Riješenje.
Uvodimo zamjenu: $t=x+\frac(1)(x)$.
Zatim:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ili $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo jednadžbu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korijeni ove jednadžbe su par:
$t=-3$ i $t=2$.
Uvedemo obrnutu zamjenu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odlučit ćemo posebno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Riješimo drugu jednadžbu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Korijen ove jednadžbe je broj $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Zadaci za samostalno rješavanje

Riješite jednadžbe:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Uveli smo gornju jednadžbu u § 7. Prvo, prisjetimo se što je racionalni izraz. ovo - algebarski izraz, sastavljen od brojeva i varijable x pomoću operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i stepenovanja s prirodnim eksponentom.

Ako je r(x) racionalan izraz, tada se jednadžba r(x) = 0 naziva racionalnom jednadžbom.

Međutim, u praksi je prikladnije koristiti nešto više široko tumačenje izraz "racionalna jednadžba": ovo je jednadžba oblika h(x) = q(x), gdje su h(x) i q(x) racionalni izrazi.

Do sada nismo mogli riješiti nijednu racionalnu jednadžbu, već samo onu koja se, kao rezultat raznih transformacija i razmišljanja, svela na Linearna jednadžba. Sada su naše mogućnosti puno veće: moći ćemo riješiti racionalnu jednadžbu koja se ne svodi samo na linearnu
mu, ali i na kvadratnu jednadžbu.

Prisjetite se kako smo ranije rješavali racionalne jednadžbe i pokušajte formulirati algoritam rješenja.

Primjer 1 riješiti jednadžbu

Riješenje. Prepisujemo jednadžbu u obliku

U ovom slučaju, kao i obično, koristimo činjenicu da jednakosti A \u003d B i A - B \u003d 0 izražavaju isti odnos između A i B. To nam je omogućilo da pojam prenesemo na lijevu stranu jednadžbe s suprotan znak.

Izvršimo transformacije lijeve strane jednadžbe. Imamo

Prisjetimo se uvjeta jednakosti razlomci nula: ako i samo ako su dvije relacije istovremeno zadovoljene:

1) brojnik razlomka je nula (a = 0); 2) nazivnik razlomka je različit od nule).
Izjednačavajući na nulu brojnik razlomka na lijevoj strani jednadžbe (1), dobivamo

Ostaje provjeriti ispunjenje drugog gore navedenog uvjeta. Omjer znači za jednadžbu (1) da . Vrijednosti x 1 = 2 i x 2 = 0,6 zadovoljavaju naznačene odnose i stoga služe kao korijeni jednadžbe (1), a ujedno i korijeni zadane jednadžbe.

1) Pretvorimo jednadžbu u oblik

2) Izvršimo transformacije lijeve strane ove jednadžbe:

(istovremeno promijenio predznake u brojniku i
razlomci).
Na ovaj način, zadana jednadžba poprima oblik

3) Riješite jednadžbu x 2 - 6x + 8 = 0. Pronađite

4) Za pronađene vrijednosti provjerite uvjet . Broj 4 zadovoljava ovaj uvjet, ali broj 2 ne. Dakle, 4 je korijen zadane jednadžbe, a 2 je vanjski korijen.
Odgovor: 4.

2. Rješenje racionalnih jednadžbi uvođenjem nove varijable

Način uvođenja nove varijable vam je poznat, koristili smo ga više puta. Pokažimo na primjerima kako se koristi u rješavanju racionalnih jednadžbi.

Primjer 3 Riješite jednadžbu x 4 + x 2 - 20 = 0.

Riješenje. Uvodimo novu varijablu y \u003d x 2. Budući da je x 4 = (x 2) 2 = y 2, tada se data jednadžba može prepisati u obliku

y 2 + y - 20 = 0.

Ovo je kvadratna jednadžba čije ćemo korijene pronaći koristeći poznato formule; dobivamo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ali y \u003d x 2, što znači da je problem sveden na rješavanje dvije jednadžbe:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Iz prve jednadžbe nalazimo da druga jednadžba nema korijen.
Odgovor: .
Jednadžba oblika ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 naziva se bikvadratna jednadžba ("bi" - dva, tj., takoreći, jednadžba "dva kvadrata"). Upravo riješena jednadžba bila je točno bikvadratna. Bilo koja bikvadratna jednadžba rješava se na isti način kao i jednadžba iz primjera 3: uvodi se nova varijabla y = x 2, rezultirajuća kvadratna jednadžba se rješava u odnosu na varijablu y, a zatim se vraća na varijablu x.

Primjer 4 riješiti jednadžbu

Riješenje. Imajte na umu da se isti izraz x 2 + 3x ovdje pojavljuje dvaput. Stoga je logično uvesti novu varijablu y = x 2 + Zx. To će nam omogućiti da prepišemo jednadžbu u jednostavnijem i ugodnijem obliku (što je, zapravo, svrha uvođenja novog varijabla- i snimanje je lakše
, i struktura jednadžbe postaje jasnija):

A sada ćemo koristiti algoritam za rješavanje racionalne jednadžbe.

1) Premjestimo sve članove jednadžbe u jedan dio:

= 0
2) Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe

Dakle, transformirali smo zadanu jednadžbu u oblik

3) Iz jednadžbe - 7y 2 + 29y -4 = 0 nalazimo (riješili smo već dosta kvadratnih jednadžbi, pa se vjerojatno ne isplati uvijek davati detaljne izračune u udžbeniku).

4) Provjerimo pronađene korijene pomoću uvjeta 5 (y - 3) (y + 1). Oba korijena zadovoljavaju ovaj uvjet.
Dakle, kvadratna jednadžba za novu varijablu y je riješena:
Budući da y \u003d x 2 + Zx, a y, kao što smo utvrdili, uzima dvije vrijednosti: 4 i, - još uvijek moramo riješiti dvije jednadžbe: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Korijeni prve jednadžbe su brojevi 1 i - 4, korijeni druge jednadžbe su brojevi

U razmatranim primjerima način uvođenja nove varijable bio je, kako matematičari vole reći, adekvatan situaciji, odnosno dobro joj je odgovarao. Zašto? Da, jer se isti izraz jasno susreo u jednadžbi nekoliko puta i bilo je razumno ovaj izraz označiti novim slovom. Ali to nije uvijek tako, ponekad se nova varijabla "pojavi" tek u procesu transformacija. Upravo to će se dogoditi u sljedećem primjeru.

Primjer 5 riješiti jednadžbu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Riješenje. Imamo
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Dakle, data se jednadžba može prepisati kao

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Sada se "pojavila" nova varijabla: y = x 2 - Zx.

Uz njegovu pomoć, jednadžba se može prepisati u obliku y (y + 2) \u003d 24, a zatim y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Korijeni ove jednadžbe su brojevi 4 i -6.

Vraćajući se na izvornu varijablu x, dobivamo dvije jednadžbe x 2 - Zx \u003d 4 i x 2 - Zx \u003d - 6. Iz prve jednadžbe nalazimo x 1 = 4, x 2 \u003d - 1; druga jednadžba nema korijena.

Odgovor: 4, - 1.

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir predavanja prezentacija akceleratorske metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća rasprava pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječke i multimediju fotografije, slike grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za znatiželjne cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje pogrešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice raspravni programi Integrirane lekcije

Upoznajmo se s racionalnim i frakcijskim racionalnim jednadžbama, dajmo njihovu definiciju, navedimo primjere, a također analiziramo najčešće vrste problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalna jednadžba: definicija i primjeri

Upoznavanje s racionalnim izrazima počinje u 8. razredu škole. U ovo vrijeme, na nastavi algebre, učenici se sve više počinju susresti sa zadacima s jednadžbama koje u svojim bilješkama sadrže racionalne izraze. Osvježimo sjećanje što je to.

Definicija 1

racionalna jednadžba je jednadžba u kojoj obje strane sadrže racionalne izraze.

U raznim priručnicima možete pronaći još jedan izraz.

Definicija 2

racionalna jednadžba- ovo je jednadžba čiji zapis lijeve strane sadrži racionalni izraz, a desna sadrži nulu.

Definicije koje smo dali za racionalne jednadžbe su ekvivalentne, jer znače istu stvar. Ispravnost naših riječi potvrđuje činjenica da za bilo koje racionalne izraze P I P jednadžbe P=Q I P − Q = 0 bit će ekvivalentni izrazi.

Sada se okrenimo primjerima.

Primjer 1

Racionalne jednadžbe:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionalne jednadžbe, baš kao i jednadžbe drugih vrsta, mogu sadržavati bilo koji broj varijabli od 1 do nekoliko. Za početak ćemo razmotriti jednostavni primjeri, u kojem će jednadžbe sadržavati samo jednu varijablu. A onda počinjemo postupno komplicirati zadatak.

Racionalne jednadžbe se dijele u dvije velike skupine: cjelobrojne i razlomke. Pogledajmo koje će se jednadžbe primijeniti na svaku od skupina.

Definicija 3

Racionalna jednadžba bit će cijeli broj ako zapis njenog lijevog i desnog dijela sadrži cijele racionalne izraze.

Definicija 4

Racionalna jednadžba bit će razlomak ako jedan ili oba njezina dijela sadrže razlomak.

Frakcijsko racionalne jednadžbe nužno sadrže dijeljenje varijablom, ili je varijabla prisutna u nazivniku. Ne postoji takva podjela u pisanju cjelobrojnih jednadžbi.

Primjer 2

3 x + 2 = 0 I (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 su cijele racionalne jednadžbe. Ovdje su oba dijela jednadžbe predstavljena cjelobrojnim izrazima.

1 x - 1 = x 3 i x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 su frakcijsko racionalne jednadžbe.

Cjelokupne racionalne jednadžbe uključuju linearne i kvadratne jednadžbe.

Rješavanje cijelih jednadžbi

Rješenje takvih jednadžbi obično se svodi na njihovu transformaciju u ekvivalentne algebarske jednadžbe. To se može postići provođenjem ekvivalentnih transformacija jednadžbi u skladu sa sljedećim algoritmom:

prvo dobivamo nulu na desnoj strani jednadžbe, za to je potrebno prenijeti izraz koji se nalazi na desnoj strani jednadžbe na njezinu lijevu stranu i promijeniti predznak;
tada izraz s lijeve strane jednadžbe transformiramo u polinom standardni pogled.

Moramo dobiti algebarsku jednadžbu. Ova će jednadžba biti ekvivalentna s obzirom na izvornu jednadžbu. Jednostavni slučajevi nam omogućuju da riješimo problem tako da cijelu jednadžbu svedemo na linearnu ili kvadratnu. U općem slučaju rješavamo algebarsku jednadžbu stupnjeva n.

Primjer 3

Potrebno je pronaći korijene cijele jednadžbe 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Riješenje

Transformirajmo izvorni izraz kako bismo dobili njemu ekvivalentnu algebarsku jednadžbu. Da bismo to učinili, prenijet ćemo izraz sadržan u desnoj strani jednadžbe na lijevu stranu i promijeniti predznak u suprotan. Kao rezultat, dobivamo: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sada ćemo transformirati izraz koji se nalazi na lijevoj strani u polinom standardnog oblika i izvesti potrebne radnje s ovim polinomom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Rješenje izvorne jednadžbe uspjeli smo svesti na rješenje kvadratna jednadžba ljubazan x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanta ove jednadžbe je pozitivna: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znači da će postojati dva prava korijena. Pronađimo ih pomoću formule korijena kvadratne jednadžbe:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 ili x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ili x 2 = - 1

Provjerimo ispravnost korijena jednadžbe koju smo pronašli tijekom rješavanja. Za ovaj broj, koji smo dobili, zamjenjujemo u izvornu jednadžbu: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 I 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. U prvom slučaju 63 = 63 , u drugom 0 = 0 . Korijenje x=6 I x = − 1 su doista korijeni jednadžbe dane u primjeru uvjeta.

Odgovor: 6 , − 1 .

Pogledajmo što znači "snaga cijele jednadžbe". Često ćemo naići na ovaj pojam u onim slučajevima kada cijelu jednadžbu trebamo prikazati u obliku algebarske. Definirajmo pojam.

Definicija 5

Stupanj cjelobrojne jednadžbe je stupanj algebarska jednadžba, što je ekvivalentno izvornoj cijeloj jednadžbi.

Ako pogledate jednadžbe iz gornjeg primjera, možete ustanoviti: stupanj cijele ove jednadžbe je drugi.

Kad bi se naš tečaj ograničio na rješavanje jednadžbi drugog stupnja, onda bi se razmatranje teme moglo završiti ovdje. Ali nije sve tako jednostavno. Rješavanje jednadžbi trećeg stupnja ispunjeno je poteškoćama. A za jednadžbe iznad četvrtog stupnja uopće ne postoji opće formule korijenje. U tom smislu, rješavanje cijelih jednadžbi trećeg, četvrtog i drugih stupnjeva zahtijeva od nas korištenje niza drugih tehnika i metoda.

Najčešći pristup rješavanju cijelih racionalnih jednadžbi temelji se na metodi faktorizacije. Algoritam radnji u ovom slučaju je sljedeći:

prenosimo izraz s desne strane na lijevu stranu tako da nula ostane na desnoj strani zapisa;
izraz na lijevoj strani predstavljamo kao proizvod faktora, a zatim prelazimo na skup nekoliko jednostavnijih jednadžbi.

Primjer 4

Pronađite rješenje jednadžbe (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Riješenje

Prenosimo izraz s desne strane zapisa na lijevu stranu sa suprotnim predznakom: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Pretvaranje lijeve strane u polinom standardnog oblika nepraktično je zbog činjenice da će nam to dati algebarsku jednadžbu četvrtog stupnja: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Lakoća transformacije ne opravdava sve poteškoće s rješavanjem takve jednadžbe.

Mnogo je lakše ići drugim putem: izbacujemo zajednički faktor x 2 − 10 x + 13 . Tako dolazimo do jednadžbe oblika (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sada ćemo rezultirajuću jednadžbu zamijeniti skupom od dvije kvadratne jednadžbe x 2 − 10 x + 13 = 0 I x 2 − 2 x − 1 = 0 i pronađite njihove korijene kroz diskriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Odgovor: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Slično, možemo koristiti metodu uvođenja nove varijable. Ova metoda nam omogućuje da prijeđemo na ekvivalentne jednadžbe s potencijama manjim od onih u izvornoj cijeloj jednadžbi.

Primjer 5

Ima li jednadžba korijene? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Riješenje

Ako sada pokušamo cijelu racionalnu jednadžbu svesti na algebarsku, dobit ćemo jednadžbu stupnja 4, koja nema racionalne korijene. Stoga će nam biti lakše krenuti drugim putem: uvesti novu varijablu y, koja će zamijeniti izraz u jednadžbi x 2 + 3 x.

Sada ćemo raditi s cijelom jednadžbom (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Prenosimo desnu stranu jednadžbe na lijevu stranu s suprotnim predznakom i provodimo potrebne transformacije. dobivamo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: y = − 1 I y = − 3.

Sada napravimo obrnutu zamjenu. Dobivamo dvije jednadžbe x 2 + 3 x = − 1 I x 2 + 3 x = - 3 . Zapišimo ih kao x 2 + 3 x + 1 = 0 i x 2 + 3 x + 3 = 0. Koristimo formulu korijena kvadratne jednadžbe da bismo pronašli korijene prve dobivene jednadžbe: - 3 ± 5 2 . Diskriminant druge jednadžbe je negativan. To znači da druga jednadžba nema pravi korijen.

Odgovor:- 3 ± 5 2

Cjelobrojne jednadžbe visokih stupnjeva često se susreću u problemima. Ne treba ih se bojati. Morate biti spremni primijeniti nestandardnu metodu njihovog rješavanja, uključujući niz umjetnih transformacija.

Rješenje frakcijski racionalnih jednadžbi

Započinjemo razmatranje ove podteme s algoritmom za rješavanje frakcijsko racionalnih jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0 , gdje je p(x) I q(x) su cjelobrojni racionalni izrazi. Rješenje drugih frakcijski racionalnih jednadžbi uvijek se može svesti na rješenje jednadžbi navedenog oblika.

Najčešće korištena metoda za rješavanje jednadžbi p (x) q (x) = 0 temelji se na sljedećoj tvrdnji: numerički razlomak u v, gdje v je broj koji je različit od nule, jednak nuli samo u slučajevima kada je brojnik razlomka jednak nuli. Slijedeći logiku gornje tvrdnje, možemo ustvrditi da se rješenje jednadžbe p (x) q (x) = 0 može svesti na ispunjenje dva uvjeta: p(x)=0 I q(x) ≠ 0. Na tome se gradi algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0:

nalazimo rješenje cijele racionalne jednadžbe p(x)=0;
provjeravamo je li zadovoljen uvjet za korijene pronađene tijekom rješavanja q(x) ≠ 0.

Ako je ovaj uvjet ispunjen, onda pronađeni korijen. Ako nije, onda korijen nije rješenje problema.

Primjer 6

Pronađite korijene jednadžbe 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Riješenje

Radimo s razlomkom racionalne jednadžbe oblika p (x) q (x) = 0 , u kojoj je p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Počnimo rješavati linearnu jednadžbu 3 x - 2 = 0. Korijen ove jednadžbe bit će x = 2 3.

Provjerimo pronađeni korijen, zadovoljava li uvjet 5 x 2 - 2 ≠ 0. Da biste to učinili, zamijenite brojčanu vrijednost u izraz. Dobivamo: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Uvjet je ispunjen. To znači da x = 2 3 je korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: 2 3 .

Postoji još jedna opcija za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi p (x) q (x) = 0 . Podsjetimo da je ova jednadžba ekvivalentna cijeloj jednadžbi p(x)=0 na rasponu dopuštenih vrijednosti varijable x izvorne jednadžbe. To nam omogućuje korištenje sljedećeg algoritma u rješavanju jednadžbi p(x) q(x) = 0:

riješiti jednadžbu p(x)=0;
pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za varijablu x;
uzimamo korijene koji leže u području dopuštenih vrijednosti varijable x kao željene korijene izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Primjer 7

Riješite jednadžbu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Riješenje

Najprije riješimo kvadratnu jednadžbu x 2 − 2 x − 11 = 0. Za izračunavanje njegovih korijena koristimo formulu korijena za paran drugi koeficijent. dobivamo D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, i x = 1 ± 2 3 .

Sada možemo pronaći ODV od x za izvornu jednadžbu. Sve su to brojevi za koje x 2 + 3 x ≠ 0. To je isto kao x (x + 3) ≠ 0, odakle je x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Sada provjerimo jesu li korijeni x = 1 ± 2 3 dobiveni u prvoj fazi rješenja unutar raspona prihvatljivih vrijednosti varijable x. Vidimo što dolazi. To znači da izvorna frakcijska racionalna jednadžba ima dva korijena x = 1 ± 2 3 .

Odgovor: x = 1 ± 2 3

Opisana druga metoda rješenja lakši od prvog u slučajevima kada je lako pronaći područje dopuštenih vrijednosti varijable x i korijene jednadžbe p(x)=0 iracionalno. Na primjer, 7 ± 4 26 9 . Korijeni mogu biti racionalni, ali s velikim brojnikom ili nazivnikom. Na primjer, 127 1101 I − 31 59 . Time se štedi vrijeme za provjeru stanja. q(x) ≠ 0: puno je lakše isključiti korijenje koji se ne uklapa, prema ODZ-u.

Kad su korijeni jednadžbe p(x)=0 su cijeli brojevi, svrsishodnije je koristiti prvi od opisanih algoritama za rješavanje jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0 . Brže pronalaženje korijena cijele jednadžbe p(x)=0, a zatim provjerite je li za njih ispunjen uvjet q(x) ≠ 0, a ne pronaći ODZ, a zatim riješiti jednadžbu p(x)=0 na ovom ODZ-u. To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše izvršiti provjeru nego pronaći ODZ.

Primjer 8

Pronađite korijene jednadžbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Riješenje

Počinjemo s razmatranjem cijele jednadžbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 i pronalaženje njegovih korijena. Da bismo to učinili, primjenjujemo metodu rješavanja jednadžbi kroz faktorizaciju. Ispada da je izvorna jednadžba ekvivalentna skupu od četiri jednadžbe 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, od kojih su tri linearne i jedna je kvadratna. Nalazimo korijene: iz prve jednadžbe x = 1 2, od drugog x=6, od trećeg - x \u003d 7, x \u003d - 2, od četvrtog - x = − 1.

Provjerimo dobivene korijene. U ovom slučaju teško nam je odrediti ODZ, jer ćemo za to morati riješiti algebarsku jednadžbu petog stupnja. Lakše će se provjeriti uvjet prema kojem nazivnik razlomka koji se nalazi na lijevoj strani jednadžbe ne bi trebao nestati.

Zauzvrat, zamijenite korijene umjesto varijable x u izrazu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 i izračunaj njegovu vrijednost:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Provedena provjera omogućuje nam da ustanovimo da su korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe 1 2 , 6 i − 2 .

Odgovor: 1 2 , 6 , - 2

Primjer 9

Nađi korijene razlomčke racionalne jednadžbe 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Riješenje

Počnimo s jednadžbom (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Pronađimo njegove korijene. Lakše nam je ovu jednadžbu predstaviti kao kombinaciju kvadratnih i linearnih jednadžbi 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 I x − 2 = 0.

Za pronalaženje korijena koristimo formulu korijena kvadratne jednadžbe. Iz prve jednadžbe dobivamo dva korijena x = 7 ± 69 10, a iz druge x=2.

Zamjena vrijednosti korijena u izvornu jednadžbu radi provjere uvjeta bit će nam prilično teška. Lakše će se odrediti LPV varijable x. U ovom slučaju, DPV varijable x su svi brojevi, osim onih za koje je uvjet zadovoljen x 2 + 5 x − 14 = 0. Dobivamo: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Sada provjerimo pripadaju li korijeni koje smo pronašli u rasponu prihvatljivih vrijednosti za varijablu x.

Korijeni x = 7 ± 69 10 - pripadaju, dakle, oni su korijeni izvorne jednadžbe, i x=2- ne pripada, dakle, to je strani korijen.

Odgovor: x = 7 ± 69 10 .

Razmotrimo odvojeno slučajeve kada brojnik frakcijske racionalne jednadžbe oblika p (x) q (x) = 0 sadrži broj. U takvim slučajevima, ako brojnik sadrži broj koji nije nula, tada jednadžba neće imati korijen. Ako je ovaj broj jednak nuli, tada će korijen jednadžbe biti bilo koji broj iz ODZ-a.

Primjer 10

Riješite razlomku racionalnu jednadžbu - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Riješenje

Ova jednadžba neće imati korijene, jer brojnik razlomka s lijeve strane jednadžbe sadrži broj različit od nule. To znači da za bilo koju vrijednost x vrijednost razlomka danog u uvjetu problema neće biti jednaka nuli.

Odgovor: nema korijena.

Primjer 11

Riješite jednadžbu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Riješenje

Budući da je brojnik razlomka nula, rješenje jednadžbe bit će bilo koja vrijednost x iz ODZ varijable x.

Sada definirajmo ODZ. Uključuje sve x vrijednosti za koje x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rješenja jednadžbi x 4 + 5 x 3 = 0 su 0 I − 5 , budući da je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi x 3 (x + 5) = 0, a on je, pak, ekvivalentan skupu dviju jednadžbi x 3 = 0 i x + 5 = 0 gdje su ti korijeni vidljivi. Dolazimo do zaključka da je željeni raspon prihvatljivih vrijednosti bilo koji x, osim x=0 I x = -5.

Ispada da frakcijska racionalna jednadžba 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ima beskonačan broj rješenja, a to su bilo koji brojevi osim nule i - 5.

Odgovor: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sada razgovarajmo o frakcijskim racionalnim jednadžbama proizvoljnog oblika i metodama za njihovo rješavanje. Mogu se napisati kao r(x) = s(x), gdje r(x) I s(x) su racionalni izrazi, a barem jedan od njih je razlomak. Rješenje takvih jednadžbi svodi se na rješenje jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0 .

Već znamo da ekvivalentnu jednadžbu možemo dobiti prenošenjem izraza s desne strane jednadžbe na lijevu stranu s suprotnim predznakom. To znači da je jednadžba r(x) = s(x) je ekvivalentna jednadžbi r (x) − s (x) = 0. Također smo već raspravljali o tome kako pretvoriti racionalni izraz u racionalni razlomak. Zahvaljujući tome, možemo jednostavno transformirati jednadžbu r (x) − s (x) = 0 u svoj identični racionalni razlomak oblika p (x) q (x) .

Dakle, prelazimo s izvorne frakcijske racionalne jednadžbe r(x) = s(x) na jednadžbu oblika p (x) q (x) = 0 , koju smo već naučili riješiti.

Treba napomenuti da prilikom prijelaza iz r (x) − s (x) = 0 na p (x) q (x) = 0 i zatim na p(x)=0 možda nećemo uzeti u obzir proširenje raspona valjanih vrijednosti varijable x.

Sasvim je realno da je izvorna jednadžba r(x) = s(x) i jednadžba p(x)=0 kao rezultat transformacija, oni će prestati biti ekvivalentni. Zatim rješenje jednadžbe p(x)=0 može nam dati korijene koji će biti strani r(x) = s(x). S tim u vezi, u svakom slučaju potrebno je izvršiti provjeru bilo kojom od gore opisanih metoda.

Kako bismo vam olakšali proučavanje teme, sve smo informacije generalizirali u algoritam za rješavanje razlomke racionalne jednadžbe oblika r(x) = s(x):

prenosimo izraz s desne strane s suprotnim predznakom i dobivamo nulu s desne strane;
originalni izraz pretvaramo u racionalni razlomak p (x) q (x) uzastopnim izvođenjem radnji s razlomcima i polinomima;
riješiti jednadžbu p(x)=0;
otkrivamo vanjske korijene provjeravanjem njihove pripadnosti ODZ-u ili zamjenom u izvornu jednadžbu.

Vizualno će lanac radnji izgledati ovako:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → napuštanje r o n d e r o o n s

Primjer 12

Riješite razlomku racionalnu jednadžbu x x + 1 = 1 x + 1 .

Riješenje

Prijeđimo na jednadžbu x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Pretvorimo frakcijski racionalni izraz na lijevoj strani jednadžbe u oblik p (x) q (x) .

Da bismo to učinili, moramo svesti racionalne razlomke na zajednički nazivnik i pojednostaviti izraz:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Da bismo pronašli korijene jednadžbe - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moramo riješiti jednadžbu − 2 x − 1 = 0. Dobivamo jedan korijen x = - 1 2.

Ostaje nam da izvršimo provjeru bilo kojom od metoda. Razmotrimo ih oboje.

Zamijenite rezultirajuću vrijednost u izvornu jednadžbu. Dobivamo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Došli smo do točne brojčane jednakosti − 1 = − 1 . To znači da x = − 1 2 je korijen izvorne jednadžbe.

Sada ćemo provjeriti preko ODZ-a. Odredimo područje prihvatljivih vrijednosti za varijablu x. To će biti cijeli skup brojeva, osim − 1 i 0 (kada je x = − 1 i x = 0, nazivnici razlomaka nestaju). Korijen koji smo dobili x = − 1 2 pripada ODZ-u. To znači da je to korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: − 1 2 .

Primjer 13

Pronađite korijene jednadžbe x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Riješenje

Imamo posla s razlomkom racionalne jednadžbe. Stoga ćemo djelovati prema algoritmu.

Premjestimo izraz s desne strane na lijevu stranu s suprotnim predznakom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Izvršimo potrebne transformacije: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Dolazimo do jednadžbe x=0. Korijen ove jednadžbe je nula.

Provjerimo je li ovaj korijen strani za izvornu jednadžbu. Zamijenite vrijednost u izvornoj jednadžbi: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kao što vidite, rezultirajuća jednadžba nema smisla. To znači da je 0 vanjski korijen, a izvorna frakcijska racionalna jednadžba nema korijena.

Odgovor: nema korijena.

Ako u algoritam nismo uključili druge ekvivalentne transformacije, to uopće ne znači da se one ne mogu koristiti. Algoritam je univerzalan, ali je osmišljen da pomaže, a ne ograničava.

Primjer 14

Riješite jednadžbu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Riješenje

Najlakši način je riješiti zadanu razlomku racionalnu jednadžbu prema algoritmu. Ali postoji i drugi način. Razmotrimo to.

Oduzmite od desnog i lijevog dijela 7, dobivamo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Iz ovoga možemo zaključiti da bi izraz u nazivniku lijeve strane trebao biti jednak broju recipročnom broju s desne strane, odnosno 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Oduzmite od oba dijela 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Po analogiji 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, odakle je 1 5 - x 2 = 1 3, i dalje 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Provjerimo kako bismo ustanovili jesu li pronađeni korijeni korijeni izvorne jednadžbe.

Odgovor: x = ± 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom članku ću vam pokazati algoritmi za rješavanje sedam vrsta racionalnih jednadžbi, koji se promjenom varijabli svode na kvadratne. U većini slučajeva, transformacije koje dovode do zamjene su vrlo netrivijalne i prilično je teško sami pretpostaviti o njima.

Za svaku vrstu jednadžbe objasnit ću kako napraviti promjenu varijable u njoj, a zatim ću pokazati detaljno rješenje u odgovarajućem video tutorialu.

Imate priliku sami nastaviti rješavati jednadžbe, a zatim provjerite svoje rješenje uz video tutorial.

Dakle, počnimo.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Imajte na umu da je umnožak četiri zagrade na lijevoj strani jednadžbe, a broj na desnoj strani.

1. Grupirajmo zagrade po dva tako da zbroj slobodnih članova bude isti.

2. Pomnožite ih.

3. Uvedimo promjenu varijable.

U našoj jednadžbi prvu zagradu grupiramo s trećom, a drugu s četvrtom, budući da (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

U ovom trenutku, promjena varijable postaje očita:

Dobivamo jednadžbu

Odgovor:

2 .

Jednadžba ovog tipa slična je prethodnoj s jednom razlikom: na desnoj strani jednadžbe je umnožak broja po. A rješava se na potpuno drugačiji način:

1. Grupiramo zagrade po dva tako da umnožak slobodnih pojmova bude isti.

2. Pomnožimo svaki par zagrada.

3. Iz svakog faktora vadimo x iz zagrade.

4. Podijelite obje strane jednadžbe sa .

5. Uvodimo promjenu varijable.

U ovoj jednadžbi prvu zagradu grupiramo s četvrtom, a drugu s trećom, budući da:

Imajte na umu da su u svakoj zagradi koeficijent at i slobodni član isti. Izvadimo množitelj iz svake zagrade:

Budući da x=0 nije korijen izvorne jednadžbe, dijelimo obje strane jednadžbe s . dobivamo:

Dobivamo jednadžbu:

Odgovor:

3 .

Imajte na umu da nazivnici oba razlomka sadrže kvadratni trinomi, čiji su vodeći koeficijent i slobodni član isti. Izvadimo, kao u jednadžbi druge vrste, x iz zagrade. dobivamo:

Podijelite brojnik i nazivnik svakog razlomka s x:

Sada možemo uvesti promjenu varijable:

Dobivamo jednadžbu za varijablu t:

4 .

Imajte na umu da su koeficijenti jednadžbe simetrični u odnosu na središnji. Takva se jednadžba zove povratno .

Da to riješim

1. Podijelite obje strane jednadžbe s (To možemo učiniti jer x=0 nije korijen jednadžbe.) Dobivamo:

2. Grupirajte pojmove na ovaj način:

3. U svakoj skupini izvlačimo zajednički faktor:

4. Predstavimo zamjenu:

5. Izrazimo izraz u terminima t:

Odavde

Dobivamo jednadžbu za t:

Odgovor:

5. Homogene jednadžbe.

Jednadžbe koje imaju strukturu homogene mogu se susresti pri rješavanju eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijske jednadžbe, pa ga treba prepoznati.

Homogene jednadžbe imaju sljedeću strukturu:

U ovoj jednakosti A, B i C su brojevi, a isti su izrazi označeni kvadratom i krugom. Odnosno, na lijevoj strani homogene jednadžbe nalazi se zbroj monoma koji imaju isti stupanj (u ovom slučaju stupanj monoma je 2), a nema slobodnog člana.

Da bismo riješili homogenu jednadžbu, obje strane podijelimo sa

Pažnja! Prilikom dijeljenja desne i lijeve strane jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti jesu li korijeni izraza kojim dijelimo oba dijela jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe.

Idemo prvim putem. Dobivamo jednadžbu:

Sada uvodimo zamjenu varijable:

Pojednostavite izraz i dobijete bikvadratnu jednadžbu za t:

Odgovor: ili

7 .

Ova jednadžba ima sljedeću strukturu:

Da biste ga riješili, trebate odabrati puni kvadrat na lijevoj strani jednadžbe.

Da biste odabrali cijeli kvadrat, morate dodati ili oduzeti dvostruki proizvod. Tada dobivamo kvadrat zbroja ili razlike. Ovo je ključno za uspješnu zamjenu varijable.

Počnimo s pronalaženjem dvostrukog proizvoda. To će biti ključ za zamjenu varijable. U našoj jednadžbi, dvostruki proizvod je