Primjeri eksponencijalnih jednadžbi i nejednakosti. eksponencijalne nejednakosti

Državno sveučilište Belgorod

STOLICA algebra, teorija brojeva i geometrija

Tema rada: Jednadžbe i nejednakosti eksponencijalne snage.

Diplomski rad student Fizičko-matematičkog fakulteta

Nadglednik:

______________________________

Recenzent: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006

Uvod			3
Predmet ja	Analiza literature na temu istraživanja.
Predmet II.	Funkcije i njihova svojstva korištena u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi eksponencijalne snage.
	I.1.	Funkcija snage i njegova svojstva.
	I.2.	Eksponencijalna funkcija i njegova svojstva.
Predmet III.	Rješenje jednadžbi eksponencijalne snage, algoritam i primjeri.
Predmet IV.	Rješavanje eksponencijalnih nejednakosti, plan rješenja i primjeri.
Predmet v.	Iskustvo u izvođenju nastave sa školarcima na temu: "Rješenje jednadžbi i nejednadžbi eksponencijalnih snaga".
v. 1.	Nastavni materijal.
v. 2.	Zadaci za samostalno rješavanje.
Zaključak.	Zaključci i ponude.
Bibliografija.
Prijave

Uvod.

"... radost gledanja i razumijevanja..."

A. Einstein.

U ovom radu pokušao sam prenijeti svoje iskustvo učitelja matematike, barem donekle prenijeti svoj stav prema podučavanju - ljudskoj stvari u kojoj su matematička znanost, pedagogija, didaktika, psihologija, pa čak i filozofija iznenađujuće. isprepleteno.

Imao sam priliku raditi s djecom i maturantima, s djecom koja stoje na polovima intelektualnog razvoja: onima koji su bili prijavljeni kod psihijatra i koji su se stvarno zanimali za matematiku

Morao sam riješiti mnoge metodološke probleme. Pokušat ću govoriti o onima koje sam uspio riješiti. Ali čak i više – nije bilo moguće, a u onima koja se čine razriješenima pojavljuju se nova pitanja.

Ali još važnija od samog iskustva su učiteljeva razmišljanja i sumnje: zašto je baš tako, ovo iskustvo?

I ljeto je sada drugačije, a i red edukacije postao je zanimljiviji. “Pod Jupiterima” danas nije potraga za mitskim optimalnim sustavom poučavanja “svakog i svega”, već samo dijete. Ali onda - s nuždom - i učitelj.

U školskom tečaju algebre i počeo analizu, razredi 10 - 11, s polaganje ispita po tečaju Srednja škola a na prijemnim ispitima na sveučilišta nalaze se jednadžbe i nejednadžbe koje sadrže nepoznanicu u bazi i eksponente - to su jednadžbe i nejednadžbe eksponencijalnog stupnja.

U školi im se posvećuje malo pažnje, u udžbenicima praktički nema zadataka na ovu temu. Međutim, svladavanje tehnike njihovog rješavanja, čini mi se, vrlo je korisno: povećava mentalno i Kreativne vještine studenti, pred nama se otvaraju potpuno novi horizonti. Prilikom rješavanja zadataka učenici stječu prve vještine istraživački rad, obogaćuje se njihova matematička kultura, njihova sposobnost da logično mišljenje. Školarci razvijaju takve osobine ličnosti kao što su svrhovitost, postavljanje ciljeva, neovisnost, što će im biti korisno u kasnijem životu. Također postoji ponavljanje, proširenje i duboka asimilacija obrazovnog materijala.

Počela sam raditi na ovoj temi svog diplomskog rada pisanjem seminarskog rada. Tijekom kojeg sam detaljnije proučavao i analizirao matematičku literaturu o ovoj temi, identificirao sam najprikladniju metodu za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi eksponencijalne snage.

Ona leži u činjenici da pored općeprihvaćenog pristupa kod rješavanja jednadžbi eksponencijalne snage (baza se uzima veća od 0) i kod rješavanja istih nejednakosti (baza se uzima veća od 1 ili veća od 0, ali manja od 1), razmatraju se i slučajevi kada su baze negativne, 0 i 1.

Pisana analiza ispitni radovi učenicima pokazuje da nedostatak obrađenosti problematike negativne vrijednosti argumenta eksponencijalne funkcije u školskim udžbenicima kod njih uzrokuje niz poteškoća i dovodi do pogrešaka. I također imaju problema u fazi sistematizacije dobivenih rezultata, gdje se, zbog prijelaza na jednadžbu - posljedica ili nejednakosti - posljedica, mogu pojaviti strani korijeni. Kako bismo eliminirali pogreške, koristimo provjeru izvorne jednadžbe ili nejednadžbe i algoritam za rješavanje jednadžbi eksponencijalnih snaga, odnosno plan rješavanja nejednadžbi eksponencijalnih snaga.

Kako bi studenti uspješno položili završne i prijemne ispite, smatram da je potrebno više pažnje posvetiti rješavanju jednadžbi i nejednakosti eksponencijalnog stepena u nastavi, odnosno dodatno u izbornim predmetima i kružocima.

Tako predmet , moj teza definira se na sljedeći način: "Eksponencijalne jednadžbe i nejednakosti".

Ciljevi ovog rada su:

1. Analizirajte literaturu o ovoj temi.

2. Dajte potpuna analiza rješenja jednadžbi i nejednadžbi eksponencijalne snage.

3. Navedite dovoljan broj primjera na ovu temu raznih vrsta.

4. Provjerite na satu, izbornom i kružnom satu kako će se percipirati predložene metode za rješavanje jednadžbi i nejednakosti eksponencijalne snage. Dajte odgovarajuće preporuke za proučavanje ove teme.

Predmet naše istraživanje je razviti tehniku ​​za rješavanje jednadžbi i nejednakosti eksponencijalne snage.

Svrha i predmet istraživanja zahtijevali su rješavanje sljedećih zadataka:

1. Proučite literaturu na temu: "Eksponencijalne jednadžbe i nejednakosti".

2. Ovladati metodama rješavanja jednadžbi i nejednadžbi eksponencijalne snage.

3. Odabrati materijal za obuku i razviti sustav vježbi na različitim razinama na temu: "Rješavanje jednadžbi i nejednakosti eksponencijalne snage."

Tijekom istraživanja diplomskog rada objavljeno je više od 20 radova posvećenih primjeni razne metode rješenja jednadžbi i nejednadžbi eksponencijalne snage. Odavde dobivamo.

Plan diplomskog rada:

Uvod.

Poglavlje I. Analiza literature na temu istraživanja.

Poglavlje II. Funkcije i njihova svojstva korištena u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi eksponencijalne snage.

II.1. Funkcija snage i njezina svojstva.

II.2. Eksponencijalna funkcija i njezina svojstva.

Poglavlje III. Rješenje jednadžbi eksponencijalne snage, algoritam i primjeri.

Poglavlje IV. Rješavanje eksponencijalnih nejednakosti, plan rješenja i primjeri.

Poglavlje V. Iskustvo u vođenju nastave sa školarcima na ovu temu.

1. Obrazovni materijal.

2. Zadaci za samostalno rješavanje.

Zaključak. Zaključci i ponude.

Popis korištene literature.

Literatura analizirana u poglavlju I

U ovoj lekciji razmotrit ćemo razne eksponencijalne nejednadžbe i naučiti kako ih riješiti na temelju metode rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih nejednadžbi

1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije

Prisjetite se definicije i glavnih svojstava eksponencijalne funkcije. Na svojstvima se temelji rješenje svih eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stupanj i ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y - zavisna varijabla, funkcija.

Riža. 1. Graf eksponencijalne funkcije

Graf pokazuje rastući i opadajući eksponent, ilustrirajući eksponencijalnu funkciju na bazi većoj od jedan i manjoj od jedan, ali većoj od nule.

Obje krivulje prolaze kroz točku (0;1)

Svojstva eksponencijalne funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona, raste kao , smanjuje kao .

Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti s jednom vrijednošću argumenta.

Kada, kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule, ne uključujući, do plus beskonačnosti, tj. za dane vrijednosti argumenta, imamo monotono rastuću funkciju (). Kada, naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti na nulu, uključujući, tj. za dane vrijednosti argumenta, imamo monotono opadajuću funkciju ().

2. Najjednostavnije eksponencijalne nejednadžbe, tehnika rješenja, primjer

Na temelju navedenog, predstavljamo metodu za rješavanje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednakosti:

Metoda za rješavanje nejednačina:

Izjednačiti baze stupnjeva;

Usporedite pokazatelje, zadržavajući ili mijenjajući na suprotan predznak nejednakosti.

Rješenje složenih eksponencijalnih nejednadžbi sastoji se u pravilu u njihovoj redukciji na najjednostavnije eksponencijalne nejednadžbe.

Baza stupnja je veća od jedan, što znači da je sačuvan znak nejednakosti:

Transformirajmo desnu stranu prema svojstvima stupnja:

Osnova stupnja je manja od jedan, znak nejednakosti mora biti obrnut:

Za rješavanje kvadratne nejednadžbe rješavamo odgovarajuću kvadratnu jednadžbu:

Prema Vietinom teoremu, nalazimo korijene:

Grane parabole usmjerene su prema gore.

Dakle, imamo rješenje nejednakosti:

Lako je pogoditi da se desna strana može predstaviti kao stepen s nultim eksponentom:

Baza stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti se ne mijenja, dobivamo:

Prisjetimo se postupka rješavanja takvih nejednakosti.

Razmotrimo razlomku racionalnu funkciju:

Pronalaženje domene definicije:

Pronalazimo korijene funkcije:

Funkcija ima jedan korijen,

Izdvajamo intervale konstantnosti predznaka i određujemo predznake funkcije na svakom intervalu:

Riža. 2. Intervali konstantnosti predznaka

Tako smo dobili odgovor.

Odgovor:

3. Rješenje tipičnih eksponencijalnih nejednakosti

Razmotrimo nejednakosti s istim eksponentima, ali različitim bazama.

Jedno od svojstava eksponencijalne funkcije je da ona uzima strogo pozitivne vrijednosti za bilo koju vrijednost argumenta, što znači da se može podijeliti na eksponencijalnu funkciju. Podijelimo zadanu nejednakost desnom stranom:

Osnova stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan.

Ilustrirajmo rješenje:

Na slici 6.3 prikazani su grafovi funkcija i . Očito, kada je argument veći od nule, graf funkcije se nalazi više, ova funkcija je veća. Kada su vrijednosti argumenta negativne, funkcija prolazi ispod, to je manje. Ako je vrijednost argumenta jednaka, tada je zadana točka također rješenje zadane nejednakosti.

Riža. 3. Ilustracija na primjer 4

Zadanu nejednakost transformiramo prema svojstvima stupnja:

Evo sličnih članova:

Podijelimo oba dijela na:

Sada nastavljamo rješavati slično kao u primjeru 4, oba dijela dijelimo sa:

Osnova stupnja je veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan:

4. Grafičko rješenje eksponencijalnih nejednakosti

Primjer 6 - grafički riješi nejednakost:

Razmotrite funkcije s lijeve i desne strane i nacrtajte svaku od njih.

Funkcija je eksponent, povećava se u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.

Funkcija je linearna, opadajuća u cijeloj svojoj domeni definicije, odnosno za sve realne vrijednosti argumenta.

Ako se te funkcije sijeku, odnosno sustav ima rješenje, onda je takvo rješenje jedinstveno i lako se može pogoditi. Da biste to učinili, iterirajte preko cijelih brojeva ()

Lako je vidjeti da je korijen ovog sustava:

Dakle, grafovi funkcija sijeku se u točki s argumentom jednakim jedan.

Sada moramo dobiti odgovor. Značenje zadane nejednakosti je da eksponent mora biti veći ili jednak linearnoj funkciji, odnosno mora biti veći ili jednak njoj. Odgovor je očigledan: (slika 6.4)

Riža. 4. Ilustracija na primjer 6

Dakle, razmatrali smo rješenja raznih tipičnih eksponencijalnih nejednakosti. Zatim prelazimo na razmatranje složenijih eksponencijalnih nejednakosti.

Bibliografija

Mordkovich A. G. Algebra i počeci matematička analiza. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Drofa. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. i dr. Algebra i počeci matematičke analize. - M.: Prosvjeta.

matematika. md . Matematika-ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.

Domaća zadaća

1. Algebra i počeci analize, razredi 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, br. 472, 473;

2. Riješite nejednakost:

3. Riješite nejednakost.

Mnogi ljudi misle da su eksponencijalne nejednakosti nešto tako komplicirano i neshvatljivo. A da je naučiti rješavati ih gotovo velika umjetnost, koju samo Odabrani mogu shvatiti...

Potpuna glupost! Eksponencijalne nejednakosti su jednostavne. I uvijek ih je lako riješiti. Pa skoro uvijek. :)

Danas ćemo analizirati ovu temu nadaleko. Ova će lekcija biti vrlo korisna za one koji tek počinju razumjeti ovaj dio školske matematike. Počnimo s jednostavni zadaci i prijeđimo na više teška pitanja. Danas neće biti limena, ali ono što ćete sada pročitati bit će dovoljno da riješite većinu nejednakosti na svim vrstama upravljanja i samostalan rad. I na ovom vašem ispitu također.

Kao i uvijek, počnimo s definicijom. Eksponencijalna nejednakost je svaka nejednakost koja sadrži eksponencijalnu funkciju. Drugim riječima, uvijek se može svesti na nejednakost oblika

\[((a)^(x)) \gt b\]

Gdje uloga $b$ može biti običan broj, ili možda nešto teže. Primjeri? Da molim:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\kraj (poravnaj)\]

Mislim da je značenje jasno: postoji eksponencijalna funkcija $((a)^(x))$, uspoređuje se s nečim, a zatim traži da pronađe $x$. U posebno kliničkim slučajevima umjesto varijable $x$ mogu staviti neku funkciju $f\left(x \right)$ i time malo zakomplicirati nejednakost. :)

Naravno, u nekim slučajevima nejednakost može izgledati ozbiljnije. Na primjer:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ili čak ovo:

Općenito, složenost takvih nejednakosti može biti vrlo različita, ali se na kraju ipak svode na jednostavnu konstrukciju $((a)^(x)) \gt b$. I mi ćemo se nekako nositi s takvim dizajnom (u posebno kliničkim slučajevima, kada ništa ne pada na pamet, pomoći će nam logaritmi). Stoga ćemo sada naučiti kako riješiti takve jednostavne konstrukcije.

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednadžbi

Pogledajmo nešto vrlo jednostavno. Na primjer, evo ga:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Očito, broj s desne strane može se prepisati kao stepen dvojke: $4=((2)^(2))$. Dakle, izvorna nejednakost se prepisuje u vrlo prikladnom obliku:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A sada ruke svrbe da "precrtaju" dvojke, koje stoje u bazama stupnjeva, kako bi dobili odgovor $x \gt 2$. Ali prije nego što išta prekrižimo, sjetimo se potencija dvojke:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4)))=16;...\]

Kako vidimo što više stoji u eksponentu, veći je izlazni broj. "Hvala, Cap!" uskliknut će jedan od učenika. Događa li se drugačije? Nažalost, događa se. Na primjer:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ desno))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

I ovdje je sve logično: što je stupanj veći, to se broj 0,5 više puta množi sam sa sobom (tj. dijeli se na pola). Dakle, rezultirajući niz brojeva se smanjuje, a razlika između prvog i drugog niza je samo u bazi:

• Ako je baza stupnja $a \gt 1$, tada kako eksponent $n$ raste, broj $((a)^(n))$ također će rasti;
• Obrnuto, ako $0 \lt a \lt 1$, tada kako eksponent $n$ raste, broj $((a)^(n))$ će se smanjivati.

Sumirajući ove činjenice, dobivamo najvažniju tvrdnju na kojoj se temelji cjelokupno rješenje eksponencijalnih nejednakosti:

Ako je $a \gt 1$, tada je nejednadžba $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednadžbi $x \gt n$. Ako je $0 \lt a \lt 1$, tada je nejednadžba $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednadžbi $x \lt n$.

Drugim riječima, ako je baza veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti - znak nejednakosti se neće promijeniti. A ako je baza manja od jedan, onda se također može ukloniti, ali će se također morati promijeniti znak nejednakosti.

Imajte na umu da nismo razmotrili opcije $a=1$ i $a\le 0$. Jer u tim slučajevima postoji neizvjesnost. Pretpostavimo kako riješiti nejednakost oblika $((1)^(x)) \gt 3$? Jedan na bilo koju potenciju opet će dati jedan - nikada nećemo dobiti tri ili više. Oni. nema rješenja.

S negativnim bazama je još zanimljivije. Razmotrimo, na primjer, sljedeću nejednakost:

\[((\lijevo(-2 \desno))^(x)) \gt 4\]

Na prvi pogled sve je jednostavno:

Ispravno? Ali ne! Dovoljno je umjesto $x$ zamijeniti par parnih brojeva i par neparni brojevi kako bi se uvjerili da je rješenje pogrešno. Pogledaj:

\[\begin(align) & x=4\Strelica desno ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strelica desno ((\lijevo(-2 \desno))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strelica desno ((\lijevo(-2 \desno))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strelica udesno ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Kao što vidite, znakovi se izmjenjuju. Ali još uvijek postoje razlomci stupnjeva i drugi kositar. Kako biste, na primjer, odredili brojanje $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dva podignuta na korijen od sedam)? Nema šanse!

Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da u svim eksponencijalnim nejednadžbama (i, usput rečeno, jednadžbama) $1\ne a \gt 0$. A onda se sve rješava vrlo jednostavno:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Strelica desno \levo[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \lijevo(0 \lt a \lt 1 \desno). \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Općenito, još jednom zapamtite glavno pravilo: ako je baza u eksponencijalnoj jednadžbi veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti; a ako je baza manja od jedan, može se i ukloniti, ali će se time promijeniti predznak nejednakosti.

Primjeri rješenja

Dakle, razmotrite nekoliko jednostavnih eksponencijalnih nejednakosti:

\[\begin(poravnati) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\kraj (poravnaj)\]

Primarni zadatak je isti u svim slučajevima: svesti nejednakosti na najjednostavniji oblik $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. To ćemo sada učiniti sa svakom nejednakošću, a ujedno ćemo ponoviti svojstva potencija i eksponencijalne funkcije. Pa, idemo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Što se tu može učiniti? Pa na lijevoj strani već imamo demonstrativni izraz – ne treba ništa mijenjati. Ali s desne strane je nekakva sranja: razlomak, pa čak i korijen u nazivniku!

Međutim, zapamtite pravila za rad s razlomcima i potencijama:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\kraj (poravnaj)\]

Što to znači? Prvo, lako se možemo riješiti razlomka pretvarajući ga u negativan eksponent. I kao drugo, budući da je nazivnik korijen, bilo bi ga lijepo pretvoriti u stupanj – ovaj put s razlomkom eksponenta.

Primijenimo ove radnje uzastopce na desnu stranu nejednakosti i vidimo što se događa:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \desno))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3))) \desno))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne zaboravite da se pri podizanju stupnja na stepen zbrajaju eksponenti tih stupnjeva. I općenito, kada radite s eksponencijalnim jednadžbama i nejednačinama, apsolutno je potrebno znati barem najjednostavnija pravila za rad s potencijama:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\lijevo(((a)^(x)) \desno))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\kraj (poravnaj)\]

Zapravo, posljednje pravilo upravo smo se prijavili. Stoga će naša izvorna nejednakost biti prepisana na sljedeći način:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Strelica desno ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Sada se riješimo dvojke u bazi. Budući da je 2 > 1, predznak nejednakosti ostaje isti:

\[\begin(poravnati) & x-1\le -\frac(1)(3)\Strelica desno x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \desno]. \\\end(align)\]

To je cijelo rješenje! Glavna poteškoća uopće nije u eksponencijalnoj funkciji, već u kompetentnoj transformaciji izvornog izraza: morate ga pažljivo i što je brže moguće dovesti u najjednostavniji oblik.

Razmotrimo drugu nejednakost:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tako tako. Ovdje čekamo decimalne razlomke. Kao što sam mnogo puta rekao, u svim izrazima s potencijama trebali biste se riješiti decimalnih razlomaka – često je to jedini način da vidite brzo i jednostavno rješenje. Evo čega ćemo se riješiti:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ desno))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strelica desno ((\lijevo(\frac(1)(10) \desno))^(1-x)) \lt ( (\lijevo(\frac(1)(10) \desno))^(2)). \\\kraj (poravnaj)\]

Pred nama je opet najjednostavnija nejednakost, pa čak i s bazom 1/10, t.j. manje od jedan. Pa, uklanjamo baze, istovremeno mijenjajući znak iz "manje" u "veće", i dobivamo:

\[\početi(poravnati) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\kraj (poravnaj)\]

Dobili smo konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Napominjemo da je odgovor upravo skup, a ni u kojem slučaju nije konstrukcija oblika $x \lt -1$. Jer formalno takva konstrukcija uopće nije skup, već nejednakost s obzirom na varijablu $x$. Da, vrlo je jednostavno, ali to nije odgovor!

Važna nota. Ova se nejednakost mogla riješiti na drugi način – svođenjem oba dijela na stepen s bazom većom od jedan. Pogledaj:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strelica desno ((\levo(((10)^(-1)) \desno))^(1-x)) \ lt ((\lijevo(((10)^(-1)) \desno))^(2))\Strelica desno ((10)^(-1\cdot \left(1-x \desno))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Nakon ove transformacije, ponovno dobivamo eksponencijalna nejednakost, ali s bazom 10 > 1. A to znači da možete jednostavno prekrižiti deset - znak nejednakosti se neće promijeniti. dobivamo:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\kraj (poravnaj)\]

Kao što vidite, odgovor je potpuno isti. Ujedno smo se spasili potrebe da promijenimo znak i općenito zapamtimo neka pravila. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Međutim, nemojte dopustiti da vas to uplaši. Što god da je u pokazateljima, tehnologija rješavanja same nejednakosti ostaje ista. Stoga prvo napominjemo da je 16 = 2 4 . Prepišimo izvornu nejednakost uzimajući u obzir ovu činjenicu:

\[\begin(poravnati) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Ura! Dobili smo uobičajeno kvadratna nejednakost! Znak se nigdje nije promijenio, budući da je osnova dvojka - broj veći od jedan.

Nule funkcije na brojevnoj liniji

Raspoređujemo znakove funkcije $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - očito, njen graf će biti parabola s granama prema gore, tako da će biti "plusova ” sa strane. Zanima nas područje gdje je funkcija manja od nule, t.j. $x\in \left(2;5 \right)$ je odgovor na izvorni problem.

Konačno, razmotrimo još jednu nejednakost:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Opet vidimo eksponencijalnu funkciju s decimalnim razlomkom u bazi. Pretvorimo ovaj razlomak u običan razlomak:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Strelica desno \\ & \Strelica desno ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\lijevo(((5)^(-1)) \desno))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \desno)))\end(align)\]

U ovom slučaju iskoristili smo ranije izrečenu primjedbu - smanjili smo bazu na broj 5\u003e 1 kako bismo pojednostavili našu daljnju odluku. Učinimo isto s desnom stranom:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ desno))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Prepišimo izvornu nejednakost, uzimajući u obzir obje transformacije:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \desno)))\ge ((5)^(-2))\]

Osnove na obje strane su iste i veće od jedan. Na desnoj i lijevoj strani nema drugih pojmova, pa samo "precrtamo" petice i dobijemo vrlo jednostavan izraz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Ovdje morate biti oprezni. Mnogi studenti vole jednostavno izvlačiti Korijen oba dijela nejednakosti i napišite nešto poput $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. To nikada ne biste trebali činiti, budući da je korijen točnog kvadrata modul, i ni u kojem slučaju izvorna varijabla:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\lijevo| x\desno|\]

Međutim, rad s modulima nije baš najugodnije iskustvo, zar ne? Tako da nećemo raditi. Umjesto toga, jednostavno pomičemo sve pojmove ulijevo i rješavamo uobičajenu nejednakost koristeći intervalnu metodu:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Ponovno označavamo dobivene točke na brojevnoj liniji i gledamo znakove:

Napomena: točke su zasjenjene.

Budući da smo rješavali nestrogu nejednakost, sve točke na grafu su zasjenjene. Stoga će odgovor biti: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nije interval, već segment.

Općenito, želio bih napomenuti da u eksponencijalnim nejednakostima nema ništa komplicirano. Značenje svih transformacija koje smo danas izveli svodi se na jednostavan algoritam:

• Pronađite bazu na koju ćemo sveti sve stupnjeve;
• Pažljivo izvršite transformacije kako biste dobili nejednakost oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naravno, umjesto varijabli $x$ i $n$ mogu postojati puno složenije funkcije, ali to ne mijenja značenje;
• Prekriži osnove stupnjeva. U ovom slučaju, predznak nejednakosti se može promijeniti ako je baza $a \lt 1$.

Zapravo, ovo je univerzalni algoritam za rješavanje svih takvih nejednakosti. A sve ostalo što će vam biti rečeno na ovu temu samo su specifični trikovi i trikovi za pojednostavljenje i ubrzanje transformacije. Evo jednog od onih trikova o kojima ćemo sada. :)

metoda racionalizacije

Razmotrimo još jedan niz nejednakosti:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \desno))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Pa, što je tako posebno kod njih? Također su lagane. Mada, stani! Je li pi podignut na stepen? Kakve gluposti?

I kako podići broj $2\sqrt(3)-3$ na stepen? Ili $3-2\sqrt(2)$? Sastavljači problema su očito popili previše "Gloga" prije nego što su sjeli na posao. :)

Zapravo, nema ništa loše u ovim zadacima. Dopustite da vas podsjetim: eksponencijalna funkcija je izraz oblika $((a)^(x))$, gdje je baza $a$ bilo koji pozitivan broj, osim jednog. Broj π je pozitivan - to već znamo. Brojevi $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ također su pozitivni - to je lako vidjeti ako ih usporedimo s nulom.

Ispada da se sve ove "zastrašujuće" nejednakosti ne razlikuju od onih jednostavnih o kojima smo gore govorili? I oni to rade na isti način? Da, potpuno u pravu. No, na njihovom primjeru, želio bih razmotriti jedan trik koji štedi puno vremena na samostalnom radu i ispitima. Govorit ćemo o metodi racionalizacije. Pa pažnja:

Bilo koja eksponencijalna nejednakost oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentna nejednakosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ desno) \gt 0 $.

To je cijela metoda. :) Jeste li mislili da će biti neka sljedeća utakmica? Ništa slično ovome! Ali ova jednostavna činjenica, napisana doslovno u jednom retku, uvelike će nam pojednostaviti rad. Pogledaj:

\[\begin(matrica) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Strelica prema dolje \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\\end(matrica)\]

Ovdje više nema eksponencijalnih funkcija! I ne morate se sjećati mijenja li se znak ili ne. Ali javlja se novi problem: što učiniti s jebenim množiteljem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Ne znamo kako je točna vrijednost brojevi π. Međutim, čini se da kapetan nagovještava očito:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\približno 3,14... \gt 3\Strelica desno \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Općenito, točna vrijednost π ne smeta nam mnogo - važno nam je samo da shvatimo da je u svakom slučaju $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. je pozitivna konstanta i njome možemo podijeliti obje strane nejednakosti:

\[\begin(poravnati) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\ & x+7-\lijevo(((x)^(2))-3x+2 \desno) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \lijevo(x-5 \desno)\lijevo(x+1 \desno) \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, u određenom trenutku morali smo podijeliti s minus jedan, a znak nejednakosti se promijenio. Na kraju sam proširio kvadratni trinom prema Vietinom teoremu - očito je da su korijeni jednaki $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=- 1$. Tada se sve rješava klasičnom metodom intervala:

Nejednakost rješavamo metodom intervala

Sve točke su probušene jer je izvorna nejednakost stroga. Zanima nas područje s negativnim vrijednostima, pa je odgovor $x\in \left(-1;5 \right)$. To je rješenje. :)

Prijeđimo na sljedeći zadatak:

\[((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Ovdje je sve jednostavno, jer je s desne strane jedinica. I sjećamo se da je jedinica bilo koji broj podignut na stepen nule. Čak i ako je ovaj broj iracionalan izraz, koji stoji u podnožju s lijeve strane:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\desno))^(0)); \\ & ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(0)); \\\kraj (poravnaj)\]

Pa idemo racionalizirati:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ostaje samo pozabaviti se znakovima. Multiplikator $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne sadrži varijablu $x$ - to je samo konstanta i trebamo odgonetnuti njen predznak. Da biste to učinili, imajte na umu sljedeće:

\[\begin(matrica) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Strelica prema dolje \\ 2\lijevo(\sqrt(3)-2 \desno) \lt 2\cdot \left(2 -2 \desno)=0 \\\kraj (matrica)\]

Ispada da drugi faktor nije samo konstanta, već negativna konstanta! A pri dijeljenju s njim, predznak izvorne nejednakosti promijenit će se u suprotno:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\lijevo(x-2 \desno) \gt 0. \\\end(poravnati)\]

Sada sve postaje sasvim očito. Korijenje kvadratni trinom s desne strane: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Označavamo ih na brojevnoj liniji i gledamo znakove funkcije $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Slučaj kada nas zanimaju bočni intervali

Zanimaju nas intervali označeni znakom plus. Ostaje samo zapisati odgovor:

Prijeđimo na sljedeći primjer:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ desno))^(16-x))\]

Pa, ovdje je sve sasvim očito: baze su potencije istog broja. Stoga ću sve ukratko napisati:

\[\begin(matrica) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Strelica prema dolje \\ ((\lijevo(((3)^(-1)) \desno))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\lijevo(((3)^(-2)) \desno))^(16-x)) \\\end(matrica)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lijevo(16-x\desno))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \desno) \desno)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \lijevo(x+8 \desno)\lijevo(x-4 \desno) \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Kao što vidite, u procesu transformacija morali smo množiti s negativnim brojem, pa se promijenio predznak nejednakosti. Na samom kraju, ponovno sam primijenio Vietin teorem za faktorizaciju kvadratnog trinoma. Kao rezultat, odgovor će biti sljedeći: $x\in \left(-8;4 \right)$ - oni koji žele to mogu provjeriti crtanjem brojevne linije, označavanjem točaka i brojanjem znakova. U međuvremenu ćemo prijeći na posljednju nejednakost iz našeg "skupa":

\[((\lijevo(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Kao što vidite, u bazi je opet iracionalan broj, a jedinica je opet s desne strane. Stoga našu eksponencijalnu nejednakost prepisujemo na sljedeći način:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ desno))^(0))\]

Hajdemo racionalizirati:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Međutim, sasvim je očito da je $1-\sqrt(2) \lt 0$, budući da je $\sqrt(2)\približno 1.4... \gt 1$. Dakle, drugi faktor je opet negativna konstanta, kojom se oba dijela nejednakosti mogu podijeliti:

\[\begin(matrica) \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Dolje \ \\kraj (matrica)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\lijevo(x-3 \desno) \lt 0. \\\end(poravnati)\]

Promijenite na drugu bazu

Poseban problem u rješavanju eksponencijalnih nejednakosti je potraga za “ispravnom” bazom. Nažalost, na prvi pogled na zadatak nije uvijek jasno što uzeti kao osnovu, a što učiniti kao stupanj te osnove.

Ali ne brinite: ovdje nema magije i "tajnih" tehnologija. U matematici, svaka vještina koja se ne može algoritmizirati može se lako razviti kroz praksu. Ali za to morate riješiti probleme različite razine teškoće. Na primjer, ovo su:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\lijevo(\frac(1)(3) \desno))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ kraj (poravnati)\]

Komplicirano? Strašno? Da, lakše je nego kokoš na asfaltu! Pokušajmo. Prva nejednakost:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Pa mislim da je tu sve jasno:

Prepisujemo izvornu nejednakost, svodeći sve na bazu "dva":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Strelica desno \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \desno)\cdot \lijevo(2-1 \desno) \lt 0\]

Da, da, dobro ste razumjeli: upravo sam primijenio gore opisanu metodu racionalizacije. Sada moramo pažljivo raditi: dobili smo razlomku-racionalnu nejednakost (ovo je ona koja ima varijablu u nazivniku), pa prije nego što nešto izjednačimo s nulom, trebate sve svesti na zajednički nazivnik i riješiti se konstantnog faktora .

\[\begin(poravnati) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \lijevo(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \desno)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Sada koristimo metodu standardnog intervala. Nule brojača: $x=\pm 4$. Nazivnik ide na nulu samo kada je $x=0$. Ukupno su tri točke koje treba označiti na brojevnoj liniji (sve točke su izbušene, jer je znak nejednakosti strog). dobivamo:

Više težak slučaj: tri korijena

Kao što možete pretpostaviti, šrafiranje označava intervale u kojima se izraz slijeva negativne vrijednosti. Stoga će dva intervala ući u konačni odgovor odjednom:

Krajevi intervala nisu uključeni u odgovor jer je izvorna nejednakost bila stroga. Nije potrebna daljnja potvrda ovog odgovora. U tom smislu, eksponencijalne su nejednakosti puno jednostavnije od logaritamskih: bez DPV-a, bez ograničenja itd.

Prijeđimo na sljedeći zadatak:

\[((\lijevo(\frac(1)(3) \desno))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ni ovdje nema problema, jer već znamo da je $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, pa se cijela nejednakost može prepisati ovako:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Strelica desno ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lijevo(-2\desno)\desno. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Imajte na umu: u trećem retku odlučio sam ne gubiti vrijeme na sitnice i odmah sve podijeliti s (−2). Minul je ušao u prvu zagradu (sada su posvuda plusevi), a dvojka je smanjena konstantnim množiteljem. Upravo to trebate učiniti kada pravite prave izračune na neovisnim i kontrolni rad- nema potrebe izravno slikati svaku radnju i transformaciju.

Zatim dolazi u obzir poznata metoda intervala. Nule brojnika: ali ih nema. Jer će diskriminant biti negativan. Zauzvrat, nazivnik je postavljen na nulu samo kada je $x=0$ — baš kao i prošli put. Pa, jasno je da će razlomak uzeti pozitivne vrijednosti desno od $x=0$, a negativne lijevo. Budući da nas zanimaju samo negativne vrijednosti, konačni odgovor je $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\lijevo(0,16 \desno))^(1+2x))\cdot ((\lijevo(6,25 \desno))^(x))\ge 1\]

A što bi trebalo učiniti s decimalnim razlomcima u eksponencijalnim nejednačinama? Tako je: riješite ih se pretvarajući ih u obične. Ovdje prevodimo:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Strelica desno ((\levo(0,16 \desno))^(1+2x)) =((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Strelica desno ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \desno))^(x)). \\\kraj (poravnaj)\]

Pa, što smo dobili u bazama eksponencijalnih funkcija? I dobili smo dva međusobno recipročna broja:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Strelica desno ((\left(\frac(25)(4) \ desno))^(x))=((\lijevo(((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(-1)) \desno))^(x))=((\ lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(-x))\]

Dakle, izvorna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \desno))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\kraj (poravnaj)\]

Naravno, kada se množe stupnjevi s istom bazom, njihovi se pokazatelji zbrajaju, što se dogodilo u drugom retku. Osim toga, prikazali smo jedinicu s desne strane, također kao potenciju u bazi 4/25. Ostaje samo racionalizirati:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Strelica udesno \levo(x+1-0 \desno)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \desno)\ge 0\]

Imajte na umu da je $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi faktor je negativna konstanta, a kada se podijeli s njom, promijenit će se predznak nejednakosti:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Strelica desno x\le -1; \\ & x\in \lijevo(-\infty ;-1 \desno]. \\\end(poravnati)\]

Konačno, posljednja nejednakost iz trenutnog "skupa":

\[((\lijevo(\frac(27)(\sqrt(3)) \desno))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

U principu, ideja rješenja ovdje je također jasna: sve eksponencijalne funkcije koje čine nejednakost moraju se svesti na bazu "3". Ali za to se morate malo pozabaviti korijenima i stupnjevima:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\kraj (poravnaj)\]

S obzirom na ove činjenice, izvorna nejednakost se može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(((3)^(\frac(8)(3))) \desno))^(-x)) \lt ((\lijevo(((3) ^(2)) \desno))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\kraj (poravnaj)\]

Obratite pažnju na 2. i 3. red izračuna: prije nego što učinite nešto s nejednakošću, svakako ga dovedite u oblik o kojem smo govorili od samog početka lekcije: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Sve dok imate lijevo ili desno lijevo množitelje, dodatne konstante itd., ne može se izvršiti nikakva racionalizacija i "precrtavanje" osnova! Zbog nerazumijevanja ove jednostavne činjenice nebrojeni su zadaci učinjeni pogrešno. I sam stalno promatram ovaj problem kod svojih učenika kada tek počinjemo analizirati eksponencijalne i logaritamske nejednakosti.

Ali vratimo se našem zadatku. Pokušajmo ovaj put bez racionalizacije. Podsjećamo: baza stupnja je veća od jedan, tako da se trojke mogu jednostavno precrtati - znak nejednakosti se neće promijeniti. dobivamo:

\[\početi(poravnati) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(poravnati)\]

To je sve. Konačni odgovor: $x\in \lijevo(-\infty ;3 \desno)$.

Isticanje stabilnog izraza i zamjena varijable

Zaključno, predlažem rješavanje još četiri eksponencijalne nejednakosti, koje su već prilično teške za nespremne učenike. Da biste se nosili s njima, morate zapamtiti pravila za rad s stupnjevima. Konkretno, stavljanje uobičajenih čimbenika izvan zagrada.

Ali najvažnije je naučiti razumjeti: što se točno može staviti u zagrade. Takav izraz naziva se stabilan - može se označiti novom varijablom i tako se riješiti eksponencijalne funkcije. Dakle, pogledajmo zadatke:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\lijevo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(poravnaj)\]

Počnimo s prvim redom. Zapišimo ovu nejednakost zasebno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Imajte na umu da je $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tako da desna strana može prepisati:

Imajte na umu da nema drugih eksponencijalnih funkcija osim $((5)^(x+1))$ u nejednadžbi. I općenito, varijabla $x$ se ne pojavljuje nigdje drugdje, pa uvedemo novu varijablu: $((5)^(x+1))=t$. Dobijamo sljedeću konstrukciju:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(poravnati)\]

Vraćamo se na izvornu varijablu ($t=((5)^(x+1))$), a pritom zapamtimo da je 1=5 0 . Imamo:

\[\begin(poravnati) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\kraj (poravnaj)\]

To je cijelo rješenje! Odgovor: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Prijeđimo na drugu nejednakost:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Ovdje je sve isto. Imajte na umu da je $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Tada se lijeva strana može prepisati:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \desno. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Strelica desno ((3)^(x))\ge 9\Strelica desno ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strelica desno x\u \lijevo[ 2;+\infty \desno). \\\kraj (poravnaj)\]

Ovako otprilike trebate sastaviti odluku o stvarnoj kontroli i samostalnom radu.

Pa, pokušajmo nešto teže. Na primjer, ovdje je nejednakost:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

U čemu je ovdje problem? Prije svega, baze eksponencijalnih funkcija s lijeve strane su različite: 5 i 25. Međutim, 25 \u003d 5 2, pa se prvi član može transformirati:

\[\begin(poravnati) & ((25)^(x+1,5))=((\lijevo(((5)^(2)) \desno))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(poravnaj )\]

Kao što vidite, prvo smo sve doveli na istu bazu, a onda smo primijetili da se prvi član lako svodi na drugi – dovoljno je samo proširiti eksponent. Sada možemo sigurno uvesti novu varijablu: $((5)^(2x+2))=t$, a cijela nejednakost će biti prepisana ovako:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(poravnati)\]

Opet, nema problema! Konačni odgovor: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Prelazimo na konačnu nejednakost u današnjoj lekciji:

\[((\lijevo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Prvo na što biste trebali obratiti pažnju je, naravno, decimalni razlomak u osnovici prvog stupnja. Potrebno ga se riješiti, a istovremeno dovesti sve eksponencijalne funkcije na istu bazu - broj "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Strelica desno ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\lijevo(((2)^(-1)) \desno))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strelica udesno ((16)^(x+1,5))=((\lijevo(((2)^(4)) \desno))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Super, napravili smo prvi korak – sve je dovelo do istog temelja. Sada moramo istaknuti postavljen izraz. Imajte na umu da je $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ako uvedemo novu varijablu $((2)^(4x+6))=t$, tada se izvorna nejednakost može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\kraj (poravnaj)\]

Naravno, može se postaviti pitanje: kako smo saznali da je 256 = 2 8 ? Nažalost, ovdje samo trebate znati potencije dvojke (i ujedno potencije tri i pet). Pa, ili podijelite 256 s 2 (možete podijeliti, jer je 256 paran broj) dok ne dobijemo rezultat. Izgledat će otprilike ovako:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Isto je i s trojkom (brojevi 9, 27, 81 i 243 su njegove moći), te sa sedam (brojeve 49 i 343 također bi bilo lijepo zapamtiti). Pa, petorica također imaju "lijepe" diplome koje morate znati:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\kraj (poravnaj)\]

Naravno, svi ovi brojevi, po želji, mogu se vratiti u umu, jednostavnim uzastopnim množenjem jedan s drugim. Međutim, kada morate riješiti nekoliko eksponencijalnih nejednakosti, a svaka sljedeća je teža od prethodne, onda je posljednja stvar o kojoj želite razmišljati o potencijama nekih brojeva. I u tom su smislu ovi problemi složeniji od "klasičnih" nejednakosti koje se rješavaju intervalnom metodom.

Sat i prezentacija na temu: "Eksponencijalne jednadžbe i eksponencijalne nejednadžbe"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 11. razred
Interaktivni priručnik za 9.-11. razred "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za 10-11 razred "Logaritmi"

Definicija eksponencijalnih jednadžbi

Ljudi, proučavali smo eksponencijalne funkcije, učili njihova svojstva i gradili grafove, analizirali primjere jednadžbi u kojima su se susrele eksponencijalne funkcije. Danas ćemo proučavati eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe.

Definicija. Jednadžbe oblika: $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje se $a>0$, $a≠1$ nazivaju eksponencijalne jednadžbe.

Sjećajući se teorema koje smo proučavali u temi "Eksponencijalna funkcija", možemo uvesti novi teorem:
Teorema. Eksponencijalna jednadžba $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje je $a>0$, $a≠1$ ekvivalentna jednadžbi $f(x)=g(x) $.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi

Primjer.
Riješite jednadžbe:
a) 3$^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Odluka.
a) Dobro znamo da je $27=3^3$.
Prepišimo našu jednadžbu: $3^(3x-3)=3^3$.
Koristeći gornji teorem, dobivamo da se naša jednadžba svodi na jednadžbu $3x-3=3$, rješavajući ovu jednadžbu, dobivamo $x=2$.
Odgovor: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Tada se naša jednadžba može prepisati: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2 USD x + 0,2 = 0,2 USD.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

C) Izvorna jednadžba je ekvivalentna jednadžbi: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ i $x_2=-3$.
Odgovor: $x_1=6$ i $x_2=-3$.

Primjer.
Riješite jednadžbu: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Odluka:
Slijedom ćemo izvršiti niz radnji i dovesti oba dijela naše jednadžbe na iste baze.
Izvršimo niz operacija na lijevoj strani:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Idemo na desnu stranu:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 USD*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Izvorna jednadžba je ekvivalentna jednadžbi:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

Primjer.
Riješite jednadžbu: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Odluka:
Prepišimo našu jednadžbu: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Napravimo promjenu varijabli, neka je $a=3^x$.
U novim varijablama, jednadžba će imati oblik: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ i $a_2=3$.
Izvršimo obrnutu promjenu varijabli: $3^x=-12$ i $3^x=3$.
U prošloj lekciji naučili smo da eksponencijalni izrazi mogu imati samo pozitivne vrijednosti, zapamtite graf. To znači da prva jednadžba nema rješenja, druga jednadžba ima jedno rješenje: $x=1$.
Odgovor: $x=1$.

Napravimo bilješku o načinima rješavanja eksponencijalnih jednadžbi:
1. Grafička metoda. Predstavljamo oba dijela jednadžbe kao funkcije i gradimo njihove grafove, pronalazimo točke presjeka grafova. (Ovu metodu smo koristili u prošloj lekciji).
2. Načelo jednakosti pokazatelja. Princip se temelji na činjenici da su dva izraza s iste osnove jednaki su ako i samo ako su stupnjevi (eksponenti) ovih baza jednaki. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda promjene varijabli. Ovu metodu treba koristiti ako jednadžba, pri promjeni varijabli, pojednostavljuje svoj oblik i mnogo je lakše riješiti.

Primjer.
Riješite sustav jednadžbi: $\begin (slučajevi) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(slučajevi)$.
Odluka.
Razmotrimo obje jednadžbe sustava zasebno:
27 $^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Razmotrimo drugu jednadžbu:
4$^(x+y)-2^(x+y)=12$.
2$^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Koristimo metodu promjene varijabli, neka je $y=2^(x+y)$.
Tada će jednadžba poprimiti oblik:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ i $y_2=-3$.
Prijeđimo na početne varijable, iz prve jednadžbe dobivamo $x+y=2$. Druga jednadžba nema rješenja. Tada je naš početni sustav jednadžbi ekvivalentan sustavu: $\begin (slučajevi) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(slučajevi)$.
Oduzmite drugu jednadžbu od prve jednadžbe, dobivamo: $\begin (slučajevi) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(slučajevi)$.
$\begin (slučajevi) y=-1, \\ x=3. \end(slučajevi)$.
Odgovor: $(3;-1)$.

eksponencijalne nejednakosti

Prijeđimo na nejednakosti. Prilikom rješavanja nejednačina potrebno je obratiti pažnju na osnovicu stupnja. Dva su moguća scenarija razvoja događaja pri rješavanju nejednakosti.

Teorema. Ako je $a>1$, tada je eksponencijalna nejednadžba $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekvivalentna nejednadžbi $f(x)>g(x)$.
Ako $0 a^(g(x))$ je ekvivalentno $f(x)

Primjer.
Riješite nejednačine:
a) 3$^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Odluka.
a) 3$^(2x+3)>81$.
3$^(2x+3)>3^4$.
Naša nejednakost je ekvivalentna nejednakosti:
2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) U našoj jednadžbi, baza sa stupnjem manje od 1, tada je pri zamjeni nejednadžbe ekvivalentnom potrebno promijeniti predznak.
2x-4>2$.
$x>3$.

C) Naša nejednakost je ekvivalentna nejednakosti:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Koristimo se intervalna metoda rješenja:
Odgovor: $(-∞;-5]U)