Brojčani nizovi i načini njihovog postavljanja. Zadatak za praktični rad „Određivanje brojčanih nizova na različite načine, izračunavanje članova niza

U ovoj lekciji počet ćemo proučavati progresije. Ovdje ćemo se upoznati s nizom brojeva i kako ga postaviti.

Prvo se prisjećamo definicije i svojstava funkcija brojčanih argumenata i razmatramo poseban slučaj funkcije kada x pripada skupu prirodni brojevi. Dajemo definiciju numeričkog niza i navodimo nekoliko primjera. Pokazat ćemo analitički način specificiranja niza kroz formulu njegovog n-tog člana i razmotriti nekoliko primjera za specificiranje i određivanje niza. Zatim razmotrite verbalno i ponavljajuće dodjeljivanje sekvence.

Tema: Progresije

Lekcija: Numerički niz i kako ga postaviti

1. Ponavljanje

Numerički niz, kao što ćemo vidjeti, ovo je poseban slučaj funkcije, pa se prisjetimo definicije funkcije.

Funkcija je zakon prema kojem se svakoj valjanoj vrijednosti argumenta dodjeljuje jedinstvena vrijednost funkcije.

Evo primjera poznatih funkcija.

Riža. 1. Grafikon funkcije

Sve vrijednosti su dopuštene osim 0. Graf ove funkcije je hiperbola (vidi sliku 1).

2.. Sve vrijednosti su dopuštene, .

Riža. 2. Grafikon funkcija

Raspored kvadratna funkcija- parabola, također su označene karakteristične točke (vidi sl. 2).

3..

Riža. 3. Grafikon funkcije

Sve x vrijednosti su dopuštene. Graf linearne funkcije je ravna crta (vidi sliku 3).

2. Definicija brojevnog niza

Ako x uzima samo prirodne vrijednosti (), tada imamo poseban slučaj, odnosno numerički niz.

Podsjetimo da su prirodni brojevi 1, 2, 3, …, n, …

Funkcija , gdje se , naziva se funkcijom prirodnog argumenta, ili numeričkim nizom, i označava se na sljedeći način: ili , ili .

Objasnimo što, na primjer, označava oznaka.

Ovo je vrijednost funkcije kada je n=1, tj.

Ovo je vrijednost funkcije kada je n=2, tj. itd...

Ovo je vrijednost funkcije kada je argument n, tj.

3. Slijedovi uzoraka

1. je opći pojam formula. Postavljamo različite vrijednosti n, dobivamo različite vrijednosti y - članova niza.

Kada je n=1; , kada je n=2, itd., .

Brojevi su članovi zadanog niza i točke leže na hiperboli - grafu funkcije (vidi sliku 4).

Riža. 4. Grafikon funkcije

Ako je n=1, tada; ako je n=2, tada; ako je n=3, onda itd.

Brojevi su članovi zadanog niza, a točke leže na paraboli - grafu funkcije (vidi sliku 5).

Riža. 5. Grafikon funkcija

Riža. 6. Grafikon funkcija

Ako je n=1, tada; ako je n=2 tada ; ako je n=3 tada itd.

Brojevi su članovi zadanog niza, a točke leže na ravnoj liniji - grafu funkcije (vidi sliku 6).

4. Analitička metoda za određivanje slijeda

Postoje tri načina za određivanje sekvenci: analitički, verbalni i ponavljajući. Razmotrimo svaki od njih detaljno.

Niz je zadan analitički ako je dana formula njegovog n-tog člana.

Pogledajmo nekoliko primjera.

1. Pronađite nekoliko članova niza koji je zadan formulom n-tog člana: (analitički način određivanja niza).

Riješenje. Ako je n=1, tada; ako je n=2, tada; ako je n=3 tada itd.

Za dati niz, nalazimo i .

.

.

2. Razmotrimo slijed zadan formulom n-tog člana: (analitički način određivanja niza).

Pronađimo nekoliko članova ovog niza.

Ako je n=1, tada; ako je n=2 tada ; ako je n=3 tada itd.

Općenito, nije teško razumjeti da su članovi ovog niza oni brojevi koji, kada se podijele s 4, daju ostatak od 1.

ali. Za dati slijed pronađite .

Riješenje: . Odgovor: .

b. Zadana su dva broja: 821, 1282. Jesu li ti brojevi članovi zadanog niza?

Da bi broj 821 bio član niza, potrebno je da je jednakost: ili . Posljednja jednakost je jednadžba za n. Ako odluka zadana jednadžba je prirodan broj, onda je odgovor da.

U ovom slučaju jest. .

Odgovor: da, 821 je član zadanog niza, .

Prijeđimo na drugi broj. Slično razmišljanje dovodi nas do rješenja jednadžbe: .

Odgovor: budući da n nije prirodan broj, broj 1282 nije član zadanog niza.

Formule koje analitički definiraju niz mogu biti vrlo različite: jednostavne, složene itd. Zahtjev za njih je isti: svaka vrijednost n mora odgovarati jednom broju.

3. Zadano: slijed je dan sljedećom formulom.

Pronađite prva tri člana niza.

, , .

Odgovor: , , .

4. Jesu li brojevi članovi niza?

ali. , tj. Rješavajući ovu jednadžbu, dobivamo da . Ovo je prirodan broj.

Odgovor: prvi zadani broj je član ovog niza, odnosno njegov peti član.

b. , tj. Rješavajući ovu jednadžbu, dobivamo da . Ovo je prirodan broj.

Odgovor: drugi zadani broj je također član ovog niza, odnosno njegov devedeset deveti član.

5. Verbalni način postavljanja slijeda

Razmotrili smo analitički način specificiranja numeričkog niza. Zgodan je, uobičajen, ali ne i jedini.

Sljedeći način je verbalno dodjeljivanje sekvence.

Slijed, svaki od njegovih članova, mogućnost izračunavanja svakog od njegovih članova mogu se specificirati riječima, ne nužno formulama.

Primjer 1 Niz prostih brojeva.

Podsjetimo da je prost broj prirodan broj koji ima točno dva različita djelitelja: 1 i sam broj. Prosti brojevi su 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, itd.

Ima ih bezbroj. Euklid je također dokazao da je niz tih brojeva beskonačan, odnosno da ne postoji najveći prosti broj. Dat je slijed, svaki se pojam može izračunati, zamoran, ali se može izračunati. Ova sekvenca je data usmeno. Nažalost, formule nisu dostupne.

Primjer 2 Uzmimo u obzir broj =1,41421…

Ovaj iracionalan broj, njegov decimalni zapis pruža beskonačan broj znamenki. Razmotrimo slijed decimalnih aproksimacija broja prema nedostatku: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142; itd.

Postoji beskonačan broj članova ovog niza, svaki od njih se može izračunati. Ovaj slijed je nemoguće postaviti formulom, pa ga opisujemo usmeno.

6. Rekurzivni način specificiranja niza

Razmotrili smo dva načina specificiranja numeričkog niza:

1. Analitička metoda, kada se daje formula n-tog člana.

2. Verbalno dodjeljivanje niza.

I, na kraju, dolazi do ponavljanja niza, kada se daju pravila za izračunavanje n-tog člana iz prethodnih pojmova.

Smatrati

Primjer 1 Fibonaccijev niz (13. stoljeće).

Povijesna referenca:

Leonardo iz Pize (oko 1170., Pisa - oko 1250.) - prvi veliki matematičar srednjovjekovne Europe. Najpoznatiji je po nadimku Fibonacci.

Velik dio onoga što je naučio iznio je u svojoj izvanrednoj Knjizi Abacus (Liber abaci, 1202; do danas je sačuvan samo dopunjeni rukopis iz 1228). Ova knjiga sadrži gotovo sve aritmetičke i algebarske podatke tog vremena, prikazane s iznimnom cjelovitošću i dubinom. "Knjiga abakusa" oštro se uzdiže iznad europske aritmetičke i algebarske književnosti 12.-14. stoljeća. raznolikost i snaga metoda, bogatstvo zadataka, dokazi izlaganja. Kasniji matematičari su iz njega naveliko izvlačili i probleme i metode za njihovo rješavanje. Prema prvoj knjizi, mnoge generacije europskih matematičara proučavale su indijski pozicijski brojevni sustav.

Zadana su prva dva člana, a svaki sljedeći član je zbroj prethodna dva

jedan; jedan; 2; 3; pet; 8; 13; 21; 34; 55; ... su prvih nekoliko članova Fibonaccijevog niza.

Ovaj niz je zadan rekurzivno, n-ti član ovisi o prethodna dva.

Primjer 2

U ovom nizu svaki sljedeći član veći je od prethodnog za 2. Takav niz naziva se aritmetička progresija.

Brojevi 1, 3, 5, 7... su prvih nekoliko članova ovog niza.

Navedimo još jedan primjer ponavljajuće dodjele niza.

Primjer 3

Redoslijed je dat kako slijedi:

Svaki sljedeći član ovog niza dobiva se množenjem prethodnog člana s istim brojem q. Takav niz ima poseban naziv - geometrijska progresija. Aritmetičke i geometrijske progresije bit će predmet našeg proučavanja u sljedećim lekcijama.

Nađimo neke članove navedenog niza na b=2 i q=3.

Brojevi 2; 6; osamnaest; 54; 162 ... su prvih nekoliko članova ovog niza.

Zanimljivo je da se ovaj slijed može odrediti i analitički, tj. možete odabrati formulu. U ovom slučaju, formula će biti sljedeća.

Doista: ako je n=1, tada; ako je n=2, tada; ako je n=3 tada itd.

Stoga navodimo da se isti slijed može dati i analitički i rekurentno.

7. Sažetak lekcije

Dakle, razmotrili smo što je numerički niz i kako ga postaviti.

U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati sa svojstvima brojevnih nizova.

1. Makarychev Yu. N. i dr. Algebra 9. razred (udžbenik za srednju školu).-M.: Obrazovanje, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra za 9. razred s produbljivanjem. studija matematika.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Dodatna poglavlja školskog udžbenika algebre 9.-M .: Obrazovanje, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka zadataka iz algebre za 8-9 razrede ( tutorial za učenike škola i razreda s produbljivanjem. studija matematika).-M.: Obrazovanje, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra 9. razred, udžbenik za općeobrazovne ustanove. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. razred, knjiga zadataka za obrazovne ustanove. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Povijest matematike u školi. 7-8 razredi (vodič za učitelje).-M.: Prosvjeta, 1983.

1. Fakultetska sekcija. ru u matematici.

2. Portal prirodnih znanosti.

3. Eksponencijalna. ru Obrazovna matematička stranica.

1. br. 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra, 9. razred).

2. br. 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka zadataka iz algebre za 8.-9. razredi).

Algebra. 9. razred
Lekcija #32
Datum od:_____________
Učiteljica: Gorbenko Alena Sergejevna
Tema: Brojčani niz, načini postavljanja i svojstva
Vrsta lekcije: kombinirana
Svrha lekcije: dati pojam i definiciju brojčanog niza, razmotriti načine
dodjele numeričkih nizova
Zadaci:
Odgojno: upoznati učenike s pojmom brojevnog niza i člana
numerički niz; upoznati se s analitičkim, verbalnim, rekurentnim i
grafički načini postavljanja numeričkog niza; razmotriti vrste brojeva
sekvence; priprema za EAEA;
Razvijanje: razvoj matematičke pismenosti, mišljenja, tehnike računanja, vještina
usporedbe pri odabiru formule; poticanje interesa za matematiku;
Obrazovni: odgoj vještina samostalne aktivnosti; jasnoća i
organizacija u radu; omogućiti svakom učeniku uspjeh;
Oprema: školski pribor, tabla, kreda, udžbenik, materijali.
Tijekom nastave
ja Organiziranje vremena
 Uzajamni pozdrav;
 Popravljanje odsutnih;
 Najava teme sata;
 Postavljanje ciljeva i zadataka sata od strane učenika.
Niz je jedan od najosnovnijih pojmova u matematici. Slijed može
biti sastavljena od brojeva, točaka, funkcija, vektora itd.
Danas ćemo se u lekciji upoznati s pojmom "brojčani niz", saznat ćemo što
mogu postojati sekvence, upoznajmo se s poznatim sekvencama.

II. Ažuriranje osnovnih znanja.
Znate li funkcije definirane na cijelom brojevnom pravcu ili na njegovom kontinuiranom
III.
intervali:
linearna funkcija y \u003d kx + v,
kvadratna funkcija y \u003d ax2 + inx + c,


 funkcija y =



 funkcija y = |x|.
Priprema za percepciju novog znanja
izravna proporcionalnost y \u003d kx,
inverzna proporcionalnost y \u003d k / x,
kubična funkcija y = x3,
,
Ali postoje funkcije definirane na drugim skupovima.
Primjer. Mnoge obitelji imaju običaj, svojevrsni ritual: na rođendan djeteta
roditelji ga dovode okvir vrata i na njemu svečano proslaviti rast rođendanskog čovjeka.
Dijete raste, a s godinama se na dovratniku pojavljuju cijele ljestve tragova. Tri, pet, dva: Ovo je
slijed rasta iz godine u godinu. Ali postoji još jedan slijed, naime
njezini su članovi pažljivo ispisani uz serife. Ovo je slijed vrijednosti rasta.
Dvije sekvence su međusobno povezane.
Drugi se od prvog dobiva zbrajanjem.
Rast je zbroj dobitaka za sve prethodne godine.
Razmotrite još nekoliko pitanja.
Zadatak 1. U skladištu je 500 tona ugljena, svaki dan se isporučuje 30 tona.Koliko će ugljena biti
na skladištu za 1 dan? 2 dan? 3 dan? 4. dan? 5. dan?
(Odgovori učenika zapisani su na ploči: 500, 530, 560, 590, 620).
Zadatak 2. Tijekom razdoblja intenzivnog rasta, osoba raste u prosjeku za 5 cm godišnje. Sada se diže
učenik S. ima 180 cm Koliko će biti visok 2026. godine? (2m 30 cm). Ali ovo ne smije biti
može biti. Zašto?
Zadatak 3. Svaki dan svaka osoba s gripom može zaraziti još 4 osobe.
Za koliko dana će se svi učenici naše škole (300 ljudi) razboljeti? (nakon 4 dana).
Ovo su primjeri funkcija definiranih na skupu prirodnih brojeva – brojevnim
sekvence.
Cilj lekcije je: pronaći načine za pronalaženje bilo kojeg člana niza.
Ciljevi lekcije: Saznati što je numerički niz i kako
sekvence.
IV. Učenje novog gradiva
Definicija: Numerički niz je funkcija definirana na skupu
prirodni brojevi (nizovi čine takve elemente prirode da
može se numerirati).
Koncept numeričkog niza nastao je i razvio se mnogo prije stvaranja doktrine o
funkcije. Evo primjera nizova beskonačnih brojeva poznatih u prošlosti
starine:
1, 2, 3, 4, 5, : niz prirodnih brojeva;
2, 4, 6, 8, 10, : niz parnih brojeva;
1, 3, 5, 7, 9, : niz neparnih brojeva;
1, 4, 9, 16, 25, : niz kvadrata prirodnih brojeva;
2, 3, 5, 7, 11, : niz prostih brojeva;
,
1,
Broj članova svake od ovih serija je beskonačan; prvih pet sekvenci
, : niz recipročnih vrijednosti prirodnih brojeva.
,
monotono raste, a potonji se monotono smanjuje.

Oznaka: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:redni broj člana niza.
(yn) sekvenca, ynth član niza.
(an) sekvenca, n-ti član niza.
an1 je prethodni član niza,
+1 sljedeći član niza.
Nizovi su konačni i beskonačni, rastući i opadajući.
Zadaci za učenike: Zapišite prvih 5 članova niza:
Od prvog prirodnog broja povećaj za 3.
Od 10 povećajte za 2 puta i smanjite za 1.
Od broja 6, izmjenjujte povećanje od 2 i povećanje od 2 puta.
Ti brojčani nizovi se također nazivaju brojevnim nizovima.
Metode sekvenciranja:
verbalni način.
Pravila sekvenciranja su opisana riječima, bez formula ili
kada između elemenata niza nema pravilnosti.
Primjer 1. Niz prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Primjer 2. Proizvoljan skup brojeva: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Primjer 3. Niz parnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analitički način.
Bilo koji n-ti element niza može se odrediti pomoću formule.
Primjer 1. Niz parnih brojeva: y = 2n.
Primjer 2. Niz kvadrata prirodnih brojeva: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Primjer 3. Stacionarni niz: y = C; C, C, C, ...,C, ...
poseban slučaj: y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Primjer 4. Niz y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
rekurzivni način.
Navedeno je pravilo koje omogućuje izračunavanje n-tog elementa niza if
poznati su njegovi prethodni elementi.
Primjer 1. Aritmetička progresija: a1=a, an+1=an+d, gdje su a i d zadane brojeve, d
razlika aritmetičke progresije. Neka je a1=5, d=0,7, a zatim aritmetička progresija
izgledat će ovako: 5; 5,7; 6.4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .
Primjer 2. Geometrijska progresija: b1= b, bn+1= bnq, gdje su b i q zadani brojevi, b
0,
0; q je nazivnik geometrijska progresija. Neka je b1=23, q=½, zatim geometrijski
q
progresija će izgledati ovako: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Grafički način. Numerički niz
dan grafom koji je
izolirane točke. Apscise ovih točaka su prirodne
brojevi: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinate - vrijednosti članova
sekvence: a1; a2; a3; a4;…
Primjer: Zapišite svih pet članova brojevnog niza,
dati na grafički način.
Riješenje.
Svaka točka u ovoj koordinatnoj ravnini ima
koordinate (n; an). Zapišite koordinate označenih točaka
uzlazna apscisa n.
Dobivamo: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Prema tome, a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Odgovor: 3; jedan; 4; 6; 7.
V. Primarna konsolidacija proučenog gradiva
Primjer 1. Napišite moguću formulu za n-ti element niza (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Riješenje.
a) Ovo je niz neparni brojevi. Analitički, ovaj slijed može biti
postavljena formulom y = 2n+1.
b) Ovo je numerički niz u kojem je sljedeći element veći od prethodnog
po 4. Analitički, ovaj se niz može dati formulom y = 4n.
Primjer 2. Napišite prvih deset elemenata niza koji se ponavljaju: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 ako je n = 3, 4, 5, 6, ... .
Riješenje.
Svaki sljedeći element ovog niza jednak je zbroju prethodna dva
elementi.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Sažimanje lekcije. Odraz
1. Što ste uspjeli ispuniti zadatak?
2. Je li rad bio koordiniran?
3. Što po vašem mišljenju nije uspjelo?

Numerički niz je poseban slučaj numeričke funkcije, pa se za nizove razmatraju i brojna svojstva funkcija.

1. Definicija . Slijed ( y n} naziva se rastućim ako je svaki njegov član (osim prvog) veći od prethodnog:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Definicija. Slijed ( y n} naziva se opadajućim ako je svaki njegov član (osim prvog) manji od prethodnog:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Rastuće i opadajuće sekvence objedinjuje zajednički pojam – monotoni nizovi.

Na primjer: y 1 = 1; y n= n 2… je rastući niz. y 1 = 1; je silazni niz. y 1 = 1; – ovaj niz nije nerastući nego opadajući.

4. Definicija. Niz se naziva periodičnim ako postoji prirodan broj T takav da, počevši od nekog n, vrijedi jednakost yn = yn+T. Broj T naziva se duljina perioda.

5. Niz se naziva ograničenim odozdo ako su svi njegovi članovi barem neki broj.

6. Za niz se kaže da je omeđen odozgo ako su svi njegovi članovi najviše neki broj.

7. Niz se naziva omeđen ako je omeđen i odozgo i odozdo, t.j. postoji pozitivan broj takav da svi članovi zadanog niza ne prelaze ovaj broj u apsolutnoj vrijednosti. (Ali ograničenost s obje strane ne znači nužno da je konačna.)

8. Niz može imati samo jedno ograničenje.

9. Svaki neopadajući niz omeđen iznad ima granicu (lim).

10. Svaki nerastući niz omeđen ispod ima granicu.

Granica niza je točka (broj) u čijoj blizini se nalazi većina članova niza, oni se toj granici približavaju, ali je ne dosežu.

Geometrijski i aritmetička progresija su posebni slučajevi niza.

Metode sekvenciranja:

Sekvence se mogu postaviti različiti putevi, među kojima su posebno važna tri: analitička, deskriptivna i rekurentna.

1. Niz je dan analitički ako je dana formula njegovog n-tog člana:

Primjer. yn \u003d 2n - 1 - niz neparnih brojeva: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Deskriptivan način postavljanja numeričkog niza je da objašnjava od kojih elemenata je niz izgrađen.

Primjer 1. "Svi članovi niza jednaki su 1." To znači, pričamo o stacionarnom nizu 1, 1, 1, …, 1, ….

Primjer 2. "Slijed se sastoji od svih prostih brojeva u rastućem redoslijedu." Dakle, zadan je niz 2, 3, 5, 7, 11, …. Ovom metodom određivanja slijeda u ovaj primjer teško je odgovoriti čemu je, recimo, jednak 1000. element niza.

3. Rekurentni način specificiranja niza je da se naznači pravilo koje omogućuje izračunavanje n-tog člana niza ako su poznati njegovi prethodni članovi. Naziv rekurzivna metoda dolazi od latinska riječ recurrere - vratiti se. Najčešće se u takvim slučajevima navodi formula koja omogućuje izražavanje n-tog člana niza u odnosu na prethodne, a specificiraju se 1-2 početna člana niza.

Primjer 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4 ako je n = 2, 3, 4,….

Ovdje je y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Vidi se da se sekvenca dobivena u ovom primjeru može odrediti i analitički: yn = 4n – 1.

Primjer 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 ako n = 3, 4,….

Ovdje: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Niz sastavljen u ovom primjeru posebno se proučava u matematici, budući da ima niz zanimljiva svojstva i aplikacije. Naziva se Fibonaccijevim nizom - po talijanskom matematičaru iz 13. stoljeća. Definiranje Fibonaccijevog niza rekurzivno je vrlo jednostavno, ali je analitički vrlo teško. n th Fibonaccijev broj se izražava u smislu njegovog rednog broja sljedećom formulom.

Na prvi pogled, formula za n Fibonaccijev broj se čini nevjerojatnim, budući da formula koja specificira slijed prirodnih brojeva sama sadrži kvadratni korijeni, ali možete "ručno" provjeriti valjanost ove formule za prvih nekoliko n.

Fibonaccijeva povijest:

Fibonacci (Leonardo iz Pize), c. 1175–1250

talijanski matematičar. Rođen u Pizi, postao je prvi veliki europski matematičar u kasnom srednjem vijeku. U matematiku ga je navela praktična potreba za utvrđivanjem poslovni kontakti. Objavio je svoje knjige iz aritmetike, algebre i drugih matematičkih disciplina. Od muslimanskih matematičara učio je o sustavu brojeva koji je izumljen u Indiji i već usvojen u arapskom svijetu, te se uvjerio u njegovu superiornost (ovi su brojevi bili preteča modernih arapskih brojeva).

Leonardo iz Pise, poznat kao Fibonacci, bio je prvi od velikih europskih matematičara kasnog srednjeg vijeka. Rođen u Pisi u bogatoj trgovačkoj obitelji, u matematiku je ušao iz čisto praktične potrebe za uspostavljanjem poslovnih kontakata. U mladosti, Leonardo je puno putovao, prateći oca na poslovnim putovanjima. Na primjer, znamo za njegov dugi boravak u Bizantu i Siciliji. Tijekom takvih putovanja puno je komunicirao s lokalnim znanstvenicima.

Brojčani niz koji danas nosi njegovo ime izrastao je iz problema sa zečevima koji je Fibonacci iznio u svojoj knjizi Liber abacci, napisanoj 1202.:

Čovjek je stavio par zečeva u tor, okružen zidom sa svih strana. Koliko parova kunića ovaj par može okotiti u godini, ako se zna da svaki mjesec, počevši od drugog, svaki par kunića rodi po jedan par?

Možete osigurati da će broj parova u svakom od sljedećih dvanaest mjeseci u mjesecu biti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Drugim riječima, broj parova zečeva stvara niz, svaki član u kojem je zbroj prethodna dva. Poznat je kao Fibonaccijev niz, a sami brojevi su Fibonaccijevi brojevi. Ispada da ovaj niz ima mnogo matematički zanimljivih svojstava. Evo primjera: možete podijeliti liniju na dva segmenta tako da omjer između većeg i manjeg segmenta bude proporcionalan omjeru između cijele linije i većeg segmenta. Ovaj faktor proporcionalnosti, približno jednak 1,618, poznat je kao Zlatni omjer. U renesansi se vjerovalo da je taj omjer, promatran u arhitektonskim strukturama, najugodniji oku. Ako uzmete uzastopne parove iz Fibonaccijevog niza i podijelite više od svakog para do manjeg, vaš će se rezultat postupno približavati zlatnom omjeru.

Otkako je Fibonacci otkrio svoj niz, čak su pronađeni i prirodni fenomeni u kojima se čini da ovaj slijed igra važnu ulogu. Jedan od njih je filotaksis (raspored listova) – pravilo prema kojem se, primjerice, sjemenke nalaze u cvatu suncokreta. Sjemenke suncokreta su raspoređene u dvije spirale. Brojevi koji označavaju broj sjemenki u svakoj od spirala članovi su nevjerojatnog matematičkog niza. Sjemenke su raspoređene u dva reda spirala, od kojih jedna ide u smjeru kazaljke na satu, a druga protiv. I koliki je broj sjemenki u svakom pojedinom slučaju? 34 i 55.

Zadatak #1:

Napiši prvih pet članova niza.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

i n \u003d 2 n + 1/2 n

Zadatak broj 2:

Napišite formulu za zajednički član niza prirodnih brojeva koji su višekratnici broja 3.

Odgovor: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, i n = 3n

Zadatak broj 3:

Napišite formulu za zajednički član niza prirodnih brojeva koji, kada se podijele s 4, imaju ostatak od 1.

Odgovor: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 i n = 4n+1

broj 19. Funkcija.

Funkcija (prikaz, operator, transformacija) je matematički koncept koji odražava odnos između elemenata skupova. Možemo reći da je funkcija "zakon" prema kojem se svakom elementu jednog skupa (koji se naziva domena definicije) pripisuje neki element drugog skupa (koji se naziva domena vrijednosti).

Funkcija je ovisnost o jednoj varijabla od drugog. Drugim riječima, odnos između količina.

Matematički koncept funkcije izražava intuitivnu ideju o tome kako jedna veličina u potpunosti određuje vrijednost druge veličine. Dakle, vrijednost varijable x jednoznačno određuje vrijednost izraza, a vrijednost mjeseca jedinstveno određuje vrijednost sljedećeg mjeseca, te se svaka osoba može usporediti s drugom osobom – svojim ocem. Slično, neki unaprijed zamišljeni algoritam, s obzirom na različite ulazne podatke, proizvodi određene izlazne podatke.

Često se izraz "funkcija" odnosi na numeričku funkciju; odnosno funkcija koja neke brojeve stavlja u korespondenciju s drugima. Te su funkcije prikladno prikazane na slikama u obliku grafikona.

Može se dati još jedna definicija. Funkcija je specifična akcijski preko varijable.

To znači da uzmemo vrijednost, izvršimo neku radnju s njom (na primjer, kvadriramo je ili izračunamo njezin logaritam) - i dobijemo vrijednost.

Navedimo još jednu definiciju funkcije – onu koja se najčešće nalazi u udžbenicima.

Funkcija je korespondencija između dva skupa, pri čemu svaki element prvog skupa odgovara jednom i samo jednom elementu drugog skupa.

Na primjer, funkcija za svaki pravi broj odgovara broju dvostruko većem od .

Skup elemenata nekog F. zamijenjenih za x naziva se njegova domena definicije, a skup elemenata y nekog F. naziva se njegovim rasponom vrijednosti.

Povijest mandata:

Pojam "funkcija" (u nešto užem smislu) prvi je upotrijebio Leibniz (1692). Zauzvrat, Johann Bernoulli je u pismu istom Leibnizu upotrijebio ovaj izraz u smislu bližem modernom. U početku se koncept funkcije nije mogao razlikovati od koncepta analitičke reprezentacije. Nakon toga se pojavila definicija funkcije koju je dao Euler (1751), a zatim - Lacroix (1806) - gotovo u modernom obliku. Konačno, opća definicija funkcije (in modernom obliku, ali za numeričke funkcije) dali su Lobačevski (1834) i Dirichlet (1837). DO krajem XIX stoljeća, koncept funkcije prerastao je okvire brojčanih sustava. Vektorske funkcije bile su prve koje su to učinile, Frege je ubrzo uveo logičke funkcije (1879), a nakon pojave teorije skupova, Dedekind (1887) i Peano (1911) formulirali su modernu univerzalnu definiciju.

broj 20. Načini postavljanja funkcije.

Postoje 4 načina za definiranje funkcije:

1. tabelarni Sasvim uobičajeno, je postavljanje stola pojedinca

vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije. Ova metoda definiranja funkcije koristi se kada je domena funkcije diskretni konačni skup.

Zgodno je kada je f konačan skup, ali kada je f beskonačan, naznačeni su samo odabrani parovi (x, y).

Tabličnom metodom definiranja funkcije moguće je približno izračunati vrijednosti funkcije koje nisu sadržane u tablici, a koje odgovaraju srednjim vrijednostima argumenta. Da biste to učinili, koristite metodu interpolacije.

Prednosti: točnost, brzina, lako pronaći u tablici vrijednosti željenu vrijednost funkcije. Prednosti tabelarnog načina određivanja funkcije su u tome što omogućuje određivanje određenih specifičnih vrijednosti odjednom, bez dodatnih mjerenja ili izračuna.

nedostatke: nepotpunost, nedostatak jasnoće. U nekim slučajevima, tablica ne definira funkciju u potpunosti, već samo za neke vrijednosti argumenta i ne pruža vizualni prikaz prirode promjene funkcije ovisno o promjeni argumenta.

2. analitički(formule). Najčešće, zakon koji uspostavlja vezu između

argument i funkcija, specificira se pomoću formula. Ovaj način definiranja funkcije naziva se analitičkim. Ono je najvažnije za MA (matematičku analizu), budući da metode MA (diferencijalni, integralni račun) sugeriraju ovakav način postavljanja. Ista funkcija može se dati različitim formulama: y=∣grijeh( x)∣y=√1−cos2( x) Ponekad u raznih dijelova od svojih domena, definirana funkcija može se dati raznim formulama f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Često se ovom metodom definiranja funkcije ne naznačuje opseg definicije, tada se pod domenom definicije podrazumijeva prirodno područje definicije, tj. skup svih x vrijednosti za koje funkcija uzima stvarnu vrijednost.

Ova metoda omogućuje da svaka brojčana vrijednost argumenta x pronađe odgovarajuću brojčanu vrijednost funkcije y točno ili s određenom točnošću.

Poseban slučaj analitičkog načina definiranja funkcije je definiranje funkcije jednadžbom oblika F(x,y)=0 (1) Ako ova jednadžba ima svojstvo da je ∀ x∈D se samo podudara y, takav da F(x,y)=0, tada kažemo da jednadžba (1) na D implicitno definira funkciju. Drugi poseban slučaj definiranja funkcije je parametarski, sa svakim parom ( x,y)∈f postaviti pomoću para funkcija x=ϕ( t),y=ψ( t) gdje t∈M.

Dana je definicija numeričkog niza. Razmatraju se primjeri beskonačno rastućih, konvergentnih i divergentnih nizova. Razmatra se niz koji sadrži sve racionalne brojeve.

Definicija .
Brojčani niz ( x n ) naziva se zakon (pravilo), prema kojem je za svaki prirodni broj n = 1, 2, 3, . . . dodijeljen je neki broj x n.
Element x n se zove n-ti član ili element niza.

Niz je označen kao n-ti član zatvoren u vitičaste zagrade: . Također moguće sljedeću notaciju: . Oni izričito navode da indeks n pripada skupu prirodnih brojeva i da sam niz ima beskonačan broj članova. Evo nekoliko primjera sekvenci:
, , .

Drugim riječima, numerički niz je funkcija čija je domena skup prirodnih brojeva. Broj elemenata u nizu je beskonačan. Među elementima mogu biti i članovi koji imaju iste vrijednosti. Također, niz se može smatrati numeriranim skupom brojeva koji se sastoji od beskonačnog broja članova.

Uglavnom će nas zanimati pitanje - kako se sekvence ponašaju kada n teži beskonačnosti: . Ovaj materijal je predstavljen u odjeljku Granica slijeda - osnovni teoremi i svojstva. A ovdje ćemo pogledati neke primjere sekvenci.

Primjeri slijeda

Primjeri beskonačno rastućih nizova

Razmotrimo slijed. Opći pojam ovog niza je . Napišimo prvih nekoliko pojmova:
.
Može se vidjeti da kako broj n raste, elementi se neograničeno povećavaju prema pozitivnim vrijednostima. Možemo reći da ovaj niz teži : na .

Sada razmotrite niz sa zajedničkim pojmom. Evo nekih od njegovih prvih članova:
.
Kako broj n raste, elementi ovog niza neograničeno rastu u apsolutnoj vrijednosti, ali nemaju stalan predznak. To jest, ovaj slijed teži: na .

Primjeri nizova koji konvergiraju konačnom broju

Razmotrimo slijed. Njegov zajednički član Prvi pojmovi su sljedeći:
.
Vidi se da kako broj n raste, elementi ovog niza se približavaju svojoj graničnoj vrijednosti a = 0 : kod . Dakle, svaki sljedeći član je bliži nuli od prethodnog. U određenom smislu, možemo pretpostaviti da postoji približna vrijednost za broj a = 0 s greškom. Jasno je da kako n raste, ova pogreška teži nuli, odnosno odabirom n pogreška se može učiniti proizvoljno malom. Štoviše, za bilo koju zadanu grešku ε > 0 moguće je odrediti takav broj N, da za sve elemente s brojevima većim od N:, odstupanje broja od granične vrijednosti a neće prelaziti grešku ε: .

Zatim razmotrite slijed. Njegov zajednički član Evo nekih od njegovih prvih članova:
.
U ovom nizu parni članovi su nula. Članovi s neparnim n su . Stoga, kako n raste, njihove vrijednosti se približavaju graničnoj vrijednosti a = 0 . To proizlazi i iz činjenice da
.
Kao i u prethodnom primjeru, možemo odrediti proizvoljno malu pogrešku ε > 0 , za koji je moguće pronaći takav broj N da će elementi s brojevima većim od N odstupiti od granične vrijednosti a = 0 vrijednošću koja ne prelazi navedenu grešku. Stoga ovaj niz konvergira vrijednosti a = 0 : kod .

Primjeri divergentnih sekvenci

Razmotrimo niz sa sljedećim zajedničkim pojmom:

Evo njegovih prvih članova:


.
Vidi se da su pojmovi s parnim brojevima:
,
konvergirati na vrijednost a 1 = 0 . Članovi s neparnim brojevima:
,
konvergirati na vrijednost a 2 = 2 . Sam niz, kako n raste, ne konvergira ni na jednu vrijednost.

Slijed s članovima raspoređenim u intervalu (0;1)

Sada razmotrite zanimljiviji slijed. Uzmi segment na brojevnoj liniji. Podijelimo ga na pola. Dobivamo dva segmenta. Neka bude
.
Svaki od segmenata ponovno je podijeljen na pola. Dobivamo četiri segmenta. Neka bude
.
Svaki segment ponovno podijelite na pola. Idemo uzeti


.
itd.

Kao rezultat, dobivamo niz čiji su elementi raspoređeni u otvorenom intervalu (0; 1) . Koju god točku uzmemo iz zatvorenog intervala , uvijek možemo pronaći članove niza koji su proizvoljno blizu ovoj točki, ili se s njom podudaraju.

Tada se iz izvornog niza može izdvojiti podniz koji će konvergirati na proizvoljnu točku iz intervala . To jest, kako broj n raste, članovi podniza će se sve više približavati unaprijed odabranoj točki.

Na primjer, za točku a = 0 možete odabrati sljedeći podslijed:
.
= 0 .

Za točku a = 1 odaberite sljedeći podniz:
.
Članovi ovog podniza konvergiraju vrijednosti a = 1 .

Budući da postoje podnizovi koji konvergiraju na različita značenja, tada sam izvorni niz ne konvergira ni jednom broju.

Niz koji sadrži sve racionalne brojeve

Sada konstruirajmo niz koji sadrži sve racionalne brojeve. Štoviše, svaki racionalni broj bit će uključen u takav niz beskonačan broj puta.

Racionalni broj r može se predstaviti na sljedeći način:
,
gdje je cijeli broj; - prirodno.
Svakom prirodnom broju n moramo dodijeliti par brojeva p i q tako da bilo koji par p i q bude uključen u naš niz.

Da biste to učinili, nacrtajte osi p i q na ravnini. Crtamo linije mreže kroz cjelobrojne vrijednosti p i q. Tada će svaki čvor ove mreže s odgovarati racionalni broj. Cijeli skup racionalnih brojeva bit će predstavljen skupom čvorova. Moramo pronaći način numeriranja svih čvorova kako ne bismo propustili niti jedan čvor. To je lako učiniti ako čvorove numeriramo prema kvadratima čija se središta nalaze u točki (0; 0) (vidi sliku). U ovom slučaju, donji dijelovi kvadrata s q < 1 ne trebamo. Stoga nisu prikazani na slici.

Dakle, za gornju stranu prvog kvadrata imamo:
.
Dalje brojimo Gornji dio sljedeći kvadrat:

.
Numerimo gornji dio sljedećeg kvadrata:

.
itd.

Na taj način dobivamo niz koji sadrži sve racionalne brojeve. Može se vidjeti da se bilo koji racionalni broj pojavljuje u ovom nizu beskonačan broj puta. Doista, zajedno s čvorom, ovaj niz će također uključivati ​​čvorove, gdje je prirodni broj. Ali svi ti čvorovi odgovaraju istom racionalnom broju.

Zatim iz niza koji smo konstruirali možemo odabrati podniz (koji ima beskonačan broj elemenata), čiji su svi elementi jednaki unaprijed određenom racionalnom broju. Budući da niz koji smo konstruirali ima podnizove koji konvergiraju različiti brojevi, tada se niz ne konvergira ni jednom broju.

Zaključak

Ovdje smo dali preciznu definiciju numeričkog niza. Dotaknuli smo se i pitanja njegove konvergencije, temeljene na intuitivnim idejama. Točna definicija konvergencije raspravlja se na stranici Određivanje granice niza. Povezana svojstva i teoremi su navedeni na stranici

Lekcija #32 Datum ____________

Algebra

Razred: 9 "B"

Tema: "Numerički niz i načini za njegovo postavljanje."

Svrha lekcije: učenici trebaju znati što je niz brojeva; načini postavljanja numeričkog niza; znati razlikovati različite načine specificiranja brojčanih nizova.

Didaktički materijali: brošure, referentne bilješke.

Tehnička sredstva učenje: prezentacija na temu "Numerički nizovi".

Tijekom nastave.

1. Organizacijski trenutak.

2. Postavljanje ciljeva lekcije.

Danas ćete u lekciji naučiti:

Što je slijed?

Koje vrste sekvenci postoje?

Kako je određen brojčani niz?

Naučite kako napisati niz koristeći formulu i njezine brojne elemente.

Naučite pronaći članove niza.

3. Rad na proučenom gradivu.

3.1. Pripremna faza.

Dečki, testirajmo vaše logičke vještine. Navodim nekoliko riječi, a vi nastavite:

-Ponedjeljak utorak,…..

- Siječanj Veljača Ožujak…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G, ... .. (popis razreda);

–10,11,12,…99;

Iz odgovora momaka zaključuje se da su gornji zadaci nizovi, odnosno neka vrsta uređenog niza brojeva ili pojmova, kada je svaki broj ili pojam strogo na svom mjestu, a ako se članovi zamijene, slijed bit će prekršen (utorak, četvrtak, ponedjeljak je samo popis dana u tjednu). Dakle, tema lekcije je numerički niz.

3.1. Objašnjenje novog gradiva. (Demo materijal)

Analizirajući odgovore učenika, definirati brojčani niz i pokazati kako postaviti nizove brojeva.

(Rad s udžbenikom str. 66 - 67)

Definicija 1. Funkcija y = f(x), xN naziva se funkcijom prirodnog argumenta ili numeričkog niza i označava se: y = f(n) ili y 1 , y 2 , y 3 , ..., yn , ... ili (yn).

U ovom slučaju nezavisna varijabla je prirodan broj.

Najčešće će se sekvence označavati na sljedeći način: ( ali n), (b n), (iz n) itd.

Definicija 2. Članovi slijeda.

Elementi koji tvore niz nazivaju se članovima niza.

Novi koncepti: prethodni i sljedeći član niza,

ali 1 …ali P. (1. i n-ti član niza)

Metode za postavljanje numeričkog niza.

analitički način.

Bilo koji n-ti element sekvence se mogu odrediti pomoću formule. (demo)

Analizirajte primjere

Primjer 1 Niz parnih brojeva: y = 2n.

Primjer 2 Niz kvadrata prirodnih brojeva: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Primjer 3 Stacionarni niz: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Poseban slučaj: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Primjer 4. Niz y = 2 n;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

verbalni način.

Pravila za postavljanje niza opisana su riječima, bez navođenja formula ili kada nema uzoraka između elemenata niza.

Primjer 1. Aproksimacije brojevaπ.

Primjer 2 Redoslijed prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Primjer 3 Niz brojeva djeljiv s 5.

Primjer 2 Slučajni skup brojeva: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Primjer 3 Niz parnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

rekurzivni način.

Rekurentna metoda sastoji se u specificiranju pravila koje dopušta izračunavanje n-tog člana niza ako je specificirano njegovih prvih nekoliko članova (barem jedan prvi član) i formule koja dopušta izračunavanje njegovog sljedećeg člana od prethodnih članova. Termin ponavljajuća potječe od latinske riječi ponavljati , što znači vrati se . Kada računamo članove niza prema ovom pravilu, nekako se stalno vraćamo unazad, računajući sljedeći član na temelju prethodnog. Značajka ove metode je da za određivanje, na primjer, 100. člana niza, prvo morate odrediti svih prethodnih 99 članova.

Primjer 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Neka je a 1 =5, tada će niz izgledati ovako: 5; 5,7; 6.4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .

Primjer 2 b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. Neka je b 1 =23, tada će niz izgledati ovako: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Primjer 3 Fibonaccijev niz. Ovaj se niz lako definira rekurzivno: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 ako je n=3, 4, 5, 6, ... . Izgledat će ovako:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P th član ovog niza jednak je zbroju dva prethodna člana)

Teško je analitički definirati Fibonaccijev niz, ali je moguće. Formula kojom se određuje bilo koji element ovog niza izgleda ovako:

dodatne informacije:

Talijanski trgovac Leonardo iz Pize (1180.-1240.), poznatiji pod nadimkom Fibonacci, bio je važan srednjovjekovni matematičar. Uz pomoć ovog niza, Fibonacci je odredio broj φ (phi); φ=1,618033989.

Grafički način

Članovi niza mogu se predstaviti kao točke na koordinatnoj ravnini. Da biste to učinili, broj se iscrtava duž vodoravne osi, a vrijednost odgovarajućeg člana niza iscrtava se duž vertikalne osi.

Za konsolidaciju metoda dodjele, molim vas da navedete nekoliko primjera sekvenci koje su specificirane ili usmeno, ili analitički, ili na ponavljajući način.

Vrste brojčanih nizova

(Na dolje navedenim sekvencama razrađene su vrste sekvenci).

Rad s udžbenikom str.69-70

1) Rastući - ako je svaki član manji od sljedećeg, t.j. a n a n +1.

2) Opadajući - ako je svaki član veći od sljedećeg, t.j. a n a n +1 .

3) Beskonačan.

4) Ultimate.

5) Naizmjenični.

6) Konstantno (stacionarno).

Rastući ili opadajući niz naziva se monoton.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Rad s udžbenikom: uradi to usmeno br. 150, 159 str. 71, 72

3.2. Konsolidacija novog materijala. Rješavanje problema.

Za konsolidaciju znanja odabiru se primjeri ovisno o razini pripremljenosti učenika.

Primjer 1 Napišite moguću formulu za n-ti element niza (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Riješenje.

a) To je niz neparnih brojeva. Analitički, ovaj niz se može dati formulom y = 2n+1.

b) Ovo je numerički niz u kojem je sljedeći element veći za 4 od prethodnog.Analitički, ovaj se niz može odrediti formulom y = 4n.

Primjer 2. Napišite prvih deset elemenata niza koji se ponavljaju: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 ako je n = 3, 4, 5, 6, ... .

Riješenje.

Svaki sljedeći element ovog niza jednak je zbroju dva prethodna elementa.

Primjer 3 Slijed (y n) se ponavlja: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . Navedite ovaj slijed analitički.

Riješenje.

Pronađite prvih nekoliko elemenata niza.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 \u003d 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

y 5 \u003d 5y 4 -6y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5y 5 -6y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

y 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

Dobivamo slijed: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ... koji se može predstaviti kao

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; pet; 6; 7... .

Analizirajući slijed, dobivamo sljedeću pravilnost: y = 2 n -1 .

Primjer 4 Zadan niz y n =24n+36-5n 2 .

a) Koliko pozitivnih pojmova ima?

b) Pronađite najveći element niza.

c) Postoji li najmanji element u ovom nizu?

Ovaj brojčani niz je funkcija oblika y = -5x 2 +24x+36, gdje je x

a) Nađite vrijednosti funkcije za koje je -5x 2 +24x+360. Riješimo jednadžbu -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 \u003d -1,2.

Jednadžba osi simetrije parabole y = -5x 2 +24x + 36 može se pronaći po formuli x \u003d, dobivamo: x \u003d 2.4.

Nejednakost -5x 2 +24x+360 vrijedi za -1,2 Ovaj interval sadrži pet prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, 5). Dakle, u zadanom nizu pet pozitivni elementi sekvence.

b) Najveći element niza određen je metodom odabira i jednak je y 2 =64.

c) Ne postoji najmanji element.

3.4.Zadaci za samostalan rad