Kako pronaći razliku aritmetičke progresije ako je poznata. Aritmetička progresija

Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(osam\); \(jedanaest\); \(14\)... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem tri):

U ovoj progresiji razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), pa je stoga svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije se nazivaju povećavajući.

Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(deset\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… razlika progresije \(d\) jednaka je minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.

Zapis aritmetičke progresije

Progresija se označava malim latiničnim slovom.

Zovu se brojevi koji tvore progresiju članova(ili elemenata).

Označeni su istim slovom kao i aritmetička progresija, ali s brojčanim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) sastoji se od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\)

Rješavanje zadataka u aritmetičkoj progresiji

U principu, gore navedene informacije već su dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema s aritmetičkom progresijom (uključujući i one koje nudi OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je uvjetima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Odluka:

Odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Zadana su prva tri člana aritmetičke progresije: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Odluka:

	Dani su nam prvi elementi niza i znamo da je to aritmetička progresija. Odnosno, svaki element se razlikuje od susjednog za isti broj. Saznajte koji oduzimanjem prethodnog od sljedećeg elementa: \(d=49-62=-13\).
	Sada možemo vratiti naš napredak na željeni (prvi negativni) element.
	Spreman. Možete napisati odgovor.

Odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Dano je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Odluka:

	Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razliku u progresiji. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\).
	I sada bez problema nalazimo ono što tražimo: \(x=5+2,5=7,5\).
	Spreman. Možete napisati odgovor.

Odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je sljedećim uvjetima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbroj prvih šest članova ove progresije.
Odluka:

	Moramo pronaći zbroj prvih šest članova progresije. Ali ne znamo njihova značenja, dat nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti ​​​, koristeći dato nam: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) I nakon što smo izračunali šest elemenata koji su nam potrebni, nalazimo njihov zbroj.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Traženi iznos je pronađen.

Odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Odluka:

Odgovor: \(d=7\).

Važne formule aritmetičke progresije

Kao što vidite, mnogi problemi aritmetičke progresije mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu dobiva se dodavanjem istog broja prethodnom (razlika progresije).

Međutim, ponekad postoje situacije kada je vrlo nezgodno riješiti "na čelu". Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već tristo osamdeset i šesti \(b_(386)\). Što je to, mi \ (385 \) puta zbrojiti četiri? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbroj prva sedamdeset i tri elementa. Brojanje je zbunjujuće...

Stoga se u takvim slučajevima ne rješavaju "na čelu", već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbroj \(n\) prvih članova.

Formula za \(n\)-ti član: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj traženog elementa;
\(a_n\) je član progresije s brojem \(n\).

Ova formula nam omogućuje da brzo pronađemo barem tristoti, čak i milijunti element, znajući samo prvi i progresivnu razliku.

Primjer. Aritmetička progresija dana je uvjetima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Odluka:

Odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbroj prvih n članova je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje je

\(a_n\) je zadnji zbrojeni član;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je uvjetima \(a_n=3,4n-0,6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Odluka:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Da bismo izračunali zbroj prvih dvadeset i pet elemenata, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana. Naš napredak je dan formulom n-tog člana ovisno o njegovom broju (vidi detalje). Izračunajmo prvi element zamjenom \(n\) s jednim.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Sada pronađimo dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Pa, sada bez problema izračunavamo potrebnu količinu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je spreman.

Odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbroj \(n\) prvih članova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite formulu za to \(a_n=a_1+(n-1)d\). dobivamo:

Formula za zbroj prvih n članova je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje je

\(S_n\) – traženi zbroj \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) je prvi pojam koji se zbraja;
\(d\) – razlika u progresiji;
\(n\) - broj elemenata u zbroju.

Primjer. Pronađite zbroj prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(četrnaest\)…
Odluka:

Odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve informacije koje su vam potrebne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije. Završimo temu razmatranjem problema u kojima trebate ne samo primijeniti formule, već i malo razmisliti (u matematici to može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Pronađite zbroj svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-devetnaest\); \(-18,7\)…
Odluka:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati na isti način: prvo pronađemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Sada bismo zamijenili \(d\) u formulu za zbroj ... i ovdje se pojavljuje mala nijansa - ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko će pojmova trebati dodati. Kako saznati? razmislimo. Prestat ćemo dodavati elemente kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. To jest, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračunavanje bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Trebamo da \(a_n\) bude veći od nule. Otkrijmo zbog čega će se to \(n\) dogoditi.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obje strane nejednadžbe dijelimo s \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenosimo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Računalstvo...
\(n>65,333…\)		…i ispada da će prvi pozitivni element imati broj \(66\). Prema tome, zadnji negativ ima \(n=65\). Za svaki slučaj, provjerimo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Dakle, moramo dodati prve \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je spreman.

Odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je uvjetima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nađite zbroj od \(26\)-tog do uključujući \(42\) elementa.
Odluka:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	U ovom zadatku također morate pronaći zbroj elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Nemamo formulu za ovo. Kako se odlučiti? Jednostavno - da biste dobili zbroj od \(26\) do \(42\), prvo morate pronaći zbroj od \(1\) do \(42\), a zatim od njega oduzeti zbroj iz prvi do \ (25 \) th (vidi sliku).
	Za našu progresiju \(a_1=-33\), i razliku \(d=4\) (na kraju krajeva, prethodnom elementu dodajemo četiri da bismo pronašli sljedeći). Znajući to, nalazimo zbroj prvih \(42\)-uh elemenata.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sada zbroj prvih \(25\)-tih elemenata.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	I na kraju, izračunavamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmotrili u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.

Ova tema je često teška i nerazumljiva. Slovni indeksi, n-ti član progresije, razlika progresije - sve je to nekako zbunjujuće, da... Shvatimo značenje aritmetičke progresije i sve će se odmah riješiti.)

Koncept aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija je vrlo jednostavan i jasan koncept. Sumnjati? Uzalud.) Uvjerite se sami.

Napisat ću nedovršeni niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Možete li produžiti ovu liniju? Koji će brojevi ići sljedeći, nakon petice? Svi ... uh ..., ukratko, svi će shvatiti da će brojevi 6, 7, 8, 9 itd. ići dalje.

Zakomplicirajmo zadatak. Dajem nedovršeni niz brojeva:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Možete uhvatiti uzorak, produžiti niz i imenovati sedmi broj reda?

Ako ste shvatili da je ovaj broj 20 - čestitam vam! Ne samo da ste osjećali ključne točke aritmetičke progresije, ali ih i uspješno koristio u poslovanju! Ako ne razumijete, čitajte dalje.

Prevedimo sada ključne točke iz osjeta u matematiku.)

Prva ključna točka.

Aritmetička progresija se bavi nizovima brojeva. Ovo je u početku zbunjujuće. Navikli smo rješavati jednadžbe, graditi grafove i sve to... I onda produžiti niz, pronaći broj niza...

U redu je. Samo što su progresije prvo upoznavanje s novom granom matematike. Odjeljak se zove "Serija" i radi s nizovima brojeva i izraza. Naviknuti se na nešto.)

Druga ključna točka.

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji broj se razlikuje od prethodnog za isti iznos.

U prvom primjeru ova razlika je jedna. Koji god broj uzmete, jedan je više od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri puta veći od prethodnog. Zapravo, upravo nam ovaj trenutak daje priliku da uhvatimo uzorak i izračunamo sljedeće brojeve.

Treća ključna točka.

Ovaj trenutak nije upečatljiv, da... Ali vrlo, vrlo važan. eto ga: svaki broj progresije je na svom mjestu. Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset peti i tako dalje. Ako ih slučajno zbunite, uzorak će nestati. Aritmetička progresija također će nestati. To je samo niz brojeva.

To je cijela poanta.

Naravno, u novoj temi pojavljuju se novi pojmovi i oznake. Moraju znati. Inače nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morate odlučiti nešto poput:

Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n) ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Nadahnjuje li?) Slova, neki indeksi... A zadatak, inače, nije mogao biti lakši. Samo trebate razumjeti značenje pojmova i oznaka. Sada ćemo savladati ovu stvar i vratiti se zadatku.

Pojmovi i oznake.

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima se svaki broj razlikuje od prethodnog za isti iznos.

Ova vrijednost se zove . Pozabavimo se ovim konceptom detaljnije.

Razlika aritmetičke progresije.

Razlika aritmetičke progresije je iznos za koji bilo koji broj progresije više prethodni.

Jedna važna točka. Molimo obratite pažnju na riječ "više". Matematički, to znači da se dobiva svaki broj progresije dodajući razlika aritmetičke progresije prema prethodnom broju.

Za izračunavanje, recimo drugi brojeva reda, potrebno je prvi broj dodati upravo ta razlika aritmetičke progresije. Za izračun peti- razlika je neophodna dodati do Četvrta pa, itd.

Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivan tada će se svaki broj serije pokazati pravim više od prethodnog. Ova progresija se zove povećavajući. Na primjer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ovdje je svaki broj dodajući pozitivan broj, +5 na prethodni.

Razlika može biti negativan tada će svaki broj u nizu biti manje od prethodnog. Ova progresija se zove (nećete vjerovati!) opadajući.

Na primjer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ovdje se dobiva i svaki broj dodajući na prethodni, ali već negativan broj, -5.

Usput, kada radite s progresijom, vrlo je korisno odmah odrediti njezinu prirodu - povećava li se ili opada. Mnogo pomaže da se orijentirate u odluci, da otkrijete svoje pogreške i ispravite ih prije nego što bude prekasno.

Razlika aritmetičke progresije obično se označava slovom d.

Kako pronaći d? Jako jednostavno. Potrebno je oduzeti bilo koji broj serije prethodni broj. Oduzeti. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)

Definirajmo npr. d za rastuću aritmetičku progresiju:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Uzimamo bilo koji broj retka koji želimo, na primjer, 11. Oduzmite od njega prethodni broj oni. osam:

Ovo je točan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju razlika je tri.

Možete samo uzeti bilo koji broj progresija, jer za određenu progresiju d-uvijek isto. Bar negdje na početku reda, barem u sredini, barem bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Samo zbog prvog broja nema prethodnog.)

Usput, znajući to d=3, pronalaženje sedmog broja ove progresije je vrlo jednostavno. Petom broju dodajemo 3 - dobivamo šesti, bit će 17. Šestom broju dodajemo tri, dobivamo sedmi broj - dvadeset.

Hajdemo definirati d za opadajuću aritmetičku progresiju:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Podsjećam vas da, bez obzira na znakove, odrediti d potrebno s bilo kojeg broja oduzeti prethodni. Odabiremo bilo koji broj progresije, na primjer -7. Njegov prethodni broj je -2. Zatim:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli broj, razlomak, iracionalan, bilo koji.

Ostali pojmovi i oznake.

Svaki broj u nizu se zove član aritmetičke progresije.

Svaki član progresije ima svoj broj. Brojke su strogo po redu, bez ikakvih trikova. Prvi, drugi, treći, četvrti itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaest je četvrti, pa, razumiješ...) Molim vas jasno shvatite - sami brojevi može biti apsolutno bilo koji, cijeli, razlomak, negativan, bilo koji, ali numeriranje- strogo po redu!

Kako napisati progresiju u općem obliku? Nema problema! Svaki broj u nizu je napisan kao slovo. Za označavanje aritmetičke progresije u pravilu se koristi slovo a. Broj člana označen je indeksom u donjem desnom kutu. Članovi se pišu odvojeni zarezima (ili točkom i zarezom), ovako:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 je prvi broj a 3- treći, itd. Ništa lukavo. Ovu seriju možete ukratko napisati ovako: (a n).

Postoje progresije konačan i beskonačan.

Ultimativno progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset osam, svejedno. Ali to je konačan broj.

Beskrajna progresija - ima beskonačan broj članova, kao što možete pretpostaviti.)

Možete napisati konačnu progresiju kroz niz poput ove, sa svim članovima i točkom na kraju:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Ili ovako, ako ima mnogo članova:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

U kratkom unosu morat ćete dodatno navesti broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:

(a n), n = 20

Beskonačna progresija može se prepoznati po elipsi na kraju reda, kao u primjerima u ovoj lekciji.

Sada već možete rješavati zadatke. Zadaci su jednostavni, isključivo za razumijevanje značenja aritmetičke progresije.

Primjeri zadataka za aritmetičku progresiju.

Pogledajmo pobliže gornji zadatak:

1. Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Zadatak prevodimo na razumljiv jezik. S obzirom na beskonačnu aritmetičku progresiju. Drugi broj ove progresije je poznat: a 2 = 5. Poznata razlika u napredovanju: d = -2,5. Moramo pronaći prvog, trećeg, četvrtog, petog i šestog člana ove progresije.

Radi jasnoće, zapisat ću niz prema stanju problema. Prvih šest članova, gdje je drugi član pet:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Zamjenjujemo u izrazu a 2 = 5 i d=-2,5. Ne zaboravite minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Treći rok je manji od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan vrijednost, pa će sam broj biti manji od prethodnog. Progresija se smanjuje. U redu, uzmimo to u obzir.) Smatramo četvrti član naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Dakle, termini od trećeg do šestog su izračunati. To je rezultiralo nizom:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Ostaje pronaći prvi pojam a 1 prema poznatom drugom. Ovo je korak u drugom smjeru, ulijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d ne treba dodati a 2, a oduzeti:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je sve. Odgovor na zadatak:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Usput napominjem da smo ovaj zadatak riješili ponavljajuća put. Ova strašna riječ znači samo potragu za članom progresije prethodnim (susjednim) brojem. Drugi načini rada s progresijom bit će raspravljeni kasnije.

Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.

Zapamtiti:

Ako znamo barem jedan član i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo koji član te progresije.

Zapamtiti? Ovaj jednostavan zaključak omogućuje nam da riješimo većinu problema školskog tečaja na ovu temu. Svi se zadaci vrte oko tri glavna parametra: član aritmetičke progresije, razlika progresije, broj člana progresije. Sve.

Naravno, sva prethodna algebra se ne poništava.) Progresiji se pridružuju nejednakosti, jednadžbe i ostalo. Ali prema progresiji- sve se vrti oko tri parametra.

Na primjer, razmotrite neke popularne zadatke na ovu temu.

2. Zapišite konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n=5, d=0,4 i a 1=3,6.

Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dano. Morate zapamtiti kako se članovi aritmetičke progresije izračunavaju, broje i zapisuju. Preporučljivo je ne preskakati riječi u uvjetu zadatka: "konačno" i " n=5". Da ne bi brojao dok ne budeš potpuno plav u licu.) U ovoj progresiji ima samo 5 (pet) članova:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaje zapisati odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Još jedan zadatak:

3. Odredite hoće li broj 7 biti član aritmetičke progresije (a n) ako a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Tko zna? Kako nešto definirati?

Kako-kako... Da, zapišite progresiju u obliku serije i vidite hoće li biti sedam ili ne! Vjerujemo:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sada se jasno vidi da nas je samo sedam provukao se između 6,5 i 7,7! Sedam nije ušlo u naš niz brojeva, pa stoga sedam neće biti član zadane progresije.

Odgovor: ne.

A evo zadatka koji se temelji na stvarnoj verziji GIA-e:

4. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; petnaest; X; devet; 6; ...

Evo serije bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d. U redu je. Za rješavanje problema dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Da vidimo i vidimo što možemo otkriti iz ove linije? Koji su parametri tri glavna?

Brojevi članova? Ovdje nema niti jednog broja.

Ali postoje tri broja i - pažnja! - riječ "uzastopno" u stanju. To znači da su brojevi strogo po redu, bez praznina. Ima li dva u ovom redu? susjedni poznati brojevi? Da imam! To su 9 i 6. Dakle, možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Oduzimamo od šest prethodni broj, tj. devet:

Ostalo je praznih mjesta. Koji će broj biti prethodni za x? Petnaest. Dakle, x se lako može pronaći jednostavnim zbrajanjem. Na 15 dodajte razliku aritmetičke progresije:

To je sve. Odgovor: x=12

Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ove zagonetke nisu za formule. Čisto za razumijevanje značenja aritmetičke progresije.) Samo zapisujemo niz brojeva-slova, gledamo i razmišljamo.

5. Pronađite prvi pozitivni član aritmetičke progresije ako je a 5 = -3; d = 1,1.

6. Poznato je da je broj 5,5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 1,6; d = 1,3. Odredite broj n ovog pojma.

7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Pronađite 3.

8. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15,6; X; 3.4; ...

Pronađite termin progresije, označen slovom x.

9. Vlak se počeo kretati sa stanice, postupno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina vlaka za pet minuta? Odgovor dajte u km/h.

10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Pronađite 1.

Odgovori (u neredu): 7,7; 7,5; 9,5; devet; 0,3; 4.

Je li sve uspjelo? Nevjerojatno! Aritmetičku progresiju možete naučiti na višoj razini u sljedećim lekcijama.

Nije li sve uspjelo? Nema problema. U Posebnom odjeljku 555 svi su ti problemi razbijeni na komadiće.) I, naravno, opisana je jednostavna praktična tehnika koja odmah ističe rješenje takvih zadataka jasno, jasno, kao na dlanu!

Inače, u zagonetki o vlaku postoje dva problema na koja se ljudi često spotiču. Jedan - čisto napredovanjem, a drugi - zajednički za sve zadatke iz matematike, pa i fizike. Ovo je prijevod dimenzija s jedne na drugu. Pokazuje kako se ti problemi trebaju riješiti.

U ovoj lekciji ispitali smo osnovno značenje aritmetičke progresije i njezine glavne parametre. Ovo je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. Dodati d na brojke, napiši seriju, sve će se odlučiti.

Rješenje za prst dobro funkcionira za vrlo kratke dijelove serije, kao u primjerima u ovoj lekciji. Ako je niz duži, izračuni postaju složeniji. Na primjer, ako je u problemu 9 u pitanju, zamijenite "pet minuta" na "trideset pet minuta" problem će postati mnogo gori.)

A postoje i zadaci koji su u suštini jednostavni, ali potpuno apsurdni u smislu izračuna, na primjer:

S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

I što, 1/6 ćemo dodati mnogo, mnogo puta?! Može li se ubiti!?

Možete.) Ako ne znate jednostavnu formulu po kojoj možete riješiti takve zadatke u minuti. Ova formula će biti u sljedećoj lekciji. I taj problem je tu riješen. U minuti.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Da, da: aritmetička progresija nije igračka za tebe :)

Pa, prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni dokazi kape govore da još uvijek ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, ovako: SOOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i odmah ću prijeći na posao.

Za početak, par primjera. Razmotrimo nekoliko skupova brojeva:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Što je zajedničko svim ovim skupovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog za isti broj.

Prosudite sami. Prvi set su samo uzastopni brojevi, svaki više od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva već je jednaka pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju, općenito postoje korijeni. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dok je $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. u tom se slučaju svaki sljedeći element jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je ovaj broj iracionalan).

Dakle: svi takvi nizovi se nazivaju samo aritmetičke progresije. Dajemo strogu definiciju:

Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za potpuno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.

Napomena: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.

I samo nekoliko važnih napomena. Prvo, razmatra se samo napredovanje uredno redoslijed brojeva: dopušteno ih je čitati strogo onim redoslijedom kojim su napisani - i ništa drugo. Ne možete preurediti ili zamijeniti brojeve.

Drugo, sam niz može biti ili konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako napišete nešto poput (1; 2; 3; 4; ...) - ovo je već beskonačna progresija. Mnogotočka iza četvorke, takoreći, nagovještava da dosta brojeva ide dalje. Beskonačno mnogo, na primjer. :)

Također bih želio napomenuti da se progresije povećavaju i smanjuju. Već smo vidjeli sve veće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

U redu, u redu: posljednji primjer može se činiti pretjerano kompliciranim. Ali ostalo, mislim, razumiješ. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija naziva se:

1. povećava se ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
2. opadajući, ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - oni se sastoje od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastući napredak od opadajućeg? Na sreću, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, t.j. razlike u napredovanju:

1. Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
2. Ako je $d \lt 0$, tada se progresija očito smanjuje;
3. Konačno, postoji slučaj $d=0$ — u ovom slučaju cijela progresija se svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.

Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri gornja opadajuća progresija. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s lijeve strane od broja s desne strane. To će izgledati ovako:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kao što vidite, u sva tri slučaja razlika se doista pokazala negativnom. A sada kada smo manje-više shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.

Članovi progresije i ponavljajuće formule

Budući da se elementi naših sekvenci ne mogu zamijeniti, mogu se numerirati:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno\)\]

Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovima progresije. Naznačuju se na ovaj način uz pomoć broja: prvi član, drugi član i tako dalje.

Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strelica desno ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Takva se formula naziva rekurentna, jer uz njenu pomoć možete pronaći bilo koji broj, samo poznavajući prethodni (i zapravo sve prethodne). To je vrlo nezgodno, pa postoji lukavija formula koja svaki izračun svodi na prvi član i razliku:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]

Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Oni to vole davati u svim vrstama priručnika i reshebnika. I u svakom razumnom udžbeniku iz matematike, jedan je od prvih.

Ipak, predlažem da malo vježbate.

Zadatak broj 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.

Odluka. Dakle, znamo prvi pojam $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(poravnati)\]

Odgovor: (8; 3; -2)

To je sve! Imajte na umu da se naš napredak smanjuje.

Naravno, $n=1$ se nije moglo zamijeniti - već znamo prvi član. Međutim, zamjenom jedinice osigurali smo da i za prvi mandat naša formula funkcionira. U drugim slučajevima sve se svelo na banalnu aritmetiku.

Zadatak broj 2. Napišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njen sedmi član −40, a sedamnaesti član −50.

Odluka. Uvjet problema zapisujemo uobičajenim terminima:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(poravnati) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(poravnati) \pravo.\]

Stavio sam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. A sada napominjemo da ako oduzmemo prvu jednadžbu od druge jednadžbe (na to imamo pravo, jer imamo sustav), dobivamo ovo:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(poravnati)\]

Upravo tako, pronašli smo razliku u progresiji! Ostaje zamijeniti pronađeni broj u bilo kojoj od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Dolje \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \kraj (matrica)\]

Sada, znajući prvi pojam i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(poravnati)\]

Spreman! Problem riješen.

Odgovor: (-34; -35; -36)

Obratite pažnju na zanimljivo svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$th i $m$th članove i oduzmemo ih jedan od drugog, tada ćemo dobiti razliku progresije pomnoženu brojem $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]

Jednostavna, ali vrlo korisna osobina koju svakako trebate znati - uz njezinu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema s progresijom. Evo primjera ovoga:

Zadatak broj 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.

Odluka. Budući da $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, i da moramo pronaći $((a)_(15))$, napominjemo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(poravnati)\]

Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, dakle $5d=6$, odakle imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(poravnati)\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo trebali sastavljati nikakve sustave jednadžbi i izračunavati prvi član i razliku - sve je odlučeno u samo par redaka.

Sada razmotrimo drugu vrstu problema - potragu za negativnim i pozitivnim članovima progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, dok je njezin prvi termin negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni pojmovi. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije prije ili kasnije će postati negativni.

Istodobno, daleko je od uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "na čelu", uzastopno razvrstavajući elemente. Često su problemi osmišljeni na način da bi bez poznavanja formula za izračune bilo potrebno nekoliko listova - samo bismo zaspali dok ne bismo pronašli odgovor. Stoga ćemo ove probleme nastojati riješiti na brži način.

Zadatak broj 4. Koliko negativnih članova u aritmetičkoj progresiji -38,5; -35,8; …?

Odluka. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, iz čega odmah nalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi je član negativan, tako da ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.

Pokušajmo saznati: koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) se čuva negativnost pojmova:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Strelica desno ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strelica desno ((n)_(\max ))=15. \\ \end(poravnati)\]

Posljednji redak treba pojasniti. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, odgovarat će nam samo cjelobrojne vrijednosti broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), tako da je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a ni u kojem slučaju 16.

Zadatak broj 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.

Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali susjedni pojmovi su poznati: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da možemo lako pronaći razliku progresije:

Uz to, pokušajmo izraziti peti pojam u terminima prvog i razlike koristeći standardnu ​​formulu:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(poravnati)\]

Sada nastavljamo analogno s prethodnim problemom. Saznajemo u kojoj će se točki u našem nizu pojaviti pozitivni brojevi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strelica desno ((n)_(\min ))=56. \\ \end(poravnati)\]

Minimalno cjelobrojno rješenje ove nejednadžbe je broj 56.

Napominjemo da je u zadnjem zadatku sve svedeno na strogu nejednakost, pa nam opcija $n=55$ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, naučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam u budućnosti uštedjeti puno vremena i nejednakih ćelija. :)

Aritmetička sredina i jednake uvlake

Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti brojevnom linijom:

Članovi aritmetičke progresije na brojevnoj liniji

Posebno sam spomenuo proizvoljne članove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne bilo koje $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Jer pravilo, koje ću vam sada reći, radi isto za sve "segmente".

A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se rekurzivne formule i zapišemo je za sve označene članove:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(poravnati)\]

Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(poravnati)\]

Pa, što onda? Ali činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . I ta je udaljenost jednaka $d$. Isto se može reći i za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ za istu udaljenost jednaku $2d$. Možete nastaviti u nedogled, ali slika dobro ilustrira značenje

Članovi progresije leže na istoj udaljenosti od središta

Što to za nas znači? To znači da možete pronaći $((a)_(n))$ ako su poznati susjedni brojevi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Zaključili smo veličanstvenu tvrdnju: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini susjednih članova! Štoviše, možemo odstupiti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka - i dalje će formula biti točna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Oni. lako možemo pronaći nešto $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi zadaci posebno "naoštreni" za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:

Zadatak broj 6. Pronađite sve vrijednosti $x$ tako da su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetičku progresiju (u određenom redoslijedu).

Odluka. Budući da su ovi brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element $x+1$ može se izraziti u terminima susjednih elemenata:

\[\begin(poravnati) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(poravnati)\]

Rezultat je klasična kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.

Odgovor: -3; 2.

Zadatak broj 7. Pronađite vrijednosti $$ tako da brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ formiraju aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Odluka. Opet, srednji pojam izražavamo u terminima aritmetičke sredine susjednih pojmova:

\[\begin(poravnati) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(poravnati)\]

Još jedna kvadratna jednadžba. I opet dva korijena: $x=6$ i $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Ako u procesu rješavanja problema dobijete neke brutalne brojke, ili niste potpuno sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasan trik koji vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?

Recimo da smo u zadatku 6 dobili odgovore -3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Hajdemo ih samo priključiti u izvorno stanje i vidjeti što će se dogoditi. Dopustite mi da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), koji bi trebali činiti aritmetičku progresiju. Zamjena $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(poravnati)\]

Dobili smo brojeve -54; −2; 50 koje se razlikuju za 52 je nesumnjivo aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(poravnati)\]

Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, problem je točno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi zadatak, ali odmah ću reći: i tu je sve točno.

Općenito, rješavajući posljednje probleme, naišli smo na još jednu zanimljivu činjenicu koju također treba zapamtiti:

Ako su tri broja takva da je drugi prosjek prvog i posljednjeg, tada ti brojevi čine aritmetičku progresiju.

U budućnosti, razumijevanje ove izjave omogućit će nam doslovno "konstruirati" potrebne progresije na temelju stanja problema. No, prije nego se upustimo u takvu "konstrukciju", trebamo obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz već razmotrenog.

Grupiranje i zbroj elemenata

Vratimo se opet na brojevnu liniju. Tu bilježimo nekoliko članova progresije, između kojih, možda. vrijedi puno drugih članova:

6 elemenata označenih na brojevnoj liniji

Pokušajmo izraziti "lijevi rep" u terminima $((a)_(n))$ i $d$, a "desni rep" u terminima $((a)_(k))$ i $ d$. Vrlo je jednostavno:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(poravnati)\]

Sada imajte na umu da su sljedeći zbroji jednaki:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(poravnati)\]

Jednostavno, ako za početak uzmemo dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim od tih elemenata krenemo koračati u suprotnim smjerovima (jedan prema drugom ili obrnuto da bismo se udaljili), zatim jednaki će biti i zbroji elemenata na koje ćemo naletjeti$S$. To se najbolje može prikazati grafički:

Iste alineje daju jednake iznose

Razumijevanje ove činjenice omogućit će nam rješavanje problema fundamentalno veće razine složenosti od onih koje smo razmatrali gore. Na primjer, ove:

Zadatak broj 8. Odredi razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.

Odluka. Zapišimo sve što znamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(poravnati)\]

Dakle, ne znamo razliku u progresiji $d$. Zapravo, cijelo rješenje će biti izgrađeno oko razlike, budući da se proizvod $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \desno)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(poravnati)\]

Za one u spremniku: uzeo sam zajednički faktor 11 iz drugog zagrada. Dakle, željeni proizvod je kvadratna funkcija s obzirom na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - njen graf će biti parabola s granama prema gore, jer ako otvorimo zagrade, dobivamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kao što vidite, koeficijent s najvećim članom je 11 - ovo je pozitivan broj, tako da zapravo imamo posla s parabolom s granama prema gore:

graf kvadratne funkcije - parabola

Imajte na umu: ova parabola uzima svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati prema standardnoj shemi (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bi bilo puno razumnije imajte na umu da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, pa je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(poravnati)\]

Zato mi se nije žurilo otvarati zagrade: u izvornom obliku, korijenje je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Što nam daje otkriveni broj? Kod njega traženi proizvod uzima najmanju vrijednost (usput, nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Istovremeno, ovaj broj je razlika početne progresije, t.j. našli smo odgovor. :)

Odgovor: -36

Zadatak broj 9. Ubacite tri broja između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ tako da zajedno sa zadanim brojevima tvore aritmetičku progresiju.

Odluka. Zapravo, trebamo napraviti niz od pet brojeva, pri čemu su prvi i zadnji broj već poznati. Označite brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)(6)$. A ako u ovom trenutku ne možemo dobiti $y$ iz brojeva $x$ i $z$, onda je situacija drugačija s krajevima progresije. Zapamtite aritmetičku sredinu:

Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da $x$ leži između upravo pronađenih $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$. Tako

Slično argumentirajući, nalazimo preostali broj:

Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Zapišimo ih u odgovoru redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadatak broj 10. Između brojeva 2 i 42 ubacite nekoliko brojeva koji zajedno sa zadanim brojevima tvore aritmetičku progresiju, ako je poznato da je zbroj prvog, drugog i posljednjeg umetnutih brojeva 56.

Odluka. Još teži zadatak, koji se, međutim, rješava na isti način kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva umetnuti. Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da će nakon umetanja biti točno $n$ brojeva, a prvi od njih je 2, a posljednji je 42. U ovom slučaju, željena aritmetička progresija može se predstaviti kao:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Međutim, imajte na umu da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 koji stoje na rubovima za jedan korak jedan prema drugom , tj. u središte niza. A ovo znači da

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ali tada se gornji izraz može prepisati ovako:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \lijevo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(poravnati)\]

Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku u progresiji:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strelica desno d=5. \\ \end(poravnati)\]

Ostaje samo pronaći preostale članove:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(poravnati)\]

Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstualni zadaci s progresijama

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa, kao jednostavni: većini učenika koji studiraju matematiku u školi, a nisu pročitali gore napisano, ovi zadaci mogu izgledati kao gesta. Ipak, upravo se takvi zadaci susreću u OGE-u i USE-u iz matematike, pa preporučam da se s njima upoznate.

Zadatak broj 11. Tim je u siječnju proizveo 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveo je 14 dijelova više nego u prethodnom. Koliko je dijelova brigada proizvela u studenom?

Odluka. Očito, broj dijelova, slikanih po mjesecima, bit će sve veća aritmetička progresija. I:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Stoga će u studenom biti proizvedeno 202 dijela.

Zadatak broj 12. Knjigovezačka radionica u siječnju je uvezala 216 knjiga, a svaki mjesec je uvezala 4 knjige više nego prethodni mjesec. Koliko je knjiga uvezala radionica u prosincu?

Odluka. Sve isto:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.

Pa, ako ste čitali do sada, žurim vam čestitati: uspješno ste završili „tečaj mladog borca“ iz aritmetičkih progresija. Možemo sa sigurnošću prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučavati formulu zbroja progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.

Mnogi su čuli za aritmetičku progresiju, ali nisu svi dobro svjesni što je to. U ovom članku dat ćemo odgovarajuću definiciju, a također ćemo razmotriti pitanje kako pronaći razliku aritmetičke progresije i dati niz primjera.

Matematička definicija

Dakle, ako govorimo o aritmetičkoj ili algebarskoj progresiji (ovi koncepti definiraju istu stvar), onda to znači da postoji neki niz brojeva koji zadovoljava sljedeći zakon: svaka dva susjedna broja u nizu razlikuju se za istu vrijednost. Matematički, ovo se piše ovako:

Ovdje n znači broj elementa a n u nizu, a broj d je razlika progresije (njegov naziv proizlazi iz prikazane formule).

Što znači znati razliku d? O tome koliko su međusobno udaljeni susjedni brojevi. Međutim, poznavanje d je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za određivanje (obnavljanje) cjelokupne progresije. Morate znati još jedan broj, koji može biti apsolutno bilo koji element niza koji se razmatra, na primjer, 4, a10, ali u pravilu se koristi prvi broj, odnosno 1.

Formule za određivanje elemenata progresije

Općenito, gore navedene informacije već su dovoljne za prelazak na rješavanje konkretnih problema. Ipak, prije nego što se zada aritmetička progresija, a bit će potrebno pronaći njezinu razliku, predstavljamo nekoliko korisnih formula, čime ćemo olakšati daljnji proces rješavanja problema.

Lako je pokazati da se bilo koji element niza s brojem n može pronaći na sljedeći način:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Doista, svatko može provjeriti ovu formulu jednostavnim nabrajanjem: ako zamijenite n = 1, tada ćete dobiti prvi element, ako zamijenite n = 2, tada izraz daje zbroj prvog broja i razlike, i tako dalje .

Uvjeti mnogih zadataka sastavljeni su na način da je za poznati par brojeva, čiji su brojevi također dati u nizu, potrebno obnoviti cijeli niz brojeva (naći razliku i prvi element). Sada ćemo ovaj problem riješiti na opći način.

Dakle, recimo da su nam dana dva elementa s brojevima n i m. Koristeći gore dobivenu formulu, možemo sastaviti sustav od dvije jednadžbe:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Za pronalaženje nepoznatih veličina koristimo se dobro poznatom jednostavnom metodom rješavanja takvog sustava: lijevi i desni dio oduzimamo u paru, a jednakost ostaje važeća. Imamo:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tako smo eliminirali jednu nepoznatu (a 1). Sada možemo napisati konačni izraz za određivanje d:

d = (a n - a m) / (n - m), gdje je n > m

Dobili smo vrlo jednostavnu formulu: da bismo izračunali razliku d u skladu s uvjetima zadatka, potrebno je samo uzeti omjer razlika između samih elemenata i njihovih serijskih brojeva. Treba obratiti pozornost na jednu važnu točku: uzimaju se razlike između "starih" i "mlađih" članova, odnosno n> m ("stariji" - što znači da stoji dalje od početka niza, njegova apsolutna vrijednost može biti bilo više ili manje više "mlađi" element).

Izraz za razliku d progresije treba zamijeniti u bilo koju od jednadžbi na početku rješenja zadatka kako bi se dobila vrijednost prvog člana.

U naše doba razvoja računalne tehnologije mnogi školarci pokušavaju pronaći rješenja za svoje zadatke na internetu, pa se često postavljaju pitanja ovog tipa: pronaći razliku aritmetičke progresije na internetu. Na takav zahtjev tražilica će prikazati niz web stranica, odlaskom na koje ćete morati unijeti podatke poznate iz uvjeta (mogu biti dva člana progresije ili zbroj nekih od njih) i odmah dobiti odgovor. Ipak, takav pristup rješavanju problema je neproduktivan u smislu razvoja učenika i razumijevanja suštine zadatka koji mu je dodijeljen.

Rješenje bez korištenja formula

Riješimo prvi problem, pri čemu nećemo koristiti nijednu od navedenih formula. Neka su zadani elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Nađi razliku aritmetičke progresije.

Poznati elementi su blizu jedan drugom u nizu. Koliko se puta razlika d treba dodati najmanjoj da bi se dobila najveća? Tri puta (prvi put dodavanjem d, dobivamo 7. element, drugi put - osmi, konačno, treći put - deveti). Koji broj tri puta treba dodati tri da dobijemo 18? Ovo je broj pet. Stvarno:

Dakle, nepoznata razlika je d = 5.

Naravno, rješenje se moglo napraviti odgovarajućom formulom, ali to nije učinjeno namjerno. Detaljno objašnjenje rješenja problema trebalo bi postati jasan i živopisan primjer što je aritmetička progresija.

Zadatak sličan prethodnom

Sada riješimo sličan problem, ali promijenimo ulazne podatke. Dakle, trebali biste pronaći ako je a3 = 2, a9 = 19.

Naravno, možete ponovno posegnuti za metodom rješavanja "na čelo". Ali budući da su dati elementi serije, koji su relativno udaljeni, takva metoda postaje ne baš prikladna. Ali korištenje rezultirajuće formule brzo će nas dovesti do odgovora:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Ovdje smo zaokružili konačan broj. Koliko je ovo zaokruživanje dovelo do greške može se procijeniti provjerom rezultata:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ovaj rezultat razlikuje se za samo 0,1% od vrijednosti navedene u uvjetu. Stoga se zaokruživanje na stotinke može smatrati dobrim izborom.

Zadaci za primjenu formule za člana

Razmotrimo klasičan primjer problema određivanja nepoznatog d: pronađite razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 12, a5 = 40.

Kada se zadaju dva broja nepoznatog algebarskog niza, a jedan od njih je element a 1 , tada ne morate dugo razmišljati, već odmah treba primijeniti formulu za a n član. U ovom slučaju imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Točan broj dobili smo pri dijeljenju, tako da nema smisla provjeravati točnost izračunatog rezultata, kao što je to učinjeno u prethodnom stavku.

Riješimo još jedan sličan problem: trebali bismo pronaći razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 16, a8 = 37.

Koristimo sličan pristup prethodnom i dobivamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Što još trebate znati o aritmetičkoj progresiji

Uz probleme pronalaženja nepoznate razlike ili pojedinih elemenata, često je potrebno riješiti i probleme zbroja prvih članova niza. Razmatranje ovih problema je izvan okvira teme članka, međutim, radi cjelovitosti informacija, donosimo opću formulu za zbroj n brojeva niza:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Tema "aritmetička progresija" izučava se u općem kolegiju algebre u školama u 9. razredu. Ova je tema važna za daljnje dublje proučavanje matematike brojevnih nizova. U ovom članku ćemo se upoznati s aritmetičkom progresijom, njenom razlikom, kao i s tipičnim zadacima s kojima se školarci mogu suočiti.

Koncept algebarske progresije

Brojčana progresija je niz brojeva u kojem se svaki sljedeći element može dobiti iz prethodnog ako se primijeni neki matematički zakon. Postoje dvije jednostavne vrste progresije: geometrijska i aritmetička, koja se također naziva algebarska. Zaustavimo se na tome detaljnije.

Zamislite neki racionalni broj, označite ga simbolom a 1 , gdje indeks označava njegov redni broj u nizu koji se razmatra. Dodajmo još neki broj 1, označimo ga d. Tada se drugi element niza može reflektirati na sljedeći način: a 2 = a 1 + d. Sada ponovno dodajte d, dobivamo: a 3 = a 2 + d. Nastavljajući ovu matematičku operaciju, možete dobiti cijeli niz brojeva, koji će se zvati aritmetička progresija.

Kao što se može razumjeti iz gore navedenog, da biste pronašli n-ti element ovog niza, morate koristiti formulu: a n \u003d a 1 + (n-1) * d. Doista, zamjenom n=1 u izraz, dobivamo a 1 = a 1, ako je n = 2, onda formula implicira: a 2 = a 1 + 1*d, i tako dalje.

Na primjer, ako je razlika aritmetičke progresije 5, a a 1 = 1, to znači da brojčani niz dotične vrste ima oblik: 1, 6, 11, 16, 21, ... može vidjeti, svaki od njegovih članova je 5 više od prethodnog.

Formule razlike aritmetičke progresije

Iz gornje definicije niza brojeva koji se razmatraju proizlazi da da biste ga odredili, morate znati dva broja: a 1 i d. Potonje se zove razlika ove progresije. Jedinstveno određuje ponašanje cijele serije. Doista, ako je d pozitivan, tada će se brojevni niz stalno povećavati, naprotiv, u slučaju negativnog d, brojevi u nizu će rasti samo po modulu, dok će njihova apsolutna vrijednost opadati s povećanjem broja n.

Koja je razlika između aritmetičke progresije? Razmotrite dvije glavne formule koje se koriste za izračunavanje ove vrijednosti:

1. d = a n+1 -a n , ova formula izravno slijedi iz definicije razmatranog niza brojeva.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), ovaj se izraz dobiva izražavanjem d iz formule dane u prethodnom odlomku članka. Imajte na umu da ovaj izraz postaje neodređen (0/0) ako je n=1. To je zbog činjenice da je potrebno poznavati najmanje 2 elementa serije kako bi se utvrdila njegova razlika.

Ove dvije osnovne formule koriste se za rješavanje bilo kojeg problema nalaženja razlike progresije. Međutim, postoji još jedna formula koju također morate znati.

Zbroj prvih elemenata

Formulu, koja se može koristiti za određivanje zbroja bilo kojeg broja članova algebarske progresije, prema povijesnim dokazima, prvi je dobio "princ" matematike iz XVIII stoljeća, Carl Gauss. Njemački znanstvenik, dok je još bio dječak u osnovnim razredima seoske škole, primijetio je da za zbrajanje prirodnih brojeva u nizu od 1 do 100 prvo morate zbrojiti prvi i zadnji element (rezultirajuća vrijednost će biti jednaka na zbroj pretposljednjeg i drugog, pretposljednjeg i trećeg elementa i tako dalje), a zatim ovaj broj treba pomnožiti s brojem tih zbroja, odnosno s 50.

Formula koja odražava navedeni rezultat na određenom primjeru može se generalizirati na proizvoljan slučaj. Izgledat će ovako: S n = n/2*(a n + a 1). Imajte na umu da za pronalaženje navedene vrijednosti nije potrebno poznavanje razlike d ako su poznata dva člana progresije (a n i a 1).

Primjer #1. Odredi razliku, poznavajući dva člana niza a1 i an

Pokazat ćemo kako primijeniti gore navedene formule u članku. Navedimo jednostavan primjer: razlika aritmetičke progresije je nepoznata, potrebno je odrediti čemu će biti jednaka ako je 13 \u003d -5,6 i 1 \u003d -12,1.

Budući da znamo vrijednosti dvaju elemenata brojevnog niza, a jedan od njih je prvi broj, možemo koristiti formulu br. 2 da odredimo razliku d. Imamo: d = (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. U izrazu smo koristili vrijednost n=13, jer je član s ovim rednim brojem poznat.

Rezultirajuća razlika ukazuje da se progresija povećava, unatoč činjenici da elementi navedeni u uvjetu problema imaju negativnu vrijednost. Vidi se da je a 13 >a 1 , iako |a 13 |<|a 1 |.

Primjer #2. Pozitivni uvjeti progresije u primjeru #1

Iskoristimo rezultat dobiven u prethodnom primjeru za rješavanje novog problema. Formulira se na sljedeći način: od kojeg rednog broja elementi progresije u primjeru br. 1 počinju uzimati pozitivne vrijednosti?

Kako je pokazano, progresija u kojoj je a 1 = -12,1 i d = 0,54167 raste, pa će od određenog broja brojevi poprimiti samo pozitivne vrijednosti. Za određivanje ovog broja n potrebno je riješiti jednostavnu nejednadžbu, koja se matematički zapisuje na sljedeći način: a n>0 ili, koristeći odgovarajuću formulu, prepisujemo nejednakost: a 1 + (n-1)*d>0. Potrebno je pronaći nepoznato n, izrazimo ga: n>-1*a 1 /d + 1. Sada ostaje zamijeniti poznate vrijednosti razlike i prvog člana niza. Dobivamo: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 ili n>23,338. Budući da n može imati samo cjelobrojne vrijednosti, iz dobivene nejednakosti slijedi da će svi članovi niza koji imaju broj veći od 23 biti pozitivni.

Provjerimo naš odgovor korištenjem gornje formule za izračunavanje 23. i 24. elementa ove aritmetičke progresije. Imamo: a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​0,54167 \u003d -0,18326 (negativan broj); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (pozitivna vrijednost). Dakle, dobiveni rezultat je točan: počevši od n=24, svi članovi niza brojeva bit će veći od nule.

Primjer #3. Koliko će trupaca stati?

Evo jednog zanimljivog problema: tijekom sječe odlučeno je slagati piljene trupce jedno na drugo kao što je prikazano na donjoj slici. Koliko se trupaca može složiti na ovaj način, znajući da će ukupno stati 10 redaka?

U ovakvom načinu preklapanja trupaca može se primijetiti jedna zanimljivost: svaki sljedeći red će sadržavati jedan dnevnik manje od prethodnog, odnosno postoji algebarska progresija čija je razlika d=1. Uz pretpostavku da je broj trupaca u svakom retku član ove progresije, a također uzimajući u obzir da je a 1 = 1 (samo jedan dnevnik stane na sam vrh), nalazimo broj a 10 . Imamo: 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. To jest, u 10. redu, koji leži na tlu, bit će 10 trupaca.

Ukupna količina ove "piramidalne" konstrukcije može se dobiti pomoću Gaussove formule. Dobivamo: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 trupaca.