Metode za postavljanje numeričkog niza. Definicija brojevnog niza

Vida y= f(x), x O N, gdje N je skup prirodnih brojeva (ili funkcija prirodnog argumenta), označenih y=f(n) ili y 1 ,y 2 ,…, y n,…. vrijednosti y 1 ,y 2 ,y 3 ,… nazivaju se redom prvi, drugi, treći, ... članovi niza.

Na primjer, za funkciju y= n 2 se može napisati:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode za postavljanje sekvenci. Sekvence se mogu specificirati na različite načine, među kojima su tri posebno važna: analitički, deskriptivni i rekurentni.

1. Niz je zadan analitički ako je dana njegova formula n-ti član:

y n=f(n).

Primjer. y n= 2n- 1 – niz neparnih brojeva: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Opisni način specificiranja numeričkog niza je da objašnjava od kojih elemenata je niz izgrađen.

Primjer 1. "Svi članovi niza jednaki su 1." To znači, pričamo o stacionarnom nizu 1, 1, 1, …, 1, ….

Primjer 2. "Slijed se sastoji od svih prostih brojeva u rastućem redoslijedu." Dakle, zadan je niz 2, 3, 5, 7, 11, …. S ovakvim načinom specificiranja niza u ovom primjeru teško je odgovoriti čemu je, recimo, jednak 1000. element niza.

3. Ponavljajući način specificiranja slijeda je da se naznači pravilo koje omogućuje izračunavanje n-ti član niza, ako su poznati njegovi prethodni članovi. Naziv rekurentna metoda dolazi od latinske riječi ponavljati- vrati se. Najčešće je u takvim slučajevima naznačena formula koja omogućuje izražavanje nčlan niza kroz prethodne i navedite 1–2 početna člana niza.

Primjer 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ako n = 2, 3, 4,….

Ovdje y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Može se vidjeti da se sekvenca dobivena u ovom primjeru može odrediti i analitički: y n= 4n- 1.

Primjer 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ako n = 3, 4,….

Ovdje: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Niz sastavljen u ovom primjeru posebno se proučava u matematici jer ima niz zanimljivih svojstava i primjena. Naziva se Fibonaccijevim nizom - po talijanskom matematičaru iz 13. stoljeća. Definiranje Fibonaccijevog niza rekurzivno je vrlo jednostavno, ali je analitički vrlo teško. n th Fibonaccijev broj se izražava u smislu njegovog rednog broja sljedećom formulom.

Na prvi pogled, formula za n Fibonaccijev broj čini se nevjerojatnim, budući da formula koja specificira slijed samo prirodnih brojeva sadrži kvadratne korijene, ali možete "ručno" provjeriti valjanost ove formule za prvih nekoliko n.

Svojstva numeričkih nizova.

Numerički niz je poseban slučaj numeričke funkcije, pa se za nizove razmatraju i brojna svojstva funkcija.

Definicija . Slijed ( y n} naziva se rastućim ako je svaki njegov član (osim prvog) veći od prethodnog:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definicija. Slijed ( y n} naziva se opadajućim ako je svaki njegov član (osim prvog) manji od prethodnog:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Rastuće i opadajuće sekvence objedinjuje zajednički pojam – monotoni nizovi.

Primjer 1 y 1 = 1; y n= n 2 je rastući niz.

Dakle, istinit je sljedeći teorem (karakteristično svojstvo aritmetičke progresije). Brojčani niz je aritmetički ako i samo ako je svaki njegov član, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

Primjer. Po kojoj vrijednosti x brojevi 3 x + 2, 5x– 4 i 11 x+ 12 tvori konačnu aritmetičku progresiju?

Prema karakterističnom svojstvu zadani izrazi moraju zadovoljiti relaciju

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Rješavanje ove jednadžbe daje x= –5,5. S ovom vrijednošću x dati izrazi 3 x + 2, 5x– 4 i 11 x+ 12 uzimaju, odnosno, vrijednosti -14,5, –31,5, –48,5. Ovo je aritmetička progresija, njena razlika je -17.

Geometrijska progresija.

Brojčani niz čiji su svi članovi različiti od nule i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobiva od prethodnog člana množenjem s istim brojem q, naziva se geometrijska progresija, a broj q- nazivnik geometrijske progresije.

Dakle, geometrijska progresija je numerički niz ( b n) dano rekurzivno relacijama

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b i q- dati brojevi, b ≠ 0, q ≠ 0).

Primjer 1. 2, 6, 18, 54, ... - rastuća geometrijska progresija b = 2, q = 3.

Primjer 2. 2, -2, 2, -2, ... – geometrijska progresija b= 2,q= –1.

Primjer 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrijska progresija b= 8, q= 1.

Geometrijska progresija je rastući niz ako b 1 > 0, q> 1, a smanjenje ako b 1 > 0, 0 q

Jedno od očitih svojstava geometrijske progresije je da ako je niz geometrijska progresija, tada je niz kvadrata, t.j.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… je geometrijska progresija čiji je prvi član jednak b 1 2 , a nazivnik je q 2 .

Formula n-član geometrijske progresije ima oblik

b n= b 1 q n– 1 .

Možete dobiti formulu za zbroj članova konačne geometrijske progresije.

Neka postoji konačna geometrijska progresija

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

neka bude S n - zbroj njegovih članova, t.j.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Prihvaćeno je da q broj 1. Odrediti S n primjenjuje se umjetni trik: izvode se neke geometrijske transformacije izraza S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Tako, S n q= S n +b n q – b 1 i stoga

Ovo je formula sa umma n članova geometrijske progresije za slučaj kada q≠ 1.

Na q= 1 formula se ne može izvesti zasebno, očito je da u ovom slučaju S n= a 1 n.

Naziva se geometrijskom progresijom jer je u njoj svaki član, osim prvog, jednak geometrijskoj sredini prethodnog i sljedećih članova. Doista, budući da

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

stoga, b n 2= b n– 1 bn+ 1 i sljedeći je teorem istinit (karakteristično svojstvo geometrijske progresije):

numerički niz je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog od njegovih članova, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak umnošku prethodnog i sljedećih članova.

Ograničenje redoslijeda.

Neka postoji niz ( c n} = {1/n}. Ovaj niz naziva se harmonijski, jer je svaki njegov član, počevši od drugog, harmonijska sredina između prethodnog i sljedećih članova. Geometrijska sredina brojeva a i b postoji broj

Inače, niz se naziva divergentan.

Na temelju ove definicije može se, na primjer, dokazati postojanje granice A=0 za harmonijski slijed ( c n} = {1/n). Neka je ε proizvoljno mali pozitivan broj. Razliku razmatramo

Postoji li takav N to za svakoga n≥ N nejednakost 1 /N? Ako se uzme kao N bilo koji prirodni broj veći od 1/ε , onda za sve n ≥ N nejednakost 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Ponekad je vrlo teško dokazati postojanje granice za određeni niz. Najčešći nizovi su dobro proučeni i navedeni su u referentnim knjigama. Postoje važni teoremi koji omogućuju zaključak da određeni niz ima granicu (pa čak i izračunati je) na temelju već proučavanih nizova.

Teorem 1. Ako niz ima granicu, onda je omeđen.

Teorem 2. Ako je niz monoton i omeđen, tada ima granicu.

Teorem 3. Ako je niz ( a n} ima granicu A, zatim sekvence ( limenka}, {a n+ c) i (| a n|} imaju granice cA, A +c, |A| odnosno (ovdje c je proizvoljan broj).

Teorem 4. Ako nizovi ( a n} i ( b n) imaju granice jednake A i B pa n + qb n) ima ograničenje godišnje+ qB.

Teorem 5. Ako nizovi ( a n) i ( b n) imaju granice jednake A i B redom, tada niz ( a n b n) ima ograničenje AB.

Teorem 6. Ako nizovi ( a n} i ( b n) imaju granice jednake A i B odnosno, i pored toga b n ≠ 0 i B≠ 0, zatim niz ( a n / b n) ima ograničenje A/B.

Anna Chugainova

Praktični rad br.13

Postavljanje brojčanih nizova na različite načine, izračunavanje članova niza. Pronalaženje granica nizova i funkcije

Cilj: naučiti zapisivati ​​numeričke nizove na razne načine, opisati njihova svojstva; pronaći granice nizova i funkcija.

Kratka teorija

Funkcija y=f (n) prirodnog argumenta n (n=1; 2; 3; 4;...) naziva se numerički niz.

Postoje sljedeći načini za određivanje numeričkog niza:

verbalni način. To je obrazac ili pravilo za raspored članova niza, opisano riječima.

analitički način. Niz je dan formulom n-tog člana: y n = f(n). Koristeći ovu formulu, možete pronaći bilo koji član niza.

rekurzivni način. Zadana je formula po kojoj se svaki sljedeći pojam nalazi kroz prethodne pojmove. U slučaju rekurentne metode definiranja funkcije, jedan ili više prvih članova niza uvijek se dodatno specificiraju.

Brojčani niz se zove povećavajući, ako su njegovi članovi rastući (na n + 1 na n) i opadajući ako su njegovi članovi smanjenje(za n+1 n).

Zovu se rastući ili opadajući brojčani nizovi monoton.

Dopustiti biti točka od linije i neka biti pozitivan broj. Interval se naziva susjedstvo točke, a broj se naziva polumjer susjedstva.

Razmotrimo brojčani niz čiji se zajednički član približava određenom broju b kako se redni broj povećava n. U ovom slučaju se kaže da brojčani niz ima ograničenje. Ovaj koncept ima rigorozniju definiciju.

Broj b naziva se granica niza (y n) ako u bilo kojem unaprijed odabranom susjedstvu točke b sadrži sve članove niza, počevši od nekog broja

Teorem 1 Ako tada:

Granica zbroja/razlike dva niza jednaka je zbroju/razlici granica svake od njih, ako potonje postoje:

Granica umnoška dvaju nizova jednaka je umnošku granica svakog od njih, ako postoje granice faktora:

Granica omjera dvaju nizova jednaka je omjeru granica svakog od njih, ako te granice postoje, a granica nazivnika nije jednaka nuli:

Za bilo koji prirodni pokazatelj m i bilo koji koeficijent k vrijedi relacija:

Teorem 1 Ako tada:

Granica zbroja/razlike dviju funkcija jednaka je zbroju/razlici granica svake od njih, ako potonje postoje:

;

Granica umnoška dviju funkcija jednaka je umnošku granica svake od njih, ako postoje granice faktora:

Granica omjera dviju funkcija jednaka je omjeru granica svake od njih, ako te granice postoje, a granica nazivnika nije jednaka nuli:

Konstantni faktor se može izvaditi iz graničnog znaka:

Funkcija y=f(x) naziva se kontinuiranom u točki x=a ako je granica funkcije y=f(x) dok x teži a jednaka vrijednosti funkcije u točki x=a.

Prva izvanredna granica: .

Praktični zadaci za rad u razredu

Definirajte slijed analitički i pronađite prvih pet članova ovog niza:

a) svakom prirodnom broju dodijeljen je njegov suprotni broj;

b) svakom prirodnom broju pripisuje se kvadratni korijen tog broja;

c) svakom prirodnom broju dodijeljen je broj -5;

d) svakom prirodnom broju dodijeljena je polovica njegova kvadrata.

2. Koristeći danu formulu za n-ti član, izračunaj prvih pet članova niza (y n):

3. Je li slijed ograničen?

4. Da li se slijed smanjuje ili povećava?

5. Zapišite susjedstvo točke a=-3 polumjera r=0,5 kao interval.

6. Okolina koje točke i polumjera je interval (2,1; 2,3).

7. Izračunajte granicu slijeda:

8. Izračunaj:

Samostalan rad

opcija 1

dio A

Dio B

Dio C

7. Izračunaj:

Opcija 2

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu slijeda:

Dio C

7. Izračunaj:

Opcija 3

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu slijeda:

Dio C

7. Izračunaj:

Opcija 4

dio A

Dio B

6. Izračunajte granicu slijeda:

Dio C

7. Izračunaj:

test pitanja

Što je niz brojeva?

Koji su načini za određivanje niza brojeva?

Za koji se niz kažemo da je omeđen odozgo?

Za koji niz se kaže da je omeđen odozdo?

Što je uzlazni niz?

Što je silazni niz?

Koja je granica brojevnog niza?

Navedite pravila za izračunavanje granica nizova.

Navedite pravila za izračun granica funkcija.

Algebra. 9. razred
Lekcija #32
Datum:_____________
Učiteljica: Gorbenko Alena Sergejevna
Tema: Brojčani niz, načini postavljanja i svojstva
Vrsta lekcije: kombinirana
Svrha lekcije: dati pojam i definiciju brojčanog niza, razmotriti načine
dodjele numeričkih nizova
Zadaci:
Odgojno: upoznati učenike s pojmom brojevnog niza i člana
numerički niz; upoznati se s analitičkim, verbalnim, rekurentnim i
grafički načini postavljanja numeričkog niza; razmotriti vrste brojeva
sekvence; priprema za EAEA;
Razvijanje: razvoj matematičke pismenosti, mišljenja, tehnike računanja, vještina
usporedbe pri odabiru formule; poticanje interesa za matematiku;
Obrazovni: odgoj vještina samostalne aktivnosti; jasnoća i
organizacija u radu; omogućiti svakom učeniku uspjeh;
Oprema: školski pribor, tabla, kreda, udžbenik, materijali.
Tijekom nastave
I. Organizacijski trenutak
 Uzajamni pozdrav;
 Popravljanje odsutnih;
 Najava teme sata;
 Postavljanje ciljeva i zadataka sata od strane učenika.
Niz je jedan od najosnovnijih pojmova u matematici. Slijed može
biti sastavljena od brojeva, točaka, funkcija, vektora itd.
Danas ćemo se u lekciji upoznati s pojmom "brojčani niz", saznat ćemo što
mogu postojati sekvence, upoznajmo se s poznatim sekvencama.

II. Ažuriranje osnovnih znanja.
Znate li funkcije definirane na cijelom brojevnom pravcu ili na njegovom kontinuiranom
III.
intervali:
linearna funkcija y \u003d kx + v,
kvadratna funkcija y \u003d ax2 + inx + c,


 funkcija y =



 funkcija y = |x|.
Priprema za percepciju novog znanja
izravna proporcionalnost y \u003d kx,
inverzna proporcionalnost y \u003d k / x,
kubična funkcija y = x3,
,
Ali postoje funkcije definirane na drugim skupovima.
Primjer. Mnoge obitelji imaju običaj, svojevrsni ritual: na rođendan djeteta
roditelji ga dovode do dovratnika i na njemu svečano slave odrastanje rođendanskog dječaka.
Dijete raste, a s godinama se na dovratniku pojavljuju cijele ljestve tragova. Tri, pet, dva: Ovo je
slijed rasta iz godine u godinu. Ali postoji još jedan slijed, naime
njezini su članovi pažljivo ispisani uz serife. Ovo je slijed vrijednosti rasta.
Dvije sekvence su međusobno povezane.
Drugi se od prvog dobiva zbrajanjem.
Rast je zbroj dobitaka za sve prethodne godine.
Razmotrite još nekoliko pitanja.
Zadatak 1. U skladištu je 500 tona ugljena, svaki dan se isporučuje 30 tona.Koliko će ugljena biti
na skladištu za 1 dan? 2 dan? 3. dan? 4. dan? 5. dan?
(Odgovori učenika zapisani su na ploči: 500, 530, 560, 590, 620).
Zadatak 2. Tijekom razdoblja intenzivnog rasta, osoba raste u prosjeku za 5 cm godišnje. Sada rast
učenik S. ima 180 cm Koliko će biti visok 2026. godine? (2m 30 cm). Ali ovo ne smije biti
može biti. Zašto?
Zadatak 3. Svaki dan svaka osoba s gripom može zaraziti još 4 osobe.
Za koliko dana će se svi učenici naše škole (300 ljudi) razboljeti? (nakon 4 dana).
Ovo su primjeri funkcija definiranih na skupu prirodnih brojeva – brojevnim
sekvence.
Cilj lekcije je: pronaći načine za pronalaženje bilo kojeg člana niza.
Ciljevi lekcije: Saznati što je numerički niz i kako
sekvence.
IV. Učenje novog gradiva
Definicija: Numerički niz je funkcija definirana na skupu
prirodni brojevi (nizovi čine takve elemente prirode da
može se numerirati).
Koncept numeričkog niza nastao je i razvio se mnogo prije stvaranja doktrine o
funkcije. Evo primjera nizova beskonačnih brojeva poznatih u prošlosti
starine:
1, 2, 3, 4, 5, : niz prirodnih brojeva;
2, 4, 6, 8, 10, : niz parnih brojeva;
1, 3, 5, 7, 9, : niz neparnih brojeva;
1, 4, 9, 16, 25, : niz kvadrata prirodnih brojeva;
2, 3, 5, 7, 11, : niz prostih brojeva;
,
1,
Broj članova svake od ovih serija je beskonačan; prvih pet sekvenci
, : niz recipročnih vrijednosti prirodnih brojeva.
,
monotono raste, a potonji se monotono smanjuje.

Oznaka: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:redni broj člana niza.
(yn) sekvenca, ynth član niza.
(an) sekvenca, n-ti član niza.
an1 je prethodni član niza,
+1 sljedeći član niza.
Nizovi su konačni i beskonačni, rastući i opadajući.
Zadaci za učenike: Zapišite prvih 5 članova niza:
Od prvog prirodnog broja povećaj za 3.
Od 10 povećajte za 2 puta i smanjite za 1.
Od broja 6, izmjenjujte povećanje od 2 i povećanje od 2 puta.
Ti brojčani nizovi se također nazivaju brojevnim nizovima.
Metode sekvenciranja:
verbalni način.
Pravila sekvenciranja su opisana riječima, bez formula ili
kada između elemenata niza nema pravilnosti.
Primjer 1. Niz prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Primjer 2. Proizvoljan skup brojeva: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Primjer 3. Niz parnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analitički način.
Bilo koji n-ti element niza može se odrediti pomoću formule.
Primjer 1. Niz parnih brojeva: y = 2n.
Primjer 2. Niz kvadrata prirodnih brojeva: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Primjer 3. Stacionarni niz: y = C; C, C, C, ...,C, ...
Poseban slučaj: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Primjer 4. Niz y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
rekurzivni način.
Navedeno je pravilo koje omogućuje izračunavanje n-tog elementa niza if
poznati su njegovi prethodni elementi.
Primjer 1. Aritmetička progresija: a1=a, an+1=an+d, gdje su a i d dati brojevi, d
razlika aritmetičke progresije. Neka je a1=5, d=0,7, a zatim aritmetička progresija
izgledat će ovako: 5; 5,7; 6.4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .
Primjer 2. Geometrijska progresija: b1= b, bn+1= bnq, gdje su b i q zadani brojevi, b
0,
0; q je nazivnik geometrijske progresije. Neka je b1=23, q=½, zatim geometrijski
q
progresija će izgledati ovako: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Grafički način. Numerički niz
dan grafom koji je
izolirane točke. Apscise ovih točaka su prirodne
brojevi: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinate - vrijednosti članova
sekvence: a1; a2; a3; a4;…
Primjer: Zapišite svih pet članova brojevnog niza,
dati na grafički način.
Odluka.
Svaka točka u ovoj koordinatnoj ravnini ima
koordinate (n; an). Zapišite koordinate označenih točaka
uzlazna apscisa n.
Dobivamo: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Prema tome, a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Odgovor: 3; jedan; 4; 6; 7.
V. Primarna konsolidacija proučenog gradiva
Primjer 1. Napišite moguću formulu za n-ti element niza (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Odluka.
a) To je niz neparnih brojeva. Analitički, ovaj slijed može biti
postavljena formulom y = 2n+1.
b) Ovo je numerički niz u kojem je sljedeći element veći od prethodnog
po 4. Analitički, ovaj se niz može dati formulom y = 4n.
Primjer 2. Napišite prvih deset elemenata niza koji se ponavljaju: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 ako je n = 3, 4, 5, 6, ... .
Odluka.
Svaki sljedeći element ovog niza jednak je zbroju prethodna dva
elementi.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Sažimanje lekcije. Odraz
1. Što ste uspjeli ispuniti zadatak?
2. Je li rad bio koordiniran?
3. Što po vašem mišljenju nije uspjelo?

2. Odredi računsku operaciju pomoću koje se iz dva ekstremna broja dobiva prosjek i umjesto znaka * ubaci broj koji nedostaje: osam

3. Učenici su riješili zadatak u kojem se traži pronaći brojeve koji nedostaju. Dobili su različite odgovore. Pronađite pravila po kojima su dečki popunjavali ćelije. Zadatak Odgovor 1 Odgovor

Definicija brojevnog niza Kaže se da je brojčani niz zadan ako je prema nekom zakonu određeni broj (član niza) jednoznačno dodijeljen bilo kojem prirodnom broju (broju mjesta). Općenito, ova korespondencija se može predstaviti na sljedeći način: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Broj n je n- član niza. Cijeli niz obično se označava (y n).

Analitički način specificiranja numeričkih nizova Niz se specificira analitički ako je navedena formula n-tog člana. Na primjer, 1) y n= n 2 - analitička dodjela sekvence 1, 4, 9, 16, ... 2) y n= S - konstantna (stacionarna) sekvenca 2) y n= 2 n - analitička dodjela niza 2 , 4, 8, 16, … Riješi 585

Rekurzivni način postavljanja numeričkih nizova Rekurentni način postavljanja niza je da oni označavaju pravilo koje vam omogućuje da izračunate n-ti član ako su poznati njegovi prethodni članovi 1) aritmetička progresija dana je rekurzivnim odnosima ) geometrijska progresija - b 1 \ u003d b, b n + 1 \u003d b n * q

Sidrenje 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Gornje omeđen Za niz (y n) se kaže da je omeđen odozgo ako su svi njegovi članovi najviše neki broj. Drugim riječima, niz (y n) je omeđen odozgo ako postoji broj M takav da za bilo koji n vrijedi nejednakost y n M. M je gornja granica niza Na primjer, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Ograničen odozdo Niz (y n) naziva se omeđen odozdo ako su svi njegovi članovi barem neki broj. Drugim riječima, niz (y n) je omeđen odozgo ako postoji broj m takav da za bilo koje n vrijedi nejednakost y n m. m je donja granica niza Na primjer, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Ograničenost niza Niz (y n) naziva se ograničenim ako je moguće odrediti dva broja A i B između kojih leže svi članovi niza. Nejednakost Ay n B A je donja granica, B je gornja granica Na primjer, 1 je gornja granica, 0 je donja granica

Opadajući niz Niz se naziva opadajućim ako je svaki njegov član manji od prethodnog: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Na primjer, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na primjer, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Na primjer,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na primjer," title="(!LANG:Silazni niz Niz se naziva opadajućim ako je svaki od njegovih članova manji od prethodnog: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Na primjer,"> title="Opadajući niz Niz se naziva opadajućim ako je svaki njegov član manji od prethodnog: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Na primjer,"> !} 23

Provjera rada Opcija 1Opcija 2 1. Brojčani niz zadan je formulom a) Izračunajte prva četiri člana ovog niza b) Je li broj član niza? b) Je li broj 12.25 član niza? 2. Formulirajte th član niza 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Numerički niz je poseban slučaj numeričke funkcije, pa se za nizove razmatraju i brojna svojstva funkcija.

1. Definicija . Slijed ( y n} naziva se rastućim ako je svaki njegov član (osim prvog) veći od prethodnog:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Definicija. Slijed ( y n} naziva se opadajućim ako je svaki njegov član (osim prvog) manji od prethodnog:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Rastuće i opadajuće sekvence objedinjuje zajednički pojam – monotoni nizovi.

Na primjer: y 1 = 1; y n= n 2… je rastući niz. y 1 = 1; je silazni niz. y 1 = 1; – ovaj niz nije nerastući nego opadajući.

4. Definicija. Niz se naziva periodičnim ako postoji prirodan broj T takav da, počevši od nekog n, vrijedi jednakost yn = yn+T. Broj T naziva se duljina perioda.

5. Niz se naziva ograničenim odozdo ako su svi njegovi članovi barem neki broj.

6. Za niz se kaže da je omeđen odozgo ako su svi njegovi članovi najviše neki broj.

7. Niz se naziva omeđen ako je omeđen i odozgo i odozdo, t.j. postoji pozitivan broj takav da svi članovi zadanog niza ne prelaze ovaj broj u apsolutnoj vrijednosti. (Ali ograničenost s obje strane ne znači nužno da je konačna.)

8. Niz može imati samo jedno ograničenje.

9. Svaki neopadajući niz omeđen iznad ima granicu (lim).

10. Svaki nerastući niz omeđen ispod ima granicu.

Granica niza je točka (broj) u čijoj blizini se nalazi većina članova niza, oni se toj granici približavaju, ali je ne dosežu.

Geometrijske i aritmetičke progresije posebni su slučajevi nizova.

Metode sekvenciranja:

Sekvence se mogu specificirati na različite načine, među kojima su tri posebno važna: analitički, deskriptivni i rekurentni.

1. Niz je dan analitički ako je dana formula njegovog n-tog člana:

Primjer. yn \u003d 2n - 1 - niz neparnih brojeva: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Deskriptivan način postavljanja numeričkog niza je da objašnjava od kojih elemenata je niz izgrađen.

Primjer 1. "Svi članovi niza jednaki su 1." To znači da govorimo o stacionarnom nizu 1, 1, 1, …, 1, ….

Primjer 2. "Slijed se sastoji od svih prostih brojeva u rastućem redoslijedu." Dakle, zadan je niz 2, 3, 5, 7, 11, …. S ovakvim načinom specificiranja niza u ovom primjeru teško je odgovoriti čemu je, recimo, jednak 1000. element niza.

3. Rekurentni način specificiranja niza je da se naznači pravilo koje omogućuje izračunavanje n-tog člana niza ako su poznati njegovi prethodni članovi. Naziv recurrent method dolazi od latinske riječi recurrere - vratiti. Najčešće se u takvim slučajevima navodi formula koja omogućuje izražavanje n-tog člana niza u odnosu na prethodne, a specificiraju se 1-2 početna člana niza.

Primjer 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4 ako je n = 2, 3, 4,….

Ovdje je y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Vidi se da se sekvenca dobivena u ovom primjeru može odrediti i analitički: yn = 4n – 1.

Primjer 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 ako n = 3, 4,….

Ovdje: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Niz sastavljen u ovom primjeru posebno se proučava u matematici jer ima niz zanimljivih svojstava i primjena. Naziva se Fibonaccijevim nizom - po talijanskom matematičaru iz 13. stoljeća. Definiranje Fibonaccijevog niza rekurzivno je vrlo jednostavno, ali je analitički vrlo teško. n th Fibonaccijev broj se izražava u smislu njegovog rednog broja sljedećom formulom.

Na prvi pogled, formula za n Fibonaccijev broj čini se nevjerojatnim, budući da formula koja specificira slijed samo prirodnih brojeva sadrži kvadratne korijene, ali možete "ručno" provjeriti valjanost ove formule za prvih nekoliko n.

Fibonaccijeva povijest:

Fibonacci (Leonardo iz Pize), c. 1175–1250

talijanski matematičar. Rođen u Pizi, postao je prvi veliki europski matematičar u kasnom srednjem vijeku. Praktična potreba za uspostavljanjem poslovnih kontakata dovela ga je do matematike. Objavio je svoje knjige iz aritmetike, algebre i drugih matematičkih disciplina. Od muslimanskih matematičara učio je o sustavu brojeva koji je izumljen u Indiji i već usvojen u arapskom svijetu, te se uvjerio u njegovu superiornost (ovi su brojevi bili preteča modernih arapskih brojeva).

Leonardo iz Pise, poznat kao Fibonacci, bio je prvi od velikih europskih matematičara kasnog srednjeg vijeka. Rođen u Pisi u bogatoj trgovačkoj obitelji, u matematiku je ušao iz čisto praktične potrebe za uspostavljanjem poslovnih kontakata. U mladosti, Leonardo je puno putovao, prateći oca na poslovnim putovanjima. Na primjer, znamo za njegov dugi boravak u Bizantu i Siciliji. Tijekom takvih putovanja puno je komunicirao s lokalnim znanstvenicima.

Brojčani niz koji danas nosi njegovo ime izrastao je iz problema sa zečevima koji je Fibonacci iznio u svom Liber abacci, napisanom 1202.:

Čovjek je stavio par zečeva u tor, okružen zidom sa svih strana. Koliko parova kunića ovaj par može okotiti u godini, ako se zna da svaki mjesec, počevši od drugog, svaki par kunića rodi po jedan par?

Možete osigurati da će broj parova u svakom od sljedećih dvanaest mjeseci u mjesecu biti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Drugim riječima, broj parova zečeva stvara niz, svaki član u kojem je zbroj prethodna dva. Poznat je kao Fibonaccijev niz, a sami brojevi su Fibonaccijevi brojevi. Ispada da ovaj niz ima mnogo matematički zanimljivih svojstava. Evo primjera: možete podijeliti liniju na dva segmenta tako da omjer između većeg i manjeg segmenta bude proporcionalan omjeru između cijele linije i većeg segmenta. Ovaj faktor proporcionalnosti, približno jednak 1,618, poznat je kao zlatni omjer. U renesansi se vjerovalo da je taj omjer, promatran u arhitektonskim strukturama, najugodniji oku. Ako uzmete uzastopne Fibonaccijeve parove i podijelite veći broj svakog para s manjim, vaš će se rezultat postupno približiti zlatnom omjeru.

Otkako je Fibonacci otkrio svoj niz, čak su pronađeni i prirodni fenomeni u kojima se čini da ovaj slijed igra važnu ulogu. Jedan od njih je filotaksis (raspored listova) – pravilo prema kojem se, primjerice, sjemenke nalaze u cvatu suncokreta. Sjemenke suncokreta su raspoređene u dvije spirale. Brojevi koji označavaju broj sjemenki u svakoj od spirala članovi su nevjerojatnog matematičkog niza. Sjemenke su raspoređene u dva reda spirala, od kojih jedna ide u smjeru kazaljke na satu, a druga protiv. I koliki je broj sjemenki u svakom pojedinom slučaju? 34 i 55.

Zadatak #1:

Napiši prvih pet članova niza.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

i n \u003d 2 n + 1/2 n

Zadatak broj 2:

Napišite formulu za zajednički član niza prirodnih brojeva koji su višekratnici broja 3.

Odgovor: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, i n = 3n

Zadatak broj 3:

Napišite formulu za zajednički član niza prirodnih brojeva koji, kada se podijele s 4, imaju ostatak od 1.

Odgovor: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 i n = 4n+1

broj 19. Funkcija.

Funkcija (prikaz, operator, transformacija) je matematički koncept koji odražava odnos između elemenata skupova. Možemo reći da je funkcija "zakon" prema kojem je svakom elementu jednog skupa (koji se naziva domena definicije) dodijeljen neki element drugog skupa (koji se naziva domena vrijednosti).

Funkcija je ovisnost jedne varijable o drugoj. Drugim riječima, odnos između količina.

Matematički koncept funkcije izražava intuitivnu ideju o tome kako jedna veličina u potpunosti određuje vrijednost druge veličine. Dakle, vrijednost varijable x jednoznačno određuje vrijednost izraza, a vrijednost mjeseca jednoznačno određuje vrijednost sljedećeg mjeseca, te se svaka osoba može usporediti s drugom osobom – svojim ocem. Slično, neki unaprijed zamišljeni algoritam, s obzirom na različite ulazne podatke, proizvodi određene izlazne podatke.

Često se izraz "funkcija" odnosi na numeričku funkciju; odnosno funkcija koja neke brojeve stavlja u korespondenciju s drugima. Te su funkcije prikladno prikazane na slikama u obliku grafikona.

Može se dati još jedna definicija. Funkcija je specifična akcijski preko varijable.

To znači da uzmemo vrijednost, izvršimo neku radnju s njom (na primjer, kvadriramo je ili izračunamo njezin logaritam) - i dobijemo vrijednost.

Navedimo još jednu definiciju funkcije – onu koja se najčešće nalazi u udžbenicima.

Funkcija je korespondencija između dva skupa, pri čemu svaki element prvog skupa odgovara jednom i samo jednom elementu drugog skupa.

Na primjer, funkcija svakom realnom broju dodjeljuje broj dvostruko veći od .

Skup elemenata nekog F. zamijenjenih za x naziva se njegova domena definicije, a skup elemenata y nekog F. naziva se njegovim rasponom vrijednosti.

Povijest mandata:

Pojam "funkcija" (u nešto užem smislu) prvi je upotrijebio Leibniz (1692). Zauzvrat, Johann Bernoulli je u pismu istom Leibnizu upotrijebio ovaj izraz u smislu bližem modernom. U početku se koncept funkcije nije mogao razlikovati od koncepta analitičke reprezentacije. Naknadno se pojavila definicija funkcije koju je dao Euler (1751), a zatim - Lacroix (1806) - gotovo u svom modernom obliku. Konačno, opću definiciju funkcije (u njenom modernom obliku, ali za numeričke funkcije) dali su Lobačevski (1834) i Dirichlet (1837). Do kraja 19. stoljeća pojam funkcije prerastao je opseg numeričkih sustava. Vektorske funkcije bile su prve koje su to učinile, Frege je ubrzo uveo logičke funkcije (1879), a nakon pojave teorije skupova, Dedekind (1887) i Peano (1911) formulirali su modernu univerzalnu definiciju.

broj 20. Načini postavljanja funkcije.

Postoje 4 načina za definiranje funkcije:

1. tabelarni Sasvim uobičajeno, je postavljanje stola pojedinca

vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije. Ova metoda definiranja funkcije koristi se kada je domena funkcije diskretni konačni skup.

Zgodno je kada je f konačan skup, ali kada je f beskonačan, naznačeni su samo odabrani parovi (x, y).

Tabličnom metodom određivanja funkcije moguće je približno izračunati vrijednosti funkcije koje nisu sadržane u tablici, a koje odgovaraju srednjim vrijednostima argumenta. Da biste to učinili, koristite metodu interpolacije.

Prednosti: točnost, brzina, lako je pronaći željenu vrijednost funkcije iz tablice vrijednosti. Prednosti tabelarnog načina određivanja funkcije su u tome što omogućuje određivanje određenih specifičnih vrijednosti odjednom, bez dodatnih mjerenja ili izračuna.

nedostatke: nepotpunost, nedostatak jasnoće. U nekim slučajevima, tablica ne definira funkciju u potpunosti, već samo za neke vrijednosti argumenta i ne pruža vizualni prikaz prirode promjene funkcije ovisno o promjeni argumenta.

2. analitički(formule). Najčešće, zakon koji uspostavlja vezu između

argument i funkcija, specificira se pomoću formula. Ovaj način definiranja funkcije naziva se analitičkim. Ono je najvažnije za MA (matematičku analizu), budući da metode MA (diferencijalni, integralni račun) sugeriraju ovakav način postavljanja. Ista funkcija može se dati različitim formulama: y=∣grijeh( x)∣y=√1−cos2( x) Ponekad, u različitim dijelovima njihovih domena, funkcija koja se definira može biti data različitim formulama f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Često se kod ove metode definiranja funkcije ne označava domena definicije, tada se pod domenom definicije razumijeva prirodna domena definicije, t.j. skup svih x vrijednosti za koje funkcija uzima stvarnu vrijednost.

Ova metoda omogućuje da svaka brojčana vrijednost argumenta x pronađe odgovarajuću brojčanu vrijednost funkcije y točno ili s određenom točnošću.

Poseban slučaj analitičkog načina definiranja funkcije je definiranje funkcije jednadžbom oblika F(x,y)=0 (1) Ako ova jednadžba ima svojstvo da je ∀ x∈D se samo podudara y, takav da F(x,y)=0, tada kažemo da jednadžba (1) na D implicitno definira funkciju. Drugi poseban slučaj definiranja funkcije je parametarski, sa svakim parom ( x,y)∈f postaviti pomoću para funkcija x=ϕ( t),y=ψ( t) gdje t∈M.