कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं। परिमेय और अपरिमेय संख्याएं

एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं, जो दशमलव संकेतन में, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश हैं।

उदाहरण के लिए, का वर्गमूल लेने पर प्राप्त संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएं, अपरिमेय हैं और प्राकृत संख्याओं के वर्ग नहीं हैं। लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएं निकालने से प्राप्त नहीं होती हैं वर्गमूल, क्योंकि विभाजन द्वारा प्राप्त संख्या "pi" भी अपरिमेय है, और किसी प्राकृत संख्या का वर्गमूल निकालने का प्रयास करते समय आपको इसे प्राप्त करने की संभावना नहीं है।

अपरिमेय संख्याओं के गुण

अनंत दशमलव अंशों में लिखी गई संख्याओं के विपरीत, गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंशों में केवल अपरिमेय संख्याएँ लिखी जाती हैं।
दो गैर-ऋणात्मक अपरिमेय संख्याओं का योग अंततः एक परिमेय संख्या हो सकती है।
तर्कहीन संख्यानिम्न वर्ग में परिमेय संख्याओं के समुच्चय में डेडेकाइंड वर्गों को परिभाषित करें, जिनके पास नहीं है एक लंबी संख्या, और ऊपर वाले में कोई छोटा नहीं है।
कोई भी वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय होती है।
सभी अपरिमेय संख्याएँ या तो बीजीय या अनुवांशिक होती हैं।
रेखा पर अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय सघन रूप से भरा हुआ है, और इसकी किन्हीं दो संख्याओं के बीच आवश्यक रूप से एक ir है। परिमेय संख्या.
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अनंत, बेशुमार है और दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।
परिमेय संख्याओं पर कोई अंकगणितीय संक्रिया करते समय, 0 से भाग देने के अलावा, उसका परिणाम एक परिमेय संख्या होगी।
एक परिमेय संख्या में एक परिमेय संख्या जोड़ने पर, परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।
अपरिमेय संख्याओं को जोड़ने पर, हम एक परिमेय संख्या प्राप्त कर सकते हैं।
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय सम नहीं होता है।

संख्याएं अपरिमेय नहीं हैं

कभी-कभी इस सवाल का जवाब देना काफी मुश्किल होता है कि क्या कोई संख्या अपरिमेय है, खासकर उन मामलों में जहां संख्या दशमलव अंश के रूप में या संख्यात्मक अभिव्यक्ति, रूट या लॉगरिदम के रूप में है।

इसलिए, यह जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय नहीं हैं। यदि हम अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा का अनुसरण करते हैं, तो हम पहले से ही जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ अपरिमेय नहीं हो सकती हैं।

अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं:

सबसे पहले, सभी प्राकृतिक संख्याएं;
दूसरा, पूर्णांक;
तीसरा, साधारण अंश;
चौथा, विभिन्न मिश्रित संख्याएँ;
पांचवां, ये अनंत आवर्त दशमलव भिन्न हैं।

उपरोक्त सभी के अलावा, परिमेय संख्याओं का कोई भी संयोजन जो अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों द्वारा किया जाता है, जैसे कि +, -, :, एक अपरिमेय संख्या नहीं हो सकता, क्योंकि इस मामले में दो परिमेय संख्याओं का परिणाम भी होगा एक परिमेय संख्या हो।

अब देखते हैं कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं:

क्या आप एक फैन क्लब के अस्तित्व के बारे में जानते हैं, जहां इस रहस्यमय गणितीय घटना के प्रशंसक पाई के बारे में अधिक से अधिक जानकारी की तलाश कर रहे हैं, इसके रहस्य को जानने की कोशिश कर रहे हैं। कोई भी व्यक्ति जो दशमलव बिंदु के बाद निश्चित संख्या में पाई संख्या जानता है, वह इस क्लब का सदस्य बन सकता है;

क्या आप जानते हैं कि जर्मनी में, यूनेस्को के संरक्षण में, कास्टडेल मोंटे महल है, जिसके अनुपात में आप पाई की गणना कर सकते हैं। राजा फ्रेडरिक द्वितीय द्वारा इस संख्या को एक पूरा महल समर्पित किया गया था।

यह पता चला है कि उन्होंने बाबेल की मीनार के निर्माण में पाई संख्या का उपयोग करने की कोशिश की थी। लेकिन हमारे बड़े अफसोस के कारण, यह परियोजना के पतन का कारण बना, क्योंकि उस समय पाई के मूल्य की सटीक गणना का पर्याप्त अध्ययन नहीं किया गया था।

गायिका केट बुश ने अपनी नई डिस्क में "पाई" नामक एक गीत रिकॉर्ड किया, जिसमें प्रसिद्ध संख्या श्रृंखला 3, 141 के एक सौ चौबीस नंबर बज रहे थे ... ..

सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N अक्षर से निरूपित होता है। प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं: 1,2,3,4, ... कुछ स्रोतों में, संख्या 0 को प्राकृत संख्याएँ भी कहा जाता है। .

सभी पूर्णांकों के समुच्चय को Z अक्षर से दर्शाया जाता है। पूर्णांक सभी प्राकृत संख्याएँ, शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ हैं:

1,-2,-3, -4, …

अब हम सभी पूर्णांकों के समुच्चय में सभी का समुच्चय जोड़ते हैं साधारण अंश: 2/3, 18/17, -4/5 और इसी तरह। तब हमें सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय प्राप्त होता है।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय

सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q अक्षर से निरूपित किया जाता है। सभी परिमेय संख्याओं (Q) का समुच्चय m/n, -m/n और संख्या 0 के रूप की संख्याओं से मिलकर बना समुच्चय है। एन, एम . के रूप मेंकोई भी प्राकृतिक संख्या हो सकती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी परिमेय संख्याओं को एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसका विलोम भी सत्य है कि किसी भी परिमित या अनंत आवर्त दशमलव भिन्न को परिमेय संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।

लेकिन क्या होगा, उदाहरण के लिए, संख्या 2.0100100010…? यह एक अपरिमित रूप से गैर-आवधिक दशमलव है। और यह परिमेय संख्याओं पर लागू नहीं होता है।

बीजगणित के स्कूली पाठ्यक्रम में केवल वास्तविक (या वास्तविक) संख्याओं का ही अध्ययन किया जाता है। बहुत से वास्तविक संख्याअक्षर R द्वारा निरूपित किया जाता है। सेट R में सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा

अपरिमेय संख्याएं सभी अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न हैं। अपरिमेय संख्याओं का कोई विशेष अंकन नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं का वर्गमूल निकालने पर प्राप्त सभी संख्याएँ जो प्राकृत संख्याओं का वर्ग नहीं हैं, अपरिमेय होंगी। (√2, √3, √5, 6, आदि)।

लेकिन यह मत सोचो कि वर्गमूल निकालने से ही अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या "पाई" भी अपरिमेय है, और इसे विभाजन द्वारा प्राप्त किया जाता है। और आप कितनी भी कोशिश कर लें, आप किसी भी प्राकृत संख्या का वर्गमूल लेकर उसे प्राप्त नहीं कर सकते।

इकाई लंबाई के एक खंड के साथ, प्राचीन गणितज्ञ पहले से ही जानते थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण की असंगति और वर्ग की भुजा, जो संख्या की अपरिमेयता के बराबर है।

तर्कहीन हैं:

तर्कहीनता प्रमाण उदाहरण

2 . की जड़

इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात इसे एक इरेड्यूसबल भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, जहां और पूर्णांक हैं। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम, इसलिए, सम और । चलो जहां पूरे। फिर

इसलिए, सम, इसलिए, सम और । हमने वह प्राप्त कर लिया है और सम है, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसलिए, मूल धारणा गलत थी, और एक अपरिमेय संख्या है।

संख्या 3 . का बाइनरी लॉगरिदम

इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात इसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और सकारात्मक लिया जा सकता है। फिर

लेकिन यह स्पष्ट है, यह अजीब है। हमें एक विरोधाभास मिलता है।

इ

कहानी

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में निहित रूप से अपनाया गया था, जब मनावा (सी। 750 ईसा पूर्व - सी। 690 ईसा पूर्व) ने पाया कि 2 और 61 जैसी कुछ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (सी। 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, एक पाइथागोरस जिसने एक पेंटाग्राम के पक्षों की लंबाई का अध्ययन करके इस प्रमाण को पाया। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई पर्याप्त रूप से छोटी और अविभाज्य होती है, जो कि किसी भी खंड में शामिल पूर्णांक संख्या होती है। हालांकि, हिप्पसस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु का कर्ण सही त्रिकोणइकाई खंडों की एक पूर्णांक संख्या है, तो यह संख्या एक ही समय में सम और विषम दोनों होनी चाहिए। सबूत इस तरह दिखता था:

• एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ पे एऔर बीसबसे छोटा संभव के रूप में चुना गया।
• पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए= 2 बी².
• जैसा एमैं भी, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
• जहां तक ​​कि ए:बीअलघुकरणीय बीविषम होना चाहिए।
• जैसा एसम, निरूपित ए = 2आप.
• फिर ए= 4 आप= 2 बी².
• बी= 2 आप, इसलिए बीसम है, तो बीयहाँ तक की।
• हालांकि, यह साबित हो गया है कि बीअजीब। अंतर्विरोध।

यूनानी गणितज्ञों ने अतुलनीय मात्राओं के इस अनुपात को कहा है अलोगोस(अव्यक्त), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार, हिप्पसस को उचित सम्मान नहीं दिया गया था। एक किंवदंती है कि हिप्पसस ने समुद्री यात्रा के दौरान खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए" पानी में फेंक दिया गया था, जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया जा सकता है। " हिप्पस की खोज पाइथागोरस गणित के सामने रखी गंभीर समस्या, पूरे सिद्धांत की अंतर्निहित धारणा को नष्ट करना कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एक हैं और अविभाज्य हैं।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

संख्यात्मक प्रणाली
गिनती सेट	प्राकृत संख्याएं () पूर्णांक ()

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ . Q सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

परिमेय संख्याओं को विभाजित किया गया है: सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य।

प्रत्येक परिमेय संख्या को निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु से जोड़ा जा सकता है। बिंदुओं के लिए "बाईं ओर" संबंध इन बिंदुओं के निर्देशांक के लिए "से कम" संबंध से मेल खाता है। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक ऋणात्मक संख्या शून्य से कम है और प्रत्येक धनात्मक संख्या; दो ऋणात्मक संख्याओं में से, जिसका मापांक अधिक है वह कम है। तो, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

किसी भी परिमेय संख्या को दशमलव आवर्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ।

परिमेय संख्याओं पर संचालन के लिए एल्गोरिदम शून्य और सकारात्मक अंशों पर संबंधित संचालन के लिए संकेतों के नियमों का पालन करते हैं। Q शून्य से विभाजन के अलावा अन्य भाग करता है।

कोई भी रेखीय समीकरण, अर्थात। फॉर्म का समीकरण ax+b=0, कहा पे , सेट क्यू पर हल करने योग्य है, लेकिन कोई नहीं द्विघात समीकरणतरह , परिमेय संख्याओं में हल करने योग्य है। निर्देशांक रेखा के प्रत्येक बिंदु का एक परिमेय बिंदु नहीं होता है। छठी शताब्दी ईसा पूर्व के अंत में भी। एन। ई पाइथागोरस के स्कूल में, यह साबित हो गया था कि एक वर्ग का विकर्ण उसकी ऊंचाई के अनुरूप नहीं है, जो इस कथन के समान है: "समीकरण की कोई तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं।" उपरोक्त सभी ने सेट क्यू को विस्तारित करने की आवश्यकता को जन्म दिया, एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा पेश की गई थी। अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को अक्षर द्वारा निरूपित करें जे .

एक निर्देशांक रेखा पर, वे सभी बिंदु जिनमें परिमेय निर्देशांक नहीं होते हैं, अपरिमेय निर्देशांक होते हैं। , जहाँ r वास्तविक संख्याओं के समुच्चय हैं। एक सार्वभौमिक तरीके सेवास्तविक संख्याओं के असाइनमेंट दशमलव हैं। आवधिक दशमलव परिमेय संख्याओं को परिभाषित करते हैं, और गैर-आवधिक दशमलव अपरिमेय संख्याओं को परिभाषित करते हैं। तो, 2.03 (52) एक परिमेय संख्या है, 2.03003000000003 ... (प्रत्येक निम्नलिखित अंक "3" की अवधि को एक शून्य अधिक लिखा जाता है) एक अपरिमेय संख्या है।

समुच्चय क्यू और आर में सकारात्मकता के गुण हैं: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच एक परिमेय संख्या होती है, उदाहरण के लिए, ईकोइ ए

प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए α एक कमी के साथ और किसी भी सटीकता के साथ अधिकता के साथ एक तर्कसंगत सन्निकटन निर्दिष्ट कर सकता है: a< α

कुछ परिमेय संख्याओं से एक मूल निकालने की क्रिया अपरिमेय संख्याओं की ओर ले जाती है। एक प्राकृतिक डिग्री की जड़ निकालना एक बीजीय संक्रिया है, अर्थात। इसका परिचय फॉर्म के बीजीय समीकरण के समाधान से जुड़ा है . यदि n विषम है, अर्थात्। n=2k+1, जहाँ , तो समीकरण का एक ही मूल है। यदि n सम है, n=2k, जहाँ , तो a=0 के लिए समीकरण का एक मूल x=0 है, a के लिए<0 корней нет, при a>0 के दो मूल हैं जो एक दूसरे के विपरीत हैं। जड़ निकालना एक प्राकृतिक शक्ति को ऊपर उठाने का उल्टा ऑपरेशन है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल (संक्षिप्तता के लिए, मूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या b है, जो समीकरण का मूल है। संख्या a से nवें अंश का मूल प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। n=2 के लिए, रूट 2 की डिग्री इंगित नहीं की गई है: .

उदाहरण के लिए, क्योंकि 2 2 =4 और 2>0; , क्योंकि 3 3 =27 और 3>0; मौजूद नहीं है क्योंकि -4<0.

n=2k और a>0 के लिए, समीकरण (1) के मूल को और के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 \u003d 4 के मूल 2 और -2 हैं।

n विषम के लिए, समीकरण (1) में किसी के लिए एक ही मूल है। अगर a≥0, तो - इस समीकरण की जड़। यदि एक<0, то –а>0 और - समीकरण की जड़। तो, समीकरण x 3 \u003d 27 का एक मूल है।

अपरिमेय संख्याएँ क्या हैं? उन्हें ऐसा क्यों कहा जाता है? उनका उपयोग कहां किया जाता है और वे क्या हैं? इन सवालों का जवाब बिना किसी झिझक के कुछ ही जवाब दे सकते हैं। लेकिन वास्तव में, उनके उत्तर काफी सरल हैं, हालांकि सभी को उनकी आवश्यकता नहीं है और बहुत ही दुर्लभ स्थितियों में।

सार और पदनाम

अपरिमेय संख्याएं अनंत गैर-आवधिक हैं इस अवधारणा को पेश करने की आवश्यकता इस तथ्य के कारण है कि नई उभरती समस्याओं को हल करने के लिए, वास्तविक या वास्तविक, पूर्णांक, प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्याओं की पहले से मौजूद अवधारणाएं अब पर्याप्त नहीं थीं। उदाहरण के लिए, गणना करने के लिए कि 2 का वर्ग क्या है, आपको गैर-आवर्ती अनंत दशमलव का उपयोग करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, कई सरल समीकरणों का भी एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा को पेश किए बिना कोई हल नहीं होता है।

इस सेट को I के रूप में दर्शाया गया है। और, जैसा कि पहले से ही स्पष्ट है, इन मानों को एक साधारण अंश के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है, जिसके अंश में एक पूर्णांक होगा, और हर में -

पहली बार, एक तरह से या किसी अन्य, भारतीय गणितज्ञों ने 7 वीं शताब्दी में इस घटना का सामना किया, जब यह पता चला कि कुछ मात्राओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया जा सकता है। और ऐसी संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण पाइथागोरस हिप्पासस को दिया जाता है, जिन्होंने एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का अध्ययन करने की प्रक्रिया में ऐसा किया था। इस सेट के अध्ययन में एक गंभीर योगदान हमारे युग से पहले रहने वाले कुछ अन्य वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था। अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा की शुरूआत ने मौजूदा गणितीय प्रणाली का संशोधन किया, यही कारण है कि वे इतने महत्वपूर्ण हैं।

नाम की उत्पत्ति

यदि लैटिन में अनुपात "अंश", "अनुपात" है, तो उपसर्ग "ir"
शब्द को विपरीत अर्थ देता है। इस प्रकार इन संख्याओं के समुच्चय का नाम इंगित करता है कि इन्हें किसी पूर्णांक या भिन्न के साथ सहसंबद्ध नहीं किया जा सकता, इनका एक अलग स्थान होता है। यह उनके स्वभाव से होता है।

सामान्य वर्गीकरण में स्थान

अपरिमेय संख्याएँ, परिमेय संख्याओं के साथ, वास्तविक या वास्तविक संख्याओं के समूह से संबंधित होती हैं, जो बदले में जटिल होती हैं। कोई उपसमुच्चय नहीं हैं, हालांकि, बीजीय और अनुवांशिक किस्में हैं, जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी।

गुण

चूँकि अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का भाग होती हैं, उनके सभी गुण जो अंकगणित में अध्ययन किए जाते हैं (इन्हें मूल बीजगणितीय नियम भी कहा जाता है) उन पर लागू होते हैं।

ए + बी = बी + ए (कम्यूटेटिविटी);

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (सहयोगिता);

ए + (-ए) = 0 (विपरीत संख्या का अस्तित्व);

एबी = बीए (विस्थापन कानून);

(एबी) सी = ए (बीसी) (वितरण);

ए (बी + सी) = एबी + एसी (वितरण कानून);

a x 1/a = 1 (प्रतिलोम संख्या का अस्तित्व);

तुलना सामान्य कानूनों और सिद्धांतों के अनुसार भी की जाती है:

यदि a > b और b > c, तो a > c (संबंध की ट्रांजिटिविटी) और। आदि।

बेशक, सभी अपरिमेय संख्याओं को मूल का उपयोग करके रूपांतरित किया जा सकता है अंकगणितीय आपरेशनस. इसके लिए कोई विशेष नियम नहीं हैं।

इसके अलावा, आर्किमिडीज के स्वयंसिद्ध की कार्रवाई अपरिमेय संख्याओं तक फैली हुई है। यह कहता है कि किन्हीं दो राशियों a और b के लिए, कथन सत्य है कि a को एक पद के रूप में पर्याप्त समय लेने से, b को पार करना संभव है।

प्रयोग

इस तथ्य के बावजूद कि साधारण जीवनअक्सर आपको उनसे निपटना नहीं पड़ता है, अपरिमेय संख्याएं गिनने योग्य नहीं होती हैं। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन वे लगभग अदृश्य हैं। हम हर जगह अपरिमेय संख्याओं से घिरे हुए हैं। सभी के लिए परिचित उदाहरण हैं pi, जो कि 3.1415926... या e है, जो अनिवार्य रूप से आधार है प्राकृतिक, 2.718281828... बीजगणित, त्रिकोणमिति और ज्यामिति में, आपको उनका हर समय उपयोग करना होता है। वैसे, "गोल्डन सेक्शन" का प्रसिद्ध अर्थ, यानी बड़े हिस्से का छोटे से अनुपात, और इसके विपरीत, भी

इस सेट के अंतर्गत आता है। कम ज्ञात "चांदी" - भी।

संख्या रेखा पर, वे बहुत सघन रूप से स्थित होते हैं, ताकि परिमेय राशियों के समुच्चय से संबंधित किन्हीं दो राशियों के बीच एक अपरिमेय मात्रा होना निश्चित है।

इस सेट के साथ अभी भी कई अनसुलझी समस्याएं जुड़ी हुई हैं। अपरिमेयता की माप और किसी संख्या की सामान्यता जैसे मानदंड हैं। गणितज्ञ अपने एक समूह या दूसरे समूह से संबंधित होने के लिए सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों की जांच करना जारी रखते हैं। उदाहरण के लिए, यह माना जाता है कि e एक सामान्य संख्या है, अर्थात इसकी प्रविष्टि में विभिन्न अंकों के आने की प्रायिकता समान है। जहां तक ​​पाई की बात है तो अभी इस पर शोध जारी है। अपरिमेयता का एक माप एक ऐसा मान है जो दर्शाता है कि किसी विशेष संख्या को परिमेय संख्याओं द्वारा कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है।

बीजीय और अनुवांशिक

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, अपरिमेय संख्याओं को सशर्त रूप से बीजीय और अनुवांशिक में विभाजित किया जाता है। सशर्त रूप से, चूंकि, कड़ाई से बोलते हुए, इस वर्गीकरण का उपयोग सेट सी को विभाजित करने के लिए किया जाता है।

इस पद के अंतर्गत सम्मिश्र संख्याएँ छिपी होती हैं, जिनमें वास्तविक या वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं।

तो, एक बीजीय मान एक ऐसा मान है जो एक बहुपद का मूल है जो समान रूप से शून्य के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, 2 का वर्गमूल इस श्रेणी में होगा क्योंकि यह समीकरण x 2 - 2 = 0 का हल है।

अन्य सभी वास्तविक संख्याएँ जो इस शर्त को पूरा नहीं करती हैं, अनुवांशिक कहलाती हैं। इस किस्म में सबसे प्रसिद्ध और पहले से ही उल्लिखित उदाहरण शामिल हैं - संख्या पीआई और प्राकृतिक लॉगरिदम का आधार ई।

दिलचस्प बात यह है कि इस क्षमता में गणितज्ञों द्वारा मूल रूप से न तो एक और न ही दूसरे का अनुमान लगाया गया था, उनकी खोज के कई साल बाद उनकी तर्कहीनता और श्रेष्ठता साबित हुई थी। पाई के लिए, प्रमाण 1882 में दिया गया था और 1894 में सरलीकृत किया गया था, जिसने वृत्त को वर्ग करने की समस्या के बारे में 2,500 साल के विवाद को समाप्त कर दिया। यह अभी भी पूरी तरह से समझ में नहीं आया है, इसलिए आधुनिक गणितज्ञों के पास काम करने के लिए कुछ है। वैसे, इस मूल्य की पहली पर्याप्त सटीक गणना आर्किमिडीज द्वारा की गई थी। उससे पहले, सभी गणनाएँ बहुत अनुमानित थीं।

ई (यूलर या नेपियर संख्या) के लिए, 1873 में इसकी श्रेष्ठता का प्रमाण मिला। इसका उपयोग लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

अन्य उदाहरणों में किसी भी बीजीय गैर-शून्य मानों के लिए साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा मान शामिल हैं।