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लघुगणक को कम करने के सूत्र। प्राकृतिक लघुगणक, ln x फलन

किसी संख्या का लघुगणक एन वजह से ए घातांक कहा जाता है एक्स , जिसके लिए आपको उठाने की जरूरत है ए नंबर पाने के लिए एन

उसे उपलब्ध कराया
,
,

यह लघुगणक की परिभाषा से इस प्रकार है कि
, अर्थात।
- यह समानता मूल लघुगणकीय पहचान है।

आधार 10 के लघुगणक दशमलव लघुगणक कहलाते हैं। के बजाय
लिखना
.

आधार लघुगणक इ प्राकृतिक और निरूपित कहलाते हैं
.

लघुगणक के मूल गुण।

    किसी भी आधार के लिए एकता का लघुगणक शून्य होता है

    उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

3) भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है


कारक
आधार पर लघुगणक से संक्रमण का मापांक कहलाता है ए आधार पर लघुगणक के लिए बी .

गुण 2-5 का उपयोग करते हुए, एक जटिल व्यंजक के लघुगणक को लघुगणक पर सरल अंकगणितीय संक्रियाओं के परिणाम तक कम करना अक्सर संभव होता है।

उदाहरण के लिए,

लघुगणक के ऐसे परिवर्तनों को लघुगणक कहा जाता है। लघुगणक के पारस्परिक परिवर्तन को पोटेंशिएशन कहा जाता है।

अध्याय 2. उच्च गणित के तत्व।

1. सीमाएं

कार्य सीमा
एक परिमित संख्या A है यदि, प्रयास करते समय xx 0 प्रत्येक पूर्व निर्धारित के लिए
, एक संख्या है
कि जैसे ही
, तब
.

एक फ़ंक्शन जिसकी एक सीमा होती है, वह इससे एक असीम राशि से भिन्न होता है:
, जहां - b.m.w., यानी।
.

उदाहरण। समारोह पर विचार करें
.

प्रयास करते समय
, समारोह आप शून्य हो जाता है:

1.1. सीमा के बारे में बुनियादी प्रमेय।

    स्थिर मान की सीमा इस स्थिर मान के बराबर होती है

.

    कार्यों की एक सीमित संख्या के योग (अंतर) की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर है।

    सीमित संख्या में फलनों के गुणनफल की सीमा इन फलनों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

    दो फलनों के भागफल की सीमा इन फलनों की सीमा के भागफल के बराबर होती है यदि हर की सीमा शून्य के बराबर न हो।

उल्लेखनीय सीमाएं

,
, कहाँ पे

1.2. सीमा गणना उदाहरण

हालांकि, सभी सीमाओं की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। अधिक बार, सीमा की गणना प्रकार की अनिश्चितता के प्रकटीकरण के लिए कम हो जाती है: या ।

.

2. एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

चलो एक समारोह है
, खंड पर निरंतर
.

बहस कुछ बढ़ावा मिला
. फिर समारोह बढ़ाया जाएगा
.

तर्क मूल्य फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है
.

तर्क मूल्य
फ़ंक्शन के मान से मेल खाता है।

इसलिये, ।

आइए इस संबंध की सीमा ज्ञात करें
. यदि यह सीमा मौजूद है, तो इसे दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है।

किसी दिए गए फ़ंक्शन के 3 व्युत्पन्न की परिभाषा
तर्क से तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, जब तर्क की वृद्धि मनमाने ढंग से शून्य हो जाती है।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न
निम्नानुसार निरूपित किया जा सकता है:

; ; ; .

परिभाषा 4 किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव।

2.1. व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

किसी कठोर पिंड या भौतिक बिंदु की सीधी गति पर विचार करें।

चलो किसी समय गतिमान बिंदु
दूर था प्रारंभिक स्थिति से
.

कुछ समय के बाद
वह दूर चली गई
. रवैया =- एक भौतिक बिंदु की औसत गति
. आइए हम इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि
.

नतीजतन, समय के संबंध में पथ के व्युत्पन्न को खोजने के लिए भौतिक बिंदु के तात्कालिक वेग का निर्धारण कम हो जाता है।

2.2. व्युत्पन्न का ज्यामितीय मान

मान लीजिए कि हमारे पास ग्राफिक रूप से परिभाषित कुछ फ़ंक्शन है
.

चावल। 1. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

यदि एक
, फिर बिंदु
, वक्र के साथ आगे बढ़ेगा, बिंदु पर पहुंचेगा
.

इसलिये
, अर्थात। व्युत्पन्न का मान तर्क का मान दिया गया है संख्यात्मक रूप से अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा द्वारा बनाए गए कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होती है
.

2.3. बुनियादी भेदभाव सूत्रों की तालिका।

ऊर्जा समीकरण

घातांक प्रकार्य

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन

त्रिकोणमितीय फलन

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

2.4. विभेदन नियम।

का व्युत्पन्न

कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न


दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न


दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न


2.5. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

चलो समारोह
जैसे कि इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

और
, जहां चर एक मध्यवर्ती तर्क है, तो

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न x के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उदाहरण 1।

उदाहरण 2।

3. फ़ंक्शन अंतर।

उसे वही रहने दो
, कुछ अंतराल पर अवकलनीय
जाने दो पर इस फ़ंक्शन का एक व्युत्पन्न है

,

तो आप लिख सकते हैं

(1),

कहाँ पे - एक असीम मात्रा,

क्योंकि अत

समानता के सभी पदों को गुणा करना (1) द्वारा
अपने पास:

कहाँ
- बी.एम.वी. उच्च आदेश।

मूल्य
फ़ंक्शन का अंतर कहा जाता है
और निरूपित

.

3.1. अंतर का ज्यामितीय मूल्य।

चलो समारोह
.

रेखा चित्र नम्बर 2। अंतर का ज्यामितीय अर्थ।

.

जाहिर है, फ़ंक्शन का अंतर
दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर है।

3.2. विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव और अंतर।

अगर वहाँ
, तब
प्रथम व्युत्पन्न कहलाता है।

पहले अवकलज के अवकलज को द्वितीय कोटि का अवकलज कहा जाता है और इसे लिखा जाता है
.

फलन के nवें क्रम का व्युत्पन्न
(n-1) क्रम का व्युत्पन्न कहा जाता है और लिखा जाता है:

.

किसी फ़ंक्शन के अंतर के अंतर को दूसरा अंतर या दूसरे क्रम का अंतर कहा जाता है।

.

.

3.3 विभेदीकरण का उपयोग करके जैविक समस्याओं को हल करना।

कार्य 1। अध्ययनों से पता चला है कि सूक्ष्मजीवों के एक उपनिवेश का विकास कानून का पालन करता है
, कहाँ पे एन - सूक्ष्मजीवों की संख्या (हजारों में), टी - समय (दिन)।

ख) क्या इस अवधि के दौरान कॉलोनी की आबादी बढ़ेगी या घटेगी?

जवाब। कॉलोनी का आकार बढ़ेगा।

टास्क 2. रोगजनक बैक्टीरिया की सामग्री को नियंत्रित करने के लिए झील के पानी का समय-समय पर परीक्षण किया जाता है। द्वारा टी परीक्षण के कुछ दिनों बाद, बैक्टीरिया की सांद्रता अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है

.

झील में बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता कब आएगी और उसमें तैरना संभव होगा?

हल एक फलन अधिकतम या न्यूनतम तक पहुँच जाता है जब उसका अवकलज शून्य होता है।

,

आइए निर्धारित करें कि अधिकतम या न्यूनतम 6 दिनों में होगा। ऐसा करने के लिए, हम दूसरा व्युत्पन्न लेते हैं।


उत्तर: 6 दिनों के बाद बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता होगी।

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे आसान समझाते हैं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) घात के बराबर है \(2\) को \(8\) प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट होता है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:

\(\log_(5)(25)=2\)

क्योंकि \(5^(2)=25\)

\(\log_(3)(81)=4\)

क्योंकि \(3^(4)=81\)

\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)

क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर इसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक के संकेत के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और इस प्रविष्टि को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "पच्चीस का लघुगणक से पाँच के आधार तक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस हद तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा। इसलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? और कौन सी डिग्री किसी भी संख्या को एक इकाई बनाती है? जीरो, बिल्कुल!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस घात तक बढ़ाया जाना चाहिए? प्रथम में - प्रथम अंश में कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ई) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक शक्ति है, और इसलिए वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

फेसला :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)

हमें लघुगणक का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें:
\(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)

\((4\sqrt(2))^(x)=8\)

क्या लिंक \(4\sqrt(2)\) और \(8\)? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो से दर्शाया जा सकता है:
\(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)

\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)

बाईं ओर, हम डिग्री गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)

\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)

आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता के लिए आगे बढ़ते हैं

\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)

समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें

परिणामी जड़ लघुगणक का मान है

जवाब : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लॉगरिदम का आविष्कार क्यों किया गया था?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\)। समानता कार्य करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\)।

अब समीकरण को हल करें: \(3^(x)=8\)। x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे सरल कहेगा: "X दो से थोड़ा कम है।" यह संख्या वास्तव में कैसे लिखी जाए? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, वे लघुगणक के साथ आए। उसके लिए धन्यवाद, यहाँ उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), साथ ही कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन यह छोटा है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहते हैं, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714.....\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

फेसला :

\(4^(5x-4)=10\)

\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर कम नहीं किया जा सकता है। तो यहाँ आप लघुगणक के बिना नहीं कर सकते।

आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें:
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

\(\log_(4)(10)=5x-4\)

समीकरण को पलटें ताकि x बाईं ओर हो

\(5x-4=\log_(4)(10)\)

हमारे सामने। \(4\) को दाईं ओर ले जाएं।

और लघुगणक से डरो मत, इसे एक सामान्य संख्या की तरह मानें।

\(5x=\log_(4)(10)+4\)

समीकरण को 5 . से विभाजित करें

\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

यहाँ हमारी जड़ है। हां, यह असामान्य लग रहा है, लेकिन उत्तर नहीं चुना गया है।

जवाब : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में कहा गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है। और सभी संभावित आधारों में से दो ऐसे होते हैं जो इतनी बार होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु संकेतन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818…\) के बराबर), और लघुगणक \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

अर्थात, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है \(\lg(a)\) लिखा है।

अर्थात, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कुछ संख्या है।

मूल लघुगणकीय पहचान

लॉगरिदम में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "मूल लघुगणकीय पहचान" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह संपत्ति सीधे परिभाषा से आती है। आइए देखें कि यह फॉर्मूला कैसे आया।

लघुगणक की संक्षिप्त परिभाषा को याद करें:

अगर \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह निकला \(a^(\log_(a)(c))=c\) - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के शेष गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ भावों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

फेसला :

जवाब : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है। विलोम भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, इसलिए आप \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता है, तो हम दोनों को किसी भी आधार के साथ लॉगरिदम के रूप में कहीं भी लिख सकते हैं (यहां तक ​​​​कि एक समीकरण में, यहां तक ​​​​कि एक अभिव्यक्ति में, यहां तक ​​​​कि असमानता में भी) - हम केवल वर्ग आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं।

ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में) के रूप में लिखा जा सकता है 64) \) ... यहाँ हम घन में आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और माइनस वन के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

फेसला :

जवाब : \(1\)

    चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एकता के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी के लिए a>0 , a≠1 । प्रमाण सीधा है: चूंकि a 0 =1 किसी भी a के लिए जो उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध समानता लॉग a 1=0 तुरंत लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है।

    आइए मानी गई संपत्ति के आवेदन के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0 , lg1=0 तथा ।

    आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर किसी संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए = 1 a>0 , a≠1 के लिए। वास्तव में, चूंकि a 1 =a किसी भी a के लिए है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार a a=1 लॉग करें।

    लघुगणक के इस गुण का उपयोग करने के उदाहरण हैं log 5 5=1 , log 5.6 5.6 और lne=1 ।

    उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 2 7 =7 , लघुगणक 10 -4 = -4 और .

    दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर हैं: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 । आइए हम उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x a log a y, और चूंकि मुख्य लघुगणकीय पहचान द्वारा a log a x =x और a log a y =y , तो a log a x a log a y =x y । इस प्रकार, a log a x+log a y =x y , जहां से आवश्यक समानता लघुगणक की परिभाषा के अनुसार होती है।

    आइए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3)=लॉग 5 2+लॉग 5 3 और .

    गुणनफल लघुगणक गुण को धनात्मक संख्याओं x 1, x 2, ..., x n की एक परिमित संख्या n के गुणनफल के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (x 1 x 2 ... x n)= लॉग a x 1 + लॉग a x 2 +…+ लॉग a x n . यह समानता आसानी से सिद्ध हो जाती है।

    उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणकों के योग से बदला जा सकता है।

    दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर हैं। भागफल लघुगणक गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है, जहाँ a>0 , a≠1 , x और y कुछ धनात्मक संख्याएँ हैं। इस सूत्र की वैधता उत्पाद के लघुगणक के सूत्र की तरह सिद्ध होती है: चूँकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार।

    लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

    चलिए आगे बढ़ते हैं डिग्री के लघुगणक की संपत्ति. एक डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। हम डिग्री के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखते हैं: लॉग ए बी पी = पी लॉग ए |बी|, जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।

    हम पहले इस गुण को धनात्मक b के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को a log a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी व्यंजक, power गुण के कारण, a p log a b के बराबर होता है। इसलिए हम समानता b p =a p log a b पर पहुंचते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p log a b ।

    यह इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना शेष है। यहाँ हम ध्यान दें कि व्यंजक लॉग a b p ऋणात्मक b के लिए केवल सम घातांक p के लिए अर्थ रखता है (क्योंकि घात b p का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई अर्थ नहीं होगा), और इस स्थिति में b p =|b| पी । फिर बी पी == बी | p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, कहाँ से लॉग a b p =p log a |b| .

    उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 ।

    यह पिछली संपत्ति से इस प्रकार है जड़ से लघुगणक की संपत्ति: nवें अंश के मूल का लघुगणक भिन्न 1/n के गुणनफल और मूल व्यंजक के लघुगणक के बराबर होता है, अर्थात्, , जहां a>0 , a≠1 , n एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, b>0 ।

    सबूत समानता (देखें) पर आधारित है, जो किसी भी सकारात्मक b के लिए मान्य है, और डिग्री के लघुगणक की संपत्ति: .

    इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

    चलिए अब साबित करते हैं लघुगणक के नए आधार में रूपांतरण सूत्रतरह . ऐसा करने के लिए, यह समानता लॉग c b=log a b log c a की वैधता को साबित करने के लिए पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को लॉग a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b के रूप में। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग सी ए लॉग ए बी = लॉग ए बी लॉग सी ए. इस प्रकार, समानता लॉग c b=log a b log c a सिद्ध होता है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है।

    आइए लघुगणक के इस गुण को लागू करने के कुछ उदाहरण दिखाते हैं: और .

    एक नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक में जाने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण का सूत्र कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक के मूल्य को खोजने की अनुमति देता है, जब अन्य आधारों के साथ कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

    अक्सर उपयोग किया जाता है, फॉर्म के c=b के लिए लघुगणक के एक नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र का एक विशेष मामला . यह दर्शाता है कि लॉग a b और लॉग b a – । उदाहरण के लिए, .

    अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला सूत्र है , जो लघुगणक मानों को खोजने के लिए उपयोगी है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि फॉर्म के लॉगरिदम के मूल्य की गणना कैसे की जाती है। हमारे पास है . सूत्र सिद्ध करने के लिए यह लघुगणक के नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है a: .

    यह लघुगणक के तुलनात्मक गुणों को साबित करने के लिए बनी हुई है।

    आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी धनात्मक संख्या b 1 और b 2 , b 1 . के लिए लॉग a b 2 , और a>1 के लिए, असमानता लॉग a b 1

    अंत में, यह लघुगणक के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। हम स्वयं को इसके पहले भाग को सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं, अर्थात हम यह सिद्ध करते हैं कि यदि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 1 सत्य है लॉग ए 1 बी>लॉग ए 2 बी। लघुगणक के इस गुण के शेष कथन इसी सिद्धांत से सिद्ध होते हैं।

    आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 . के लिए 1 log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों से, इन असमानताओं को फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निम्नानुसार है कि लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2, क्रमशः। फिर, समान आधारों वाली घातों के गुणों से, समानताएं b log b a 1 b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, अर्थात a 1 a 2 । इस प्रकार, हम 1 . की स्थिति के विरोधाभास पर पहुंच गए हैं

ग्रंथ सूची।

  • कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
  • गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

a (a > 0, a 1) को आधार बनाने के लिए b (b > 0) का लघुगणकवह घातांक है जिसके लिए आपको b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाने की आवश्यकता है।

b का आधार 10 लघुगणक इस प्रकार लिखा जा सकता है: लॉग (बी), और आधार e का लघुगणक (प्राकृतिक लघुगणक) - एलएन (बी).

लॉगरिदम के साथ समस्याओं को हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है:

लघुगणक के गुण

चार मुख्य हैं लघुगणक के गुण.

मान लीजिए a > 0, a 1, x > 0 और y > 0.

संपत्ति 1. उत्पाद का लघुगणक

उत्पाद का लघुगणकलघुगणक के योग के बराबर है:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

गुण 2. भागफल का लघुगणक

भागफल का लघुगणकलघुगणक के अंतर के बराबर है:

लॉग a (x / y) = लॉग a x - लॉग a y

संपत्ति 3. डिग्री का लघुगणक

डिग्री लघुगणकडिग्री और लघुगणक के गुणनफल के बराबर है:

यदि लघुगणक का आधार घातांक में है, तो दूसरा सूत्र लागू होता है:

गुण 4. जड़ का लघुगणक

यह गुण डिग्री के लघुगणक के गुण से प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि nth डिग्री का मूल 1/n की घात के बराबर होता है:

एक आधार में लघुगणक से दूसरे आधार में लघुगणक में जाने का सूत्र

लॉगरिदम के लिए विभिन्न कार्यों को हल करते समय अक्सर इस सूत्र का भी उपयोग किया जाता है:

विशेष मामला:

लघुगणक की तुलना (असमानता)

मान लीजिए कि हमारे पास समान आधार वाले लॉगरिदम के तहत 2 फ़ंक्शन f(x) और g(x) हैं और उनके बीच एक असमानता का संकेत है:

उनकी तुलना करने के लिए, आपको सबसे पहले लघुगणक के आधार को देखना होगा:

  • यदि a > 0, तो f(x) > g(x) > 0
  • अगर 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

लघुगणक के साथ समस्याओं को कैसे हल करें: उदाहरण

लघुगणक के साथ कार्यटास्क 5 और टास्क 7 में ग्रेड 11 के लिए गणित में यूएसई में शामिल, आप संबंधित अनुभागों में हमारी वेबसाइट पर समाधान के साथ कार्य पा सकते हैं। साथ ही, गणित में कार्यों के बैंक में लघुगणक वाले कार्य पाए जाते हैं। आप साइट पर खोज करके सभी उदाहरण पा सकते हैं।

एक लघुगणक क्या है

स्कूली गणित के पाठ्यक्रम में लघुगणक को हमेशा एक कठिन विषय माना गया है। लघुगणक की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, लेकिन किसी कारण से अधिकांश पाठ्यपुस्तकें उनमें से सबसे जटिल और दुर्भाग्यपूर्ण का उपयोग करती हैं।

हम लघुगणक को सरल और स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। आइए इसके लिए एक टेबल बनाएं:

तो, हमारे पास दो की शक्तियां हैं।

लघुगणक - गुण, सूत्र, कैसे हल करें

यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिसके लिए आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो से चौथी शक्ति बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x का आधार a वह शक्ति है जिसके लिए संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या को उठाया जाना चाहिए।

नोटेशन: लॉग a x \u003d b, जहां a आधार है, x तर्क है, b वास्तव में लॉगरिदम के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 लॉग 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। साथ ही 2 64 = 6 भी लॉग कर सकते हैं, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार से किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है। तो चलिए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ते हैं:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
लॉग 2 2 = 1 लॉग 2 4 = 2 लॉग 2 8 = 3 लॉग 2 16 = 4 लॉग 2 32 = 5 लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक को इतनी आसानी से नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लॉगरिदम खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी भी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक व्यंजक है। सबसे पहले, बहुत से लोग भ्रमित करते हैं कि आधार कहाँ है और तर्क कहाँ है। कष्टप्रद गलतफहमी से बचने के लिए, बस तस्वीर पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद है: लघुगणक शक्ति है, जिसके लिए आपको तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की आवश्यकता है। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है - चित्र में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं यह अद्भुत नियम अपने छात्रों को पहले ही पाठ में बताता हूं - और कोई भ्रम नहीं है।

लघुगणक कैसे गिनें

हमने परिभाषा का पता लगाया - यह सीखना बाकी है कि लॉगरिदम कैसे गिनें, यानी। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य अनुसरण करते हैं:

  1. तर्क और आधार हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा का अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
  2. आधार एकता से अलग होना चाहिए, क्योंकि एक इकाई से किसी भी शक्ति तक अभी भी एक इकाई है। इस वजह से, "दो प्राप्त करने के लिए किसी को किस शक्ति को उठाया जाना चाहिए" का प्रश्न व्यर्थ है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंधों को कहा जाता है मान्य रेंज(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: लॉग a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a 1।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक भी हो सकता है: log 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 -1।

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक व्यंजकों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक के ODZ को जानना आवश्यक नहीं है। समस्याओं के संकलनकर्ताओं द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लॉगरिदमिक समीकरण और असमानताएं चलन में आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। दरअसल, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं, जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना पर विचार करें। इसमें तीन चरण होते हैं:

  1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;
  2. चर b: x = a b के लिए समीकरण हल करें;
  3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय निकलता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। आधार के एक से अधिक होने की आवश्यकता बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणना को बहुत सरल करता है। इसी तरह दशमलव अंशों के साथ: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य में बदल देते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियां होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 5 25

  1. आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

    2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
    लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

  2. उत्तर प्राप्त हुआ: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

  1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
  2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
    log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 b = 3;
  3. उत्तर मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

  1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 16 = 2 4; 1 = 20;
  2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
    लॉग 16 1 = बी ⇒ (2 4) बी = 2 0 ⇒2 4 बी = 2 0 ⇒4 बी = 0 ⇒ बी = 0;
  3. प्रतिक्रिया मिली: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 7 14

  1. आइए आधार और तर्क को सात की घात के रूप में निरूपित करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया गया है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. यह पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;
  3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या दूसरी संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? बहुत आसान - बस इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या एक सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक शक्तियाँ हैं: 8; 48; 81; 35; चौदह।

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक शक्ति नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 2 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ स्वयं हमेशा स्वयं की सटीक शक्तियाँ होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

x तर्क का आधार 10 लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे x प्राप्त करने के लिए 10 को ऊपर उठाना होगा। पदनाम: एलजीएक्स।

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

साधारण लघुगणक के लिए जो कुछ भी सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक मायने में यह दशमलव से भी ज्यादा महत्वपूर्ण है। यह प्राकृतिक लघुगणक है।

x तर्क का आधार e का लघुगणक है, अर्थात। संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या ई को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएनएक्स।

बहुत से लोग पूछेंगे: ई नंबर क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सटीक मान नहीं खोजा और लिखा जा सकता है। यहाँ केवल पहली संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459…

हम यह नहीं समझेंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार एलएन ई = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एकता को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सामान्य लघुगणक के लिए सत्य सभी नियम मान्य हैं।

यह सभी देखें:

लघुगणक। लघुगणक के गुण (लघुगणक की शक्ति)।

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे निरूपित करें?

हम लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हैं।

लॉगरिदम उस शक्ति का एक संकेतक है जिसके लिए लॉगरिदम के संकेत के तहत संख्या प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

इस प्रकार, आधार a के लिए एक लघुगणक के रूप में एक निश्चित संख्या c का प्रतिनिधित्व करने के लिए, लघुगणक के आधार के समान आधार के साथ लघुगणक के संकेत के तहत एक डिग्री रखना आवश्यक है, और इस संख्या c को घातांक में लिखें। :

लघुगणक के रूप में, आप बिल्कुल किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं - धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्णांक, भिन्नात्मक, परिमेय, अपरिमेय:

किसी परीक्षण या परीक्षा की तनावपूर्ण स्थितियों में a और c को भ्रमित न करने के लिए, आप निम्नलिखित नियम को याद रखने के लिए उपयोग कर सकते हैं:

जो नीचे है वह नीचे जाता है, जो ऊपर है वह ऊपर जाता है।

उदाहरण के लिए, आप संख्या 2 को आधार 3 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना चाहते हैं।

हमारे पास दो संख्याएँ हैं - 2 और 3। ये संख्याएँ आधार और घातांक हैं, जिन्हें हम लघुगणक के चिह्न के नीचे लिखेंगे। यह निर्धारित करना बाकी है कि इनमें से कौन सी संख्या नीचे लिखी जानी चाहिए, डिग्री के आधार पर, और कौन सी - ऊपर, घातांक में।

लॉगरिदम के रिकॉर्ड में आधार 3 सबसे नीचे है, जिसका अर्थ है कि जब हम 3 के आधार पर ड्यूस को लघुगणक के रूप में निरूपित करते हैं, तो हम आधार के नीचे 3 भी लिखेंगे।

2 3 से अधिक है। और डिग्री के अंकन में, हम तीन के ऊपर दो को लिखते हैं, अर्थात घातांक में:

लघुगणक। प्रथम स्तर।

लघुगणक

लोगारित्मसकारात्मक संख्या बीवजह से ए, कहाँ पे ए> 0, ए 1, वह घातांक है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी चाहिए। ए, प्राप्त करना बी.

लघुगणक की परिभाषासंक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यह समानता के लिए मान्य है बी> 0, ए> 0, ए 1।उसे आमतौर पर कहा जाता है लॉगरिदमिक पहचान।
किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है लघुगणक

लघुगणक के गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

भाग से भागफल का लघुगणक:

लघुगणक के आधार को बदलना:

डिग्री लघुगणक:

मूल लघुगणक:

शक्ति आधार के साथ लघुगणक:





दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक।

दशमलव लघुगणकसंख्याएँ उस संख्या के आधार 10 लघुगणक को बुलाती हैं और   lg . लिखती हैं बी
प्राकृतिकसंख्याएँ इस संख्या के लघुगणक को आधार पर बुलाती हैं इ, कहाँ पे इएक अपरिमेय संख्या है, लगभग 2.7 के बराबर। साथ ही, वे ln . लिखते हैं बी.

बीजगणित और ज्यामिति पर अन्य नोट्स

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक के मूल गुण

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

एक ही आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: एक x लॉग करें और एक y लॉग करें। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

  1. लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स वाई);
  2. लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र लघुगणक व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ओडीजेड लॉगरिदम मनाया जाता है: ए> 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक a x दिया जाता है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि आधार और लघुगणक के तर्क को आपस में बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे इस तरह कहा जाता है:

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस अंश की संख्या b संख्या a दे दे? यह सही है: यह वही संख्या है a. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम के तर्क से निकाल दिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा से एक वास्तविक कार्य था

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

  1. लॉग ए = 1 है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: इस आधार से किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर है।
  2. लॉग ए 1 = 0 है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

इसकी परिभाषा से व्युत्पन्न। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एघातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना एक्स = एक बी लॉग इन करें, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी = ख।उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या के साथ, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव के संचालनऔर हर संभव तरीके से रूपांतरित करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहां लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

लघुगणक का जोड़ और घटाव।

समान आधार वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक्सऔर आप लॉग इन करें. फिर इसे हटा दें जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

लॉग a x+ लॉग a y= लॉग a (x y);

लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

लॉग ए(एक्स 1 . एक्स 2 . एक्स 3 ... एक्स के) = लॉग एक्स 1 + लॉग एक्स 2 + लॉग एक्स 3 + ... + लॉग ए x k.

से भागफल लघुगणक प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि लॉग ए 1= 0, इसलिए,

लॉग ए 1 /बी= लॉग ए 1 - लॉग एक बी= -लॉग एक बी.

तो एक समानता है:

लॉग ए 1 / बी = - लॉग ए बी।

दो परस्पर पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर केवल चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

लघुगणक 3 9= - लघुगणक 3 1/9 ; लॉग 5 1 / 125 = -लॉग 5 125।

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