अंश किसे कहते हैं। सामान्य भिन्न

भिन्न का अंश और हर। अंशों के प्रकार। आइए भिन्नों के साथ जारी रखें। सबसे पहले, एक छोटी सी चेतावनी - हम, भिन्नों और उनके साथ संबंधित उदाहरणों पर विचार करते हुए, अभी के लिए हम केवल इसके संख्यात्मक प्रतिनिधित्व के साथ काम करेंगे। भिन्नात्मक भी हैं शाब्दिक भाव(संख्याओं के साथ और बिना)।हालाँकि, सभी "सिद्धांत" और नियम उन पर भी लागू होते हैं, लेकिन हम भविष्य में ऐसे भावों के बारे में अलग से बात करेंगे। मैं चरण दर चरण भिन्नों के विषय पर जाने और अध्ययन (याद रखने) की सलाह देता हूं।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना, याद रखना और महसूस करना है कि एक अंश एक संख्या है !!!

सामान्य अंशफॉर्म की एक संख्या है:

"शीर्ष पर" (इस मामले में एम) स्थित संख्या को अंश कहा जाता है, नीचे स्थित संख्या (संख्या n) को हर कहा जाता है। जिन लोगों ने अभी-अभी इस विषय को छुआ है, वे अक्सर भ्रमित हो जाते हैं - नाम क्या है।

यहाँ आपके लिए एक तरकीब है, कैसे हमेशा याद रखना है - अंश कहाँ है, और हर कहाँ है। यह तकनीक मौखिक-आलंकारिक संघ से जुड़ी है। बादल पानी के एक जार की कल्पना करो। यह ज्ञात है कि जैसे ही पानी जमता है, साफ पानी ऊपर रहता है, और मैला (गंदगी) जम जाता है, याद रखें:

CHISSS ऊपर पिघला हुआ पानी (शीर्ष पर CHISSS डालने वाला)

कीचड़ ZZZNNN वें पानी नीचे (ZZZNN Amenator नीचे)

इसलिए, जैसे ही यह याद रखना आवश्यक हो जाता है कि अंश कहाँ है और भाजक कहाँ है, तो उन्होंने तुरंत दृष्टि से बसे हुए पानी का एक जार प्रस्तुत किया, जिसमें शुद्ध जल, और नीचे गंदा पानी. याद रखने के लिए और भी तरकीबें हैं, अगर वे आपकी मदद करती हैं, तो अच्छा है।

साधारण अंशों के उदाहरण:

संख्याओं के बीच क्षैतिज रेखा का क्या अर्थ है? यह एक विभाजन चिन्ह से ज्यादा कुछ नहीं है। यह पता चला है कि एक अंश को विभाजन की क्रिया के साथ एक उदाहरण के रूप में माना जा सकता है। यह क्रिया बस इस रूप में दर्ज की जाती है। अर्थात्, शीर्ष संख्या (अंश) को नीचे की संख्या (भाजक) से विभाजित किया जाता है:

इसके अलावा, रिकॉर्डिंग का एक और रूप है - एक अंश इस तरह लिखा जा सकता है (एक स्लैश के माध्यम से):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 इत्यादि...

हम उपरोक्त भिन्नों को इस प्रकार लिख सकते हैं:

जैसा कि आप जानते हैं, विभाजन का परिणाम संख्या है।

स्पष्ट - इस संख्या का अंश !!!

जैसा कि आप पहले ही देख चुके हैं, एक साधारण भिन्न में, अंश हर से छोटा हो सकता है, हर से बड़ा हो सकता है, और इसके बराबर भी हो सकता है। यहाँ कई हैं महत्वपूर्ण बिंदु, जो बिना किसी सैद्धांतिक तामझाम के सहज रूप से समझने योग्य हैं। उदाहरण के लिए:

1. भिन्न 1 और 3 को 0.5 और 0.01 के रूप में लिखा जा सकता है। चलिए थोड़ा आगे चलते हैं - ये दशमलव भिन्न हैं, हम इनके बारे में थोड़ा नीचे बात करेंगे।

2. भिन्न 4 और 6 के परिणामस्वरूप एक पूर्णांक 45:9=5, 11:1 = 11 प्राप्त होता है।

3. भिन्न 5 परिणामस्वरूप इकाई 155:155 = 1 देता है।

क्या निष्कर्ष स्वयं सुझाते हैं? निम्नलिखित:

1. अंश को हर से विभाजित करने पर एक परिमित संख्या प्राप्त हो सकती है। यह काम नहीं कर सकता है, कॉलम 7 से 13 या 17 को 11 से विभाजित करें - बिल्कुल नहीं! आप अनिश्चित काल के लिए विभाजित कर सकते हैं, लेकिन हम इसके बारे में भी थोड़ा कम बात करेंगे।

2. भिन्न का परिणाम पूर्णांक हो सकता है। इसलिए, हम किसी भी पूर्णांक को भिन्न के रूप में, या बल्कि भिन्नों की एक अनंत श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं, देखिए, ये सभी भिन्न 2 के बराबर हैं:

अभी तक! हम किसी भी पूर्ण संख्या को हमेशा भिन्न के रूप में लिख सकते हैं - यह संख्या स्वयं अंश में होती है, हर में एक:

3. हम हमेशा किसी भी हर के साथ एक इकाई को भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं:

*संकेतित अंक गणना और रूपांतरण में भिन्नों के साथ काम करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

अंशों के प्रकार।

और अब साधारण अंशों के सैद्धांतिक विभाजन के बारे में। वे में विभाजित हैं सही या गलत.

जिस भिन्न का अंश हर से कम हो उसे उचित भिन्न कहते हैं। उदाहरण:

एक भिन्न जिसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, अनुचित भिन्न कहलाता है। उदाहरण:

मिश्रित अंश(मिश्रित संख्या)।

मिश्रित भिन्न वह भिन्न होती है जिसे पूर्ण संख्या और उचित भिन्न के रूप में लिखा जाता है और इसे इस संख्या और इसके भिन्नात्मक भाग के योग के रूप में समझा जाता है। उदाहरण:

मिश्रित भिन्न को हमेशा एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है और इसके विपरीत। चलिए आगे बढ़ते हैं!

दशमलव।

हम उन पर पहले ही बात कर चुके हैं, ये उदाहरण हैं (1) और (3), अब और अधिक विस्तार से। यहां दशमलव के उदाहरण दिए गए हैं: 0.3 0.89 0.001 5.345।

एक भिन्न जिसका हर 10 की घात है, जैसे 10, 100, 1000, इत्यादि, दशमलव कहलाता है। पहले तीन संकेतित भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना कठिन नहीं है:

चौथा एक मिश्रित अंश (मिश्रित संख्या) है:

एक दशमलव भिन्न में निम्नलिखित संकेतन होता है - withपूर्णांक भाग शुरू हुआ, फिर पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का विभाजक एक बिंदु या अल्पविराम था और फिर भिन्नात्मक भाग, भिन्नात्मक भाग के अंकों की संख्या को भिन्नात्मक भाग के आयाम द्वारा कड़ाई से निर्धारित किया जाता है: यदि ये दसवें हैं, भिन्नात्मक भाग को एक अंक के रूप में लिखा जाता है; अगर हजारवां - तीन; दस-हजारवां - चार, आदि।

ये भिन्न परिमित और अनंत हैं।

अंतिम दशमलव उदाहरण: 0.234; 0.87; 34.00005; 5.765.

उदाहरण अंतहीन हैं। उदाहरण के लिए, संख्या पाई एक अनंत दशमलव अंश है, फिर भी - 0.33333333333333…... 0.16666666666…। और दूसरे। साथ ही संख्या 3, 5, 7, आदि से मूल निकालने का परिणाम भी प्राप्त होता है। एक अनंत अंश होगा।

भिन्नात्मक भाग चक्रीय हो सकता है (इसमें एक चक्र होता है), ऊपर दिए गए दो उदाहरण बिल्कुल समान हैं, अधिक उदाहरण:

0.123123123123…… चक्र 123

0.781781781718…… चक्र 781

0.0250102501…. चक्र 02501

इन्हें 0, (123) 0, (781) 0, (02501) के रूप में लिखा जा सकता है।

संख्या पाई एक चक्रीय अंश नहीं है, उदाहरण के लिए, तीन की जड़।

नीचे दिए गए उदाहरणों में, "टर्न ओवर" जैसे शब्द भिन्न लगेंगे - इसका मतलब है कि अंश और हर आपस में जुड़े हुए हैं। वास्तव में, ऐसे अंश का एक नाम होता है - पारस्परिक अंश। पारस्परिक भिन्नों के उदाहरण:

छोटा सारांश! भिन्न हैं:

साधारण (सही और गलत)।

दशमलव (परिमित और अनंत)।

मिश्रित (मिश्रित संख्या)।

बस इतना ही!

निष्ठा से, सिकंदर।

अंश, और जिससे इसे विभाजित किया जाता है वह भाजक है।

भिन्न लिखने के लिए पहले उसका अंश लिखिए, फिर इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचिए और रेखा के नीचे हर लिखिए। अंश और हर को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा को भिन्नात्मक दंड कहते हैं। कभी-कभी इसे तिरछा "/" या "∕" के रूप में दर्शाया जाता है। इस मामले में, अंश रेखा के बाईं ओर लिखा जाता है, और हर को दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अंश "दो-तिहाई" को 2/3 के रूप में लिखा जाएगा। स्पष्टता के लिए, अंश आमतौर पर पंक्ति के शीर्ष पर लिखा जाता है, और हर नीचे, यानी 2/3 के बजाय, आप पा सकते हैं: ।

भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, पहले एक के अंश को गुणा करें अंशोंदूसरे अंकगणित के लिए। परिणाम को नए के अंश में लिखें अंशों. फिर हरों को भी गुणा करें। नए में अंतिम मान निर्दिष्ट करें अंशों. उदाहरण के लिए, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)।

एक भिन्न को दूसरे से भाग देने के लिए, पहले पहले के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। दूसरे भिन्न (भाजक) के साथ भी ऐसा ही करें। या, सभी चरणों को करने से पहले, पहले भाजक को "फ्लिप" करें, यदि यह आपके लिए अधिक सुविधाजनक है: अंश के स्थान पर भाजक होना चाहिए। फिर भाजक के हर को भाजक के नए हर से गुणा करें और अंशों को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)।

स्रोत:

• भिन्नों के लिए बुनियादी कार्य

भिन्नात्मक संख्याएं आपको व्यक्त करने की अनुमति देती हैं अलग रूप सही मूल्यमात्रा। आप अंशों के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं। गणितीय संचालन, जैसा कि पूर्णांकों के साथ होता है: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। निर्णय लेने का तरीका जानने के लिए अंशों, उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना आवश्यक है। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य भाजक। कुछ अंकगणितीय आपरेशनसनिष्पादन के बाद, उन्हें परिणाम के भिन्नात्मक भाग में कमी की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

अनुदेश

संख्याओं को ध्यान से देखें। यदि भिन्नों में दशमलव और अनियमित हैं, तो पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में परिवर्तित करना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या तुम अनुवाद कर सकते हो अंशोंइस रूप में शुरू में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिखना और हर में 10 लगाना। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक भाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। वे भिन्न जिनमें पूरा भाग अलग दिखता है, हर से गुणा करके और परिणाम में अंश जोड़कर गलत रूप की ओर ले जाता है। दिए गए माननया अंश बन जाएगा अंशों. शुरू में गलत से पूरे हिस्से को निकालने के लिए अंशों, अंश को हर से विभाजित करें। से पूरा परिणाम लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, हर बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है। पूर्णांक भाग वाले भिन्नों के लिए, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए अलग-अलग कार्य करना संभव है। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को गलत रूप में परिवर्तित करना:
- 1 2/3 + 2 = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- शब्दों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग योग:
- 1 2/3 + 2 = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

अंशों के साथ के लिए। भाजक के लिए भी ऐसा ही करें। एक को विभाजित करते समय अंशोंएक भिन्न को दूसरे पर लिखें, और फिर उसके अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। उसी समय, पहले का भाजक अंशोंदूसरे के अंश से तदनुसार गुणा किया जाता है। वहीं, दूसरे का एक प्रकार का उलटफेर अंशों(विभक्त)। अंतिम भिन्न दोनों भिन्नों के अंशों और हरों के गुणा के परिणामों से होगी। सीखने में आसान अंशों, "चार-कहानी" के रूप में स्थिति में लिखा गया अंशों. अगर यह दो को अलग करता है अंशों, उन्हें ":" सीमांकक के साथ फिर से लिखें, और सामान्य विभाजन के साथ जारी रखें।

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो इस मामले में सबसे बड़ा संभव है। इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।

टिप्पणी

भिन्नों के साथ अंकगणित न करें जिनमें भिन्न हर हों। ऐसी संख्या चुनें कि जब प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाए, परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

उपयोगी सलाह

भिन्नात्मक संख्याएँ लिखते समय, लाभांश को रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न के अंश के रूप में संदर्भित किया जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलो चावल भिन्न के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1 आधा किलो चावल। यदि किसी भिन्न का हर 10 हो, तो उसे दशमलव भिन्न कहा जाता है। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, इस तरह के अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और हर के मानों को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। पर यह उदाहरण 2 से भाग देना संभव है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू होगा। सुनिश्चित करें कि आप जिन संख्याओं के साथ अंकगणित करने जा रहे हैं, वे उसी रूप में हैं।

एक इकाई के शेयरों और के रूप में दर्शाया गया है \frac(ए)(बी).

भिन्न अंश (ए)- भिन्न की रेखा के ऊपर की संख्या और शेयरों की संख्या जिसमें इकाई को विभाजित किया गया था।

भिन्न भाजक (बी)- भिन्न की रेखा के नीचे की संख्या और यह दर्शाती है कि इकाई को कितने शेयरों में विभाजित किया गया था।

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भिन्न का मूल गुण

अगर ad=bc , तो दो भिन्न \frac(ए)(बी)तथा \frac(सी)(डी)समान माने जाते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न बराबर होंगे \frac35तथा \frac(9)(15), क्योंकि 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)तथा \frac(24)(14), क्योंकि 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 ।

भिन्नों की समानता की परिभाषा से यह इस प्रकार है कि भिन्न बराबर होंगे \frac(ए)(बी)तथा \frac(am)(bm), क्योंकि a(bm)=b(am) गुणन के साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों के उपयोग का एक स्पष्ट उदाहरण है प्राकृतिक संख्याकार्रवाई में।

माध्यम \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- इस तरह दिखता है एक अंश की मूल संपत्ति.

दूसरे शब्दों में, हमें मूल भिन्न के अंश और हर को उसी प्राकृत संख्या से गुणा या भाग देने पर दिए गए के बराबर भिन्न प्राप्त होता है।

अंश में कमीएक भिन्न को बदलने की प्रक्रिया है, जिसमें नया अंश मूल के बराबर होता है, लेकिन एक छोटे अंश और हर के साथ।

भिन्न के मुख्य गुण के आधार पर भिन्नों को कम करने की प्रथा है।

उदाहरण के लिए, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(अंश और हर संख्या 3 से विभाज्य हैं); परिणामी भिन्न को फिर से 5 से विभाजित करके कम किया जा सकता है, अर्थात। \frac(15)(20)=\frac 34.

अपरिवर्तनीय अंशरूप का एक अंश है \ फ़्रेक 34, जहाँ अंश और हर अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं। भिन्न में कमी का मुख्य उद्देश्य भिन्न को अघुलनशील बनाना है।

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

आइए एक उदाहरण के रूप में दो भिन्नों को लें: \frac(2)(3)तथा \frac(5)(8)विभिन्न भाजक 3 और 8 के साथ। इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के लिए और पहले भिन्न के अंश और हर को गुणा करें \frac(2)(3) 8 द्वारा। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). फिर भिन्न के अंश और हर को गुणा करें \frac(5)(8) 3 से। परिणामस्वरूप हमें मिलता है: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). इसलिए, मूल भिन्नों को एक सामान्य हर 24 में घटाया जाता है।

साधारण भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

साधारण भिन्नों का जोड़

क) जब एक ही भाजकपहली भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के अंश में जोड़ा जाता है, जिससे हर समान रहता है। जैसा कि उदाहरण में देखा गया है:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

बी) कब विभिन्न भाजकभिन्नों को पहले एक सामान्य हर में घटाया जाता है, और फिर अंशों को नियम a के अनुसार जोड़ा जाता है):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

साधारण भिन्नों का घटाव

a) समान हर के साथ, पहले भिन्न के अंश से दूसरी भिन्न के अंश को घटाएं, हर को वही छोड़ दें:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

ख) यदि भिन्नों के हर भिन्न हैं, तो पहले भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जाता है, और फिर पैराग्राफ a के अनुसार चरणों को दोहराएं)।

साधारण भिन्नों का गुणन

भिन्नों का गुणन निम्नलिखित नियम का पालन करता है:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

यानी अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करें।

उदाहरण के लिए:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

साधारण भिन्नों का विभाजन

भिन्नों को निम्न प्रकार से विभाजित किया जाता है:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

वह एक अंश है \frac(ए)(बी)एक अंश से गुणा \frac(डी)(सी).

उदाहरण: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

पारस्परिक संख्या

अगर ab=1 , तो संख्या b है रिवर्स नंबरनंबर ए के लिए

उदाहरण: संख्या 9 के लिए, विपरीत है \frac(1)(9), इसलिये 9 \cdot \frac(1)(9)=1, संख्या 5 के लिए - \frac(1)(5), इसलिये 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

दशमलव

दशमलवएक उचित भिन्न है जिसका हर 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n है।

उदाहरण के लिए: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

इसी तरह हर 10 ^ n या मिश्रित संख्याओं के साथ गलत संख्याएँ लिखी जाती हैं।

उदाहरण के लिए: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

दशमलव भिन्न के रूप में, हर के साथ कोई भी साधारण भिन्न जो कि संख्या 10 की एक निश्चित घात का भाजक है, दर्शाया जाता है।

उदाहरण: 5, 100 का भाजक है इसलिए भिन्न \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

दशमलव भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

दशमलव जोड़ना

दो दशमलव अंशों को जोड़ने के लिए, आपको उन्हें व्यवस्थित करने की आवश्यकता है ताकि समान अंक और अल्पविराम के नीचे अल्पविराम एक दूसरे के नीचे दिखाई दें, और फिर अंशों को साधारण संख्याओं के रूप में जोड़ें।

दशमलव का घटाव

यह जोड़ की तरह ही काम करता है।

दशमलव गुणन

गुणा करते समय दशमलव संख्याएंबस गुणा करें दिए गए नंबर, अल्पविराम (प्राकृतिक संख्याओं के रूप में) पर ध्यान न देते हुए, और प्राप्त उत्तर में, दाईं ओर अल्पविराम उतने अंकों को अलग करता है, जितने कुल दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद होते हैं।

आइए 2.7 को 1.3 से गुणा करें। हमारे पास 27 \cdot 13=351 है। हम दो अंकों को दाईं ओर से अल्पविराम से अलग करते हैं (पहली और दूसरी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है; 1+1=2)। परिणामस्वरूप, हमें 2.7 \cdot 1.3=3.51 मिलता है।

यदि परिणाम अल्पविराम से अलग करने के लिए आवश्यक अंकों से कम है, तो लापता शून्य सामने लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए:

10, 100, 1000 से गुणा करने के लिए दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु 1, 2, 3 अंकों को दाईं ओर ले जाना आवश्यक है (यदि आवश्यक हो, निश्चित संख्याशून्य)।

उदाहरण के लिए: 1.47 \cdot 10\,000 = 14,700।

दशमलव विभाजन

एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे एक प्राकृतिक संख्या को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना। पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा होने के बाद निजी में अल्पविराम लगाया जाता है।

यदि लाभांश का पूर्णांक भाग भाजक से कम है, तो उत्तर शून्य पूर्णांक है, उदाहरण के लिए:

दशमलव को दशमलव से विभाजित करने पर विचार करें। मान लें कि हमें 2.576 को 1.12 से भाग देना है। सबसे पहले, हम भाज्य और भिन्न के भाजक को 100 से गुणा करते हैं, अर्थात, हम भाज्य में दायीं ओर अल्पविराम और भाजक को दशमलव बिंदु के बाद भाजक में जितने वर्ण हैं (इस उदाहरण में) ले जाते हैं , दो)। फिर आपको अंश 257.6 को प्राकृतिक संख्या 112 से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात, समस्या पहले से ही विचार किए गए मामले में कम हो गई है:

ऐसा होता है कि एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने पर अंतिम दशमलव अंश हमेशा प्राप्त नहीं होता है। परिणाम एक अनंत दशमलव है। ऐसे मामलों में, साधारण भिन्नों पर जाएँ।

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

यह आलेख निम्न से संबंधित है सामान्य भिन्न. यहाँ हम पूर्ण के भिन्न की अवधारणा से परिचित होंगे, जो हमें एक साधारण भिन्न की परिभाषा की ओर ले जाएगी। इसके बाद, हम साधारण भिन्नों के लिए स्वीकृत अंकन पर ध्यान देंगे और भिन्नों के उदाहरण देंगे, जैसे भिन्न के अंश और हर के बारे में। उसके बाद, हम सही और गलत, सकारात्मक और नकारात्मक अंशों की परिभाषा देंगे, और निर्देशांक किरण पर भिन्नात्मक संख्याओं की स्थिति पर भी विचार करेंगे। अंत में, हम मुख्य क्रियाओं को भिन्नों के साथ सूचीबद्ध करते हैं।

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पूरे के शेयर

पहले हम परिचय शेयर अवधारणा.

आइए मान लें कि हमारे पास कोई वस्तु है जो कई बिल्कुल समान (अर्थात, बराबर) भागों से बनी है। स्पष्टता के लिए, आप कल्पना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सेब कई टुकड़ों में काटा जाता है समान भाग, या एक नारंगी, जिसमें कई समान स्लाइस होते हैं। इन समान भागों में से प्रत्येक जो संपूर्ण वस्तु का निर्माण करता है, कहलाता है कुल का हिस्साया केवल शेयरों.

ध्यान दें कि शेयर अलग हैं। आइए इसे समझाते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास दो सेब हैं। आइए पहले सेब को दो बराबर भागों में काट लें, और दूसरे को 6 बराबर भागों में काट लें। यह स्पष्ट है कि पहले सेब का हिस्सा दूसरे सेब के हिस्से से अलग होगा।

संपूर्ण वस्तु बनाने वाले शेयरों की संख्या के आधार पर, इन शेयरों के अपने नाम होते हैं। आइए विश्लेषण करें नाम साझा करें. यदि वस्तु में दो भाग होते हैं, तो उनमें से किसी को भी संपूर्ण वस्तु का एक दूसरा भाग कहा जाता है; यदि वस्तु में तीन भाग होते हैं, तो उनमें से किसी को एक तिहाई भाग कहा जाता है, और इसी तरह।

एक सेकंड बीट का है खास नाम - आधा. एक तिहाई कहा जाता है तीसरा, और एक चौगुनी - त्रिमास.

संक्षिप्तता के लिए, निम्नलिखित शेयर पदनाम. एक सेकंड शेयर को या 1/2, एक तिहाई शेयर - के रूप में या 1/3 के रूप में नामित किया गया है; एक चौथाई हिस्सा - लाइक या 1/4, इत्यादि। ध्यान दें कि एक क्षैतिज पट्टी के साथ अंकन अधिक बार उपयोग किया जाता है। सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए एक और उदाहरण दें: प्रविष्टि पूरे के एक सौ साठ-सातवें हिस्से को दर्शाती है।

शेयर की अवधारणा स्वाभाविक रूप से वस्तुओं से लेकर परिमाण तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, लंबाई के उपायों में से एक मीटर है। मीटर से कम की लंबाई मापने के लिए, मीटर के अंशों का उपयोग किया जा सकता है। तो आप उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, आधा मीटर या मीटर का दसवां या हजारवां हिस्सा। अन्य मात्राओं के शेयरों को इसी तरह लागू किया जाता है।

सामान्य भिन्न, परिभाषा और भिन्नों के उदाहरण

उपयोग किए जाने वाले शेयरों की संख्या का वर्णन करने के लिए सामान्य भिन्न. आइए एक उदाहरण दें जो हमें साधारण भिन्नों की परिभाषा तक पहुंचने की अनुमति देगा।

मान लीजिए कि एक संतरे में 12 भाग होते हैं। इस मामले में प्रत्येक हिस्सा पूरे संतरे के बारहवें हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है, यानी। आइए दो बीट्स को , तीन बीट्स को , और इसी तरह, 12 बीट्स को के रूप में निरूपित करें। इनमें से प्रत्येक प्रविष्टि को साधारण भिन्न कहा जाता है।

अब चलिए एक जनरल देते हैं सामान्य अंशों की परिभाषा.

साधारण भिन्नों की आवाज की परिभाषा हमें लाने की अनुमति देती है सामान्य अंशों के उदाहरण: 5/10, 21/1, 9/4,। और ये रहे रिकॉर्ड साधारण भिन्नों की ध्वनि परिभाषा में फिट नहीं होते, अर्थात वे साधारण भिन्न नहीं हैं।

मीटर और विभाजक

सुविधा के लिए, साधारण भिन्नों में हम भेद करते हैं मीटर और विभाजक.

परिभाषा।

मीटरसाधारण भिन्न (m/n) एक प्राकृत संख्या m है।

परिभाषा।

भाजकसाधारण भिन्न (m/n) एक प्राकृत संख्या n है।

तो, अंश फ्रैक्शन बार (स्लैश के बाईं ओर) के ऊपर स्थित होता है, और हर फ्रैक्शन बार (स्लैश के दाईं ओर) के नीचे होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक साधारण भिन्न 17/29 है, इस भिन्न का अंश संख्या 17 है, और हर संख्या 29 है।

यह एक साधारण अंश के अंश और हर में निहित अर्थ पर चर्चा करना बाकी है। भिन्न का हर दिखाता है कि एक आइटम में कितने शेयर होते हैं, अंश, बदले में, ऐसे शेयरों की संख्या को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 12/5 के हर 5 का अर्थ है कि एक वस्तु में पाँच भाग होते हैं, और अंश 12 का अर्थ है कि ऐसे 12 भाग लिए गए हैं।

भाजक के साथ भिन्न के रूप में प्राकृत संख्या 1

एक सामान्य भिन्न का हर हो सकता है एक के बराबर. इस मामले में, हम मान सकते हैं कि वस्तु अविभाज्य है, दूसरे शब्दों में, यह कुछ संपूर्ण है। इस तरह के एक अंश का अंश इंगित करता है कि कितने पूरे आइटम लिए गए हैं। इस प्रकार, m/1 के रूप के एक साधारण अंश का एक प्राकृत संख्या m का अर्थ होता है। इस प्रकार हमने समानता m/1=m की पुष्टि की।

आइए अंतिम समानता को इस तरह फिर से लिखें: m=m/1 । यह समानता हमें किसी भी प्राकृत संख्या m को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, संख्या 4 भिन्न 4/1 है, और संख्या 103498 भिन्न 103498/1 है।

इसलिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या m को साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें हर 1 m/1 है, और m/1 के रूप के किसी भी साधारण अंश को प्राकृतिक संख्या m से बदला जा सकता है।.

भाग चिन्ह के रूप में भिन्न बार

n शेयरों के रूप में मूल वस्तु का प्रतिनिधित्व n बराबर भागों में विभाजन से ज्यादा कुछ नहीं है। आइटम को n शेयरों में विभाजित करने के बाद, हम इसे n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित कर सकते हैं - प्रत्येक को एक हिस्सा प्राप्त होगा।

यदि हमारे पास शुरू में m समान वस्तुएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक को n शेयरों में विभाजित किया गया है, तो हम इन m वस्तुओं को n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित कर सकते हैं, प्रत्येक व्यक्ति को m वस्तुओं में से प्रत्येक से एक हिस्सा दे सकते हैं। इस मामले में, प्रत्येक व्यक्ति के पास m शेयर 1/n होंगे, और m शेयर 1/n एक साधारण अंश m/n देता है। इस प्रकार, उभयनिष्ठ भिन्न m/n का उपयोग n व्यक्तियों के बीच m मदों के विभाजन को निरूपित करने के लिए किया जा सकता है।

इसलिए हमें साधारण भिन्नों और विभाजन के बीच एक स्पष्ट संबंध मिला (प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन का सामान्य विचार देखें)। यह संबंध इस प्रकार व्यक्त किया गया है: भिन्न के दंड को भाग चिन्ह के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात् m/n=m:n.

एक साधारण भिन्न की सहायता से आप उन दो प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम लिख सकते हैं जिनका विभाजन किसी पूर्णांक से नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5 सेब को 8 लोगों से विभाजित करने के परिणाम को 5/8 के रूप में लिखा जा सकता है, यानी प्रत्येक को एक सेब का पांच आठवां हिस्सा मिलेगा: 5:8=5/8.

समान और असमान साधारण भिन्न, भिन्नों की तुलना

एक काफी स्वाभाविक क्रिया है सामान्य भिन्नों की तुलना, क्योंकि यह स्पष्ट है कि एक संतरे का 1/12 5/12 से भिन्न होता है, और एक सेब का 1/6 इस सेब के अन्य 1/6 के समान होता है।

दो साधारण भिन्नों की तुलना करने के परिणामस्वरूप, एक परिणाम प्राप्त होता है: भिन्न या तो बराबर होते हैं या बराबर नहीं होते हैं। पहले मामले में हमारे पास है समान उभयनिष्ठ भिन्न, और दूसरे में असमान सामान्य अंश. आइए समान और असमान साधारण भिन्नों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

बराबर, यदि समानता a d=b c सत्य है।

परिभाषा।

दो उभयनिष्ठ भिन्न a/b और c/d बराबर नहीं, यदि समानता a d=b c संतुष्ट नहीं है।

यहाँ समान भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 1/2 भिन्न 2/4 के बराबर है, क्योंकि 1 4=2 2 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के नियम और उदाहरण देखें)। स्पष्टता के लिए, आप दो समान सेबों की कल्पना कर सकते हैं, पहला आधा में काटा जाता है, और दूसरा - 4 शेयरों में। जाहिर सी बात है कि एक सेब का दो-चौथाई हिस्सा 1/2 हिस्सा होता है। समान उभयनिष्ठ भिन्नों के अन्य उदाहरण भिन्न 4/7 और 36/63 और भिन्नों का युग्म 81/50 और 1620/1000 हैं।

और साधारण भिन्न 4/13 और 5/14 बराबर नहीं हैं, क्योंकि 4 14=56, और 13 5=65, यानी 4 14≠13 5. असमान उभयनिष्ठ भिन्नों का एक अन्य उदाहरण भिन्न 17/7 और 6/4 हैं।

यदि, दो साधारण भिन्नों की तुलना करने पर, यह पता चलता है कि वे समान नहीं हैं, तो आपको यह पता लगाने की आवश्यकता हो सकती है कि इनमें से कौन-सी साधारण भिन्न कमदूसरा, और जो अधिक. यह पता लगाने के लिए साधारण भिन्नों की तुलना करने के नियम का उपयोग किया जाता है, जिसका सार यह है कि तुलना की गई भिन्नों को एक समान हर में लाया जाए और फिर अंशों की तुलना की जाए। इस विषय पर विस्तृत जानकारी लेख में अंशों की तुलना में एकत्र की गई है: नियम, उदाहरण, समाधान।

भिन्नात्मक संख्या

प्रत्येक अंश एक रिकॉर्ड है भिन्नात्मक संख्या. अर्थात्, भिन्न, भिन्नात्मक संख्या का केवल एक "कोश" है, इसका दिखावट, और संपूर्ण सिमेंटिक लोड एक भिन्नात्मक संख्या में सटीक रूप से समाहित है। हालांकि, संक्षिप्तता और सुविधा के लिए, एक भिन्न और एक भिन्नात्मक संख्या की अवधारणा को जोड़ दिया जाता है और इसे केवल एक भिन्न कहा जाता है। यहां एक प्रसिद्ध कहावत को स्पष्ट करना उचित है: हम कहते हैं एक अंश - हमारा मतलब है भिन्नात्मक संख्या, हम एक भिन्नात्मक संख्या कहते हैं - हमारा मतलब भिन्न से है।

निर्देशांक बीम पर भिन्न

साधारण भिन्नों के संगत सभी भिन्नात्मक संख्याओं का अपना होता है अनोखी जगहपर, अर्थात्, निर्देशांक किरण के भिन्नों और बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

अंश m / n के अनुरूप समन्वय किरण पर बिंदु तक पहुंचने के लिए, मूल से m खंडों को सकारात्मक दिशा में स्थगित करना आवश्यक है, जिसकी लंबाई इकाई खंड का 1 / n है। ऐसे खंड एक खंड को n बराबर भागों में विभाजित करके प्राप्त किए जा सकते हैं, जो हमेशा एक कंपास और शासक का उपयोग करके किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए निर्देशांक किरण पर बिंदु M दिखाते हैं, जो भिन्न 14/10 के संगत है। बिंदु O पर समाप्त होने वाले खंड की लंबाई और उसके निकटतम बिंदु, एक छोटे डैश के साथ चिह्नित, इकाई खंड का 1/10 है। निर्देशांक 14/10 वाले बिंदु को ऐसे 14 खंडों द्वारा मूल बिंदु से हटा दिया जाता है।

समान भिन्न एक ही भिन्नात्मक संख्या के संगत होते हैं, अर्थात्, समान भिन्ननिर्देशांक किरण पर एक ही बिंदु के निर्देशांक हैं। उदाहरण के लिए, एक बिंदु समन्वय किरण पर निर्देशांक 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 से मेल खाता है, क्योंकि सभी लिखित अंश समान हैं (यह आधे इकाई खंड की दूरी पर स्थित है, स्थगित कर दिया गया है) मूल से सकारात्मक दिशा में)।

एक क्षैतिज और दाएँ-निर्देशित निर्देशांक किरण पर, वह बिंदु जिसका निर्देशांक एक बड़ा अंश होता है, उस बिंदु के दाईं ओर स्थित होता है जिसका निर्देशांक एक छोटा अंश होता है। इसी तरह, छोटे निर्देशांक वाला बिंदु बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर स्थित होता है।

उचित और अनुचित भिन्न, परिभाषाएं, उदाहरण

साधारण भिन्नों में, हैं उचित और अनुचित अंश. इस विभाजन में मूल रूप से अंश और हर की तुलना होती है।

आइए उचित और अनुचित साधारण भिन्नों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

उचित अंशएक साधारण भिन्न है, जिसका अंश हर से छोटा है, अर्थात यदि m

परिभाषा।

अनुचित अंशएक साधारण भिन्न है जिसमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, अर्थात यदि m≥n है, तो साधारण भिन्न अनुचित है।

यहाँ उचित भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 1/4 , , 32 765/909 003 । दरअसल, लिखित साधारण भिन्नों में से प्रत्येक में अंश हर से कम होता है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना लेख देखें), इसलिए वे परिभाषा के अनुसार सही हैं।

और यहाँ अनुचित भिन्नों के उदाहरण हैं: 9/9, 23/4,। दरअसल, लिखित साधारण भिन्नों में से पहले का अंश हर के बराबर होता है, और शेष भिन्नों में अंश हर से बड़ा होता है।

भिन्नों की एक के साथ तुलना करने के आधार पर उचित और अनुचित भिन्नों की परिभाषाएँ भी हैं।

परिभाषा।

सहीअगर यह एक से कम है।

परिभाषा।

उभयनिष्ठ भिन्न कहलाती है गलत, यदि यह या तो एक के बराबर है या 1 से बड़ा है।

अतः साधारण भिन्न 7/11 सही है, क्योंकि 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , और 27/27=1 ।

आइए इस बारे में सोचें कि भाजक से अधिक या उसके बराबर वाले साधारण अंश इस तरह के नाम के लायक कैसे हैं - "गलत"।

आइए एक उदाहरण के रूप में अनुचित भिन्न 9/9 को लें। इस भिन्न का अर्थ है कि किसी वस्तु के नौ भाग लिए जाते हैं, जिसमें नौ भाग होते हैं। यानी उपलब्ध नौ शेयरों में से हम एक पूरा विषय बना सकते हैं। अर्थात्, अनुचित भिन्न 9/9 अनिवार्य रूप से एक संपूर्ण वस्तु देता है, अर्थात 9/9=1। सामान्य तौर पर, हर के बराबर अंश के साथ अनुचित अंश एक पूरी वस्तु को दर्शाते हैं, और इस तरह के अंश को प्राकृतिक संख्या 1 से बदला जा सकता है।

अब अनुचित भिन्नों 7/3 और 12/4 पर विचार करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन सात तिहाई से हम दो पूरी वस्तुएं बना सकते हैं (एक पूरी वस्तु 3 शेयर है, फिर दो पूरी वस्तुओं को बनाने के लिए हमें 3 + 3 = 6 शेयर चाहिए) और अभी भी एक तिहाई हिस्सा होगा। यही है, अनुचित अंश 7/3 अनिवार्य रूप से 2 आइटम और यहां तक ​​​​कि ऐसी वस्तु के हिस्से का 1/3 भी है। और बारह तिमाहियों से हम तीन संपूर्ण वस्तुएं (तीन वस्तुएं जिनमें से प्रत्येक में चार भाग हैं) बना सकते हैं। अर्थात्, भिन्न 12/4 का अर्थ अनिवार्य रूप से 3 संपूर्ण वस्तुएँ हैं।

विचार किए गए उदाहरण हमें निम्नलिखित निष्कर्ष पर ले जाते हैं: अनुचित अंशों को या तो प्राकृतिक संख्याओं से बदला जा सकता है, जब अंश को पूरी तरह से हर से विभाजित किया जाता है (उदाहरण के लिए, 9/9 = 1 और 12/4 = 3), या का योग एक प्राकृत संख्या और एक उचित भिन्न, जब अंश हर से समान रूप से विभाज्य नहीं है (उदाहरण के लिए, 7/3=2+1/3 )। शायद यह वही है जो अनुचित अंश इस तरह के नाम के लायक हैं - "गलत"।

विशेष रूप से रुचि एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित अंश के योग के रूप में एक अनुचित अंश का प्रतिनिधित्व है (7/3=2+1/3)। इस प्रक्रिया को एक अनुचित अंश से एक पूर्णांक भाग का निष्कर्षण कहा जाता है, और एक अलग और अधिक सावधानीपूर्वक विचार करने योग्य है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के बीच बहुत घनिष्ठ संबंध है।

सकारात्मक और नकारात्मक अंश

प्रत्येक साधारण भिन्न एक धनात्मक भिन्नात्मक संख्या से मेल खाती है (लेख सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ देखें)। अर्थात् साधारण भिन्न हैं सकारात्मक अंश. उदाहरण के लिए, साधारण भिन्न 1/5, 56/18, 35/144 धनात्मक भिन्न हैं। जब किसी भिन्न की सकारात्मकता पर जोर देना आवश्यक होता है, तो उसके सामने एक प्लस चिन्ह लगाया जाता है, उदाहरण के लिए, +3/4, +72/34।

यदि आप एक साधारण भिन्न के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं, तो यह प्रविष्टि ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्या के अनुरूप होगी। इस मामले में, कोई बात कर सकता है ऋणात्मक भिन्न. ऋणात्मक भिन्नों के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं: −6/10 , −65/13 , −1/18 ।

धनात्मक और ऋणात्मक भिन्न m/n और −m/n विपरीत संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/7 और -5/7 विपरीत भिन्न हैं।

धनात्मक भिन्न, जैसे सामान्य रूप से धनात्मक संख्याएँ, वृद्धि, आय, कुछ मूल्य में ऊपर की ओर परिवर्तन आदि को दर्शाती हैं। नकारात्मक अंश व्यय, ऋण, कमी की दिशा में किसी भी मूल्य में परिवर्तन के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक अंश -3/4 की व्याख्या ऋण के रूप में की जा सकती है, जिसका मूल्य 3/4 है।

क्षैतिज और दाएं-निर्देशित ऋणात्मक अंश संदर्भ बिंदु के बाईं ओर स्थित हैं। निर्देशांक रेखा के वे बिंदु जिनके निर्देशांक धनात्मक भिन्न m/n और ऋणात्मक भिन्न −m/n हैं, मूल बिंदु से समान दूरी पर स्थित हैं, लेकिन बिंदु O के विपरीत दिशा में स्थित हैं।

यहां यह फॉर्म 0/एन के अंशों का उल्लेख करने योग्य है। ये भिन्न संख्या शून्य के बराबर हैं, अर्थात 0/n=0 ।

धनात्मक भिन्न, ऋणात्मक भिन्न और 0/n भिन्न मिलकर परिमेय संख्याएँ बनाते हैं।

भिन्न के साथ क्रिया

साधारण भिन्नों के साथ एक क्रिया - भिन्नों की तुलना करना - हम पहले ही ऊपर विचार कर चुके हैं। चार और अंकगणित परिभाषित हैं भिन्नों के साथ संचालन- भिन्नों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग। आइए उनमें से प्रत्येक पर ध्यान दें।

भिन्न के साथ क्रियाओं का सामान्य सार प्राकृतिक संख्याओं के साथ संगत क्रियाओं के सार के समान है। आइए एक सादृश्य बनाएं।

भिन्नों का गुणनएक क्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसमें भिन्न से भिन्न पाया जाता है। स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए हमारे पास एक सेब का 1/6 हिस्सा है और हमें उसका 2/3 भाग लेना है। हमें जिस भाग की आवश्यकता है वह भिन्नों को 1/6 और 2/3 से गुणा करने का परिणाम है। दो साधारण भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक साधारण भिन्न होता है (जो किसी विशेष मामले में एक प्राकृतिक संख्या के बराबर होता है)। आगे हम भिन्नों के गुणन - नियम, उदाहरण और समाधान के लेख की जानकारी का अध्ययन करने की सलाह देते हैं।

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• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

किसी इकाई का एक भाग या उसके कई भाग साधारण या साधारण भिन्न कहलाते हैं। जितने बराबर भागों में इकाई विभाजित होती है उसे हर कहा जाता है, और लिए गए भागों की संख्या को अंश कहा जाता है। अंश इस प्रकार लिखा जाता है:

इस मामले में, ए अंश है, बी हर है।

यदि अंश हर से छोटा है, तो भिन्न 1 से कम है और इसे उचित भिन्न कहा जाता है। यदि अंश हर से बड़ा है, तो भिन्न 1 से बड़ा है, तो भिन्न को अनुचित भिन्न कहा जाता है।

यदि किसी भिन्न का अंश और हर बराबर हो, तो भिन्न बराबर होती है।

1. यदि अंश को हर से विभाजित किया जा सकता है, तो यह भिन्न भाग के भागफल के बराबर होता है:

यदि विभाजन शेष के साथ किया जाता है, तो इस अनुचित अंश को मिश्रित संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

तब 9 एक अधूरा भागफल है (मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग),
1 - शेष (आंशिक भाग का अंश),
5 भाजक है।

मिश्रित संख्या को भिन्न में बदलने के लिए, मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग को हर से गुणा करें और भिन्नात्मक भाग का अंश जोड़ें।

प्राप्त परिणाम एक साधारण भिन्न का अंश होगा, और हर वही रहेगा।

भिन्न के साथ क्रिया

अंश विस्तार।एक भिन्न का मान नहीं बदलता है यदि उसके अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है।
उदाहरण के लिए:

अंश में कमी।एक भिन्न का मान नहीं बदलता है यदि उसके अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से विभाजित किया जाता है।
उदाहरण के लिए:

अंश तुलना।समान अंश वाले दो भिन्नों में से, बड़ा अंश वह होता है जिसमें छोटे भाजक होते हैं:

समान हर वाले दो भिन्नों में से एक बड़ा अंश वाला बड़ा होता है:

अलग-अलग अंश और हर वाले भिन्नों की तुलना करने के लिए, उनका विस्तार करना आवश्यक है, अर्थात उन्हें एक सामान्य हर में लाना। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित भिन्नों पर विचार करें:

भिन्नों का जोड़ और घटाव।यदि भिन्नों के हर समान हैं, तो भिन्नों को जोड़ने के लिए, उनके अंशों को जोड़ना आवश्यक है, और भिन्नों को घटाने के लिए, उनके अंशों को घटाना आवश्यक है। परिणामी योग या अंतर परिणाम का अंश होगा, जबकि हर वही रहेगा। यदि भिन्नों के हर भिन्न हैं, तो आपको पहले भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना होगा। मिश्रित संख्याओं को जोड़ने पर उनके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है। मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में बदलना होगा, फिर एक दूसरे से घटाना होगा, और फिर यदि आवश्यक हो, तो परिणाम को मिश्रित संख्या के रूप में लाना होगा।

भिन्नों का गुणन. भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को दूसरे से विभाजित करना होगा।

भिन्नों का विभाजन. किसी संख्या को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको उस संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

दशमलवएक को दस, एक सौ, एक हजार, आदि से विभाजित करने का परिणाम है। भागों। पहले संख्या का पूर्णांक भाग लिखा जाता है, फिर दशमलव बिंदु को दाईं ओर रखा जाता है। दशमलव बिंदु के बाद के पहले अंक का अर्थ है दहाई की संख्या, दूसरा - सौवें की संख्या, तीसरा - हजारवें की संख्या, आदि। दशमलव बिंदु के बाद की संख्या को दशमलव स्थान कहा जाता है।

उदाहरण के लिए:

दशमलव गुण

गुण:

• यदि दायीं ओर शून्य जोड़ दिया जाए तो दशमलव भिन्न नहीं बदलता है: 4.5 = 4.5000।
• यदि दशमलव भिन्न के अंत में स्थित शून्यों को हटा दिया जाए तो दशमलव अंश नहीं बदलता है: 0.0560000 = 0.056।
• दशमलव 10, 100, 1000, इत्यादि पर बढ़ता है। बार, यदि आप दशमलव बिंदु को एक, दो, तीन, आदि पर ले जाते हैं। दाईं ओर की स्थिति: 4.5 45 (अंश 10 गुना बढ़ गया है)।
• दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से घटाया जाता है। बार, यदि आप दशमलव बिंदु को एक, दो, तीन, आदि पर ले जाते हैं। बाईं ओर की स्थिति: 4.5 0.45 (अंश 10 गुना कम हो गया है)।

एक आवधिक दशमलव में अंकों का एक असीम दोहराव वाला समूह होता है जिसे एक अवधि कहा जाता है: 0.321321321321…=0,(321)

दशमलव के साथ संचालन

दशमलवों को जोड़ना और घटाना उसी तरह किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं को जोड़ना और घटाना, आपको बस संबंधित दशमलव स्थानों को एक के नीचे एक लिखना होगा।
उदाहरण के लिए:

दशमलव भिन्नों का गुणन कई चरणों में किया जाता है:

• हम दशमलव बिंदु को ध्यान में रखे बिना दशमलव को पूर्णांक के रूप में गुणा करते हैं।
• नियम लागू होता है: उत्पाद में दशमलव स्थानों की संख्या सभी कारकों में दशमलव स्थानों के योग के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए:

गुणनखंडों में दशमलव स्थानों की संख्या का योग है: 2+1=3. अब आपको परिणामी संख्या के अंत से 3 अंक गिनने और दशमलव बिंदु: 0.675 डालने की आवश्यकता है।

दशमलव का विभाजन। एक दशमलव को एक पूर्णांक से विभाजित करना: यदि लाभांश भाजक से कम है, तो आपको भागफल के पूर्णांक भाग में शून्य लिखना होगा और उसके बाद एक दशमलव बिंदु रखना होगा। फिर, लाभांश के दशमलव बिंदु को ध्यान में रखे बिना, भिन्नात्मक भाग के अगले अंक को उसके पूर्णांक भाग में जोड़ें और फिर से भाजक के साथ परिणामी पूर्णांक भाग की तुलना करें। यदि नई संख्या फिर से भाजक से कम है, तो संक्रिया को दोहराया जाना चाहिए। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक परिणामी लाभांश भाजक से अधिक न हो जाए। उसके बाद, पूर्णांकों के रूप में विभाजन किया जाता है। यदि भाजक भाजक से बड़ा या उसके बराबर है, तो पहले हम उसके पूर्णांक भाग को विभाजित करते हैं, भागफल में भागफल लिखते हैं और एक दशमलव बिंदु डालते हैं। उसके बाद, विभाजन जारी रहता है, जैसा कि पूर्णांकों के मामले में होता है।

एक दशमलव अंश को दूसरे में विभाजित करना: सबसे पहले, भाजक और भाजक में दशमलव बिंदुओं को भाजक में दशमलव स्थानों की संख्या से स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात, हम भाजक को पूर्णांक बनाते हैं, और ऊपर वर्णित क्रियाएं की जाती हैं।

एक दशमलव अंश को एक साधारण अंश में बदलने के लिए, दशमलव बिंदु के बाद की संख्या को अंश के रूप में लेना आवश्यक है, और दस की k-th घात को हर के रूप में लें (k दशमलव स्थानों की संख्या है)। गैर-शून्य पूर्णांक भाग को सामान्य अंश में संरक्षित किया जाता है; शून्य पूर्णांक भाग छोड़ा गया है।
उदाहरण के लिए:

एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, भाग के नियमों के अनुसार अंश को हर से विभाजित करना आवश्यक है।

एक प्रतिशत एक इकाई का सौवां हिस्सा है, उदाहरण के लिए: 5% का मतलब 0.05 है। अनुपात एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने का भागफल है। अनुपात दो अनुपातों की समानता है।

उदाहरण के लिए:

अनुपात का मुख्य गुण: अनुपात के चरम सदस्यों का गुणनफल इसके मध्य सदस्यों के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात 5x30 = 6x25। दो परस्पर निर्भर राशियों को आनुपातिक कहा जाता है यदि उनकी मात्राओं का अनुपात अपरिवर्तित रहता है (आनुपातिकता गुणांक)।

इस प्रकार, निम्नलिखित अंकगणितीय संचालन प्रकट होते हैं।
उदाहरण के लिए:

परिमेय संख्याओं के समुच्चय में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ (पूर्ण और भिन्नात्मक) और शून्य शामिल हैं। गणित में अपनाई गई परिमेय संख्याओं की एक अधिक सटीक परिभाषा इस प्रकार है: एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि इसे फॉर्म के एक साधारण इरेड्यूसिबल अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है: जहां ए और बी पूर्णांक हैं।

एक ऋणात्मक संख्या के लिए, निरपेक्ष मान (मापांक) एक धनात्मक संख्या है जो इसके चिह्न को "-" से "+" में बदलकर प्राप्त की जाती है; एक सकारात्मक संख्या और शून्य के लिए, संख्या ही। किसी संख्या के मापांक को निरूपित करने के लिए दो सीधी रेखाओं का उपयोग किया जाता है, जिसके अंदर यह संख्या लिखी होती है, उदाहरण के लिए: |–5|=5।

निरपेक्ष मूल्य गुण

मान लीजिए किसी संख्या का मापांक दिया गया है , जिसके लिए गुण मान्य हैं:

एकपदी दो या दो से अधिक कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक या तो एक संख्या है, या एक अक्षर है, या एक अक्षर की शक्ति है: 3 x a x b। गुणांक को अक्सर केवल एक संख्यात्मक कारक कहा जाता है। मोनोमियल को समान कहा जाता है यदि वे समान हैं या केवल गुणांक में भिन्न हैं। एकपदी की घात उसके सभी अक्षरों के घातांकों का योग होती है। यदि मोनोमियल के योग में समान हैं, तो योग को सरल रूप में घटाया जा सकता है: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2)। इस ऑपरेशन को समान पदों या कोष्ठकों का दबाव कहा जाता है।

एक बहुपद एकपदी का बीजगणितीय योग है। एक बहुपद की घात दिए गए बहुपद में शामिल एकपदी की घातों में से सबसे बड़ी होती है।

संक्षिप्त गुणन के लिए निम्नलिखित सूत्र हैं:

फैक्टरिंग तरीके:

बीजगणितीय भिन्न उस रूप का व्यंजक है, जहां A और B एक संख्या, एकपदी, एक बहुपद हो सकते हैं।

यदि दो भाव (संख्यात्मक और वर्णानुक्रम) चिह्न "=" से जुड़े हैं, तो उन्हें समानता बनाने के लिए कहा जाता है। इसमें शामिल अक्षरों के सभी स्वीकार्य संख्यात्मक मानों के लिए मान्य कोई भी वास्तविक समानता एक पहचान कहलाती है।

एक समीकरण एक शाब्दिक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के कुछ मूल्यों के लिए मान्य है। इन अक्षरों को अज्ञात (चर) कहा जाता है, और उनके मान, जिस पर दिया गया समीकरण एक पहचान बन जाता है, समीकरण के मूल कहलाते हैं।

किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना। दो या दो से अधिक समीकरण तुल्य कहलाते हैं यदि उनके मूल समान हों।

• शून्य समीकरण का मूल था;
• समीकरण में जड़ों की केवल एक सीमित संख्या होती है।

मुख्य प्रकार के बीजीय समीकरण:

रैखिक समीकरण में कुल्हाड़ी + बी = 0 है:

• यदि a x 0 है, तो एक ही मूल x = -b/a है;
• अगर ए = 0, बी ≠ 0, कोई जड़ नहीं;
• यदि a = 0, b = 0, तो मूल कोई वास्तविक संख्या है।

समीकरण xn = a, n N:

• यदि n एक विषम संख्या है, तो किसी भी a के लिए वास्तविक मूल a/n के बराबर है;
• यदि n एक सम संख्या है, तो 0 के लिए, उसके दो मूल हैं।

मूल समान परिवर्तन: एक व्यंजक का दूसरे व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापन, समान रूप से इसके बराबर; विपरीत संकेतों के साथ समीकरण की शर्तों को एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित करना; शून्य के अलावा एक ही व्यंजक (संख्या) से समीकरण के दोनों भागों का गुणा या भाग।

एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है: ax+b=0, जहां a और b ज्ञात संख्याएं हैं, और x एक अज्ञात मान है।

दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों के सिस्टम का रूप है:

जहाँ a, b, c, d, e, f को संख्याएँ दी गई हैं; एक्स, वाई अज्ञात हैं।

संख्या ए, बी, सी, डी - अज्ञात के लिए गुणांक; ई, एफ - मुक्त सदस्य। समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान दो मुख्य विधियों द्वारा पाया जा सकता है: प्रतिस्थापन विधि: एक समीकरण से हम अज्ञात में से एक को गुणांक और दूसरे अज्ञात के माध्यम से व्यक्त करते हैं, और फिर हम इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, अंतिम समीकरण को हल करते हैं , हम पहले एक अज्ञात पाते हैं, फिर हम पाए गए मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा अज्ञात पाते हैं; एक समीकरण को दूसरे से जोड़ने या घटाने की विधि।

जड़ों के साथ संचालन:

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका n-th घात a के बराबर है। दी गई संख्या से nवें अंश का बीजगणितीय मूल इस संख्या के सभी मूलों का समुच्चय होता है।

अपरिमेय संख्याओं को परिमेय संख्याओं के विपरीत, m/n के रूप में एक साधारण अपरिवर्तनीय अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ m और n पूर्णांक हैं। ये एक नए प्रकार की संख्याएँ हैं जिनकी गणना किसी भी सटीकता के साथ की जा सकती है, लेकिन इन्हें एक परिमेय संख्या से प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है। वे ज्यामितीय माप के परिणामस्वरूप प्रकट हो सकते हैं, उदाहरण के लिए: एक वर्ग के विकर्ण की लंबाई और उसकी भुजा की लंबाई का अनुपात बराबर होता है।

द्विघात समीकरण दूसरी डिग्री ax2+bx+c=0 का एक बीजीय समीकरण है, जहां a, b, c को संख्यात्मक या वर्णानुक्रमिक गुणांक दिए गए हैं, x अज्ञात है। यदि हम इस समीकरण के सभी पदों को a से विभाजित करते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें x2+px+q=0 - घटा हुआ समीकरण p=b/a, q=c/a प्राप्त होता है। इसकी जड़ें सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती हैं:

अगर b2-4ac>0 तो दो अलग-अलग जड़ें हैं, b2-4ac=0 फिर दो हैं बराबर जड़; b2-4ac मॉड्यूल युक्त समीकरण

मॉड्यूल वाले मुख्य प्रकार के समीकरण:
1) |f(x)| = |जी(एक्स)|;
2) |f(x)| = जी (एक्स);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, जहां f(x), g(x), fk(x), gk(x) फलन दिए गए हैं।