точка Линеен сегмент

Точката е абстрактен обект, който няма измервателни характеристики: без височина, без дължина, без радиус. В рамките на задачата е важно само местоположението му

Точката се обозначава с число или главна (голяма) латиница. Няколко точки - различни числа или различни буквиза да могат да бъдат разграничени

точка А, точка Б, точка С

А Б В

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можете да нарисувате три точки "А" на лист хартия и да поканите детето да начертае линия през двете точки "А". Но как да разберем чрез кое? А А А

Линията е набор от точки. Тя измерва само дължината. Няма ширина или дебелина.

Обозначава се с малки букви (малки) с латински букви

ред a, ред b, ред c

а б в

Линията може да бъде

1. затворен, ако началото и края му са в една и съща точка,
2. отворен, ако неговото начало и край не са свързани

затворени линии

отворени линии

Напуснахте апартамента, купихте хляб в магазина и се върнахте обратно в апартамента. Каква линия получихте? Точно така, затворено. Върнахте се в началната точка. Излязохте от апартамента, купихте хляб в магазина, влязохте във входа и разговаряхте със съседа си. Каква линия получихте? Отвори. Не сте се върнали към началната точка. Напуснахте апартамента, купихте хляб в магазина. Каква линия получихте? Отвори. Не сте се върнали към началната точка.

1. самопресичащи се
2. без самопресичания

самопресичащи се линии

линии без самопресечни точки

1. прав
2. прекъсната линия
3. крив

прави линии

прекъснати линии

извити линии

Правата линия е линия, която не се извива, няма нито начало, нито край, може да се удължава неограничено в двете посоки

Дори когато се види малък парцелправа, се приема, че продължава безкрайно и в двете посоки

Обозначава се с малка (малка) латинска буква. Или две главни (големи) латински букви - точки, лежащи на права линия

права линия а

а

права линия AB

Б А

прави линии могат да бъдат

1. пресичащи се, ако имат обща точка. Две прави могат да се пресичат само в една точка.
   • перпендикулярно, ако се пресичат под прав ъгъл (90°).
2. успоредни, ако не се пресичат, нямат обща точка.

паралелни линии

пресичащи се линии

перпендикулярни линии

Лъчът е част от права линия, която има начало, но няма край, може да се удължава неограничено само в една посока

Началната точка за лъча светлина на снимката е слънцето.

слънце

Точката разделя правата на две части - два лъча A A

Гредата се обозначава с малка (малка) латинска буква. Или две главни (големи) латински букви, където първата е точката, от която започва гредата, а втората е точката, лежаща върху гредата

лъч а

а

лъч AB

Б А

Гредите съвпадат, ако

1. разположени на една и съща права линия
2. започнете от една точка
3. насочени на една страна

лъчите AB и AC съвпадат

лъчите CB и CA съвпадат

C B A

Сегментът е част от права линия, която е ограничена от две точки, тоест има начало и край, което означава, че дължината му може да бъде измерена. Дължината на сегмент е разстоянието между началната и крайната му точки.

През една точка може да се начертае произволен брой линии, включително прави.

През две точки - неограничен брой криви, но само една права линия

извити линии, минаващи през две точки

Б А

права линия AB

Б А

Едно парче беше „отрязано“ от правата линия и остана сегмент. От примера по-горе можете да видите, че дължината му е най-краткото разстояние между две точки. ✂ B A ✂

Сегментът се обозначава с две главни (големи) латински букви, където първата е точката, от която започва сегментът, а втората е точката, от която свършва сегментът

сегмент AB

Б А

Задача: къде е линията, лъчът, сегментът, кривата?

Прекъсната линия е линия, състояща се от последователно свързани сегменти, които не са под ъгъл от 180°

Дълъг сегмент беше „разбит“ на няколко къси.

Връзките на полилинията (подобно на връзките на веригата) са сегментите, които съставят полилинията. Съседните връзки са връзки, в които краят на една връзка е началото на друга. Съседните връзки не трябва да лежат на една и съща права линия.

Върховете на полилинията (подобно на върховете на планините) са точката, от която започва полилинията, точките, в които са свързани сегментите, образуващи полилинията, точката, където полилинията завършва.

Полилинията се обозначава с изброяване на всички нейни върхове.

прекъсната линия ABCDE

връх на полилиния A, връх на полилиния B, връх на полилиния C, връх на полилиния D, връх на полилиния E

връзка на прекъсната линия AB, връзка на прекъсната линия BC, връзка на прекъсната линия CD, връзка на прекъсната линия DE

връзка AB и връзка BC са съседни

връзка BC и връзка CD са съседни

връзка CD и връзка DE са съседни

A B C D E 64 62 127 52

Дължината на полилинията е сумата от дължините на нейните връзки: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

задача: коя прекъсната линия е по-дълга, а кой има повече върхове? На първия ред всички връзки са с еднаква дължина, а именно 13 см. Вторият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 49 см. Третият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 41 см.

Многоъгълникът е затворена полилиния

Страните на многоъгълника (те ще ви помогнат да запомните изразите: "върви към четирите страни", "бягай към къщата", "на коя страна на масата ще седнеш?") са връзките на прекъснатата линия. Съседните страни на многоъгълник са съседни връзки на прекъсната линия.

Върховете на многоъгълника са върховете на полилинията. Съседните върхове са крайни точки на едната страна на многоъгълника.

Многоъгълникът се обозначава с изброяване на всичките му върхове.

затворена полилиния без самопресичане, ABCDEF

многоъгълник ABCDEF

многоъгълен връх A, многоъгълен връх B, многоъгълен връх C, многоъгълен връх D, многоъгълен връх E, многоъгълен връх F

връх A и връх B са съседни

връх B и връх C са съседни

връх C и връх D са съседни

връх D и връх E са съседни

връх E и връх F са съседни

връх F и връх A са съседни

страна на многоъгълник AB, страна на многоъгълник BC, страна на многоъгълник CD, страна на многоъгълник DE, страна на многоъгълник EF

страна AB и страна BC са съседни

страна BC и страна CD са съседни

страничната CD и страна DE са съседни

страна DE и страна EF са съседни

страна EF и страна FA са съседни

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметърът на многоъгълника е дължината на полилинията: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоъгълник с три върха се нарича триъгълник, с четири - четириъгълник, с пет - петоъгълник и т.н.

Точката и линията са основни геометрични фигурина повърхността.

Древногръцкият учен Евклид е казал: „точка“ е това, което няма части. Думата "точка" в превод от латинскиозначава резултат от моментално докосване, убождане. Точката е основата за конструиране на всяка геометрична фигура.

Права линия или просто права линия е линия, по която разстоянието между две точки е най-кратко. Правата линия е безкрайна и е невъзможно да се изобрази цялата линия и да се измери.

Точките се означават с главни латински букви A, B, C, D, E и т.н., а правите със същите букви, но с малки букви a, b, c, d, e и т.н. Правата линия може да се означава и с две букви, съответстващи на точки, лежащи върху нея. Например, линията a може да бъде обозначена с AB.

Можем да кажем, че точките AB лежат на правата a или принадлежат на правата a. И можем да кажем, че правата a минава през точките A и B.

Най-простите геометрични фигури в равнина са отсечка, лъч, прекъсната линия.

Сегментът е част от права, която се състои от всички точки от тази права, ограничени от две избрани точки. Тези точки са краищата на сегмента. Сегментът се обозначава чрез посочване на неговите краища.

Лъч или полуправа е част от права, която се състои от всички точки на тази права, лежащи от едната страна на дадената й точка. Тази точка се нарича начална точка на полуправата или началото на лъча. Лъчът има начална точка, но няма крайна точка.

Полуправи или лъчи се означават с две малки латински букви: началната и всяка друга буква, съответстваща на точка, принадлежаща на полуправата. В този случай отправната точка е поставена на първо място.

Оказва се, че линията е безкрайна: тя няма нито начало, нито край; лъчът има само начало, но няма край, докато сегментът има начало и край. Следователно можем да измерим само сегмент.

Няколко сегмента, които са последователно свързани един с друг, така че сегментите (съседните), имащи една обща точка, не са разположени на една и съща права линия, представляват прекъсната линия.

Полилинията може да бъде затворена или отворена. Ако краят на последния сегмент съвпада с началото на първия, имаме затворена прекъсната линия, ако не, отворена.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

В геометрията основните геометрични фигури са точката и линията. За обозначаване на точки е обичайно да се използват главни латински букви: A, B, C, D, E, F .... За обозначаване на прави линии се използват малки латински букви: a, b, c, d, e, f .... Фигурата по-долу показва права линия a и няколко точки A, B, C, D.

За да изобразим права линия на фигурата, използваме линийка, но не изобразяваме цялата линия, а само част от нея. Тъй като линията в нашия поглед се простира до безкрайност и в двете посоки, линията е безкрайна.

На фигурата по-горе виждаме, че точки A и C са разположени на права линия. а. В такива случаи казваме, че точките A и C принадлежат на правата a. Или казват, че линията минава през точки A и C. При писане принадлежността на точка към права се обозначава със специална икона. И фактът, че точката не принадлежи на линията, е маркиран със същата икона, само зачеркната.

В нашия случай точките B и D не принадлежат на правата a.

Както бе отбелязано по-горе, на фигурата точките A и C принадлежат на правата a. Нарича се частта от права, която се състои от всички точки на тази права, които лежат между две дадени точки сегмент. С други думи, отсечката е част от права линия, ограничена от две точки.

В нашия случай имаме сегмент АБ. Точки А и В се наричат ​​краища на отсечката. За да се обозначи сегмент, неговите краища са посочени, в нашия случай, AB. Едно от основните свойства на членството на точки и прави е следното Имот: през всякакви две точки можете да начертаете линия и освен това само една.

Ако две прави имат обща точка, тогава се казва, че двете прави се пресичат. На фигурата прави a и b се пресичат в точка A. Прави a и c не се пресичат.

Всякакви две прави имат само една обща точка или нямат общи точки. Ако приемем обратното, че две прави имат две общи точки, тогава две прави ще минават през тях. Но това е невъзможно, тъй като само една права може да бъде начертана през две точки.

Ще разгледаме всяка една от темите, а накрая ще има тестове по темите.

Точка по математика

Какво е точка в математиката? Математическата точка няма размери и се обозначава с главни латински букви: A, B, C, D, F и т.н.

На фигурата можете да видите изображението на точки A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Сегмент по математика

Какво е сегмент в математиката? В уроците по математика можете да чуете следното обяснение: математическият сегмент има дължина и краища. Сегментът в математиката е набор от всички точки, лежащи на права линия между краищата на отсечка. Краищата на сегмента са две гранични точки.

На фигурата виждаме следното: отсечки ,,,, и , както и две точки B и S.

Прави линии по математика

Какво е права линия в математиката? Определение на права линия в математиката: правата линия няма краища и може да продължи в двете посоки до безкрайност. Правата линия в математиката се означава с произволни две точки от права линия. За да обясним на ученик концепцията за права линия, можем да кажем, че правата е отсечка, която няма два края.

Фигурата показва две прави линии: CD и EF.

Рей по математика

Какво е лъч? Определение на лъч в математиката: Лъчът е част от права, която има начало и няма край. Името на лъча съдържа две букви, например DC. Освен това първата буква винаги показва точката на началото на лъча, така че не можете да разменяте буквите.

Фигурата показва гредите: DC, KC, EF, MT, MS. Греди KC и KD - една греда, т.к имат общ произход.

Числова права по математика

Определение на числова права в математиката: Права, чиито точки отбелязват числа, се нарича числова права.

Фигурата показва числова права, както и лъч OD и ED

Курсът използва геометричен език, съставен от обозначения и символи, възприети в курса по математика (по-специално в новия курс по геометрия в гимназията).

Цялото разнообразие от обозначения и символи, както и връзките между тях, могат да бъдат разделени на две групи:

група I - обозначения на геометрични фигури и отношения между тях;

група II обозначения на логически операции, съставляващи синтактичната основа на геометричния език.

Следното е пълен списъкматематически символи, използвани в този курс. Специално вниманиесе дава на символи, които се използват за обозначаване на проекции на геометрични форми.

I група

СИМВОЛИ ОБОЗНАЧЕНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ И ВРЪЗКИ МЕЖДУ ТЯХ

А. Обозначаване на геометрични фигури

1. Геометричната фигура се обозначава - F.

2. Посочват се точки главни буквиЛатинска азбука или арабски цифри:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Линиите, произволно разположени по отношение на проекционните равнини, са обозначени с малки букви на латинската азбука:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Нивото е обозначено: h - хоризонтално; f- челен.

Следната нотация също се използва за прави линии:

(AB) - права линия, минаваща през точките A и B;

[AB) - лъч с начало в точка A;

[AB] - отсечка от права линия, ограничена от точки A и B.

4. Повърхностите се обозначават с малки букви на гръцката азбука:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

За да подчертаете начина, по който е дефинирана повърхността, трябва да посочите геометричните елементи, чрез които е дефинирана, например:

α(a || b) - равнината α се определя от успоредни прави a и b;

β(d 1 d 2 gα) - повърхността β се определя от водачите d 1 и d 2 , образуващата g и равнината на паралелизъм α.

5. Ъглите са посочени:

∠ABC - ъгъл с връх в точка B, както и ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Ъглова: стойността (степенната мярка) се обозначава със знака, който се поставя над ъгъла:

Стойността на ъгъла ABC;

Стойността на ъгъла φ.

Правият ъгъл е отбелязан с квадрат с точка вътре

7. Разстоянията между геометричните фигури се обозначават с два вертикални сегмента - ||.

Например:

|AB| - разстояние между точки А и В (дължина на отсечка АВ);

|Aa| - разстояние от точка А до права а;

|Aα| - разстояния от точка А до повърхност α;

|ab| - разстояние между линиите a и b;

|αβ| разстояние между повърхностите α и β.

8. За проекционните равнини се приемат следните обозначения: π 1 и π 2, където π 1 е хоризонталната проекционна равнина;

π 2 -фрюнтална равнина на проекции.

При замяна на проекционните равнини или въвеждане на нови равнини, последните означават π 3, π 4 и т.н.

9. Проекционните оси се обозначават: x, y, z, където x е оста x; y е оста y; z - приложим ос.

Постоянната линия на диаграмата на Монж се означава с k.

10. Проекциите на точки, линии, повърхности, всяка геометрична фигура се обозначават със същите букви (или цифри) като оригинала, с добавяне на горен индекс, съответстващ на проекционната равнина, върху която са получени:

A", B", C", D", ... , L", M", N", хоризонтални проекции на точки; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... челни проекции на точки; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - хоризонтални проекции на прави; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... челни проекции на линии; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... хоризонтални проекции на повърхности; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... челни проекции на повърхности.

11. Следите от равнини (повърхнини) се обозначават със същите букви като хоризонталните или фронталните, с добавяне на индекс 0α, като се подчертава, че тези линии лежат в проекционната равнина и принадлежат на равнината (повърхността) α.

Така че: h 0α - хоризонтална следа на равнината (повърхността) α;

f 0α - фронтална следа на равнината (повърхността) α.

12. Следите от прави линии (линии) се обозначават с главни букви, които започват думи, които определят името (в латинската транскрипция) на проекционната равнина, която пресича линията, с индекс, указващ принадлежност към линията.

Например: H a - хоризонтална следа на права линия (линия) a;

F a - фронтална следа на права линия (линия) a.

13. Последователността от точки, линии (на всяка фигура) се маркира с индекси 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n и др.

Помощната проекция на точката, получена в резултат на трансформацията за получаване на действителната стойност на геометричната фигура, се обозначава със същата буква с индекс 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Аксонометрични проекции

14. Аксонометричните проекции на точки, линии, повърхности се обозначават със същите букви като природата с добавяне на горния индекс 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторичните проекции се обозначават чрез добавяне на горен индекс 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

За да се улесни четенето на рисунките в учебника, при оформлението на илюстративния материал са използвани няколко цвята, всеки от които има определен смисъл: черни линии (точки) показват изходните данни; зелен цвятизползва се за линии на помощни графични конструкции; червени линии (точки) показват резултатите от конструкциите или онези геометрични елементи, на които трябва да се обърне специално внимание.

Б. Символи, обозначаващи връзките между геометричните фигури

не.	Обозначаване	Съдържание	Пример за символна нотация
1	≡	Съвпада	(AB) ≡ (CD) - права линия, минаваща през точки A и B, съвпада с правата, минаваща през точки C и D
2	≅	Конгруентно	∠ABC≅∠MNK - ъгъл ABC е равен на ъгъл MNK
3	∼	Подобен	ΔABS∼ΔMNK - триъгълниците ABC и MNK са подобни
4	||	Паралелно	α||β - равнината α е успоредна на равнината β
5	⊥	Перпендикулярно	a⊥b - правите a и b са перпендикулярни
6		кръстосване	с d - прави c и d се пресичат
7		Тангенти	t l - правата t е допирателна към правата l. βα - равнина β, допирателна към повърхността α
8	→	Показват се	F 1 → F 2 - фигурата F 1 се преобразува върху фигурата F 2
9	С	прожекционен център. Ако прожекционният център не е подходяща точка, позицията му е обозначена със стрелка, показване на посоката на прожекция	-
10	с	Посока на прожекция	-
11	П	Паралелна проекция	p s α Паралелна проекция - успоредна проекция към равнината α в посока s

Б. Теоретико-множествена нотация

не.	Обозначаване	Съдържание	Пример за символна нотация	Пример за символна нотация в геометрията
1	М, Н	Комплекти	-	-
2	A,B,C,...	Задайте елементи	-	-
3	{ ... }	Състои се от...	F(A, B, C,... )	Ф(A, B, C,...) - фигура Ф се състои от точки A, B, C, ...
4	∅	Празен комплект	L - ∅ - множеството L е празно (не съдържа елементи)	-
5	∈	Принадлежи, е елемент	2∈N (където N е множеството естествени числа) - числото 2 принадлежи на множеството N	A ∈ a - точка A принадлежи на правата a (точка А лежи на права а)
6	⊂	Включва, съдържа	N⊂M - множеството N е част (подмножество) от множеството M от всички рационални числа	a⊂α - правата a принадлежи на равнината α (разбира се в смисъла: множеството точки на правата a е подмножество от точките на равнината α)
7	∪	съюз	C \u003d A U B - множеството C е обединение от множества А и В; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - прекъсната линия, ABCD е обединение на сегменти [AB], [BC],
8	∩	Пресичане на много	М=К∩L - множеството М е пресечната точка на множествата К и L (съдържа елементи, принадлежащи както на множеството K, така и на множеството L). M ∩ N = ∅- пресичане на множества M и N е празното множество (множествата M и N нямат общи елементи)	a = α ∩ β - правата a е пресечната точка равнини α и β и ∩ b = ∅ - правите a и b не се пресичат (нямат общи точки)

II група СИМВОЛИ, ОБОЗНАЧАващи ЛОГИЧЕСКИ ОПЕРАЦИИ

не.	Обозначаване	Съдържание	Пример за символна нотация
1	∧	съюз на изречения; съответства на съюза "и". Изречението (p∧q) е вярно, ако и само ако p и q са верни	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Пресечната точка на повърхности α и β е набор от точки (линия), състояща се от всички онези и само онези точки K, които принадлежат както на повърхността α, така и на повърхността β
2	∨	Разделяне на изречения; съответства на съюза "или". Изречение (p∨q) вярно, когато поне едно от изреченията p или q е вярно (т.е. или p, или q, или и двете).	-
3	⇒	Внушението е логично следствие. Изречението p⇒q означава: "ако p, то q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Ако две прави са успоредни на трета, тогава те са успоредни една на друга.
4	⇔	Изречението (p⇔q) се разбира в смисъла: "ако p, то q; ако q, то p"	А∈α⇔А∈l⊂α. Една точка принадлежи на равнина, ако принадлежи на някаква права, принадлежаща на тази равнина. Обратното също е вярно: ако една точка принадлежи на някаква права, принадлежащ на равнината, тогава тя също принадлежи на самата равнина.
5	∀	Общият квантор гласи: за всеки, за всеки, за всеки. Изразът ∀(x)P(x) означава: "за всяко x: свойство P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) За всеки (за всеки) триъгълник, сумата от стойностите на неговите ъгли във върховете е 180°
6	∃	Екзистенциалният квантор гласи: съществува. Изразът ∃(x)P(x) означава: "има x, който има свойството P(x)"	(∀α)(∃a). За всяка равнина α съществува права a, която не принадлежи на равнината α и успоредна на равнината α
7	∃1	Кванторът на уникалността на съществуването гласи: има уникален (-th, -th)... Изразът ∃1(x)(Px) означава: „има уникално (само едно) x, притежаващ свойството Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) За всякакви две различни точки A и B има един ред a, преминавайки през тези точки.
8	(px)	Отрицание на твърдението P(x)	ab(∃α )(α⊃а, b). Ако прави a и b се пресичат, тогава няма равнина a, която ги съдържа
9	\	Отрицателен знак	≠ - отсечката [AB] не е равна на отсечката .a?b - правата a не е успоредна на права b