пресичане две комплекти се нарича множество от всички общи елементитези комплекти.

пример:
Да вземем числата 12 и 18. Намерете техните делители, обозначавайки цялото множество от тези делители, съответно с буквите A и B:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Виждаме, че числата 12 и 18 имат общи делители: 1, 2, 3, 6. Нека ги обозначим с буквата C:
C = (1, 2, 3, 6).

Множеството C е пресечната точка на множествата A и B. Пишат го така:
A ∩B=° С.

Ако две множества нямат общи елементи, тогава пресечната точка на тези множества е празен Много.
Празното множество се обозначава със знака Ø и се използва следната нотация:

X ∩Y = Ø.

съюз два комплекта е множеството, състоящо се от всички елементи на тези множества.

Например, нека се върнем към числата 12 и 18 и множеството от техните елементи A и B. Първо изписваме елементите от множеството A, след което добавяме към тях онези елементи от множество B, които не са в множеството A. Получаваме набора от елементи, които A и B имат общи. Нека го обозначим с буквата D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Множеството D е обединение на множествата A и B. Записва се така:

D=АУ б.

Основните операции, извършвани върху набори са допълнение (съюз), умножение (пресичане) и изваждане . Тези операции, както ще видим по-късно, не са идентични с операциите със същото име, извършвани върху числа.

Определение : Асоциация(или сума) от две множества A и B е множество, съдържащо всички такива и само такива елементи, които са елементи на поне едно от тези множества. Обединението на множества A и B се означава като A  B.

Това определение означава, че добавянето на множества A и B е обединение на всички техни елементи в едно множество A  B. Ако едни и същи елементи се съдържат и в двете множества, тогава тези елементи влизат в обединението само веднъж.

Обединението на три или повече множества се дефинира по подобен начин.

Определение : пресичане(или умножение) на две множества A и B е множество, състоящо се от онези и само онези елементи, които принадлежат на множеството A и множеството B едновременно. Пресечната точка на множества A и B се означава като A  B.

Пресечната точка на три или повече множества се дефинира по подобен начин.

Определение : Разликата на множествата A и B е множеството, състоящо се от онези и само онези елементи от множество A, които не принадлежат на множество B. Разликата на множествата A и B се означава като A \ B. Операцията, чрез която разликата на множествата е намерено се нарича изваждане.

Ако B  A, тогава разликата A \ B се нарича допълнение на множество B към множество A. Ако множеството B е подмножество на универсалното множество U, тогава допълнението на B към U се означава, т.е. = U\B.

Упражнения :

Помислете за три комплекта н={0,2,4,5,6,7}, М=(1,3,5,7,9) и П=(1,3,9,11). Да намеря

1. А= н  М

   B=N М

   C=н П

Отговорете кои от операциите върху дадените множества трябва да се използват за получаване на множествата, описани по-долу.

1. дадено: НО- много от всички студенти от факултета, IN– много студенти с академични дългове. Определете ОТ- много успешни студенти на факултета.

   дадено: НО- набор от всички отличници на факултета, IN- много студенти, които нямат академични дългове, ОТе наборът от успешни ученици с поне една тройка. Определете д- много студенти от факултета, които имат време без тройки.

   дадено: Уе набор от всички ученици от учебната група, НО- много ученици от тази група, получили кредит по физическо възпитание, IN- много ученици от същата група, които успешно преминаха теста по история на Отечеството. Определете ОТе набор от студенти от една и съща учебна група, които се отличават и в двете дисциплини, д– набор от ученици от една и съща група, които са „провалили” поне един от тестовете.

1. Обединителни и пресечни свойства на множества

От определенията за обединение и пресичане на множества следват свойствата на тези операции, които са представени под формата на равенства, които са валидни за всякакви множества А , Б И ОТ .

А  Б = Б  А - комутативност на съюза;

А  Б = Б  А - комутативност на пресечната точка;

А  (Б  ОТ ) = (А  Б )  ОТ - асоциация сдружение;

А  (Б  ОТ ) = (А  Б )  ОТ - асоциативност на кръстовището;

А  (Б  ОТ ) = (А  Б )  (А  ОТ) - разпределителност на пресечната точка по отношение на съюза;

А  (Б  ОТ ) = (А  Б )  (А  ОТ) - разпределителност на съединението по отношение на кръстовището;

Закони за усвояване:

А  А = А

А  А = А

А  Ø = А

А  Ø = Ø

А  У = У

А  У = А

Трябва да се отбележи, че разликата няма свойствата на комутативност и асоциативност, т.е. А \ Б ≠ Б \ А И А \ (Б \ ОТ ) ≠ (А \ Б ) \ ОТ . Това може лесно да се провери чрез конструиране на диаграмите на Ойлер-Вен.

Комплекти. Операции върху множества.
Задаване на дисплея. Задайте мощност

Приветствам ви в първия урок по висша алгебра, който се появи ... в навечерието на петата годишнина на сайта, след като вече бях създал повече от 150 статии по математика и моите материали започнаха да се оформят в завършен курс . Въпреки това се надявам, че не закъснявам - в края на краищата много студенти започват да се ровят в лекции само за държавни изпити =)

Университетският курс на Vyshmat традиционно се основава на три стълба:

– математически анализ (граници, дериватии др.)

– и накрая сезон 2015/16 учебна годинасе отваря с уроци Алгебра за манекени, Елементи на математическата логика, на който ще анализираме основите на раздела, както и ще се запознаем с основни математически понятия и общи означения. Трябва да кажа, че в други статии не злоупотребявам с "кичури" , обаче, това е само стил и, разбира се, те трябва да бъдат признати във всяко състояние =). Уведомявам новите читатели, че моите уроци са ориентирани към практиката и следният материал ще бъде представен в този дух. За по-пълна и академична информация, моля, вижте учебниците. Отивам:

Много. Дайте примери

Множеството е фундаментално понятие не само на математиката, но и на целия свят наоколо. Вземете всеки предмет в ръката си веднага. Тук имате комплект, състоящ се от един елемент.

IN широк смисъл, множеството е съвкупност от обекти (елементи), които се разбират като цяло(според определени признаци, критерии или обстоятелства). Освен това това са не само материални обекти, но и букви, цифри, теореми, мисли, емоции и т.н.

Наборите обикновено се означават с големи с латински букви (като опция, с индекси: и т.н.)и неговите елементи са записани в къдрави скоби, например:

- набор от букви от руската азбука;
- Много естествени числа;

Е, време е да се опознаем малко:
– много ученици на 1-ви ред

… Радвам се да видя вашите сериозни и съсредоточени лица =)

Комплекти и са финал(състоящ се от краен брой елементи), а наборът е пример безкраенкомплекти. Освен това в теорията и практиката т.нар празен комплект:

е набор, който не съдържа никакъв елемент.

Примерът ви е добре познат - комплектът в изпита често е празен =)

Членството на елемент в набор се обозначава със символа, например:

- буквата "be" принадлежи към набора от букви на руската азбука;
- буквата "бета" непринадлежи към набора от букви на руската азбука;
– числото 5 принадлежи към множеството естествени числа;
- но числото 5,5 вече го няма;
- Волдемар не седи на първия ред (и още повече, не принадлежи към комплекта или =)).

В абстрактната и не толкова алгебра елементите на множество се означават с малки латински букви и съответно фактът на принадлежност е съставен в следния стил:

– елементът принадлежи на множеството .

Горните набори са написани директен трансферелементи, но това не е единственият начин. Много набори се дефинират удобно с помощта на някои знак (с), което е присъщо към всички негови елементи. Например:

е набор от всички естествени числа, по-малки от 100.

Помня: дълга вертикална пръчка изразява словесния оборот "който", "такива". Доста често вместо това се използва двоеточие: - нека прочетем записа по-формално: "множеството от елементи, принадлежащи към множество естествени числа, такъв, че » . Много добре!

Този набор може да бъде написан и чрез директно изброяване:

Още примери:
- и ако има доста ученици на 1-ви ред, тогава такъв запис е много по-удобен от директното им изброяване.

е наборът от числа, принадлежащи на интервала. Имайте предвид, че това се отнася за комплекта валиденчисла (за тях по-късно), които вече не могат да бъдат изброени разделени със запетаи.

Трябва да се отбележи, че елементите на набора не трябва да бъдат "хомогенни" или логически свързани. Вземете голяма торба и започнете да я тъпчете на случаен принцип в нея. различни предмети. В това няма закономерност, но въпреки това говорим за различни теми. Образно казано, наборът е отделен „пакет“, в който определен набор от предмети се оказва „по волята на съдбата“.

Подмножества

Почти всичко е ясно от самото име: комплектът е подмножествомножество, ако всеки елемент от множеството принадлежи на множеството. С други думи, наборът се съдържа в набор:

Икона се нарича икона включване.

Нека се върнем към примера, в който е наборът от букви на руската азбука. Означете с - множеството от гласните му. Тогава:

Възможно е също така да се отдели подмножество от съгласни букви и като цяло произволно подмножество, състоящо се от произволен брой произволно (или неслучайно) взети кирилски букви. По-специално, всяка буква на кирилица е подмножество от множеството .

Връзките между подмножествата са удобно изобразени с помощта на условни геометрична схема, което се нарича Ойлерови кръгове.

Нека е набор от студенти в 1-ви ред, да бъде набор от студенти в група и да бъде набор от студенти от университета. Тогава отношението на включванията може да бъде представено, както следва:

Множеството студенти от друг университет трябва да се изобрази като кръг, който не пресича външния кръг; множеството ученици на страната в кръг, който съдържа и двата кръга и т.н.

Типичен примернаблюдаваме включвания при разглеждане на числени множества. Нека повторим учебния материал, който е важно да имате предвид при изучаване на висша математика:

Числови набори

Както знаете, исторически първите се появяват естествените числа, предназначени да преброяват материални обекти (хора, пилета, овце, монети и др.). Този комплект вече се среща в статията, единственото нещо е, че сега леко променяме обозначението му. Факт е, че числовите набори обикновено се обозначават с удебелен шрифт, стилизирани или удебелени букви. Предпочитам да използвам удебелен шрифт:

Понякога нулата се включва в набора от естествени числа.

Ако към множеството добавим същите числа с противоположен знак и нула, получаваме набор от цели числа:

Рационализаторите и мързеливците записват елементите му с икони "плюс минус":))

Съвсем ясно е, че множеството от естествени числа е подмножество от множество цели числа:
- тъй като всеки елемент от множеството принадлежи на множеството . По този начин всяко естествено число може безопасно да се нарече цяло число.

Името на набора също е "говорещо": цели числа - това означава, че няма дроби.

И веднага щом са цели числа, веднага си припомняме важните признаци на тяхната делимост на 2, 3, 4, 5 и 10, които ще се изискват при практически изчисления почти всеки ден:

Едно цяло число се дели на 2 без остатъкако завършва на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. всяка четна цифра). Например числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 - разделено на 2 без остатък.

И нека веднага анализираме знака "свързан": цяло число се дели на 4ако числото, съставено от последните му две цифри (по техния ред)се дели на 4.

400 се дели на 4 (защото 00 (нула) се дели на 4);
-1502 - не се дели на 4 (защото 02 (две) не се дели на 4);
-24, разбира се, се дели на 4;
66996 - дели се на 4 (защото 96 се дели на 4);
818 - не се дели на 4 (защото 18 не се дели на 4).

Направете своя проста обосновка за този факт.

Делението на 3 е малко по-трудно: цяло число се дели на 3 без остатък if сумата от цифрите мусе дели на 3.

Нека проверим дали числото 27901 се дели на 3. За да направите това, сумираме числата му:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - не се дели на 3
Заключение: 27901 не се дели на 3.

Нека сумираме цифрите на числото -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - дели се на 3
Заключение: числото -825432 се дели на 3

Цялото число се дели на 5, ако завършва с пет или нула:
775, -2390 - дели се на 5

Цялото число се дели на 10ако завършва на нула:
798400 - дели се на 10 (и очевидно на 100). Е, вероятно всеки си спомня - за да разделите на 10, просто трябва да премахнете една нула: 79840

Има и признаци на делимост на 6, 8, 9, 11 и т.н., но практически няма смисъл от тях =)

Трябва да се отбележи, че изброените критерии (привидно толкова прости) са строго доказани теория на числата. Този раздел от алгебрата като цяло е доста интересен, но неговите теореми ... просто модерно китайско изпълнение =) И Волдемар на последното бюро беше достатъчен ... но това е добре, скоро ще се занимаваме с животворни упражнение =)

Следващият набор от числа е Много рационални числа :
- тоест всяко рационално число може да бъде представено като дроб с цяло число числители естествено знаменател.

Очевидно наборът от цели числа е подмножествонабори от рационални числа:

Всъщност всяко цяло число може да бъде представено като рационална дроб, например: и т.н. По този начин едно цяло число може съвсем законно да се нарече рационално число.

Характерен "идентифициращ" знак за рационално число е фактът, че при разделяне на числителя на знаменателя се получава или
е цяло число,

или
– краендесетичен знак,

или
- безкраен периодично изданиедесетичен (преиграването може да не започне веднага).

Възхищавайте се на разделението и се опитайте да извършите това действие възможно най-малко! В организационната статия Висша математика за манекении в други уроци многократно повтарях, повтарям и ще повтарям тази мантра:

IN висша математикание се стремим да извършваме всички действия в обикновени (правилни и неправилни) дроби

Съгласете се, че работата с дроб е много по-удобна, отколкото с десетично число 0,375 (да не говорим за безкрайни дроби).

Да отидем по-нататък. Освен рационалните, има много ирационални числа, всеки от които може да бъде представен като безкраен непериодичнидесетична дроб. С други думи, няма закономерност в "безкрайните опашки" на ирационалните числа:
(„година на раждане на Лев Толстой“ два пъти)
и т.н.

Има много информация за известните константи "pi" и "e", така че не се спирам на тях.

Обединението на рационални и ирационални числа се образува набор от реални (реални) числа:

- икона асоциациикомплекти.

Геометричната интерпретация на множеството ви е позната - това е числова права:


Всяко реално число съответства на определена точка от числовата права и обратно – всяка точка от числовата права задължително съответства на някакво реално число. По същество сега формулирах свойство на непрекъснатост реални числа, което, въпреки че изглежда очевидно, се доказва строго в хода на математическия анализ.

Числената права също се означава с безкраен интервал, а нотацията или еквивалентната нотация символизира факта, че принадлежи към множеството от реални числа (или просто "x" - реално число).

С вгражданията всичко е прозрачно: множеството от рационални числа е подмножествонабори от реални числа:
, по този начин всяко рационално число може безопасно да се нарече реално число.

Множеството от ирационални числа също е подмножествореални числа:

В същото време подмножества и не се пресичат- тоест никое ирационално число не може да бъде представено като рационална дроб.

Има ли други бройни системи? Съществувай! Това напр. комплексни числа, с който ви препоръчвам да прочетете буквално в следващите дни или дори часове.

Междувременно се обръщаме към изучаването на множество операции, чийто дух вече се материализира в края на този раздел:

Действия върху набори. Диаграми на Вен

Диаграмите на Вен (подобни на кръговете на Ойлер) са схематично представяне на действия с множества. Отново ви предупреждавам, че няма да покрия всички операции:

1) пресичане Ии е маркиран с

Пресечната точка на множествата се нарича множество, всеки елемент от което принадлежи Икомплект , Икомплект . Грубо казано, пресечната точка е обща част от множествата:

Така, например, за комплекти:

Ако множествата нямат идентични елементи, тогава тяхното пресичане е празно. Току-що се натъкнахме на такъв пример, когато разглеждахме числови набори:

Множествата от рационални и ирационални числа могат да бъдат схематично представени от два неприпокриващи се кръга.

Операцията на пресичане е приложима и за Повече ▼комплекти, по-специално, Уикипедия има добро пример за пресичане на набори от букви от три азбуки.

2) съюзнабори се характеризира с логическа връзка ИЛИи е маркиран с

Обединение от множества е множество, всеки елемент от което принадлежи на множеството иликомплект :

Нека напишем обединението на множествата:
- грубо казано, тук трябва да изброите всички елементи на множествата и , и същите елементи (в този случай единицата в пресечната точка на множества)трябва да се посочи веднъж.

Но множествата, разбира се, може да не се пресичат, както е в случая с рационалните и ирационалните числа:

В този случай можете да нарисувате два непресичащи се сенчести кръга.

Операцията за обединение е приложима за повече набори, например, ако , тогава:

Числата не трябва да са във възходящ ред. (Направих това чисто от естетически причини). Без повече думи, резултатът може да бъде записан така:

3) разлика Ине принадлежи към комплекта:

Разликата се чете по следния начин: „а без да бъде“. И можете да спорите по абсолютно същия начин: помислете за множествата. За да запишете разликата, трябва да „изхвърлите“ всички елементи, които са в комплекта от комплекта:

Пример с числови набори:
- тук всички естествени числа са изключени от множеството цели числа, а самата нотация гласи така: "множеството от цели числа без множеството от естествени".

огледало: разликамножества и извикват множеството, всеки елемент от което принадлежи на множеството Ине принадлежи към комплекта:

За същите комплекти
- от комплекта "изхвърлено" това, което има в комплекта.

Но тази разлика се оказва празна: . И всъщност - ако цели числа се изключат от набора от естествени числа, тогава всъщност нищо няма да остане :)

Освен това, понякога помислете симетричниразликата, която съчетава двата "полумесеца":
– с други думи, това е „всичко освен пресечната точка на множествата“.

4) Декартов (директен) продуктмножества и се нарича множество всичко подреденидвойки, в които елементът и елементът

Пишем декартовото произведение на множествата:
- удобно е двойките да се изброяват според следния алгоритъм: „първо, ние последователно прикрепяме всеки елемент от набора към 1-ви елемент от набора, след това прикрепяме всеки елемент от набора към 2-ия елемент от набора, след това ние прикрепете всеки елемент от комплекта към 3-ия елемент от комплекта»:

огледало: Декартов продуктмножества и се нарича множество от всички подреденидвойки, в които . В нашия пример:
- тук схемата на запис е подобна: първо, ние последователно прикрепяме всички елементи от комплекта към „минус едно“, след това към „de“ - същите елементи:

Но това е само за удобство - и в двата случая двойките могат да бъдат изброени в произволен ред - важно е да запишете тук всичковъзможни двойки.

И сега акцентът на програмата: Декартовият продукт не е нищо друго освен набор от точки в нашия роден Декартова координатна система .

Задачатаза самофиксиращ се материал:

Извършете операции, ако:

Много удобно е да го опишем, като изброим неговите елементи.

И прищявка с интервали от реални числа:

Припомнете си, че квадратната скоба означава включванечисла в интервала, а кръгли - него изключване, тоест "минус едно" принадлежи на набора, а "три" непринадлежи към комплекта. Опитайте се да разберете какво е декартовото произведение на тези набори. Ако имате някакви затруднения, следвайте чертежа;)

Бързо решениезадачи в края на урока.

Задаване на дисплея

Дисплейзадаване на задаване е правило, според който всеки елемент от множеството е свързан с елемент (или елементи) от множеството . В случай, че съвпада единственияелемент, това правило се нарича ясно дефиниранифункция или просто функция.

Функцията, както много хора знаят, най-често се обозначава с буква - тя асоциира за всекиелементът е единствената стойност, принадлежаща на набора.

Е, сега отново ще безпокоя много ученици от 1-ви ред и ще им предложа 6 теми за резюмета (комплект):

Инсталиран (доброволно или неволно =))правилото свързва всеки ученик от набора с една тема от резюмето на набора.

...и вероятно не можете дори да си представите, че ще играете ролята на аргумент на функция =) =)

Елементите на зададената форма домейнфункции (означени с ), а елементите на множеството - обхватфункции (означени с ).

Конструираното отображение на множества има много важна характеристика: то е едно към едноили биективен(биекция). IN този примерозначава, че за всекиученикът е подравнен един уникалентема на есето и обратно - за всекиедин и само един ученик е фиксиран от темата на реферата.

Все пак не трябва да се мисли, че всяко картографиране е биективно. Ако 7-ми ученик бъде добавен към 1-ви ред (към комплекта), тогава кореспонденцията едно към едно ще изчезне - или един от учениците ще остане без тема (въобще няма дисплей), или някоя тема ще отиде на двама студенти наведнъж. Обратната ситуация: ако към комплекта се добави седма тема, тогава едно към едно съпоставяне също ще бъде загубено - една от темите ще остане непотърсена.

Скъпи студенти, на 1-ви ред не се разстройвайте - останалите 20 души след час ще отидат да почистят територията на университета от есенна зеленина. Мениджърът на доставките ще даде двадесет голика, след което ще се установи кореспонденция едно към едно между основната част от групата и метлите ..., а Волдемар също ще има време да изтича до магазина =)). уникален"y", и обратно - за всяка стойност на "y" можем недвусмислено да възстановим "x". Следователно това е биективна функция.

! За всеки случай премахвам евентуално недоразумение: моята постоянна резервация за обхвата не е случайна! Функцията може да не е дефинирана за всички "x", и освен това може да бъде едно към едно и в този случай. Типичен пример:

Но при квадратична функциянищо подобно не се наблюдава, първо:
- т.е. различни значения"x" се появи в един и същозначаващо "у"; и второ: ако някой изчисли стойността на функцията и ни каже, че , тогава не е ясно - това „y“ е получено при или в ? Излишно е да казвам, че тук дори не мирише на взаимна недвусмисленост.

Задача 2: изглед графики на основни елементарни функциии напишете биективни функции на лист хартия. Контролен списък в края на този урок.

Задайте мощност

Интуицията подсказва, че терминът характеризира размера на множеството, а именно броя на неговите елементи. И интуицията не ни мами!

Кардиналността на празното множество е нула.

Кардиналността на комплекта е шест.

Силата на набора от букви на руската азбука е тридесет и три.

Като цяло, силата на всяка финалнабор е равен на броя на елементите на това множество.

... може би не всеки разбира напълно какво е това финалнабор - ако започнете да броите елементите на този набор, тогава рано или късно броенето ще приключи. Това, което се нарича, и китайците някой ден ще свърши.

Разбира се, множествата могат да се сравняват по мощност и тяхното равенство в този смисъл се нарича еднаква мощност. Еквивалентността се определя, както следва:

Две множества са еквивалентни, ако между тях може да се установи съответствие едно към едно..

Наборът от ученици е еквивалентен на набора от абстрактни теми, наборът от букви на руската азбука е еквивалентен на всеки набор от 33 елемента и т.н. Забележете какво точно всекинабор от 33 елемента - в този случай има значение само броят им. Буквите на руската азбука могат да се сравняват не само с много числа
1, 2, 3, ..., 32, 33, но и като цяло със стадо от 33 крави.

Нещата са много по-интересни с безкрайните набори. Безкрайностите също са различни! ...зелено и червено "най-малките" безкрайни множества са броенекомплекти. Ако е съвсем просто, елементите на такъв набор могат да бъдат номерирани. Референтният пример е наборът от естествени числа . Да – той е безкраен, но всеки негов елемент в ПРИНЦИП има номер.

Има много примери. По-специално, множеството от всички четни естествени числа е изброимо. Как да го докажа? Необходимо е да се установи съответствието му едно към едно с набора от естествени числа или просто да се номерират елементите:

Установява се съответствие едно към едно, следователно множествата са еквивалентни и множеството е изброимо. Парадоксално е, но от гледна точка на силата - четните естествени числа са колкото естествените!

Наборът от цели числа също е изброим. Неговите елементи могат да бъдат номерирани, например, така:

Освен това множеството от рационални числа също е изброимо. . Тъй като числителят е цяло число (и, както току-що е показано, те могат да бъдат номерирани), а знаменателят е естествено число, тогава рано или късно ще „стигнем“ до всяка рационална дроб и ще й присвоим число.

Но наборът от реални числа вече е безброен, т.е. неговите елементи не могат да бъдат номерирани. Този фактмакар и очевидно, то е строго доказано в теорията на множествата. Кардиналността на множеството от реални числа също се нарича континуум, и в сравнение с изброими множества, това е "по-безкраен" набор.

Тъй като между множеството и числовата права има съответствие едно към едно (виж по-горе), тогава множеството от точки на реалната права също е безброен. И нещо повече, има еднакъв брой точки на километър и милиметър сегмент! Класически пример:


Чрез завъртане на лъча обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с лъча, ще установим съответствие едно към едно между точките на сините сегменти. По този начин има толкова точки на сегмента, колкото има на сегмента и !

Този парадокс, очевидно, е свързан с мистерията на безкрайността ... но сега няма да се занимаваме с проблемите на Вселената, защото следващата стъпка е

Задача 2 Функции едно към едно в илюстрациите на уроци

Цели на урока:

• образователни: формиране на умения за идентифициране на множества, подмножества; формирането на умения за намиране на зоната на пресичане и обединение на множества в изображения и назоваване на елементите от тази област, решаване на проблеми;
• развиващи се: развитие познавателен интересстуденти; развитие на интелектуалната сфера на личността, развитие на умения за съпоставяне и обобщаване.
• възпитателна: да възпитава точност и внимание при вземане на решения.

По време на занятията.

1. Организационен момент.

2. Учителят съобщава темата на урока, заедно с учениците формулира цели и задачи.

3. Учителят, заедно с учениците, припомня материала, изучаван по темата „Множества” в 7 клас, въвежда нови понятия и определения, формули за решаване на задачи.

„Много са много, смятани от нас като едно“ (основател на теорията на множествата - Георг Кантор). КАНТОР (Cantor) Георг (1845-1918) - немски математик, логик, богослов, създател на теорията на трансфините (безкрайните) множества, оказала решаващо влияние върху развитието на математическите науки в началото на 19-ти и 20-ти век.

Множеството е едно от основните понятия на съвременната математика, използвано в почти всички нейни раздели.

За съжаление, основното понятие на теорията - понятието за множество - не може да бъде дадено строго определение. Разбира се, може да се каже, че комплектът е "колекция", "колекция", "ансамбъл", "колекция", "семейство", "система", "клас" и т.н., но всичко това не би било математическа дефиниция, а по-скоро злоупотребата с речника на руския език.

За да се дефинира каквото и да е понятие, е необходимо преди всичко да се посочи като частен случай кой повече обща концепция, така е, невъзможно е да се направи това за понятието за множество, защото няма по-общо понятие от множеството в математиката.

Често трябва да говорите за няколко неща, обединени от някакъв знак. И така, можем да говорим за комплекта от всички столове в стаята, за комплекта от всички клетки човешкото тяло, множеството от всички картофи в дадена торба, множеството от всички риби в океана, множеството от всички квадрати на равнина, множеството от всички точки на даден кръг и т.н.

Обектите, които съставляват даден набор, се наричат ​​негови елементи.

Например наборът от дни от седмицата се състои от елементите: понеделник, вторник, сряда, четвъртък, петък, събота, неделя.

Много месеци – от стихиите: януари, февруари, март, април, май, юни, юли, август, септември, октомври, ноември, декември.

Много аритметични операции- от елементи: събиране, изваждане, умножение, деление.

Например, ако A означава множеството от всички естествени числа, тогава 6 принадлежи на A, но 3 не принадлежи на A.

Ако A е наборът от всички месеци в една година, тогава май принадлежи на A, но сряда не принадлежи на A.

Ако едно множество съдържа краен брой елементи, тогава то се нарича краен, а ако има безкраен брой елементи, тогава се нарича безкраен. Така че множеството от дървета в гората е крайно, но множеството точки в окръжността е безкрайно.

Парадокс в логиката- това е противоречие, което има статут на логически правилно заключение и в същото време е разсъждение, което води до взаимно изключващи се изводи.

Както вече споменахме, концепцията за множество е в основата на математиката. Използвайки най-простите множества и различни математически конструкции, може да се конструира почти всеки математически обект. Идеята за изграждане на цялата математика въз основа на теорията на множествата беше активно насърчавана от Г. Кантор. Въпреки това, въпреки цялата си простота, концепцията за набор е изпълнена с опасност от противоречия или, както се казва, парадокси. Появата на парадокси се дължи на факта, че не всички конструкции и не всички множества могат да бъдат разгледани.

Най-простият парадокси е " парадоксът на бръснара".

На един войник беше заповядано да обръсне онези и само онези войници от неговия взвод, които не са се обръснали. Неспазването на заповед в армията, както знаете, е най-тежкото престъпление. Възникна обаче въпросът дали този войник трябва да се обръсне сам. Ако се бръсне, тогава трябва да се припише на многото войници, които се бръснат сами, а той няма право да бръсне такива. Ако не се обръсне сам, тогава ще попадне в множеството войници, които не се бръснат сами, и според заповедта той е длъжен да обръсне такива войници. парадокс.

Върху множества, както и върху много други математически обекти, можете да извършвате различни операции, които понякога се наричат ​​операции с теория на множествата или операции за множество. В резултат на операциите се получават нови набори от оригиналните набори. Множествата се обозначават с главни латински букви, а техните елементи с малки. Записване а Розначава, че елементът нопринадлежи към комплекта Р, т.е но Р. Иначе кога ноне принадлежи към множеството Р, пишете а Р .

Два комплекта НОИ INНаречен равни (НО =IN), ако се състоят от едни и същи елементи, тоест всеки елемент от множеството НОе елемент от множеството INи обратно, всеки елемент от множеството INе елемент от множеството НО .

Задайте сравнение.

Набор A се съдържа в набор B (набор B включва множество A), ако всеки елемент от A е елемент от B:

Казват, че много НОсъдържащи се в много INили набор НОе подмножество комплекти IN(в този случай пишете НО IN), ако всеки елемент от множеството НОсъщо е елемент от комплекта IN. Тази връзка между множествата се нарича включване . За всеки комплект НОима включвания: Ø НОИ НО НО

В такъв случай АНаречен подмножество Б, Б - супернаборА. Ако , тогава АНаречен собствено подмножество IN. забележи това ,

По дефиниция ,

Двата комплекта се наричат равниако са подмножества едно на друго

Операции върху множества

пресичане.

съюз.

Имоти.

1. Операцията на обединение на множества е комутативна

2. Операцията за обединение на множества е транзитивна

3. Празното множество X е неутрален елемент от операцията за обединение на множества

1. Нека A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Тогава

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). Нека намерим обединението и пресечната точка на тези множества:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Множеството деца е подмножество от общото население

4. Пресечната точка на множеството от цели числа с множеството от положителни числа е множеството от естествени числа.

5. Обединението на множеството от рационални числа с множеството от ирационални числа е множеството от положителни числа.

6. Нулата е допълнението на множеството естествени числа спрямо множеството от неотрицателни цели числа.

Диаграми на Вен(Диаграми на Вен) - често срещано имередица методи за визуализация и методи за графична илюстрация, широко използвани в различни области на науката и математиката: теория на множествата, всъщност "диаграма на Вен"показва всичко възможна връзкамежду декори или събития от някакво семейство; сортове диаграми на Венса: Ойлерови диаграми,

Диаграма на Вен от четири комплекта.

Всъщност "диаграма на Вен"показва всички възможни връзки между набори или събития от някакво семейство. Обичайната диаграма на Вен има три набора. Самият Вен се опита да намери грациозен начин със симетрични формипредставляващи на диаграмата Повече ▼набори, но той успя да направи това само за четири комплекта (виж фигурата вдясно) с помощта на елипси.

Диаграми на Ойлер

Диаграмите на Ойлер са подобни на диаграмите на Вен. Диаграмите на Ойлер могат да се използват за оценка на вероятността от тъждества по теория на множеството.

Задача 1.В класа има 30 човека, всеки от които пее или танцува. Известно е, че 17 души пеят, а 19 души умеят да танцуват. Колко души пеят и танцуват едновременно?

Решение:Първо, отбелязваме, че от 30 души 30 - 17 = 13 души не могат да пеят.

Всички знаят как да танцуват, т.к според условието всеки ученик от класа пее или танцува. Общо 19 души могат да танцуват, 13 от тях не могат да пеят, което означава, че 19-13 = 6 души могат да танцуват и да пеят едновременно.

Задачи за пресичането и обединението на множества.

1. Дадени са набори A = (3.5, 0, 11, 12, 19), B = (2.4, 8, 12, 18.0).
   Намерете множествата AU B,
2. Съставете поне седем думи, чиито букви образуват подмножества от множеството
   A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
3. Нека A е множеството от естествени числа, делими се на 2, а B е множеството от естествени числа, делими се на 4. Какъв извод може да се направи за тези множества?
4. В компанията работят 67 души. От тях 47 знаят английски език, 35 са немски и 23 са и двата езика. Колко хора във фирмата не говорят английски или Немски?
5. От 40 ученици в нашия клас 32 харесват мляко, 21 харесват лимонада, а 15 харесват и мляко, и лимонада. Колко деца в нашия клас не обичат мляко или лимонада?
6. 12 мои съученици обичат да четат детективски истории, 18 обичат да четат научна фантастика, трима от тях четат и двете с удоволствие, а един не чете нищо. Колко ученици има в нашия клас?
7. От тези 18 мои съученици, които обичат да гледат трилъри, само 12 не са против да гледат анимационни филми. Колко от моите съученици гледат само „карикатури“, ако в нашия клас има 25 ученици, всеки от които обича да гледа или трилъри, или анимационни филми, или и двете?
8. От 29 момчета в двора ни само две не спортуват, а останалите посещават секции по футбол или тенис, или дори и двете. Има 17 момчета, които играят футбол и 19 играят тенис. Колко футболисти играят тенис? Колко тенисисти играят футбол?
9. 65% от зайците на баба обичат моркови, 10% обичат и моркови, и зеле. Колко процента от зайците не са против да ядат зеле?
10. В един клас има 25 ученици. От тях 7 любовни круши, 11 любовни череши. Две като круши и череши; 6 - круши и ябълки; 5 - ябълки и череши. Но в класа има двама ученици, които обичат всичко и четирима, които изобщо не обичат плодовете. Колко ученици в този клас харесват ябълки?
11. 22 момичета участваха в конкурса за красота. От тях 10 бяха красиви, 12 умни и 9 мили. Само 2 момичета бяха и красиви, и умни; 6 момичета бяха умни и мили едновременно. Определете колко красиви и в същото време мили момичета бяха, ако ви кажа, че сред участниците нямаше нито едно умно, любезно и в същото време красиво момиче?
12. В нашия клас има 35 ученици. За първата четвърт от петте по руски език имаха 14 ученици; по математика - 12; по история - 23, по руски език и математика - 4; по математика и история - 9; по руски език и история - 5. Колко ученици имат петици и по трите предмета, ако в класа няма нито един ученик, който да няма петици поне по един от тези предмети?
13. От 100 души 85 говорят английски, 80 говорят испански, а 75 говорят немски. Всички говорят поне един чужд език. Сред тях няма такива, които знаят два чужди езика, но има такива, които говорят три езика. Колко от тези 100 души знаят три езика?
14. От служителите на компанията 16 са посетили Франция, 10 - Италия, 6 - Англия; в Англия и Италия - 5; в Англия и Франция - 6; и в трите държави - 5 служители. Колко души са посетили Италия и Франция, ако в компанията има 19 души и всеки от тях е посетил поне една от тези страни?

5. Обобщаване на урока.

6. Отражение.

• Най-много успях...
• За мен беше откровение, че...
• За какво можете да се похвалите?
• Какво мислите, че не се получи? Защо? Какво да вземем предвид за бъдещето?
• Моите постижения в клас

7. Домашна работа.

1. Макаричев. т. 13. No 263, No 264, No 265, No 266, No 271, No 272.
2. Съставяне на задачи за прилагане на теорията на множествата.
3. В групи подгответе презентации на тема „Комплекти“.