О-о-о-о-о...е, тенекия е, сякаш си прочетеш изречението =) Обаче тогава релаксацията ще помогне, особено след като днес си купих подходящи аксесоари. Затова нека преминем към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще запазя весело настроение.

Взаимно подреждане на две прави линии

Случаят, когато залата пее в хор. Две линии могат:

1) съвпадение;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : моля, запомнете математическия знак на кръстовището, той ще се случва много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителното положение на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две линии съвпадат, ако и само ако съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Да разгледаме прави линии и да съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалете с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две линии са успоредни, ако и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , но.

Като пример, разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Ясно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат, ако и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , следователно, системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практическите задачи може да се използва току-що разгледаната схема на решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока. Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа. Но има по-цивилизован пакет:

Пример 1

Разберете относителното положение на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме векторите на посоката на линиите: .

, така че векторите не са колинеарни и линиите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстовището:

Останалите прескачат камъка и следват, направо към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете векторите на посоката на линиите:

Линиите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете векторите на посоката на линиите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата свободни термина са нулеви, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение(по принцип отговаря на всяко число).

По този начин линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нещо за самостоятелно решение, по-добре е да поставите още една важна тухла в геометричната основа:

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

За непознаване на тази най-проста задача Славеят Разбойникът строго наказва.

Пример 2

Правата линия се дава от уравнението . Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете неизвестния ред с буквата. Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако линиите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за конструиране на правата "te".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат един и същ вектор на посоката (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи е лесна за извършване устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете ли, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата if

Има рационален и не много рационален начин за решаване. Най-краткият път е в края на урока.

Направихме малко работа с успоредните линии и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че помислете за проблем, който ви е познат от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прави се пресичат в точката , тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерите точката на пресичане на линиите? Решете системата.

Ето за теб геометричен смисълдве линейни уравненияс две неизвестниса две пресичащи се (най-често) прави линии на равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичен начине просто да начертаете дадените линии и да откриете пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата точка: . За да проверите, трябва да замените неговите координати във всяко уравнение на права линия, те трябва да се поберат както там, така и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата. Всъщност ние разгледахме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават по този начин, въпросът е, че правилното и ТОЧЕН чертежвремето ще мине. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да е някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка аналитичен метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на последователно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как да решим система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример "направи си сам". Задачата може удобно да бъде разделена на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Открийте относителното положение на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, тогава намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Чифт обувки все още не е износен, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на дадената, и сега колибата на пилешки бутчета ще се обърне на 90 градуса:

Как да начертаем линия, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия се дава от уравнението . Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: Известно е по предположение, че . Би било хубаво да намерите вектора на посоката на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на векторизаключаваме, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за устно изпълнение.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни линии, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример "направи си сам". В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Е наш забавно пътуванепродължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица на реката и нашата задача е да стигнем до нея по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде движението по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията се обозначава традиционно гръцка буква"ro", например: - разстоянието от точката "em" до права линия "de".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до линията е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб от 1 единица. \u003d 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката по отношение на правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма на решението с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на сегмента. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на отсечкатанамирам .

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.

Тук може да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, което ви позволява да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.

Как да намеря разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример за независимо решение. Малък намек: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да отгатнете сами, мисля, че успяхте да разпръснете добре изобретателността си.

Ъгъл между две линии

Какъвто и да е ъгълът, тогава и косъмът:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.

Ако линиите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме като ъгъл между тях.

Как са различни ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е от основно значение. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намерим ъглите, лесно може да се получи отрицателен резултат и това не бива да ви изненада. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. В чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите неговата ориентация (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Как да намеря ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решениеи Метод първи

Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ вид:

Ако прави не перпендикулярно, тогава ориентираниъгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем голямо внимание на знаменателя - това е точно скаларен продуктвектори на посоката на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва, а векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо беше направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларното произведение на насочващите вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

Чрез обратна функциялесно се намира самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на тангенса на дъгата (виж фиг. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочете точна стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето една геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и „усукването“ на ъгъла започва именно от него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да смените правите линии, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение , и вземете коефициентите от първото уравнение . Накратко, трябва да започнете с директен .

Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра от точката до правата. В описателната геометрия тя се определя графично според алгоритъма по-долу.

Алгоритъм

1. Правата линия се прехвърля в позиция, в която ще бъде успоредна на всяка проекционна равнина. За да направите това, приложете методите за трансформация на ортогонални проекции.
2. Начертайте перпендикуляр от точка към права. Тази конструкция се основава на теорема за проекцията на прав ъгъл.
3. Дължината на перпендикуляр се определя чрез преобразуване на неговите проекции или чрез използване на метода на правоъгълния триъгълник.

Следната фигура показва сложна рисункаточка M и права b, дадени от отсечка CD. Трябва да намерите разстоянието между тях.

Според нашия алгоритъм, първото нещо, което трябва да направите, е да преместите линията в позиция, успоредна на равнината на проекцията. Важно е да се разбере, че след трансформациите действителното разстояние между точката и линията не трябва да се променя. Ето защо тук е удобно да се използва методът за смяна на равнината, който не включва движещи се фигури в пространството.

Резултатите от първия етап на строителството са показани по-долу. Фигурата показва как се въвежда допълнителна фронтална равнина P 4, успоредна на b. AT нова система(P 1 , P 4) точки C"" 1, D"" 1, M"" 1 са на същото разстояние от оста X 1, както C"", D"", M"" от оста X.

Изпълнявайки втората част на алгоритъма, от M"" 1 спускаме перпендикуляра M"" 1 N"" 1 към правата b"" 1, тъй като правият ъгъл MND между b и MN се проектира върху равнината P 4 в пълен размер. Определяме позицията на точката N" по комуникационната линия и начертаваме проекцията M"N" на отсечката MN.

На финален етапнеобходимо е да се определи стойността на отсечката MN по неговите проекции M"N" и M"" 1 N"" 1 . За това изграждаме правоъгълен триъгълник M"" 1 N"" 1 N 0 , чийто катет N"" 1 N 0 е равен на разликата (Y M 1 – Y N 1) на отстраняването на точки M" и N" от оста X 1. Дължината на хипотенузата M"" 1 N 0 на триъгълника M"" 1 N"" 1 N 0 съответства на желаното разстояние от M до b.

Вторият начин за решаване

• Успоредно на CD въвеждаме нова фронтална равнина П 4 . Той пресича P 1 по оста X 1 и X 1 ∥C"D". В съответствие с метода за смяна на равнините, ние определяме проекциите на точките C "" 1, D"" 1 и M"" 1, както е показано на фигурата.
• Перпендикулярно на C "" 1 D "" 1 изграждаме допълнителна хоризонтална равнина P 5, върху която правата линия b се проектира до точката C" 2 \u003d b" 2.
• Разстоянието между точка M и правата b се определя от дължината на отсечката M "2 C" 2, означена в червено.

Свързани задачи:

Тази статия говори по темата « разстояние от точка до линия », дефинициите на разстоянието от точка до права се разглеждат с илюстрирани примери по метода на координатите. Всеки блок от теория в края е показал примери за решаване на подобни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Разстоянието от точка до права се намира чрез определяне на разстоянието от точка до точка. Нека разгледаме по-подробно.

Нека има права a и точка M 1, които не принадлежат на дадената права. Начертайте линия през нея, разположена перпендикулярно на линията a. Вземете точката на пресичане на линиите като H 1. Получаваме, че M 1 H 1 е перпендикуляр, който е спуснат от точка M 1 до правата a.

Определение 1

Разстояние от точка M 1 до права линия aнаречено разстоянието между точките M 1 и H 1 .

Има записи на определението с фигурата на дължината на перпендикуляра.

Определение 2

Разстояние от точка до линияе дължината на перпендикуляра, изтеглен от дадена точка до дадена права.

Определенията са еквивалентни. Помислете за фигурата по-долу.

Известно е, че разстоянието от точка до права линия е най-малкото от всички възможни. Нека разгледаме това с пример.

Ако вземем точката Q, лежаща на правата a, която не съвпада с точката M 1, тогава получаваме, че отсечката M 1 Q се нарича наклонена, спусната от M 1 до правата a. Необходимо е да се посочи, че перпендикулярът от точка M 1 е по-малък от всяка друга наклона, изтеглена от точката към правата линия.

За да докажете това, разгледайте триъгълника M 1 Q 1 H 1 , където M 1 Q 1 е хипотенузата. Известно е, че дължината му винаги е по-голяма от дължината на който и да е от краката. Следователно имаме, че M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Първоначалните данни за намиране от точка до права позволяват използването на няколко метода за решаване: чрез Питагоровата теорема, дефиниции на синус, косинус, тангенс на ъгъл и др. Повечето задачи от този тип се решават в училище в уроците по геометрия.

Когато при намиране на разстоянието от точка до права е възможно да се въведе правоъгълна координатна система, тогава се използва координатният метод. В този параграф разглеждаме основните два метода за намиране на желаното разстояние от дадена точка.

Първият метод включва намиране на разстоянието като перпендикуляр, начертан от M 1 до правата a. Вторият метод използва нормалното уравнение на правата линия a, за да намери необходимото разстояние.

Ако в равнината има точка с координати M 1 (x 1, y 1), разположена в правоъгълна координатна система, права линия a, и трябва да намерите разстоянието M 1 H 1, можете да изчислите по два начина. Нека ги разгледаме.

Първи начин

Ако има координати на точка H 1, равни на x 2, y 2, тогава разстоянието от точката до правата се изчислява от координатите по формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Сега нека преминем към намирането на координатите на точка H 1.

Известно е, че права линия в O x y съответства на уравнението на права линия в равнина. Нека вземем начин да дефинираме права линия a чрез написване на общо уравнение на права линия или уравнение с наклон. Съставяме уравнението на права линия, която минава през точката M 1 перпендикулярно на дадена права a. Нека означим линията с бук b . H 1 е пресечната точка на линиите a и b, така че за да определите координатите, трябва да използвате артикула, в който въпросниятвърху координатите на точките на пресичане на две прави.

Вижда се, че алгоритъмът за намиране на разстоянието от дадена точка M 1 (x 1, y 1) до права линия a се извършва според точките:

Определение 3

• намиране на общото уравнение на правата линия a, имаща формата A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, или уравнение с коефициент на наклон, имащо формата y = k 1 x + b 1;
• получаване на общото уравнение на правата b, която има формата A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 или уравнение с наклон y = k 2 x + b 2, ако правата b пресича точката M 1 и е перпендикулярна на дадената права a;
• като се определят координатите x 2, y 2 на точка H 1, която е пресечната точка a и b, за това се решава системата от линейни уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• изчисляване на необходимото разстояние от точка до права линия, като се използва формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Втори начин

Теоремата може да помогне да се отговори на въпроса за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права на равнина.

Теорема

Правоъгълна координатна система има O x y има точка M 1 (x 1, y 1), от която е проведена права линия a към равнината, дадена от нормалното уравнение на равнината, имаща формата cos α x + cos β y - p = 0, равно на стойността, получена от лявата страна на уравнението на нормалната права линия, изчислена при x = x 1, y = y 1, означава, че M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Доказателство

Правата a съответства на нормалното уравнение на равнината, което има формата cos α x + cos β y - p = 0, тогава n → = (cos α , cos β) се счита за нормален вектор на правата a при a разстояние от началото до правата a с p единици. Необходимо е да се изобразят всички данни на фигурата, да се добави точка с координати M 1 (x 1, y 1) , където радиус векторът на точката M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Необходимо е да се направи права линия от точка до права линия, която ще означим с M 1 H 1 . Необходимо е да се покажат проекциите M 2 и H 2 на точки M 1 и H 2 върху права линия, минаваща през точка O с насочващ вектор от вида n → = (cos α , cos β) , като ние означаваме числова проекция на вектора като O M 1 → = (x 1 , y 1) към посоката n → = (cos α , cos β) като n p n → O M 1 → .

Вариациите зависят от местоположението на самата точка M 1. Помислете за фигурата по-долу.

Фиксираме резултатите с помощта на формулата M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . След това привеждаме равенството до тази форма M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, за да получим n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скаларното произведение на векторите води до трансформирана формула от вида n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , която е произведение в координатна форма на форма n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Оттук получаваме, че n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . От това следва, че M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теоремата е доказана.

Получаваме, че за намиране на разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1) до правата линия a на равнината трябва да се извършат няколко действия:

Определение 4

• получаване на нормалното уравнение на правата a cos α · x + cos β · y - p = 0, при условие че не е в задачата;
• изчисляване на израза cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , където получената стойност приема M 1 H 1 .

Нека приложим тези методи за решаване на задачи с намиране на разстоянието от точка до равнина.

Пример 1

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 (- 1 , 2) до правата 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Решение

Нека използваме първия метод за решаване.

За да направите това, трябва да намерите общото уравнение на правата b, която минава през дадена точка M 1 (- 1 , 2) перпендикулярно на правата 4 x - 3 y + 35 = 0. От условието може да се види, че правата b е перпендикулярна на права а, тогава нейният вектор на посоката има координати, равни на (4, - 3) . По този начин имаме възможност да напишем каноничното уравнение на правата b на равнината, тъй като има координати на точката M 1, принадлежи на правата b. Да определим координатите на насочващия вектор на правата b . Получаваме, че x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Полученото канонично уравнение трябва да се преобразува в общо. Тогава получаваме това

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Нека намерим координатите на точките на пресичане на линиите, които ще вземем като обозначение H 1. Трансформациите изглеждат така:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

От горното имаме, че координатите на точка H 1 са (- 5; 5) .

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точка M 1 до правата линия a. Имаме, че координатите на точките M 1 (- 1, 2) и H 1 (- 5, 5), след което заместваме във формулата за намиране на разстоянието и получаваме, че

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 \u003d 5

Второто решение.

За да се реши по друг начин, е необходимо да се получи нормалното уравнение на права линия. Изчисляваме стойността на нормализиращия фактор и умножаваме двете страни на уравнението 4 x - 3 y + 35 = 0 . От тук получаваме, че нормализиращият фактор е - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормалното уравнение ще бъде от вида - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Съгласно алгоритъма за изчисление е необходимо да се получи нормалното уравнение на права линия и да се изчисли със стойностите x = - 1, y = 2. Тогава получаваме това

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

От тук получаваме, че разстоянието от точката M 1 (- 1 , 2) до дадената права 4 x - 3 y + 35 = 0 има стойност - 5 = 5 .

Отговор: 5 .

Вижда се, че при този метод е важно да се използва нормалното уравнение на права линия, тъй като този метод е най-краткият. Но първият метод е удобен с това, че е последователен и логичен, въпреки че има повече точки за изчисление.

Пример 2

На равнината има правоъгълна координатна система O x y с точка M 1 (8, 0) и права линия y = 1 2 x + 1. Намерете разстоянието от дадена точка до права линия.

Решение

Решението по първия начин предполага намаляване дадено уравнениес наклон към уравнението общ изглед. За да опростите, можете да го направите по различен начин.

Ако произведението на наклоните на перпендикулярни линии има стойност - 1, тогава наклонправата, перпендикулярна на даденото y = 1 2 x + 1, има стойност 2 . Сега получаваме уравнението на права линия, минаваща през точка с координати M 1 (8, 0) . Имаме, че y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Пристъпваме към намирането на координатите на точката H 1, тоест пресечните точки y = 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1. Съставяме система от уравнения и получаваме:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x = 6 \u003d y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

От това следва, че разстоянието от точката с координати M 1 (8 , 0) до правата y = 1 2 x + 1 е равно на разстоянието от началната и крайната точка с координати M 1 (8 , 0) и H 1 (6, 4) . Нека пресметнем и получим, че M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Решението по втория начин е да се премине от уравнението с коефициент към нормалната му форма. Тоест получаваме y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, тогава стойността на нормализиращия коефициент ще бъде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . От това следва, че нормалното уравнение на права линия има формата - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Нека изчислим от точка M 1 8 , 0 до права линия от вида - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Получаваме:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Отговор: 2 5 .

Пример 3

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точката с координати M 1 (- 2 , 4) до правите 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0 .

Решение

Получаваме уравнението на нормалната форма на правата линия 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

След това пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 - 2, 4 до правата линия x - 3 2 = 0. Получаваме:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Праволинейното уравнение y + 1 = 0 има нормализиращ коефициент със стойност -1. Това означава, че уравнението ще приеме формата - y - 1 = 0 . Пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 (- 2 , 4 ) до правата - y - 1 = 0 . Получаваме, че е равно на - 4 - 1 = 5.

Отговор: 3 1 2 и 5 .

Нека разгледаме подробно определянето на разстоянието от дадена точка на равнината до координатните оси O x и O y.

В правоъгълна координатна система оста O y има уравнение на права линия, което е непълно и има формата x = 0 и O x - y = 0. Уравненията са нормални за координатните оси, тогава е необходимо да се намери разстоянието от точката с координати M 1 x 1 , y 1 до правите. Това се прави въз основа на формулите M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1 . Помислете за фигурата по-долу.

Пример 4

Намерете разстоянието от точката M 1 (6, - 7) до координатните прави, разположени в равнината O x y.

Решение

Тъй като уравнението y \u003d 0 се отнася до линията O x, можете да намерите разстоянието от M 1 с дадени координати до тази линия, като използвате формулата. Получаваме, че 6 = 6.

Тъй като уравнението x \u003d 0 се отнася до линията O y, можете да намерите разстоянието от M 1 до тази линия, като използвате формулата. Тогава получаваме, че - 7 = 7.

Отговор:разстоянието от M 1 до O x има стойност 6, а от M 1 до O y има стойност 7.

Когато в триизмерното пространство имаме точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1), е необходимо да се намери разстоянието от точка A до правата a.

Помислете за два начина, които ви позволяват да изчислите разстоянието от точка до права линия a, разположена в пространството. Първият случай разглежда разстоянието от точката M 1 до правата, където точката на правата се нарича H 1 и е основата на перпендикуляра, изтеглен от точка M 1 към правата a. Вторият случай предполага, че точките на тази равнина трябва да се търсят като височината на успоредника.

Първи начин

От дефиницията имаме, че разстоянието от точката M 1, разположена на правата линия a, е дължината на перпендикуляра M 1 H 1, тогава получаваме това с намерените координати на точка H 1, след което намираме разстоянието между M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и H 1 (x 1, y 1, z 1) въз основа на формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Получаваме, че цялото решение отива за намиране на координатите на основата на перпендикуляра, изтеглен от M 1 към правата a. Това се прави по следния начин: H 1 е точката, в която правата a се пресича с равнината, която минава през дадената точка.

Това означава, че алгоритъмът за определяне на разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до правата линия a на пространството предполага няколко точки:

Определение 5

• съставяне на уравнението на равнината χ като уравнение на равнината, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на правата;
• определяне на координатите (x 2 , y 2 , z 2), принадлежащи на точка H 1, която е пресечната точка на правата a и равнината χ ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права по формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Втори начин

От условието имаме права a, тогава можем да определим вектора на посоката a → = a x, a y, a z с координати x 3, y 3, z 3 и определена точка M 3, принадлежаща на правата a. Като се имат предвид координатите на точките M 1 (x 1 , y 1) и M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → могат да бъдат изчислени:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Необходимо е да отложите векторите a → \u003d a x, a y, a z и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 от точката M 3, свържете се и вземете фигура на успоредник. M 1 H 1 е височината на паралелограма.

Помислете за фигурата по-долу.

Имаме, че височината M 1 H 1 е желаното разстояние, тогава трябва да го намерите с помощта на формулата. Тоест търсим M 1 H 1 .

Обозначете площта на успоредника с буквата S, намира се по формулата с помощта на вектора a → = (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формулата за площ има формата S = a → × M 3 M 1 → . Също така, площта на фигурата е равна на произведението на дължините на страните и височината, получаваме, че S = a → M 1 H 1 с a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, което е дължината на вектора a → \u003d (a x, a y, a z), като равна странапаралелограм. Следователно M 1 H 1 е разстоянието от точката до правата. Намира се по формулата M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

За да намерите разстоянието от точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до права линия a в пространството, трябва да изпълните няколко точки от алгоритъма:

Определение 6

• определяне на вектора на посоката на правата линия a - a → = (a x , a y , a z) ;
• изчисляване на дължината на вектора на посоката a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• получаване на координатите x 3 , y 3 , z 3, принадлежащи на точка M 3, разположена на правата a;
• изчисляване на координатите на вектора M 3 M 1 → ;
• намиране на кръстосаното произведение на вектори a → (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 като a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 за получаване на дължината по формулата a → × M 3 M 1 → ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия в пространството

Пример 5

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 2 , - 4 , - 1 до правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Решение

Първият метод започва с изписване на уравнението на равнината χ, минаваща през M 1 и перпендикулярна на дадена точка. Получаваме израз като:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Необходимо е да се намерят координатите на точка H 1, която е пресечната точка с равнината χ на правата, дадена от условието. Необходимо е да се премине от каноничната форма към пресичащата се. Тогава получаваме система от уравнения от вида:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необходимо е да се изчисли системата x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 по метода на Крамер, тогава получаваме, че:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ 60 = 0

Следователно имаме, че H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Вторият метод трябва да започне с търсене на координати в каноничното уравнение. За да направите това, обърнете внимание на знаменателите на дроба. Тогава a → = 2 , - 1 , 5 е векторът на посоката на правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необходимо е да се изчисли дължината по формулата a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Ясно е, че правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 пресича точката M 3 (- 1 , 0 , - 5), следователно имаме, че векторът с начало M 3 (- 1 , 0 , - 5) и неговият край в точката M 1 2 , - 4 , - 1 е M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Намерете векторното произведение a → = (2, - 1, 5) и M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Получаваме израз от вида a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

получаваме, че дължината на кръстосаното произведение е a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Имаме всички данни, за да използваме формулата за изчисляване на разстоянието от точка за права линия, така че я прилагаме и получаваме:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Отговор: 11 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Първо ниво

Координати и вектори. Изчерпателно ръководство (2019)

В тази статия вие и аз ще започнем дискусия за една "магическа пръчка", която ще ви позволи да намалите много проблеми в геометрията до проста аритметика. Тази "пръчка" може да улесни живота ви много, особено когато се чувствате несигурни в изграждането на пространствени фигури, разрези и т. н. Всичко това изисква известно въображение и практически умения. Методът, който ще започнем да разглеждаме тук, ще ви позволи да се абстрахирате почти напълно от всички видове геометрични конструкции и разсъждения. Методът се нарича "координативен метод". В тази статия ще разгледаме следните въпроси:

1. Координатна равнина
2. Точки и вектори в равнината
3. Изграждане на вектор от две точки
4. Дължина на вектора (разстояние между две точки).
5. Координати на средната точка
6. Точково произведение на вектори
7. Ъгъл между два вектора

Мисля, че вече познахте защо координатният метод се нарича така? Вярно е, че получи такова име, тъй като не оперира с геометрични обекти, а с техните числени характеристики (координати). А самата трансформация, която прави възможно преминаването от геометрия към алгебра, се състои във въвеждане на координатна система. Ако оригиналната фигура е плоска, тогава координатите са двуизмерни, а ако фигурата е триизмерна, тогава координатите са триизмерни. В тази статия ще разгледаме само двуизмерния случай. И основната цел на статията е да ви научи как да използвате някои основни техники на координатния метод (те понякога се оказват полезни при решаване на задачи по планиметрия в част Б на Единния държавен изпит). Следващите два раздела по тази тема са посветени на обсъждането на методите за решаване на задачи C2 (проблема на стереометрията).

Къде би било логично да започнем да обсъждаме координатния метод? Вероятно с концепцията за координатна система. Спомнете си кога я срещнахте за първи път. Струва ми се, че в 7 клас, когато си научил за съществуването на линейна функция напр. Нека ви напомня, че сте го изградили точка по точка. Помниш ли? Избрахте произволно число, поставихте го във формулата и изчислихте по този начин. Например, ако, тогава, ако, тогава и т. н. Какво получихте в резултат? И сте получили точки с координати: и. След това нарисувахте „кръст“ (координатна система), избрахте мащаб върху него (колко клетки ще имате като един сегмент) и отбелязахте точките, които сте получили върху него, които след това свържете с права линия, получената линия е графиката на функцията.

Има няколко неща, които трябва да ви бъдат обяснени малко по-подробно:

1. Избирате един сегмент от съображения за удобство, така че всичко да пасне добре и компактно на снимката

2. Приема се, че оста върви от ляво на дясно, а оста върви отдолу нагоре

3. Те се пресичат под прав ъгъл, а точката на тяхното пресичане се нарича начало. Той е обозначен с буква.

4. В записа на координатата на точка, например, вляво в скоби е координатата на точката по оста, а вдясно по оста. По-специално, просто означава, че точката

5. За да зададете която и да е точка на координатната ос, трябва да посочите нейните координати (2 числа)

6. За всяка точка, лежаща на оста,

7. За всяка точка, лежаща на оста,

8. Оста се нарича ос x

9. Оста се нарича ос y

Сега нека направим следващата стъпка с вас: маркирайте две точки. Свържете тези две точки с линия. И нека поставим стрелката, сякаш чертаем сегмент от точка до точка: тоест ще направим нашия сегмент насочен!

Спомнете си какво е другото име за насочен сегмент? Точно така, това се нарича вектор!

По този начин, ако свържем точка с точка, и началото ще бъде точка А, а краят ще бъде точка Б,тогава получаваме вектор. Ти също си правил тази конструкция в 8 клас, помниш ли?

Оказва се, че векторите, както и точките, могат да бъдат обозначени с две числа: тези числа се наричат ​​координати на вектора. Въпрос: мислите ли, че е достатъчно да знаем координатите на началото и края на вектора, за да намерим неговите координати? Оказва се, че да! И е много лесно да се направи:

По този начин, тъй като във вектора точката е началото и края, векторът има следните координати:

Например, ако, тогава координатите на вектора

Сега нека направим обратното, да намерим координатите на вектора. Какво трябва да променим за това? Да, трябва да смените началото и края: сега началото на вектора ще бъде в точка, а краят в точка. Тогава:

Погледнете внимателно, каква е разликата между векторите и? Единствената им разлика са знаците в координатите. Те са противоположни. Този факт е написан така:

Понякога, ако не е изрично посочено коя точка е началото на вектора и коя е краят, тогава векторите се означават не с две главни букви, а с една малка буква, например: и т.н.

Сега малко практикаи намерете координатите на следните вектори:

Преглед:

Сега решете проблема малко по-трудно:

Векторен тор с on-cha-scrap в точка има co-or-di-on-you. Намерете-ди-те абс-цис-су точки.

Все едно е доста прозаично: Нека са координатите на точката. Тогава

Компилирах системата, като определих какви са координатите на вектор. Тогава точката има координати. Интересува ни абсцисата. Тогава

Отговор:

Какво друго можете да правите с вектори? Да, почти всичко е същото като при обикновените числа (освен че не можете да делите, но можете да умножите по два начина, единият от които ще обсъдим тук малко по-късно)

1. Векторите могат да бъдат подредени един с друг
2. Векторите могат да се изваждат един от друг
3. Векторите могат да бъдат умножени (или разделени) с произволно число, различно от нула
4. Векторите могат да се умножават един с друг

Всички тези операции имат доста визуално геометрично представяне. Например правилото за триъгълник (или успоредник) за събиране и изваждане:

Векторът се разтяга, свива или променя посоката, когато се умножи или раздели на число:

Тук обаче ще ни интересува въпросът какво се случва с координатите.

1. При събиране (изваждане) на два вектора събираме (изваждаме) техните координати елемент по елемент. т.е.:

2. При умножаване (деляне) на вектор по число, всичките му координати се умножават (дели) на това число:

Например:

· Намерете-ди-сумата от ко-или-ди-нат век-до-ра.

Нека първо намерим координатите на всеки от векторите. И двете имат един и същ произход - началната точка. Краищата им са различни. Тогава, . Сега изчисляваме координатите на вектора. Тогава сумата от координатите на получения вектор е равна на.

Отговор:

Сега сами решете следния проблем:

· Намерете сбора от координатите на вектора

Ние проверяваме:

Нека сега разгледаме следния проблем: имаме две точки в координатната равнина. Как да намеря разстоянието между тях? Нека първата точка бъде, а втората. Нека означим разстоянието между тях като . Нека направим следния чертеж за по-голяма яснота:

Какво съм направил? Първо се свързах точки и, асъщо нарисува линия, успоредна на оста от точката, и начерта линия, успоредна на оста от точката. Дали се пресичат в една точка, образувайки прекрасна фигура? Защо е прекрасна? Да, ти и аз знаем почти всичко за правоъгълния триъгълник. Е, Питагоровата теорема, със сигурност. Желаният сегмент е хипотенузата на този триъгълник, а отсечките са катета. Какви са координатите на точката? Да, те са лесни за намиране от снимката: Тъй като сегментите са успоредни на осите и съответно техните дължини са лесни за намиране: ако обозначим дължините на сегментите, съответно, чрез, тогава

Сега нека използваме питагоровата теорема. Знаем дължините на краката, ще намерим хипотенузата:

По този начин разстоянието между две точки е коренната сума от квадратите на разликите от координатите. Или - разстоянието между две точки е дължината на отсечката, който ги свързва. Лесно е да се види, че разстоянието между точките не зависи от посоката. Тогава:

От това правим три извода:

Нека потренираме малко в изчисляването на разстоянието между две точки:

Например, ако, тогава разстоянието между и е

Или да отидем по друг начин: намерете координатите на вектора

И намерете дължината на вектора:

Както виждате, същото е!

Сега практикувайте малко сами:

Задача: намерете разстоянието между дадените точки:

Ние проверяваме:

Ето още няколко проблема за същата формула, въпреки че звучат малко по-различно:

1. Намерете-ди-те квадрата на дължината на клепача-до-ра.

2. Най-ди-те квадрат на клепача дължина-до-ра

Предполагам, че лесно се справяте с тях? Ние проверяваме:

1. И това е за внимание) Вече намерихме координатите на векторите преди: . Тогава векторът има координати. Квадратът на неговата дължина ще бъде:

2. Намерете координатите на вектора

Тогава квадратът на неговата дължина е

Нищо сложно, нали? Проста аритметика, нищо повече.

Следните задачи не могат да се класифицират еднозначно, по-скоро са обща ерудицияи способността да рисувате прости картини.

1. Намерете-di-тези синус на ъгъла върху-clo-on-from-cut, свържете-една-n-та точка, с оста на абсцисата.

и

Как ще го направим тук? Трябва да намерите синуса на ъгъла между и оста. И къде да търсим синуса? Точно така, в правоъгълен триъгълник. И така, какво трябва да направим? Изградете този триъгълник!

Тъй като координатите на точката и, тогава сегментът е равен, а отсечката. Трябва да намерим синуса на ъгъла. Нека ви напомня, че синусът е съотношението на противоположния катет към хипотенузата

Какво ни остава да правим? Намерете хипотенузата. Можете да го направите по два начина: като използвате питагоровата теорема (катетата са известни!) или като използвате формулата за разстоянието между две точки (всъщност същото като първия метод!). Ще тръгна по втория път:

Отговор:

Следващата задача ще ви се стори още по-лесна. Тя - на координатите на точката.

Задача 2.От точката per-pen-di-ku-lar се спуска върху оста abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Нека направим рисунка:

Основата на перпендикуляра е точката, в която той пресича оста x (ос) за мен това е точка. Фигурата показва, че има координати: . Интересува ни абсцисата - тоест компонента "X". Тя е равностойна.

Отговор: .

Задача 3.При условията на предходната задача намерете сбора от разстоянията от точката до координатните оси.

Задачата по принцип е елементарна, ако знаете какво е разстоянието от точка до осите. Ти знаеш? Надявам се, но все пак ви напомням:

И така, в моя чертеж, разположен малко по-високо, вече съм изобразил един такъв перпендикуляр? Каква ос е? към оста. И каква е дължината му тогава? Тя е равностойна. Сега сами начертайте перпендикуляр на оста и намерете нейната дължина. Ще бъде равностойно, нали? Тогава тяхната сума е равна.

Отговор: .

Задача 4.В условията на задача 2 намерете ординатата на точката, симетрична на точката около оста x.

Мисля, че интуитивно разбирате какво е симетрия? Има много предмети: много сгради, маси, самолети, много геометрични фигури: топка, цилиндър, квадрат, ромб и т.н. Грубо казано, симетрията може да се разбере по следния начин: фигура се състои от две (или повече) еднакви половини. Тази симетрия се нарича аксиална. Тогава какво е ос? Това е точно линията, по която фигурата може, условно казано, да бъде „нарязана“ на еднакви половини (на тази снимка оста на симетрия е права):

Сега да се върнем към нашата задача. Знаем, че търсим точка, която е симетрична спрямо оста. Тогава тази ос е оста на симетрия. И така, трябва да отбележим точка, така че оста да разреже сегмента на две равни части. Опитайте се сами да отбележите такава точка. Сега сравнете с моето решение:

Вие направихте ли същото? Добре! В намерената точка ни интересува ординатата. Тя е равностойна

Отговор:

Сега ми кажете, след като помислих за секунда, каква ще бъде абсцисата на точката, симетрична на точка А около оста y? Какъв е отговора ти? Правилен отговор:.

Най-общо правилото може да се напише така:

Точка, симетрична на точка около оста x, има координатите:

Точка, симетрична на точка около оста y, има координати:

Е, сега е наистина страшно. задача: Намерете координатите на точка, която е симетрична на точка, спрямо началото. Първо се замислете сами, а после вижте моята рисунка!

Отговор:

Сега проблем с паралелограма:

Задача 5: Точките са ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Намери точки-ди-те или-ди-он-ту.

Можете да решите този проблем по два начина: логически и координатен метод. Първо ще приложа метода на координатите и след това ще ви кажа как можете да решите различно.

Съвсем ясно е, че абсцисата на точката е равна. (той лежи върху перпендикуляра, начертан от точката към оста x). Трябва да намерим ординатата. Нека се възползваме от факта, че нашата фигура е успоредник, което означава, че. Намерете дължината на отсечката, като използвате формулата за разстоянието между две точки:

Спускаме перпендикуляра, свързващ точката с оста. Точката на пресичане се обозначава с буква.

Дължината на сегмента е равна. (намерете проблема сами, където обсъждахме този момент), тогава ще намерим дължината на отсечката, използвайки питагоровата теорема:

Дължината на сегмента е точно същата като неговата ордината.

Отговор: .

Друго решение (ще дам само снимка, която го илюстрира)

Напредък на решението:

1. Похарчете

2. Намерете координатите и дължината на точката

3. Докажете това.

Друг проблем с дължината на рязане:

Точките са-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Намерете дължината на средната му линия, par-ral-lel-noy.

Помните ли каква е средната линия на триъгълник? Тогава за вас тази задача е елементарна. Ако не помните, тогава ще ви напомня: средната линия на триъгълник е линия, която свързва средните точки на противоположните страни. Тя е успоредна на основата и е равна на половината от нея.

Основата е сегмент. Трябваше да търсим дължината му по-рано, тя е равна. Тогава дължината на средната линия е наполовина по-дълга и равна.

Отговор: .

Коментар: Този проблем може да бъде решен по друг начин, към който ще се обърнем малко по-късно.

Междувременно, ето няколко задачи за вас, практикувайте върху тях, те са доста прости, но помагат да „напълните ръката си“ с помощта на координатния метод!

1. Точките се появяват-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Намерете дължината на средната му линия.

2. Точки и яв-ла-ют-ся вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Намери точки-ди-те или-ди-он-ту.

3. Намерете дължината от разреза, свържете втората точка и

4. Намерете-ди-те областта за-the-red-shen-noy fi-gu-ry на равнината ko-or-di-nat-noy.

5. Окръжност с център na-cha-le ko-or-di-nat минава през точка. Намерете-де-те нейните ра-ди-мустаци.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy близо до десния ъгъл-no-ka, върховете-shi-ny на нещо-ro-go имат co-or - ди-на-ти ко-от-отговор-но

Решения:

1. Известно е, че средната линия на трапец е равна на половината от сбора на неговите основи. Основата е равна, но основата. Тогава

Отговор:

2. Най-лесният начин да решите този проблем е да забележите това (правило на успоредника). Изчислете координатите на векторите и не е трудно: . При добавяне на вектори се добавят координатите. След това има координати. Точката има същите координати, тъй като началото на вектора е точка с координати. Интересуваме се от ординатата. Тя е равностойна.

Отговор:

3. Действаме веднага по формулата за разстоянието между две точки:

Отговор:

4. Погледнете снимката и кажете между кои две фигури е „притисната” защрихованата област? Той е затиснат между два квадрата. Тогава площта на желаната фигура е равна на площта на големия квадрат минус площта на малкия. Страната на малкия квадрат е сегмент, свързващ точките и дължината му е

Тогава площта на малкия квадрат е

Правим същото с голям квадрат: неговата страна е сегмент, свързващ точките и дължината му е равна на

Тогава площта на големия квадрат е

Площта на желаната фигура се намира по формулата:

Отговор:

5. Ако окръжността има начало за център и минава през точка, тогава нейният радиус ще бъде точно равен на дължината на отсечката (направете чертеж и ще разберете защо това е очевидно). Намерете дължината на този сегмент:

Отговор:

6. Известно е, че радиусът на окръжността, описана около правоъгълник, е равен на половината от неговия диагонал. Нека намерим дължината на всеки от двата диагонала (в края на краищата, в правоъгълник те са равни!)

Отговор:

Е, успя ли всичко? Не беше толкова трудно да го разбера, нали? Тук има само едно правило - да можете да направите визуална картина и просто да „четете“ всички данни от нея.

Много малко ни остава. Има буквално още две точки, които бих искал да обсъдя.

Нека се опитаме да решим този прост проблем. Нека две точки и са дадени. Намерете координатите на средата на отсечката. Решението на този проблем е следното: нека точката е желаната среда, тогава тя има координати:

т.е.: координати на средата на отсечката = средноаритметично на съответните координати на краищата на отсечката.

Това правило е много просто и обикновено не създава затруднения за учениците. Нека видим при какви проблеми и как се използва:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Точките са yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Намерете-ди-те или-ди-на-ту точки на повторно-ре-се-че-ния на неговия dia-go-on-lei.

3. Намерете-ди-те abs-cis-su на центъра на кръга, опишете-сан-ной близо до правоъгълника-но-ка, върховете-ши-имаме нещо-ро-го ко-или-ди- на-ти ко-от-вет-ственно-но.

Решения:

1. Първата задача е просто класика. Действаме незабавно, като определяме средата на сегмента. Тя има координати. Ординатата е равна.

Отговор:

2. Лесно е да се види, че дадения четириъгълник е успоредник (дори ромб!). Можете да го докажете сами, като изчислите дължините на страните и ги сравните една с друга. Какво знам за паралелограма? Неговите диагонали са разделени на две от пресечната точка! Аха! И така, каква е точката на пресичане на диагоналите? Това е средата на всеки от диагоналите! Ще избера по-специално диагонала. Тогава точката има координати.Ординатата на точката е равна на.

Отговор:

3. Какъв е центърът на окръжността, описана около правоъгълника? Той съвпада с пресечната точка на диагоналите му. Какво знаете за диагоналите на правоъгълника? Те са равни и пресечната точка е разделена наполовина. Задачата е сведена до предишната. Вземете, например, диагонала. Тогава, ако е центърът на описаната окръжност, тогава е средата. Търся координати: Абсцисата е равна.

Отговор:

Сега практикувайте малко сами, аз само ще дам отговорите на всеки проблем, за да можете да проверите сами.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy близо до триъгълника-но-ка, върховете на някой-ро-го имат ko-or-di -no misters

2. Намерете-ди-те или-ди-на-ту центъра на окръжността, опишете сан-ной близо до триъгълника-но-ка, върховете-ши-имаме нещо-ро-го координати

3. Какъв вид ra-di-y-sa трябва да има окръжност с център в точка, така че да докосва оста abs-ciss?

4. Намерете-di-te or-di-on-tha point of re-re-se-che-ing на оста и from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

Отговори:

Всичко ли се получи? Наистина се надявам на това! Сега - последният тласък. Сега бъдете особено внимателни. Материалът, който сега ще обясня е пряко свързан не само с прости задачикъм координатния метод от част B, но се среща и навсякъде в задача C2.

Кое от обещанията си още не съм спазил? Спомнете си какви операции с вектори обещах да въведа и кои в крайна сметка въведох? Сигурен ли съм, че не съм забравил нищо? Забравена! Забравих да обясня какво означава умножение на вектори.

Има два начина за умножение на вектор по вектор. В зависимост от избрания метод ще получим обекти от различно естество:

Векторният продукт е доста сложен. Как да го направите и защо е необходимо, ще обсъдим с вас в следващата статия. И в това ще се спрем на скаларното произведение.

Вече има два начина, които ни позволяват да го изчислим:

Както се досещате, резултатът трябва да е същият! Така че нека първо да разгледаме първия начин:

Точков продукт чрез координати

Намерете: - общо обозначение точков продукт

Формулата за изчисление е както следва:

Тоест точковото произведение = сумата от произведенията на координатите на векторите!

пример:

Find-dee-te

решение:

Намерете координатите на всеки от векторите:

Изчисляваме скаларното произведение по формулата:

Отговор:

Виждате ли, абсолютно нищо сложно!

Е, сега опитайте сами:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie век-до-ров и

Справихте ли се? Може би е забелязал малък трик? Да проверим:

Векторни координати, както в предишната задача! Отговор: .

В допълнение към координатата има и друг начин за изчисляване на скаларния продукт, а именно чрез дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях:

Означава ъгъла между векторите и.

Тоест скаларното произведение е равно на произведението на дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях.

Защо ни е нужна тази втора формула, ако имаме първата, която е много по-проста, поне в нея няма косинуси. И е необходимо, за да можем от първата и втората формули да изведем как да намерим ъгъла между векторите!

Нека Тогава запомнете формулата за дължината на вектор!

След това, ако включа тези данни във формулата на точковия продукт, получавам:

Но от другата страна:

И така, какво имаме? Сега имаме формула за изчисляване на ъгъла между два вектора! Понякога за краткост се пише и така:

Тоест алгоритъмът за изчисляване на ъгъла между векторите е както следва:

1. Изчисляваме скаларното произведение чрез координатите
2. Намерете дължините на векторите и ги умножете
3. Разделете резултата от точка 1 на резултата от точка 2

Нека се упражняваме с примери:

1. Намерете ъгъла между клепачите-до-ра-ми и. Дайте отговора си в градуси.

2. При условията на предходната задача намерете косинуса между векторите

Нека направим това: ще ви помогна да решите първия проблем и се опитайте сами да направите втория! Съгласен съм? Тогава да започваме!

1. Тези вектори са наши стари приятели. Вече разгледахме скаларното им произведение и то беше равно. Техните координати са: , . След това намираме техните дължини:

Тогава търсим косинуса между векторите:

Какъв е косинусът на ъгъла? Това е ъгълът.

Отговор:

Е, сега решете втория проблем сами и след това сравнете! Просто ще дам много кратко решение:

2. има координати, има координати.

Нека е ъгълът между векторите и, тогава

Отговор:

Трябва да се отбележи, че задачите директно върху векторите и метода на координатите в част Б изпитна работадоста рядко. Въпреки това, по-голямата част от проблемите на C2 могат лесно да бъдат решени чрез въвеждане на координатна система. Така че можете да разглеждате тази статия като основа, въз основа на която ще направим доста сложни конструкции, които трябва да решим предизвикателни задачи.

КООРДИНАТИ И ВЕКТОРИ. СРЕДНО НИВО

Ние с вас продължаваме да изучаваме метода на координатите. В последната част изведохме редица важни формули, които позволяват:

1. Намерете векторни координати
2. Намерете дължината на вектор (алтернативно: разстоянието между две точки)
3. Добавяне, изваждане на вектори. Умножете ги по реално число
4. Намерете средата на сегмент
5. Изчислете точковото произведение на векторите
6. Намерете ъгъла между векторите

Разбира се, целият координатен метод не се вписва в тези 6 точки. Тя е в основата на такава наука като аналитичната геометрия, с която ще се запознаете в университета. Просто искам да изградя основа, която ще ви позволи да решавате проблеми в една държава. изпит. Разбрахме задачите на част Б в Сега е време да преминем към качеството ново ниво! Тази статия ще бъде посветена на метод за решаване на онези C2 проблеми, при които би било разумно да се премине към координатния метод. Тази разумност се определя от това, което трябва да се намери в проблема и каква цифра е дадена. И така, бих използвал метода на координатите, ако въпросите са:

1. Намерете ъгъла между две равнини
2. Намерете ъгъла между права и равнина
3. Намерете ъгъла между две прави
4. Намерете разстоянието от точка до равнина
5. Намерете разстоянието от точка до права
6. Намерете разстоянието от права линия до равнина
7. Намерете разстоянието между две линии

Ако фигурата, дадена в условието на задачата, е тяло на въртене (топка, цилиндър, конус ...)

Подходящи фигури за координатния метод са:

1. кубоид
2. Пирамида (триъгълна, четириъгълна, шестоъгълна)

Също така според моя опит неуместно е използването на координатния метод за:

1. Намиране на областите на секции
2. Изчисления на обемите на телата

Трябва обаче веднага да се отбележи, че три „неблагоприятни“ ситуации за координатния метод са доста редки на практика. В повечето задачи може да стане ваш спасител, особено ако не сте много силни в триизмерните конструкции (които понякога са доста сложни).

Кои са всички цифри, които изброих по-горе? Те вече не са плоски, като квадрат, триъгълник, кръг, а обемни! Съответно трябва да разгледаме не двуизмерна, а триизмерна координатна система. Изгражда се доста лесно: само в допълнение към абсцисата и ординатите, ще въведем още една ос, апликатната ос. Фигурата показва схематично тяхното относително положение:

Всички те са взаимно перпендикулярни, пресичат се в една точка, която ще наречем начало. Оста на абсцисата, както и преди, ще бъде обозначена, оста на ординатите - , а въведената апликатна ос - .

Ако по-рано всяка точка от равнината се характеризираше с две числа - абсцисата и ординатата, тогава всяка точка в пространството вече се описва с три числа - абсцисата, ординатата, приложението. Например:

Съответно, абсцисата на точката е равна, ординатата е , а приложението е .

Понякога абсцисата на точка се нарича също проекция на точката върху оста на абсцисата, ординатата е проекцията на точката върху оста y, а апликацията е проекцията на точката върху оста на приложението. Съответно, ако е дадена точка, тогава точка с координати:

наречена проекция на точка върху равнина

наречена проекция на точка върху равнина

Възниква естествен въпрос: всички формули, получени за двумерния случай, валидни ли са в пространството? Отговорът е да, те са просто и имат еднакъв вид. За малка подробност. Мисля, че вече познахте коя. Във всички формули ще трябва да добавим още един член, отговорен за оста на приложението. А именно.

1. Ако са дадени две точки: , тогава:

• Координати на вектора:
• Разстояние между две точки (или векторна дължина)
• Средата на сегмента има координати

2. Ако са дадени два вектора: и, тогава:

• Техният точков продукт е:
• Косинусът на ъгъла между векторите е:

Пространството обаче не е толкова просто. Както разбирате, добавянето на още една координата въвежда значително разнообразие в спектъра от фигури, "живеещи" в това пространство. И за по-нататъшно разказване, трябва да представя някакво, грубо казано, "обобщение" на правата линия. Това "обобщение" ще бъде самолет. Какво знаеш за самолета? Опитайте се да отговорите на въпроса какво е самолет? Много е трудно да се каже. Въпреки това, всички ние интуитивно си представяме как изглежда:

Грубо казано, това е един вид безкраен „лист“, хвърлен в космоса. „Безкрайност“ трябва да се разбира, че равнината се простира във всички посоки, тоест нейната площ е равна на безкрайност. Това обяснение "на пръсти" обаче не дава ни най-малка представа за структурата на самолета. И ние ще се интересуваме от него.

Нека си спомним една от основните аксиоми на геометрията:

• в две различни точкиправа линия минава по равнината, освен това само една:

Или неговия аналог в космоса:

Разбира се, помните как да извлечете уравнението на права линия от две дадени точки, това изобщо не е трудно: ако първата точка има координати: а втората, тогава уравнението на правата линия ще бъде както следва:

Преминахте през това в 7 клас. В пространството уравнението на права линия изглежда така: нека имаме две точки с координати: , тогава уравнението на права линия, минаваща през тях, има вида:

Например, линия минава през точки:

Как трябва да се разбира това? Това трябва да се разбира по следния начин: точка лежи на права, ако нейните координати удовлетворяват следната система:

Няма да ни интересува много уравнението на права линия, но трябва да обърнем внимание на много важното понятие за насочващия вектор на права линия. - всякакви ненулев векторлежаща на дадена права или успоредна на нея.

Например и двата вектора са вектори на посоката на права линия. Позволявам да бъде точка, лежаща на права линия, и да бъде нейният насочващ вектор. Тогава уравнението на права линия може да се запише в следния вид:

Още веднъж, няма да се интересувам много от уравнението на права линия, но наистина имам нужда да запомните какво е вектор на посоката! Отново: това е ВСЕКИ ненулев вектор, лежащ на права или успореден на нея.

оттегли се триточково уравнение на равнинавече не е толкова тривиален и обикновено този въпрос не се разглежда в курса гимназия. Но напразно! Тази техника е жизненоважна, когато прибягваме до координатния метод за решаване на сложни проблеми. Предполагам обаче, че сте изпълнени с желание да научите нещо ново? Освен това ще можете да впечатлите преподавателя си в университета, когато се окаже, че вече знаете как да използвате техниката, която обикновено се изучава в курса на аналитичната геометрия. Така че нека започваме.

Уравнението на равнината не е твърде различно от уравнението на права линия върху равнина, а именно има формата:

някои числа (не всички нула), и променливи, например: и т.н. Както можете да видите, уравнението на равнината не се различава много от уравнението на права линия (линейна функция). Спомняте ли си обаче какво спорихме с вас? Казахме, че ако имаме три точки, които не лежат на една права линия, тогава уравнението на равнината се възстановява еднозначно от тях. Но как? Ще се опитам да ти обясня.

Тъй като уравнението на равнината е:

И точките принадлежат на тази равнина, тогава когато заменим координатите на всяка точка в уравнението на равнината, трябва да получим правилната идентичност:

По този начин има нужда да се решат три уравнения вече с неизвестни! Дилема! Въпреки това, винаги можем да приемем, че (за това трябва да разделим на). Така получаваме три уравнения с три неизвестни:

Ние обаче няма да решаваме такава система, а ще изпишем загадъчния израз, който следва от нея:

Уравнение на равнина, минаваща през три дадени точки

\[\вляво| (\begin(масив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(масив)) \вдясно| = 0\]

Спри се! Какво друго е това? Много необичаен модул! Обектът, който виждате пред себе си обаче, няма нищо общо с модула. Този обект се нарича детерминанта от трети ред. Оттук нататък, когато се занимавате с метода на координатите в равнина, често ще се натъквате на точно тези детерминанти. Какво е детерминанта от трети порядък? Колкото и да е странно, това е просто число. Остава да разберем какво конкретно число ще сравним с детерминанта.

Нека първо напишем детерминанта от трети порядък в по-общ вид:

Къде са някои цифри. Освен това под първия индекс имаме предвид номера на реда, а под индекса - номера на колоната. Например, това означава, че даденото число е в пресечната точка на втория ред и третата колона. Нека си зададем следния въпрос: как точно ще изчислим такъв детерминант? Тоест с кое конкретно число ще го сравним? За детерминанта точно от третия ред има евристично (визуално) правило за триъгълник, което изглежда така:

1. Произведението на елементите на главния диагонал (от горния ляв до долния десен) произведението на елементите, които образуват първия триъгълник "перпендикулярно" на главния диагонал, произведението на елементите, които образуват втория триъгълник "перпендикулярно" на главния диагонал
2. Произведението на елементите на вторичния диагонал (от горния десен до долния ляв) произведението на елементите, които образуват първия триъгълник "перпендикулярно" на вторичния диагонал, произведението на елементите, които образуват втория триъгълник "перпендикулярно" на вторичният диагонал
3. Тогава детерминантата е равна на разликата между стойностите, получени на стъпката и

Ако запишем всичко това в числа, тогава получаваме следния израз:

Не е нужно обаче да запомняте метода на изчисление в тази форма, достатъчно е просто да запазите триъгълниците в главата си и самата идея какво се добавя към какво и какво след това се изважда от какво).

Нека илюстрираме метода на триъгълника с пример:

1. Изчислете детерминанта:

Нека разберем какво добавяме и какво изваждаме:

Термини, които идват с "плюс":

Това е основният диагонал: продуктът на елементите е

Първият триъгълник, "перпендикулярен на главния диагонал: произведението на елементите е

Вторият триъгълник, "перпендикулярен на главния диагонал: произведението на елементите е

Събираме три числа:

Термини, които идват с "минус"

Това е страничен диагонал: произведението на елементите е

Първият триъгълник, "перпендикулярен на вторичния диагонал: произведението на елементите е

Вторият триъгълник, "перпендикулярен на вторичния диагонал: произведението на елементите е

Събираме три числа:

Всичко, което остава да се направи, е да се извади от сбора на плюсовете сумата от минусовите:

По този начин,

Както можете да видите, няма нищо сложно и свръхестествено в изчисляването на детерминанти от трети ред. Просто е важно да помните за триъгълниците и да не правите аритметични грешки. Сега се опитайте да изчислите сами:

Ние проверяваме:

1. Първият триъгълник, перпендикулярен на главния диагонал:
2. Вторият триъгълник, перпендикулярен на главния диагонал:
3. Сумата от плюсовите условия:
4. Първи триъгълник, перпендикулярен на страничния диагонал:
5. Вторият триъгълник, перпендикулярен на страничния диагонал:
6. Сборът от членове с минус:
7. Сума от плюс членове минус сума от минус членове:

Ето още няколко детерминанта за вас, изчислете сами стойностите им и сравнете с отговорите:

Отговори:

Е, всичко съвпадна ли? Страхотно, тогава можете да продължите! Ако има трудности, тогава моят съвет е следният: в интернет има куп програми за изчисляване на детерминанта онлайн. Всичко, от което се нуждаете, е да измислите свой собствен детерминант, да го изчислите сами и след това да го сравните с това, което изчислява програмата. И така, докато резултатите не започнат да съвпадат. Сигурен съм, че този момент няма да закъснее!

Сега да се върнем към детерминантата, която написах, когато говорих за уравнението на равнина, преминаваща през три дадени точки:

Всичко, което трябва да направите, е да изчислите стойността му директно (по метода на триъгълника) и да зададете резултата, равен на нула. Естествено, тъй като те са променливи, ще получите някакъв израз, който зависи от тях. Именно този израз ще бъде уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на една права линия!

Нека илюстрираме това с прост пример:

1. Построете уравнението на равнината, минаваща през точките

Ние съставяме детерминанта за тези три точки:

опростяване:

Сега го изчисляваме директно според правилото на триъгълниците:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ дясно| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

По този начин уравнението на равнината, минаваща през точките, е:

Сега се опитайте сами да решите един проблем и тогава ще го обсъдим:

2. Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките

Е, нека обсъдим решението сега:

Ние правим детерминанта:

И изчислете стойността му:

Тогава уравнението на равнината има вида:

Или, намалявайки с, получаваме:

Сега две задачи за самоконтрол:

1. Постройте уравнението на равнина, минаваща през три точки:

Отговори:

Всичко съвпадна ли? Отново, ако има определени трудности, тогава моят съвет е следният: вземете три точки от главата си (с голяма степен на вероятност те няма да лежат на една права линия), построете самолет върху тях. И след това се проверете онлайн. Например на сайта:

Но с помощта на детерминанти ще построим не само уравнението на равнината. Запомнете, казах ви, че за векторите не е дефиниран само точковият продукт. Има и вектор, както и смесен продукт. И ако скаларното произведение на два вектора ще бъде число, тогава векторното произведение на два вектора ще бъде вектор и този вектор ще бъде перпендикулярен на дадените:

И модулът му ще бъде равна на площпаралелограм, изграден върху вектори и. Ще ни трябва този вектор, за да изчислим разстоянието от точка до права. Как можем да изчислим кръстосаното произведение на векторите и дали са дадени техните координати? Определителят от трети порядък отново ни идва на помощ. Преди обаче да премина към алгоритъма за изчисляване на кръстосаното произведение, трябва да направя малко лирично отклонение.

Това отклонение се отнася до базисните вектори.

Схематично те са показани на фигурата:

Защо мислите, че се наричат ​​основни? Факт е, че:

Или на снимката:

Валидността на тази формула е очевидна, защото:

векторен продукт

Сега мога да започна да представям кръстосания продукт:

Векторното произведение на два вектора е вектор, който се изчислява съгласно следното правило:

Сега нека дадем няколко примера за изчисляване на кръстосаното произведение:

Пример 1: Намерете кръстосаното произведение на векторите:

Решение: правя детерминанта:

И аз го изчислявам:

Сега, от писането чрез базисни вектори, ще се върна към обичайната векторна нотация:

По този начин:

Сега опитайте.

Готов? Ние проверяваме:

И по традиция две задачи за контрол:

1. Намерете кръстосаното произведение на следните вектори:
2. Намерете кръстосаното произведение на следните вектори:

Отговори:

Смесен продукт от три вектора

Последната конструкция, от която се нуждая, е смесеното произведение на три вектора. То, като скалар, е число. Има два начина да го изчислите. - чрез детерминанта, - чрез смесеното произведение.

А именно, да кажем, че имаме три вектора:

Тогава смесеното произведение на три вектора, обозначени с, може да се изчисли като:

1. - тоест смесеното произведение е скаларното произведение на вектор и векторното произведение на два други вектора

Например, смесеният продукт на три вектора е:

Опитайте да го изчислите сами, като използвате векторния продукт и се уверете, че резултатите съвпадат!

И отново - два примера за независимо решение:

Отговори:

Избор на координатна система

Е, сега имаме цялата необходима основа от знания за решаване на сложни стереометрични задачи в геометрията. Въпреки това, преди да пристъпим директно към примерите и алгоритмите за тяхното решаване, смятам, че ще бъде полезно да се спрем на следния въпрос: как точно изберете координатна система за определена фигура.В крайна сметка изборът на относителното положение на координатната система и фигурата в пространството в крайна сметка ще определи колко тромави ще бъдат изчисленията.

Напомням ви, че в този раздел разглеждаме следните форми:

1. кубоид
2. Права призма (триъгълна, шестоъгълна...)
3. пирамида (триъгълна, четириъгълна)
4. Тетраедър (същото като триъгълна пирамида)

За кубоид или куб препоръчвам следната конструкция:

Тоест ще поставя фигурата „в ъгъла“. Кубът и кутията са много добри фигури. За тях винаги можете лесно да намерите координатите на върховете му. Например, ако (както е показано на снимката)

тогава координатите на върха са:

Разбира се, не е нужно да помните това, но е желателно да запомните как най-добре да позиционирате куб или правоъгълна кутия.

права призма

Призмата е по-вредна фигура. Можете да го подредите в пространството по различни начини. Въпреки това мисля, че следното е най-добрият вариант:

Триъгълна призма:

Това означава, че поставяме една от страните на триъгълника изцяло върху оста и един от върховете съвпада с началото.

Шестоъгълна призма:

Това означава, че един от върховете съвпада с началото, а една от страните лежи върху оста.

Четириъгълна и шестоъгълна пирамида:

Ситуация, подобна на куб: комбинираме две страни на основата с координатните оси, комбинираме един от върховете с началото. Единствената малка трудност ще бъде изчисляването на координатите на точката.

За шестоъгълна пирамида - същото като за шестоъгълна призма. Основната задача отново ще бъде намирането на координатите на върха.

Тетраедър (триъгълна пирамида)

Ситуацията е много подобна на тази, която дадох за триъгълната призма: един връх съвпада с началото, едната страна лежи върху координатната ос.

Е, сега ние с вас най-накрая сме близо до започване на решаване на проблеми. От това, което казах в самото начало на статията, можете да направите следния извод: повечето C2 проблеми попадат в 2 категории: проблеми за ъгъла и проблеми за разстоянието. Първо, ще разгледаме проблемите за намиране на ъгъл. Те от своя страна са разделени на следните категории (с увеличаване на сложността):

Проблеми с намирането на ъгли

1. Намиране на ъгъла между две прави
2. Намиране на ъгъла между две равнини

Нека разгледаме тези проблеми последователно: нека започнем с намирането на ъгъла между две прави линии. Хайде, не забравяйте, ние с вас решавахме ли подобни примери преди? Спомняте си, защото вече имахме нещо подобно... Търсихме ъгъл между два вектора. Напомням ви, ако са дадени два вектора: и, тогава ъгълът между тях се намира от отношението:

Сега имаме цел - намиране на ъгъла между две прави линии. Нека се обърнем към "плоската картина":

Колко ъгъла получаваме, когато две прави се пресичат? Вече нещата. Вярно е, че само две от тях не са равни, докато други са вертикални спрямо тях (и следователно съвпадат с тях). И така, какъв ъгъл трябва да вземем предвид ъгълът между две прави линии: или? Тук правилото е: ъгълът между две прави линии винаги е не повече от градуси. Тоест от два ъгъла винаги ще избираме ъгъла с най-малка градусова мярка. Тоест на тази снимка ъгълът между двете линии е равен. За да не се занимават всеки път с намирането на най-малкия от двата ъгъла, хитри математици предложиха да използвате модула. Така ъгълът между две прави линии се определя по формулата:

Вие, като внимателен читател, трябваше да имате въпрос: всъщност откъде да вземем тези числа, които са ни необходими, за да изчислим косинуса на ъгъл? Отговор: ще ги вземем от векторите на посоката на линиите! По този начин алгоритъмът за намиране на ъгъла между две линии е както следва:

1. Прилагаме формула 1.

Или по-подробно:

1. Търсим координатите на вектора на посоката на първата права линия
2. Търсим координатите на вектора на посоката на втория ред
3. Изчислете модула на скаларния им продукт
4. Търсим дължината на първия вектор
5. Търсим дължината на втория вектор
6. Умножете резултатите от точка 4 по резултатите от точка 5
7. Разделяме резултата от точка 3 на резултата от точка 6. Получаваме косинус на ъгъла между правите
8. Ако даден резултатви позволява да изчислите точно ъгъла, ние го търсим
9. В противен случай пишем през арккосинуса

Е, сега е време да преминем към задачите: ще демонстрирам подробно решението на първите две, ще представя решението на друго в обобщение, а за последните два проблема ще дам само отговори, трябва сами да извършите всички изчисления за тях.

задачи:

1. В дясната тет-ра-ед-ре намерете-ди-те ъгъла между вас-та-тоя тет-ра-ед-ра и страната на me-di-a-noy bo-ko-how.

2. В дясно-напред шест въглища-пи-ра-ми-де сто-ро-на-ос-но-ва-ния са някак равни, а страничните ребра са равни, намерете ъгъла между правите линии и.

3. Дължините на всички ръбове на десния четири-ти-реч-въглен-ной пи-ра-ми-ди са равни една на друга. Намерете ъгъла между правите линии и ако от-re-zok - you-so-that дадено pi-ra-mi-dy, точката е se-re-di-на нейното bo-ko- th ребро

4. На ръба на куба от-me-che-до точка, така че Намерете-di-te ъгъла между правите и

5. Точка - се-ре-ди-на ръбовете на куба Nai-di-te ъгъла между правите и.

Неслучайно поставих задачите в този ред. Докато все още не сте имали време да започнете да навигирате в координатния метод, аз самият ще анализирам най-„проблемните“ фигури и ще ви оставя да се справите с най-простия куб! Постепенно трябва да се научите да работите с всички фигури, аз ще увеличавам сложността на задачите от тема на тема.

Нека започнем да решаваме проблеми:

1. Начертайте тетраедър, поставете го в координатната система, както предложих по-рано. Тъй като тетраедърът е правилен, тогава всичките му лица (включително основата) са правилни триъгълници. Тъй като не ни е дадена дължината на страната, мога да я взема равна. Мисля, че разбирате, че ъгълът наистина няма да зависи от това колко ще бъде "разтегнат" нашия тетраедър?. Ще начертая също височината и медианата в тетраедъра. По пътя ще нарисувам основата му (ще ни е от полза и).

Трябва да намеря ъгъла между и. какво знаем ние? Знаем само координатите на точката. И така, трябва да намерим повече координати на точките. Сега мислим: точката е точка на пресичане на височини (или ъглополовящи или медиани) на триъгълник. Точката е издигната точка. Точката е средата на сегмента. След това накрая трябва да намерим: координатите на точките: .

Нека започнем с най-простото: координати на точки. Погледнете фигурата: Ясно е, че приложението на точка е равно на нула (точката лежи върху равнина). Неговата ордината е равна (защото е медиана). По-трудно е да се намери абсцисата му. Това обаче лесно се прави на базата на питагоровата теорема: Да разгледаме триъгълник. Хипотенузата му е равна и един от катетите е равен Тогава:

В крайна сметка имаме:

Сега нека намерим координатите на точката. Ясно е, че неговото приложение отново е равно на нула, а ординатата му е същата като тази на точка, т.е. Да намерим абсцисата му. Това се прави доста тривиално, ако човек го помни височините на равностранен триъгълник се делят на пресечната точка в пропорциятакато се брои отгоре. Тъй като:, тогава желаната абциса на точката, равна на дължината на отсечката, е равна на:. Така координатите на точката са:

Нека намерим координатите на точката. Ясно е, че нейната абсцисса и ордината съвпадат с абсцисата и ординатата на точката. А апликацията е равна на дължината на сегмента. - това е един от краката на триъгълника. Хипотенузата на триъгълник е отсечка - катет. Търси се за причините, които подчертах с удебелен шрифт:

Точката е средата на сегмента. След това трябва да запомним формулата за координатите на средата на сегмента:

Това е всичко, сега можем да търсим координатите на векторите на посоката:

Е, всичко е готово: заместваме всички данни във формулата:

По този начин,

Отговор:

Не бива да се страхувате от такива "ужасни" отговори: за проблеми C2 това е обичайна практика. По-скоро бих се изненадал от "красивия" отговор в тази част. Освен това, както отбелязахте, на практика не прибягнах до нищо друго освен питагоровата теорема и свойството на височините на равностранен триъгълник. Тоест, за да реша стереометричния проблем, използвах самия минимум стереометрия. Печалбата от това е частично "загасена" от доста тромави изчисления. Но те са доста алгоритмични!

2. Начертайте правилна шестоъгълна пирамида заедно с координатната система, както и нейната основа:

Трябва да намерим ъгъла между линиите и. Така нашата задача се свежда до намиране на координатите на точките: . Ще намерим координатите на последните три от малкия чертеж и ще намерим координатата на върха през координатата на точката. Много работа, но трябва да започнете!

а) Координата: ясно е, че нейното приложение и ордината са нула. Да намерим абсцисата. За да направите това, помислете за правоъгълен триъгълник. Уви, в него знаем само хипотенузата, която е равна на. Ще се опитаме да намерим катета (защото е ясно, че удвоената дължина на крака ще ни даде абсцисата на точката). Как да я търсим? Нека си спомним каква фигура имаме в основата на пирамидата? Това е правилен шестоъгълник. Какво означава? Това означава, че всички страни и всички ъгли са равни. Трябва да намерим един такъв ъгъл. Някакви идеи? Има много идеи, но има формула:

Сумата от ъглите на правилния n-ъгълник е .

Така сумата от ъглите на правилния шестоъгълник е градуси. Тогава всеки от ъглите е равен на:

Да погледнем отново снимката. Ясно е, че отсечката е ъглополовяща на ъгъла. Тогава ъгълът е градуси. Тогава:

Тогава къде.

Значи има координати

б) Сега лесно можем да намерим координатата на точката: .

в) Намерете координатите на точката. Тъй като абсцисата му съвпада с дължината на отсечката, тя е равна. Намирането на ординатата също не е много трудно: ако свържем точките и и обозначим пресечната точка на правата, да речем за. (направете сами проста конструкция). Тогава По този начин ординатата на точка B е равна на сумата от дължините на отсечките. Нека отново да разгледаме триъгълника. Тогава

Тогава от Тогава точката има координати

г) Сега намерете координатите на точката. Помислете за правоъгълник и докажете, че По този начин координатите на точката са:

д) Остава да се намерят координатите на върха. Ясно е, че нейната абсцисса и ордината съвпадат с абсцисата и ординатата на точката. Да намерим приложение. От тогава. Помислете за правоъгълен триъгълник. По условие на проблема, страничният ръб. Това е хипотенузата на моя триъгълник. Тогава височината на пирамидата е кракът.

Тогава точката има координати:

Това е всичко, имам координатите на всички точки, които ме интересуват. Търся координатите на насочващите вектори на правите:

Търсим ъгъла между тези вектори:

Отговор:

Отново при решаването на този проблем не използвах никакви сложни трикове, освен формулата за сумата от ъглите на правилен n-ъгъл, както и дефиницията на косинуса и синуса на правоъгълен триъгълник.

3. Тъй като отново не са ни дадени дължините на ръбовете в пирамидата, ще ги преброя равно на едно. По този начин, тъй като ВСИЧКИ ръбове, а не само страничните, са равни едно на друго, тогава в основата на пирамидата и мен лежи квадрат, а страничните лица са правилни триъгълници. Нека изобразим такава пирамида, както и нейната основа върху равнина, маркирайки всички данни, дадени в текста на задачата:

Търсим ъгъла между и. Ще направя много кратки изчисления, когато търся координатите на точките. Ще трябва да ги "дешифрирате":

б) - средата на сегмента. Нейните координати:

в) Ще намеря дължината на отсечката с помощта на Питагоровата теорема в триъгълник. Ще намеря по теоремата на Питагор в триъгълник.

Координати:

г) - средата на сегмента. Координатите му са

д) Векторни координати

е) Векторни координати

g) Търсене на ъгъл:

куб - най-простата фигура. Сигурен съм, че можеш да го разбереш сам. Отговорите на задачи 4 и 5 са ​​както следва:

Намиране на ъгъла между права и равнина

Е, времето за прости пъзели свърши! Сега примерите ще бъдат още по-трудни. За да намерим ъгъла между права и равнина, ще продължим както следва:

1. Използвайки три точки, изграждаме уравнението на равнината
   ,
   използвайки детерминанта от трети порядък.
2. По две точки търсим координатите на насочващия вектор на правата линия:
3. Прилагаме формулата за изчисляване на ъгъла между права линия и равнина:

Както можете да видите, тази формула е много подобна на тази, която използвахме за намиране на ъглите между две прави. Структурата на дясната страна е същата, а отляво сега търсим синус, а не косинус, както преди. Е, беше добавено едно гадно действие - търсенето на уравнението на самолета.

Нека не отлагаме примери за решаване:

1. Os-no-va-ni-em направо-моята награда-ние сме-la-et-xia равни-но-беден-ren-ny триъгълник-ник ти-с-тази награда-ние сме равни. Намерете ъгъла между правата линия и равнината

2. В правоъгълен pa-ral-le-le-pi-pe-de от запад Nai-di-te ъгълът между правата линия и равнината

3. В дясната шествъглена призма всички ръбове са равни. Намерете ъгъла между правата линия и равнината.

4. В десния триъгълен пи-ра-ми-де с ос-бут-ва-ни-ем от запад на реброто Най-ди-те ъгъл, об-ра-зо-ван -на равнина на ос. -но-ва-ния и права-моя, минаваща през се-ре-ди-на на ребрата и

5. Дължините на всички ръбове на дясното четириъгълно пи-ра-ми-ди с върха са равни една на друга. Намерете ъгъла между правата линия и равнината, ако точката е se-re-di-на bo-ko-in-th ръба на pi-ra-mi-dy.

Отново ще реша първите два проблема в детайли, третия - накратко, а последните два оставям да решите сами. Освен това вече трябваше да се справите с триъгълни и четириъгълни пирамиди, но с призми - още не.

Решения:

1. Начертайте призма, както и нейната основа. Нека го комбинираме с координатната система и маркираме всички данни, които са дадени в формулировката на проблема:

Извинявам се за някакво неспазване на пропорциите, но за решаването на проблема това всъщност не е толкова важно. Самолетът е просто " задна стена» на моята призма. Достатъчно е просто да предположим, че уравнението на такава равнина има формата:

Това обаче може да бъде показано и директно:

Избираме произволни три точки на тази равнина: например, .

Нека направим уравнението на равнината:

Упражнение за вас: изчислете сами тази детерминанта. Успяхте ли? Тогава уравнението на равнината има вида:

Или просто

По този начин,

За да реша примера, трябва да намеря координатите на насочващия вектор на правата линия. Тъй като точката съвпада с началото, координатите на вектора просто ще съвпаднат с координатите на точката.За да направим това, първо намираме координатите на точката.

За да направите това, помислете за триъгълник. Нека начертаем височина (тя също е медиана и ъглополовяща) от върха. Тъй като тогава ординатата на точката е равна. За да намерим абсцисата на тази точка, трябва да изчислим дължината на отсечката. По теоремата на Питагор имаме:

Тогава точката има координати:

Точката е "вдигната" върху точка:

Тогава координатите на вектора:

Отговор:

Както можете да видите, няма нищо фундаментално трудно в решаването на подобни проблеми. Всъщност „правостта“ на фигура като призма опростява процеса малко повече. Сега да преминем към следващия пример:

2. Начертаваме паралелепипед, начертаваме в него равнина и права линия, а също така отделно начертаваме долната му основа:

Първо, намираме уравнението на равнината: Координатите на трите точки, лежащи в нея:

(получават се първите две координати очевидния начин, и лесно можете да намерите последната координата от снимката от точката). След това съставяме уравнението на равнината:

Ние изчисляваме:

Търсим координатите на вектора на посоката: Ясно е, че координатите му съвпадат с координатите на точката, нали? Как да намеря координати? Това са координатите на точката, повдигната по оста на приложението с единица! . След това търсим желания ъгъл:

Отговор:

3. Начертайте правилна шестоъгълна пирамида и след това начертайте равнина и права линия в нея.

Тук дори е проблематично да се начертае равнина, да не говорим за решението на този проблем, но координатният метод не се интересува! Именно в неговата гъвкавост се крие основното му предимство!

Равнината минава през три точки: . Търсим техните координати:

едно). Покажете сами координатите за последните две точки. За това ще трябва да решите проблема с шестоъгълна пирамида!

2) Изграждаме уравнението на равнината:

Търсим координатите на вектора: . (Вижте отново проблема с триъгълната пирамида!)

3) Търсим ъгъл:

Отговор:

Както виждате, в тези задачи няма нищо свръхестествено трудно. Просто трябва да бъдете много внимателни с корените. На последните два проблема ще дам само отговори:

Както можете да видите, техниката за решаване на проблеми е една и съща навсякъде: основната задача е да намерите координатите на върховете и да ги замените в някои формули. Остава да разгледаме още един клас задачи за изчисляване на ъгли, а именно:

Изчисляване на ъгли между две равнини

Алгоритъмът на решението ще бъде както следва:

1. За три точки търсим уравнението на първата равнина:
2. За останалите три точки търсим уравнението на втората равнина:
3. Прилагаме формулата:

Както виждате, формулата е много подобна на предишните две, с помощта на които търсихме ъгли между прави и между права линия и равнина. Така че няма да можете да запомните това специална работа. Нека да преминем направо към проблема:

1. Сто-ро на основата на дясната триъгълна призма е равен, а диагоналът на страничната страна е равен. Намерете ъгъла между равнината и равнината на основата на наградата.

2. В дясно-напред четири-ти-ре-въглищ-ной пи-ра-ми-де всички ръбове на някого са равни, намерете синуса на ъгъла между равнината и равнината Ко-Сту, минаваща през точката на per-pen-di-ku-lyar-но направо-ми.

3. В правилната призма с четири въглища страните на ос-но-ва-ния са равни, а страничните ръбове са равни. На ръба от-ме-че-до точката, така че. Намерете ъгъла между равнините и

4. В дясната четириъгълна призма страните на основите са равни, а страничните ръбове са равни. На ръба от-ме-че-до точка, така че Намерете ъгъла между равнините и.

5. В куба намерете ко-синус на ъгъла между равнините и

Решения на проблеми:

1. Начертавам правилния (в основата е равностранен триъгълник) триъгълна призмаи отбелязвам върху него равнините, които се появяват в условието на проблема:

Трябва да намерим уравненията на две равнини: Основното уравнение се получава тривиално: можете да направите съответния детерминант за три точки, но аз ще направя уравнението веднага:

Сега нека намерим уравнението Точката има координати Точка - Тъй като - медианата и височината на триъгълника, лесно се намира по теоремата на Питагор в триъгълника. Тогава точката има координати: Намерете приложението на точката. За да направите това, разгледайте правоъгълен триъгълник

Тогава получаваме следните координати: Съставяме уравнението на равнината.

Изчисляваме ъгъла между равнините:

Отговор:

2. Изработване на чертеж:

Най-трудното е да се разбере каква мистериозна равнина е, минаваща през точка перпендикулярно. Е, основното е какво е то? Основното нещо е вниманието! Всъщност линията е перпендикулярна. Линията също е перпендикулярна. Тогава равнината, преминаваща през тези две прави, ще бъде перпендикулярна на правата и, между другото, ще премине през точката. Тази равнина също минава през върха на пирамидата. След това желания самолет - И самолетът вече ни е даден. Търсим координати на точки.

Намираме координатата на точката през точката. От малък чертеж е лесно да се заключи, че координатите на точката ще бъдат както следва: Какво остава да намерим сега, за да намерим координатите на върха на пирамидата? Все още трябва да се изчисли височината му. Това се прави с помощта на същата питагорова теорема: първо, докажете това (тривиално от малки триъгълници, образуващи квадрат в основата). Тъй като по условие имаме:

Сега всичко е готово: координати на върха:

Съставяме уравнението на равнината:

Вие вече сте експерт в изчисляването на детерминанти. Лесно ще получите:

Или иначе (ако умножим и двете части по корен от две)

Сега нека намерим уравнението на равнината:

(Не сте забравили как получаваме уравнението на равнината, нали? Ако не разбирате откъде идва това минус единица, тогава се върнете към определението на уравнението на равнината! Просто винаги се оказваше преди това че моят самолет принадлежи на произхода!)

Изчисляваме детерминанта:

(Може да забележите, че уравнението на равнината съвпада с уравнението на правата линия, минаваща през точките и! Помислете защо!)

Сега изчисляваме ъгъла:

Трябва да намерим синуса:

Отговор:

3. Сложен въпрос: какво е правоъгълна призма, как смятате? Това е просто добре познат паралелепипед за вас! Рисуване веднага! Можете дори да не изобразявате отделно основата, тук има малка полза от нея:

Равнината, както отбелязахме по-рано, се записва като уравнение:

Сега правим самолет

Веднага съставяме уравнението на равнината:

Търси се ъгъл

Сега отговорите на последните два проблема:

Е, сега е моментът да си починете, защото ние с вас сме страхотни и свършихме страхотна работа!

Координати и вектори. Напреднало ниво

В тази статия ще обсъдим с вас друг клас проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на координатния метод: задачи за разстояние. А именно, ще разгледаме следните случаи:

1. Изчисляване на разстоянието между косите линии.

Поръчал съм дадените задачи с нарастване на сложността им. Най-лесно е да се намери разстояние от точка до равнинаи най-трудната част е намирането разстояние между пресичащите се линии. Въпреки че, разбира се, няма нищо невъзможно! Нека не отлагаме и веднага да преминем към разглеждането на първия клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието от точка до равнина

Какво ни е необходимо, за да решим този проблем?

1. Координати на точки

И така, веднага щом получим всички необходими данни, прилагаме формулата:

Вече трябва да знаете как изграждаме уравнението на равнината от предишните задачи, които анализирах в последната част. Да се ​​заемем веднага с работата. Схемата е следната: 1, 2 - помагам ви да решите, и в някои подробности, 3, 4 - само отговорът, вие сами взимате решението и сравнявате. Започна!

задачи:

1. Даден е куб. Дължината на ръба на куба е Намерете-ди-те разстояние от се-ре-ди-ни от изрязване до плоско

2. Като се има предвид правото-vil-naya четири-ти-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe ръб сто-ро-на os-no-va-nia е равен. Намерете-ди-тези разстояния от точка до равнина, където - се-ре-ди-на ръбовете.

3. В дясно триъгълно пи-ра-ми-де с ос-бут-ва-ни-ем другият ръб е равен, а сто-ро-он ос-но-вания е равен. Намерете-di-тези разстояния от върха до равнината.

4. В дясната шествъглена призма всички ръбове са равни. Намерете-di-тези разстояния от точка до равнина.

Решения:

1. Начертайте куб с единични ръбове, изградете сегмент и равнина, означете средата на сегмента с буквата

.

Първо, нека започнем с един лесен: намерете координатите на точка. Оттогава (запомнете координатите на средата на сегмента!)

Сега съставяме уравнението на равнината върху три точки

\[\вляво| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Сега мога да започна да намирам разстоянието:

2. Отново започваме с чертеж, на който отбелязваме всички данни!

За пирамида би било полезно да начертаете основата й отделно.

Дори фактът, че рисувам като пилешка лапа, няма да ни попречи лесно да решим този проблем!

Сега е лесно да намерите координатите на точка

Тъй като координатите на точката

2. Тъй като координатите на точка а са средата на отсечката, тогава

Лесно можем да намерим координатите на още две точки от равнината. Съставяме уравнението на равнината и го опростяваме:

\[\вляво| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(масив)) \right|) \right| = 0\]

Тъй като точката има координати: , тогава изчисляваме разстоянието:

Отговор (много рядко!):

Е, разбра ли? Струва ми се, че тук всичко е също толкова техническо, колкото и в примерите, които разгледахме с вас в предишната част. Така че съм сигурен, че ако сте усвоили този материал, тогава няма да ви е трудно да решите останалите два проблема. Просто ще ви дам отговорите:

Изчисляване на разстоянието от права до равнина

Всъщност тук няма нищо ново. Как правата и равнината могат да бъдат разположени една спрямо друга? Те имат всички възможности: да се пресичат, или права линия е успоредна на равнината. Какво мислите е разстоянието от правата до равнината, с която се пресича дадената права? Струва ми се, че е ясно, че такова разстояние е равно на нула. Безинтересен случай.

Вторият случай е по-сложен: тук разстоянието вече е различно от нула. Въпреки това, тъй като правата е успоредна на равнината, тогава всяка точка от правата е еднакво отдалечена от тази равнина:

По този начин:

И това означава, че задачата ми е сведена до предишната: търсим координатите на всяка точка от правата, търсим уравнението на равнината, изчисляваме разстоянието от точката до равнината. Всъщност подобни задачи на изпита са изключително редки. Успях да намеря само един проблем, а данните в него бяха такива, че координатният метод не беше много приложим за него!

Сега нека преминем към друг, много по-важен клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието на точка до линия

Какво ще ни трябва?

1. Координатите на точката, от която търсим разстоянието:

2. Координати на всяка точка, лежаща на права линия

3. Координати на вектора на посоката на правата линия

Каква формула използваме?

Какво означава за вас знаменателят на тази дроб и така трябва да е ясно: това е дължината на насочващия вектор на правата линия. Ето един много сложен числител! Изразът означава модула (дължината) на векторното произведение на векторите и Как да изчислим векторното произведение, проучихме в предишната част на работата. Освежете знанията си, сега ще ни бъде много полезно!

По този начин алгоритъмът за решаване на проблеми ще бъде както следва:

1. Търсим координатите на точката, от която търсим разстоянието:

2. Търсим координатите на всяка точка от правата, до която търсим разстоянието:

3. Изграждане на вектор

4. Изграждаме вектора на посоката на правата линия

5. Изчислете кръстосаното произведение

6. Търсим дължината на получения вектор:

7. Изчислете разстоянието:

Имаме много работа, а примерите ще са доста сложни! Така че сега съсредоточете цялото си внимание!

1. Дана е десен триъгълен пи-ра-ми-да с връх. Сто-ро-на ос-но-ва-ния пи-ра-ми-ди е равно, ти-со-та е равно. Намерете-di-тези разстояния от se-re-di-ny на bo-ko-th ръба до правата линия, където точките и са se-re-di-ny на ребрата и co-from- vet -ствен-но.

2. Дължините на ребрата и десния ъгъл-no-para-ral-le-le-pi-pe-da са равни, съответно и Find-di-te разстояние от top-shi-ny до pravo-my

3. В дясната призма с шест въглища всички ръбове на рояка са еднакви find-di-тези разстояние от точка до права линия

Решения:

1. Правим чист чертеж, върху който отбелязваме всички данни:

Имаме много работа за вас! Първо бих искал да опиша с думи какво ще търсим и в какъв ред:

1. Координати на точки и

2. Координати на точки

3. Координати на точки и

4. Координати на вектори и

5. Тяхното кръстосано произведение

6. Дължина на вектора

7. Дължината на векторното произведение

8. Разстояние от до

Е, имаме много работа! Да запретнем ръкави!

1. За да намерим координатите на височината на пирамидата, трябва да знаем координатите на точката.Нейното приложение е нула, а ординатата е равна на абсцисата. Най-накрая получихме координатите:

Координати на точки

2. - средата на сегмента

3. - средата на сегмента

средна точка

4. Координати

Векторни координати

5. Изчислете векторния продукт:

6. Дължината на вектора: най-лесният начин е да замените, че сегментът е средната линия на триъгълника, което означава, че е равен на половината от основата. Така че.

7. Разглеждаме дължината на векторното произведение:

8. Накрая намерете разстоянието:

Фу, това е всичко! Честно казано, ще ви кажа: решаването на този проблем чрез традиционни методи (чрез конструкции) би било много по-бързо. Но тук намалих всичко до готов алгоритъм! Мисля, че алгоритъмът на решението ви е ясен? Затова ще ви помоля да разрешите сами останалите два проблема. Сравнете отговорите?

Отново повтарям: по-лесно (по-бързо) е тези проблеми да се решават чрез конструкции, вместо да се прибягва до координатния метод. Демонстрирах този начин на решаване само за да ви покажа универсален метод, който ви позволява да „не завършвате нищо“.

И накрая, разгледайте последния клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието между косите линии

Тук алгоритъмът за решаване на проблеми ще бъде подобен на предишния. Какво имаме:

3. Всеки вектор, свързващ точките от първия и втория ред:

Как да намерим разстоянието между редовете?

Формулата е:

Числителят е модулът на смесеното произведение (въведехме го в предишната част), а знаменателят - както в предишната формула (модулът на векторното произведение на насочващите вектори на линиите, разстоянието между които търсим за).

ще ви напомня това

тогава формулата за разстояние може да се пренапише като:

Разделете този детерминант на детерминанта! Макар че, честно казано, тук не съм в настроение за шеги! Тази формула, всъщност е много тромаво и води до доста сложни изчисления. Ако бях на твое място, щях да го използвам само в краен случай!

Нека се опитаме да решим няколко проблема, използвайки горния метод:

1. В дясната триъгълна призма всички ръбове са по някакъв начин равни, намерете разстоянието между правите и.

2. Като се има предвид триъгълна призма с дясна форма, всички ръбове на os-no-va-niya на някого са равни на Se-che-tion, преминавайки през другото ребро и se-re-di-nu ребра са яв-ла-ет-ся квадрат-ра-том. Намерете-ди-те дис-сто-и-ние между направо-ние-ми и

Аз решавам първото, а въз основа на него вие решавате второто!

1. Начертавам призма и маркирам линиите и

Координати на точка C: тогава

Координати на точки

Векторни координати

Координати на точки

Векторни координати

Векторни координати

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(масив)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(масив)\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\край(масив))\край(масив)) \вдясно| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Разглеждаме кръстосаното произведение между векторите и

\[\стрелка наддясно (A(A_1)) \cdot \стрелка над права (B(C_1)) = \ляво| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(масив)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\край(масив)\край(масив) \вдясно| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Сега разглеждаме неговата дължина:

Отговор:

Сега се опитайте внимателно да изпълните втората задача. Отговорът на него ще бъде:.

Координати и вектори. Кратко описание и основни формули

Векторът е насочен сегмент. - началото на вектора, - края на вектора.
Векторът се означава с или.

Абсолютна стойноствектор - дължината на сегмента, представляващ вектора. Обозначен като.

Координати на вектора:

,
където са краищата на вектора \displaystyle a .

Сума от вектори: .

Продуктът на векторите:

Точково произведение на вектори: