Определение.Правоъгълен триъгълник -триъгълник, единият от ъглите на който е прав (равен).

Правоъгълният триъгълник е частен случай на обикновен триъгълник. Следователно всички свойства на обикновените триъгълници за правоъгълни се запазват. Но има някои специфични свойства поради наличието на прав ъгъл.

Общо обозначение (фиг. 1):

- прав ъгъл;

- хипотенуза;

- крака;

.

Ориз. един.

ОТсвойства на правоъгълен триъгълник.

Свойство 1. Сборът от ъглите и правоъгълния триъгълник е .

Доказателство. Припомнете си, че сумата от ъглите на всеки триъгълник е . Като се има предвид факта, че , получаваме, че сумата от останалите два ъгъла е Това е,

Свойство 2. В правоъгълен триъгълник хипотенузаповече от който и да е от крака(е най-голямата страна).

Доказателство. Припомнете си, че в триъгълник срещу по-големия ъгъл лежи по-голямата страна (и обратно). От доказано по-горе свойство 1 следва, че сумата от ъглите и правоъгълния триъгълник е равна на . Тъй като ъгълът на триъгълник не може да бъде 0, всеки от тях е по-малък от . Това означава, че той е най-големият, което означава, че най-голямата страна на триъгълника лежи срещу него. Следователно хипотенузата е най-голямата страна на правоъгълен триъгълник, тоест:.

Свойство 3. В правоъгълен триъгълник хипотенузата е по-малка от сбора на катетите.

Доказателство. Това свойство става ясно, ако си припомним неравенство на триъгълник.

неравенство на триъгълник

Във всеки триъгълник сборът на всички две страни е по-голям от третата страна.

Свойство 3 непосредствено следва от това неравенство.

Забележка:въпреки факта, че всеки от катетите поотделно е по-малък от хипотенузата, тяхната сума се оказва по-голяма. В числов пример изглежда така: , но .

в:

1-ви знак (от 2 страни и ъгъла между тях):ако два триъгълника имат равни страни и ъгъл между тях, тогава такива триъгълници са равни.

2-ри знак (отстрани и два съседни ъгъла):ако триъгълниците имат еднаква страна и два ъгъла, съседни на дадена страна, тогава такива триъгълници са равни. Забележка:използвайки факта, че сумата от ъглите на триъгълник е постоянна и равна на , лесно е да се докаже, че условието за "съседство" на ъглите не е необходимо, тоест знакът ще бъде верен в следната формулировка: "... една страна и два ъгъла са равни, тогава ...".

3-ти знак (от 3 страни):ако и трите страни на триъгълника са равни, тогава такива триъгълници са равни.

Естествено, всички тези знаци остават верни за правоъгълните триъгълници. Правоъгълните триъгълници обаче имат една съществена характеристика - те винаги имат двойка равни прави ъгли. Следователно тези знаци са опростени за тях. И така, нека формулираме признаците на равенство на правоъгълни триъгълници:

1-ви знак (на два крака):ако краката на правоъгълните триъгълници са равни по двойки, то такива триъгълници са равни един на друг (фиг. 2).

дадено:

Ориз. 2. Илюстрация на първия знак за равенство на правоъгълни триъгълници

Докажи:

доказателство:в правоъгълни триъгълници: . И така, можем да използваме първия знак за равенство на триъгълници (на 2 страни и ъгъла между тях) и да получим: .

2-ти знак (на крака и ъгъла):ако катетът и острият ъгъл на един правоъгълен триъгълник са равни на катета и острия ъгъл на друг правоъгълен триъгълник, то такива триъгълници са равни един на друг (фиг. 3).

дадено:

Ориз. 3. Илюстрация на втория знак за равенство на правоъгълни триъгълници

Докажи:

доказателство:веднага отбелязваме, че фактът, че ъглите, съседни на равни катета, са равни, не е основен. Всъщност сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник (по свойство 1) е равна на . Следователно, ако едната двойка от тези ъгли е равна, тогава и другата е еднаква (тъй като техните суми са еднакви).

Доказателството за тази функция се свежда до използването втори знак за равенство на триъгълниците(в 2 ъгъла и отстрани). Всъщност, по условие, краката и двойка ъгли, съседни на тях, са равни. Но втората двойка ъгли, съседни на тях, се състои от ъглите . И така, можем да използваме втория критерий за равенство на триъгълниците и да получим: .

3-ти знак (по хипотенуза и ъгъл):ако хипотенузата и острият ъгъл на един правоъгълен триъгълник са равни на хипотенузата и острия ъгъл на друг правоъгълен триъгълник, то такива триъгълници са равни един на друг (фиг. 4).

дадено:

Ориз. 4. Илюстрация на третия знак за равенство на правоъгълни триъгълници

Докажи:

доказателство:за да докажете този знак, можете незабавно да използвате вторият знак за равенство на триъгълниците- от страна и два ъгъла (по-точно от следствието, което гласи, че ъглите не трябва да са съседни на страната). Наистина, от условието: , , и от свойствата на правоъгълните триъгълници следва, че . И така, можем да използваме втория критерий за равенство на триъгълниците и да получим: .

4-ти знак (по хипотенуза и крак):ако хипотенузата и катета на един правоъгълен триъгълник са равни съответно на хипотенузата и катета на друг правоъгълен триъгълник, то такива триъгълници са равни един на друг (фиг. 5).

дадено:

Ориз. 5. Илюстрация на четвъртия знак за равенство на правоъгълни триъгълници

Докажи:

доказателство:За да докажем този знак, ще използваме знака за равенство на триъгълниците, който формулирахме и доказахме в миналия урок, а именно: ако триъгълниците имат равни две страни и по-голям ъгъл, тогава такива триъгълници са равни. Наистина, по условие имаме две равни страни. В допълнение, чрез свойството на правоъгълни триъгълници: . Остава да се докаже, че правият ъгъл е най-големият в триъгълника. Да приемем, че това не е така, което означава, че трябва да има поне още един ъгъл, който е по-голям от . Но тогава сумата от ъглите на триъгълника вече ще бъде по-голяма. Но това е невъзможно, което означава, че такъв ъгъл не може да съществува в триъгълник. Следователно правият ъгъл е най-големият в правоъгълния триъгълник. Така че можете да използвате формулирания по-горе знак и да получите: .

Сега формулираме още едно свойство, което е характерно само за правоъгълните триъгълници.

Имот

Катетът срещу ъгъла е 2 пъти по-малък от хипотенузата(фиг. 6).

дадено:

Ориз. 6.

Докажи:АБ

доказателство:извършете допълнителна конструкция: удължете линията отвъд точката с сегмент, равен на . Да вземем точка. Тъй като ъглите и са съседни, тяхната сума е равна на . Тъй като , тогава ъгълът .

Значи правоъгълни триъгълници (по два крака: - общо, - по конструкция) - първият знак за равенство на правоъгълни триъгълници.

От равенството на триъгълниците следва равенството на всички съответни елементи. Означава,. Където: . В допълнение, (от равенството на всички същите триъгълници). Това означава, че триъгълникът е равнобедрен (тъй като има равни ъгли в основата), но равнобедрен триъгълник, единият от чийто ъгли е равен, е равностранен. От това следва по-специално, че .

Свойството на крака срещу ъгъла в

Струва си да се отбележи, че обратното твърдение също е вярно: ако в правоъгълен триъгълник хипотенузата е два пъти по-голяма от един от катета, тогава острият ъгъл срещу този крак е равен на.

Забележка: знакозначава, че ако някое твърдение е вярно, тогава триъгълникът е правоъгълен триъгълник. Това означава, че функцията ви позволява да идентифицирате правоъгълен триъгълник.

Важно е да не бъркате знака с Имот- тоест ако триъгълникът е правоъгълен, значи има такива свойства... Често знаците и свойствата са взаимно обратни, но не винаги. Например, свойството на равностранен триъгълник: равностранен триъгълник има ъгъл. Но това няма да е знак за равностранен триъгълник, тъй като не всеки триъгълник има ъгъл, е равностранен.

Решаването на геометрични задачи изисква огромно количество знания. Едно от основните определения на тази наука е правоъгълният триъгълник.

Тази концепция означава, че се състои от три ъгъла и

страни, а стойността на един от ъглите е 90 градуса. Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети, докато третата страна, която е срещу него, се нарича хипотенуза.

Ако краката на такава фигура са равни, тя се нарича равнобедрен правоъгълен триъгълник. В този случай има принадлежност към две, което означава, че се наблюдават свойствата на двете групи. Припомнете си, че ъглите в основата на равнобедрен триъгълник са абсолютно винаги равни, следователно острите ъгли на такава фигура ще включват 45 градуса всеки.

Наличието на едно от следните свойства ни позволява да твърдим, че един правоъгълен триъгълник е равен на друг:

1. краката на два триъгълника са равни;
2. фигурите имат еднаква хипотенуза и един от катета;
3. хипотенузата и всеки от острите ъгли са равни;
4. се спазва условието за равенство на катета и острия ъгъл.

Площта на правоъгълен триъгълник може лесно да се изчисли както с помощта на стандартни формули, така и като стойност, равна на половината от произведението на неговите крака.

В правоъгълен триъгълник се наблюдават следните отношения:

1. катетът не е нищо друго освен средната пропорционална на хипотенузата и нейната проекция върху нея;
2. ако опишете кръг около правоъгълен триъгълник, центърът му ще бъде в средата на хипотенузата;
3. височината, изтеглена от прав ъгъл, е средната пропорционална на проекциите на катетите на триъгълника върху неговата хипотенуза.

Интересно е, че независимо какъв е правоъгълният триъгълник, тези свойства винаги се спазват.

Питагорова теорема

В допълнение към горните свойства, правоъгълните триъгълници се характеризират със следното условие:

Тази теорема е кръстена на своя основател - Питагоровата теорема. Той открива тази връзка, когато изучава свойствата на построените квадрати

За да докажем теоремата, построяваме триъгълник ABC, чиито катети означаваме a и b, а хипотенузата c. След това ще изградим два квадрата. Едната страна ще бъде хипотенузата, а другата сумата от два катета.

Тогава площта на първия квадрат може да се намери по два начина: като сбор от площите на четирите триъгълника ABC и втория квадрат, или като квадрат на страната, естествено, тези съотношения ще бъдат равни. т.е.:

с 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 трансформираме получения израз:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

В резултат на това получаваме: c 2 \u003d a 2 + b 2

По този начин геометричната фигура на правоъгълния триъгълник съответства не само на всички свойства, характерни за триъгълниците. Наличието на прав ъгъл води до факта, че фигурата има други уникални връзки. Тяхното изследване е полезно не само в науката, но и в ежедневието, тъй като фигура като правоъгълен триъгълник се среща навсякъде.

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълно илюстрирано ръководство (2019)

ДЯСЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

В проблемите прав ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите как да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в такива

и в такива

Какво е хубавото на правоъгълния триъгълник? Е... на първо място има специални красиви имена за неговите партита.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: катета - два, а хипотенузата - само една(единствен, уникален и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното нещо: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много проблеми, включващи правоъгълен триъгълник. Доказано е от Питагор в съвсем незапомнени времена и оттогава донесе много ползи на тези, които го познават. И най-хубавото при нея е, че е проста.

Така, Питагорова теорема:

Помните ли шегата: „Питагорейските панталони са равни от всички страни!“?

Нека нарисуваме тези много питагорейски панталони и да ги разгледаме.

Наистина ли прилича на шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с питагоровата теорема, по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площ на квадратите, изграден върху краката, е равен на квадратна площизградена върху хипотенузата.

Не звучи ли малко по-различно, нали? И така, когато Питагор начерта твърдението на своята теорема, се оказа точно такава картина.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да запомнят децата по-добре, че сумата от квадратите на краката е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли тази шега за питагорейските панталони.

Защо сега формулираме питагоровата теорема

Страдал ли е Питагор и е говорил за квадрати?

Виждате ли, в древни времена не е имало... алгебра! Нямаше знаци и т.н. Нямаше надписи. Представяте ли си колко ужасно е било горките древни ученици да запомнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета.

Е, най-важната теорема за правоъгълен триъгълник беше обсъдена. Ако се интересувате как се доказва, прочетете следващите нива на теория, а сега да продължим ... в тъмната гора ... на тригонометрията! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, "реалното" определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но ти наистина не искаш, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е за ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат с думи твърдения 1 - 4. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли крак, който е срещу ъгъла, тоест противоположния крак (за ъгъла)? Разбира се има! Това е катет!

Но какво да кажем за ъгъла? Вгледай се по-внимателно. Кой крак е в непосредствена близост до ъгъла? Разбира се, котката. Така че за ъгъла кракът е съседен и

А сега внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е страхотно:

Сега да преминем към допирателната и котангенса.

Как да го изразя с думи сега? Какъв е кракът по отношение на ъгъла? Срещу, разбира се - "лежи" срещу ъгъла. А катета? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво получихме?

Вижте как се обръщат числителят и знаменателят?

И сега отново ъглите и направихме размяната:

Резюме

Нека запишем накратко какво сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълен триъгълник е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво представляват катета и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - освежете знанията си

Възможно е вече да сте използвали питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна. Как ще го докажеш? Да постъпим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Виждате колко хитро разделихме страните му на отсечки от дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете снимката и се замислете защо.

Каква е площта на по-големия квадрат?

Точно така, .

Ами по-малката площ?

Разбира се,.

Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че взехме две от тях и се опряхме един на друг с хипотенузи.

Какво стана? Два правоъгълника. Така че площта на "резниците" е равна.

Нека сглобим всичко сега.

Нека трансформираме:

Така че посетихме Питагор – доказахме неговата теорема по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник са валидни следните отношения:

Синусът на острия ъгъл е равен на съотношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на противоположния крак към съседния крак.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на съотношението на съседния крак към противоположния.

И още веднъж, всичко това под формата на чиния:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. На два крака

II. По крак и хипотенуза

III. По хипотенуза и остър ъгъл

IV. По протежение на крака и остър ъгъл

а)

б)

Внимание! Тук е много важно краката да си "съответстват". Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника кракът е бил съседен, или и в двата - срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълните триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълниците?

Погледнете темата „и обърнете внимание на факта, че за равенството на „обикновените“ триъгълници се нуждаете от равенството на техните три елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни.

Но за равенството на правоъгълните триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно е, нали?

Приблизително същата ситуация с признаци на сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници

I. Остър ъгъл

II. На два крака

III. По крак и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Защо е така?

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Да начертаем диагонал и да разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълника?

И какво следва от това?

Така се случи така

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Каква полза може да се извлече от факта, че медианата, изтеглена към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека разгледаме снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме: , тоест разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията, от които и трите върха на триъгълника са равни, и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОПИСАНАТА КРЪГРА. И какво стана?

Така че нека започнем с това "освен...".

Нека да разгледаме i.

Но в подобни триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - две формули за височината на правоъгълен триъгълник.

Пишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първа формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим сходството: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

И двете формули трябва да се запомнят много добре и тази, която е по-удобна за прилагане.

Нека ги запишем отново.

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета:.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• на два крака:
• по протежение на катета и хипотенузата: или
• по протежение на крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по протежение на крака и срещуположния остър ъгъл: или
• по хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на двата крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на острия ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния катет към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния крак към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния крак към съседния:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния крак към противоположния:.

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през катетрите:
• през крака и остър ъгъл: .

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? Не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия - 299 рубли.
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - 499 рубли.

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!

Отстрани аможе да се идентифицира като в непосредствена близост до ъгъл БИ противоположния ъгъл А, и отстрани б- как в непосредствена близост до ъгъл АИ противоположния ъгъл B.

Видове правоъгълни триъгълници

• Ако дължините и на трите страни на правоъгълния триъгълник са цели числа, тогава триъгълникът се нарича Питагоров триъгълник, а дължините на страните му образуват т.нар Питагорова тройка.

Имоти

Височина

Височина на правоъгълен триъгълник.

Тригонометрични отношения

Нека бъде зИ с (з>с) от страните на два квадрата, вписани в правоъгълен триъгълник с хипотенуза ° С. Тогава:

Периметърът на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от радиусите на вписаната окръжност и трите описани окръжности.

Бележки

Връзки

• Вайсщайн, Ерик В.Прав триъгълник (на английски) на уебсайта на Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A.Учебник по геометрия. - Джин и Ко, 1895 г.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

• кубоид
• Преки разходи

Вижте какво е "правоъгълен триъгълник" в други речници:

правоъгълен триъгълник- — Теми нефтена и газова промишленост EN правоъгълен триъгълник… Наръчник за технически преводач

ТРИЪГЪЛНИК- и (прост) триъгълник, триъгълник, съпруг. 1. Геометрична фигура, ограничена от три взаимно пресичащи се прави линии, образуващи три вътрешни ъгъла (мат.). Тъп триъгълник. Остър триъгълник. Правоъгълен триъгълник.... Тълковен речник на Ушаков

ПРАВОЪГЪЛНИ- ПРАВОЪГЪЛНИ, правоъгълни, правоъгълни (геом.). Имайки прав ъгъл (или прави ъгли). Правоъгълен триъгълник. Правоъгълни фигури. Тълковен речник на Ушаков. Д.Н. Ушаков. 1935 1940... Тълковен речник на Ушаков

триъгълник- Този термин има други значения, вижте Триъгълник (значения). Триъгълник (в евклидовото пространство) е геометрична фигура, образувана от три отсечки, които свързват три нелинейни точки. Три точки, ... ... Уикипедия

триъгълник- ▲ многоъгълник с три ъглови триъгълник е най-простият многоъгълник; се дава от 3 точки, които не лежат на една и съща права линия. триъгълна. остър ъгъл. остроъгълен. правоъгълен триъгълник: крак. хипотенуза. равнобедрен триъгълник. ▼… … Идеографски речник на руския език

ТРИЪГЪЛНИК- ТРИЪГЪЛНИК, а, съпруг. 1. Геометричната фигура е многоъгълник с три ъгъла, както и всеки обект, устройство от тази форма. Правоъгълна т. Дървена т. (за рисуване). Войнишко т. (войнишко писмо без плик, сгънато в ъгъл; разговорно). 2… Обяснителен речник на Ожегов

Триъгълник (многоъгълник)- Триъгълници: 1 остър, правоъгълен и тъп; 2 правилни (равностранни) и равнобедрени; 3 ъглополовящи; 4 медиани и център на тежестта; 5 височини; 6 ортоцентър; 7 средна линия. ТРИЪГЪЛНИК, многоъгълник с 3 страни. Понякога под... Илюстриран енциклопедичен речник

триъгълник енциклопедичен речник

триъгълник- но; м. 1) а) Геометрична фигура, ограничена от три пресичащи се прави линии, образуващи три вътрешни ъгъла. Правоъгълен, равнобедрен триъгълник/лен. Изчислете площта на триъгълника. б) респ. какво или с деф. Фигура или предмет с такава форма ... ... ... Речник на много изрази

триъгълник- но; м. 1. Геометрична фигура, ограничена от три пресичащи се прави линии, образуващи три вътрешни ъгъла. Правоъгълна, равнобедрена m. Изчислете площта на триъгълника. // какво или с деф. Фигура или предмет с такава форма. Т. покрив. Т.… … енциклопедичен речник

Правоъгълен триъгълник - триъгълник, единият ъгъл на който е прав (равен на 90 0). Следователно сумите на другите два ъгъла са 90 0 .

Страни на правоъгълен триъгълник

Страната, противоположна на ъгъла от деветдесет градуса, се нарича хипотенуза. Другите две страни се наричат ​​крака. Хипотенузата винаги е по-дълга от катетите, но по-къса от тяхната сума.

Правоъгълен триъгълник. Свойства на триъгълника

Ако кракът е срещу ъгъл от тридесет градуса, тогава неговата дължина съответства на половината от дължината на хипотенузата. От това следва, че ъгълът срещу крака, чиято дължина съответства на половината от хипотенузата, е равен на тридесет градуса. Катетът е равен на средната пропорционална на хипотенузата и проекцията, която катетът дава на хипотенузата.

Питагорова теорема

Всеки правоъгълен триъгълник се подчинява на питагоровата теорема. Тази теорема гласи, че сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата. Ако приемем, че краката са равни на a и b, а хипотенузата е c, тогава пишем: a 2 + b 2 \u003d c 2. Питагоровата теорема се използва за решаване на всички геометрични задачи, в които се появяват правоъгълни триъгълници. Също така ще помогне да се начертае прав ъгъл при липса на необходимите инструменти.

Височина и медиана

Правоъгълният триъгълник се характеризира с това, че двете му височини са комбинирани с краката. За да намерите третата страна, трябва да намерите сбора от проекциите на катета върху хипотенузата и да разделите на две. Ако начертаете медиана от върха на прав ъгъл, тогава това ще се окаже радиусът на окръжността, описана около триъгълника. Центърът на тази окръжност ще бъде средата на хипотенузата.

Правоъгълен триъгълник. Площ и нейното изчисляване

Площта на правоъгълните триъгълници се изчислява по всяка формула за намиране на площта на триъгълник. Освен това можете да използвате друга формула: S \u003d a * b / 2, която казва, че за да намерите площта, трябва да разделите продукта на дължините на краката на две.

Косинус, синус и тангенс правоъгълен триъгълник

Косинусът на острия ъгъл е съотношението на крака, съседен на ъгъла, към хипотенузата. Винаги е по-малко от едно. Синусът е отношението на катета срещу ъгъла към хипотенузата. Тангенсът е съотношението на крака срещу ъгъла към крака, съседен на този ъгъл. Котангенсът е съотношението на крака, съседен на ъгъла, към крака срещу ъгъла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не зависят от размера на триъгълника. Стойността им се влияе само от градусната мярка на ъгъла.

Решение на триъгълник

За да изчислите стойността на крака срещу ъгъла, трябва да умножите дължината на хипотенузата по синуса на този ъгъл или размера на втория крак по тангенса на ъгъла. За да се намери крака, съседен на ъгъла, е необходимо да се изчисли произведението на хипотенузата и косинуса на ъгъла.

Равнобедрен правоъгълен триъгълник

Ако триъгълникът има прав ъгъл и равни крака, тогава той се нарича равнобедрен правоъгълен триъгълник. Острите ъгли на такъв триъгълник също са равни - по 45 0 всеки. Медианата, ъглополовящата и височината, изтеглени от десния ъгъл на равнобедрен правоъгълен триъгълник, са еднакви.