Изучават се и задачи за квадратното уравнение училищна програмаи в университетите. Те се разбират като уравнения от вида a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, където х-променлива, a,b,c – константи; а<>0 . Проблемът е да се намерят корените на уравнението.

Геометричното значение на квадратното уравнение

Графиката на функция, която е представена с квадратно уравнение, е парабола. Решенията (корените) на квадратно уравнение са точките на пресичане на параболата с оста x. От това следва, че има три възможни случая:
1) параболата няма пресечни точки с оста x. Това означава, че е в горната равнина с клони нагоре или в долната с клони надолу. В такива случаи квадратното уравнение няма реални корени (има два комплексни корена).

2) параболата има една пресечна точка с оста Ox. Такава точка се нарича връх на параболата и квадратното уравнение в нея придобива своята минимална или максимална стойност. В този случай квадратното уравнение има един реален корен (или два еднакви корена).

3) Последният случай е по-интересен на практика - има две пресечни точки на параболата с оста на абсцисата. Това означава, че има два реални корена на уравнението.

Въз основа на анализа на коефициентите при степените на променливите могат да се направят интересни изводи за разположението на параболата.

1) Ако коефициентът a е по-голям от нула, тогава параболата е насочена нагоре, ако е отрицателна, клоните на параболата са насочени надолу.

2) Ако коефициентът b е по-голям от нула, тогава върхът на параболата лежи в лявата полуравнина, ако приема отрицателна стойност, тогава в дясната.

Извеждане на формула за решаване на квадратно уравнение

Нека прехвърлим константата от квадратното уравнение

за знак за равенство получаваме израза

Умножете двете страни по 4a

За да получите пълен квадрат отляво, добавете b ^ 2 и в двете части и извършете трансформацията

От тук намираме

Формула на дискриминанта и корените на квадратното уравнение

Дискриминантът е стойността на радикалния израз.Ако е положителен, то уравнението има два реални корена, изчислени по формулата Когато дискриминантът е нула, квадратното уравнение има едно решение (два съвпадащи корена), което е лесно да се получи от горната формула за D = 0. Когато дискриминантът е отрицателен, няма реални корени. Въпреки това, за изследване на решенията на квадратното уравнение в комплексната равнина и тяхната стойност се изчислява по формулата

Теоремата на Виета

Да разгледаме два корена на квадратно уравнение и да построим квадратно уравнение на базата им. Самата теорема на Виета лесно следва от нотацията: ако имаме квадратно уравнение от вида тогава сборът от корените му е равен на коефициента p, взет с противоположен знак, а произведението на корените на уравнението е равно на свободния член q. Формулата за горното ще изглежда така: Ако константата a в класическото уравнение е различна от нула, тогава трябва да разделите цялото уравнение на нея и след това да приложите теоремата на Vieta.

График на квадратното уравнение върху фактори

Нека се постави задачата: да се разложи квадратното уравнение на фактори. За да го изпълним, първо решаваме уравнението (намерете корените). След това заместваме намерените корени във формулата за разширяване на квадратното уравнение Този проблем ще бъде решен.

Задачи за квадратно уравнение

Задача 1. Намерете корените на квадратно уравнение

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишете коефициентите и ги заместете в дискриминантната формула

корен на дадена стойностравно на 14, лесно е да го намерите с калкулатор или да го запомните с честа употреба, но за удобство в края на статията ще ви дам списък с квадрати от числа, които често могат да бъдат намерени в такива задачи .
Намерената стойност се замества в основната формула

и получаваме

Задача 2. реши уравнението

2x2+x-3=0.

Решение: Имаме пълно квадратно уравнение, изписваме коефициентите и намираме дискриминанта


от известни формулинамерете корените на квадратното уравнение

Задача 3. реши уравнението

9x2 -12x+4=0.

Решение: Имаме пълно квадратно уравнение. Определете дискриминанта

Получихме случая, когато корените съвпадат. Намираме стойностите на корените по формулата

Задача 4. реши уравнението

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаите, когато има малки коефициенти за x, е препоръчително да се приложи теоремата на Vieta. По неговото условие получаваме две уравнения

От второто условие получаваме, че произведението трябва да е равно на -6. Това означава, че един от корените е отрицателен. Имаме следната възможна двойка решения(-3;2), (3;-2) . Като вземем предвид първото условие, отхвърляме втората двойка решения.
Корените на уравнението са

Задача 5. Намерете дължините на страните на правоъгълник, ако периметърът му е 18 cm, а площта е 77 cm 2.

Решение: Половината периметър на правоъгълник е равен на сбора от съседните му страни. Да обозначим х - голяма страна, тогава 18-x е по-малката му страна. Площта на правоъгълник е равна на произведението на тези дължини:
x(18x)=77;
или
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Намерете дискриминанта на уравнението

Изчисляваме корените на уравнението

Ако x=11,тогава 18x=7 ,обратното също е вярно (ако x=7, тогава 21-x=9).

Задача 6. Разложете на множители квадратното 10x 2 -11x+3=0 уравнение.

Решение: Изчислете корените на уравнението, за това намираме дискриминанта

Заместваме намерената стойност във формулата на корените и изчисляваме

Прилагаме формулата за разширяване на квадратното уравнение по отношение на корените

Разширявайки скобите, получаваме самоличността.

Квадратно уравнение с параметър

Пример 1. За какви стойности на параметъра а ,уравнението (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 има ли един корен?

Решение: Чрез директно заместване на стойността a=3 виждаме, че тя няма решение. Освен това ще използваме факта, че при нулев дискриминант уравнението има един корен от кратност 2. Нека изпишем дискриминанта

опростете го и го приравнете на нула

Получихме квадратно уравнение по отношение на параметъра a, чието решение е лесно да се получи с помощта на теоремата на Виета. Сборът от корените е 7, а произведението им е 12. Чрез просто изброяване установяваме, че числата 3.4 ще бъдат корените на уравнението. Тъй като вече сме отхвърлили решението a=3 в началото на изчисленията, единственото правилно ще бъде - a=4.По този начин, за a = 4, уравнението има един корен.

Пример 2. За какви стойности на параметъра а ,уравнението a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повече от един корен?

Решение: Помислете първо за единичните точки, те ще бъдат стойностите a=0 и a=-3. Когато a=0, уравнението ще бъде опростено до вида 6x-9=0; x=3/2 и ще има един корен. За a= -3 получаваме идентичността 0=0.
Изчислете дискриминанта

и намерете стойностите на a, за които е положителен

От първото условие получаваме a>3. За втория намираме дискриминанта и корените на уравнението


Нека дефинираме интервалите, в които функцията приема положителни стойности. Като заменим точката a=0 получаваме 3>0 . Така че извън интервала (-3; 1/3) функцията е отрицателна. Не забравяйте точката a=0което трябва да бъде изключено, тъй като оригиналното уравнение има един корен в него.
В резултат на това получаваме два интервала, които удовлетворяват условието на задачата

Ще има много подобни задачи на практика, опитайте се да се справите сами със задачите и не забравяйте да вземете предвид условия, които се изключват взаимно. Проучете добре формулите за решаване на квадратни уравнения, те доста често са необходими при изчисления в различни проблеми и науки.

AT модерно обществоспособността да се извършват операции с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко в практиката в научните и технически разработки. Това може да се докаже от проектирането на морски и речни кораби, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления се определят траекториите на движение на различни тела, включително космически обекти. Примери с решение на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновени ежедневни обстоятелства. Може да са необходими в пешеходни пътувания, при спорт, в магазини при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на компонентни фактори

Степента на уравнение се определя от максималната стойност на степента на променливата, която съдържа дадения израз. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно уравнение.

Ако говорим на езика на формулите, тогава тези изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат приведени във вида, когато лявата страна на израза се състои от три термина. Сред тях: ax 2 (тоест променлива на квадрат със своя коефициент), bx (неизвестна без квадрат с нейния коефициент) и c (свободен компонент, тоест обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че такъв полином няма нито един от съставните му членове, с изключение на акси 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Първо трябва да се разгледат примери с решение на такива задачи, при които не е трудно да се намери стойността на променливите.

Ако изразът изглежда така, сякаш има два члена от дясната страна на израза, по-точно ax 2 и bx, най-лесно е да намерите x, като поставите променливата в скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). Освен това става очевидно, че или x=0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото гласи, че произведението на два фактора води до 0 само ако един от тях нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на телата под действието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало. Тук математическа нотацияприема следния вид: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна към 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, изминало от момента на издигане на тялото до момента на падане, както и много други величини. Но за това ще говорим по-късно.

Факторизиране на израз

Правилото, описано по-горе, прави възможно решаването на тези проблеми и в повече трудни случаи. Разгледайте примери с решението на квадратни уравнения от този тип.

X2 - 33x + 200 = 0

Това квадратен триномзавършено е. Първо, трансформираме израза и го разлагаме на фактори. Има два от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решение на квадратни уравнения в 9 клас позволяват на този метод да намери променлива в изрази не само от втори, но дори от трети и четвърти порядък.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагате дясната страна на фактори с променлива, има три от тях, тоест (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че дадено уравнениеима три корена: -3; -един; 3.

Извличане на квадратен корен

Друг случай на непълно уравнение от втори ред е израз, написан на езика на буквите по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля към правилната страна, и след това от двете части на равенството, Корен квадратен. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Единствените изключения са равенствата, които изобщо не съдържат термина c, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да се извършват с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се е появила в древни времена, тъй като развитието на математиката е до голяма степен в тях далечни временасе дължи на необходимостта да се определят с най-голяма точност площите и периметрите на парцелите.

Трябва да разгледаме и примери с решението на квадратни уравнения, съставени на базата на задачи от този вид.

Така че да кажем, че има правоъгълна площземя, чиято дължина е с 16 метра повече от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако е известно, че площта му е 612 m 2.

Като се заемем с работата, първо ще направим необходимото уравнение. Нека да обозначим ширината на секцията като x, тогава нейната дължина ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), който според условието на нашата задача е 612. Това означава, че x (x + 16) \u003d 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата му страна все още съдържа два фактора, произведението от тях изобщо не е равно на 0, така че тук се използват други методи.

Дискриминанта

На първо място правим необходимите трансформации, след това външен видтози израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във формата, съответстваща на предварително зададения стандарт, където a=1, b=16, c=-612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминанта. Тук необходими изчисленияпроизведени по схемата: D = b 2 - 4ac. Тази спомагателна стойност не само прави възможно намирането на желаните стойности в уравнението от втори ред, но и определя броя настроики. В случай D>0 има две от тях; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е: 256 - 4(-612) = 2704. Това показва, че нашият проблем има отговор. Ако знаете, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерът на парцела не може да бъде измерен в отрицателни стойности, което означава, че x (тоест ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18+16=34, а периметърът 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Примери и задачи

Продължаваме изучаването на квадратните уравнения. По-долу ще бъдат дадени примери и подробно решение на няколко от тях.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Нека прехвърлим всичко в лявата част на равенството, направим трансформация, тоест получаваме формата на уравнението, която обикновено се нарича стандартна, и го приравняваме на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

След като добавихме подобни, определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги по горната формула, което означава, че първият от тях ще бъде равен на 4/3, а вторият 1.

2) Сега ще разкрием гатанки от различен вид.

Нека разберем дали тук изобщо има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, привеждаме полинома в съответната позната форма и изчисляваме дискриминанта. В този пример не е необходимо да се решава квадратното уравнение, тъй като същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D \u003d 16 - 20 \u003d -4, което означава, че наистина няма корени.

Теоремата на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения чрез горните формули и дискриминанта, когато от стойността на последния се извлича квадратен корен. Но това не винаги се случва. Въпреки това, има много начини да получите стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Той е кръстен на човек, който е живял във Франция от 16-ти век и е имал брилянтна кариера благодарение на своя математически талант и връзки в двора. Неговият портрет може да се види в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че сумата от корените на уравнението е равна на -p=b/a, а тяхното произведение съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретни задачи.

3x2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Използвайки теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направихме проверка, ще се уверим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графика и уравнение на парабола

Понятията за квадратична функция и квадратни уравнениятясно свързани. Примери за това вече бяха дадени по-рано. Сега нека разгледаме някои математически пъзели малко по-подробно. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава зависимост, начертана под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функциите помагат за решаването на всякакви уравнения, включително и квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е координатата на абсцисата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени по формулата, която току-що е дадена x 0 = -b / 2a. И, замествайки получената стойност в оригиналното уравнение на функцията, можете да разберете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, принадлежаща на оста y.

Пресечната точка на клоните на параболата с оста на абсцисата

Има много примери с решението на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако y 0 приема отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на парабола можете също да определите корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да се получи визуално представяне на квадратична функция, можете да приравните дясната страна на израза към 0 и да решите полученото уравнение. И като се знаят точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се начертае.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена не само правеха математически изчисления и определяха площта на геометричните фигури. Древните са имали нужда от такива изчисления за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди настъпването на нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Те също не бяха запознати с други тънкости от тези, известни на всеки ученик от нашето време.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия, Баудаяма, се зае с решението на квадратните уравнения. Това се случило около осем века преди настъпването на ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него, китайските математици също се интересуваха от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13-ти век, но по-късно те са използвани в работата си от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността за решаването им е от съществено значение.

Квадратното уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Да нямат корени;
2. Те имат точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корени има едно уравнение? Има едно прекрасно нещо за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac .

Тази формула трябва да се знае наизуст. Откъде идва сега не е важно. Друго нещо е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а изобщо не техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корени имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 = -131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е равен на нула - коренът ще бъде единица.

Имайте предвид, че коефициентите са изписани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да бъркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете за себе си: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да изписвате всички коефициенти. Такива операции ще извършвате в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не са толкова много.

Корените на квадратно уравнение

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основната формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(подравняване) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Може да се използва всяка формула. Например първият:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаеш формулите и можеш да броиш, няма да има проблеми. Най-често грешките възникват, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, рисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.

Непълни квадратни уравнения

Това се случва, че квадратното уравнение е малко по-различно от това, което е дадено в определението. Например:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Лесно е да се види, че един от термините липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: дори не е необходимо да изчисляват дискриминанта. Така че нека представим нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно такова уравнение има едно корен: x \u003d 0.

Нека разгледаме други случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0. Нека леко го трансформираме:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само когато (−c / a ) ≥ 0. Заключение:

1. Ако непълно квадратно уравнение от вида ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c / a )< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не беше задължителен - в непълните квадратни уравнения изобщо няма сложни изчисления. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво е от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека се заемем с уравнения от вида ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е полиномът да се разложи на множители:

Изваждане на общия фактор от скобата

Продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения:

Задача. Решете квадратни уравнения:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Няма корени, т.к квадратът не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Квадратни уравнения. Дискриминанта. Решение, примери.

Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Видове квадратни уравнения

Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В срок квадратно уравнениеключова дума е "квадрат".Това означава, че в уравнението задължителнотрябва да има х на квадрат. В допълнение към него, в уравнението може да има (или може да няма!) Само x (до първа степен) и само число (безплатен член).И не трябва да има x в степен по-голяма от две.

В математически термини, квадратното уравнение е уравнение от вида:

Тук а, б и в- някои цифри. б и в- абсолютно всякакви, но а- всичко друго, но не и нула. Например:

Тук а =1; б = 3; ° С = -4

Тук а =2; б = -0,5; ° С = 2,2

Тук а =-3; б = 6; ° С = -18

Е, схванахте идеята...

В тези квадратни уравнения отляво има пълен комплектчленове. x на квадрат с коефициент а, x на първа степен с коефициент би свободен член на

Такива квадратни уравнения се наричат завършен.

И ако б= 0, какво ще получим? Ние имаме X ще изчезне в първа степен.Това се случва от умножаване по нула.) Оказва се, например:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

И т.н. И ако и двата коефициента би ° Сса равни на нула, тогава е още по-просто:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Такива уравнения, където нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения.Което е съвсем логично.) Моля, имайте предвид, че x на квадрат присъства във всички уравнения.

Между другото защо ане може да бъде нула? И вместо това замествате анула.) X в квадрата ще изчезне! Уравнението ще стане линейно. И се прави по различен начин...

Това са всички основни видове квадратни уравнения. Пълни и непълни.

Решение на квадратни уравнения.

Решение на пълни квадратни уравнения.

Квадратните уравнения са лесни за решаване. По формули и ясно прости правила. На първия етап имате нужда дадено уравнениеводи до стандартна форма, т.е. към гледката:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното нещо е правилно да определите всички коефициенти, а, би ° С.

Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака корен се нарича дискриминанта. Но повече за него по-долу. Както можете да видите, за да намерим x, ние използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите а, б и вв тази формула и пребройте. Заместител с вашите знаци! Например в уравнението:

а =1; б = 3; ° С= -4. Тук пишем:

Примерът е почти решен:

Това е отговорът.

Всичко е много просто. И как мислите, не можете да сбъркате? Е, да, как...

Най-честите грешки са объркване със знаците на ценностите а, б и в. Или по-скоро не с техните знаци (къде има да се бъркате?), а със замяната отрицателни стойностивъв формулата за изчисляване на корените. Тук се записва подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, Така че, го направи!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; б = -5; ° С = -1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките ще спадне рязко. Затова пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но само изглежда. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добре, бързо или правилно? Освен това ще те зарадвам. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Просто ще се окаже правилно. Особено ако прилагате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси ще се реши лесно и без грешки!

Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например, като това:

Знаете ли?) Да! Това е непълни квадратни уравнения.

Решение на непълни квадратни уравнения.

Те могат да бъдат решени и по общата формула. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук а, б и в.

Осъзнах? В първия пример а = 1; b = -4;а ° С? Въобще не съществува! Е, да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Заменете нула във формулата вместо ° С,и всичко ще ни се получи. Аналогично и с втория пример. Само нула тук нямаме с, а б !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Помислете за първото непълно уравнение. Какво може да се направи от лявата страна? Можете да извадите X от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че произведението е равно на нула, и само ако някой от факторите е равен на нула! Не вярвате? Е, тогава измислете две различни от нула числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
Не работи? нещо...
Следователно можем уверено да напишем: х 1 = 0, х 2 = 4.

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете си пасват. Когато заместим някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилното тъждество 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от общата формула. Отбелязвам, между другото, кой X ще бъде първият и кой вторият - това е абсолютно безразлично. Лесно се пише в ред х 1- което е по-малко х 2- това, което е повече.

Второто уравнение също може лесно да бъде решено. Преместваме 9 в дясната страна. Получаваме:

Остава да извлечем корена от 9 и това е всичко. Вземете:

също два корена . х 1 = -3, х 2 = 3.

Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез изваждане на x от скоби, или прост трансферчисла вдясно, последвано от извличане на корен.
Изключително трудно е да се объркат тези методи. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби ...

Дискриминанта. Дискриминантна формула.

Вълшебна дума дискриминанта ! Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „решете чрез дискриминанта“ е успокояваща и успокояваща. Защото няма нужда да чакате трикове от дискриминанта! Той е лесен и безпроблемен в боравене.) Напомням ви най-много обща формулаза решения всякаквиквадратни уравнения:

Изразът под основния знак се нарича дискриминант. Дискриминантът обикновено се обозначава с буквата д. Дискриминантна формула:

D = b 2 - 4ac

И какво е толкова специалното в този израз? Защо заслужава специално име? Какво значението на дискриминанта?След всичко -b,или 2ав тази формула те не назовават конкретно ... Букви и букви.

Въпросът е в това. При решаване на квадратно уравнение с тази формула е възможно само три случая.

1. Дискриминантът е положителен.Това означава, че можете да извлечете корена от него. Дали коренът е извлечен добре или лошо е друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула.Тогава имате едно решение. Тъй като добавянето или изваждането на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, но две еднакви. Но в опростена версия е обичайно да се говори за едно решение.

3. Дискриминантът е отрицателен.Отрицателно число не взема корен квадратен. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Честно казано, при просто решениеквадратни уравнения, концепцията за дискриминант не е особено необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата и разглеждаме. Там всичко се оказва от само себе си и два корена, и един, и нито един. Въпреки това, при решаване на повече трудни задачи, без знания смисъл и дискриминантна формулане достатъчно. Особено - в уравнения с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж за GIA и Единния държавен изпит!)

Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който си спомнил. Или научи, което също не е лошо.) Знаете как правилно да идентифицирате а, б и в. Знаете ли как внимателнозаменете ги в основната формула и внимателнопребройте резултата. Разбрахте ли, че ключовата дума тук е - внимателно?

Сега обърнете внимание на практическите техники, които драстично намаляват броя на грешките. Точно тези, които се дължат на невнимание... За което тогава е болезнено и обидно...

Първи прием . Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение, за да го приведете в стандартен вид. Какво означава това?
Да предположим, че след всякакви трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете формулата на корените! Почти сигурно ще объркате шансовете а, б и в.Изградете примера правилно. Първо, x на квадрат, след това без квадрат, след това свободен член. Като този:

И отново, не бързайте! Минусът преди х на квадрат може да ви разстрои много. Забравянето е лесно... Отърви се от минуса. Как? Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

И сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите примера. Решете сами. Трябва да завършите с корени 2 и -1.

Втори прием. Проверете корените си! Според теоремата на Виета. Не се притеснявай, ще ти обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, с която записахме формулата на корените. Ако (както в този пример) коефициентът а = 1, проверете корените лесно. Достатъчно е да ги умножите. Трябва да получите безплатен срок, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! безплатен член с твоя знак . Ако не се получи, това означава, че вече са се объркали някъде. Потърсете грешка.

Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да е съотношение бс противоположно знак. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент б, което е преди x, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко, че е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете в такива уравнения! Всичко по-малко грешкище.

Прием трети . Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в урока "Как се решават уравнения? Идентични трансформации". Когато работите с дроби, грешки, по някаква причина, се изкачват ...

Между другото обещах зъл пример с куп минуси за опростяване. Вие сте добре дошъл! Ето го и него.

За да не се бъркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Решаването е забавно!

Така че нека обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартния вид, изграждаме го право.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния коефициент.

4. Ако x на квадрат е чист, коефициентът към него равно на едно, решението може лесно да се провери с теоремата на Виета. Направи го!

Сега можете да решите.)

Решаване на уравнения:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Отговори (в безпорядък):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
x 2 = -0,5

x - произволно число

х 1 = -3
х 2 = 3

никакви решения

х 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Всичко ли пасва? Глоба! Квадратните уравнения не са ваши главоболие. Първите три се оказаха, но останалите не? Тогава проблемът не е в квадратните уравнения. Проблемът е в идентични трансформации на уравнения. Разгледайте линка, полезен е.

Не работи съвсем? Или изобщо не работи? Тогава ще ви помогне Раздел 555. Там всички тези примери са сортирани по кости. Показване главенгрешки в решението. Разбира се, говори се и за употребата идентични трансформациипри решаване на различни уравнения. Помага много!

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

”, тоест уравнения от първа степен. В този урок ще изследваме какво е квадратно уравнениеи как да го реша.

Какво е квадратно уравнение

Важно!

Степента на уравнение се определя от най-високата степен, до която стои неизвестното.

Ако максималната степен, до която стои неизвестното, е „2“, тогава имате квадратно уравнение.

Примери за квадратни уравнения

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Важно! Общата форма на квадратното уравнение изглежда така:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" и "c" - дадени числа.

• "а" - първи или старши коефициент;
• "b" - вторият коефициент;
• "c" е свободен член.

За да намерите "a", "b" и "c" Трябва да сравните вашето уравнение с общата форма на квадратното уравнение "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Нека се упражняваме в определянето на коефициентите "a", "b" и "c" в квадратни уравнения.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Уравнението	Коефициенти
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• а = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• а = 1
• b = 0
• c = −8

Как да решаваме квадратни уравнения

За разлика от линейни уравненияза решаване на квадратни уравнения, специален формула за намиране на корени.

Помня!

За да решите квадратно уравнение, трябва:

• приведете квадратното уравнение до общ изглед"брадва 2 + bx + c = 0". Тоест само "0" трябва да остане от дясната страна;
• използвайте формулата за корени:

Нека използваме пример, за да разберем как да приложим формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека решим квадратното уравнение.

X 2 - 3x - 4 = 0

Уравнението "x 2 - 3x - 4 = 0" вече е сведено до общия вид "ax 2 + bx + c = 0" и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешим, трябва само да приложим формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Нека дефинираме коефициентите "a", "b" и "c" за това уравнение.

х 1;2 =
х 1;2 =
х 1;2 =
х 1;2 =

С негова помощ се решава всяко квадратно уравнение.

Във формулата "x 1; 2 \u003d" коренният израз често се заменя
"b 2 − 4ac" до буквата "D" и се нарича дискриминант. Понятието дискриминант е разгледано по-подробно в урока „Какво е дискриминант”.

Помислете за друг пример за квадратно уравнение.

x 2 + 9 + x = 7x

В тази форма е доста трудно да се определят коефициентите "a", "b" и "c". Нека първо приведем уравнението до общия вид "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Сега можете да използвате формулата за корените.

X 1;2 =
х 1;2 =
х 1;2 =
х 1;2 =
x=

6

2

х=3
Отговор: х = 3

Има моменти, когато няма корени в квадратните уравнения. Тази ситуация възниква, когато във формулата под корена се появи отрицателно число.