Методи за решаване на квадратни уравнения. Квадратни уравнения

Проблемът е добре познат от математиката. Изходните данни тук са коефициентите a, b, c. Решението в общия случай са два корена x 1 и x 2, които се изчисляват по формулите:

Всички стойности, използвани в тази програма, са от реален тип.

алгкорени на квадратно уравнение

нещо a, b, c, x1, x2, d

рановход a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

изход x1, x2

Слабостта на такъв алгоритъм е видима с просто око. Той не притежава най-важното свойствоприлага се към качествени алгоритми: универсалност по отношение на изходните данни. Каквито и да са стойностите на първоначалните данни, алгоритъмът трябва да доведе до определен резултат и да стигне до края.Резултатът може да е числов отговор, но може да е и съобщение, че с такива данни проблемът няма решение. Не се допускат спирания в средата на алгоритъма поради невъзможност за извършване на някаква операция. Същото свойство в литературата по програмиране се нарича ефективност на алгоритъма (във всеки случай трябва да се получи някакъв резултат).

За да се изгради универсален алгоритъм, първо е необходимо внимателно да се анализира математическото съдържание на задачата.

Решението на уравнението зависи от стойностите на коефициентите a, b, c. Ето анализ на този проблем (ограничаваме се само до намирането на реални корени):

ако a=0, b=0, c=0, тогава всяко x е решение на уравнението;

ако a=0, b=0, c¹0, тогава уравнението няма решения;

ако a=0, b¹0, тогава това линейно уравнение, който има едно решение: x=–c/b;

ако a¹0 и d=b 2 -4ac³0, то уравнението има два реални корена (формулите са дадени по-горе);

ако a¹0 и d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Блокова схема на алгоритъма:

Същият алгоритъм на алгоритмичен език:

алгкорени на квадратно уравнение

нещо a, b, c, d, x1, x2

рановход a, b, c

ако a=0

тогава ако b=0

тогава ако c=0

тогаваизвеждане "всяко x е решение"

в противен случайизведете "няма решения"

в противен случай x:= -c/b

в противен случай d:=b2–4ac

акои г<0

тогаваизвеждане "няма истински корени"

в противен случай e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

извеждат “x1=”,x1, “x2=”,x2

Този алгоритъм се използва повторно команда за структура на клон.Общият изглед на командата за разклонение в блок-схеми и на алгоритмичния език е както следва:

Първо се проверява „условието“ (изчислява се връзката, логическият израз). Ако условието е вярно, тогава се изпълнява "серия 1" - последователността от команди, обозначена със стрелката с надпис "да" (положителен клон). В противен случай се изпълнява "серия 2" (отрицателен клон). В EL условието се изписва след служебната дума "ако", положителният клон - след думата "тогава", отрицателният клон - след думата "иначе". Буквите "kv" означават края на клона.

Ако клоновете на един клон съдържат други клонове, тогава такъв алгоритъм има структурата вложени клони. Именно тази структура има алгоритъмът "корен на квадратно уравнение". В него за краткост вместо думите "да" и "не" се използват съответно "+" и "-".

Помислете за следния проблем: дадено положително цяло число n. Необходимо е да се изчисли n! (n-факторен). Припомнете си определението за факториал.

По-долу е дадена блокова диаграма на алгоритъма. Той използва три променливи от целочислен тип: n е аргумент; i е междинна променлива; F е резултатът. За проверка на коректността на алгоритъма е изградена таблица за проследяване. В такава таблица за конкретни стойности на изходните данни промените в променливите, включени в алгоритъма, се проследяват по стъпки. Тази таблица е съставена за случай n=3.

Проследяването доказва коректността на алгоритъма. Сега нека напишем този алгоритъм на алгоритмичен език.

алгФакториален

цяла n, i, F

рановход n

F:=1; i:=1

Чао i£n, повторете

nc F:=F´i

Този алгоритъм има циклична структура. Алгоритъмът използва структурната команда "loop-while" или "loop with precondition". Общият изглед на командата “loop-bye” в блок-схеми и в EL е както следва:

Изпълнението на поредица от команди (тялото на цикъла) се повтаря, докато условието на цикъла е вярно. Когато условието стане невярно, цикълът приключва. Служебните думи "nts" и "kts" означават съответно началото на цикъла и края на цикъла.

Цикъл с предпоставка е основната, но не и единствената форма на организация на цикличните алгоритми. Друг вариант е цикъл с постусловие.Да се върнем към алгоритъма за решаване на квадратно уравнение. Към него може да се подходи от тази позиция: ако a=0, то това вече не е квадратно уравнение и може да се игнорира. В този случай ще приемем, че потребителят е допуснал грешка при въвеждане на данни и трябва да бъде подканен да повтори въвеждането. С други думи, алгоритъмът ще осигури контрол на надеждността на изходните данни, предоставяйки на потребителя възможност да коригира грешката. Наличието на такъв контрол е друг знак за добро качество на програмата.

Като цяло структурната команда "цикл с постусловие" или "цикл преди" е представена по следния начин:

Тук се използва условието за прекратяване на цикъла. Когато стане истина, цикълът приключва.

Нека съставим алгоритъм за решаване на следната задача: дадени са две естествени числа M и N. Необходимо е да се изчисли техният най-голям общ делител - gcd(M,N).

Този проблем се решава с помощта на метод, известен като Алгоритъм на Евклид. Идеята му се основава на свойството, че ако M>N, то gcd(M

1) ако числата са равни, тогава вземете тяхната обща стойност като отговор; в противен случай продължете изпълнението на алгоритъма;

2) определете по-голямото от числата;

3) заменете по-голямото число с разликата между по-големите и по-малките стойности;

4) връщане към прилагането на параграф 1.

Блоковата диаграма и алгоритъмът в AL ще бъдат както следва:

Алгоритъмът има циклична структура с вложено разклоняване. Направете собствено проследяване на този алгоритъм за случая M=18, N=12. Резултатът е gcd=6, което очевидно е вярно.

Библиографско описание:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Елков А. А., Шилненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Решения квадратни уравнения// Млад учен. - 2016. - бр.6.1. - С. 17-20..04.2019 г.).

Нашият проект е посветен на начините за решаване на квадратни уравнения. Целта на проекта: да се научи как да решава квадратни уравнения по начини, които не са включени в училищната програма. Задача: намерете всички възможни начини за решаване на квадратни уравнения и научете как да ги използвате сами и запознайте съучениците с тези методи.

Какво представляват "квадратните уравнения"?

Квадратно уравнение- уравнение на формата брадва2 + bx + c = 0, където а, б, ° С- някои числа ( а ≠ 0), х- неизвестен.

Числата a, b, c се наричат коефициенти на квадратното уравнение.

a се нарича първи коефициент;
b се нарича втори коефициент;
в - свободен член.

И кой пръв „измисли“ квадратни уравнения?

Някои алгебрични техники за решаване на линейни и квадратни уравнения са били известни още преди 4000 години в Древен Вавилон. Намерените древни вавилонски глинени плочки, датирани някъде между 1800 и 1600 г. пр. н. е., са най-ранното доказателство за изучаването на квадратни уравнения. Същите таблетки съдържат методи за решаване на определени видове квадратни уравнения.

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древни времена е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика.

Правилото за решаване на тези уравнения, посочено във вавилонските текстове, съвпада по същество със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички намерени досега клинописни текстове дават само проблеми с решения, посочени под формата на рецепти, без указание как са намерени. Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва концепцията за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

Вавилонските математици от около 4 век пр.н.е. използва метода на квадратното допълнение за решаване на уравнения с положителни корени. Около 300 г. пр.н.е. Евклид излезе с по-общ геометричен метод на решение. Първият математик, който намери решения на уравнение с отрицателни корени под формата на алгебрична формула, е индийски учен. Брахмагупта(Индия, 7 век сл. Хр.).

Брахмагупта очерта общо правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до единична канонична форма:

ax2 + bx = c, a>0

В това уравнение коефициентите могат да бъдат отрицателни. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

В Индия публичните състезания за решаване на трудни проблеми бяха често срещани. В една от старите индийски книги за подобни състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите със своя блясък, така един учен човек ще засенчи славата на публични събрания, предлагайки и решавайки алгебрични задачи. Задачите често бяха облечени в поетична форма.

В алгебричен трактат Ал-Хорезмидадена е класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. ax2 = bx.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. ax2 = c.

3) "Корените са равни на числото", т.е. ax2 = c.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. ax2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените са равни на число“, т.е. ax2 + bx = c.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c == ax2.

За Ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събирания, а не изваждане. В този случай очевидно не се вземат предвид уравнения, които нямат положителни решения. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговото решение, разбира се, не съвпада напълно с нашето. Да не говорим за факта, че е чисто риторичен, трябва да се отбележи например, че при решаването на непълно квадратно уравнение от първия тип, Ал-Хорезми, както всички математици преди 17-ти век, не взема предвид нулата решение, вероятно защото при конкретни практически задачи няма значение. Когато решава пълни квадратни уравнения, Ал-Хорезми излага правилата за решаването им, използвайки конкретни числови примери, а след това и техните геометрични доказателства.

Формите за решаване на квадратни уравнения по модела на Ал-Хорезми в Европа са описани за първи път в "Книгата на Abacus", написана през 1202 г. италиански математик Леонард Фибоначи. Авторът самостоятелно разработи някои нови алгебрични примери за решаване на проблеми и беше първият в Европа, който подходи към въвеждането на отрицателни числа.

Тази книга допринесе за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от тази книга са пренесени в почти всички европейски учебници от 14-17 век. Общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведено до единична канонична форма x2 + bx = c с всички възможни комбинации от знаци и коефициенти b, c, е формулирано в Европа през 1544 г. М. Щифел.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. италиански математици Тарталия, Кардано, Бомбелисред първите през 16 век. вземете предвид, освен положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. благодарение на работата Жирар, Декарт, Нютони други учени, начинът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

Помислете за няколко начина за решаване на квадратни уравнения.

Стандартни начини за решаване на квадратни уравнения от училищната програма:

Разлагане на лявата част на уравнението.
Метод за избор на пълен квадрат.
Решаване на квадратни уравнения по формула.
Графично решение на квадратно уравнение.
Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Нека се спрем по-подробно на решението на редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения, използвайки теоремата на Виета.

Припомнете си, че за решаване на дадените квадратни уравнения е достатъчно да се намерят две числа, чието произведение е равно на свободния член, а сборът е равен на втория коефициент с противоположен знак.

Пример.х 2 -5x+6=0

Трябва да намерите числа, чието произведение е 6, а сборът е 5. Тези числа ще бъдат 3 и 2.

Отговор: х 1 =2,x 2 =3.

Но можете да използвате този метод за уравнения с първия коефициент, който не е равен на единица.

Пример.3x 2 +2x-5=0

Вземаме първия коефициент и го умножаваме по свободния член: x 2 +2x-15=0

Корените на това уравнение ще бъдат числа, чието произведение е - 15, а сборът е - 2. Тези числа са 5 и 3. За да намерим корените на оригиналното уравнение, ние разделяме получените корени на първия коефициент.

Отговор: х 1 =-5/3, х 2 =1

6. Решаване на уравнения по метода на "прехвърляне".

Да разгледаме квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0, където a≠0.

Умножавайки двете му части по a, получаваме уравнението a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Нека ax = y, откъдето x = y/a; тогава стигаме до уравнението y 2 + by + ac = 0, което е еквивалентно на даденото. Намираме корените му в 1 и в 2, използвайки теоремата на Виета.

Накрая получаваме x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 /a.

При този метод коефициентът a се умножава по свободния член, сякаш е "прехвърлен" към него, поради което се нарича метод "прехвърляне". Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Пример.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Нека "прехвърлим" коефициент 2 към свободния член и като направим заместването получаваме уравнението y 2 - 11y + 30 = 0.

Според обратната теорема на Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Отговор: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Свойства на коефициентите на квадратно уравнение.

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ако a + b + c \u003d 0 (т.е. сумата от коефициентите на уравнението е нула), тогава x 1 \u003d 1.

2. Ако a - b + c \u003d 0, или b \u003d a + c, тогава x 1 \u003d - 1.

Пример.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Тъй като a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 = 0), тогава x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Отговор: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

Пример.132x 2 + 247x + 115 = 0

Защото a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 = 0), след това x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Отговор: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Има и други свойства на коефициентите на квадратно уравнение. но използването им е по-сложно.

8. Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма.

Фиг. 1. Номограма

Това е стар и забравен в момента метод за решаване на квадратни уравнения, поместен на стр. 83 от сборника: Bradis V.M. Четирицифрени математически таблици. - М., Образование, 1990 г.

Таблица XXII. Номограма за решаване на уравнения z2 + pz + q = 0. Тази номограма позволява, без да се решава квадратното уравнение, да се определят корените на уравнението чрез неговите коефициенти.

Криволинейната скала на номограмата се изгражда по формулите (фиг. 1):

Предполагайки OS = p, ED = q, OE = a(всички в cm), от фиг. 1 сходство на триъгълници САНи CDFполучаваме пропорцията

откъдето след замествания и опростявания следва уравнението z 2 + pz + q = 0,и писмото zозначава етикета на всяка точка от извитата скала.

Ориз. 2 Решаване на квадратно уравнение с помощта на номограма

Примери.

1) За уравнението z 2 - 9z + 8 = 0номограмата дава корените z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Отговор: 8,0; 1.0

2) Решете уравнението с помощта на номограмата

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделете коефициентите на това уравнение на 2, получаваме уравнението z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Номограмата дава корените z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Отговор: 4; 0,5

9. Геометричен метод за решаване на квадратни уравнения.

Пример.х 2 + 10x = 39.

В оригинала тази задача е формулирана по следния начин: „Квадратът и десет корена са равни на 39“.

Помислете за квадрат със страна x, правоъгълници са построени от страните му, така че другата страна на всеки от тях е 2,5, следователно площта на всеки е 2,5x. След това получената фигура се допълва с нов квадрат ABCD, попълвайки четири равни квадрата в ъглите, страната на всеки от тях е 2,5, а площта е 6,25

Ориз. 3 Графичен начин за решаване на уравнението x 2 + 10x = 39

Площта S на квадрат ABCD може да се представи като сбор от площите: оригиналния квадрат x 2, четири правоъгълника (4∙2.5x = 10x) и четири прикрепени квадрата (6.25∙4 = 25), т.е. S = x 2 + 10x = 25. Замествайки x 2 + 10x с числото 39, получаваме, че S = 39 + 25 = 64, което означава, че страната на квадрата ABCD, т.е. сегмент AB \u003d 8. За желаната страна x на оригиналния квадрат получаваме

10. Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Безут.

Теоремата на Безут. Остатъкът след разделяне на полинома P(x) на бинома x - α е равен на P(α) (тоест стойността на P(x) при x = α).

Ако числото α е коренът на полинома P(x), то този полином се дели на x -α без остатък.

Пример.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Разделете P(x) на (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

х-1=0; x=1, или x-3=0, x=3; Отговор: х1 =2, х2 =3.

заключение:Способността за бързо и рационално решаване на квадратни уравнения е просто необходима за решаване на по-сложни уравнения, например дробни рационални уравнения, уравнения с по-високи степени, биквадратни уравнения и в гимназията тригонометрични, експоненциални и логаритмични уравнения. След като проучихме всички намерени методи за решаване на квадратни уравнения, можем да посъветваме съучениците си, освен стандартните методи, да решават по метода на прехвърляне (6) и да решават уравнения чрез свойството на коефициенти (7), тъй като те са по-достъпни за разбиране .

литература:

Брадис В.М. Четирицифрени математически таблици. - М., Образование, 1990 г.
Алгебра 8 клас: учебник за 8 клас. общо образование институции Макаричев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. изд. С. А. Теляковски 15-то изд., преработено. - М.: Просвещение, 2015
https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Глейзър Г.И. История на математиката в училище. Ръководство за учители. / Изд. В.Н. По-млад. - М.: Просвещение, 1964.

слайд 2

Цикъл на квадратни уравнения от уроци по алгебра в 8. клас по учебника на А.Г. Мордкович

Учител MBOU Grushevskaya средно училище Kireeva T.A.

слайд 3

Цели: запознаване с понятията квадратно уравнение, корен на квадратно уравнение; показват решения на квадратни уравнения; да формират умение за решаване на квадратни уравнения; показват начин за решаване на пълни квадратни уравнения, като се използва формулата на корените на квадратно уравнение.

слайд 4

слайд 5

Малко от историята Квадратни уравнения в Древен Вавилон. Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен още в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика. Вавилонците са знаели как да решават квадратни уравнения около 2000 години преди нашата вяра. Прилагайки съвременни алгебрични обозначения, може да се каже, че в техните клинописни текстове освен непълни има и такива, например, пълни квадратни уравнения.

слайд 6

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички намерени досега клинописни текстове дават само проблеми с решенията, изложени под формата на рецепти, без никакво указание как са намерени. Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилония, концепцията за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения липсват в клинописните текстове.

Слайд 7

Определение 1. Квадратното уравнение е уравнение от вида, в който коефициентите a, b, c са произволни реални числа, а полиномът се нарича квадратен трином. a е първият или най-високият коефициент c е вторият коефициент c е свободен член

Слайд 8

Определение 2. Квадратното уравнение се нарича редуцирано, ако водещият му коефициент е равен на 1; квадратното уравнение се нарича нередуцирано, ако водещият коефициент е различен от 1. Пример. 2 - 5 + 3 = 0 - нередуцирано квадратно уравнение - намалено квадратно уравнение

Слайд 9

Определение 3. Пълно квадратно уравнение е квадратно уравнение, в което присъстват и трите члена. a + in + c \u003d 0 Непълно квадратно уравнение е уравнение, в което не присъстват всичките три члена; е уравнение, за което поне един от коефициентите в, с нула.

Слайд 10

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения.

слайд 11

Решете задачи No 24.16 (а, б) Решете уравнението: или Отговор. или Отговор.

слайд 12

Определение 4 Коренът на квадратното уравнение е всяка стойност на променливата x, при която квадратният трином изчезва; такава стойност на променливата x се нарича още корен на квадратен трином.Решаването на квадратно уравнение означава намиране на всичките му корени или установяване, че няма корени.

слайд 13

Дискриминантът на квадратно уравнение D 0 D=0 Уравнението няма корени Уравнението има два корена Уравнението има един корен Формули за корените на квадратно уравнение

Слайд 14

D>0 квадратното уравнение има два корена, които се намират по формулите Пример. Решете уравнението Решение. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Отговор: 1; -3

слайд 15

Алгоритъм за решаване на квадратно уравнение 1. Изчислете дискриминанта D по формулата D = 2. Ако D 0, то квадратното уравнение има два корена.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността за решаването им е от съществено значение.

Квадратното уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решение, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

Да нямат корени;
Те имат точно един корен;
Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корени има едно уравнение? Има едно прекрасно нещо за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac .

Тази формула трябва да се знае наизуст. Откъде идва сега не е важно. Друго нещо е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

Ако Д< 0, корней нет;
Ако D = 0, има точно един корен;
Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а изобщо не техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корени имат квадратните уравнения:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 = -131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е равен на нула - коренът ще бъде единица.

Имайте предвид, че коефициентите са изписани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да бъркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете за себе си: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да изписвате всички коефициенти. Такива операции ще извършвате в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не толкова.

Корените на квадратно уравнение

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основната формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(подравняване) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Може да се използва всяка формула. Например първият:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаеш формулите и можеш да броиш, няма да има проблеми. Най-често грешките възникват, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, рисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.

Непълни квадратни уравнения

Това се случва, че квадратното уравнение е малко по-различно от това, което е дадено в определението. Например:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Лесно е да се види, че един от термините липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: дори не е необходимо да изчисляват дискриминанта. Така че нека представим нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно такова уравнение има едно корен: x \u003d 0.

Нека разгледаме други случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0. Нека леко го трансформираме:

Защото аритметика Корен квадратенсъществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c /a ) ≥ 0. Заключение:

Ако непълно квадратно уравнение от вида ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
Ако (−c / a )< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не беше задължителен - в непълните квадратни уравнения изобщо няма сложни изчисления. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво е от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека се заемем с уравнения от вида ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е полиномът да се разложи на множители:

Изваждане на общия фактор от скобата

Продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения: